integral çözümlü sorular

AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ.
1. 
1
dx  ?
2
x 4
12.  3sec x 2 dx  ?
tan x  tan x
2.  2 x2  3 dx  ?
13. 
x3  8
dx  ?
( x 2  1)( x  2)
14. 
ex
dx  ?
(e x  1)(e x  3)
2
x 9
3. 
2 x
dx  ?
x 2  5x
4. 
x2 1
dx  ?
x 2  16
5. 
x 4  x3  x 2  1
dx  ?
x2  x  2
15.  x 1 dx  ?
e 1
16.  3 2 x dx  ?
x( x  1)
 x 1
dx  ?
x( x 2  1)
6.  x
2
7. 
x7
dx  ?
x ( x  2)
8. 
x5  1
dx  ?
x 3 ( x  2)
17.  2 3x2  1 dx  ?
x ( x  25)
18.  4 1 dx  ?
x  16
2
19.  3cos x dx  ?
sin x  sin x
 x 1
dx  ?
( x  1) 3
9.  x
20.  4 1 dx  ?
x 4
2
dx  ?
10.  2 x 2 4
( x  1)( x  3x  2)
3
11.  x2  2 x  12 dx  ?
( x  x  2)
3
235
ÇÖZÜMLER…
1.
x
3.
2
1
1
dx  
dx
( x  2)( x  2)
4
x
B 
A
  
dx
 x x 5
A( x  5)  Bx  2  x
2
x  0 için A 
5
7
x  5 için B  bulunur.
5
7 
2
 

   5  5 dx
 x x 5




2
7
 ln x  ln x  5  C
5
5
B 
 A
 

dx
 x  2 x 2
A( x  2)  B ( x  2)  1
1
x  2 için A  4
1
x  2 için B 
bulunur.
4
1 
 1
 

   4  4 dx
 x  2 x 2




1
1
  ln x  2  ln x  2  C
4
4

2 x
2 x
dx  
dx
2
x( x  5)
 5x
1 x2
x2
ln
 C  ln 4
C
4 x2
x2
4.
2.


x2 1
15
 x 2  16dx   1  ( x  4)( x  4) dx
2x  3
2x  3
 x 2  9dx   ( x  3)( x  3)dx
B 
 A
 x  

dx
 x  4 x 4
A( x  4)  B ( x  4)  15
15
x  4 için A  8
15
x4
için B 
bulunur.
8
15 
 15
 
 x    8  8 dx
 x  4 x 4




15
15
 x  ln x  4  ln x  4  C
8
8
15 x  4
 x  ln
C
8 x4
B 
 A
 

dx
 x  3 x  3
A( x  3)  B( x  3)  2 x  3
1
x  3 için A 
2
3
x  3 için B 
bulunur.
2
3 
 1


   2  2 dx
 x  3 x 3




1
3
 ln x  3  ln x  3  C
2
2
236
5.
7.
x  x  x 1
dx
x2  x  2

 3x  7 
dx
   x 2  3 
( x  2)( x  1) 

4

3
2
x
2
x7
C 
A B
dx     2 
dx
x  2
( x  2)
x x
Ax ( x  2)  B ( x  2)  Cx 2  x  7
7
x  0 için B 
2
5
x  2 için C 
4
5
x  1 için A  bulunur.
4
5 
 5 7

   4  22  4 dx
x  2
x
 x




5
7 5
  ln x 
 ln x  2  C
4
2x 4
1 3
B 
 A
x  3x   

dx
3
 x  2 x 1
A( x  1)  B ( x  2)  3 x  2
13
x  2 için A  3
4
x 1
için B 
bulunur.
3
4 
 13



1 3
3
3

dx
 x  3x  

3
 x  2 x 1




1
13
4
 x 3  3 x  ln x  2  ln x  1  C
3
3
3

8.
x5  1
x5  1
dx

 x 3 ( x  2)  x 4  2 x 3 dx
6.
x  x 1
x  x 1
dx  
dx
2
x( x  1)( x  1)
 1)
2
 x( x
2
B
C 
A
  

dx
 x x  1 x 1
A( x  1)  Bx ( x  1)  Cx ( x  1)  x 2  x  1
x  0 için A  1
1
x  -1 için B  2
1
x  1 için
C
bulunur.
2
1
1 

1

2
2

dx



 x x  1 x 1




1
1
 ln x  ln x  1  ln x  1  C
2
2
1 x 1
 ln x  ln
C
2 x 1
237

4x3  1 
dx
   x  2  3
x ( x  2) 

x2
D 
A B C

 2x     2  3 
dx
2
x  2
x
x x
Ax 2  Bx ( x  2)  C ( x  2)  Dx 3  4 x 3  1
1
31
x  0 için C 
; x  2 için D 
2
8
1
x  1 için
AB
8
3
x  1 için A - B 
ve
8
1
1
A
,
Bbulunur.
8
4
31 
1
1 1


2
x
8
8
4
2

dx

 2x  



2
 x x2 x3 x  2 




2
x
1
1
1
31

 2 x  ln x 
 2  ln x  2  C
2
8
4x 4x
8
9.
11.
x  x 1
 ( x  1) 3 dx
x3  2x  1
x3  2x  1
 ( x 2  x  2) 2 dx   ( x  1) 2 ( x  2) 2 dx
2
 A
B
C 
dx
  


2
( x  1) 3 
 x  1 ( x  1)
A( x  1) 2  B ( x  1)  C  x 2  x  1
x  1 için C  3
x  0 için A  B  -2
x  1 için 2A  B  -1
ve
A  1 , B  -3 bulunur.
 A
B
C
D
  



2
x  2 ( x  2) 2
 x  1 ( x  1)
A( x  1)( x  2) 2  B ( x  2) 2 

dx

C ( x  1) 2 ( x  2)  D ( x  1) 2  x 3  2 x  1
4
11
x  1 için B  - , x  2 için D 
9
9
2
x  0 için 2A - C  9
11
x  1 için A - 2C  ve
9
7
20
A
, C
bulunur.
27
27
4
20
11 
 7


9
27 
9
dx
   27 

 x  1 ( x  1) 2 x  2 ( x  2) 2 




7
4
20
11

ln x  1 

ln x  2 
C
27
9( x  1) 27
9( x  2)
 1
3
3 
dx
  


2
( x  1) 3 
 x  1 ( x  1)
3
3
 ln x  1 

C
x  1 2( x  1) 2
10.
x3  4
 ( x 2  1)( x 2  3x  2)dx
x3  4

dx
( x  1) 2 ( x  1)( x  2)
12.
 A
B
C
D 
dx
  



2
x  1 x  2 
 x  1 ( x  1)
A( x  1)( x  1)( x  2)  B ( x  1)( x  2) 
C ( x  1) 2 ( x  2)  D ( x  1) 2 ( x  1)  x 3  4
3
5
x  1 için B  - , x  1 için C 
2
12
4
3
x  2 için D 
, x  0 için A  3
4
4 
3
5
 3


