1. Ders - 80.251.40.59

1
1. Ders
¼
I·STATI·STI·KLER VE DAGILIMLARI
Örneklem ve I·statistikler
Bir yaş¬ndaki (12 ayl¬k) çocuklar¬n a¼
g¬rl¬klar¬n¬araşt¬rmak isteyelim. A¼
g¬rl¬k, boy uzunlu¼
gu, cinsiyet, göz rengi gibi bir özellik ve ölçülmesi sonucu
bir say¬ olmak üzere, I·statistik dilinde bir rasgele de¼
gişkendir. Her rasgele
de¼
gişken için oldu¼
gu gibi, bu rasgele de¼
gişken için de bir olas¬l¬k da¼
g¬l¬m¬
söz konusudur. Araşt¬rman¬n amac¬ bu da¼
g¬l¬m¬ ortaya ç¬karmak olabilir.
Böyle bir da¼
g¬l¬m¬n bilinmesi durumunda, belli bir aral¬g¼¬n olas¬l¬g¼¬ bu aral¬g¼a düşen çocuklar¬n oran¬n¬, da¼
g¬l¬m¬n beklenen de¼
geri ise çocuklar¬n a¼
g¬rl¬k ortalamas¬n¬anlatacakt¬r. Çocuklar¬n a¼
g¬rl¬g¼¬n¬anlatan da¼
g¬l¬m nas¬l ortaya ç¬kart¬labilir? Belli parametrelere ba¼
gl¬ da¼
g¬l¬mlar aras¬ndan birinin
seçimi veya önerilen bir da¼
g¬l¬m¬n geçerlili¼
ginin s¬nanmas¬ sonucu belli bir
da¼
g¬l¬m üzerinde karar k¬l¬nabilir. Baz¬ durumlarda, olgudaki dinamikler
kendi da¼
g¬l¬m¬n¬önermektedir. Da¼
g¬l¬m¬n ortaya ç¬kar¬lmas¬, araşt¬rma konusu
olan özellik (rasgele de¼
gişken) ile ilgili tüm sorular¬n yan¬tlanmas¬ demektir. Ancak, bu her zaman mümkün olmamaktad¬r, bu sebeple, da¼
g¬l¬m¬n
ortalamas¬, varyans, momentleri, çeyreklikleri gibi baz¬ karakteristikleri ile
yetinilmektedir.. Da¼
g¬l¬m¬n ortaya ç¬kar¬lmas¬veya bu da¼
g¬l¬m ile ilgili beklenen de¼
ger, varyans, ortanca gibi baz¬karakteristiklerin tahmin edilmesi ya
da bu da¼
g¬l¬m ile ilgili baz¬hipotezlerin test edilmesi (önermelerin s¬nanmas¬)
·
Istatistik Biliminin çekirde¼
gi I·statistiksel Sonuç Ǭkar¬m’¬n konular¬d¬r. Bu
konular "Parametre Tahmini (Paremetre Kestirimi)-Nokta Tahmin ve Aral¬k
Tahmini" ile "Hipotez Testi" başl¬klar¬alt¬nda toplanabilir. "I·statistik demek, I·statistiksel Sonuç Ǭkar¬m demek, o da Parametre Tahmini ve Hipotez
Testi demektir" diyebiliriz. Bu ders döneminde bu konulara giriş yapaca¼
g¬z.
Parametre Tahmini ve Hipotez Testi ile ilgili temel kavramlar¬, özlerinden
taviz vermeden ele al¬p, teorik bilgilerimizi oluşturmaya başlayaca¼
g¬z. Uygulamal¬örnekler, bilgisayar hesaplamalar¬ve simülasyon çal¬şmalar¬derslerde
yer alacakt¬r. Önümüzdeki y¬llarda bu bilgileriniz artacak ve pekişecektir.
"Bir yaş¬ndaki çocuklar¬n a¼
g¬rl¬klar¬n¬araşt¬rmak isteyelim" ifadesine dönelim. Bu, her anlama gelebilen yuvarlak bir ifade. A¼
g¬rl¬k ile ilgili araşt¬r¬lmak istenenler aç¬k bir şekilde belirtilmiyor. Neyin araşt¬r¬laca¼
g¬ söylenmemiş. Belirginleştirelim: "Bir yaş¬ndaki çocuklar¬n a¼
g¬rl¬k ortalamas¬n¬
2
araşt¬rmak isteyelim". Böyle bir araşt¬rmay¬ yapmak için çocuklar¬n (birimlerin) kitlesinden, örnekleme yaparak bir örnek seçer, seçilen örnek’teki
çocuklar¬n a¼
g¬rl¬klar¬n¬bir yaş¬na bast¬klar¬gün ölçer ve elde edilen gözlem
de¼
gerlerinin (verinin) aritmetik ortalamas¬n¬alabiliriz. Kolay gibi görünüyor.
