ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ YÜKSEK L

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR
Eda YAZAR
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2008
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Eda YAZAR tarafından hazırlanan “Fuzzy Topolojik Gruplar” adlı tez çalışması
22/07/2008 tarihinde jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul
edilmiştir.
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER
Jüri Üyeleri
Başkan
: Prof. Dr. Sabahattin BALCI
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik A.B.D.
Üye
: Prof. Dr. Cemil YILDIZ
Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik A.B.D.
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik A.B.D.
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. Orhan ATAKOL
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR
Eda YAZAR
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci
bölümde fuzzy kümeler ve fuzzy kümeler üzerinde tanımlanan küme işlemleri
verilmiştir. Üçüncü bölümde fuzzy topolojik uzaylar incelenmiştir. Dördüncü bölümde
fuzzy gruplar araştırılmıştır. Son olarak beşinci bölümde fuzzy topolojik gruplar
çalışılmıştır.
Temmuz 2008, 106 sayfa
Anahtar Kelimeler: Fuzzy altküme, fuzzy topolojik uzay, fuzzy altgrup, fuzzy normal
altgrup, fuzzy topolojik grup.
i
ABSTRACT
Master Thesis
FUZZY TOPOLOGICAL GROUPS
Eda YAZAR
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Erdal GÜNER
This thesis consist of five parts. The first part has been reserved for the introduction. In
the second part, fuzzy sets and set operations which is defined on fuzzy sets have been
given. In the third part, fuzzy topological spaces have been investigated. In the fourth
part, fuzzy groups have been examined. Finally in the fifth part, fuzzy topological
groups have been studied.
July 2008, 106 pages
Key Words: Fuzzy subset, fuzzy topological spaces, fuzzy subgroup, fuzzy normal
subgroup, fuzzy topological groups
ii
TEŞEKKÜR
Tez çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve desteğini gördüğüm, çalışmalarımın
yönlendirilmesi ve sonuçlandırılmasında büyük emeği geçen tez danışmanım sayın Yrd.
Doç. Dr. Erdal GÜNER’ e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü),
çalışmalarım sırasında tezimi maddi açıdan destekleyen TÜBİTAK Bilim Adamı
Yetiştirme Grubu’na, her türlü yardım, destek ve bilgisini esirgemeyen sayın hocam
Prof. Dr. Sabahattin BALCI’ ya (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik
Bölümü) ve hayatımın her aşamasında desteklerini eksik etmeyen değerli arkadaşım
İsmail Koçyiğit ve aileme sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum.
Eda YAZAR
Ankara, Temmuz 2008
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET................................................................................................................................. i
ABSTRACT ..................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ ....................................................................................................... v
ŞEKİLLER DİZİNİ ....................................................................................................... vi
1. GİRİŞ ......................................................................................................................... 1
2. FUZZY ALTKÜMELER ......................................................................................... 2
2.1 Fuzzy Altkümeler ve Özellikleri .............................................................................. 2
2.2 Fuzzy Altkümelerin Bir Fonksiyon Altındaki Görüntüsü ve Ters Görüntüsü . 11
3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR........................................................................ 17
3.1 Fuzzy Topoloji, Komşuluk Sistemleri ve Tabanlar ............................................. 17
3.2 F-Sürekli Fonksiyonlar ........................................................................................... 26
3.3 Çarpım Fuzzy Topoloji ve Bölüm Fuzzy Topoloji ............................................... 32
4. FUZZY ALT GRUPLAR ....................................................................................... 41
4.1 Fuzzy Alt Grupoidler .............................................................................................. 41
4.2 Fuzzy Alt Gruplar ................................................................................................... 43
4.3 Seviye Alt Grupları ................................................................................................. 50
4.4 Fuzzy Normal Alt Gruplar ..................................................................................... 53
4.5 Fuzzy Çarpım Alt Grupları.................................................................................... 59
5. FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR........................................................................ 62
5.1 Fuzzy Topolojik Gruplar ve Özellikleri ................................................................ 62
5.2 Komşuluk Sistemleri ............................................................................................... 75
5.3 Fuzzy Topolojik Alt Grup, Normal Alt Grup ve Bölüm Grubu ......................... 82
5.4 Homomorfizm ve İzomorfizm ................................................................................ 90
5.5 Fuzzy Topolojik Grupların Kartezyen Çarpımı .................................................. 96
KAYNAKLAR ............................................................................................................ 103
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................. 106
iv
SİMGELER DİZİNİ
o
A
A fuzzy alt kümesinin içi
A
A fuzzy alt kümesinin kapanışı
·
A
A fuzzy alt kümesinin dışı
∂A
A fuzzy alt kümesinin sınırı
Ac
A fuzzy alt kümesinin tümleyeni
At
A fuzzy alt kümesinin seviye alt kümesi
AqB
A ve B fuzzy altkümeleri quasi-coincidenttir
Β
T fuzzy topolojisinin bir tabanı
F(G)
G grubunun bütün fuzzy alt gruplarının kümesi
FC(X,Y)
X fuzzy topolojik uzayından Y fuzzy topolojik uzayına bütün
F-sürekli fonksiyonların kümesi
FN(G)
G grubunun bütün fuzzy normal alt gruplarının kümesi
FP(X)
X kümesinin bütün fuzzy alt kümelerinin kümesi
Σ
T fuzzy topolojisinin bir alt tabanı
supA
A fuzzy alt kümesinin dayanağı
ΥQ(xλ)
xλ fuzzy noktasının Q-komşuluk sistemi
xλ
Fuzzy nokta
xλqA
xλ fuzzy noktası ile A fuzzy alt kümesi quasi-coincidenttir
µA
A fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu
λ*
Sabit fuzzy küme
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 Klasik küme ve Fuzzy küme .......................................................................................... 3
Şekil 2.2 A fuzzy alt kümesinin grafiği ........................................................................................ 4
Şekil 2.3 Fuzzy alt kümelerde işlemler ......................................................................................... 7
Şekil 2.4 A∩Ac ve A∪Ac .......................................................................................................................................................... 9
vi
1. GİRİŞ
“Fuzzy” sözcüğü dilimizde “bulanık” veya “belirsiz” sözcüğü olarak kullanılmaktadır.
1965’ de L.A. Zadeh “Fuzzy Sets” makalesini yayınlayana kadar matematik
çalışmalarını klasik mantıkla temellendiriyordu. Bilindiği gibi klasik mantıkta bir
önerme ya doğru ya da yanlıştır. Yani doğruluk değeri ya 1 ya da 0 dır. Fuzzy mantıkta
ise bir önerme kısmen doğru kısmen de yanlış olabilir. Örneğin “hava soğuk ya da
sıcaktır” önermesi yerine “hava ılıktır” önermesi fuzzy mantıkla matematiksel bir
değere sahip olabilmektedir. Önermelerin doğruluk değerlerine ilişkin bu yaklaşım
gündelik hayatla sıkı bir ilişki içinde olan fuzzy mantığın hızla gelişmesine olanak
tanımıştır.
Fuzzy teorisini kuran Azerbaycanlı elektrik mühendisi Zadeh girdilerdeki hassaslığın
çıktılarda korunamamasından rahatsızlık duyar ve bu konuda yaptığı çalışmalarını
“Fuzzy Sets” başlığı ile yayınlar. Bilim dünyasında çeşitli tartışmaların ardından
uygulamadaki başarılı sonuçları ile fuzzy mantık büyük bir ilgi toplar.
Zadeh in makalesinden sonra Chang, Wong ve diğerleri genel topolojinin bazı temel
kavramlarını fuzzy kümelere taşıyarak fuzzy topolojik uzaylar teorisini geliştirdiler.
Rosenfeld 1971’ de bir grubun fuzzy alt grubunu tanımladı.
Fuzzy topolojik grup kavramını ilk olarak 1979’ da Foster incelemiştir. Foster, fuzzy
topolojik grupların homomorfik görüntü ve ters görüntüleri ile çarpım ve bölüm
uzaylarının bir karakterizasyonunu vermiştir. 1984’de Liang ve Hai “Fuzzy Topological
Groups” başlıklı makalelerinde bir fuzzy noktanın Q-komşuluk sistemleri ile fuzzy
topolojik grupların alt grupları, normal alt grupları ve bölüm gruplarını incelemişlerdir.
Daha sonra birçok bilim adamı tarafından fuzzy topolojik grup kavramı çalışılmıştır.
Günümüzde fuzzy mantık ile yapılan çalışmalar robot teknolojisinden, metro yapımına,
çamaşır makinesinden cep telefonlarına kadar geniş bir alana yayılmıştır. Fuzzy
teknolojisi geleceğin teknolojisi olarak görülmektedir.
1
2. FUZZY ALTKÜMELER
2.1 Fuzzy Altkümeler ve Özellikleri
Bilindiği gibi klasik küme teorisinde kesin sınırlarla belirlenmiş küme kavramı söz
konusudur. Burada “kesin sınır“ bir nesnenin kümenin elemanı olması ya da
olmamasını üçüncü bir halin imkânsızlığını ifade eder. Örneğin X evrensel kümesini
X={ Türkiye’deki 25 yaşından büyük bireyler }
biçiminde belirlersek
A ={ Türkiye’deki 25 yaşından büyük erkekler }
kümesi X in klasik anlamda bir altkümesidir. Yani evrensel kümeye ait bir eleman A
kümesinin ya elemanıdır ya da elemanı değildir. Şimdi aynı X evrensel kümesi üzerinde
B={ Türkiye’deki 25 yaşından büyük mutlu bireyler }
kümesini tanımlayalım. B kümesi X in bir altkümesi olmasına rağmen A kümesinin
sağladığı kesin sınır özelliğini sağlamaz, zira “mutlu olma” derecelendirilebilecek bir
kavram olduğu kadar bir nesnenin B kümesinin elemanı olması ya da olmaması durumu
bir görecelik ifade eder. O halde B kümesini belirleyebilmek için X deki her bir
elemanın B ye ait olma derecesini atayacak olan bir üyelik fonksiyonuna ihtiyaç
duyarız. İşte bu şekilde bir üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen kümelere fuzzy
(bulanık) küme denir. Şimdi tanım ve örneklerle fuzzy altküme kavramını daha
yakından inceleyelim.
Tanım 2.1.1: X boş olmayan bir küme ve I =[0,1] birim aralık olsun.
µA:X→I fonksiyonu tarafından karakterize edilen
A ={(x, µA(x))  x∈X } ⊆ X×I
kümesine X de bir fuzzy altküme ve µA fonksiyonuna A fuzzy altkümesinin üyelik
fonksiyonu denir. Burada her x∈X için µA(x)∈I değeri x in A ya üyelik derecesidir.
Bir X kümesinin bütün fuzzy altkümelerinin kümesi FP(X) ile gösterilir.
Aslında bu tanım klasik kümelerde bir kümenin karakteristik fonksiyonu olan
fA:X→{0,1}
2
ïì 1
f A (x) = ïí
ïïî 0
,x Î A
,x Ï A
fonksiyonunun bir genelleştirilmesi olarak da yorumlanabilir. Karakteristik fonksiyon,
X evrensel kümesindeki bütün x noktalarını tarayarak onlara üyelik derecesi olarak
sadece iki değer, 0 ya da 1 değerlerini atarken, üyelik fonksiyonu [0,1] aralığındaki tüm
değerleri atayabilmektedir. Buna göre bir x∈X noktasının X deki bir A fuzzy
altkümesinin elemanı olması ya da olmaması durumunun yerine ne derece elemanı
olduğu durumu söz konusudur. Yani µA(x) in 1 e yaklaşması x in A ya üyelik
derecesinin artmasını ve benzer şekilde 0 a yaklaşması üyelik derecesinin azalmasını
ifade eder (Şekil 2.1).
X
A
fA
a.
1
c.
b.
d.
e.
.
0
a
Klasik küme
b
c
d
e
X
Karakteristik fonksiyon
µA
X
A
b.
1
a.
c
0,5
e.
d
0
a
Fuzzy küme
b
c
d
e
Üyelik fonksiyonu
Şekil 2.1 Klasik küme ve Fuzzy küme
Örnek 2.1.1: A ={50 den çok büyük reel sayılar } fuzzy altkümesini µA: R→I
ìï 0
ïï
- 50
mA = í x100
ïï
ïïî 1
, x £ 50
, 50 < x < 150
, x ³ 150
3
X
üyelik fonksiyonu ile tanımlayabiliriz. Buna göre A fuzzy altkümesinin grafiği Şekil 2.2
deki gibi olur.
µA
1
-40
0
50
150
R
0
Şekil 2.2 A fuzzy altkümesinin grafiği
Tanım 2.1.2: X kümesi üzerinde üyelik fonksiyonu µX: X→[0,1] , µX(x) = 1 ,∀ x∈X
X = {(x,1)  x∈X}
şeklinde tanımlanan fuzzy altküme X evrensel kümesidir. Benzer olarak üyelik
fonksiyonu µØ: X→[0,1] , µØ(x) = 0 , ∀ x∈X
Ø ={(x,0)  x∈X}
şeklinde tanımlanan fuzzy altküme fuzzy boş kümedir.
Tanım 2.1.3: A∈FP(X) olsun.
At= {x∈X  µA(x)≥t} ,∀ t∈I
biçiminde tanımlanan At kümesine A nın t-seviye ya da kısaca seviye altkümesi denir.
suppA = {x∈X  µA(x)>0}
kümesine ise A nın dayanağı (support) denir.
Örnek 2.1.2: X={a, b, c, d, e} olsun. A={b, d, e}, X in bir altkümesidir. Üyelik
fonksiyonu
µB:X→I , µB(a)= 0 , µB(b)= 1, µB(c)= 0 , µB(d)= 1 , µB(e)= 1
4
şeklinde verilen B, X in bir fuzzy altkümesidir. Bu durumda B={b ,d ,e}, yani B=A dır.
O halde bir X kümesinin her bir altkümesinin karakteristik fonksiyonu X in bir fuzzy
altkümesidir. X in böyle bir fuzzy altkümesine crisp fuzzy altküme denir.
µC: X→ I , µC(a)= 0.85, µC(b)= 0.3, µC(c)= 0.5, µC(d)= 0.7, µC(e)= 0.15
X in bir fuzzy altkümesidir. C fuzzy altkümesinin altı tane seviye altkümesi vardır.
ìï
ïï
ïï
ïï
ï
C t = ïí
ïï
ïï
ïï
ïï
ïî
X
0 £ t £ 0.15
{a, b, c, d}
{a, c, d}
{a, d}
{a }
Æ
0.15 < t £ 0.3
0.3 < t £ 0.5
0.5 < t £ 0.7
0.7 < t £ 0.85
0.85 < t £ 1
Tanım 2.1.4: λ∈[0,1] olmak üzere üyelik fonksiyonu
ml * : X→ [0,1] , ml * (x) = λ , ∀ x∈X
şeklinde tanımlanan fuzzy altkümeye sabit fuzzy altküme denir.
Şimdi fuzzy altkümeler üzerinde tıpkı klasik kümelerde olduğu gibi bazı temel
işlemlerin nasıl tanımlandığını inceleyelim.
Tanım 2.1.5: A, B∈FP(X) olsun. Bu durumda
(i)
A=B
⇔ µA(x) = µB(x) , ∀ x∈X
( Eşitlik
A⊆B
⇔ µA(x) ≤ µB(x) , ∀ x∈X
( Altküme )
)
(ii)
(iii) C = A ∪ B ⇔ µC(x) = max{µA(x) , µB(x)} , ∀ x∈X
( Birleşim
)
(iv) D = A ∩ B ⇔ µD(x) = min{µA(x) , µB(x)} , ∀ x∈X
( Kesişim
)
(v)
E = Ac
⇔ µE(x) = 1−µA(x) , ∀ x∈X
5
( Tümleyen )
(vi)
F = A\ B
⇔ µF(x) = mAÇBc (x) = min{µA(x) , 1−µB(x)} , ∀ x∈X
( Fark
)
Daha genel olarak A = {Aj  j∈J} bir fuzzy altküme ailesi olmak üzere birleşim
ve kesişim
C = È Aj
⇔ µC(x) = sup{ mAi (x)  j∈J} , ∀ x∈X
D = Ç Aj
⇔ µD(x) = inf{ mAi (x)  j∈J} , ∀ x∈X
jÎ J
jÎ J
şeklinde tanımlanır. Şekil 2.3 de A ve B fuzzy altkümelerinin birleşim, kesişim,
tümleme ve altküme olma durumları gösterilimiştir.
Örnek 2.1.3: X={a,b,c,d} olmak üzere A ve B fuzzy altkümelerinin üyelik
fonksiyonları sırasıyla
µA: X→I , µA(a)= 0.4 , µA(b)= 1 , µA(c)= 0.5 , µA(d)= 0.8
µB: X→I , µB(a)= 0.4 , µB(b)= 0.5 , µB(c)= 0.6 , µB(d)= 0.2
olsun. Bu durumda A∪B, A∩B, A\B fuzzy altkümelerinin üyelik fonksiyonları
µA∪B: X→I , µA∪B(a) = 0.4 , µA∪B(b) = 1 , µA∪B(c) = 0.6 , µA∪B(d) = 0.8.
µA∩B: X→I , µA∩B(a) = 0.4 , µA∩B(b) = 0.5 , µA∩B(c) = 0.5 , µA∩B(d) = 0.2.
µBc: X→I , µBc(a) = 0.6 , µBc(b)= 0.5 , µBc(c) = 0.4 , µBc(d) = 0.8 .
µA\B: X→I , µA\B(a) =0.4 , µA\B(b) = 0.5 , µA\B(c) = 0.4 , µA\B(d) = 0.8.
dır.
6
1
1
B
A
1
A∪B
A
1
A∩B
B
1
1
A⊂ B
B
c
A
A
B
Şekil 2.3 Fuzzy altkümelerde işlemler
X evrensel küme ve A, B, C∈FP(X) olmak üzere fuzzy altkümelerde bazı özellikler
şunlardır:
(i)
A⊆B ⇔ A = A∩B
(ii) A∪ (B∪C) = (A∪B) ∪C
(iii) A∩ (B∩C) = (A∩B) ∩C
(iv) A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
(v)
A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
(vi) (A∪B)c = Ac ∩ Bc
(vii) (A∩B)c = Ac ∪ Bc
7
Burada (vi) ve (vii) için genel olarak, A={Aj  j∈J}, X de bir fuzzy altküme ailesi olmak
üzere ( È Aj)c = Ç Ajc ve ( Ç Aj)c = È Ajc dir. Ayrıca
jÎ J
(i)
jÎ J
jÎ J
jÎ J
Xc = ∅
(ii) ∅c = X
(iii) (Ac)c = A
(iv) A⊆Ac ∨ Ac⊆ A
(v) A⊆B ⇔ Bc⊆Ac
dir. Burada dikkat edilecek olursa (iv)-özelliği klasik kümelerde geçerli değildir, zira klasik
kümelerde bir küme ve onun tümleyen kümesi ayrık iki kümedir. Ayrıca klasik kümelerde
bir küme ile onun tümleyen kümesinin kesişimi boş kümeyi ve birleşimleri evrensel
kümeyi vermesine karşın fuzzy altkümelerde bu durum zorunlu değildir. Bu durumu
aşağıdaki teoremlerle ifade edelim.
Teorem 2.1.1: X de bir A fuzzy altkümesi için A∩Ac = ∅ olmak zorunda değildir.
İspat: Eğer A=X ⇒ ∀ x∈X için µA(x)=1 ve Ac= ∅, µAc(x)=0 olacağından A∩Ac=∅ dır.
Eğer A=∅ ⇒ ∀ x∈X için µA(x) = 0 ve Ac =X , µAc(x) =1 olacağından A∩Ac =∅ dır.
Şimdi A≠X ve A≠∅ olsun. A∩Ac =∅ olduğunu kabul edelim. Buna göre ∀ x∈X için
0 = µ∅ (x) = µ A∩Ac (x)= min{µA(x), µAc(x)} = min{µA(x), 1−µA(x)}
dır. Buradan ∀ x∈X için
µA(x) = 0
ya da 1−µA(x) = 0
µA(x) = 0 ya da
A =∅
ya da
µA(x) = 1
A =X
elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. O halde A∩Ac = ∅ olmak zorunda değildir.
Teorem 2.1.2: X de bir A fuzzy altkümesi için A∪Ac = X olmak zorunda değildir.
İspat: Eğer A=X ⇒ ∀ x∈X için µA(x)=1 ve Ac= ∅, µAc(x)=0 olacağından A∪Ac =X dır.
8
Eğer A=∅ ⇒ ∀ x∈X için µA(x) = 0 ve Ac = X , µAc(x) = 1 olacağından A∪Ac = X dır.
Şimdi A ≠X ve A≠∅ olsun. A∪Ac = X olduğunu kabul edelim. Buna göre ∀ x∈X için
1 = µX(x) = µA∪ Ac (x) = max{µA(x) , µAc(x)} = max{µA(x), 1−µA(x)}
dır. Buradan ∀ x∈X için
µA(x) = 1 ya da 1−µA(x) = 1
µA(x) = 1 ya da µA(x) = 0
ya da A = ∅
A=X
elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. O halde A∪Ac = X olmak zorunda değildir.
1
Ac
1
1
A∪Ac
A∩Ac
A
Şekil 2.4 A∩Ac ve A∪Ac
Bu çalışmanın bundan sonraki bölümlerinde bir A fuzzy altkümesi ile üyelik fonksiyonu µA
arasında bir fark gözetilmeyecek, µA yerine A gösterimi kullanılacaktır. Bu durumda µA:
X→I yerine A: X→I yazılacaktır.
Tanım 2.1.6: X kümesi üzerinde en az bir x∈X noktasında λ ( 0<λ≤1 ), diğer bütün y∈X
noktalarında 0 değerini alan bir fuzzy altkümeye X de bir fuzzy nokta denir ve xλ ile
gösterilir. Burada x noktası xλ nın dayanağıdır.
Tanım 2.1.7: A∈FP(X) ve xλ , X de bir fuzzy nokta olsun. Eğer
λ ≤ A(x)
ise xλ fuzzy noktası A tarafından kapsanır denir ve xλ∈A ile gösterilir.
9
Bu durumda her A fuzzy altkümesi kapsadığı bütün xλ fuzzy noktalarının birleşimi şeklinde
ifade edilebilir.
Tanım 2.1.8: X1, X2,…, Xn boştan farklı kümeler ve A1, A2,…, An sırasıyla bu kümeler
üzerinde fuzzy altkümeler olsun. Buna göre X1× X2×…× Xn üzerinde
A1× A2×…× An çarpım fuzzy altkümesi her (x1, x2,…, xn)∈X1× X2×…× Xn için
mA1 ´
mA1 ´
A 2 ´ ...´ A n
A 2 ´ ...´ A n
: X1× X2×…× Xn→[0,1]
(x1, x2,…, xn) = min{ A1(x1), A2(x2),…, An(xn) }
üyelik fonksiyonu ile tanımlanır.
Özel olarak n =2 ve i =1,2 için Xi =X aldığımızda X×X üzerinde fuzzy çarpım kümesi
benzer şekilde tanımlanır.
Tanım 2.1.9: X boştan farklı bir küme olsun. X üzerinde bir β ikili fuzzy bağıntı X×X in
bir fuzzy altkümesidir. Bu durumda β, β: X×X→[0,1] şeklinde bir dönüşümdür.
X üzerinde ikili fuzzy bağıntı n-li fuzzy bağıntıya genişletilebilir. Bu durumda
Xn = X×X×…×X olmak üzere β n-li fuzzy bağıntı Xn de bir fuzzy altküme, yani
β: Xn→[0,1] şeklinde bir dönüşüm olacaktır.