2
12  3 dx
  4 

 x  1 ( x  1) 2 x  1 x  2 




3
3
5
  ln x  1 
 ln x  1 
4
2( x  1) 12
4
ln x  2  C
3
238
sec 2 x
 tan 3 x  tan 2 x dx
u  tan x dersek du  sec 2 x.dx olur.
du
du
 3
 2
2
u u
u (u  1)
C 
A B
   2 
du
u 1
u u
Au (u  1)  B (u  1)  Cu 2  1
u  0 için B  -1 , u  1 için C  1
u  -1 için A  -1 bulunur.
1 
 -1 1
   2 
du
u 1
u u
1
  ln u   ln u  1  C
u
1
  ln tan x 
 ln tan x  1  C
tan x
 cot x  ln 1  cot x  C
13.
15.
x 8
x 8
 ( x 2  1)( x  2)dx   x 3  2 x 2  x  2dx
1
ex
dx

 e x  1  e x (e x  1)dx


2x 2  x  6
dx
  1 
 ( x  1)( x  1)( x  2) 
B
C 
 A
 x  


dx
 x 1 x 1 x  2 
A( x  1)( x  2)  B ( x  1)( x  2) 
u  e x dersek du  e x dx olur.
C ( x  1)( x  1)  2 x 2  x  6
7
9
x  1 için A  , x  1 için B  6
2
16
x  2 için C 
bulunur.
3
16 
9
 7


6
3
2

dx
x


 x 1 x 1 x  2 




7
9
16
 x  ln x  1  ln x  1  ln x  2  C
6
2
3
1 
1
  
du  ln u  ln u  1  C
 u u 1
3
3
du
B 
A
  
du
u(u  1)
 u u 1
A(u  1)  Bu  1
u  1 için B  -1 , u  0 için A  1

14.
ex
 (e x  1)(e x  3)dx
u  ex
dersek
du  e x dx olur.
du
B 
 A
 

du
(u - 1)(u  3)
 u 1 u  3 
A(u  3)  B (u  1)  1
1
1
u  1 için A  , u  -3 için B  4
4
1 
 1


 4  4 du 
  u 1 u  3 




1
1
ln u  1  ln u  3  C 
4
4
1
1
ln e x  1  ln e x  3  C 
4
4
x
1 e 1
ln
C
4 ex  3
 ln e  ln e  1  C  ln
x
x
ex
ex 1
C
16.
3 x
 A Bx  C 
dx     2
dx
2
 1)
x 1 
x
 x( x
A( x 2  1)  ( Bx  C ) x  3  x
A  3 , B  -3 , C  -1 bulunur.
 3  3x  1 
   2
dx
x 1 
x
3x
1 
3
   2
 2
dx
 x x  1 x  1
3
 3 ln x  ln x 2  1  arctan x  C
2
17.

x
2
3x  1
dx
( x 2  25)
 A B Cx  D 
   2  2
dx
x  25 
x x
Ax ( x 2  25)  B ( x 2  25)  (Cx  D) x 2  3 x  1
3
1
3
1
A
, B
, C, D25
25
25
25
1
3
1 
 3

x


25 dx
   25  252  252
 x
x
x  25 




3
1
3
1
x

ln x 
 ln x 2  25 
arctan  C
25
25 x 50
125
5
239
18.
20.
1
dx
 x 4  16dx   ( x 2  4)( x 2  4)
dx
 2
( x  4)( x  2)( x  2)
1
dx
dx   4
2
4
x  4x  4x 2  4
dx
 2
( x  2) 2  ( 2 x ) 2
dx
 2
( x  2 x  2)( x 2  2 x  2)
x
B
Cx  D 
 A
 

 2
dx
x2 x2 x 4 
A( x  2)( x 2  4)  B ( x  2)( x 2  4) 
(Cx  D )( x  2)( x  2)  1
1
1
1
A
, B
, C0 , D32
32
8
1
1 
 1


32
32
8

dx



 x  2 x  2 x2  4 




1
1
1
x
  ln x  2  ln x  2  arctan  C
32
32
16
2
x2 1
1
x

ln
 arctan  C
32 x  2 16
2
19.
cos x
dx
x  sin x
u  sin x dersek
 sin

3
du  cosx.dx
olur.
du
du
 A Bu  C 

   2
du
2
u u
u (u  1)
 u u 1 
3
A(u 2  1)  ( Bu  C )u  1
A  1 , B  -1 , C  0
u 
1
   2
du
 u u 1
1
 ln u  ln u 2  1  C
2
1
 ln sin x  ln sin 2 x  1  C
2
4
 Ax  B
Cx  D 
dx
  

2
2
(
x

1
)

1
(
x

1
)

1


2
( Ax  B )[( x  1)  1]  (Cx  D )[( x  1) 2  1]  1
1
1
1
1
A , B
, C
, D
8
4
8
4
1
1
1 
 1
x
  x

   8 2 4  8 2 4 dx
 ( x  1)  1 ( x  1)  1 




u  x  1 dersek du  dx
w  x  1 dersek dw  dx
1
1
1
1
- (u  1) 
( w  1) 
4 du  8
4 dw
 8 2
2

u 1
w 1
1
1
 u
  2 8 du   28 du 
u 1
u 1
1
1
w
8
8
 w 2  1dw   w 2  1dw
1
1
  ln u 2  1  arctan u 
16
8
1
1
ln w 2  1  arctan w  C
16
8
1
1
  ln x 2  2 x  2  arctan( x  1) 
16
8
1
1
ln x 2  2 x  2  arctan( x  1)  C
16
8
2
x  2x  2 1
1
 kn 2
 arctan( x  1) 
16
x  2x  2 8
1
arctan( x  1)  C
8
240
AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ.
1.  (2 x  5)( x 2  5x) 7 dx
11.  cossin55 xx dx
e
2.  (3  x)
12.
3. 
10
dx
x3
1 x4
 x sin x
2
dx
0
13.  ( x  3)( x  1) 5 dx
7 x  9 dx
4.  3

