1.5 Filtrenin Yakınsaması

12
1. Yakınsama
1.5
Filtrenin Yakınsaması
Bir küme üzerindeki her netin bir filtre ürettiğini ve her filtrenin de bir net
tarafından üretilebildiği ile ilgili teoremi bir önceki kısımda vermiştik. Bir
topolojik uzayda bir netin yakınsaması tanımlanmıştı. Zaten topolojik uzay
teorisinde bir netin var olmasının nedeni yakınsama/yakısamama kavramıdır.
Benzer anlam ve nedenlerden dolayı biçimde bir filtrenin yakınsaklığını tanımlamak
bir zorunluluktur!
Tanım 1.10. X bir topolojik uzay F, X üzerinde bir filtre olsun. x ∈ X
olmak üzere x’i içeren açık kümelerin kümesi Ux olmak üzere,
Ux ⊂ F
ise F filtresi x’e yakınsıyor denir ve F → x ile gösterilir. x’e F filtresinin bir
limit noktası denir. En az bir noktaya yakınsayan filtreye yakınsak filtre
denir.
Aşağıdaki teorem bir filterenin yakınsaması/yakınsamaması hakkında yeterince bilgi verir.
Teorem 1.10. X bir topoljik uzay, f , X üzerinde bir net ve Ff , f tarafından
üretilen filtre olsun. x ∈ X için,
f → x ⇐⇒ Ff → x.
Kanıt: f ’nin tanım kümesi I osun. f ’nin kuyruklarının kümesi K olsun.
Ff = {A ⊂ X : ∃K ∈ K, K ⊂ A}
olduğunu biliyoruz. f → x olduğunu varsayalım. x ∈ U açık olsun. En az bir
K ∈ K için K ⊂ U dır. K ∈ Ff olduğundan, U ∈ Ff . Böylece Ff → x olduğu
gösterilmiş olur. Tersine Ff → x olsun. x ∈ U açık olsun. U ∈ Ff olduğundan,
f ’nin en az bir kuyrugu U tarafından kapsanır. Bu f → x olduğunu söyler. Bir topolojik uzayın altkümesinin kapanışı net terimiyle betimlenmişti. Benzer
bir durum filtre terimiyle de yapılabilir.
Teorem 1.11. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X ve x ∈ X verilsin. Aşağıdakiler
denktir.
(i) x ∈ A.
(ii) F → x, A ∈ F özelliğinde X’de F filtresi vardır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): X’i içeren açık kümelerin kümesi Ux olsun.
1.5. Filtrenin Yakınsaması
13
F = {F ⊂ X : ∃U ∈ Ux , U ∩ A ⊂ F }
bir filtre ve A = A ∩ X ∈ F dir. Ux ⊂ F olduğu da bariz. O halde F → x.
(ii) =⇒ (i). x ∈ U açık küme olsun. F → x olduğundan U ∈ F. Ayrıca A ∈ F
olmasından A ∩ U 6= ∅ dır. Böylece x ∈ A olduğu gösterilmiş olur.
X ve Y iki küme, f : X → Y bir fonksiyon ve F, X’de bir filtre olsun.
Bir an için,
f (F) = {f (F ) : F ∈ F}
kümesini Y ’de bir filtre olduğu düşülse de değildir. Buna karşın bu küme bir
filtre tabanıdır. Filtre tabanı bu olan filtreyi f ∗ (F) ile gösterelim. f örten ise
f ∗ (F) = f (F dir. Aşağıdaki teorem beklenen bir sonuçtır ve kanıtı okuyucuya
bırakılmıştir.
Teorem 1.12. X ve Y iki topolojik uzay, f : X → Y bir fonksiyon ve x ∈ X
verilsin. Aşağıdkiler denktir.
(i) f , x noktasında süreklidir.
(i) F, X’de bir filtre ve F → x ise f ∗ (F) → x dir.
Sonuç 1.13. X ve Y iki topolojik uzay, f : X → Y bir fonksiyon olsun.
Aşağıdakiler denktir.
(i) f süreklidir.
(i) F, X’de bir filtre ve F → x ise f ∗ (F) → x dir.
Q
Teorem 1.14. X = i∈I Xi , (Xi )i∈I topolojik uzayların çarpım uzayı, x ∈ X
ve F, X’de bir filtre olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) F → x.
(i) Her i ∈ I için Pi (F) → Pi (x).
Kanıt: . (i) =⇒ (ii): Her i ∈ I için Pi (F) = Pi∗ (F) bir filtredir.
Her i ∈ I için Pi : X → Xi projeksiyonu sürekli olduğundan, yukarıdaki
sonuçun bir sonucu olarak Pi (F) → Pi (x) dir.