Böyle bir araşt¬rmay¬, gerçekten yapmaya kalk¬şt¬g¼¬n¬z¬düşünün. Bir yaş¬ndaki çocuklar kimler? Dikkat ettiyseniz "bir yaş¬ndaki çocuklar¬n kitlesi"
denmişti. Bu kitle nedir? Nerededir? Hadi kitleyi belirledik (örne¼
gin Ankara
do¼
gumlu çocuklar), örnek seçimi, yani örnekleme nas¬l yap¬lacak? Gözlemler
nas¬l al¬nacak? Bu sorular¬n cevaplar¬n¬, önümüzdeki ders y¬l¬nda görece¼
giniz,
Örnkleme dersine b¬rakal¬m. Bunlar¬n ötesinde, her çocuk sadece bir anl¬k,
bir günlük, hadi diyelim bir hafta boyunca "bir yaş¬nda" olsa gerek, ne dersiniz? Ayr¬ca, 2010 y¬l¬nda do¼
gan çocuklar¬n bir yaş¬ndaki a¼
g¬rl¬k ortalamas¬
ile bu y¬l do¼
gan çocuklar¬n bir yaş¬ndaki a¼
g¬rl¬k ortalamas¬ayn¬m¬d¬r? Bir
araşt¬rman¬n ad¬ ve amaçlar¬ ile birlikte ortaya at¬l¬p planlanms¬, varsa kitle ve birimlerin belirlenmesi, örnekleme ve veri toplanmas¬, veri analizi ve
sonuçlar¬n ç¬kar¬lmas¬, rapor yaz¬l¬p araşt¬rman¬n bitirilmesi Araşt¬rma Yöntemleri dersinin (önümüzdeki y¬l seçmeli ders) konusudur.
Bu ders döneminde görece¼
giniz konular¬anlayabilmeniz için I·ST101, I·ST102
ve I·ST201 derslerinde anlat¬lanlar¬yeniden gözden geçiriniz. Özellikle, I·ST102
Olas¬l¬k ve I·statisri¼
ge Giriş II dersinde yer alan "10. Ders-Örneklem ve I·statistikler", "11. Ders-Parametre Tahminine Giriş" ve "12. Ders-Hipotez
Testine Giriş" konular¬n¬tekrar çal¬ş¬n¬z.
Olas¬l¬k uzay¬ve rasgele de¼
gişken kavramlar¬ile birinci s¬n¬fta tan¬şt¬n¬z.
Bir rasgele de¼
gişken ( ; U; P ) olas¬l¬k uzay¬n¬reel say¬lardaki Borel cebirine
taş¬yan X : ! R biçiminde Borel ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere,
uygulamadaki karş¬l¬g¼¬ ölçülen bir özelliktir. Belli bir özellik ile ilgili rasgeleli¼
gi anlatan (modelleyen) olas¬l¬k uzay¬( ; U; P ) ve bu özelli¼
gin ölçülmesiyle, ölçmeye karş¬l¬k gelen rasgele de¼
gişken X olmak üzere, bu rasgele
de¼
gişkenin belli de¼
gere eşit olmas¬ olay¬ veya belli bir aral¬kta de¼
ger almas¬ olay¬, bu özellik ile ilgili olaylar¬ içeren U sigma cebirinde bulunmaktad¬r. Bazen birden çok özellik ve birden çok rasgele de¼
gişken ile ilgileniriz.
Örne¼
gin, bir yaş¬ndaki bir çocu¼
gun kg cinsinden ölçülen a¼
g¬rl¬g¼¬bir X rasgele
de¼
gişkeni, cm cinsinden ölçülen boy uzunlu¼
gu bir Y rasgele de¼
gişkeni olarak
ele al¬nabilir. Bu rasgele de¼
gişkenler birlikte (X; Y ) rasgele vektörünü oluşturmaktad¬r. Rasgele vektörlerin da¼
g¬l¬mlar¬, başka bir ifade ile çok de¼
gişkenli
·
·
olas¬l¬k da¼
g¬l¬mlar¬ile IST102 ve IST201 derslerinde tan¬şt¬n¬z. Çok de¼
gişkenli
da¼
g¬l¬mlar¬ I·ST301 ve I·ST302 derslerinde, önümüzdeki y¬l göreceksiniz. Çok
de¼
gişkenli da¼
g¬l¬m, marjinal da¼
g¬l¬m, koşullu da¼
g¬l¬m, rasgele de¼
gişkenlerin
3
ba¼
g¬ms¬zl¬g¼¬gibi kavramlar¬kullanaca¼
g¬m¬z¬belirtir, ancak bu dönem sadece
bir boyutlu da¼
g¬l¬mlarda, yani rasgele de¼
gişkenlerin da¼
g¬l¬mlar¬ile ilgili Parametre Tahmini ve Hipotez Testi konular¬n¬ görece¼
giz. Derslerde anlat¬lanlar¬daha kolay anlamak ve teori ile uygulama aras¬ndaki ba¼
g¬kurmak için
bir rasgele de¼
gişkenin, ölçülen bir özelli¼
gin karş¬l¬g¼¬ oldu¼
gunu göz önünden
kaç¬rmay¬n. Teorik olarak anlat¬lanlar¬, somut örneklerle ba¼
gdaşt¬rarak sezgi
düzeyine indirip, kendi bilgi hazinenize ekleyiniz.