14.  x
dx
4  x dx
15.  x  5 dx
2x  3
5.  e 5 x2 dx
x2  4
dx
x2
6.  4 cos 3xdx
16. 
7.  sin(ln x) dx
17.  (3  ln x) (2  ln x) dx
4x
2
x
8. 
3x  6
dx
x  4x  3
9
18. 
2
0
9.  x3 x 1dx
2
10.  3 dx
x ln x
241
4  x dx
ÇÖZÜMLER:
7.  sin(ln x) dx
1.  (2 x  5)( x 2  5x) 7 dx
x
1
dx
x
  sin udu   cos u  C   cos(ln x)  C
u  ln x dersek du 
u  x 2  5 x dersek du  (2x  5)dx
  u 7 du 
u8
( x 2  5 x) 8
C 
C
8
8
2.  (3  x)10dx
3x  6
dx
x  4x  3
u  x 2  4 x  3 dersek du  2x  4
u  3  x dersek du  -dx
8. 
 u 11
 (3  x)11
   u du 
C 
C
11
11

10
3. 
7 x  9 dx
2
u  x 2  1 dersek du  2xdx
1
1
1 2
  e u du  e u  C  e x 1  C
2
2
2
3
2
1
1u
u du 
C

7
7 3
2
2( 7 x  9) 7 x  9

C
21

4.  3
3 du 3
3
 ln u  C  ln x 2  4 x  3  C

2 u
2
2
9.  x3 x 1dx
u  7 x  9 dersek du  7dx
1
2
2
10.  3 dx
x ln x
u  ln x dersek du 
x3
dx
1 x4
u  1  x 4 dersek du  4x 3 dx
 3
1
dx
x
du
 3 ln u  C  3 ln ln x  C
u
2
1
1 
1 u3
3
  u 3 du 
 C  3 (1  x 4 ) 2  C
4
4 2
8
3
5.  e 5 x2 dx
u  5 x  2 dersek du  5dx
1
1
1
  e u du  e u  C  e 5 x  2  C
5
5
5
11.  cossin55 xx dx
e
u  e sin5x dersek du  5cos5x.e sin5xdx
1 du
11
1
  2 
 C   sin 5 x  C
5 u
5u
5e
12.

 x sin x
2
dx
0
u  x2
6.  4 cos 3xdx

dersek du  2xdx
1
1
  sin udu   cos u
2 0
2
u  3x dersek du  3dx
4
4
4
  cos udu  sin u  C  sin 3x  C
3
3
3

242

0
1
cos   cos 0   1 (1  1)  1
2
2
13.  ( x  3)( x  1) 5 dx
17.  (3  ln x) (2  ln x) dx
4x
2
u  x  1 dersek du  dx
x  u  1 ve x  3  u  4
  (u  4)u 5 du   (u 6  4u 5 )du
u 7 2u 6
( x  1) 7 2( x  1) 6


C 

C
7
3
7
3
14.  x
1
dx ve lnx  u - 3
x
1
1
  u 2 (2  (u  3))du   (5u 2  u 3 )du
4
4
3
4
5u
u


C
12 16
5(3  ln x) 3 (3  ln x) 4


C
12
16
u  3  ln x dersek du 
4  x dx
u  4  x dersek du  -dx ve x  4 - u
1
2
1
2
3
2
   (4  u )u du    (4u  u )du
3
9
18. 
5
8
2
  u2  u2 C
3
5
3
5
8
2
  (4  x) 2  (4  x) 2  C
3
5
0
u  4 x
x  (4  u )  u  8u  16
dx  (2u  8)du
x:0 9
u : 4 1
2
1
1
3
2
1
2
  u (2u  8)du   (2u  8u )du
u -3
2
4
u 3
7

5


1
1 1
  2
du     2 du
2
u
2 2 u 




u 7 ln u
2 x  3 7 ln 2 x  3
 
C 

C
4
4
4
4
16.  x  4 dx
x2
2
u  x  2 dersek du  dx ve x  u - 2

x  4u
dersek
2
15.  x  5 dx
2x  3
u  2 x  3 dersek du  2dx ve x 
4  x dx
(u - 2) 2  4
8

du    u  4  du
u
u

u2
 4u  8 ln u  C
2
( x  2) 2

 4( x  2)  8 ln x  2  C
2

243

4
5
2
4
16
u  u
5
3
3
2 1
4

188
15
AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ
1
1.
 1
2.
 3
x
2 x
x
3
dx
dx
3.
 4
4.
x
5.

6.

7.

x
8.

5  x dx
6
3
x
dx
x  1dx
3x  2
x9
dx
1
3
x 3 x
2
x 1

3
dx
9.

10.

11.

12.
 x 1dx
13.

14.
dx
x 1
244
1  x  3 dx
3
2  4  x dx
1
2  1 x
x

4 x
dx
x2
x 5
dx
x  16
4
dx
ÇÖZÜMLER:
5.
1
1.
 1
3(u 2  9)  2

2u.du   (6u 2  58)du
u
3
 2u  58u  C
2u
2 

du    2 
du
u 1
u  1

 2u  2 ln u  1  C
3
 2( x  9) 2  58 x  9  C
 2 x  2 ln x  1  C
2 x
2.
 3
x
3x  2
dx
x9
u  x  9 dersek dx  2u.du
dx
x
u  x dersek dx  2u.du


6.

1
dx
x 3 x
u  3 x dersek dx  3u 2 du
1
3u
 2
3u 2 du  
du
u 1
u u
3 

  3 
du  3u  3 ln u  1  C
u 1

dx
u  x dersek dx  2u.du
2u
2u 2  4u
2u.du  
du
3-u
3u
30 

    2u  10 
du
3u 


2
3
 33 x  3 ln 3 x  1  C
 u 2  10u  30 ln 3  u  C
  x  10 x  30 ln 3  x  C
3
3.
 4
7.
u6 x
dx
3
x
u  x dersek dx  3u 2 du

3

9u 2
144 

du    9u  36 
du
u4
u  4

9
u2
 36u  144 ln u  4  C
2
2

1
x
6
x 1  u6
x 1
x

3
dx
x 1
dersek dx  6u 5 du
u3 1
u5  u2
5
6
u
du

6
 u 2  1 du
u 3 (u 2  1)
u 1 

  u3  u 1 2
du
u  1

u4 u2
1


 u  ln u 2  1  arctan u  C
4
2
2
1
9 3
x  36 x 3  144 ln x 3  4  C
2
4.