(ii) =⇒ (i): U ⊂ X açık ve x ∈ U olsun.
x ∈ ∩nk=1 Pi−1
(Uik ) ⊂ U
k
özelliğinde Uik ⊂ Xik açık kümelerei vardır. Pik (x) ∈ Uik ve Pik (F) → Pik (x)
olduğundan, Uik ∈ Pi∗k (F) dir. Pik (Fik ) ⊂ Uik özelliğinde Fik ∈ F vardır.
Buradan
14
1. Yakınsama
(Uik )
∩nk=1 Fik ⊂ ∩nk=1 Pi−1
k
(Uik ) ⊂ U olmasından da U ∈ F
elde edilir ve ∩nk=1 Pi−1
(Uik ) ∈ F. ∩nk=1 Pi−1
k
k
dir. Böylece F → x olduğu gösterilmiş olur.
Bir topolojik uzayın Hausdorff olması netlerin en fazla bir noktaya yakınsaması
terimiyle betimlenmişti. Benzer bir betimleme aşağıdadır.
Teorem 1.15. Bir X topolojik uzayı için aşağıdakilerin denk olduğunu gösteriniz.
(i) (X, τ ) Hausdorff.
(ii) Her filtre en fazla bir noktaya yakınsayabilir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): (i) gerçekleşin. F, X’de bir net olmak üzere F → x ve
F → y olsun. x 6= y olma durumunda, varsayım gereği, x ∈ U , y ∈ V , y 6∈ U
ve x 6∈ V ve U n ∩ V = ∅ olacak biçimde U ve V açık kümeleri vardır. Buradan
∅ ∈ F çelişkisi ortaya çıkar, o halde x = y olmak zorundadır.
(ii) =⇒ (i): (ii)’nin sağlandığını varsayalım. X’de x 6= y olsun. x’i iȩeren her
U açık ve y’i iȩeren her V açık kümeleri için U ∩ V 6= ∅ olduğunu varsayalım.
F = {A ⊂ X : ∃U, V ∈ τ, x ∈ U, y ∈ V
s.t
U ∩ V ⊂ A}
bir filter ve F → x ve F → y dir. Bu çelişki kanıtı tamamlar.
Bir topolojik X uzatyında F bir filtre ise
F → x =⇒ x ∈ ∩F ∈F F
olduğu barizdir. Ama gerektirmenin tersi genelde doğru değildir. Bu gözlemin
motivasyonuyla aşağıdaki tanımı verebiliriz.
Tanım 1.11. X ber topolojik uzay, x ∈ X ve F, X’de bir filter olsun. x ∈
∩F ∈F F ise, x’e F’nin yığılma noktası denir.
Teorem 1.16. X bir topolojik uzay, F, X’de bir filtre ve x ∈ X verilsin.
Aşağıdakiler denktir.
(i) x, F’nin bir yığıma noktasıdır.
(ii) G → x ve G ⊂ F özelliğinde X’de G filtresi vardır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Ux , x’i içeren açık kümelerin kümesi olsun.
G0 = {F ∩ U : F ∈ F, U ∈ Ux }
1.5. Filtrenin Yakınsaması
15
bir filtre tabanıdır. G0 tarafından üretilen filtre G olsun. X ∈ Ux ve X ∈ F
olmasından, G ⊂ F ve G ⊂ Ux dir ki, istenilen gösterilmiş olur.
(i) =⇒ (ii): U ⊂ X açık ve x ∈ U olsun. U ∈ G olacağından U ∈ F dir.
Dolayısı ile her F ∈ F, U ∩ F 6= ∅ dır. Böylece her F ∈ F için x ∈ F olduğu
gösterilmiş olur. Istenilende budur.
Aşağıdaki teoremin kanıtı tanımdan kolayca yapılabilir. Detaylar okuyucuya
bırakılmıştır.
Teorem 1.17. X bir topolojik uzay, f : I → X bir net ve F, f tarafından
üretilen filter olsun. Aşağıdakiler denktir.
i.) x, f ’nin bir cluster noktasıdır.
ii.) x, F’nin bir cluster noktasıdır.
Alıştırmalar
1.21. X ayrık topolojik uzay, F, X;de fir filtre ve x ∈ X verilsin. F → x olması için gerekli
ve yeterli koşulun F = {A ⊂ X : x ∈ A} olduğunu gösteriniz.
1.22. Bir X topolojik uzayı ii̧in aşağıdakilerin denkliklerini gösteriniz.
(i) X en kaba topolojik uzaydır.
(ii) X’deki her filtre, X’nin her noktasına yakınsar.
1.23. X bir topolojik uzay, F ve G, F ⊂ G ve F → x özelliğinde iki filte olsun. G → x
olduğunu gösteriniz.
1.24. f , X’de bir net ve g, f ’nin altneti olsun. Ff , f tarafından üretilen filtre ve Gg , g
tarafından üretilen filtre ise Ff ⊂ Gg olduğunu göstriniz.