Belli bir özellik (örne¼
gin boy uzunlu¼
gu) ile ilgili rasgele de¼
gişken X olmak üzere, bu özelli¼
gin n kez ölçülmesine karş¬l¬k gelen rasgele de¼
gişkenler X1 ; X2 ; :::; Xn olarak gösterilsin. Baz¬durumlarda bu rasgele de¼
gişkenler
ba¼
g¬ms¬z ve ayn¬ da¼
g¬l¬ml¬ rasgele de¼
gişkenler olmaktadir. Örne¼
gin, sonlu
elemanl¬bir kitlede iadeli olarak birer birer rasgele seçilen birimler üzerinde
yap¬lan ölçümler veya ayn¬şartlar alt¬nda tekrar edilen bir laboratuvar deneyinde
al¬nan gözlemler böyle de¼
gerlendirilebilir. Kitledeki birim say¬s¬az oldu¼
gunda
iadesiz yap¬lan çekimler veya laboratuvar deneyinde bir önceki deneyin sonucu
daha sonra yap¬lan deneylerin sonuçlar¬n¬ etkiliyorsa, elde edilen gözlemler
ile ilgili X1 ; X2 ; :::; Xn rasgele de¼
gişkenleri ba¼
g¬ms¬z olarak düşünülemez.
Bir bitkinin her gün bir kez ölçülen boy uzunlu¼
gu, n = 10 gün boyunca
X1 ; X2 ; :::; X10 olmak üzere, bu rasgele de¼
gişkenler ba¼
g¬ms¬z de¼
gildir, ayn¬
da¼
g¬l¬ml¬da de¼
gildir.
Tan¬m: Belli bir özelli¼
ge karş¬l¬k gelen rasgele de¼
gişken X olmak üzere,
herbiri X gibi da¼
g¬lm¬ş ve ba¼
g¬ms¬z olan X1 ; X2 ; :::; Xn rasgele de¼
gişkenlerine
n birimlik örneklem veya k¬saca örneklem denir. Buradaki n say¬s¬na
örneklem hacmi denir.
X = (X1 ; X2 ; :::; Xn )0 olmak üzere, X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi k¬saca X
vektörü ile de gösterilmektedir.
Tan¬m: Ölçme sonucunda X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemindeki rasgele de¼
gişkenlerin ald¬g¼¬ x1 ; x2 ; :::; xn de¼
gerlerine gözlem de¼
gerleri (data, veri, örnek)
denir.
Tan¬m: X1 ; X2 ; :::; Xn ‘lerin olabilecek tüm (x1 ; x2 ; :::; xn ) gözlem noktalar¬n¬n kümesine örneklem uzay¬denir.
Belli bir özelli¼
ge karş¬l¬k gelen bir X rasgele de¼
gişkenin ald¬g¼¬de¼
gerlerin
kümesi DX olmak üzere, X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi ile ilgili örneklem uzay¬X
ile gösterilsin. X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemindeki rasgele de¼
gişkenlerin gözlenen
de¼
gerleri x1 , x2 , ...,xn olmak üzere,
4
n
(x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 X = DX
Rn
d¬r. Örneklem uzay¬ndaki (x1 ; x2 ; :::; xn ) noktas¬, Rn vektör uzay¬nda bir
x = (x1 ; x2 ; :::; xn )0 vektörü olarak ele al¬nd¬g¼¬nda X = (X1 ; X2 ; :::; Xn )0 vektörünün gözlenen de¼
geri olarak düşünülebilir.
Belli bir rasgelelik olgusunu modelleyen olas¬l¬k uzay¬, olas¬l¬k uzaylar¬n¬n
P = f( ; U; P ) :
2
g
gibi parametrelenmiş bir ailesinin bir eleman¬oldu¼
gunda, rasgelelik olgusunu
modelleyen olas¬l¬k uzay¬n¬belirlemek parametreyi belirlemek demektir. Bu
problem parametre tahmini olarak isimlendirilmektedir. Parametrenin,
parametre kümesinin bir altkümesinde olup olmamas¬na dair ortaya at¬lan
bir iddian¬n do¼
grulu¼
gunun ortaya ç¬kar¬lmas¬çabas¬parametreler için hipotez
testi olarak isimlendirilmektedir. Rasgelelik olgusunu modelleyen olas¬l¬k
uzay¬P = f( ; U; P ) : 2 g ailesinin bir eleman¬oldu¼
gunda, ölçmeye karş¬l¬k
gelen X rasgele de¼
gişkeni bu aileyi,
PX = f( ; U; PX; ) :
2
g
ailesine ve var olduklar¬nda, fX ( ; ) olas¬l¬k (yo¼
gunluk) fonksiyonlar¬n¬n,
F = ffX ( ; ) :
2
g
ailesine taş¬maktad¬r. Burada fX ( ; ) olas¬l¬k (yo¼
gunluk) fonksiyonu biçimsel
olarak bilinmekte olup bilinmeyen, parametresidir.