3
8.
x  1dx
dersek dx  6u 5 du
x2 3 x 6
1

 x  ln 3 x  1  arctan 6 x  C
4
2
2

5  x dx
u  5  x dersek dx  (4u 3  20u )du
  (u 6  1).u.6u 5 du   (6u 12  6u 6 )du
  u (4u 3  20u )du   (4u 4  20u 2 )du
u 13
u7
5 C
13
7
13
7
6
6
6
 ( x  1)  ( x  1) 6  C
13
7
4u 5 20u 3

C
5
3
5
3
4
20
  5  x    5  x   C


5
3 
6

245
9.

1  x  3 dx
3
u  3 1  x  3 dersek dx  (6u 5  6u 2 )du
2
6
3

6u 7 3u 4

C
7
2
7
4
6
3
3
 (1  x  3 )  (1  x  3 ) 3  C
7
2

10.

2u 2
2 

du    2  2
du
2
u 1
u 1

1
1 

 2 

du
u 1 u 1

 2u  ln u  1  ln u  1  C
u  2  4  x dersek
dx  (8u 7  48u 5  64u 3 )du
7
  u (8u  48u 5  64u 3 )du
7
8
48 


  2 4 x    2 4 x  
9
7 



5
64 

 2 4 x  C
5 

1
dx
dersek
dx  (8u 7  48u 5  88u 3  48u )du

  (8u  48u  88u  48)du
6
4
2

8u 7 48u 5 88u 3


 48u  C
7
5
3

8( 2  1  x ) 7 48( 2  1  x ) 5


7
5
C

- 2u 2
 2u 2
du

 (u  2) 2 (u  2) 2 du
(u 2  4) 2
 A
B
C
D 
du
  



2
u  2 (u  2) 2 
 u  2 (u  2)
1
1
1
1
A , B- , C
, D4
2
4
2
1 u2
1
1
 ln


C
4 u  2 2(u  2) 2(u  2)
2  1 x
u  2  1 x
x 1
4 x
dx
x2
u  4  x dersek dx  -2udu
13.
8u 9 48u 7 64u 5



C
9
7
5

x 1
 2 x  ln
  (8u 8  48u 6  64u 4 )du
11.
dersek dx  2udu
A
B 

 2 

du
u 1 u 1

A(u  1)  B (u  1)  2
u  1 için A  1 ve u  -1 için B  -1
2  4  x dx
9
 x 1dx
u x
  u (6u  6u )du   (6u  6u )du
5
x
12.
4 x 2
1
ln
4
4 x 2

1
2( 4  x  2)

1
2( 4  x  2)
C
x 5
dx
x  16
u  4 x dersek dx  4u 3 du
14. 

88( 2  1  x ) 3
 48 2  1  x  C
33
4


4u 4  20u 3
20u 3  64

du
du

4

4
2


u  16
(u  2)(u  2)(u  4) 

7
3
10u
8

 4 

 2
 2
u  2 u  2 u  4 u  22


du

 44 x  7 ln 4 x  2  3 ln 4 x  2  5 ln x  4
 4 arctan
246
4
x
C
2
AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
 sin 3x.dx
 tan 5x.dx
14.
 (sin x  cos x)(sin x  cos x)
15.
 (cos x).e
16.
 sin 3x.sin(cos 3x)dx
17.

18.
 (sec x. tan x)
19.
e
20.
 x.sin 3x.dx
21.
x
22.
 sin x. cos x.e
23.
e
24.
 sin 3x. cos 4 x.dx
4sin x
dx
 5 sec 4 x tan 4 x.dx
 (sin x  cos x) dx
cos x. ln(sin x)
dx
sin x
2
 3 cos
2
5 x.dx
 (2  tan x)
 sin
3
4  3 sec x .dx
2
x
cos e x dx
dx
x.dx
2
cos x.dx
cos 5 x
 3  sin 5x dx
cos 2 x
 1  sin x dx
sin x
x
sin x
dx
sin x.dx
10.
 1  sin x dx
11.
 (csc 3x  cot 3x) dx
25.
 sec x.
12.
 sec
26.
 sin 2 x  cos 2 x dx
13.
 tan
27.

2
2
5
x 5  tan x. dx
x.dx
247
sec x  tan x .dx
sin 2 x  cos 2 x
sin x  cos x
dx
e  x  sin x
5
dx
6.
ÇÖZÜMLER:
1.
 sin 3x.dx
2
dx
  (4  4 tan x  tan 2 x)dx
u  3 x dersek du  3dx
1
1
  sin u.du   cos u  C
3
3
1
  cos 3 x  C
3
2.
 (2  tan x)
 4  dx  4  tan x.dx   tan 2 x.dx
 4 x  4 ln sec x   (sec 2 x  1)dx
 4 x  4 ln sec x   sec 2 x.dx  x
 3 x  4 ln sec x  tan x  C
 tan 5x.dx
u  5 x dersek du  5dx
1
1
  tan u.du  ln sec u  C
5
5
1
 ln sec 5 x  C
5
7.
3.
  cos x   cos 2 x. sin x.dx
 sin
3
x.dx
  sin 2 x. sin x.dx   (1  cos 2 x) sin x.dx
  (sin x  cos 2 x. sin x)dx
  sin x.dx   cos 2 x. sin x.dx
 5 sec 4 x tan 4 x.dx
u  4 x dersek du  4dx
5
5
  sec u. tan u.du  sec u  C
4
4
5
 sec 4 x  C
4
u  cos x dersek du  -sinx.dx
4.
8.
u3
 -cos x   u du   cos x 
C
3
cos 3 x
  cos x 
C
3
2
 (sin x  cos x) dx
2
  (sin 2 x  2 sin x. cos x  cos 2 x)dx
cos 5 x
 3  sin 5x dx
u  3  sin 5 x dersek du  5cos5x.dx
1 du 1
 
 ln u  C
5 u
5
1
 ln 3  sin 5 x  C
5
  (1  2 sin x. cos x)dx  x  2 sin x. cos x.dx
u  sin x dersek du  cosx.dx
 x  2  u.du  x  u 2  C
 x  sin 2 x  C
5.
 3 cos
 3
2
cos 2 x
 1  sin x dx
1  sin 2 x
(1  sin x)(1  sin x)

dx  
dx
1  sin x
1  sin x
9.
5 x.dx
1  cos 10 x
3
dx   (1  cos 10 x)dx
2
2

  (1  sin x)dx  x  cos x  C

3
x   cos 10 x.dx
2
u  10 x dersek du  10dx

10.
3
1
 3x 3
 sin u  C
 x   cos u.du  
2
10
 2 20
3x 3

 sin 10 x  C
2 20

sin x
 1  sin x dx
sin x(1  sin x)
sin x  sin 2 x

dx  
dx
(1  sin x)(1  sin x)
1  sin 2 x
248
14.
sin x  sin 2 x
dx
cos 2 x
sin x sin 2 x
 (