Tanım 2.1.10: X boştan farklı bir küme ve β, β1, β2 , X de ikili fuzzy bağıntılar olsun.
(i)
∀ x∈X için β(x, x) =1 ise β ya yansımalıdır denir.
(ii) ∀ x, y∈X için β(x, y) = β(y, x) ise β ya simetriktir denir.
(iii) β1, β2 ikili fuzzy bağıntılarının birleşimi β1o β2 her x, y∈X için
β1o β2 (x, y) = sup{min{ β1(x, z), β2(z, y) } z∈X}
şeklinde tanımlanır.
(iv) Eğer βoβ ≤ β ise β ya geçişlidir denir.
10
Tanım 2.1.11: X boştan farklı bir küme olmak üzere, X de
(i)
Yansımalı
(ii) Simetrik
(iii) Geçişli
bir β fuzzy bağıntısına fuzzy denklik bağıntısı denir.
2.2 Fuzzy Altkümelerin Bir Fonksiyon Altındaki Görüntüsü ve Ters Görüntüsü
Tanım 2.2.1: f: X→Y bir fonksiyon ve BFP(Y) olsun. Bu durumda B nin f altındaki ters
görüntüsü X de f–1(B) ile gösterilen ve
f–1(B)(x) = B(f(x)) ,∀ xX
şeklinde tanımlanan bir fuzzy altkümedir
Tersine AFP(X) olsun. Bu durumda A nin f altındaki görüntüsü Y de f(A) ile
gösterilen ve
ìï sup{A(z) : z Î f - 1 (y)}
f (A)(y) = ïí
ïïî
0
, f - 1 (y) ¹ Æ
, f - 1 (y) = Æ
,
∀ yY
şeklinde tanımlanan bir fuzzy altkümedir. Burada f–1(y)={x f(x) = y} dir.
Örnek 2.2.1: X ={x1, x2, x3, x4} ve Y ={1, 2, 3} iki küme ve f: X→Y fonksiyonu
f(x1) = 3, f(x2) =1, f(x3) = 2, f(x4) = 1
şeklinde verilsin.
Bu durumda Y de bir B:Y→I, B(1)= 0.1, B(2)= 0.2, B(3)= 0 fuzzy altkümesi için X de f–
1
(B) fuzzy altkümesi
f–1(B)(x1) = B(f(x1)) = B(3) = 0
f–1(B)(x2) = B(f(x2)) = B(1) = 0.1
f–1(B)(x3) = B(f(x3)) = B(2) = 0.2
11
f–1(B)(x4) = B(f(x4)) = B(1) = 0.1
şeklinde elde edilir.
X de bir A:X→I, A(x1)= 0.9, A(x2)= 0.2, A(x3)= 0.5, A(x4)= 0 fuzzy altkümesi için Y de
f(A) fuzzy altkümesi
f(A)(1) = max{A(x)  xf–1(1)}= max{A(x2), A(x4)  x2, x4f–1(1)} = 0.2
f(A)(2) = max{A(x)  xf–1(2)}= {A(x3)  x3f–1(2)}= 0.5
f(A)(3) = max{A(x)  xf–1(3)}= {A(x1)  x1f–1(3)}= 0.9
dir. Burada X sonlu sayıda elemana sahip olduğu için supremum yerine maksimum
kullanılır.
Teorem 2.2.1: f: X→Y bir dönüşüm olsun. Bu durumda
(i) A1,A2 FP(X) için A1 ⊆ A2 ⇒ f(A1) ⊆ f(A2) dir.
(ii) B1,B2 FP(Y) için B1 ⊆ B2 ⇒ f–1(B1) ⊆ f–1(B2) dir.
(iii) Her A FP(X) için A ⊆ f–1(f(A)) dir.
(vi) f birebir ise her AFP (X) için A = f–1(f(A))dir.
(v) Her BFP(Y) için B ⊇ f (f–1(B)) dir.
(vi) f örten ise her BFP(Y) için B = f (f–1(B) ) dir.
(vii) Her AFP(X) ve her BFP(Y) için f(A)⊆ B ⇔ A⊆ f–1(B)
(viii) f: X→Y ve g:Y→Z iki dönüşüm olsun. gof bileşke dönüşüm olmak üzere her
AFP(X) için (gof)(A)= g(f(A)) dir.
f: X→Y ve g:Y→Z iki dönüşüm olsun. gof bileşke dönüşüm olmak üzere her
(ix)
CFP(Z) için (gof) –1(C) = f–1(g–1(C)) dir.
İspat:
(i) f(A1)(y) = sup {A1(z)} ve f(A2)(y) = sup {A2(z)}
zÎ f –1 (y)
zÎ f –1 (y)
dir. A1 ⊆ A2 olduğuna göre her yY için
f(A1)(y) ≤ f(A2)(y)
dir. Böylece f(A1)⊆ f(A2) dir.
12
(ii) Her xX için
f–1(B1)(x) = B1(f(x)) ve f–1(B2 )(x) = B2(f(x))
dir. B1⊆ B2 olduğuna göre her xX için
f–1(B1)(x) ≤ f–1(B2)(x)
dir. Böylece f–1(B1) ⊆ f–1(B2) elde edilir.
(iii) Her xX için
f–1(f(A))(x) = f(A)(f(x)) =
sup
{A(z)}≥ A(x)
zÎ f –1 (f (x ))
dir. O halde A⊆ f–1(f(A)) dır.
(iv) f birebir ise her xX için
f–1(f(A))(x) =
sup
{A(z)} = A(x)
zÎ f –1 (f (x ))
dir. O halde A= f–1(f(A)) dir.
(v) Eğer f–1(y) boştan farklı ise
f(f–1(B))(y) = sup {f–1(B)(x)} = sup {B(f(x))} = B(y)
xÎ f –1(y)
xÎ f –1 (y)
dir. Eğer f–1(y) boş ise
f(f–1(B))(y) = 0
dır. O halde her yY için f (f–1(B))(y)≤ B(y) ve böylece B⊇ f(f–1(B)) dir.
(vi) f örten ise her yY için f (f–1(B))(y) = B(y) dir.
(vii) f(A)⊆B
(ii) den
Û
f –1(f(A))⊆ f –1(B)
(iii) den
Û
A⊆ f–1(f(A))⊆ f –1(B) ⇔ A⊆ f –1(B) dir.
(viii) Her zZ ve AFP(X) için
(gof) (A)(z) = sup{A(x) x(gof)–1(z)}
= sup{sup{A(x) xf –1(y)} yg–1(z)}
= sup{f(A)(y)  yg–1(z)}
= g(f(A))(z)
dir. Yani (gof) (A) = g (f(A)) elde edilir.
13
(ix) Her xX ve CFP(Z) için
(gof )–1(C)(x) = C(gof (x)) = C (g (f (x))) = g–1(C)(f(x)) = f–1(g–1(C))(x)
dir. Yani (gof)–1(C) = f–1(g–1(C)) elde edilir.
Teorem 2.2.2: f: X→Y bir fonksiyon olsun. Bu durumda
(i) Her AFP(X) için f(Ac)⊇ f(A)c dir.
(ii) Her BFP(Y) için f–1(Bc) = (f–1(B))c dir.
İspat: (i) Her bir yY için eğer f–1(y) ¹ Æ ise
f(Ac)(y) = sup{Ac(z)  zf–1(y)} = sup{1−A(z)  zf–1(y)} = 1− inf{A(z)  zf–1(y)}
ve
f(A)c(y) = 1−f(A)(y) = 1−sup{A(z)  zf–1(y) }
dir. O halde
f (Ac)(y) ≥ f (A)c (y)
dir ve f (Ac)⊇ f(A)c elde edilir.
(ii) Her xX için
f–1(Bc)(x) = Bc(f(x)) = 1−B(f(x)) = 1− f–1(B)(x) = (f–1(B))c(x)
dir. O halde f–1(Bc) = (f–1(B))c olur.
Önerme 2.2.1: f: X→Y bir fonksiyon, {Ai} iI, X de bir fuzzy altküme ailesi ve {Bi} iI,
Y de bir fuzzy altküme ailesi olsun. Bu durumda
(i) f–1(∪iI Bi) = ∪iI f–1(Bi)
(ii) f–1(∩iI Bi) = ∩iI f–1(Bi)
(iii) f (∪iI Ai) = ∪iI f(Ai)
(vi) f (∩iI Ai) ⊆ ∩iI f(Ai)
dir (Foster 1979).
14
Tanım 2.2.2: f1: X1→Y1 ve f2: X2→Y2 fonksiyonları için
(f1×f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2 (x2)) ,∀ (x, x2)X1×X2
şeklinde tanımlanan f1×f2: X1×X2→Y1×Y2 fonksiyonuna f1 ve f2 fonksiyonlarının çarpım
fonksiyonu denir.
Benzer olarak (f1×f2)-1: Y1×Y2→X1×X2 fonksiyonu
(f1×f2)-1(y1, y2) = (f1–1(y1), f2–1(y2)) ,∀ (y1, y2)Y1×Y2
ile tanımlanır.
Tanım 2.2.3: S bir küme ve f: S→f(S) bir fonksiyon olsun. S nin µ fuzzy altkümesi her
x,y∈S için
f(x) = f(y) ⇒ µ(x) = µ(y)
şartını sağlıyorsa µ ye f-invaryant denir.
3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR
3.1 Fuzzy Topoloji, Komşuluk Sistemleri ve Tabanlar
15
Bilindiği gibi klasik topolojik uzaylar teorisinde uzaylar arasındaki ilişkiler ya da
fonksiyonların sürekliliği gibi temel inceleme alanları açık kümeler yardımı ile
belirlenebilmektedir. Fuzzy topolojik uzaylarda da benzer durum söz konusudur. Bu
kısımda bunları inceleyeceğiz.
Tanım 3.1.1: X bir küme, T⊆FP(X) olsun. Eğer T
(T - i) Ø, XT
(T -ii) A, BT ⇒ A∩BT
(sonlu kesişim)
(T - iii) AiT ,∀ iI ⇒ U AiT
(keyfi birleşim)
iÎ I
şartlarını sağlıyorsa T ye X üzerinde bir fuzzy topoloji denir. (X,T) çiftine fuzzy topolojik
uzay, T nin elemanlarına ise T–fuzzy açık altkümeler denir. Tümleyeni T– fuzzy açık olan
bir fuzzy altkümeye T–fuzzy kapalı altküme denir.
Aksi belirtilmedikçe bir T–fuzzy açık (T–kapalı) altküme yerine kısaca T–açık (kapalı)
diyeceğiz.
X üzerinde iki topoloji T1 ve T2 olsun. Eğer T1⊆T2 ise T1, T2 den daha kabadır ya da T2, T1
den daha incedir denir.
Klasik topolojik uzaylarda olduğu gibi en kaba (indiscerete) fuzzy topoloji Tt ={X, Ø} ve
en ince (discrete) fuzzy topoloji Td = FP(X) dir.
Tanım 3.1.2: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer X in bütün sabit fuzzy altkümeleri
T–açık ise (X,T) ye fully stratified uzay denir.
Bu durumda bir (X,T) fully stratified uzayında
∀ λ∈[0,1] için λ*:X→[0,1], λ*(x)=λ olmak üzere λ*∈T
dir.
Tanım 3.1.3: (X,T) fuzzy topolojik uzay, U∈FP(X) ve xλ X de bir fuzzy nokta olsun.
Eğer
xλ∈O⊆U
olacak şekilde bir O∈T var ise U ya xλ fuzzy noktasının komşuluğu denir.
16
xλ nın bütün komşuluklarının oluşturduğu aileye xλ nın komşuluk sistemi denir ve Υ(xλ) ile
gösterilir.
Tanım 3.1.4: (X,T) fuzzy topolojik uzay, A, U∈FP(X) olsun. Eğer
A⊆O⊆ U
olacak şekilde bir O∈T var ise U ya A fuzzy altkümesinin komşuluğu denir.
A fuzzy altkümesinin bütün komşuluklarının oluşturduğu aileye A nın komşuluk sistemi
denir.
Tanım 3.1.5: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay, xλ bir fuzzy nokta ve A∈FP(X) olsun. Eğer
λ >Ac(x)
veya λ +A(x) >1
ise xλ fuzzy noktasına A fuzzy altkümesi ile “quasi- coincident ” dir denir ve
xλqA şeklinde gösterilir.
Tanım 3.1.6: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay, A, B∈FP(X) olsun. Eğer
A(x) > Bc(x)
veya
A(x)+B(x) > 1
olacak şekilde bir x∈X var ise A ile B “quasi-coincident ” dir denir ve AqB şeklinde
gösterilir.
A ile B bir x noktasında quasi-coincident ise açık olarak hem A(x) hem de B(x) sıfırdan
farklıdır. Bu durumda A ve B fuzzy altkümeleri bu x noktasında kesişir ((A∩B)(x)≠∅) .
Tanım 3.1.7: (X,T) fuzzy topolojik uzay U∈FP(X) ve xλ , X de bir fuzzy nokta olsun. Eğer
xλqO ⊆U
olacak şekilde bir O∈T varsa U fuzzy altkümesine xλ fuzzy noktasının bir Q-komşuluğu
denir.
xλ nın bütün Q-komşuluklarının oluşturduğu aileye xλ nın Q-komşuluk sistemi denir ve
ΥQ(xλ) ile gösterilir.
17
Dikkat edilmelidir ki bir fuzzy noktanın Q-komşuluğu noktanın kendisini içermek zorunda
değildir. Ayrıca genel topolojide A ile Ac kesişmez. Bölüm 2.1 de fuzzy kümeler için bu
durumun zorunlu olmadığını göstermiştik. Bununla birlikte fuzzy topolojide A ile Ac quasicoincident olamaz. Zira tanımdan A(x)+Ac(x)=1 dir. Aşağıdaki önerme bu durumu
karakterize etmektedir.
Önerme 3.1.1: A, B∈FP(X) olsun. Bu durumda
(i) A⊆B ⇔ A ve Bc quasi- coincident değildir.
(ii) xλ∈A ⇔ xλ ve Ac quasi- coincident değildir.
İspat: (i) A⊆B ⇔ A(x)≤B(x) , ∀ x∈X ⇔ A(x)+Bc(x) = A(x)+1−B(x) ≤ 1 , ∀ x∈X ⇔ A
ve Bc quasi- coincident değildir.
(ii) xλ∈A ⇔ λ≤A(x) ⇔ λ+Ac(x)= λ+1−A(x)≤ 1 ⇔ xλ ve Ac quasi-coincident değildir.
Şimdi aşağıdaki teoremle bir komşuluk ailesinin klasik topolojik uzaylarda sağladığı temel
özelliklere benzer özelliklerin fuzzy topolojik uzaylarda da sağlandığını gösterelim.
Teorem 3.1.1: (X,T) fuzzy topolojik uzay, xλ bir fuzzy nokta olsun. Bu durumda
(i) U∈ΥQ(xλ) ⇒ xλqU dir.
(ii) U, V∈ΥQ(xλ) ⇒ U∩V∈ΥQ(xλ) dir.
(iii) U∈ΥQ(xλ) ve U⊆V ⇒ V∈ΥQ(xλ) dir.
(iv) U∈ΥQ(xλ) ⇒ ∃ V∈ΥQ(xλ) öyle ki V⊆U ve ∀ yρqV için V∈ΥQ(yρ) dir.
Diğer taraftan ΥQ(xλ), X de her bir xλ fuzzy noktası için yukarıdaki (i)-(iii) şartlarını
sağlayan fuzzy altkümelerin ailesi olsun. Bu durumda xλqU olan bütün U∈ΥQ(xλ) fuzzy
altkümelerinin oluşturduğu T ailesi, X için bir fuzzy topolojidir. Ayrıca ΥQ(xλ) yukarıdaki
(iv) şartını da sağlıyorsa ΥQ(xλ), xλ nın T ye göre Q-komşuluk ailesidir.
18
Bu teoremin ifadesi bir xλ fuzzy noktasının komşuluk ailesi için de geçerlidir (Ming and
Ming 1980a).
Teorem 3.1.2: (X,T) fuzzy topolojik uzay, A∈FP(X) olsun. Bu durumda
A∈T ⇔ ∀ B⊆A, B∈FP(X) için A, B nin bir komşuluğudur.
İspat: ⇒ A∈T ve B⊆ A ise Tanım 3.1.4 den dolayı A, B nin bir komşuluğudur.
⇐A⊆A olduğuna göre ∃ O∈T öyle ki A⊆O⊆A dır. O halde A=O ve A∈T dir.
Teorem 3.1.3: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay ve A∈FP(X) olsun. Bu durumda
Herhangi bir xλqA için A, xλ nın Q-komşuluğu ise A fuzzy açıktır.
İspat: xλqA ve A, xλ nın Q-komşuluğu olsun. Bu durumda
xλq G xl ve G xl ⊆A
olacak şekilde bir G xl ∈T vardır. A1=
U Gx
l
diyelim. Açık olarak
x l qA
A1⊆A ve A1∈T
dir. Şimdi A(x)= t ve t′=1-t ve diyelim. Ayrıca t′< ti′≤ 1 ve lim t i¢= t′ olmak üzere { t i¢}
i® ¥
azalan bir dizi olsun. Bu durumda her t i¢için
A(x) + t i¢=t+ t i¢>t+ t′=1
olduğuna göre x t ¢ qA dır. O halde A, x t ¢ nin bir Q-komşuluğudur. Bu durumda
i
i
x t ¢ q Ox
i
t i¢
ve O x ⊆A
ti¢
olacak şekilde bir O x ∈T vardır. Benzer şekilde ti=1- t i¢ olmak üzere { ti }, lim ti=t artan
i® ¥
ti¢
bir dizidir. O x (x) + t i¢>1 olduğuna göre
t i¢
19
O x (x) > ti
ti¢
dir. Ayrıca O x ⊆ A1 olduğuna göre A1(x) > ti ve buradan
t i¢
A1(x) > t
elde edilir. x keyfi bir eleman olduğuna göre A⊆A1 dir. Bu durumda A=A1 ve A fuzzy
açıktır.
Tanım 3.1.8: (X,T) fuzzy topolojik uzay, A∈FP(X) olsun. A nın kapsadığı bütün fuzzy
açık altkümelerin birleşimine A nın içi denir ve
o
A = U {O O⊆A ve O∈T }
ile gösterilir.
o
o
o
o
A , A nın kapsadığı en geniş açık fuzzy altkümedir ve aşikâr olarak ( A ) = A dir.
Tanım 3.1.9: (X,T) fuzzy topolojik uzay, A∈FP(X) olsun. A yı kapsayan bütün fuzzy
kapalı altkümelerin kesişimine A nın kapanışı denir ve
A = I {F A⊆ F ve Fc∈T}
ile gösterilir.
A , A yı kapsayan en dar fuzzy kapalı kümedir ve aşikar olarak ( A ) = A dır.
Tanım 3.1.10: (X,T) fuzzy topolojik uzay, A∈FP(X) olsun. Ac nin kapsadığı bütün fuzzy
açık altkümelerin birleşimine A nın dışı denir ve
·
A = U {O O⊆Ac ve O∈T }
·
ile gösterilir. Açık olarak A = ( A )c dir.
Tanım 3.1.11: (X,T) fuzzy topolojik uzay, A∈FP(X) olsun. A nın ve Ac nin kapanışlarının
kesişimindeki bir xλ fuzzy noktasına A nın sınır noktası denir ve sınır noktalarının kümesi
∂A = { xλ  xλ∈ A I A c }
20
ile gösterilir.
Teorem 3.1.4: (X,T) fuzzy topolojik uzay, xλ bir fuzzy nokta olsun. Bu durumda
o
(i) xλ∈ A ⇔ ∃ U∈Υ(xλ) ∑ U⊆A
(ii) xλ∈ A ⇔ " U∈ΥQ(xλ) için UqA
dir (Ming and Ming 1980a).
Teorem 3.1.5: (X,T) fuzzy topolojik uzay ve A∈FP(X) olsun. Bu durumda
o
c
(
o c
(i) A = (A c ) , A = (A c )
)
c
o
c
æo ö
, (A) = (A c ), (A c )= ççA÷
÷
è ÷
ø
(ii) A ⊇ ∂A∪A
dır (Ming and Ming 1980a).
Teorem 3.1.6: (X,T) fuzzy topolojik uzay ve A∈ FP(X) olsun. Bu durumda
o
A∈T ⇔ A= A
o
o
o
o
o
İspat: A∈T ise A⊆ A dır. Ayrıca A ⊆A olduğuna göre A= A dır. Tersine A= A ise A ∈T
olduğuna göre A∈T dir.
Tanım 3.1.12: (X,T) fuzzy topolojik uzay ve A Î FP(X) olsun. Bu durumda A ya
indirgenmiş fuzzy topoloji TA,
X deki fuzzy açık altkümelerin A ile arakesitlerinin
oluşturduğu ailedir.
TA={O′ O′=O Ç A, O∈T}
(A,TA) çiftine (X,T) nın bir fuzzy alt uzayı denir.
Tanım 3.1.13: (X,T) fuzzy topolojik uzay,
ΥQ(xλ), xλ fuzzy noktasının Q-komşuluk
sistemi olsun. ΥQ(xλ) nın bir ΒQ(xλ) alt ailesi
∀ U∈ΥQ(xλ) için ∃ B∈ΒQ(xλ) ∑ B⊆U
şartını sağlıyorsa ΒQ(xλ) ya ΥQ(xλ) nın bir Q-komşuluk tabanı denir.
21
Tanım 3.1.14: (X,T) fuzzy topolojik uzay ve Υ(xλ), xλ fuzzy noktasının komşuluk sistemi
olsun. Υ(xλ) nın bir Β(xλ) alt ailesi
∀ U∈Υ(xλ) için ∃ B∈Β(xλ) ∑ B⊆U
şartını sağlıyorsa Β(xλ) ya Υ(xλ) nın bir komşuluk tabanı denir.
Önerme 3.1.2: (X,T) bir fully stratified uzay ve ΒQ(xλ), xλ fuzzy noktasının bir Q-
komşuluk tabanı olsun. Bu durumda
inf{B(x) B∈ΒQ(xλ)} = 1-λ= λ′
dir (Liang and Hai 1984).
Önerme 3.1.3: (X,T) bir fully stratified uzay ve ΒQ(xλ), xλ nın bir Q-komşuluk tabanı
olsun. Bu durumda
Βλ = { Bλ Bλ = B∩λ*, λ=sup{B(x)}, B∈ΒQ(xλ) }
ailesi de xλ nın bir Q-komşuluk tabanıdır (Liang and Hai 1984).
Tanım 3.1.14: (X,T) fuzzy topolojik uzay ve Β, T nin bir alt ailesi olsun. T nin her elemanı
Β nin bazı elemanlarının birleşimi şeklinde ifade edilebiliyorsa Β ye T fuzzy topolojisi için
bir tabandır denir. Yani
∀ G∈T için ∃ ΒG⊆Β ∑ G=
U
B
BÎ B G
dir.
Tanım 3.1.15: (X,T) fuzzy topolojik uzay, (A,TA), (X,T) nın fuzzy alt uzayı ve ΒA, TA nın
bir alt ailesi olsun. TA nın her elemanı ΒA nin bazı elemanlarının birleşimi şeklinde ifade
edilebiliyorsa ΒA alt ailesine TA indirgenmiş fuzzy topolojisi için bir tabandır denir.
(X,T) fuzzy topolojik uzayında Β, T için bir taban ise
ΒA={B′ B′=B Ç A, B∈Β }
(A,TA) fuzzy alt uzayında TA için bir tabandır.