Tan¬m: X1 ; X2 ; :::; Xn olas¬l¬k (yo¼
gunluk) fonksiyonu fX ( ; ); 2
olan da¼
g¬l¬mdan bir örneklem ve T :X ! Rk Borel ölçülebilir ( bilinmeyen
parametresine ba¼
gl¬ olmayan) bir fonksiyon olmak üzere T(X1 ; X2 ; :::; Xn )
rasgele vektörüne istatistik denir.
n
P
X1 ; X2 ; :::; Xn bir örneklem olmak üzere, T (X1 ; X2 ; :::; Xn ) =
Xi isi=1
tatisti¼
gi bir rasgele de¼
gişkendir. I·statistik bir boyutlu oldu¼
gunda bir rasgele
de¼
gişkendir. Rasgele de¼
gişken olan istatistikler aç¬k renkli har‡erle göster3
2 P
n
Xi
6 i=1
7
ilecektir. T(X1 ; X2 ; :::; Xn ) =4 P
gi iki bileşenli bir rasgele
5 istatisti¼
n
2
Xi
i=1
5
vektördür. Rasgele vektör olen istatistikler koyu renkli har‡erle gösterilecektir. Rasgele vektör olan, k boyutlu bir
2
3
T1 (X1 ; X2 ; :::; Xn )
6 T2 (X1 ; X2 ; :::; Xn ) 7
6
7
T (X1 ; X2 ; :::; Xn ) = 6
7
..
4
5
.
Tk (X1 ; X2 ; :::; Xn )
istatisti¼
ginin, her bileşeni bir rasgele de¼
gişkendir. Bir T (X1 ; X2 ; :::; Xn ) istatisti¼
gi k¬saca T har… ve bu istatisti¼
gin gözlenen de¼
geri T (x1 ; x2 ; :::; xn ) veya
k¬saca t har… ile gösterilecektir.
Bir X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi ile ilgili sonsuz tane istatistik (fonksiyon)
tan¬mlanabilir. Baz¬istatistiklerin
özel isimleri söz konusudur.
n
Xn =
P
Xi
i=1
n
n
P
: örneklem ortalamas¬
(Xi
i=1
=
1
n
n
P
Mk =
Xik
Sn2
2
Xn )
1
: örneklem varyans¬
: k. örneklem momenti (k =1,2,3,...)
i=1
örneklem genişli¼
gi
Rn = maxfX1 ; X2 ; :::; Xn g
n
P
minfX1 ; X2 ; :::; Xn g
:
I(Xi x)
Fn (x) = i=1 n
, x 2 R : örneklem da¼
g¬l¬m fonksiyonu
Veri betimlenmesinde (I·ST102) gördü¼
günüz ortanca,
çeyreklikler, kutu çiziti, histogram ve di¼
gerleri de birer istatistiktir.
Bu dersin, bundan sonraki k¬s¬mlar¬nda önemli oldu¼
gu düşünülen baz¬
istatistikler ve bunlar¬n küçük örneklem ile büyük örneklem özellikleri ele
al¬nacakt¬r.
6
Örneklem Ortalamas¬
Belli bir rasgelelik olgusunun modellenmesinde rasgele de¼
gişken X ve kitle
da¼
g¬l¬m¬denen ilgili da¼
g¬l¬m¬n olas¬l¬k (yo¼
gunluk) fonksiyonu fX (:; ) ; 2
olsun. Var olmas¬halinde, X rasgele de¼
gişkenin beklenen de¼
geri,
= E (X)
kitle ortalamas¬olarak adland¬r¬l¬r.
X1 ; X2 ; :::; Xn bir örneklem olmak üzere,
n
P
Xi
i=1
Xn =
n
istatisti¼
gine örneklem ortalamas¬denir.
Örneklem ortalamas¬bir rasgele de¼
gişken olmak üzere, örne¼
gin
2
2
mal¬ve
varyansl¬N ( ; ) normal da¼
g¬l¬ml¬kitleler için,
2
Xn
N
;
n
d¬r. Kitle da¼
g¬l¬m¬n¬n olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
1
2
ve moment ç¬karan fonksiyonu,
fX (x; ;
2
)= p
(x
)2
2 2
e
MX (t) = e
2 t2
2
t+
;
1<x<1
; t2R
olmak üzere,
Xnt
MX n (t) = E(e
) = E(e
t
t
n
n
P
Xi
i=1
t
t
t
= E(e n X1 )E(e n X2 ):::E(e n Xn )
=
e
t=n+
2 (t=n)2
n
2
MX n (t) = e
t+
t
t
) = E(e n X1 e n X2 :::e n Xn )
2 2
n t
2
ortala-
7
olup,
2
Xn
N
;
n
d¬r.