)dx
cos 2 x cos 2 x

u6
   u du  
C
6
1
  (sin x  cos x) 6  C
6
 sec x   (sec 2 x  1)dx
15.
 sec x  tan x  x  C
 (csc 3x  cot 3x) dx
16.
  (csc 3 x  2 csc 3 x. cot 3x  (csc 3 x  1))dx
2
2
  (2 csc 2 3 x  2 csc 3 x. cot 3 x  1)dx
u  3 x dersek du  3dx
  (2csc 2 u  2 csc u. cot u )du  x
2
2
  cot u  csc u  x  C
3
3
2
2
  cot 3 x  csc 3 x _ x  C
3
3
dx

cos x. ln(sin x)
dx
sin x
u  ln(sin x) dersek du 
  u.du 
x 5  tan x.dx
3
 sin 3x.sin(cos 3x)dx
u  cos 3x dersek du  -3sin3x.dx
1
1
 -  sin u.du  cos u  C
3
3
1
 cos(cos 3x)  C
3
17.
u  5  tan x dersek du  sec 2 x.dx
  u du 
4sin x
  e u du  e u  C  e 4sin x  C
2
 sec
 (cos x).e
u  4  sin x dersek du  cosx.dx
  (csc 2 3 x  2 csc 3 x. cot 3x  cot 2 3 x)dx
12.
18.
3
2 2
2
u  C  (5  tan x) 2  C
3
3
13.
 tan
cosx
dx
sinx
u2
1
 C  (ln(sin x)) 2  C
2
2
 (sec x. tan x)
4  3 sec x .dx
u  4  3 sec x dersek du  3sec x.tan x.d x
3
5
dx
5
  sec x. tan x.dx   tan 2 x.dx
2
5
u  sin x  cos x dersek du  (cos x  sin x)dx
  (sec x. tan x  tan 2 x)dx
11.
 (sin x  cos x)(sin x  cos x)
1
2
u du  u 2  C

3
9
3
2
 (4  3 sec x) 2  C
9

x.dx
  tan 3 x. tan 2 x.dx   tan 3 x(sec 2 x  1)dx
  tan 3 x. sec 2 x.dx   tan 3 x.dx
19.
u  tan x dersek du  sec 2 u
e
x
cos e x dx
  u 3 du   tan x. tan 2 x.dx
u  ex
u4

  tan x(sec 2 x  1)dx
4
tan 4 x

  tan x. sec 2 x.dx   tan x.dx
4
tan 4 x tan 2 x


 ln sec x  C
4
2
  cos u.du  sin u  C
dersek du  e x dx
 sin e x  C
249
20.
24.
 x.sin 3x.dx
u  x ve dv  sin3x.dx dersek
1
du  dx , v  - cos 3x olur.
3
u  sin 3x ve dv  cos 4 x.dx dersek
1
du  3cos3x , v  sin 4 x olur.
4
1
3
 sin3x.cos4 x.dx  4 sin 3x. sin 4 x  4  cos 3x. sin 4 x.dx
u  cos 3 x
ve dv  sin4x dersek
 u.dv  u.v -  v.du
1
1
 x.sin 3x   3x. cos 3x  3  cos 3x.dx
du  -3sin3x.dx ,
x
1
  cos 3x  sin 3x  C
3
9
21.
x
2
cos x.dx
2
2
u  x ve dv  sinx.dx dersek
du  dx , v  -cosx olur :

 x 2 sin x  2  x cos x    cos x.dx

25.
 x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C
 sin x. cos x.e
sin x
dx
du 
wu
26.
u.e u   e u du  u.e u  e u  C 
u  ex
x
sin x.dx
ve dv  sin x.dx
du  e x dx , v  -cos x olur.
e
x
sin x.dx  e x cos x   e x cos x.dx
u  ex
27.
ve dv  cos x dx dersek
du  e x dx

v  sin x
olur.
 -e x cos x  e x sin x   e x sin x.dx
x

sin x  cos x
dx
e  x  sin x
pay ve payda ex ile çarpılır ,
u=1+ex sin x alınırsa ;

 ln 1  e x sin x  C
 2  e sin x.dx  e cos x  e sin x  C
x
sin 2 x  cos 2 x
 sin 2 x  cos 2 x dx
u  sin 2 x  cos 2 x dersek
du  -2(sin2x - cos2x)dx
1 du
1
 
  ln u  C
2 u
2
1
  ln sin 2 x  cos 2 x  C
2
sin x.e sin x  e sin x  C
e
sec x  tan x .dx
 2 sec x  tan x  C
ve dv  e u du dersek
dw  du , v  e u
23.
 sec x.
u  sec x  tan x dersek
1
du  sec x sec x  tan x .dx
2
  2du  2u  C
u  sin x dersek du  cos x.dx
u
1
cos 4 x olur.
4
1
sin 3 x. sin 4 x 
4
3 1
3

  cos 3 x. cos 4 x   cos 4 x. sin 3 x.dx 
4 4
4

1
3
9
 sin 3x sin 4 x  cos 3x cos 4 x   sin 3x cos 4 xdx
4
16
16
7
sin 3x cos 4 x
16 
1
3
 sin 3x sin 4 x  cos 3x cos 4 x  C
4
16
 u.dv  u.v -  v.du
 x cos x.dx  x sin x   2x sin x.dx
 u.e
v -

u  x 2 ve dv  cos x.dx dersek
du  2 x.dx , v  sinx olur.
22.
 sin 3x. cos 4 x.dx
x
250
BULUNUR.
AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ
1.
2.
3.
 5e
x
dx
 (2  3e
x
)dx
1
ln 2
7
 14e
8e x (3  e x )
11.