22
Tanım 3.1.16: (X,T) fuzzy topolojik uzay, Σ⊆T olsun. Σ nin bütün elemanlarının sonlu
kesişimlerinin oluşturduğu aile T için bir taban oluyorsa Σ ye T fuzzy topolojisi için bir alt
tabandır denir. Yani
Β ={ I Φ  Φ, Σ nin sonlu bir alt ailesi}
T için bir tabandır.
Önerme 3.1.4: X boştan farklı bir küme, J bir indeks kümesi ve A={Aj j∈J} X de bir
fuzzy altküme ailesi olsun. Bu durumda
xλq U A ⇔ ∃ Aj∈A ∑ xλqAj
İspat:
xλq U A ⇔ U A(x)+λ>1
⇔ sup Aj(x) +λ>1
jÎ J
⇔ ∃ j∈J ∑ Aj(x)+λ>1 ⇔ ∃ Aj∈A ∑ xλqAj
Önerme 3.1.5: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay ve Β, T nin bir alt ailesi olsun. Bu durumda
Β, T için bir tabandır ⇔ ∀ xλ ve ∀ U∈ΥQ(xλ) için xλqB⊆U
olacak şekilde bir B∈Β vardır.
(Ming and Ming 1980a).
Tanım 3.1.17: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay, B∈FP(X) ve Α, X in fuzzy altkümelerin bir
ailesi olsun. Eğer
B⊆ ∪{A A∈Α}
ise Α ailesi B fuzzy altkümesi için bir örtüdür denir.
Her bir elemanı açık olan örtüye açık örtü ve Α örtüsünün kendisi de bir örtü olan alt
ailesine alt örtü denir.
23
Tanım 3.1.18: Bir (X,T) fuzzy topolojik uzayına her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü
varsa kompakt denir.
3.2 F-Sürekli Fonksiyonlar
Tanım 3.2.1: (X,T1) ve (Y,T2) fuzzy topolojik uzaylar ve f :(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm
olsun. Eğer
∀ G∈T2 için f–1(G)∈T1
oluyorsa f ye fuzzy sürekli ya da kısaca F-süreklidir denir.
FC(X,Y) ile (X,T1) fuzzy topolojik uzayından (Y,T2) fuzzy topolojik uzayına F-sürekli
dönüşümlerin kümesini gösterelim.
Tanım 3.2.2: (X,T1), (Y,T2) fuzzy topolojik uzaylar ve f: (X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm
olsun. Bu durumda f(xλ)=f(x)λ fuzzy noktasının herhangi bir V Q-komşuluğu (komşuluğu)
için xλ nın
f(U)⊆ V
olacak şekilde bir U Q-komşuluğu (komşuluğu) varsa f ye xλ fuzzy noktasında Qkomşuluğa (komşuluğa) göre F-süreklidir denir.
Teorem 3.2.1: f :(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm olsun. Bu durumda
(i) f, F-süreklidir.
(ii) f, herhangi bir xλ fuzzy noktasında Q-komşuluğa göre F-süreklidir.
(iii) f, herhangi bir xλ fuzzy noktasında komşuluğa göre F-süreklidir.
ifadeleri denktir (Liang and Hai 1984).
Teorem 3.2.2: f : (X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm olsun. Bu durumda
(i)
f, F-süreklidir
24
(ii) Her K∈FP(Y) T2-fuzzy kapalı altkümesi için f–1(K) T1–fuzzy kapalıdır.
(iii) Her A∈FP(X) için f(A) nın herhangi bir komşuluğunun ters görüntüsü A nın bir
komşuluğudur.
Her A∈FP(X) ve f(A) nın herhangi bir V komşuluğu için A nın f(U)⊆V olacak
(iv)
şekilde bir U komşuluğu vardır.
ifadeleri için (i) ⇔ (ii), (iii) ⇔ (iv), (i) ⇒(iii) dir.
İspat:
(i)⇔(ii) Teorem 2.2.2 den dolayı her G∈FP(Y) için (f–1(G))c =f–1(Gc) dir. Buna göre
f, F-süreklidir ⇔ ∀ G∈T2 için f–1(G)∈T1
⇔ ∀ G∈T2 için (f–1(G))c T1–kapalıdır
⇔ ∀ Gc T2–kapalı için f–1(Gc)= (f–1(G))c T1–kapalıdır
⇔ ∀ K T2–kapalı için f–1(K) T1–kapalıdır
(i)⇒(iii) f, F- sürekli, A∈FP(X) ve V, f(A) nın herhangi bir komşuluğu olsun. Bu durumda
V, f(A) nın açık bir W komşuluğunu içerir. Yani
f(A)⊆W⊆V
dır. O halde
A⊆ f–1( f(A)) ⊆ f–1(W) ⊆ f–1(V)
yazabiliriz. f, F- sürekli olduğuna göre f–1(W)∈T1 dir ve buradan
A⊆f–1(W)⊆f–1(V)
elde edilir. Böylece f–1(V), A nın bir komşuluğudur.
(iii)⇒(iv) f–1(V), A nın bir komşuluğu olduğuna göre U = f–1(V) alınırsa
f(U)= f (f–1(V))⊆V
elde edilir.
(iv)⇒(iii) V, f(A) nın herhangi bir komşuluğu olsun. Kabulden dolayı A nın f(U)⊆V
olacak şekilde bir U komşuluğu vardır. Bu durumda
25
U⊆f–1(f(U))⊆f–1(V)
olduğuna göre f–1(V), A nın bir komşuluğudur.
Teorem 3.2.3: f :(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm olsun. Bu durumda
(i) f, F-süreklidir
(ii) Her A∈FP(X) için f( A )⊆ f (A) dir
(iii) Her B∈FP(Y) için f - 1 (B) ⊆f -1 ( B ) dir
ifadeleri denktir (Ming and Ming 1980b).
Önerme 3.2.1: f:(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm ve Β2, T2 nin bir tabanı olsun. Bu durumda
f, F-süreklidir ⇔ Β2 nin her B elemanı için f–1(B) T1–açıktır.
(Foster 1979).
Tanım 3.2.3: (X,T1) ve (Y,T2) iki fuzzy topolojik uzay, f :(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm ve
(A,T1A), (B,T2B) sırasıyla (X,T1), (Y,T2) fuzzy topolojik uzaylarının fuzzy alt uzayları ve
f(A)⊆B olsun. Eğer
∀ V′∈T2B için f-1(V′) I A∈T1A
ise f ye rölatif fuzzy sürekli ya da kısaca rölatif F-sürekli denir.
Önerme 3.2.2: f: (X,T1)→(Y,T2) F-sürekli, (A,T1A) ve (B,T2B) sırasıyla (X,T1) ve (Y,T2)
fuzzy topolojik uzaylarının fuzzy alt uzayları ve f(A)⊆B olsun. Bu durumda
f :(A,T1A)→(B,T2B) rölatif F-süreklidir.
İspat: G′∈T2B olsun. Bu durumda G′=G I B olacak şekilde bir G∈T2 vardır. Buradan
f–1(G′) I A = f–1(G I B) I A = f–1(G) I f–1(B) I A = f–1(G) I A
dir. Ayrıca f–1(G) Î T1 olduğuna göre f–1(G′) I A∈T1A elde edilir.
26
Önerme 3.2.3: f:(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm (A,T1A) ve (B,T2B) sırasıyla (X,T1) ve (Y,T2)
fuzzy topolojik uzaylarının fuzzy alt uzayları ve Β2B , T2B nin bir tabanı olsun. Bu durumda
f, rölatif F-süreklidir ⇔ Β2B nin her B′ elemanı için f–1(B′) I A T1A –açıktır
(Foster 1979).
Önerme 3.2.4: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay olmak üzere iX: (X,T)→(X,T) özdeşlik
dönüşümü F-süreklidir (Foster 1979).
Teorem 3.2.4: (X,T1), (Y,T2) , (Z,T3) fuzzy topolojik uzaylar ve f :(X,T1)→(Y,T2) ve g
:(Y,T2)→(Z,T3) F-sürekli dönüşümler olsun. Bu durumda
gof :(X,T1)→(Z,T3)
F-sürekli bir dönüşümdür (Foster 1979).
Teorem 3.2.5: (A,T1A), (B,T2B), (C,T3C) sırasıyla (X,T1), (Y,T2), (Z,T3) fuzzy topolojik
uzaylarının fuzzy alt uzayları ve f: (A,T1A)→(B,T2B) ve g :(B,T2B)→(C,T3C) rölatif Fsürekli dönüşümler olsun. Bu durumda
gof: (A,T1A)→(C,T3C)
rölatif F-sürekli bir dönüşümdür.
İspat: W′∈T3C olsun. Bu durumda
g-1(W′) I B∈T2B
ve f-1(g-1(W′) I B) I A∈T1A
dır. Ayrıca
(gof)-1(W′) I A = f–1(g–1(W′) I B) I A
olduğuna göre gof rölatif F-süreklidir.
Tanım 3.2.4: (X,T1) ve (Y,T2) fuzzy topolojik uzaylar, f: (X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm
olsun. Eğer
∀ U∈T1 için f (U)∈T2
ise f ye fuzzy açık ya da kısaca F- açık denir.
27
Tanım 3.2.5: (X,T1) ve (Y,T2) fuzzy topolojik uzaylar, f: (X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm
olsun. Bu durumda xλ fuzzy noktasının herhangi bir U Q-komşuluğu (komşuluğu) için
f (xλ)= f(x)λ nın
V⊆ f(U)
olacak şekilde bir V Q-komşuluğu (komşuluğu) varsa f ye xλ
fuzzy noktasında Q-
komşuluğa (komşuluğa) göre F-açıktır denir.
Teorem 3.2.6: f : (X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm olsun. Bu durumda
(i)
f, F-açıktır.
(ii) f, herhangi bir xλX fuzzy noktasında Q-komşuluğa göre F-açıktır.
(iii) f, herhangi bir xλX fuzzy noktasında komşuluğa göre F-açıktır.
ifadeleri denktir (Liang and Hai 1984).
Tanım 3.2.6: (X,T1) ve (Y,T2) iki fuzzy topolojik uzay, f :(X,T1)→(Y,T2) bir dönüşüm ve
(A,T1A), (B,T2B) sırasıyla (X,T1), (Y,T2) fuzzy topolojik uzaylarının fuzzy alt uzayları ve
f(A)⊆B olsun. Eğer
U′T1A için f(U′)∈T2B
ise f ye rölatif fuzzy açık denir.
Teorem 3.2.7: (X,T1), (Y,T2) , (Z,T3) fuzzy topolojik uzaylar ve f :(X,T1)→(Y,T2) ve g
:(Y,T2)→(Z,T3) F-açık dönüşümler olsun. Bu durumda
gof :(X,T1)→(Z,T3)
F-açık bir dönüşümdür (Foster 1979).
Teorem 3.2.8: (A,T1A), (B,T2B), (C,T3C) sırasıyla (X,T1), (Y,T2), (Z,T3) fuzzy topolojik
uzaylarının fuzzy alt uzayları ve f: (A,T1A)→(B,T2B) ve g :(B,T2B)→(C,T3C) rölatif F-açık
dönüşümler olsun. Bu durumda
gof: (A,T1A)→(C,T3C)
rölatif F-açık bir dönüşümdür (Foster 1979).
28
Tanım 3.2.7: f: (X,T1)→(Y,T2) birebir örten dönüşümüne F-sürekli ve F-açık ise fuzzy
homeomorfizm ya da kısaca F- homeomorfizm denir.
İki fuzzy topolojik uzay arasında bir F-homeomorfizm varsa bu uzaylara Fhomeomorfiktirler denir.
Tanım 3.2.8: f: (A,T1A)→(B,T2B) birebir örten dönüşümüne f(A)=B, rölatif F-sürekli ve
rölatif F-açık ise rölatif fuzzy homeomorfizm ya da kısaca rölatif F-homeomorfizm denir.
Teorem 3.2.9: f: (X,T) ® (Y,V) F-sürekli, örten bir dönüşüm ve (X,T) kompakt olsun. Bu
durumda (Y,V ) de kompakttır.
İspat: B, Y nin açık bir örtüsü olsun. Bu durumda ∀ x∈X için
- 1
(B)(x)} =
U f - 1 (B) (x) = Bsup{f
ÎB
BÎB
sup{B(f (x))} = 1
BÎB
dir. O halde B∈ B için f–1(B) biçimindeki fuzzy altkümelerin ailesi, X in sonlu bir alt aileye
sahip açık bir örtüsüdür. Ayrıca f örten olduğuna göre f(f–1(B))= B dir. Böylece X in sonlu
alt örtüsünün elemanlarının f altındaki görüntüleri B nin Y yi örten sonlu bir alt ailesidir.
Sonuç olarak Y kompakttır.
3.3 Çarpım Fuzzy Topoloji ve Bölüm Fuzzy Topoloji
I keyfi bir indeks kümesi olmak üzere {(Xi,Ti)} iI, fuzzy topolojik uzayların bir ailesi, X
=
Õ
iÎ I
X i bildiğimiz çarpım uzayı ve pi: X ® Xi, i∈I projeksiyon olsun. AiTi için
p-i 1 (Ai), X çarpım uzayında bir fuzzy altkümedir. O halde X üzerinde bir T fuzzy topolojisi
Σ={ p-i 1 (Ai) Ai∈Ti, i Î I} ailesi alt taban olmak üzere kurulabilir. B, Σ nin elemanlarının
sonlu kesişimlerinin oluşturduğu aile olsun. B nin elemanlarının bütün birleşimlerinin
29
oluşturduğu aileye T dersek, T, X üzerinde bir fuzzy topoloji olur öyle ki B, T için bir taban
ve Σ bir alt tabandır.
Buna göre aşağıdaki tanımı verebiliriz.
Tanım 3.3.1: {(Xi,Ti)} iI, fuzzy topolojik uzayların bir ailesi olsun. Yukarıdaki gibi
tanımlanan T ye X=
Õ
iÎ I
X i için çarpım fuzzy topoloji ve (X,T) çiftine {(Xi,Ti)} iI
fuzzy topolojik uzaylarının çarpım fuzzy topolojik uzayı denir.
Benzer şekilde sonlu sayıda fuzzy topolojik uzayın alt uzaylarının çarpımı tanımlanabilir.
Her i =1,..,n için Ai∈FP(Xi) olsun. A =
Õ
iÎ I
A i çarpımı, X=
Õ
iÎ I
X i çarpımında üyelik
fonksiyonu
A(x1,…,xn) = min{A1(x1),…,An(xn)} ,∀(x1,…,xn)∈X
şeklinde tanımlı bir fuzzy altkümedir. Ayrıca ∀ xi Î Xi için
pi(A)(xi) =
sup
A(z1,…,zn)
(z1 ,..,z n )Î p-i 1 (x i )
=
min {A1(z1),…,An(zn)}
sup
(z1 ,..,z n )Î p-i 1 (x i )
= min{ sup z1 Î X1 A1(z1) ,…, Ai(xi) ,.., sup z n
Î Xn
An(zn)}
≤ Ai(xi)
olduğuna göre pi(A)⊆ Ai dir.
Ayrıca dikkat edilirse {(Xi,Ti)} i=1,..,n sonlu sayıda fuzzy topolojik uzayın çarpım fuzzy
topolojik uzayı (X,T) , UiTi, i=1,..,n olmak üzere fuzzy altkümelerin
n
ÕU
i
i= 1
formundaki çarpımından oluşan bir tabana sahiptir (Foster 1979).
Önerme 3.3.1: (X,T), {(Xi,Ti)} i=1,..,n sonlu sayıda fuzzy topolojik uzayın çarpım fuzzy
topolojik uzayı olsun. Her i=1,..,n için Ai∈FP(Xi) ve A, X de çarpım fuzzy altkümesi olsun.
30
n
Bu durumda A ya indirgenmiş fuzzy topoloji TA,
Õ U ¢, Ui′∈(Ti)Ai
i
i=1,..,n formunda
i= 1
çarpım fuzzy altkümelerden oluşan bir tabana sahiptir.
İspat: T,
n
B={ Õ U i  UiTi, i=1,..,n}
i= 1
biçiminde bir tabana sahip olduğuna göre TA için bir taban
n
TA={( Õ U i ) I A UiTi, i=1,..,n}
i= 1
şeklinde olacaktır. Ayrıca
n
n
i= 1
i= 1
( Õ U i )∩A = Õ U i ∩A
olduğuna göre Ui′= Ui ∩A dersek istenen elde edilir.
Teorem 3.3.1: (X,T), {(Xi,Ti )} i∈I fuzzy topolojik uzaylarının çarpım fuzzy topolojik
uzayı olsun. Bu durumda
(i) Her i∈I için pi, F-süreklidir.
(ii) Çarpım fuzzy topoloji her i∈I için pi F-sürekli olacak şekilde X için en kaba fuzzy
topolojidir.
(iii) (Y,ς) herhangi bir fuzzy topolojik uzay ve f:Y→X bir dönüşüm olsun. Bu durumda
f, F-süreklidir ⇔ Her i∈I için piof, F-süreklidir
dir.
f
Y
X
pi
piof
Xi
İspat: (i) ve (ii) çarpım fuzzy topolojinin tanımından hemen görülür.
31
(iii)⇐ Ai∈Ti olsun. piof, F-sürekli olduğuna göre
(piof)-1(Ai)= (f-1opi–1)(Ai)
ς-açıktır. Bu durumda {f–1(pi–1(Ai))}, A∈Ti her i∈I için Y de ς-açık fuzzy altkümelerin bir
ailesidir. Ayrıca T nin elemanları {pi–1(Ai)} ailesinin elemanlarının sonlu kesişimlerinin
birleşimlerinden oluştuğuna ve f–1 kesişim ve birleşimleri koruduğuna göre f–1 T-açıkları ςaçık fuzzy altkümelere dönüştürür. O halde f, F-süreklidir.
⇒ Açık olarak sağlanır.
Teorem 3.3.2: (X,T), {(Xi,Ti)} i=1,..,n sonlu sayıda fuzzy topolojik uzayın çarpım fuzzy
topolojik uzayı, her i=1,..,n için Ai∈FP(Xi) ve A, X de çarpım fuzzy altkümesi olsun. (Y,
Υ) herhangi bir fuzzy topolojik uzay B, Y de bir fuzzy altküme ve f, (B, ΥB) fuzzy alt
uzayından (A,TA) fuzzy alt uzayına bir dönüşüm olsun. Bu durumda
f, rölatif F-sürekli ⇔ Her i=1,..,n için piof rölatif F- sürekli
dir.
İspat: ⇒ Önerme 3.2.3 den dolayı her i=1,..,n için pi nin F-sürekli olması rölatif F-sürekli
olmasını da gerektirir. Ayrıca f rölatif
F-sürekli olduğuna göre her i=1,..,n için piof
bileşkesi rölatif F- sürekli olur.
⇐ Her i=1,..,n için piof rölatif F- sürekli ve
U′= U1′×…×Un′ , Ui′∈(Ti)Ai , i =1,..,n
olsun. Önerme 3.3.1 den bu formdaki U′ lerin kümesi TA için bir tabandır. Buradan
f–1(U′) I B = f–1( pi–1 (U1′) I … I pi–1 (Un′) ) I B
n
=
I
((pi of )- 1 (Ui¢) I B)
i= 1
ΥB-açıktır. O halde Önerme 3.2.3 den dolayı f rölatif F-süreklidir.
Önerme 3.3.2: {(Xi,Ti)}ve {(Yi, Υi)} i∈I fuzzy topolojik uzayların iki ailesi, (X,T), (Y, Υ)
sırasıyla çarpım fuzzy topolojik uzayları ve her i∈I için fi: (Xi,Ti)→(Yi, Υi) bir dönüşüm
olsun. Eğer her i Î I için fi dönüşümü F-sürekli ise
32
f=
Õ
f i :(X,T)→(Y, Υ), f(x) = (fi(xi))
iÎ I
çarpım dönüşümü F-süreklidir.
İspat: f dönüşümü her x=(xi)∈X için f(x) = (fi(pi(x))) şeklinde yazılabilir. Bu durumda
Teorem 3.3.1 den dolayı f F-süreklidir.
Önerme 3.3.3: {(Xi,Ti)}ve {(Yi, Υi)} i=1,..,n fuzzy topolojik uzayların iki sonlu ailesi ve
(X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojik uzayları olsun. Her i=1,..,n için Ai∈FP(Xi),
n
n
i= 1
i= 1
Bi∈FP(Yi) ve fi:(Ai,(Ti)Ai)→(Bi,(Υi)Bi) bir dönüşüm olsun. A= Õ A i , B= Õ B i sırasıyla X
ve Y de çarpım fuzzy altkümeler olsun. Eğer her i=1,..,n için fi dönüşümü rölatif F-sürekli
ise
n
f=
Õ f : (A,TA)→(B, ΥB), f(x1,..,xn) = (f1(x1),.., fn(xn))
i
i= 1
çarpım dönüşümü rölatif F-süreklidir (Foster 1979).
Önerme 3.3.4: {(Xi,Ti )}ve {(Yi, Υi)} ,i=1,..,n fuzzy topolojik uzayların iki sonlu ailesi ve
(X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojik uzayları ve her i=1,..,n için fi:(Xi,Ti)→(Yi,
Υi) bir dönüşüm olsun. Eğer her i=1,..,n için fi , F-açık ise
n
f=
Õ f :(X,T)→(Y, Υ), f(x1,..,xn) = (f1(x1),.., fn(xn))
i
i= 1
çarpım dönüşümü F-açıktır.
İspat: U, T-açık olsun. Bu durumda
n
U = U Õ U ij
jÎ J i= 1
olacak şekilde Uij ,i=1,..,n, j∈J Ti-açık fuzzy altkümeleri vardır. Buradan her y∈Y için
n
f(U)(y) = f( U Õ U ij )(y)
jÎ J i= 1
33
n
= U f( Õ U ij )(y)
jÎ J
i= 1
n
= sup sup ( Õ Uij )(z)
zÎ f - 1 ( y)
jÎ J
i= 1
= sup sup ... sup min{ U1j (z1 ) ,..., U nj (z n ) }
jÎ J
z1 Î f1- 1 (y1 )
z n Î f n- 1 ( y n )
= sup min{ sup
z1 Î f1- 1 ( y1 )
jÎ J
U1j (z1 ) ,...,
sup
z n Î f n- 1 ( y n )
U nj (z n ) }
= sup min{f1( U1j )(y1) ,..., fn( U nj )(yn)}
jÎ J
n
= U Õ fi (U ij ) (y)
jÎ J i= 1
n
dir. Böylece f(U) = U Õ fi (U ij ) elde edilir. Her i=1,..,n için fi , F-açık olduğuna göre f(U),
jÎ J i= 1
Υ-açıktır. Sonuç olarak f, F-açıktır.
Önerme 3.3.5: {(Xi,Ti)}ve {(Yi, Υi)} i=1,..,n fuzzy topolojik uzayların iki sonlu ailesi ve
(X,T), (Y, Υ) sırasıyla çarpım fuzzy topolojik uzayları olsun. Her i=1,..,n için Ai∈FP(Xi),
n
n
i= 1
i= 1
Bi∈FP(Yi) ve fi: (Ai,(Ti)Ai)→(Bi,(Υi)Bi) bir dönüşüm olsun. A= Õ A i , B= Õ B i sırasıyla X
ve Y de çarpım fuzzy altkümeler olsun. Eğer her i=1,..,n için fi , rölatif F-açık ise
n
f=
Õ f : (A,TA)→(B, ΥB), f(x1,..,xn) = (f1(x1),.., fn(xn))
i
i= 1
çarpım dönüşümü rölatif F-açıktır.