Baz¬durumlarda örneklem ortalamas¬n¬n da¼
g¬l¬m¬n¬bulmak kolay olmamaktad¬r. Örne¼
gin, kitle da¼
g¬l¬m¬U (a; b) düzgün da¼
g¬l¬m oldu¼
gunda örneklem ortalamas¬n¬n da¼
g¬l¬m¬n¬elde etmek pek kolay de¼
gildir. Kitle da¼
g¬l¬m¬na
ba¼
gl¬olarak örneklem ortalamas¬n¬n kendi da¼
g¬l¬m¬söz konusudur.
Örnek: X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi, olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
1
fX (x; ) = e
olan da¼
g¬l¬mdan al¬nm¬ş olsun.
x
n
P
x>0 ;
2
= (0; 1)
Xi istatisti¼
ginin da¼
g¬l¬m¬,
i=1
n
X
Xi
(n; )
i=1
olmak üzere örneklem ortalamas¬,
Xn
(n; =n)
da¼
g¬l¬ml¬d¬r.
Örnek: Bilindi¼
gi gibi Cauchy da¼
g¬l¬m¬n¬n beklenen de¼
geri yoktur (Cauchy
da¼
g¬l¬m¬nda beklenen de¼
gerden söz edilemez, beklenen de¼
geri mevcut de¼
gildir).
Cauchy da¼
g¬l¬m¬nda örneklem ortalamas¬n¬n da¼
g¬l¬m¬nedir? Cauchy da¼
g¬l¬m¬n¬n
olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
fX (x) =
1
; x2R
(1 + x2 )
olmak üzere, karakteristik fonksiyonu,
'X (t) =
Z1
eitx
1
dx
(1 + x2 )
1
= e
jtj
; t2R
8
d¬r. X1 ; X2 ; :::; Xn Cauchy da¼
g¬l¬m¬ndan bir örneklem olsun. Örneklem
ortalamas¬X n nin karakteristik fonksiyonu,
'X_ (t) =
t
'X ( )
n
n
t
= e jnj
n
=e
j tj
oldu¼
gundan, X n de Cauchy da¼
g¬l¬
m¬na sahiptir. Örnekleme sonucunda elde
_
edilen gözlemlerden hesaplanan xn de¼
geri, sanki Cauchy da¼
g¬l¬m¬n¬n kendisinden gözlenen bir de¼
ger gibidir. Cauchy da¼
g¬l¬m¬na sahip X n örneklem
ortalamas¬n¬n beklenen de¼
geri ve varyans¬yoktur.
Genel hali ile, Cauchy da¼
g¬l¬m¬n¬n olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
1
fX (x; ; ) =
1+
; x 2 R;
2
x
2 R;
2 (0; 1)
biçimindedir. Cauchy da¼
g¬l¬m¬n¬n gösterimi C( ; ) olup, yukar¬da ele al¬nan
Cauchy da¼
g¬l¬m¬C(0; 1) dir. Bir X rasgele de¼
gişkeninin da¼
g¬l¬m¬C(0; 1) ise
Y = X + rasgele de¼
gişkeninin da¼
g¬l¬m¬C( ; ) d¬r. Buna göre, C( ; )
da¼
g¬l¬m¬n¬n karakteristik fonksiyonu
' (t) = ei t e
j tj
dir. C( ; ) da¼
g¬l¬m¬ndan al¬nan örneklemler için örneklem ortalamas¬n¬n
da¼
g¬l¬m¬yine C( ; ) d¬r.
Örnek: b(1; p) ; p 2 (0; 1) Bernoulli da¼
g¬l¬m¬ndan bir örneklem X1 ; X2 ; :::; Xn
n
P
olsun. T =
Xi istatisti¼
gi, ba¼
g¬ms¬z olarak yap¬lan n tane Bernoulli deni=1
emesindeki toplam başar¬say¬s¬olmak üzere,
T =
n
X
Xi
b(n; p)
i=1
d¬r. T ’nin olas¬l¬k fonksiyonu,
0
T =t
P (T = t) = fT (t) (1 p)n
d¬r. Örneklem ortalamas¬,
1
np(1
n 1
p)
n
2
2
p (1 p)n
2
2
:::
:::
n
pn
9
n
P
Xi
i=1
Xn =
n
olmak üzere, bu istatistik n denemedeki başar¬oran¬d¬r.