12.
 (27e
dx
e 2 x  6e x  1
9x
e
12 x
1
3
) dx
ÇÖZÜMLER:
7x
dx
1.
0
 5e
x
dx
 5 e x dx  5e x  C
4.
7
2 x 3
2.
 (2  3e )dx
  2dx   3e dx  2 x  3e
dx
x
x
5.
6.
 e2x
3
e
  7  e 3x
5x
e
x

dx

3.
x
C
1
ln 2
7
 14e
7x
dx
0
u  7 x dersek du  7dx
1
x : 0  ln 2 , u : 0  ln2
7
ln 2
du
 14  e u
 2e u ln0 2  2e ln 2  2e 0
7
0
(1  2e x ) 4 dx
 2.2  2.1  4  2  2
7.
 (e
4x
 e 4 x ) 2 dx
4.
7
2 x 3
dx
u  2 x  3 dersek
du  2dx
2 x 3
1 u
1 7
7 2 x 3
  7 du  .
C 
C
2
2 ln 7
ln 7 2
7 2 x 3

C
ln 49
8.
e
9.
3x  4 x
0 5 x dx
2x
3 
5x  e

e
  7  e 3x dx
 e7x

1
  
 3e 3 x dx   e 7 x dx  3 e 2 x dx
7
 7

 30e

10.
x
(1  e x )(1  e x )10 dx
1
3 x
5.
(1  3e  x ) 5 dx
251
1 7x 3 2x
e  e C
49
2
6.
e
x
10.
(1  2e x ) 4 dx
u  1  2e x
4x
(1  3e  x ) 5 dx
dersek du  -3e -x dx
 30 (e  x ) 2 (1  3e  x ) 5 e  x dx
1 u
u5
e
du

C
2
10
(1  2e x ) 5

C
10
 (e
3 x
u  1  3e  x
dersek du  2e x dx

7.
 30e
10
10
(u  1) 2 u 5 du    (u 7  2u 6  u 5 )du

9
9
8
7
6
 5u
20u
5u



C
36
63
27
 5(1  3e  x ) 8 20(1  3e  x ) 7 5(1  3e  x ) 6



C
36
63
27

 e 4 x ) 2 dx
  (e 8 x  2  e 8 x )dx

e8x
e 8 x
 2x 
C
8
8
11.
8.
e
x
(1  e x )(1  e x )10 dx
u  1 ex
u  e2x
dersek du  e x dx
 4
  (1  (u  1))u 10 du   (2  u )u 10 du
12.
9.

0
du
u
1
 8u 2  C
1
9x
12 x
 (27e  e ) 3 dx
1
3
  e (27  e ) dx
3 4
dx
5x
x
dx
e 2 x  6e x  1
 6e x  1 dersek du  2e x (e x  3)dx
 8 e 2 x  6e x  1  C
2u 11 u 12

C
11
12
2(1  e x )11 (1  e x )12


C
11
12
  (2u 10  u 11 )du 
1

8e x (3  e x )
3x
x
3x
u  27  e 3 x
x
x
3
4
 
 
1
 3  x  4  x 
5
5

       dx 
 
3
4
 5   5  
0 
ln
ln
5
5
4  
 3


  1
1 
5
5







4  3
4
 3
ln   ln
ln 
 ln
5  5
5
 5
2
1


3
4
5 ln
5 ln
5
5

1
0
1
3
dersek du  3e 3x dx
4
3
1
u
u du 
C

3
4
(27  e 3 x )3 27  e 3 x

C
4
252
AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.


3 x
dx
x
2
7
dx
x5
x
x
2
2
3
dx
4
x
dx
4
x
3
 x  2 dx

x4  x3
dx
x2 1

1
dx
x(3  ln x)
7  ln x
 x(3  ln x) dx

1
dx
2
x  4x  5
 2x

2
1
dx
 12 x  68
1
x ( x  9)
dx
253
12.
 1  cos 2 x dx
13.
 1  sin
14.
e2x
 1  e 2 x dx
15.
ex
 1  e 2 x dx
16.
e4x
 1  e 2 x dx
17.
x
2
18.
x
2
19.
 2x
20.
 1 e
21.
e3x
 1  e 2 x dx
22.

sin 2 x
cos x
2
x
dx
x
dx
 2x  1
x
dx
 2x  5
2
7x  2
dx
 16 x  42
1
2x
dx
96 x  x
4 x x
dx
ÇÖZÜMLER:
3  x2
 x dx
 3 x2 
1
    dx  3 dx   x.dx
x
x x 
7.
1.
u  3  ln x dersek du 
x2
 3 ln | x | 
C
2

7
8.
2.
 x  5 dx
u  x  5 dersek du  dx
7
  du  7 ln u  C
u
 7 ln x  5  C
x
 3
1
1
x
dx  3. arctan  C
2
2
2
x 2
2
1
dx
x
7  (u  3)
10  u
du  
du
u
u
 10 
    1du  10 ln u  u  C
u

 10 ln 3  ln x  3  ln x  C
2
x
9.
2
2
1
dx
 4x  5
1
1
dx   2 du
2
( x  2)  1
u 1
 arctan u  C  arctan( x  2)  C
1 du 1
 ln u  C
2 u
2
1
 ln x 2  4  C
2

x


5.
7  ln x
 x(3  ln x) dx

x
dx
4
u  x 2  4 dersek du  2x.dx
4.
1
dx
x
du
 ln u  C  ln 3  ln x  C
u
u  3  ln x dersek du 
3
dx
4
3.
1
 x(3  ln x) dx
1
dx
 12 x  68
1
1
 
dx
2 ( x  3) 2  5 2
1 1
u
 . arctan  C
2 5
5
1
x3
 arctan
C
10
5
x3
dx
x2
8 

   x 2  2x  4 
dx
x  2

x3

 x 2  4 x  8 ln x  2  C
3
x4  x3
dx
6.  2
x 1
1 x 

   x2  x 1 2
dx
x  1

1
x
  ( x 2  x  1)dx   2 dx   2 dx
x 1
x 1
3
2
x
x
1


 x  arctan x  ln x 2  1  C
3
2
2
10.
 2x
11.

u x
2
1
x ( x  9)
dx
dersek du 
1
dx
2 x
1
1
u
 2 2
du  2. arctan  C
2
3
3
u 3
2
x
 arctan
C
3
3
254
12.
17.
sin 2 x
x
dx =
 2x  1
u  x  1 dersek du  dx
 1  cos 2 x dx
u  1  cos 2 x dersek du  -2sin2xdx
1 1
1
 -  du   ln u  C
2 u
2
1
  ln 1  cos 2 x  C
2
13.
x
2
u 1
1 
1
du     2 du 
2
u
u u 
1
1
ln u   C  ln x  1 
C
u
x 1

cos x
 1  sin
dx
x
u  sin x dersek du  cosx.dx
2
x
dx
 2x  5
u  x  1 dersek du  dx
18.
1
du  arctan u  C
1 u2
 arctan(sin x)  C

x
2
u -1
u
1
du   2
du   2
du
2
2
u 2
u 2
u  22
1
1
u
 ln u 2  4  arctan  C
2
2
2
1
1
x 1
 ln x 2  2 x  5  arctan
C
2
2
2

e2x
 1  e 2 x dx
u  1  e 2 x dersek du  2e 2x dx
14.
1 1
1
du  ln u  C

2 u
2
1
 ln 1  e 2 x  C
2
2

7x  2
dx
 16 x  42
1
7x  2
  2
dx
2 x  8 x  21
1
7x  2
 
dx
2 ( x  4) 2  5
u  x  4 dersek du  dx
19.
ex
 1  e 2 x dx
u  e x dersek du  e x dx
15.
1
du  arctan u  C
1 u2
 arctan e x  C