İspat: U′, TA-açık olsun. Bu durumda Önerme 3.3.1 den dolayı
U′= U
jÎ J
n
Õ U¢
ij
i= 1
olacak şekilde U′ij ,i=1,..,n, j∈J (Ti)Ai-açık fuzzy altkümeleri vardır. Önerme 3.3.5 in
ispatına benzer bir şekilde
n
f(U′)= U Õ fi (U ij¢)
jÎ J i= 1
34
olduğu gösterilebilir. Bu durumda her i=1,..,n için fi rölatif F-açık olduğuna göre f(U′), ΥBaçıktır. Sonuç olarak f rölatif F-açıktır.
Önerme 3.3.6: (X1,T1) ve (X2,T2) fuzzy topolojik uzaylar ve (X,T) çarpım fuzzy topolojik
uzayı olsun. Bu durumda her a1X1 için
i: (X2,T2)→(X,T), i(x2)=(a1,x2)
dönüşümü F-süreklidir (Foster 1979).
Önerme 3.3.7: (X1,T1) ve (X2,T2) fuzzy topolojik uzaylar ve (X,T) çarpım fuzzy topolojik
uzayı olsun. A1FP(X1) , A2FP(X2) ve A, X de çarpım fuzzy kümesi olsun. Bu durumda
her x2X2 için A1(a1)≥A2(x2) eşitsizliğini sağlayan her bir a1X1 için
i:(A2,(T2)A2)→(A,TA), i(x2) = (a1, x2)
dönüşümü rölatif F-süreklidir (Foster 1979).
Teorem 3.3.3: {(Xi,Ti)}, i=1,..,n kompakt fuzzy topolojik uzayların sonlu bir ailesi olsun.
Bu durumda (X,T) çarpım fuzzy topolojik uzayı da kompakttır (Wong 1974).
Şimdi çarpım fuzzy topolojinin duali olarak bölüm fuzzy topolojinin tanımını verelim.
Tanım 3.3.2: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay, R, X üzerinde bir denklik bağıntısı, X/R
bölüm kümesi ve p:X® X/R bölüm dönüşümü olsun. Υ, X/R de
Υ ={B p–1(B)∈T}
biçiminde tanımlı fuzzy altkümelerin ailesi olsun. Bu durumda Υ, X/R de p F-sürekli
olacak şekilde bir fuzzy topolojidir. Υ ya X/R için bir bölüm topolojisi ve (X/R,Υ) çiftine
(X,T) nın bölüm fuzzy topolojik uzayı denir.
Teorem 3.3.4: (X,T) bir fuzzy topolojik uzay ve (X/R,Υ), (X,T) nın bölüm fuzzy topolojik
uzayı olsun. Bu durumda
(i) Bölüm fuzzy topoloji p F-sürekli olacak şekilde X/R için en ince fuzzy topolojidir.
35
(ii) (Y,ς) herhangi bir fuzzy topolojik uzay, g, (X/R, Υ) bölüm fuzzy topolojik uzayından
(Y,ς) ye bir dönüşüm olsun. Bu durumda
g, F-süreklidir ⇔ gop, F- süreklidir
dir.
İspat: (i) Bölüm fuzzy topoloji tanımından hemen görülür.
(ii) ⇒ g, F-sürekli olsun. p F-sürekli olduğuna göre gop, F-süreklidir.
⇐ B∈ς alalım. Kabulden dolayı
(gop)-1(B) = p–1(g–1(B))
T-açıktır. Bölüm fuzzy topolojik uzayının tanımından g–1(B), Υ-açıktır. O halde g, Fsüreklidir.
Teorem 3.3.5: f: (X,T)→(Y,ς) F-sürekli, örten bir dönüşüm olsun. Eğer f, F-açık veya F-
kapalı ise (Y,ς) fuzzy topolojik uzayı, (X/R, Υ) bölüm fuzzy topolojik uzayına Fhomeomorfik olacak şekilde X üzerinde bir R denklik bağıntısı vardır.
İspat: X üzerinde R bağıntısını
xRy ⇔ f(x) = f(y)
şeklinde tanımlayalım. Açık olarak R bir denklik bağıntısıdır. x in denklik sınıfını [x] ile
gösterelim. Şimdi h:(Y,ς)→(X/R, Υ) dönüşümünü f(x) = y∈Y için h(y)= [x] şeklinde
tanımlayalım. Bu durumda h birebir, örtendir. Ayrıca h-1op= f, f-sürekli olduğundan
Teorem 3.3.4-(ii) den dolayı h–1 F-süreklidir.
X
f
Y
p
h
X/R
36
Eğer f, F-açık ve Q, X/R de açık ise p–1(Q), (X,T) da açık ve
f(p–1(Q))= h–1(p(p–1(Q))) = h–1(Q)
(Y,ς) de açık olur. O halde h, F- süreklidir. Sonuç olarak h, (Y,ς) den (X/R,Υ) fuzzy bölüm
topolojik uzayına bir F-homeomorfizimdir.
4. FUZZY ALTGRUPLAR
Bu bölümde fuzzy alt grupları inceleyerek karakterizasyonları üzerinde duracağız. Fuzzy
alt grup kavramını vermeden önce fuzzy alt grupoidler ile ilgili özellikleri ele alacağız.
4.1 Fuzzy Alt Grupoidler
S bir grupoid yani bir “⋅ “ ikili işlemi altında kapalı olsun.
37
Tanım 4.1.1: µ∈FP(S) olsun. µ, her x,y∈S için
µ(xy) ≥ min{µ(x), µ(y)}
şartını sağlıyor ise µ ye S nin bir fuzzy alt grupoidi denir.
Önerme 4.1.1: µ, S de bir fuzzy alt grupoid ise herhangi bir t∈[0,1] için
µ t = {x∈S µ(x)≥t} seviye altkümesi S nin bir alt grupoididir.
İspat: Her x, y∈µt için xy∈µt olduğunu göstermek yeterlidir.
x, y∈µt olsun. Bu durumda µ(x) ≥ t ve µ(y) ≥ t dir. µ, S nin fuzzy alt grupoidi olduğuna
göre
µ(xy) ≥ min{µ(x), µ(y)}≥ t
dir. O halde µ(xy)≥ t ve xy∈µt elde edilir. Böylece kapalılık özelliği sağlanır ve µt bir alt
grupoiddir.
Önerme 4.1.2: T, S nin bir altkümesi ve µT: S→{0,1} T nin karakteristik fonksiyonu olsun.
Bu durumda
µT, S nin bir fuzzy alt grupoididir ⇔ T, S nin bir alt grupoididir.
İspat: µT karakteristik fonksiyonu x∈T için µT(x)=1 ve x∉T için µT(x)=0 değerlerini alır.
Buna göre
µT, S nin bir fuzzy alt grupoididir ⇔ ∀ x, y∈S için µT(xy) ≥ min{µT(x), µT(y)}
⇔ “µT(x)=1, µT(y)=1 ⇒ µT(xy) =1”
⇔ “x, y∈T ⇒ xy∈T”
⇔ T, S nin bir alt grupoididir.
Önerme 4.1.3: Fuzzy alt grupoidlerin keyfi kesişimi bir fuzzy alt grupoiddir.
İspat: I keyfi bir indeks kümesi olmak üzere her i∈I için µi , S nin bir fuzzy alt grupoidi
olsun. Bu durumda ∀ x, y∈S için
38
Ç µ i(xy) = inf {µi(xy)} ≥ inf {min{µi(x), µi(y)}}
iÎ I
iÎ I
iÎ I
= min{ inf µ i(x) , inf µi(y)}
iÎ I
iÎ I
= min{ Ç µi(x), Ç µi(y)}
iÎ I
iÎ I
elde edilir.
Önerme 4.1.4: f, S üzerinde bir homomorfizm ve ν, f( S) de bir fuzzy alt grupoid olsun. Bu
durumda ν nin ters homomorfik görüntüsü f–1(ν) , S nin bir fuzzy alt grupoididir.
İspat: x, y∈S olsun. µ = f–1(ν) diyelim. Bu durumda
µ(xy) = (f–1(ν))(xy)
= ν (f(xy))
= ν (f(x)f(y))
≥ min{ν(f(x)), ν(f(y))}
= min{(f–1(ν))(x), (f–1(ν))(y)}
= min{µ(x), µ(y)}
olur. Böylece f–1(ν) , S nin bir fuzzy alt grupoididir.
Tanım 4.1.2: µ , S nin bir fuzzy altkümesi olsun. Herhangi bir T⊆S altkümesi için
µ(t0) = sup µ(t)
t∈T
olacak biçimde ∃ t0∈T varsa µ ye sup özelliğine sahiptir denir.
Eğer µ , sonlu sayıda değer alıyorsa yani Im(µ)< ∞ ise µ , sup özelliğine sahiptir.
Önerme 4.1.5: f, S üzeride bir homomorfizm ve µ, S grupoidinin sup özelliğine sahip bir
fuzzy alt grupoidi olsun. Bu durumda µ nün homomorfik görüntüsü f (µ), f (S) nin bir fuzzy
alt grupoididir.
39
İspat: f(x), f(y)∈f(S) olsun. µ sup özelliğine sahip olduğuna göre
µ(x0) = sup µ(t) ve µ(y0) = sup µ(t)
t∈f-1(f(x))
t∈f-1(f(y))
olacak biçimde x0∈f–1(f(x)) ve y0∈f–1(f(y)) vardır. O halde
f(µ)(f(x)f(y)) = sup µ(z) ≥ min{µ(x0), µ(y0)}
z∈f-1(f(x)f(y))
= min{sup µ(t) , sup µ(t) }
t∈f–1(f(x))
t∈f–1(f(y))
= min{f(µ)(f(x)), f(µ)(f(y))}
elde edilir. Böylece f(µ), f(S) nin bir fuzzy alt grupoididir.
4.2 Fuzzy Alt Gruplar
G, klasik anlamda çarpımsal bir grup ve e, G nin birim elemanı olsun. Bu kısımda G
üzerinde fuzzy alt grubu tanımladıktan sonra bazı temel özelliklerini inceleyeceğiz.
Tanım 4.2.1: FP(G) üzerinde “ ⋅ ” ve “ –1 ” işlemleri µ, ν∈FP(G) ve ∀ x∈G için
µ⋅ν(x) = sup{ min{µ(x1), ν(x2) x1, x2∈G, x = x1x2}}
µ—1(x) = µ(x –1)
şeklinde tanımlansın. µ⋅ν ye, µ fuzzy altkümesi ile ν fuzzy altkümesinin çarpımı ve
µ—1 e ise µ fuzzy altkümesinin tersi denir.
Teorem 4.2.1: µ, ν, µi∈FP(G), i∈I ve λ = sup{µ (x)  x∈G}olsun. Bu durumda
(i)
(µ⋅ ν)(x) = sup {min{µ(y), ν(y–1x)}}
yÎ
G
= sup {min{µ(xy–1), ν(y) }
yÎ
(ii)
G
(yλ⋅µ)(x) = µ(y–1x)
(iii) (µ⋅ yλ)(x) = µ(xy–1)
40
(iv) (µ—1) —1 = µ
(v)
µ ⊆µ—1 ⇔ µ—1 ⊆µ ⇔ µ = µ—1
(vi)
µ⊆ν ⇔ µ—1⊆ν —1
(vii) ( U mi )—1 =
iÎ I
U mi- 1
iÎ I
(viii) ( I mi )—1 =
iÎ I
I
mi-
1
iÎ I
(ix) ( µ⋅ ν )
—1
= ν —1⋅ µ—1
dir (Mordeson et al. 2005).
xλ ve yρ X de iki fuzzy nokta ise λ, ρ∈(0,1] olmak üzere xλ⋅yρ = (xy)min(λ, ρ) dir (Liu 1982).
Tanım 4.2.2: µ∈FP(G) olsun. Eğer ∀ x,y∈G için
(i) µ(xy) ≥ min{µ(x), µ(y)}
(ii) µ(x–1) ≥ µ(x)
şartları sağlanıyor ise µ ye G grubunun bir fuzzy alt grubu denir.
Bir G grubunun bütün fuzzy alt gruplarının kümesi F(G) ile gösterilir.
Önerme 4.2.1: T, G nin bir altkümesi ve µT: G→{0,1} T nin karakteristik fonksiyonu
olsun. Bu durumda
µT, G nin bir fuzzy alt grubudur ⇔ T, G nin bir alt grubudur.
dir (Rosenfeld 1971).
Önerme 4.2.2: µ∈F(G) ve e, G grubunun birim elemanı olsun. Her x, y∈G için
(i) µ(x–1) = µ(x)
(ii) µ(e) ≥ µ(x)
dir.
İspat:
(i) µ∈F(G) olduğuna göre her x ∈G için µ(x–1) ≥ µ(x) dir. Buna göre
41
µ(x) = µ((x–1)-1) ≥ µ(x–1) ≥ µ(x)
dir. O halde µ(x–1) = µ(x) elde edilir.
(ii) µ∈F(G) olduğuna göre her x∈G için
µ(e) = µ(xx–1) ≥ min{µ(x), µ(x–1)} = µ(x)
dir. O halde µ(e)≥ µ(x) elde edilir.
Sonuç 4.2.1: µ∈F(G) olsun. µe ={x∈G µ(x) = µ(e)}, G grubunun bir alt grubudur
(Mordeson et al. 2005).
Önerme 4.2.3: µ ∈F(G) olsun. Bu durumda x, y∈G için
µ(x) ≠ µ(y) ⇒ µ(xy) = min{µ(x), µ(y)}
dir.
İspat: µ(x) <µ(y) olduğunu kabul edelim. Buna göre
µ(x) = µ(xyy−1) ≥ min{µ(xy), µ(y−1)}
= min{µ(xy), µ(y)}
= µ(xy)
≥ min{µ(x), µ(y)}
= µ(x)
dir. Böylece µ(xy) = µ(x) = min{µ(x), µ(y)} elde edilir.
Önerme 4.2.4: µ∈F(G) olsun. Bu durumda ∀ x, y∈G için
µ(x) <µ(y) ⇒ µ(xy) = µ(x) = µ(yx)
dir.
İspat:
µ∈F(G) olduğuna göre
µ(xy) ≥ min{µ(x),µ(y)}= µ(x)
42
… (1)
dir. Ayrıca
µ(x) = µ(xyy–1) ≥ min{µ(xy),µ(y–1)}= min{µ(xy),µ(y)} ve µ(x)<µ(y)
olduğuna göre
µ(x) ≥ min{µ(xy),µ(y)}= µ(xy)
…(2)
dir. (1) ve (2) den µ(xy)=µ(x) elde edilir. Benzer olarak µ(yx)=µ(x) olduğu da
gösterilebilir. Böylece µ(xy) = µ(yx) = µ(x) elde edilir.
Önerme 4.2.5: µ∈F(G) olsun. Bu durumda ∀ x, y∈G için
µ(xy−1) = µ(e) ⇒µ (x) = µ(y)
dir.
İspat:
µ(xy−1) = µ(e) olsun.
µ(x) = µ(xy−1y)
≥ min{µ(xy−1), µ(y)}
= min{µ(e), µ(y)}
= µ(y)
ve
µ(y) = µ(yx−1x) ≥ min{µ(yx−1), µ(x)}
= min{µ(xy−1), µ(x)}
(µ(xy−1)=µ( (xy−1)−1)=µ(yx−1))
= min {µ(e), µ(x)}
= µ(x)
dir. O halde µ(x) ≥ µ(y) ve µ(y)≥ µ(x) yani µ(x) =µ(y) dir.
Önerme 4.2.6: G bir grup ve µ∈FP(G) olsun. Bu durumda
µ, G nin fuzzy alt grubudur ⇔ ∀ x, y∈G için µ(xy−1) ≥ min{µ(x), µ(y)}
dir.
43
İspat: ⇒ µ, G nin fuzzy alt grubu olsun. Bu durumda ∀ x, y∈G için
µ (xy−1) ≥ min{µ(x), µ(y−1)}= min{µ(x) , µ(y)}
elde edilir.
⇐ Her x, y∈G için µ (xy–1) ≥ min{µ(x) , µ(y)} olsun. x= y alınırsa µ(e) ≥ µ(y) elde edilir.
Böylece ∀ y∈G için
µ(y−1) = µ(ey−1) ≥ min{µ(e), µ(y−1)}= µ(y)
dır. Bu durumda
µ(xy) = µ(x(y–1)-1) ≥ min{µ(x), µ( y–1)} ≥ min{µ(x), µ(y)}
elde edilir.
Teorem 4.2.2: µ∈F(G) olsun. suppµ ={x∈G µ(x)>0} dayanak (support) kümesi G nin bir
alt grubudur (Mordeson et al. 2005).
Teorem 4.2.3: µ∈F(G), H bir grup ve f: G→H homomorfizm olsun. Bu durumda
f(µ)∈F(H) dir.
İspat: u, v∈H olsun. Kabul edelim ki u∉f(G) ve ya v∉f(G) dir. Bu durumda
min{f(µ)(u), f(µ)(v)} = 0≤ f(µ)(uv)
dir. Şimdi u∉f(G) olsun. Bu durumda u–1∉f(G) olduğuna göre f(µ)(u) = 0 = f(µ)(u–1) dir.
Şimdi u∈f(G) ve v∈f(G) olduğunu kabul edelim. Bu durumda f(x)= u ve f(y)= v olacak
şekilde x, y∈G vardır ve uv∈f(G) dir. buradan
f(µ)(uv) = sup{µ(z) z ∈G, f(z)= uv}
≥ sup{µ(xy) x,y∈G, f(x)= u, f(y)= v}
≥ sup{min{µ(x), µ(y)} f(x)= u, f(y)= v}
= min{sup{µ(x) x∈G, f(x)= u}, sup{µ(y) y∈G, f(y)= v}}
= min{ f(µ)(u), f(µ)(v)}
ve
f(µ)(u–1) = sup{µ(z) z ∈G, f(z)= u–1}= sup{µ(z–1) z ∈G, f(z–1)= u}= f(µ)(u)
44
dir. O halde f(µ), H grubunun bir fuzzy alt grubudur.
Teorem 4.2.4: H bir grup ,ν∈F(H) ve f: G→H homomorfizm olsun. Bu durumda
f–1(ν)∈F(G) dir.
İspat: x, y∈G için
f–1(ν)(xy) = ν(f(xy)) = ν(f(x)f(y))
≥ min{ν(f(x)), ν(f(y))}
= min{f–1(ν)(x ), f–1(ν)(y)}
ve
f–1(ν)(x–1) = ν(f(x–1)) = ν(f(x) –1) = ν(f(x)) = f–1(ν)(x)
dir. O halde f–1(ν)∈F(G) dir.
Önerme 4.2.7: Bir G grubunun fuzzy alt gruplarının keyfi bir kesişimi de bir fuzzy alt
gruptur.
İspat: G grubunun µi, i∈I fuzzy alt grupları için
I
iÎ I
mi (xy–1) = in f {µi(xy–1) }
iÎ I
≥ in f {min{µi(x), µi(y)}}
iÎ I
= min{ in f µi(x), in f µi(y)}
iÎ I
= min{ I mi (x),
iÎ I
dir.
I
mi = µ dersek µ(xy–1) ≥ min{µ(x), µ(y)}elde edilir.
iÎ I
4.3 Seviye Alt Grupları
45
iÎ I
I
iÎ I
mi (y)}
Bu kısımda bir G grubu, G grubunun bir µ fuzzy alt grubu ve µ nün µt seviye altkümeleri
arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
Teorem 4.3.1: G bir grup ve µ∈FP(G) olsun. Her t∈[0, µ (e)] için
µ∈F(G) ⇔ µ nün her µt ≠0 seviye altkümesi G nin bir alt grubudur.
dir.
İspat:
⇒ µt, µ nün boştan farklı bir seviye altkümesi ve x, y∈µt olsun. Bu durumda µ(x)≥t ,
µ(y)≥t ve µ, G nin bir fuzzy alt grubu olduğundan
µ(xy)≥ min{µ(x), µ(y)}≥ t
µ(x–1) = µ(x) ≥ t
dır. O halde xy∈µt ve x–1∈µt dir. Ayrıca µ(e) ≥ µ(x) olduğuna göre e∈µ t dir. Böylece µt, G
nin bir alt grubudur.
⇐ x, y∈G olsun. µ(x)≥µ(y) olduğunu kabul edelim. µ(x)=t1 ve µ(y)=t2 diyelim. Bu
durumda x∈ mt1 ve y∈ mt 2 ve mt1 ⊆ mt 2 dir. O halde mt1 ve mt 2 G nin birer alt grubu
olduğuna göre xy∈ mt 2 dir. Buradan
µ(xy) ≥ min{µ(x), µ(y)}= t2
dir. Ayrıca eğer µ(x)>µ(x–1) olsaydı x∈ mt1 ve x–1∉ mt1 olurdu ki bu mt1 in alt grup olması
ile çelişirdi. Böylece µ, G nin bir fuzzy alt grubudur.
Tanım 4.3.1: G bir grup ve µ∈F(G) olsun. t∈[0, µ(e)] olmak üzere µt alt gruplarına µ nün
seviye alt grupları denir.
Sonlu bir G grubu için bir µ fuzzy alt grubunun sonsuz çoklukta seviye alt grubu olabilir.
Ayrıca µ nün her µt ≠0 seviye alt grubu G nin bir alt grubudur. Ancak G sonlu grubunun
sonlu tane alt grubu olacağına göre µ nün seviye alt gruplarının her biri ayrık olamaz. Bu
durumu aşağıdaki teoremle karakterize edelim.
46
Teorem 4.3.2: G bir grup ve µ∈F(G) olsun. t1< t2 olmak üzere µ nün mt1 , mt 2 iki seviye alt
grubu için
mt1 = mt 2 ⇔ t1< µ(x) <t2 olacak şekilde bir x∈G yoktur.
dir.
İspat:
⇒ mt1 = mt 2 olsun. t1<µ(x)<t2 olacak şekilde bir x∈G olduğunu kabul edelim. Bu durumda
x∈ mt1 ve x∉ mt 2 olur. Bu ise mt1 = mt 2 olması ile çelişir.
O halde t1 < µ(x)<t2 olacak şekilde bir x∈G yoktur.
⇐ t1< µ(x) <t2 olacak şekilde bir x∈G mevcut olmasın. t1< t2 olduğuna göre mt 2 ⊆ mt1 dir.
x∈ mt1 olsun. Bu durumda µ(x) ≥ t1 dir. Ayrıca t1<µ(x)<t2 olamayacağına göre µ(x)≥ t2 dir.
O halde mt1 ⊆ mt 2 ve böylece mt1 = mt 2 dir.
Sonuç 4.3.1: G sonlu bir grup, µ∈F(G) ve µ nün görüntü kümesi Imµ = {t0, t1 , … , tn }
olsun. Bu durumda
{ mt i } , ti∈Imµ
ailesi µ nün bütün seviye alt gruplarını içerir (Das 1981).
Sonlu bir G grubunun bir fuzzy alt grubunun seviye alt grupları bir zincir formundadır.
Yani eğer G sonlu grubunda µ fuzzy alt grubunun görüntü kümesi Imµ ={ti  i=1,.. , n},
t1> t2>…> tn ise µ nün seviye alt grupları
mt1 ⊆ mt 2 ⊆…⊆ mt n = G
zinciridir.
47
Teorem 4.3.3: Bir G grubunun herhangi bir H alt grubu G nin bir fuzzy alt grubunun bir
seviye alt grubu olarak ifade edilebilir (Das 1981).
Önerme 4.3.1: f: G→H bir grup homomorfizmi, ν∈F(H) ve I keyfi bir indeks kümesi
olmak üzere { n t i  i ∈I}, ν nin bütün seviye alt gruplarının ailesi olsun. Bu durumda
{ f–1( n t i ) i∈I}
f–1(ν) nin bütün seviye alt gruplarının ailesidir.