Xn =
n
P
Xi
i=1
=
n
T
n
olup, olas¬l¬k fonksiyonu,
X n = xn
fXn (xn )
0
(1
n
p)
1=n
np(1 p)n
1
n
2
2=n
p (1 p)n
2
2
::: 1
::: pn
d¬r.
Bernoulli da¼
g¬l¬m¬, başar¬ve başar¬s¬zl¬k diye nitelendirilen iki tür sonuçlu,
örne¼
gin zar at¬ş¬nda tek say¬(başar¬) yada çift say¬(başar¬s¬zl¬k) gelmesi gibi
deneyleri (Bernoulli denemelerini) anlatmaktad¬r. Başar¬olas¬l¬g¼¬p olan iki
sonuçlu bir Bernoulli denemesi, biribirinden ba¼
g¬ms¬z olarak n kez tekrarn
P
land¬g¼¬nda, elde edilen başar¬ say¬s¬
Xi olmak üzere, Bernoulli Büyük
i=1
Say¬lar Kanunu,
n
P
Xi
n denemede elde edilen başar¬say¬s¬ i=1
P
=
!p
n
n
oldu¼
gunu ifade etmektedir. Ayr¬ca, Merkezi Limit Teoreminden
p
n(X
p) d
p n
! N (0; 1)
p(1 p)
d¬r. Bernoulli Büyük Say¬lar Kanunu ile Merkezi Limit Teoremi ile ilgili
sonuçlar örneklem hacmi n ! 1 iken geçerli olup, büyük örneklem hacimlerinde kullan¬şl¬d¬r. Bu gibi özelliklere büyük örneklem özellikleri denmektedir.
Genel olarak (kitle da¼
g¬l¬m¬ndan ba¼
g¬ms¬z olarak), örneklem ortalamas¬
ile ilgili büyük örneklem özelliklerinden baz¬lar¬,
10
hhhy
Xn !
(Güçlü Büyük Say¬lar Kanunu)
P
Xn !
p
n(X n
)
(Zay¬f Büyük Say¬lar Kanunu)
d
!Z
N (0; 1) (Merkezi Limit Teoremi)
d¬r. Bu özellikleri I·ST102 ve I·ST201 derslerinde gördünüz. I·kinci momenti
var olan da¼
g¬l¬mlar için Zay¬f Büyük Say¬lar Kanunu ile Merkezi Limit Teoremi’nin ispat¬n¬yapt¬n¬z. Büyük n ler için,
Xn
p
= n
P
t
P (Z
t)
dir.
Örnek: X1 ; X2 ; :::; Xn örneklemi, olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
fX (x; ) =
2(
x)
2
;0<x<
2
;
= (0; 1)
olan da¼
g¬l¬mdan (kitleden) al¬nm¬ş olsun. Kitle da¼
g¬l¬m¬n¬n ortalamas¬ ve
varyans¬,
= E (X) =
1
3
;
2
= V ar (X) =
1
6
1
9
2
2
2
=
18
d¬r. X n ’nin da¼
g¬l¬m¬n¬bulmak zor olmas¬na karş¬l¬k ortalamas¬ve varyans¬
s¬ras¬yla,
2
E Xn =
3
; V ar Xn =
d¬r. Merkezi Limit Teoreminden
p
n(X n
=3) D
p
!Z
= 18
d¬r.
18 n
N (0; 1)
11
Örneklem Momentleri
X bir rasgele de¼
gişken olmak üzere, var olmas¬halinde, k = 1; 2; ::: için
k
=
E
X
say¬
s¬
na
X in (veya kitle da¼
g¬l¬m¬n¬n) k. momenti ve k =
k
k
E (X
) say¬s¬na X in (veya kitle da¼
g¬l¬m¬n¬n) k: merkezsel momenti
denir. Buna göre kitle da¼
g¬l¬m¬n beklenen de¼
geri = 1 ve varyans¬ 2 =
2
2 = 2
1 d¬r. Merkezsel momentler, momentler cinsinden,
k
k
X
k
=
( 1)k
j
j=0
k
= E (X
)
j
k j
j
biçiminde ifade edilebilir.
1
= E (X
2
= E(X
2
)
)=0
2
X
2
=
( 1)2
j
j=0
= 0 2 2 1 + 2= 2 2
= E(X 2 ) (EX)2 = V ar(X)
3
4
3
= E (X
= E (X
)
4
)
3
X
3
=
( 1)3
j
j=0
4
X
4
=
( 1)4
j
j=0
j
j
j
3 j
4 j
j
=
2
4
2 j
j
+ E(X 2 )
3
=
j
4
3
1
1
3
+6
X1 ; X2 ; :::; Xn bir örneklem olmak üzere, k = 1; 2; ::: için
^k =
istatisti¼
gine k: örneklem momenti,
n
P
i=1
Xik
n
2
+3
2
2
2
3
4
3
+
4
12
^ =
k
n
P
Xi
Xn
k
i=1
n
istatisti¼
gine k: merkezi örneklem momenti denir.