 2x
2
1 7u  26
1  7u
26 
du    2
 2
du
2

2 u 5
2 u 5 u 5
1 7
26
u
 . ln u 2  5 
arctan
C
2 2
5
5
7
26
x4
 ln x 2  8 x  21 
arctan
C
4
5
5

e4x
dx
16. 
1  e2x
u  1  e 2 x dersek du  2e 2x dx
1 u 1
1  1
 
du   1  du
2 u
2  u
1
1
 u  ln u  C
2
2
1
 (1  e 2 x )  ln 1  e 2 x  C
2
255
20.
1
 1 e
u  ex
2x
dx
dersek du  e x dx
1
 A Bu  C 
du    
du
2
2 
u (1  u )
 u 1 u 
A 1 , B  0 , C  0
1
u
1
  du  
du  ln u  ln u 2  1  C
2
u
2
1 u
1
 ln e x  ln e 2 x  1  C  x  ln e 2 x  1  C
2

21.
e
u  ex
2x
olmak üzere;
cos 6 x  sin 6 x 
dx
dersek du  e x dx
u2
1 

du   1 
du
2
2 
1 u
 1 u 
 u  arctan u  C
kökler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B)

cos2x=
u x
4 x x
9
4
2
2
 3 5 7
x=
,
,
,
4
4
4
4
dx
dersek du 
1
4
1
2
cos x= 
96 x  x
C)
12(cos2x)2-12cos2x+3=0
4(cos2x)2-4cos2x+1=0
(2cos2x-1)2=0
2cos2x-1=0
 e x  arctan e x  C

denkleminin
=3(cos2x)2-3cos2x+1=

22.
1
4
D) 4 
E)
5
2
cos6x + sin6x
=(cos2x)3 +(1-cos2x)3
=(cos2x)3 + 1-3cos2x + 3(cos2x)2-(cos2x)3
3x
 1 e
0  x  2
1
dx
2 x
u 2  6u  9
2u 2  12u  18

(2u ).du  
du
u (u  4)
u4
Toplam : 4 
2 

2
   2u  4 
du  u  4u  2 ln u  4  C
u  4

 x  4 x  ln( x  4) 2  C
256
AŞAĞIDAKİ İŞLEMLERİ YAPINIZ
1.
 xe
2.
 x sin x.dx
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x
dx
12.
 (ln x) dx
13.
x
14.
 x sin x. cos x.dx
15.
 ln x 
  x  dx
16.
x e
17.
x
18.
x
3
x  3 dx
 x ln x.dx
 x cos 3x.dx

ln x
.dx
x5
 arcsin 3x.dx
2
5
dx
cos( x 2 ).dx
5  3x 4 .dx
7
x3
.dx
( x 2  5) 2
19.

20.
e
 ln x.dx
3
x3
6x
sin(e 3 x ).dx
 2 x. arctan x.dx
x e
2 3x
10.
x
11.
 (ln x)
3
2
x 3e x
.dx
( x 2  1) 2
21.

22.
e
23.
 sin 3x. cos 5x.dx
dx
ln 5 x.dx
2
dx
257
x
cos x.dx
ÇÖZÜMLER:
1.
u=x
du=dx
 xe
x
 xe
x
dx
dv=ex dx
v=ex
ve
ve
6.
dersek
olur.
u=arcsin 3x
dx  xe   e dx
x
x
du 
 xe  e  C
x
2.
x
dv=sin x.dx
v=-cosx
dersek
olur.
u=ln x
ve
4.
u=x
dx
x
dv=x.dx
ve
v
 x cos 3x.dx
ve
dv=cos 3x.dx
du=dx ve
v=
7.
1
sin 3x
3
u=ln x

ve
dv 
dv=dx
dersek
olur.
 x. ln x  x  C
dersek
8.
olur.
 2 x. arctan x.dx
u=arctan x
du 
dx
1 x2
ve
dv=2x.dx
v=x2
ve
dersek
olur.
x2
 2 x. arctan x.dx  x arctan x   1  x 2 .dx
1 

 x 2 arctan x   1 
.dx
2 
 1 x 
 x 2 arctan x  x  arctan x  C
2
ln x
.dx
x5
dx
x5
dx
-1
du 
ve
v
x
4x 4
dx
ln x
ln x 1 5
 x 5 .dx   4 x 4  4  x
u  ln x
ve
dx
ve
v=x
x
 ln x.dx  x. ln x   dx
1
1
x. sin 3x   sin 3x.dx
3
3
1
1
 x. sin 3x  cos 3x  C
3
9

 ln x.dx
du=
 x cos 3x.dx 
5.
x.dx
dersek
2
x
olur.
2
x2
1
 x ln x.dx  2 ln x  2  x.dx
x2
x2

ln x 
C
2
4
du 
v  x olur.
ve
1  9x 2
dersek
1  9x 2
 x. arcsin 3x 
C
3
  x cos x  sin x  C
 x ln x.dx
dv=dx
1  9x 2
u  1  9 x 2 dersek du  18 x.dx olur.
1 du
1
 x.arcsin3x  
 x. arcsin 3x 
u C
6
3
u
 x sin x.dx   x cos x   cos x.dx
3.
ve
3.dx
 arcsin 3x.dx  x. arcsin 3x  3
 x sin x.dx
u=x
ve
du=dx ve
 arcsin 3x.dx
dersek
olur.
ln x
1