İspat: µ = f–1(ν) ve t∈[0,1] olsun.
x∈µ t⇔ f–1(ν)(x) ≥ t ⇔ ν(f(x)) ≥ t ⇔ f(x)∈νt ⇔ x∈f–1(νt)
dir. O halde
µt = f–1(νt) ,∀ t∈[0,1]
…(1)
elde edilir. Özel olarak
mt i = f–1( n t i ) ,∀ i∈I
dir. Eğer µ , {f–1( n ti ) i∈I} ailesinde bulunmayan bir µ t seviye alt grubuna sahip olsaydı ν
nin (1) i sağlayan ancak { n ti  i∈I} ailesinde bulunmayan bir νt seviye alt grubu var
olurdu. Bu ise bir çelişkidir. Böylece istenen elde edilir.
Önerme 4.3.2: f: G→H örten bir grup homomorfizmi, µ∈F(G) ve µ sup-özelliğine sahip
olsun. Eğer { mt i  i∈I}, µ nün bütün seviye alt gruplarının ailesi ise {f( mt i ) i∈I}, f(µ) nün
bütün seviye alt gruplarının ailesidir.
İspat: ν = f(µ) ve t ∈[0,1] olsun.
y∈νt ⇒ ν(y) ≥ t ⇒ f(µ)(y) ≥ t ⇒ sup{µ(x)  x∈f–1(y) }≥ t
µ, sup-özelliğine sahip olduğuna göre bir x0∈f–1(y) için µ(x0)≥ t dir. O halde x0∈µt ve
böylece f(x0) = y∈f(µt) dir. Bu durumda νt⊆ f(µt) elde edilir.
Şimdi y∈f(µt) olsun. O halde bir x∈µt için y =f(x) ve
ν(y) = f(µ)(y) = sup{µ(z) z∈f–1(y) } = sup{µ(z) f(z) = f(x)} ≥ µ(x) ≥ t
48
dir. Böylece y∈νt ve f(µt) ⊆νt elde edilir. Bu durumda
νt = f(µt) ,∀ t∈[0,1]
… (1)
dir. Özel olarak
n ti = f( mt i ) ,∀ i∈I
elde edilir. Böylece bütün f( mt i ) ler ν nin seviye alt gruplarıdır. Ayrıca (1) den ve
varsayımdan {f( mt i ) i∈I}, ν = f(µ) nin bütün seviye alt gruplarının ailesidir.
4.4 Fuzzy Normal Alt Gruplar
Klasik grup teorisinde normal alt grup kavramı önemli bir rol oynar. Benzer durum fuzzy
normal alt grupları için de geçerlidir.
Teorem 4.4.1: µ∈FP(G) olsun. Bu durumda
(i) ∀ x, y∈G için
µ(xy) = µ(yx).
(ii) ∀ x, y∈G için µ(xyx–1) = µ(y).
(iii) ∀ x, y∈G için µ(xyx–1) ≥ µ(y).
(iv) ∀ x, y∈G için µ(xyx–1) ≤ µ(y).
(v) ∀ ν∈FP(G) için µ ⋅ ν = ν ⋅ µ
ifadeleri denktir.
İspat:
(i) ⇒(ii) x, y∈G olsun. Bu durumda µ(xy) = µ(xy) olduğunu göz önüne alırsak
µ(xyx–1) = µ( x–1xy) = µ(y) dir.
(ii) ⇒(iii) Açık olarak görülür.
(iii) ⇒(iv) ∀ x, y∈G için µ(xyx–1) ≤ µ( x–1xyx–1 (x–1)–1) = µ(y) dir.
(iv) ⇒(i) x, y∈G olsun. Bu durumda
µ(xy) = µ(xyxx–1)≤ µ(yx) = µ(yxyy–1) ≤ µ(xy)
49
dır. O halde µ(xy) = µ(yx) elde edilir.
(i) ⇒(v) x∈G olsun. Bu durumda
(µ ⋅ν) (x) = sup {min{µ(xy–1), ν(y)}}
yÎ
G
= sup {min{µ(y–1x), ν(y)}}
yÎ
G
= sup {min{ν(y), µ(y–1x)}}
yÎ
G
= (ν ⋅ µ )(x)
(v) ⇒(i) ∀ ν∈FP(G) için µ ⋅ ν = ν ⋅ µ olsun. Bu durumda her y∈G için y1- 1 , y–1 tek nokta
kümesinin karakteristik fonksiyonunu göstermek üzere
y1- 1 ⋅µ = µ⋅ y1- 1
dir. O halde her x, y∈G için
( y1- 1 ⋅µ)(x) = ( µ⋅ y1- 1 )(x)
dir. Ayrıca Teorem 4.2.1 (ii) ve (iii) den dolayı
( y1- 1 ⋅ µ)(x) = µ(yx) ve ( µ⋅ y1- 1 )(x) = µ(xy)
dir. O halde µ(xy) = µ(yx) elde edilir.
Tanım 4.4.1: µ∈F(G) olsun. Eğer her x, y∈G için
µ(xy) = µ(yx)
ise µ ye G nin fuzzy normal alt grup denir.
Bir G grubunun bütün fuzzy normal alt gruplarının kümesini FN(G) ile gösterelim.
Önerme 4.4.1 µ ∈F(G) olsun. Bu durumda
µ∈FN(G) ⇔ µ nün her µt≠0 seviye altkümesi G nin bir normal alt grubudur.
İspat: ⇒ µ∈FN(G) olduğunu kabul edelim. Eğer µt, µ nün boştan farklı bir seviye
altkümesi ise Teorem 4.3.1 den dolayı G nin bir alt grubudur. µ fuzzy normal olduğuna
göre her x∈G ve g∈µt için
50
µ(xgx–1) = µ(g) ≥ t
yani xgx–1∈µ t dir. O halde µt, G nin normal alt grubudur.
⇐ Kabul edelim ki bazı x, y∈G ler için µ(xy)> µ(yx) olsun. µ(xy) = t1 diyelim. Bu
durumda mt1 boştan farklı seviye altkümesi için
xy∈ mt1 ancak yx∉ mt1
olur. Bu ise mt1 in normal olması ile çelişir. O halde µ(xy) = µ(yx) ve µ, G nin fuzzy normal
alt grubudur.
Teorem 4.4.2: µ∈FN(G) olsun. Bu durumda
suppµ = {x∈G µ(x)>0} ve µe = {x∈G µ(x) = µ(e)}
alt grupları G nin normal alt grubudur (Mordeson et al. 2005).
Tanım 4.4.2: µ∈F(G) ve x∈G olsun. Bu durumda
xµ(e)⋅ µ ve
µ⋅ xµ(e)
fuzzy altkümelerine µ nün x e göre sırasıyla sol koseti ve sağ koseti denir ve xµ ve µx
biçiminde gösterilir.
µ∈FN(G) ise Teorem 4.4.1 den dolayı xµ = µx dir. Bu durumda xµ ye kısaca koset denir.
Teorem 4.4.3: µ∈F(G) olsun. Bu durumda her x, y∈G için
(i) xµ = yµ ⇔ xµe = yµe
(ii) µx = µy ⇔ µex = µey
dir.
İspat:
(i) ⇒ xµ = yµ olsun. Bu durumda xµ(e)⋅ µ = yµ(e)⋅ µ yani
µ(x-1w) = µ(y-1w) , ∀ w∈G
51
dir. w, yerine y koyarsak µ(x-1y) = µ(y-1y) = µ(e) elde edilir. Böylece x-1y ∈µe ve
xµe = yµe dir.
⇐ xµe = yµe olsun. Bu durumda x-1y∈µe ve y-1x∈µe dir. O halde her w∈G için
µ(x-1w) = µ(x-1yy–1w)
≥ min{µ(x-1y) , µ( y–1w)}
= min{µ(e) , µ(y–1w)}
= µ(y–1w)
dir. Benzer şekilde her w∈G için µ(x-1w) ≤ µ( y–1w) dir. O halde her w∈G için
µ(x-1w) = µ( y–1w) ve böylece xµ = yµ dir.
(ii) Benzer şekilde gösterilir.
Teorem 4.4.4: µ∈FN(G) ve x, y∈G olsun. Bu durumda
xµ = yµ ⇒ µ(x)= µ(y)
dir (Mordeson et al. 2005).
Teorem 4.4.5: µ∈FN(G) ve G/µ ={xµ  x∈G} olsun. Bu durumda
(i)
xµ⋅ yµ = (xy) µ
(ii) (G/µ ,⋅ ) bir gruptur
(iii) G/µ @ G/µ e
İspat:
(i) Teorem 4.2.1 ve Teorem 4.4.1 den dolayı her x, y∈G için
xµ⋅ yµ = (xµ(e)⋅ µ) ⋅(yµ(e)⋅ µ)
= xµ(e) ⋅ (µ ⋅ yµ(e)) ⋅ µ
= xµ(e) ⋅(µ ⋅µ) ⋅ yµ(e)
= xµ(e) ⋅ µ ⋅ yµ(e)
= xµ(e) ⋅ (µ ⋅ yµ(e))
= xµ(e) ⋅ (yµ(e) ⋅ µ)
52
= (xµ(e) ⋅ yµ(e)) ⋅ µ
= (xy)µ
elde edilir.
(ii) G/µ , “⋅” işlemi altında kapalıdır. Ayrıca “⋅” işlemi birleşme özelliğini sağlar. Her x∈G
için
µ ⋅ xµ = eµ ⋅ xµ = (ex)µ = xµ
x–1µ ⋅ xµ = (x–1x)µ = µ
olduğuna göre µ birim eleman ve x–1µ , xµ nün ters elemanıdır. Bu durumda (G/µ ,⋅) bir
gruptur.
(iii) µ∈FN(G) olduğuna göre Teorem 4.4.2 den dolayı µe, G nin normal alt grubudur. Bu
durumda G/µe bir grup ve f: G/µ→G/µe , f(xµ) = xµe biçiminde tanımlanan f dönüşümü
Teorem 4.4.3 den dolayı bir izomorfizmdir. Burada xµ⋅yµ = (xy)µ ve xµeyµe = (xy)µe dir.
Teorem 4.4.5 de tanımlanan (G/µ ,⋅ ) grubuna G nin fuzzy normal alt grubu µ ye göre
bölüm grubu denir.
Teorem 4.4.6: µ∈FN(G), H bir grup ve f: G→H bir epimorfizm olsun. Bu durumda
f(µ)∈FN(H) dir.
İspat: Teorem 4.2.3 den dolayı f(µ)∈F(H) dir. x, y∈H alalım. f örten olduğuna göre f(u)= x
olacak şekilde bir u∈G vardır. O halde
f(µ)(xyx–1) = sup{µ(v)  v∈G, f(v) = xyx–1}
= sup{µ(u–1vu) v∈G, f(u–1vu)= y}
= sup{µ(v) u–1vu∈G, f(v)= y}
= sup{µ(v) v∈G, f(v)= y}
= f(µ)(y)
dir. Böylece Teorem 4.4.1 den dolayı f(µ)∈FN(H) dir.
53
Teorem 4.4.7: H bir grup, ν∈FN(H) ve f: G→H bir homomorfizm olsun. Bu durumda f–
1
(ν)∈FN(G) dir.
İspat: Teorem 4.2.4 den dolayı f–1(ν)∈F(G) dir. Bu durumda herhangi x,y ∈G için
f–1(ν)(xy) = ν(f(xy)) = ν(f(x) f(y)) = ν(f(y) f(x)) = ν(f(yx)) = f–1(ν)(yx)
dir. Böylece f–1(ν)∈FN(G) elde edilir.
4.5 Fuzzy Çarpım Alt grupları
Tanım 4.5.1: Her i =1,2…,n için µi , bir Gi grubunun bir fuzzy alt grubu olsun.
G = G1×G2 ×…×Gn de µ = µ1×µ2×…× µn çarpımı
(µ1× µ2×…× µn)(x1,x2,…,xn) = min{µ1(x1) ,µ2(x2) ,…, µn(xn)}
şeklinde tanımlanır (Aktaş and Çağman 2006).
Teorem 4.5.1: µ1, µ2, …,µn sırasıyla G1, G2,…, Gn kümelerinin fuzzy altkümeleri ve
t∈[0,1] olsun. Bu durumda
( µ1×µ2×…× µn )t = m1t ´ m2t ´ ...´ mn t
dir (Aktaş and Çağman 2006).
Teorem 4.5.2: µ1,µ2 ,…, µn sırasıyla G1, G2,…, Gn gruplarının fuzzy alt grupları olsun.
Eğer µ1, µ2, …,µn fuzzy normal iseler µ1×µ2×…× µn çarpımı da fuzzy normaldir.
İspat: İlk olarak µ1×µ2×…×µn çarpımının G1×G2 ×…×Gn nin bir fuzzy alt grubu olduğunu
göstermeliyiz. (x1,x2,…,xn), (y1,y2,…,yn) ∈G1×G2 ×…×Gn için
( µ1×µ2×…× µn)( (x1,x2,…,xn)(y1,y2,…,yn) )
= ( µ1×µ2×…× µn)(x1y1, x2y2,…, xnyn )
54
= min( µ1(x1y1), µ2(x2y2) ,…, µn(xnyn) )
≥ min( min{µ(x1), µ(y1)}, min{µ(x2), µ(y2)},…, min{µ(xn), µ(yn)})
= min( min(µ1(x1) ,µ2(x2) ,…, µn(xn) ), min(µ1(y1) ,µ2(y2) ,…, µn(yn) ) )
= min{(µ1×µ2×…× µn)(x1,x2,…,xn), (µ1×µ2×…× µn)(y1,y2,…,yn)}
ve
(µ1×µ2×…× µn)((x1,x2,…,xn)-1) = (µ1×µ2×…× µn)(x1–1,x2–1,…,xn–1)
= min(µ1(x1–1) ,µ2(x2–1) ,…, µn(xn–1) )
= min(µ1(x1) ,µ2(x2) ,…, µn(xn) )
= (µ1×µ2×…× µn)(x1,x2,…,xn)
dir. Böylece µ1×µ2×…× µn , G1×G2 ×…×Gn nin bir fuzzy alt grubudur. Şimdi µ1×µ2×…× µn
nin fuzzy normal olduğunu gösterelim.
(x1,x2,…,xn), (y1,y2,…,yn)∈G1×G2×…×Gn için
( µ1×µ2×…× µn)( (x1,x2,…,xn)(y1,y2,…,yn) )
= min( µ1(x1y1), µ2(x2y2) ,…, µn(xnyn) )
= min( µ1(y1 x1), µ2(y2x2) ,…, µn(yn xn) )
= (µ1×µ2×…× µn)( (y1,y2,…,yn)(x1,x2,…,xn) )
dir. Böylece µ1×µ2×…× µn fuzzy normaldir.
55
5. FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR
Bu bölümde fuzzy topolojik grupları inceleyerek bazı karakterizasyonları üzerinde
duracağız. Fuzzy topolojik gruplar için iki ayrı tanım vereceğiz. İlkini Foster 1979’ da
vermiştir. Diğerini ise Liang ve Hai 1984’ de yayınladıkları makalelerinde incelemişlerdir.
5.1 Fuzzy Topolojik Gruplar ve Özellikleri
X bir grup olsun. A, B∈FP(X) için A⋅B, A–1 ∈FP(X) fuzzy altkümeleri
A⋅B(x) = sup{min{A(x1), B(x2)} x=x1x2}
A–1(x) =A(x–1)
şeklinde tanımlanır.
C, D∈P(X) olsun. Bu durumda CD, C–1∈P(X) altkümeleri
CD ={cd c∈C ve d∈D}
C–1 = { c–1 c∈C}
şeklinde tanımlanır.
Tanım 5.1.1: X bir grup, (X,T) fuzzy topolojik uzay olsun. Bu durumda (X,T)
(i) Her a, b∈X ve (ab)λ fuzzy noktasının herhangi bir W Q-komşuluğu için U⋅V⊆W olacak
şekilde aλ nın U ve bλ nın V Q-komşulukları vardır.
56
(ii) Her a∈X ve a–1λ fuzzy noktasının herhangi bir V Q-komşuluğu için U–1⊆V olacak
şekilde aλ nın bir U Q-komşuluğu vardır.
koşullarını sağlıyorsa (X,T) ye fuzzy topolojik grup denir (Liang and Hai 1984).
Tanım 5.1.2: S bir yarı grup, (S,T) fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer her a, b∈S ve (ab)λ
fuzzy noktasının herhangi bir W Q-komşuluğu için U⋅V⊆W olacak şekilde aλ nın U ve bλ
nın V Q-komşulukları varsa (S,T) ye fuzzy topolojik yarı grup denir.
Örnek 5.1.1: (ϒ,+) grubu üzerinde T ={λ* λ*(x)=λ, λ∈[0,1]} fuzzy topolojisi olsun. Bu
durumda (ϒ, T) bir fuzzy topolojik gruptur (Liang and Hai 1984).
Önerme 5.1.1: (X,T) bir fully stratified uzay veya T de fuzzy altküme mevcut olmasın. Bu
durumda
Tanım 5.1.1-(i) şartı sağlanır ⇔ α:(X,T)×(X,T)→(X,T) α(x,y)= xy dönüşümü
F-süreklidir.
İspat:⇒ Tanım 5.1.1-(i) şartı sağlansın. Bu durumda (ab)λ fuzzy noktasının herhangi bir
W Q-komşuluğu için U⋅V⊆W olacak şekilde aλ nın U ve bλ nın V Q-komşulukları vardır.
U, V∈T olduğunu varsayabiliriz.
Şimdi (a, b)λ ∈(X,T)×(X,T) fuzzy noktası için
(U,V)(a, b) + λ = min{U(a),V(b)} +λ
= min{U(a) +λ ,V(b) +λ}
>1
dir. O halde (a, b)λq(U,V) dir. Ayrıca (U,V) çarpım topolojisi T×T nin bir elemanıdır. Bu
durumda (U,V), (a, b)λ nın bir Q-komşuluğudur. α(U,V)= U⋅V⊆ W olduğuna göre α, (a,
b)λ fuzzy noktasında Q- komşuluğa göre F-sürekli ve böylece α , F-süreklidir.
57
⇐ α F-sürekli olsun. O halde Teorem 3.2.1 den dolayı α, herhangi bir (a,b)λ fuzzy
noktasında Q- komşuluğa göre F-süreklidir. Bu durumda α((a, b)λ) = (ab)λ nın herhangi bir
W Q-komşuluğu için (a, b)λ nın
α( U(a, b)λ ) ⊆ W
olacak şekilde bir U(a, b)λ Q-komşuluğu vardır. Ayrıca çarpım fuzzy topolojinin tanımından
(U,V) ⊆ U(a, b)λ ve (a, b)λq(U,V)
olacak şekilde U, V∈T vardır. Buradan
aλqU ve bλqV
dir. Böylece
U⋅V = α(U,V) ⊆ α(U(a, b)λ) ⊆W
olacak şekilde aλ nın U ve bλ nın V Q-komşulukları vardır.
Önerme 5.1.2: Tanım 5.1.1-(ii) şartı sağlanır ⇔ β: (X,T)→(X,T), β(x) = x–1 dönüşümü F-
süreklidir (Liang and Hai 1984).
Önerme 5.1.3: (X,T) bir fully stratified uzay veya T de fuzzy altküme mevcut olmasın. Bu
durumda
Tanım 5.1.1-(i) ve -(ii) şartı sağlanır ⇔ (ab–1)λ fuzzy noktasının herhangi bir W Qkomşuluğu için U⋅V–1⊆W olacak şekilde aλ nın U ve bλ nın V Q-komşulukları vardır.
İspat: ⇒ Tanım 5.1.1-(i) şartı sağlandığına göre her a, b ∈X ve (ab–1)λ nın herhangi bir W
Q-komşuluğu için
U⋅ V′⊆W
olacak şekilde aλ nın U ve b–1λ nın V′ Q-komşulukları vardır. Tanım 5.1.1-(ii) şartı
sağlandığına göre bλnın
V–1⊆ V′
olacak şekilde nın bir V Q-komşuluğu vardır. Böylece
U⋅V–1⊆ U⋅ V′⊆W
58
elde edilir.
⇐ Eğer T de fuzzy küme mevcut değil ise ispat açıktır. Eğer (X,T) bir fully stratified uzay
ise e, X grubunun birim elemanı olmak üzere kabulden dolayı (eb–1)λ=b–1λ nın herhangi bir
V Q-komşuluğu için
U′⋅U′′-1⊆V
olacak şekilde eλ nın U′ve bλnın U′′ açık Q-komşulukları vardır. U′(e)+ λ >1 olduğuna göre
U′(e) >1-λ =λ′
dır. l = U′(e) ve U= U′′∩ l * olsun. Bu durumda U∈T ve
( U′′∩ l * )(b) +λ = min{U′′(b), l * (b)} +λ
= min{U′′(b), U′(e)}+λ
= min{U′′(b) + λ, U′(e) + λ}
>1
olduğuna göre bλqU dir. Ayrıca
U′⋅U–1 ⊆ U′⋅U′′-1 ⊆V
ve
(e l ⋅U–1)(x) = sup{min{e l (x1), U–1(x2)} x = x1x2 }
= min{ l , U–1(x)}= U–1(x)
olduğuna göre
U–1 = e l ⋅U–1 ⊆ U′⋅U–1 ⊆ V
elde edilir. O halde Tanım 5.1.1-(ii) şartı sağlanır.
(ab)λ= (a(b–1)-1) λ nın herhangi bir W Q-komşuluğu için U⋅V′-1⊆ W olacak şekilde aλ nın U
ve bλ-1 nın V′açık Q-komşulukları vardır. Ayrıca bλ nın V–1⊆ V′olacak şekilde bir V Qkomşuluğu vardır. Bu durumda
U⋅V =U⋅(V–1)-1⊆ U⋅(V′)-1⊆W
elde edilir. O halde Tanım 5.1.1-(i) şartı sağlanır.
Şimdi Foster ın 1979 da yayımladığı makalesinde verdiği fuzzy topolojik grup tanımını
verelim.
59
Tanım 5.1.3: X bir grup ve (X,T) fully stratified uzay olsun. G∈F(X) ve TG, G ye
indirgenmiş fuzzy topoloji olsun. Bu durumda (G, TG)
(i) α: (G,TG)×(G,TG)→(G,TG), α(x,y) = xy dönüşümü rölatif F-süreklidir.
(ii) β: (G,TG)→(G,TG), β(x)= x–1 dönüşümü rölatif F-süreklidir.
koşulları sağlanıyorsa G fuzzy alt grubuna X de bir fuzzy topolojik grup denir
(Foster 1979).
Bir fuzzy alt grup yapısı ile bu yapı üzerine indirgenmiş fuzzy topoloji yapısı (i) ve (ii)
koşullarını sağlıyorsa uyumludurlar denir.
Burada α dönüşümü için
α(G×G)(x) = sup{G×G(z1,z2) (z1,z2)∈α-1(x)}
= sup{min{G(z1),G(z2 )} (z1,z2)∈α-1(x)}
≤ sup{G(z1z2) (z1,z2)∈α-1(x)} = G(x)
dir. Yani α(G×G) ⊆G dir. β dönüşümü için ise G(x)= G(x–1) olduğuna göre β(G) ⊆ G dir.
X bir grup, S∈FP(X) olsun. Her x,y∈X için S(xy)≥ min{S(x), S(y)}oluyorsa S ye X de bir
fuzzy yarı grup denir (Chon 2000).
Tanım 5.1.4: X bir grup ve (X,T) fully stratified uzay olsun. S, X de fuzzy yarı grup ve TS,
S ye indirgenmiş fuzzy topoloji olsun. Eğer α: (S,TS)×(S,TS)→ (S,TS), α(x,y)= xy
dönüşümü rölatif F-sürekli ise (S,TS) ye fuzzy topolojik yarı grup denir (Chon 2000).