Örneklem momentlerinin beklenen de¼
gerleri ve varyanslar¬,
0
n
P
B i=1
E (^ k ) = E B
@ n
0
1
Xik C
n
P
X
C= 1
E(Xik ) =
A n
i=1
n
k
1
Xik C
n
X
C= 1
V ar(Xik ) =
A n2
i=1
B i=1
V ar (^ k ) = V ar B
@ n
olup lim V ar (^ k ) = 0 d¬r.
2
k
2k
n
n!1
X1 ; X2 ; :::; Xn örnekleminde X1k ; X2k ; :::; Xnk ba¼
g¬ms¬z ve ayn¬da¼
g¬l¬ml¬rasgele de¼
gişkenler olmak üzere, Zay¬f Büyük Say¬lar Kanunundan,
^k =
n
P
i=1
Xik
n
P
!
k
ve Merkezi Limit Teoreminden,
n
P
Xik
i=1
s
V ar
d¬r.
E
n
P
i=1
n
P
i=1
Xik
Xik
^k
=q
k
2k
n
2
k
d
! N (0; 1)
13
Merkezsel örneklem momentlerinin beklenen de¼
gerleri ve varyanslar¬n¬
hesaplamak kolay de¼
gildir.
0 n
1
1
0 n
P
P
2
2
2
X
X
)
(X
)
n(X
n
n
i
B i=1 i
C
C
B
n 1
2
C = E B i=1
C= 2
E( ^ 2 ) = E B
=
@
A
A
@
n
n
n
n
Sn2
=
1
n
1
n
X
i=1
E(Sn2 ) = E( ^ 2 ) =
Sn2 1
=
E(Sn2 1 ) =
1
n
1
2
X)2 = ^ 2
(Xi
n
n
X
1
n
(Xi
2
=
n
1
2
n
n
X)2 =
n
i=1
^
1
2
Şimdi,
V ar(Sn2 1 ) =
1
n
4
n
n
3
1
2
2
oldu¼
gunu ispatlamaya çal¬şal¬m. I·spata geçmeden önce,
1
n
1
n
X
X)2 =
i=1
oldu¼
gunu gösterelim. Gerçekten,
XX
1
(Xi
2n(n 1) i=1 j=1
n
XX
1
(Xi
2n(n 1) i=1 j=1
n
(Xi
n
n
XX
1
Xj ) =
(Xi
2n(n 1) i=1 j=1
n
2
Xj )2
n
X +X
XX
1
(Xi X)2 + 2(X Xi )(X Xj ) + (X
2n(n 1) i=1 j=1
" n
#
n
X
X
1
=
n
(Xj X)2 + n
(Xi X)2
2n(n 1)
j=1
i=1
n
n
=
=
1
n
1
n
X
i=1
(Xi
Xj )2
X)2
Xj )2
2
2
14
dir. I·spat s¬ras¬nda işlemleri basitleştirmek için
yöntemi kullan¬ls¬n.
1) Önermenin n = 3 için do¼
gru, yani,
1
3
V ar(S32 1 ) =
1
= 0 al¬nabilir. Tümevar¬m
4
oldu¼
gunu gösterelim.
1 XX
=
(Xi
12 i=1 j=1
3
S32 1
E(S32 1 ) =
3
Xj )2
2
ve
E S32
2
1
"
1 XX
(Xi
= E
12 i=1 j=1
=
=
=
=
=
=
3
3
Xj )2
#2
1
2
E 2(X1 X2 )2 + 2(X1 X3 )2 + 2(X2 X3 )2
144
1
2
E (X1 X2 )2 + (X1 X3 )2 + (X2 X3 )2
36
1
E 3(X1 X2 )4 + 6(X1 X3 )2 (X1 X3 )2
36
1
1
E(2X14 ) + E(6 X12 X22 ) + E(2X14 )E(3 X12 X22 )
12
6
1
1
2 4 + 6 22 +
+ 3 22
12
6 4
1
+ 3 22
3 4
ve buradan,
V ar(S32 1 ) = E S32
2
1
E S32
2
1
=
1
3
4
+3
2
2
olmak üzere, önerme n = 3 için do¼
grudur.
2) Önermenin n için do¼
gru oldu¼
gunu kabul edip, yani,
V ar(Sn2 1 ) =
1
n
4
n
n
3
1
2
2
2
2
=
1
3
4
15
oldu¼
gunu kabul edip, n + 1 için do¼
grulu¼
gunu, yani,
2
V ar(Sn+1
1) =
1
n+1
n+1
n+1
4
3
1
2
2
oldu¼
gunu gösterelim.