C
4
4x
16 x 4
258
9.
u=x2
x e
2 3x
12.
dx
dv=e3x
ve
2 3x
 x e dx 
u=x
ve
du 
v=
x 2 e3x
3
dv=e
3x
u=(ln x)2
dersek
u=ln 5x
dx
du 
x
3
u=ln x
dv=dx
dersek
ln 5 x.dx
dv=x3dx
ve
13.
dersek
4
x
v
4
ve
olur.
ux
 (ln x)
2
x
x  3 dx
ve
dv  x  3
dersek
3
2
( x  3) 2 olur.
3
3
3
2
2
2
 x x  3dx  3 x( x  3)  3  ( x  3) 2 dx
3
5
2
4
 x( x  3) 2  ( x  3) 2  C
3
15
du  dx ve
v
dx
2
ve dv=dx
dersek
14.
2. ln x
du 
.dx ve v  x olur.
x
2
2
 (ln x) dx  x(ln x)  2 ln x.dx
u=ln x
ve
dx
ve
v=x
olur.
du 
x
 x(ln x) 3  3x(ln x) 2  6 x. ln x  6 x  C
x4
1
x
ln
5
x
.
dx

ln 5 x   x 3 dx

4
4
4
4
x
x

ln 5 x 
C
4
16
u=(ln x)
dersek
 x(ln x) 3  3x(ln x) 2  6 ln x.dx
3
11.
ve dv=dx
2 ln x
dx ve v  x olur.
x
2
 x(ln x) 3  3x(ln x   2 ln x.dx)
x 2 e 3 x 2 xe 3 x 2e 3 x



C
3
9
27
x
dersek
du 
e 3x
du=dx ve
v=
olur.
3
x 2 e 3 x 2  x.e 3 x 1 3 x 

 
  e dx 
3
3 3
3

10.
ve dv=dx
2
3(ln x)
dx ve v  x olur.
x
3
3
2
 (ln x) dx  x(ln x)  3 (ln x) dx
e
olur.
3
2
  x.e 3 x dx
3
ve
3
u=(ln x)3
dersek
3x
du=2x.dx
 (ln x) dx
ve
dv=dx
ux
dv  sinx.cosx. dx
dersek
1
du  dx ve
v  sin 2 x
olur.
2
1
1
2
2
 x sin x. cos x.dx  2 x. sin x  2  sin x.dx
1
1
 x. sin 2 x   (1  cos 2 x).dx
2
4
1
1
1
 x. sin 2 x  x  sin 2 x  C
2
4
8
dersek
dx
olur.
ve v  x
x
 x(ln x) 2  2 x. ln x   dx
du 

 x sin x. cos x.dx

 x(ln x) 2  2 x. ln x  2 x  C
259
ve
18.
2
 ln x 
  x  dx
15.
u  (ln x) 2
2.ln x
du 
dx
x
ve
2
ve
du  4x 3 dx ve
x
2

4
4
3
du  3x dx ve

olur.

4
5
2
x3
.dx
( x 2  5) 2
x
dx dersek
(x  5) 2
-1
v
olur.
2(x 2  5)
ve dv 
2
x3
x2
x
.dx  
 2
dx
2
2
2
( x  5)
2( x  5)
x 5
ln x 2  5
x2


C
2
2( x 2  5)
3
3
x 3e x
x
e
dx

  x 2 e x dx

3
x3
3
3
3
2
du  2x.dx ve
3
ex
v
3
olur.
x (5  3 x )
(5  3 x )

C
18
135
4
19.
dv  x 2 e x dx dersek
2
5
3
2
3
ve
(5  3x 4 ) 2
v
18
x (5  3 x )
2

  x 3 (5  3 x 4 ) 2 dx
18
9
4
5 x
 x e dx
u  x3
dv  x 3 5  3x 4 dx dersek
5  3 x 4 .dx
7
u  x2
16.
5  3x 4 .dx
3
(ln x)
ln x
 ln x 
 2 2 .dx
 dx  
x 
x
x
1
u  ln x
ve dv  2 dx dersek
x
dx
1
du 
ve
v
olur.
x
x
(ln x) 2
dx 
 ln x

 2 
 2 
x
x 
 x
2
(ln x)
2. ln x 2


 C
x
x
x
 
7
u  x4
1
dv  2 dx dersek
x
1
volur.
x
ve
x
3
x 3e x
ex


C
3
3
17.
x
u  x2
20.
3
cos( x 2 ).dx
e
u  e3x
6x
sin(e 3 x ).dx
dv  e 3x sin e 3 x dx dersek
1
du  3e 3x dx ve v  - cos e 3 x olur.
3
6x
3x
 e sin(e ).dx
dv  x.cos(x 2 )dx dersek
1
du  2x.dx ve
v  sin( x 2 )
olur.
2
x 2 sin( x 2 )
3
2
x
cos(
x
).
dx

  x. sin( x 2 ).dx

2
x 2 sin( x 2 ) cos( x 2 )


C
2
2
ve
ve
1
  e 3 x cos e 3 x   e 3 x cos e 3 x dx
3
e 3 x cos e 3 x sin e 3 x


C
3
3
260
21.
23.
2

x 3e x
.dx
( x 2  1) 2
x
dx dersek
(x  1) 2
2
1
du  2x.e x (1  x 2 )dx ve v 
olur.
2( x 2  1)
u  x 2e x
2
dv 
ve
2
2
u  ex
du  3cos3x.dx
dv  cos5x.dx dersek
1
ve v  sin 5 x
5
 sin 3x. cos 5x.dx
u  cos 3x
ve dv  sin5x.dx dersek
1
du  -3sin3x ve v  - cos 5 x olur.
5
2
x
ve
1
3
 sin 3x. sin 5 x   cos 3x. sin 5 x.dx
5
5
x 2e x
1 2

 ex  C
2
2( x  1) 2
e
u  sin 3x
2
2
x 3e x
x 2e x
.
dx


  x.e x dx
2
 ( x 2  1) 2
2( x  1)
22.
 sin 3x. cos 5x.dx
1
 sin 3 x. sin 5 x 
5
3 1
3

  cos 3 x. cos 5 x   sin 3 x. cos 5 x.dx 
5 5
5

cos x.dx
ve dv  cosx.dx dersek
du  e dx ve v  sinx
olur.
x
x
x
 e cos x.dx  e sin x   e sin x.dx
x
u  ex
ve dv  sinx.dx
du  e x dx ve

v  -cosx
1
3
 sin 3 x. sin 5 x  cos 3 x. cos 5 x 
5
25
9
sin 3 x. cos 5 x.dx
25 
dersek
olur.
 e x sin x   e x cos x   e x cos x.dx

16
sin 3 x. cos 5 x.dx
25 
1
3
 sin 3 x. sin 5 x  cos 3 x. cos 5 x  C
5
25
 2  e x cos x.dx  e x sin x  e x cos x  C
  e e cos x.dx 

1 x
e sin x  e x cos x  C
2

 sin 3x. cos 5x.dx

261
5
3
sin 3x. sin 5 x  cos 3x. cos 5 x  C
16
16