Şimdi Önerme 5.1.3 ün diğer bir ifadesini verelim.
Önerme 5.1.4: X bir grup ve (X,T) fully stratified uzay olsun. Bu durumda
G∈F(X), X de bir fuzzy topolojik gruptur ⇔ δ:(G, TG)×(G, TG)→(G, TG), δ(x,y) = xy–1
dönüşümü rölatif F- süreklidir.
60
İspat: ⇒G, X de fuzzy topolojik grup olsun. Bu durumda
β: (G, TG)→(G, TG), β(x)= x–1
iG: (G, TG)→(G, TG), iG(x)= x
dönüşümleri rölatif F- süreklidir. O halde (G, TG)×(G, TG) den (G, TG)×(G, TG) ye
(x,y)→(x,y–1) çarpım dönüşümü Önerme 3.3.3 den dolayı rölatif F- süreklidir. Ayrıca
α: (G, TG)×(G, TG)→(G, TG), α(x,y) = xy
dönüşümü rölatif F-süreklidir. Bu durumda δ = α o(i×β)
δ: (x,y)→(x,y–1)→xy–1
dönüşümü Teorem 3.2.5 den dolayı rölatif F- sürekli olur.
⇐ δ: (G, TG)×(G, TG)→(G, TG), δ(x,y) = xy–1 dönüşümü rölatif F- sürekli olsun. G, X de
bir fuzzy alt grup olduğuna göre e, X grubunun birim elemanı olmak üzere her x∈X için
G(x) ≤ G(e) dir. Ayrıca Önerme 3.3.7 den dolayı
i: (G, TG)→(G, TG)×(G, TG), i(y) = (e, y)
dönüşümü rölatif F- süreklidir. O halde
β: y→(e,y)→ey–1= y–1
dönüşümü rölatif F-sürekli ve
α: (x,y)→(x, y–1) → x(y–1)-1 = xy
dönüşümü rölatif F-sürekli olur.
Önerme 5.1.5: (X,T) bir fuzzy topolojik grup olsun. (X,T) bir fully stratified uzay veya T
de fuzzy altküme mevcut olmasın. Bu durumda a ∈X sabit bir nokta olmak üzere
f: (X,T)→(X,T), f(x) = xa
g: (X,T)→(X,T), g(x) = ax
β: (X,T)→(X,T), β(x) = x–1
dönüşümleri F- homeomorfizmdirler.
İspat: (X,T) fully stratified uzay olsun. Bu durumda her λ∈[0,1] için λ*(x)=λ, λ*∈T dir. f
nin F- homeomorfizm olduğunu gösterelim.
61
f nin birebir ve örten olduğu açıktır. (X,T) fuzzy topolojik grup olduğuna göre (f(x))λ=
(xa)λ nın bir W Q-komşuluğu için U⋅V⊆W olacak şekilde xλ nın U ve aλ nın V açık Qkomşulukları vardır. V(a)= l ve U l = U∩ l
*
olduğunu kabul edelim. O halde U l ∈T ve
U l (x) +λ = min{U(x), l }+λ = min{U(x) +λ, l +λ }>1
olduğuna göre xλq U l dir. Buradan U l ⋅V⊆W elde edilir. Ayrıca
f (U l )(z) =
U l (y) = U l (za–1)
sup
y Î f - 1 (z)
ve
U l V(z) = sup{min {U l (z1), V(z2)} z =z1z2 }
≥ min{U l ( za–1), V(a)}
= U l (za–1)
olduğuna göre
f (U l )⊆ U l V⊆W
elde edilir. Böylece f, xλ noktasında Q- komşuluğa göre süreklidir. O halde f, F- süreklidir.
Benzer şekilde f–1 F- sürekli ve böylece f, F- homeomorfizmdir.
g ve β nın F- homeomorfizm oldukları da benzer şekilde gösterilir.
Önerme 5.1.6: (X,T) bir fuzzy topolojik grup olsun. (X,T) bir fully stratified uzay veya T
de fuzzy altküme mevcut olmasın. Bu durumda
(i) A, T- kapalı ve a ∈X sabit bir nokta olmak üzere aA, Aa, A–1 T- kapalıdırlar.
(ii) B, T- açık ve C∈P(X) olmak üzere CB, BC, B–1 T- açıktırlar.
ifadeleri sağlanır (Liang and Hai 1984).
Önerme 5.1.7: (X,T) bir fuzzy topolojik grup ve T de fuzzy altküme mevcut değil veya
(X,T) bir fully stratified uzay olsun. Bu durumda aλ ve bλ fuzzy noktaları için
f: (X,T)→(X,T), f(aλ) = bλ
olacak şekilde örten bir f, F- homeomorfizm vardır. Bu özelliğe (X,T) fuzzy topolojik
grubunun homojenlik özelliği denir (Liang and Hai 1984).
62
Önerme 5.1.8: G∈F(X) ve a∈X olsun. Ayrıca
ra: G→G, ra(x)= xa
la: G→G, la(x)= ax
sırasıyla sağ ve sol dönüşümleri olsun. Bu durumda her a∈Ge ={x G(x)=G(e)} için
ra(G)= la(G)=G
dir.
İspat: a∈Ge için
ra(G)(x) = sup{G(z) z∈ra–1(x)}
= G(xa–1)
≥ min{G(x), G(e)} = G(x)
ve
G(x) = G(xa-1a) ≥ min{G(xa–1), G(e)}
= G(xa–1)
= ra(G)(x)
dır. O halde ra(G)=G dir. la(G)=G olduğu benzer şekilde gösterilir.
Önerme 5.1.9: X bir grup, (X,T) fully stratified uzay ve G, X de bir fuzzy topolojik grup
olsun. Her a ∈ Ge için ra ve la sağ ve sol dönüşümleri (G, TG) den (G, TG) ye rölatif Fhomeomorfizimdir.
İspat: Her a∈Ge için ra(G) = la(G)=G dir. la dönüşümü, i: y→(a,y) ve α: (x,y)→xy
dönüşümünün kompozisyonudur. Her y∈X için G(a)≥G(y) olduğuna göre Önerme 3.3.7
den dolayı i, (G,TG) den (G,TG)×(G,TG) ye rölatif F-sürekli bir dönüşümdür. Ayrıca G, X
de bir fuzzy topolojik grup olduğuna göre α rölatif F-süreklidir. Bu durumda la rölatif Fsüreklidir. Ayrıca
(la)-1(x) =a-1x = la–1(x)
olduğuna göre la-1 rölatif F-süreklidir. Böylece la rölatif F- homeomorfizimdir. Benzer
şekilde ra nın da rölatif F-homeomorfizm olduğu gösterilebilir.
63
Lemma 5.1.1: X bir grup, (X,T) fuzzy topolojik uzay ve G, X de bir fuzzy topolojik grup
olsun. Bu durumda a ∈ Ge olmak üzere
f: G→G, f(x) = x–1
h: G→G, h(x) = axa–1
dönüşümleri rölatif F- homeomorfizmdirler (Chon 2000).
Önerme 5.1.10: (X, T) bir fuzzy topolojik uzay, (Y, Υ) bir fuzzy topolojik grup ve f,
g∈FC(X,Y) olsun. Bu durumda X fuzzy topolojik uzayından Y fuzzy topolojik uzayına
(f∗g)(x) = f(x)⋅g(x)
f–1(x) = f(x) –1,
∀ x∈X
şekilde tanımlı f∗g ve f–1 dönüşümleri F-süreklidir.
İspat: xλ, λ∈(0,1] ,X de bir fuzzy nokta ve W
(f∗g)(xλ) = ((f∗g)(x))λ= (f(x)⋅g(x))λ
nın Y de açık bir Q-komşuluğu olsun. (Y, Υ) bir fuzzy topolojik grup olduğundan U⋅V⊆W
olacak şekilde f(x)λ nın U ve g(x)λ nın V açık Q-komşulukları vardır. Ayrıca f ve g Fsürekli olduğuna göre xλ fuzzy noktasının
f(U1) ⊆U ve g(V1) ⊆V
olacak şekilde X de U1 ve V2 açık Q-komşulukları vardır. Açık olarak U1∩V1 kesişimi de X
de xλ açık bir Q-komşuluğudur. Şimdi
(f∗g)(U1∩V1) ⊆W
olduğunu gösterelim. Gerçekten yµ∈U1∩V1 için
(f∗g)( yµ) = (f(y)g(y))µ = (f∗g)(y)µ∈W
olduğunu göstereceğiz. yµ∈U1 ve yµ∈V1 dir. Buradan
f(yµ) = f(y)µ∈U ve g(yµ) = g(y)µ∈V
elde edilir. O halde U(f(y)) ≥ µ ve V(g(y)) ≥ µ dir. Ayrıca
(U⋅V)(f(y)g(y)) = sup {min{U(z1),V(z2)  z1z2= f(y)g(y)}} ≥ µ
64
dır. U⋅V⊆W olduğuna göre
µ ≤ (U⋅V)( f(y)g(y) ) ≤ W( f(y)g(y) )
dır. Böylece (f(y)g(y))µ = (f∗g)(y)µ∈W elde edilir. O halde (f∗g)(U1∩V1) ⊆W dir ve f∗g
dönüşümü F-süreklidir.
Son olarak f–1 dönüşümünün F-sürekli olduğunu gösterelim. xλ, X de bir fuzzy nokta ve W,
f–1(xλ) = f–1(x)λ= f(x)λ-1
nın Y de açık bir Q-komşuluğu olsun. (Y, Υ ) bir fuzzy topolojik grup olduğuna göre U–
1
⊆W olacak şekilde f(x)λ nın açık bir U Q-komşuluğu vardır. f, X de xλ fuzzy noktasında
F-sürekli olduğuna göre xλ nın f(U1)⊆U olacak şekilde X de açık bir U1 Q-komşuluğu
vardır. Şimdi
f–1(U1) ⊆W
olduğunu gösterelim. yµ∈U1 olsun. f(yµ) = f(y)µ∈U dur. O halde
µ ≤ U(f(y)) = U–1(f(y)-1) ≤ W(f(y)-1) = W(f–1(y))
dir. Böylece f–1(y)µ = f–1(yµ)∈W dir ve f–1 dönüşümü F-süreklidir.
Önerme 5.1.11: (X,T) bir fully stratified uzay, (Y, Υ) bir fuzzy topolojik grup ve e, Y
grubunun birim elemanı olsun. Bu burumda e′: X→Y, e′(x) = e dönüşümü
F-süreklidir.
İspat: U∈Υ olsun. (e′)-1(U)∈T olduğunu gösterelim. Her x∈X için
(e′)-1(U)(x) = U(e′(x)) = U(e)
dir. O halde (e′)-1(U) fuzzy kümesi sabittir. (X,T) fully stratified uzay olduğuna göre (e′)1
(U)∈T elde edilir.
Önerme 5.1.12: (X,T) bir fully stratified uzay, (Y, Υ) bir fuzzy topolojik grup olsun. Bu
burumda (FC(X,Y), ∗) çifti bir gruptur.
İspat: f, g, h∈FC(X,Y) olsun. Her x∈X için
65
((f∗g) ∗h)(x) = (f∗g)(x)h(x) = (f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)) = f(x)((g∗h)(x))
= (f∗(g∗h))(x)
dir. Böylece (f∗g)∗h = f∗(g∗h) elde edilir. Şimdi f∈FC(X,Y) olsun. e′∈FC(X,Y) olduğuna
göre her x∈X için
(f∗e′)(x) = f(x) e′(x) = f(x) e = f(x)
(e′∗f)(x) = e′(x)f(x) = e f(x) = f(x)
dir. Böylece f∗e′= e′∗f= f elde edilir. O halde e′, FC(X,Y) nin birim elemanıdır.
Son olarak her f∈FC(X,Y) için
(f∗f–1)(x) = f(x) f–1(x) = f(x) f(x)-1 = e = e′(x)
(f–1∗f )(x) = f–1(x) f(x) = f(x)-1f(x) = e = e′(x)
olacak şekilde bir f–1∈ FC(X,Y) dönüşümü vardır. Böylece f ∗ f–1= f–1∗ f= e′ elde edilir. O
halde f–1∈ FC(X,Y) dönüşümü f nin ters elemanıdır. Böylece (FC(X,Y), ∗) çifti bir gruptur.
Önerme 5.1.13: (X,T) bir fully stratified uzay, (Y, Υ) bir fuzzy topolojik grup olsun. Y bir
abel grup ise (FC(X,Y), ∗) da bir abel gruptur.
İspat: (FC(X,Y), ∗) nin bir grup olduğunu gösterdik. f, g∈FC(X,Y) olsun. Her x∈X için
(f∗g)(x) = f(x) ⋅g(x) = g(x) ⋅f(x) = (g∗f)(x)
dir. O halde f∗g = g∗f ve böylece (FC(X,Y), ∗) bir abel gruptur.
Önerme 5.1.14: (X,T) bir fully stratified uzay, (Y,Υ) bir fuzzy topolojik grup ve H, Y de
bir fuzzy alt grup olsun. Bu durumda
G(f) = inf{H(f(x))  x∈X} ,f∈ FC(X,Y)
şeklinde tanımlanan G∈FP(FC(X,Y)) fuzzy altkümesi bir fuzzy alt gruptur.
İspat: (FC(X,Y), ∗) bir gruptur. f, g∈FC(X,Y) olsun.
G(f∗g) = inf{H((f∗g)(x))  x∈X}
= inf {H(f(x) g(x))  x∈X}
66
≥ inf {min{H(f(x)), H(g(x)) } x∈X }
≥ min {inf{H(f(x)) x∈X}, inf{H(g(x)) x∈X}}
= min{G(f), G(g)}
elde edilir. f ∈FC(X,Y) dönüşümü için
–1
G(f–1) = inf{H(f–1(x))  x∈X }
= inf {H(f(x)-1)  x∈X }
≥ inf {H(f(x)) x∈X }
= G(f)
dir. Böylece G∈FP( FC(X,Y)) bir fuzzy alt gruptur.
Önerme 5.1.15: A ve B bir X grubundaki S fuzzy topolojik yarı grubunun fuzzy
altkümeleri ve C, X de bir G fuzzy topolojik grubunun fuzzy altkümesi olsun. Bu durumda
(i) A ve B fuzzy kompakt ise AB fuzzy kompakttır.
(ii) C fuzzy kompakt ise C–1 fuzzy kompakttır.
dir.
İspat: (i) α:S×S→S , α(x,y) = xy dönüşümü F-süreklidir. Ayrıca A×B çarpımı da
kompakttır. Fuzzy kompakt bir altkümenin F-sürekli görüntüsü fuzzy kompakt olduğuna
göre
α(A, B) = α(A×B) = AB
fuzzy kompakttır.
(ii) β: G→G, β(x) = x–1 dönüşümü F-sürekli ve fuzzy kompakt bir altkümenin F-sürekli
görüntüsü fuzzy kompakt olduğuna göre
β(C) = C–1
fuzzy kompakttır.
5.2 Komşuluk Sistemleri
(X,T) fuzzy topolojik grubunda e, X grubunun birim elemanı olmak üzere eλ ya bir fuzzy λ
birim ya da kısaca F-λ birim denir.
67
Önerme 5.2.1: (X,T) fuzzy topolojik grup ve (X,T) fuzzy topolojik uzayı fully stratified
uzay olsun. Eğer herhangi bir λ∈(0, 1] için Υ ={U} eλ nın açık bir Q-komşuluk tabanı ise
(i)
Υλ ={Uλ = U∩λ*  U∈Υ veλ= sup{U(e)  U∈Υ}}, eλ nın açık bir Q-komşuluk
tabanıdır. Bu tabana eλ nın F-λ Q-komşuluk tabanı denir.
(ii) {xλ Υλ }, xλ nın açık bir Q-komşuluk tabanıdır.
(iii) Aşağıdakiler sağlanır
(1) Uλ , Vλ ∈Υλ ⇒ Wλ ⊆Uλ ∩Vλ olacak şekilde bir Wλ ∈Υλ vardır.
(2) Uλ ∈Υλ ⇒ Vλ⋅Vλ ⊆ Uλ olacak şekilde bir Vλ ∈Υλ vardır.
(3) Uλ ∈Υλ ⇒ V -l 1 ⊆Uλ olacak şekilde bir Vλ ∈Υλ vardır.
(4) Herhangi bir Uλ ∈Υλ ve x∈X için x -l 1 Vλ xλ ⊆Uλ olacak şekilde bir Vλ ∈Υλ
vardır.
(5) Herhangi bir Uλ ∈Υλ için xρqUλ ⇒ xρVρ ⊆Uλ olacak şekilde bir Vρ ∈Υρ
vardır.
ifadeleri sağlanır (Liang and Hai 1984).
Önerme 5.2.2: X bir grup ve e, X in birim elemanı olsun. Her λ∈(0, 1] için
Υλ ={Uλ}, X de
(i) Her Uλ ∈Υλ için eλqUλ dir.
(ii) 1≥λ ≥ sup{Uλ(e)} ise herhangi bir Uλ ∈Υλ ve her x∈X için Uλ(x)≤λ dir.
(iii) Υλ , Önerme 5.2.1 deki (iii)(1)-(5) şartlarını sağlar.
şartlarını sağlayan fuzzy altkümelerin bir ailesidir.
Ux ={U xλUλ ⊆U olacak şekilde bir Uλ∈Υλ vardır}
l
olsun. Bu durumda T ={U U∈ Ux , xλqU}, X için bir fuzzy topolojidir ve (X,T) bir fuzzy
l
topolojik gruptur. Ayrıca {xλUλ}, xλ nın T fuzzy topolojisine göre açık bir Q-komşuluk
tabandır.
68
İspat: İlk olarak Teorem 3.1.1 (i)-(iv) şartlarının Ux için sağlandığını gösterelim.
l
(i) U∈ Ux ise tanımdan xλUλ ⊆U olacak şekilde bir Uλ ∈Υλ vardır.
l
xλ q xλUλ
olduğuna göre xλ qU elde edilir.
(ii) U,V∈ Ux ise tanımdan xλUλ ⊆U ve xλVλ ⊆V olacak şekilde Uλ ,Vλ∈Υλ vardır.
l
Υλ , Önerme 5.2.1 deki (iii) şartını sağladığına göre
Wλ ⊆Uλ∩Vλ
olacak şekilde bir Wλ ∈Υλ vardır. Sonuç olarak
xλW λ ⊆ xλUλ ∩ xλVλ ⊆ U∩V
dir. O halde U∩V∈ Ux elde edilir.
l
(iii) Açıktır.
(iv) U∈ Ux ise tanımdan xλUλ⊆U olacak şekilde bir Uλ∈Υλ vardır. V= xλUλ dersek
l
V∈ Ux ve V⊆U
l
olur. Eğer yρqV ise V(y)> 1-ρ olduğuna göre
V(y) = xλUλ(y)= Uλ(x-1y)> 1-ρ
dır. O halde (x-1y)ρq Uλ elde edilir. Υλ , Önerme 5.2.1-(iii) şartını sağladığından
(x-1y)ρ Vρ ⊆Uλ
olacak şekilde bir Vρ∈Υρ vardır. Buradan
xλ x-1ρ yρVρ ⊆ xλUλ = V
dir. Eğer λ ≥ρ ise yρVρ⊆V dir. λ <ρ ise
xρ (x-1y) ρVρ⊆ xρUλ = xλUλ= V
dir. Buradan yρVρ⊆V elde edilir. Bu durumda V∈ Uy r dir.
Böylece T, X için bir fuzzy topoloji, Ux , xλ için bir Q-komşuluk sistemi ve {xλUλ}, xλ
l
için açık bir Q-komşuluk tabanıdır.
Şimdi (X,T) nin fuzzy topolojik grup olduğunu gösterelim.
(1) (xy)λ nın bir W Q-komşuluğu için
69
(xy)λ Uλ⊆W
olacak şekilde Uλ ∈Υλ vardır. Ayrıca
V′λV′λ⊆ Uλ
ve
y-1λVλ yλ⊆ V′λ
olacak şekilde bir V′λ ∈Υλ ve bir Vλ ∈Υλ vardır. Buradan
(xλVλ )( yλV′λ) = (xy) λ (y-1λVλ yλ) V′λ⊆ (xy)λ V′λV′λ⊆(xy)λ Uλ⊆W
dır. Açık olarak xλVλ ve yλV′λ sırasıyla xλ ve yλ nın Q-komşuluklarıdır.
(2) x-1λ nın bir U Q-komşuluğu için
x–1λUλ ⊆ U
olacak şekilde Uλ∈ Υλ vardır. Ayrıca
(V′λ)-1 ⊆Uλ
olacak şekilde bir V′λ∈Υλ ve V′λ için ise
x–1λVλ xλ ⊆ V′λ
olacak şekilde bir Vλ∈Υλ vardır. Böylece
(xλVλ)-1 = V–1λ x–1λ = x–1λ (xλV–1λ x–1λ) ⊆ x–1λ (V′λ)-1 ⊆ x–1λ Uλ ⊆ U
olacak şekilde xλ nın xλVλ Q-komşuluğu vardır.
Böylece (X,T) fuzzy topolojik gruptur.
Önerme 5.2.3: (X,T) fuzzy topolojik grup, e X in birim elemanı ve (X,T) fully stratified
uzay veya T de fuzzy küme mevcut olmasın. Bu durumda W, eλ nın Q-komşuluğu ise a1W,
aλ nın Q-komşuluğudur.
İspat: W, eλ nın Q-komşuluğu olduğuna göre λ+U(e) > 1 ve U⊆W olacak şekilde bir U
fuzzy açık altkümesi vardır. Ayrıca
a1U(a) = min{a1(a), U(e)}= U(e)
dir. U(e) > 1-λ olduğuna göre
aλ(a) + a1U(a) = λ + U(e) >λ +(1-λ) = 1
dir. Yani aλq a1U dir. Her z∈X için
a1W(z) = W(a-1z) ≥ U(a-1z) = a1U(z)
70
dir. Önerme 5.1.6 dan dolayı a1U fuzzy açık olduğuna göre a1U, aλnın a1U⊆ a1W olacak
şekilde bir Q-komşuluğudur. Böylece a1W, aλ nın Q-komşuluğudur.
Önerme 5.2.4: G, bir X grubunda fuzzy topolojik grup, e, X in birim elemanı olsun. Bu
durumda a∈Ge ve W, e nin W(e)= 1 olacak şekilde bir komşuluğu ise aW, a nın
aW(a) = 1 olacak şekilde bir komşuluğudur.
İspat: W, e nin komşuluğu olduğuna göre e∈U⊆ W olacak şekilde bir U fuzzy açık
altkümesi vardır. la: G→G, la(x)= ax sol dönüşümü F-homeomorfizm olduğuna göre aU
fuzzy açıktır. Her x∈X için
aW(x) = W(a-1x) ≥ U(a-1x) = aU(x)
dir. Ayrıca
aW(a) = W(a-1a) = W(e) = 1
olduğuna göre aW(a) =1 dir ve
aU ⊆ aW
olacak şekilde bir aU fuzzy açık altkümesi vardır. O halde aW, a nın aW(a) = 1 olacak
şekilde bir komşuluğudur. Böylece ispat tamamlanır.
Klasik topolojik grup teorisinde {W}, bir X topolojik grubunun birim elemanı e nin
komşuluk sistemi ise A, X nin herhangi bir altkümesi olmak üzere A = ∩AW =∩WA dır.
Aşağıdaki teorem bu ifadenin fuzzy topolojik gruplara bir genişletilmesidir.
