1.2 Tychonoff Toreminin Bir Kanıtı Daha

6
1. Ideallerin Serbestliği ve P -Uzayı
1.2
Tychonoff Toreminin Bir Kanıtı Daha
Tychonoff teorem1 , kompakt Hausdorff uzayların çarpım uzaylarının kompakt
olduğunu söyler. Bu temel teoremin bir farklı kanıtını z-filtreler terimiyle bu
bölümde vereceğiz.
Teorem 1.4. X ve Y tümüyle düzenli toplojiij uzay ve π : X → Y sürekli
fonksiyon olsun. F, X’de bir z-filtre ise,
π ∗ (F) = {Z(g) : g ∈ C(Y ), Z(g ◦ π) ∈ F}
olarak tanımlanan π ∗ (F), Y ’de bir z-filtredir. F asal ise, π ∗ (F)’de asaldır.
Kanıt: π ∗ (F)’nin bir z-filte olduğunu göstermek sıradan. Ikinci iddianın kanıtı
da öyle.
Teorem 1.5. (Xi )i∈I , tümüyle düzenli uzayların bir ailesi ve X bu ailenin
çarım uzayı olsun.
K = {∪i∈J⊂I Pi−1 (Zi ) : J
sonlu ve
Zi ∈ Z(Xi )},
X uzayının kapalı kümeleri için bir tabandır. (Burada Pi , X’den Xi ’ye tanımlı
projeksiyonlardır.)
Kanıt: Her i ∈ I için Z(Xi )’nin, Xi uzayının kapalı kümeler için bir taban
ve X’nin kapalı kümeler için bir öntabanının
K = {Pi−1 (Z) : i ∈ I, Z ∈ Z(Xi )}
olmasından istenen açıktır.
Teorem 1.6. (Xi )i∈I , tümüyle düzenli uzayların bir ailesi ve X bu ailenin
çarım uzayı olsun. F, X’de z-ultrafiltre olsun. Her i ∈ I için Pi∗ (F) sabit ise
F sabittir.
Kanıt: For each i ∈ I için xi ∈ Pi∗ (F) seçelim. x = (xi ) ∈ X diyelim.
x ∈ F olduğunu göstermek kanıtı tamamlayacaktır. Her i ∈ I, f ∈ C(Xi ) için
Pi−1 (Z(f ))F ise x ∈ Pi−1 (Z(f )) olduğu açıktır. F asal olduğundan
x ∈ ∩(K ∩ F)
dir. F ∈ F verilsin. K, X’de kapalı kümeler için bir taban ve F kapalı
olduğundan
F = ∩K0
1
Genel topolojide bu teorem Willard’e göre ”en önemli teorem”, Engelking’e göre ”en
önemli teoremlerden biri”, Herrlich ve Stecker’e göre ise ”tek başına en önemli teorem” dir.
1.2. Tychonoff Toreminin Bir Kanıtı Daha
7
olacak biçimde K0 ⊂ K vardır. Aynı zamanda K0 ⊂ F olacağından x ∈ F dir.
Dolayısıyla x ∈ F dir. F’nin sabit olduğu gösterilmiş olur.
Şimdi Tychonoff Teorem’nin farklı kanıtını2 verebiliriz: X, (Xi ) kompakt Hausdorff uzayların çarpım uzayı olsun. F, X’de z-ultrafiltre olsun. Her i için Xi
kompakt olduğundan, X’de tanımlı Pi∗ (F) z-filtresi sabittir. Bir önceki teorem
gereği F sabittir. Teorem ??? gereği ise X kompakttır.
Yukarıda kanıtanan aslında Tychonoff Teorem’nin özel bir durumu, çunkü Xi
uzaylaını Hausdorff aldık. Aslında bu durum, çalışma alanına göre (örneğin
Foknsiyonel Analiz) büyütülecek bir kayıp değildir.
Detayda, Tychonoff Theorem’nin Seçme belitine denk olduğu söylenir. Elimiz
değişken bunu da kanıtlıyalım: (Xi )i∈I boşkümeden farklı kümelerin bir ailesi
olsun. ∞ 6∈ ∪i∈I özelliğinde bir eleman seçelim (Örneğin ∞ = ∪i Xi alabiliriz.
Her i ∈ I için
Yi = Xi ∪ {∞}
olarak tanımlıyalım.
Y =
Q
i∈I
Yi
kümesi, ∞ ∈ Y olduğundan boş kümeden farklıdır. Her i ∈ I ve a ∈ Xi
seçelim. fa,i : Y → Yi fonksiyonunu
(
x if x = a
fa,i (x) =
∞ if x ∈ I \ J
tanımlıyalım. Her i ∈ I ve a ∈ Xi için, Pi ’ler projeksiyonlar olmak üzere,
fa,i ∈ Ai = Pi−1 (Xi ) olduğundan Ai 6= ∅ dır. Her i ∈ X için Yi üzerine
τi = {∅, Yi , {∞}} topolojisini koyalım. {(Yi , τi ) : i ∈ I} topolojik uzayların
çarpım topolojik uzayı (Y, τ ) kompakt uzaydır. Y çrpım uzayında Ai ’ler kapalı
ve {Ai : i ∈ I} ailesinin sonlu arakesit özelliği vardır. (Gerçekten boş kümeden
farklı sonlu J ⊂ I küme olmak úzere her j ∈ J iaj ∈ Xj seçelim. f : I → Y
fonksiyonunu
(
x if x = aj
f (x) =
∞ if x ∈ I \ J
∩j∈J Aj kümesinin bir elemanıdır.) Y kompact uzay olduğundan ∩i∈I Ai 6= ∅
dır.
2
Bu formata verilen kanıtlar ”N. Bourbaki, Topologie generale, Actualites Sci. Ind. 1142
(1951); 1045 (1958); Paris.” de bulunabilir. Bu kanıt Gilman ve Jerison’nun ”Rigs of Continuous Functions” adlı kitabından alımıştır.
8
1. Ideallerin Serbestliği ve P -Uzayı
∩i∈I Ai =
olmasından dolayı
Q
i∈I
Xi 6= Xi dir.
Q
i∈I
Xi