XX
1
(Xi Xj )2
2n(n + 1) i=1 j=1
" n n
n
XX
X
1
2
=
(Xi Xj ) + 2
(Xk
2n(n + 1) i=1 j=1
k=1
n+1 n+1
2
Sn+1
1
=
Xn+1 )2
#
olmak üzere,
A =
B =
n X
n
X
(Xi
i=1 j=1
n
X
(Xk
Xj )2
Xn+1 )2
k=1
gösterimleri alt¬nda,
2
Sn+1
1
=
1
(A + 2B)
2n(n + 1)
olup,
V
2
ar(Sn+1
1)
1
=
2n(n + 1)
2
[V ar(A) + 4V ar(B) + 4Cov(A; B)]
dir.
V ar(A) = V ar
n X
n
X
(Xi
i=1 j=1
1)Sn2 1
1
= 4n2 (n 1)2
n 4
n
= 4n(n 1)2 4
n
Xj )2
!
= V ar 2n(n
n 3
n 1
3 2
1 2
2
2
16
B=
n
X
(Xk
Xn+1 )2 =
k=1
n
X
(Xk2
2
2Xk Xn+1 + Xn+1
k=1
olmak üzere
E(B) = 2n
2
ve
2
E(B ) = E
"
n X
n
X
(Xl
2
2
Xn+1 ) (Xk
Xn+1 )
l=1 k=1
= E n(X1
Xn+1 )4 + n(n
= n 2
2
2
4
+6
+ n(n
1)
1)(X1
4
+3
= (2n + n(n 1)) 4 + [6n + 3n(n
= n(n + 1) 4 + 3n(n + 1) 22
#
Xn+1 )(X2
2
2
1)]
2
2
olup,
V ar(B) = n(n + 1)
= n(n + 1)
bulunur.
+ 3n(n + 1) 22
n(n 3) 22
4
4
4n2
2
2
Xn+1 )
17
"
Cov(A; B) = Cov
=
n X
n
X
Xj )2 ;
(Xi
(Xk
Xn+1 )2
Xj )2 ; (Xk
Xn+1 )2
i=1 j=1
n X
n X
n
X
n
X
k=1
Cov (Xi
#
i=1 j=1 k=1
= 2
1
= 2
1
n
X
n
X
i<j
Cov (Xi
i<j
1
Xj )2 ; (Xi
Xn+1 )2
n
n
X
Cov (Xi
i<j
n
X
Xn+1 )2
n k=1
n
X
+2
Xj )2 ; (Xk
Cov (Xi
Xj )2 ; (Xj
Xn+1 )2
n
Cov (Xi
Xj )2 ; (Xi
Xn+1 )2
= 2n(n
1) Cov (Xi
Xj )2 ; (Xi
Xn+1 )2
= 2n(n
1)
= 4
1
i<j
n
4
2
2
dir. Burada,
E (X1
Cov((X1
E(X1 X2 )2 = 2 2
E(X1 Xn+1 )2 = 2 2
X2 )2 (X1 Xn+1 )2 = 4 + 3
X2 )2 ; (X1
Xn+1 )2 ) =
=
4
4
2
2
2
2
3
2
2
(2
2 )(2
2)
18
dir. Buradan,
2
V ar Sn+1
1
=
=
1
4n(n 1)
+ 1)2
+ 4 n(n + 1) 22 + 2n(n
4n2 (n
n
n
4
1)
3
1
2
2
2
2
4
1
(n 1)2 4 (n 1)(n 3)
n(n + 1)2
(n 3) 22 + 2(n 1) 4 2(n 1) 22
=
1
n(n + 1)
n(n + 1)
4
=
1
n+1
2
2
n
4
2
n
(n2
n
2)
2
2
2
2
olup, n + 1 için iddia geçerlidir. Böylece iddia ispatlanm¬şt¬r.
Özetlersek,
Sn2 1
=
1
n
X
1
n
4
1
n
(Xi
X)2
i=1
olmak üzere,
V ar(Sn2 1 ) =
dir.
n
n
3
1
2
2
+ (n + 1)
4
19
Yeri gelmişken Cov(X; S 2 ) de¼
gerini de hesaplayal¬m.
XX
1X
1
(Xi
Xk ;
n k=1
2n(n 1) i=1 j=1
n
2
Cov(X; S ) = Cov
1
=
2
2n (n
1)
1
=
2
2n (n
Cov
1)
2
=
2
2n (n
=
n
1) 1
n X
n X
n
X
n X
n
X
Xj )
Xj )2
i=1 j=1
Xj )2
Cov Xk ; (Xi
n
X
n
X
i <j
n
X
i <j
Cov Xk ; (Xi
Xj )2
n k=1
Cov Xi ; (Xi
Xj )2
n
Xj )2
=
n(n 1)
1
2Cov(X1 ; (X1
n2 (n 1)
2
=
1
E(X1 (X1
n
=
1
E(X13 )
n
=
1
n
3
(Xi
2
k=1 i=1 j=1
+ Cov Xj ; (Xi
dir.
Xk ;
k=1
1) 1
1
n2 (n
n
X
n
X2 )2 )
X2 )2
!
!