Önerme 5.2.5: (X,T) fuzzy topolojik grup, e X in birim elemanı ve (X,T) fully stratified
uzay veya T de fuzzy küme mevcut olmasın. Bu durumda A∈FP(X) ve {W}, eρ nın Qkomşuluk sistemi olmak üzere
(i) λ≥ ρ için xλ ∈ A ⇒ ( I W∈{W} AW) (x) = ( I W∈{W} WA) (x) > 0
(ii) λ≤ ρ için xλ∈ I W∈{W} AW = I W∈{W} WA ve λ> 0.5 ⇒ xλ ∈ A
71
İspat:
(i) xλ ∈ A olduğuna göre xλ nın her Q-komşuluğu A ile quasi-coincidenttir. Ayrıca herhangi
bir W∈{W} için
U⊆W ve U(e) + ρ >1
olacak şekilde bir U fuzzy açık altkümesi vardır. Önerme 5.1.6 den x1U–1 fuzzy açıktır.
x1U–1(x) = sup min{x1(c), U–1(d)}
x =cd
= min{x1(x), U–1(e)}
= min{1, U(e)}
= U(e)
olduğuna göre
x1U–1(x) + xλ(x) = U(e) + λ
≥ U(e) + ρ
>1
dir. O halde xλq x1U–1 ve x1U–1⊆x1W–1 yani x1W-1, xλ nın bir Q-komşuluğudur.
(x1W–1)qA olduğuna göre bir y∈X için
x1W–1(y)+ A(y) > 1
dir. Bu durumda
x1W-1(y) > 0 ve A(y) > 0
dır. Ayrıca
x1W–1(y) = sup min{x1(c), W–1(d)}
y =cd
= min{x1(x), W–1(x-1y)}
= W–1(x-1y)
= W(y-1x)
dir. Böylece
AW(x) = sup min{A(c), W(d)}
x =cd
≥ min{A(y), W(y-1x)}
= min{A(y), x1W–1(y)}
72
>0
Buradan her W∈{W} için AW(x) > 0 dir. Böylece
(∩AW)(x) = inf W∈{W} AW(x) > 0
elde edilir. ∩AW= ∩WA olduğu da kolaylıkla gösterilebilir.
(ii) Her W∈{W} için xλ∈AW olsun. Bu durumda AW(x) ≥ λ dir. V, xλ nın herhangi bir Qkomşuluğu olsun. O halde U(x) + xλ(x) = U(x) + λ >1 ve U⊆V olacak şekilde bir U fuzzy
açık altkümesi vardır. Buradan V(x)> 0 dır. Ayrıca U-1x1 Önerme 5.1.6 dan fuzzy açıktır.
U-1x1(e) = sup min{U–1(c), x1(d)}
e =cd
= min{U–1(x–1), x1(x)}
= min{U(x), 1}
= U(x)
olduğuna göre
U-1x1(e) + eρ(e) = U(x) + ρ ≥ U(x) + λ >1
dir. Açık olarak U-1x1⊆ V-1x1 dir. O halde V-1x1, eρ nun bir Q-komşuluğudur. Yani
V-1x1∈{W}dir. Böylece
AV-1x1(x) ≥ λ
dır. Ayrıca
AV-1x1(x) = sup min{AV–1(c), x1(d)}
x =cd
= min{AV–1(e), x1(x)}
= AV–1(e)
olduğuna göre AV–1(e) ≥ λ elde edilir.
AV–1(e) = sup min{A(k), V–1(k–1)}
e = k k −1
= sup min{A(k), V(k)}
e = k k −1
Böylece
AV–1(e) = min{A(z), V(z)}
73
olacak şekilde bir z ∈X vardır. AV–1(e) ≥ λ olduğuna göre A(z) ≥ λ ve V(z) ≥ λ dir. λ> 0.5
olduğuna göre
A(z) + V(z) ≥ λ+ λ = 2λ >1
dir. Buradan VqA elde edilir. O halde Teorem 3.1.4 den xλ∈ A dir. Böylece ispat
tamamlanır.
5.3 Fuzzy Topolojik Alt Grup, Normal Alt Grup ve Bölüm Grubu
Tanım 5.3.1 : (X,T) fuzzy topolojik grup ve H∈ F(X) olsun. Bu durumda TH, H üzerine
indirgenmiş fuzzy topoloji olmak üzere (H, TH) ye (X,T) fuzzy topolojik grubunun bir
fuzzy alt grubu denir.
H∈FN(X) ise (H, TH) ye fuzzy normal alt grup denir.
Önerme 5.3.1: (X,T) fuzzy topolojik grup olsun. Bu durumda
(i) (H, TH), (X,T) nin fuzzy alt grubu ve
x ∈ suppH
x ∉ suppH
λ
H(x)= 
0
ise (H, TH ) , (X,T) nin fuzzy alt grubudur.
(ii) H, X in klasik bir normal alt grubu ise (H, TH ) , (X,T) nin fuzzy normal alt grubudur.
İspat:
(i) H nın X grubunun fuzzy alt grubu olduğunu gösterelim. a λ1 , b λ2 ∈ H ise a λ1 b λ2 ∈ H ve
a −1 ∈ H olduğunu göstermek yeterlidir. λ′ = min{λ1, λ2} ve W, (ab) λ′ nın bir Q-komşuluğu
λ1
olsun. Bu durumda UV⊆W olacak şekilde a λ′ nın U ve b λ′ nın V Q-komşulukları vardır.
a λ′ , b λ′ ∈ H olduğuna göre
U(x)+H(x) > 1 ve V(y)+H(y) >1
74
olacak şekilde x, y∈ supp H vardır. O halde
W(xy)+ H(xy) ≥ UV(xy)+ H(xy) ≥ min{U(x), V(y)} +λ>1
dir. Böylece WqH dir. Teorem 3.1.4 den dolayı a λ1 b λ2 = (ab) λ′ ∈ H elde edilir. Benzer
şekilde a −λ 1 ∈ H olduğu da gösterilebilir.
1
(ii) (i) den H , X in fuzzy alt grubudur. Her aλ∈ H ve x∈X için (x-1ax)λ∈ H olduğunu
göstermek yeterlidir. W, (x-1ax)λ fuzzy noktasını bir Q-komşuluğu olsun. Bu durumda
U1U2U3 ⊆ W
olacak şekilde x-1λ nın U1, aλ nın U2 ve xλ nın U3 Q-komşulukları vardır.
λ′ = min{U1(x–1), U3(x)}
olsun. U2, aλ nın Q-komşuluğu olduğuna göre U2 ve H bir y∈X noktasında quasicoincidenttir. O halde
W(x-1yx) + H(x-1yx) ≥ x -1λ′ U2 x λ′ (x-1yx) + 1 = min{ λ′ , U2(y)} +1 > 1
dir. Yani WqH dir. W, (x-1ax)λ nın herhangi bir Q-komşuluğu olduğuna göre
(x-1ax)λ∈ H dır. Böylece ispat tamamlanır.
Lemma 5.3.1: (X,T) fuzzy topolojik grup ve A, B∈FP(X) olsun. (X,T) fully stratified uzay
veya T de fuzzy altküme mevcut olmasın. Bu durumda
(i) aAa- 1 = a A a–1 (a∈X sabit bir nokta)
(ii) A × B ⊆ A ´ B ⇒ A B ⊆ AB ve A B- 1 ⊆ AB-
1
dir.
İspat: (i) Önerme 5.1.6 den dolayı a A a–1 kapalı bir fuzzy altkümedir. aAa- 1 , aAa–1
kümesini kapsayan en küçük kapalı küme olduğuna göre
aAa- 1 ⊆ a A a–1
dır. Ayrıca
ϕ: (X,T)→(X,T) , ϕ (x) = axa–1
75
dönüşümü Önerme 5.1.5 den dolayı F-homeomorfizmdir. O halde Teorem 3.2.3 den dolayı
ϕ( A ) ⊆ j (A) yani
a A a–1 = ϕ( A ) ⊆ j (A)= aAa-
1
dir. Böylece
a A a–1⊆ aAa- 1
elde edilir. O halde aAa- 1 = a A a–1 dir.
(ii) Önerme 5.1.1 ve Önerme 5.1.2 den f: (X,T)×(X,T)→(X,T), f(x, y)= xy–1 dönüşümü Fsüreklidir. A × B ⊆ A ´ B olduğuna göre
f( A , B ) ⊆ f( A ´ B )
dir. Ayrıca f, F- sürekli olduğuna göre Teorem 3.2.3 den dolayı
f( A ´ B ) ⊆ f (A ´ B)
dir. Böylece f( A , B ) ⊆ f (A ´ B) ve
A ( B )–1⊆ AB-
1
elde edilir. Şimdi ( B )–1 = B- 1 olduğunu gösterelim. Ki T kapalı olmak üzere her x∈X için
- 1
B
æ
ç
(x) = ççç I
ççèB- 1Í
ö
÷
÷
(x) = inf Ki(x)
Ki ÷
÷
÷
÷
B- 1Í K i
Ki
ø
=
inf
BÍ K i-
1
Ki–1(x–1)
= B (x–1) = ( B )–1(x)
olduğuna göre B- 1 = ( B )–1 dir. O halde
A B- 1 ⊆ AB- 1
elde edilir. A B ⊆ AB olduğu da benzer şekilde gösterilir.
76
Klasik topolojik grup teorisinde S, bir X topolojik grubunun alt grubu ise S de X nin alt
grubu ve S, X nin normal alt grubu ise S de X nin normal alt grubudur. Aşağıdaki teorem
bu durumun fuzzy topolojik gruplara genişletilmesidir.
Önerme 5.3.2: (X,T) fully stratified uzay veya T de fuzzy küme mevcut olmasın. Ayrıca
H × H ⊆ H ´ H olsun. Bu durumda
(i) H, (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy alt grubu ise H da (X,T) nun fuzzy alt
grubudur.
(ii) H, (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy normal alt grubu ise H da (X,T) nun fuzzy
normal alt grubudur.
İspat: (i) w∈X olsun. H fuzzy alt grup olduğuna göre her z∈X için
H(z) = H(ww-1z)≥ min{H(w), H(w-1z)}
dir. Bu durumda
H(z) ≥ sup min{H(a), H(b)}= HH(z)
z=ab
dir. O halde her z∈X için
HH⊆H
elde edilir. Bu durumda HH ⊆ H dir. Ayrıca Lemma 5.3.1 den dolayı H H ⊆ HH olduğuna
göre H H ⊆ H elde edilir. Bu ise
H (xy) ≥ H H (xy) = sup min{ H (a), H (b)} ≥ min{ H (x), H (y)}
xy=ab
demektir. H fuzzy alt grup olduğuna göre her x∈X için
H(x) = H(x–1) = H–1(x)
dir. Buradan H = H −1 dir. Ayrıca her x∈X için H −1 (x)=( H )-1(x) olduğu da Lemma 5.3.1
deki yöntemlere benzer bir yolla gösterilebilir. Bu durumda
H (x) = ( H )-1(x) = H (x–1)
elde edilir. O halde H , (X,T) nun bir fuzzy alt grubudur.
77
(ii) H fuzzy normal alt grup olsun. Bu durumda her a, b∈X için
H(ab) = H(ba)
dir. Buradan her a, b∈X için
xHx–1(z) = min{xH(zx), x–1(x–1)}
= xH(zx)
= min{x(x), H(x-1zx)}
= H(x-1zx)
= H(zxx–1)
= H(z)
elde edilir. O halde xHx–1= H dir. Bu durumda xHx -1 = H dir. Lemma 5.3.1 den
x H x–1= xHx -1 olduğuna göre her x∈X için
H = x H x–1
elde edilir. Böylece her x, y∈X için
H (xy) = x H x–1(xy)
= min{x(x), H x–1(x-1xy)}
= H x–1(y)
= min{ H (yx), x–1(x–1)}
= H (yx)
elde edilir. O halde H fuzzy normal alt gruptur.
Önerme 5.3.3: (X,T) fuzzy topolojik grup olsun. Eğer H, X in klasik anlamda açık bir alt
grubu ise H, X in kapalı bir alt grubudur.
İspat: τ = {A∈T  A, X in klasik anlamda bir altkümesi } olsun. Bu durumda (X, τ) klasik
bir topolojik gruptur. Klasik topolojik gruplarda (X, τ) nun her açık H alt grubu kapalı
olduğuna göre istenen elde edilir.
78
Önerme 5.3.4: (X,T) fuzzy topolojik grup, H, X in fuzzy açık alt grubu ve 0 ≤λ≤ 1, e, X in
birim elemanı olmak üzere
1
H(x)= 
λ
x=e
x ∈ suppH ve x ≠ e
olsun. Eğer T bütün fuzzy sabit altkümeleri içeriyor ve {e} kapalı bir fuzzy altküme ise H
fuzzy kapalıdır (Liang and Hai 1987).
Önerme 5.3.5: N, (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy normal alt grubu, X/N, X in fuzzy
bölüm grubu ve f: X→X/N, f(x)= xN= x′ örten bir dönüşüm olsun. e, X grubunun birim
elemanı olmak üzere herhangi bir λ∈(0,1] için Υλ ={Uλ}, eλ nın F-λ açık Q-komşuluk
tabanı olsun. Bu durumda Υ′λ ={U′λ U′λ=f(Uλ), Uλ∈Υλ} fuzzy altkümelerin Önerme
5.2.2 (i)-(iii) koşullarını sağlayan bir ailesidir.
İspat: Υ′λ açık olarak Önerme 5.2.2 nin (i) ve (ii) şartlarını sağlar. (iii) şartının
sağlandığını göstermeliyiz. Yani Önerme 5.2.1 deki (iii) (1)-(5) şartlarını göstermeliyiz.
(1)- (4) ü göstermek kolaydır. (5) i gösterelim.
Herhangi bir U′λ∈Υ′λ ve xρqU′λ için
U′λ(x′) = f(Uλ)(x′) =
sup
Uλ( x ) > 1-ρ
x Î f - 1 (x ¢)
olduğuna göre xρqUλ olacak şekilde bir x∈f–1(x′) vardır. Bu durumda xρVρ ⊆Uλ olacak
şekilde bir Vρ ∈Υρ vardır. Böylece V′ρ ∈Υ′ρ ve
x′ρV′ρ ⊆ U′λ
dir.
Önerme 5.3.6: N, (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy normal alt grubu, X/N, X in fuzzy
bölüm grubu olsun. Ayrıca Υ′λ , Önerme 5.3.5 deki gibi tanımlanmak üzere
Ux ¢ = {U′ x′λ U′λ ⊆ U′ olacak şekilde bir U′λ∈Υ′λ vardır}
l
79
ve Υ={U′ U′∈ Ux ¢ ∑ x′λqU′} olsun. Bu durumda (X/N, Υ) bir fuzzy topolojik gruptur.
l
(X/N, Υ) ya (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy bölüm grubu denir (Liang and Hai
1984).
Önerme 5.3.7: N, (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy normal alt grubu ve (X/N, Υ)
fuzzy bölüm grubu olsun. Bu durumda f: (X,T)→(X/N, Υ), f(x) = xN= x′ dönüşümü Fsürekli ve F-açıktır.
Bu dönüşüme (X,T) den fuzzy bölüm grubu (X/N, Υ) ya doğal dönüşüm denir.
İspat: Öncelikle f nin F-sürekli olduğunu gösterelim. Herhangi bir xλ∈X ve x′λ= f(xλ) nın
herhangi bir U′ Q-komşuluğu için xλUλ , xλ nın Q-komşuluğu ve f(xλUλ)= x′λU′λ
olmak üzere Önerme 5.2.2 den dolayı
x′λU′λ ⊆ U′
olacak şekilde bir U′λ∈Υ′λ vardır. Bu durumda f, X deki herhangi bir xλ fuzzy noktasında
F-süreklidir. Böylece f sürekli bir F-dönüşümdür.
Şimdi f nin F-açık olduğunu gösterelim. Herhangi bir A∈T için f(A)= B olsun. B∈Υ
olduğunu gösterelim. Herhangi bir xλqA için A xλ nın bir Q-komşuluğudur. {xλUλ}, xλ
nın Q-komşuluk tabanı olduğuna göre
xλUλ⊆A
olacak şekilde bir xλUλ vardır. Ayrıca A=
U
xλUλ olduğuna göre
x l qA
B = f(A) = f(
Ux
λUλ)
=
Uf(x
λUλ)
=
U x′
λU′λ∈Υ
x l qA
elde edilir.
Bu önermeden, Önerme 5.3.6 de verilen Υ fuzzy topolojisinin {A f–1(A)∈T} fuzzy
topolojiyle eşit olduğu gösterilebilir.
80
Önerme 5.3.8: N, (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy normal alt grubu ve (X/N, Υ)
fuzzy bölüm grubu olsun. Bu durumda f: (X,T)→(X/N, Υ), f(x)= xN doğal dönüşüm olmak
üzere Υ = {A f–1(A)∈T } dir (Liang and Hai 1984).
5.4 Homomorfizm ve İzomorfizm
X ve Y iki grup f, X den Y ye bir grup homomorfizmi, Υ, Y de bir fuzzy topoloji, T, X de
Υ nun f altındaki ters görüntüsü olan fuzzy topoloji ve G, Y de bir fuzzy topolojik grup
olsun. f–1(G) in X de bir fuzzy grup olduğunu biliyoruz. Şimdi aşağıdaki önerme ile f–1(G)
in X de indirgenmiş fuzzy topoloji ile birlikte bir fuzzy topolojik grup olduğunu
göstereceğiz.
Önerme 5.4.1: f: X→Y bir grup homomorfizmi, Υ, Y de bir fuzzy topoloji, T, X de Υ nun
f altındaki ters görüntüsü olan fuzzy topoloji ve G, Y de bir fuzzy topolojik grup olsun. Bu
durumda G nin ters görüntüsü f–1(G), X de bir fuzzy topolojik gruptur.
İspat: δX: (f–1(G), Tf–1(G))×(f–1(G), Tf–1(G))→(f–1(G), Tf–1(G)), δX(x1,x2) = x1x2–1
dönüşümünün rölatif F-sürekli olduğu gösterilim. U′∈T f–1(G) olsun. f: (X,T)→(Y, Υ) Fsürekli bir dönüşüm olduğuna göre f , (f–1(G), Tf–1(G)) den (G, ΥG) ye rölatif F-süreklidir. O
halde f–1(V′) = U′ olacak şekilde bir V′∈ΥG vardır. Her (x1,x2)∈X×X için
δX–1(U′)(x1,x2) = U′(δx(x1,x2))
= U′(x1x2–1)
= f–1(V′)(x1x2–1)
= V′(f(x1x2–1))
= V′(f(x1)f(x2) –1)
81
dir. Kabulden dolayı δY: (G,ΥG)×(G,ΥG)→(G,ΥG), δY(y1,y2) = y1y2–1 dönüşümü rölatif
fuzzy sürekli ve Önerme 3.3.3
den dolayı (f–1(G), Tf-1(G))×(f–1(G), Tf-1(G)) den
(G,ΥG)×(G,ΥG) ye f×f çarpım dönüşümü de rölatif fuzzy süreklidir. O halde Her
(x1,x2)∈X×X için
V′(f(x1)f(x2) –1) = δY–1(V′)(f(x1),f(x2))
= (f×f) –1(δY–1(V′))(x1,x2)
dir. Böylece
δX–1(U′) ∩ (f–1(G)×f–1(G)) = (f×f) –1(δY–1(V′)) ∩ (f–1(G)×f–1(G))
T f–1(G)×T f–1(G) indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır.
Önerme 5.4.2: f: X→Y bir grup homomorfizmi T, X de bir fuzzy topoloji, Υ, Y de T nin f
altındaki görüntüsü olan fuzzy topoloji ve G, X de bir fuzzy topolojik grup olsun. Eğer G,
f-invaryant ise f(G), Y de bir fuzzy topolojik gruptur.
İspat: Teorem 4.2.3 den dolayı f(G), Y de bir fuzzy alt gruptur.
δY: (f(G), Υf(G))×(f(G), Υf(G))→(f(G), Υf(G)) , δY (y1,y2) = y1y2–1
dönüşümünün rölatif F-sürekli olduğunu göstermeliyiz. Burada f, F-açıktır. Çünkü U∈T
için f–1(f(U)) açık fuzzy kümelerin birleşimi yani f–1(f(U))∈T olduğuna göre f(U)∈Υ dur.
Buradan f rölatif F-açıktır. Çünkü U′∈TG için U′=U∩G olacak şekilde bir U∈T vardır ve
G, f-invaryant olduğuna göre
f(U′) = f(U)∩f(G) ∈ Υf(G)
dir. Önerme 3.3.5 den dolayı (G,TG)×(G,TG) den (f(G), Υf(G))×(f(G), Υf(G)) ye f×f çarpım
dönüşümü de rölatif F-açıktır.
V′, Υf(G)-açık bir fuzzy altküme olsun. Her (x1,x2)∈X×X için
(f×f) –1(δY–1(V′))(x1, x2) = δY–1(V′)(f(x1),f(x2))
= V′[ δY(f(x1),f(x2) ) ]
= V′ (f(x1)f(x2)-1)
= V′(f(x1x2–1))
= f–1(V′)(x1x2–1)
82
= f–1(V′)(δX(x1, x2))
= (δX-1of–1)(V′)(x1, x2)
dir. Burada δX: (G, TG)×(G, T G)→(G, TG), δX(x1,x2)= x1x2–1 dönüşümü kabulden dolayı
rölatif F-sürekli ve f: (G, TG)→(f(G), Υf(G)) rölatif F-süreklidir. G, f-invaryant olduğuna
göre
(f×f) –1[ δY–1(V′) ∩ (f(G)×f(G)) ] = (f×f) –1( δY–1(V′)) ∩ (G×G)
TG×TG indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır. f×f rölatif F-açık olduğuna göre
(f×f) (f×f) –1[ δY–1(V′) ∩ ( f(G)×f(G) ) ] = δY–1(V′) ∩ ( f(G)×f(G) )
Υf(G)× Υf(G) indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır.
Şimdi Foster ın fuzzy topolojik grup tanımından yola çıkarak bölüm fuzzy topolojik
grubunu inceleyelim.
X bir grup, T, X üzerinde bir fuzzy topoloji, G, X de bir fuzzy topolojik grup ve N, X in
klasik anlamda bir normal alt grubu olsun. Ayrıca φ, X den X/N bölüm grubu üzerine
kanonik homomorfizmi olsun. Eğer G nin üyelik fonksiyonu N üzerinde sabit ise φ(G) X/N
de bir fuzzy alt grup olur.
Önerme 5.4.3: X bir grup, T, X üzerinde bir fuzzy topoloji, G, X de bir fuzzy topolojik
grup ve N, X in klasik anlamda bir normal alt grubu olsun. Ayrıca X/N bölüm grubu
üzerinde T nin φ kanonik homomorfizm altındaki görüntüsü olan fuzzy topoloji mevcut
olsun. Bu durumda G nin üyelik fonksiyonu N üzerinde sabit ise φ(G)=G/N, X/N de bir
fuzzy topolojik gruptur (Foster 1979).
X/N bölüm grubu üzerinde yukarıdaki gibi tanımlanan fuzzy topolojiye bölüm fuzzy
topoloji ve G/N ye bölüm fuzzy topolojik grubu denir (Foster 1979).
Önerme 5.4.4: f:X→Y örten bir grup homomorfizmi, T ve Υ sırasıyla X ve Y de fuzzy
topoloji ve f, F-sürekli ve F-açık olsun. Ayrıca G, X de üyelik fonksiyonu, f–1(e) çekirdeği
83
üzerinde sabit olan bir fuzzy topolojik grup ve X/f–1(e) bölüm grubu üzerinde bölüm fuzzy
topolojisi mevcut olsun. Bu durumda
(i) G/f–1(e) ve f(G) fuzzy alt grupları sırasıyla X/f–1(e) ve Y de fuzzy topolojik gruplardır.
(ii) X/f–1(e) den Y üzerine g kanonik izomorfizmi G/f–1(e) den f(G) üzerine Fhomeomorfizmdir.
İspat: (i) Önerme 5.4.3 den G/f–1(e), X/f–1(e) de fuzzy topolojik gruptur. f, F-sürekli ve Façık olduğuna göre T nin f altındaki görüntüsü Υ ile uyumludur. V∈FP(Y) ve
f–1(V) T-açık ise f(f–1(V))=V Υ-açıktır. Tersine V, Υ-açık ise f–1(V) T-açıktır. Bu
durumda Önerme 5.4.2 den f(G), Y de fuzzy topolojik gruptur.
(ii) V′, f(G) ye indirgenmiş fuzzy topoloji Υf(G) de açık ve φ, X den X/f–1(e) üzerine kanonik
homomorfizmi olsun. f rölatif F-sürekli olduğuna göre
f–1(V′) = φ–1(g–1(V′))
TG-açıktır. Bu durumda φ rölatif F-açık olduğuna göre g–1(V′), G/f–1(e) üzerine indirgenmiş
fuzzy topolojide açıktır.
Şimdi U′, G/f–1(e) üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide açık olsun. Bu durumda
φ–1(U′) = f–1(g(U′))
G ye indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır. O halde f rölatif F-açık olduğuna göre g(U′) Υf(G)
de açıktır.
Şimdi Liang ve Hai nin 1984 de yayınladıkları makalelerinde fuzzy topolojik gruplar
arasındaki izomorfizm ve homomorfizm tanımlarını verelim.
Tanım 5.4.1: (X,T) ve (Y, Υ) iki fuzzy topolojik grup f: (X,T)→(Y, Υ) bir dönüşüm olsun.
Bu durumda f
(i)
f, X grubundan Y grubuna bir izomorfizmdir.
(ii) f, (X,T) fuzzy topolojik uzayından (Y, Υ) fuzzy topolojik uzayına bir Fhomeomorfizmdir.
koşullarını sağlıyor ise f ye (X,T) fuzzy topolojik grubundan (Y, Υ) fuzzy topolojik
grubuna bir izomorfizm denir.
84
Tanım 5.4.2: (X,T) ve (Y, Υ) iki fuzzy topolojik grup f: (X,T)→(Y, Υ) bir dönüşüm olsun.
Bu durumda f
(i) f, X grubundan Y grubuna bir homomorfizmdir.
(ii) f, (X,T) fuzzy topolojik uzayından (Y, Υ) fuzzy topolojik uzayına F-sürekli bir
dönüşümdür.
koşullarını sağlıyor ise f ye (X,T) fuzzy topolojik grubundan (Y, Υ) fuzzy topolojik
grubuna bir homomorfizm denir.
Önerme 5.4.5: (X,T) ve (Y, Υ) iki fuzzy topolojik grup, f, X den Y ye homomorfizm ve e,
X in birim elemanı olsun. Herhangi bir λ∈(0, 1] için f, eλ da F-sürekli (açık) ise f, Fsüreklidir.
İspat: f(xλ) = x′λ olsun. Ayrıca Υλ ={Uλ}, eλ nın bir Q-komşuluk tabanı ve e′, Y nin
birim elemanı olmak üzere Υ′λ ={U′λ}, e′λ nün bir Q-komşuluk tabanı olsun. x′λ nün
herhangi bir W Q-komşuluğu için Önerme 5.2.1 den x′λ U′λ ⊆ W olacak şekilde bir U′λ∈
Υ′λ vardır. Kabulden dolayı U′λ için
f(Uλ) ⊆ U′λ
olacak şekilde bir Uλ∈ Υλ vardır. Ayrıca xλ Uλ , xλ nın bir Q-komşuluğu ve
f(xλ Uλ) = f(xλ)f(Uλ)⊆ x′λ U′λ ⊆ W
olduğuna göre f, xλ da F-sürekli ve böylece f , F-süreklidir.
f, eλ da F-açık bir dönüşüm ise f nin F-açık bir dönüşüm olduğu benzer şekilde
gösterilebilir.
Önerme 5.4.6: (X,T) fuzzy topolojik grup, (X/N, Υ) fuzzy bölüm grubu olsun. Bu durumda
f: (X,T)→(X/N, Υ), f(x) = xN dönüşümü F-açık bir homomorfizmdir (Liang and Hai 1984).
Önerme 5.4.7: g , (X,T) fuzzy topolojik grubundan (Y,Φ) fuzzy topolojik grubuna F-açık,
örten bir homomorfizm olsun. Bu durumda e′, Y nin birim elemanı ve N = g–1(e′λ) olmak
85
üzere (N,TN), (X,T) fuzzy topolojik grubunun fuzzy normal bir alt grubu ve (X/N,Υ) fuzzy
bölüm grubu, (Y,Φ) fuzzy topolojik grubuna izomorfiktir.
İspat: (N,TN), tanım gereği (X,T) fuzzy topolojik grubunun normal alt grubudur. Kabulden
dolayı herhangi bir y∈Y için g(x)= y olacak şekilde bir x∈X vardır.
Şimdi ψ: (Y,Φ)→(X/N,Υ), ψ(y)= xN dönüşümünü tanımlayalım. Burada y = g(x) dir. Açık
olarak ψ, Y grubundan X/N grubuna bir izomorfizmdir.
f: (X,T)→(X/N, Υ), f(x) = xN olsun. Bu durumda f açık ve süreklidir. ψog= f ve herhangi
bir U∈Υ için
(ψog)-1(U)= g–1(ψ-1(U))∈T
dir. Ayrıca g açık olduğuna göre
g(g–1(ψ-1(U)))= ψ-1(U)∈Φ
dir. Böylece ψ süreklidir.
Diğer taraftan herhangi bir A∈Φ için, g sürekli olduğuna göre g–1(A)∈T dir. f açık
olduğuna göre f(g–1(A))∈Υ dur. Yani
(ψog)( g–1(A))= ψ(A)∈Υ
elde edilir. Böylece ψ açıktır.
Ayrıca ψ birebir-örtendir. Sonuç olarak ψ-1 süreklidir. Buradan ψ, (Y,Φ) fuzzy topolojik
uzayından (X/N, Υ) fuzzy topolojik uzayına bir homeomorfizmdir.
Böylece ψ, (Y,Φ) fuzzy topolojik grubundan (X/N,Υ) fuzzy topolojik grubuna bir
izomorfizmdir.
Özel olarak N= {eλ} ise ψ= g ve (Y,Φ) ile (X, Υ) izomorfiktir.
5.5 Fuzzy Topolojik Grupların Kartezyen Çarpımı
Bu kısımda daha önce Bölüm 3.3 de verilen fuzzy topolojik uzayların çarpım uzayı tanımı
ile uyumlu yeni bir tanım verdikten sonra fuzzy topolojik grupların kartezyen çarpımını ele
alacağız.
86
{(Xi,Ti)  i= 1,2,..,n} fuzzy topolojik grupların bir ailesi ve her i= 1,2,..,n için Ai∈FP(Xi)
n
olsun. {Ai i= 1,2,..,n} ailesinin çarpımı A= Õ A i ( ≡ A1×A2×...×An ≡ (A1,A2,...,An)), X=
i= 1
Õ
iÎ I
X i de üyelik fonksiyonu
A(x1,…,xn) = min{A1(x1),…,An(xn)} ,∀ (x1,…,xn)∈X
şeklinde tanımlı bir fuzzy altkümedir.
fuzzy noktasının Ti ye göre fuzzy açık bir Q-komşuluk sistemi
Ux(i) , her i= 1,2,..,n için x (i)
l
l
olsun. Açık olarak Ui∈ U (i) olmak üzere xλ= (x(1), x(2) ,..., x(n))λ ile
xl
n
ÕU
i
i= 1
n
quasi-coincidenttir. Yani xλq Õ Ui dir.
i= 1
n
ÕU
i
(x(1), x(2) ,..., x(n)) +λ = min{U1(x(1)),..., Un(x(n))} +λ
i= 1
= min{U1(x(1)) +λ,..., Un(x(n)) +λ}
>1
n
Şimdi Ux = { U xl  Õ Ui ⊆ U xl olacak şekilde Ui∈ U (i) i= 1,2,..,n vardır} olsun. Bu
l
xl
i= 1
durumda her x∈X ve λ∈(0,1] için Ux X de fuzzy altkümelerin bir ailesidir.
l
Önerme 5.5.1: Yukarıdaki şekilde tanımlanan her Ux l fuzzy altküme ailesi Teorem 3.1.1
deki (i)-(iv) şartlarını sağlar. Bu durumda
T= {U∈ Ux l  xλq U}
X=
Õ
iÎ I
X i için bir fuzzy topolojidir. Ayrıca Ux l , (X,T) fuzzy topolojik uzayında xλ nın
n
bir Q-komşuluk sistemi ve { Õ Ui  Ui∈ U (i) i=1,2,..,n} açık bir Q-komşuluk tabanıdır.
i= 1
xl
87
İspat: (i) U xl ∈ Ux l ise Ux l nın tanımından
n
ÕU
i
⊆ U xl
i= 1
n
olacak şekilde Ui∈ U (i) vardır. xλq Õ Ui olduğuna göre xλq U xl elde edilir.
xl
i= 1
(ii) U xl , Vx l ∈ Ux l ise
n
Õ Ui ⊆ U xl ve
i= 1
n
Õ V ⊆ Vx
i
l
i= 1
olacak şekilde Ui, Vi∈ U (i) vardır. Buradan
xl
n
n
i= 1
i= 1
( Õ Ui )∩( Õ Vi )⊆ U xl ∩ Vx l
n
n
n
i= 1
i= 1
i= 1
dir. Ayrıca ( Õ Ui ) ∩ ( Õ Vi ) = Õ (Ui Ç Vi ) olduğuna göre
n
Õ (U Ç V ) ⊆ U x
i
i
l
∩ Vx l
i= 1
dir. Açık olarak Ui∩Vi , x (i)
l nin Q-komşuluğudur. Yani Ui∩Vi∈ Ux (i) dir. Böylece U x l ∩
l
Vx l ∈ Ux l elde edilir.
(iii) U xl ∈ Ux l ve U xl ⊆ Vx l ise açık olarak Vx l ∈ Ux l dir.
(iv) U xl ∈ Ux l ise
n
Õ U ⊆ Ux
i
i= 1
n
l
olacak şekilde Ui∈ U (i) i=1,2,..,n vardır. U= Õ Ui diyelim.
xl
i= 1
Bu durumda U∈ Ux l dır. Herhangi bir yρqU, yρ=(y(1),y(2),...,y(n))ρ fuzzy noktası için U(y)+ρ
>1 olduğuna göre
min{U1(y(1)),..., Un(y(n))}+ρ >1
dir. Buradan
y(i)
r qUi
i=1,2,..,n
elde edilir. Sonuç olarak U∈ Uyr dir.
88
Tanım 5.5.1: {(Xi,Ti)  i= 1,2,..,n} fuzzy topolojik uzayların bir ailesi olsun. Önerme 5.5.1
de tanımlanan T fuzzy topolojisine X=
Õ
iÎ I
X i için çarpım fuzzy topolojisi denir.
(X,T) çiftine ise (Xi,Ti) uzaylarının çarpım uzayı denir.
Önerme 5.5.2: (Xi,Ti), i= 1,2,..,n fuzzy topolojik uzaylar ve (X,T), (Xi,Ti) uzaylarının
çarpım uzayı olsun. Bu durumda pi: X→ Xi projeksiyonu her i= 1,2,..,n için F-sürekli bir
dönüşümdür.
İspat: pi(xλ) = (pi(x))λ= x (i)
l nın herhangi bir açık Ui∈ U (i) Q-komşuluğu için
xl
n
Õ U =U
i
i= 1
(i- 1)
)
xλ= (x(1), x(2),...,x(n))λ nın açık bir Q-komşuluğu olacak şekilde x (1)
, x (il + 1) ,.., x (n
l ,.., x l
l
fuzzy noktalarının sırasıyla U1,..,Ui-1, Ui+1,.., Un Q-koşulukları vardır. pi(U)=Ui olduğuna
göre pi(U)⊆Ui dir. Böylece pi, xλ fuzzy noktasında Q-komşuluğa göre F-süreklidir. Sonuç
olarak pi Teorem 3.2.1 den dolayı F-süreklidir.
Önerme 5.5.3: {(Xi,Ti)  i= 1,2,..,n} fuzzy topolojik grupların bir ailesi, X =
n
ÕX
i
, X1,
i= 1
X2,..., Xn gruplarının çarpım grubu ve T, X de Tanım 5.5.1 de verilen çarpım fuzzy topoloji
olsun. Bu durumda (X,T) bir fuzzy topolojik gruptur.
İspat: n=2 için ispat yapalım.
(i) X de aλ= (a(1), a(2))λ ve bλ= (b(1), b(2))λ fuzzy noktaları ve (ab)λ= (a(1)b(1), a(2)b(2))λ nın
herhangi bir W Q-komşuluğu için çarpım topoloji tanımından
(W1,W2)⊆ W
olacak şekilde (a(1)b(1))λ nın W1 ve (a(2)b(2))λ nın W2 açık Q-komşulukları vardır. (X1,T1)
fuzzy topolojik grup olduğuna göre
U1V1⊆ W1
(1)
olacak şekilde a (1)
l nın U1 ve b l nın V1 açık Q-komşulukları vardır. Benzer şekilde
89
U2V2⊆ W2
olacak şekilde a (2)
nın U2 ve b (2)
nın V2 açık Q-komşulukları vardır. Bu durumda
l
l
(a(1),a(2))λ nın (U1, U2) ve (b(1), b(2))λ nın (V1, V2) açık Q-komşuluklarıdır. Buradan
(U1, U2)(V1,V2)⊆ (W1,W2)⊆ W
elde edilir. O halde Tanım 5.1.1 deki (i) şartı sağlanır.
(ii) X de herhangi bir aλ= (a(1),a(2))λ fuzzy noktası ve a -l 1 =(a(1)-1, a(2)-1)λ nın herhangi bir V
Q-komşuluğu için çarpım uzayı tanımından
(V1,V2)⊆V
-1
-1
olacak şekilde a (1)
nın V1 ve a (2)
nın V2 açık Q-komşulukları vardır. Ayrıca (X1,T1) ve
l
l
(X2,T2) fuzzy topolojik grup olduğuna göre
U1- 1 ⊆ V1 ve U-2 1 ⊆ V2
(2)
olacak şekilde a (1)
l nın U1 ve a l nın U2 açık Q-komşulukları vardır. Buradan
( U1- 1 , U-2 1 )⊆(V1,V2)⊆V
elde edilir. ( U1- 1 , U-2 1 )= (U1,U2)-1 ve (U1,U2), (a(1),a(2))λ nın açık bir Q-komşuluğu olduğuna
göre Tanım 5.1.1 deki (ii) şartı sağlanır.
Böylece (X,T) bir fuzzy topolojik gruptur.
Şimdi yukarıdaki önermenin benzer bir ifadesini Foster ın tanımladığı fuzzy topolojik
gruplar için verelim.
Önerme 5.5.4: {Xi} i=1,2,..n sonlu sayıdaki grupların bir ailesi, her i=1,2,..n için Ti , Xi de
n
fuzzy topoloji , Gi , Xi de bir fuzzy topolojik grup ve X =
ÕX
i
, çarpım grubu üzerinde
i= 1
n
çarpım fuzzy topoloji T olsun. Bu durumda G = Õ G i , X de bir fuzzy topolojik gruptur.
i= 1
İspat: δ:(G, TG)×(G, TG)→(G, TG), δ(x,y) = xy–1 dönüşümü
90
δ1: (x,y) = ((x1,…,xn), (y1,…,yn))→((x1,y1), ..,(xn,yn))
δ2: ((x1,y1), ..,(xn,yn))→(x1y1-1, ..,xn,yn-1)
dönüşümlerinin bileşkesi şeklinde yazılabilir. δ1 dönüşümü Teorem 3.3.1 ve Önerme 3.2.2
den dolayı rölatif F-süreklidir. Ayrıca δ2 dönüşümü Önerme 3.3.3 den dolayı rölatif Fn
süreklidir. O halde δ rölatif F-süreklidir. Böylece G = Õ G i , X de bir fuzzy topolojik
i= 1
gruptur.
n
G = Õ G i ye çarpım fuzzy topolojik grubu denir.
i= 1
Önerme 5.5.5: {Xi} i=1,2,..n sonlu sayıdaki grupların bir ailesi, her i=1,2,..n için Ti , Xi de
fuzzy topoloji , Ni Xi nin klasik bir normal alt grubu ve Gi , Xi de üyelik fonksiyonu Ni
n
üzerinde sabit olan bir fuzzy topolojik grup olsun. Ayrıca N =
ÕN
i
olmak üzere X/N ve
i= 1
n
n
Xi/Ni bölüm grupları üzerinde bölüm fuzzy topolojileri ve X= Õ X i ve
i= 1
ÕX
i
/ N i çarpım
i= 1
n
grupları üzerinde çarpım fuzzy topolojileri mevcut olsun. G = Õ G i X de çarpım fuzzy
i= 1
n
topolojik grubu olsun. Bu durumda X/N den
ÕX
i
/ N i ye kanonik izomorfizm i , G/N den
i= 1
n
ÕG
i
/ N i ye rölatif F- homeomorfizmdir.
i= 1
İspat: φ: X → X/N , φ(x)= [x] ve her i=1,2,..n için φi: Xi→Xi/Ni , φi(x)= [x i] kanonik
n
homomorfizmleri ve
Õf
i= 1
n
, X den
i
ÕX
i
/ N i üzerine çarpım dönüşümü olsun. Bu
i= 1
durumda
n
ioφ = Õ f i
i= 1
91
dir. Her [x] ∈X/N için
n
G/N([x]) = G(x) = Õ G i (x1,..,xn)
i= 1
= min{G1(x1),..,Gn(xn)}
= min{G1/N1([x1]), ...,Gn/Nn([xn]) }
n
=
ÕG
i
/ N i (i([x]))
i= 1
n
dir. Önerme 5.4.3 ve Önerme 5.5.4 den dolayı G/N ve
ÕG
i
/ N i fuzzy topolojik
i= 1
gruplardır. V′ ,
n
n
Õ G i / N i üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide açık olsun.
i= 1
Õf
i
rölatif F-
i= 1
sürekli olduğuna göre
n
φ-1o i-1(V′) = ( Õ f i )-1(V′)
i= 1
G üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır. Ayrıca φ rölatif F-açık olduğuna göre
i-1(V′) , G/N üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır. Böylece i rölatif F-süreklidir.
Şimdi U′, G/N üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide açık olsun. Bu durumda φ-1(U′), G
n
üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide açıktır ve
Õf
i
rölatif F-açık dönüşümlerin çarpımı
i= 1
n
olduğuna göre ( Õ f i )(φ-1(U′))= i(U′),
i= 1
n
ÕG
i
i= 1
açıktır. Böylece i rölatif fuzzy açıktır.
92
/ N i üzerine indirgenmiş fuzzy topolojide
KAYNAKLAR
Ajmal, N. 1994. Homomorphism of fuzzy groups, correspondence theorem and fuzzy
quotient groups. Fuzzy Sets and Systems 61, 329-339.
Aktaş, H. and Çağman, N. 2006. Generalized product of fuzzy subgroups and t-level
subgroups. Mathematical Communications 11, 121-128.
Bülbül, A. 2004. Genel topoloji. Hacettepe Üniversitesi Yayınları, Ankara.
Baykal, N. ve Beyan, T. 2004. Bulanık Mantık İlke ve Temelleri. Bıçaklar Kitapevi,
Ankara.
Chang, C.L. 1968. Fuzzy topological spaces. Journal of Mathematical Analysis
and Aplications 24, 182-190.
Chon, I. 2000. Properties of fuzzy topological groups and semigroups. Kangweon-Kyungki
Math. Jour. 8, No 2, pp. 103-110.
Chon, I. 2001. Some properties of fuzzy topological groups. Fuzzy Sets and Systems 123,
197-201.
Çallıalp, F. 2001. Soyut cebir. Birsen Yayınevi, İstanbul.
93
Das, N.R. and Das, P. 2000. Neighborhood systems in fuzzy topological group. Fuzzy Sets
and Systems 116, 401-408.
Das, P. 1998. Fuzzy topology on fuzzy sets: Product fuzzy topology and fuzzy topological
groups. Fuzzy Sets and Systems 100, 367-372.
Das, P.S. 1981. Fuzzy groups and level subgroups. Journal of Mathematical Analysis
and Aplications 84, 264-269.
Dixit, V.N., Kumar, R. and Ajmal, N. 1990. Level subgroups and union of fuzzy
subgroups. Fuzzy Sets and Systems 37, 359-371.
Foster, D.H. 1979. Fuzzy topological groups. Journal of Mathematical Analysis
and Aplications 67-2.
Ganster, M., Georgiou, D.N. and Jafari, S. 2005. On fuzzy topological groups and fuzzy
continuous functions. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics Volume 34S,
35-43.
Kelley, J.L. 1955. General topology. D. van Nostrand Company, New York.
Kowalsky, H.J. 1961. Topologische räume. Birkhäuser Verlag, Basel.
Lerner, B.T. 1988. On fuzzy (right-topological) semigroups. Journal of Mathematical
Analysis and Aplications 134, 306-311.
Liang, M.J and Hai, Y.C. 1984. Fuzzy topological groups. Fuzzy Sets and Systems 12, 289299.
Liang, M.J and Hai, Y.C. 1985. On the direct product of fuzzy topological groups. Fuzzy
Sets and Systems 17, 91-97.
94
Liang, M.J and Hai, Y.C. 1987. On fuzzy topological groups. Fuzzy Sets and Systems 23,
281-287.
Liu, W.J. 1982. Fuzzy invariant subgroups and fuzzy ideals. Fuzzy Sets and Systems 8,
133-139.
Ming, P.P. and Ming, L.Y. 1980a. Fuzzy topology. I . Neighborhood structure of a fuzzy
point and Moore-Smith convergence. Journal of Mathematical Analysis and
Aplications 76, 571-599.
Ming, P.P. and Ming, L.Y. 1980b. Fuzzy topology. II . Product and quotient spaces. Journal
of Mathematical Analysis and Aplications 77, 20-37.
Mordeson, J.N., Bhutani, K.R. and Rosenfeld, A. 2005. Fuzzy Group Theory. Springer.
Mordeson, J.N. and Nair, P.S. 2001. Fuzzy Mathematics. Physica-Verlag.
Rosenfeld, A. 1971. Fuzzy groups. Journal of Mathematical Analysis and Aplications
35, 512-517.
Sebastian, S. and Sunder, S.B. 1996. Fuzzy groups and fuzzy group homomorphisms.
Fuzzy Sets and Systems 81, 397-401.
Warren, R.H. 1976. Optimality in fuzzy topological polysystems. Journal of Mathematical
Analysis and Aplications 54, 309-315.
Wong, C.K. 1973. Covering properties of fuzzy topological spaces. Journal of
Mathematical Analysis and Aplications 43, 697-704.
95
Wong, C.K. 1974. Fuzzy topology: product and quotient theorems. Journal of
Mathematical Analysis and Aplications 45, 512-521.
Zadeh, L.A. 1965. Fuzzy sets. Information and Control 8, 338-353.
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Eda YAZAR
Doğum Yeri
: Erzurum
Doğum Tarihi
: 13/08/1982
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: Almanca
Eğitim Durumu
Lise
: Eskişehir Cumhuriyet Lisesi (1999)
Lisans
: Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik
Öğretmenliği (2006)
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik
Anabilim Dalı ( Eylül 2006- Ağustos 2008)
96