Untitled - Pegem.net
advertisement
Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. “Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.” 27. Baskı: Temmuz 2015, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 13987 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected] SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK - Temel Kavramlar, - Sayılar, - Bölme-Bölünebilme Kuralları, - Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, - Birinci Dereceden Denklemler, - Rasyonel Sayılar, - Üslü Sayılar, - Köklü Sayılar, - Çarpanlara Ayırma, - Eşitsizlik – Mutlak Değer, - Oran – Orantı, - Problemler, - Kümeler, - İşlem - Modüler Aritmetik, - Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık - Tablo ve Grafikler - Sayısal Mantık bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular - çözümlü testler ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi Sınav Komisyonuna, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar. Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR................................................2 Küme..........................................................................2 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı........................2 Kümelerin Gösterilişi................................................2 Boş Küme...................................................................3 Sayı Kümeleri.............................................................3 Tek - Çift Tamsayılar..................................................4 Tam Sayılarda İşlemler..............................................4 İşlem Önceliği............................................................6 Rasyonel Sayılar........................................................6 Rasyonel Sayılarda İşlemler.....................................6 Harfli İfadeler.............................................................8 Denklemler.................................................................9 Çözüm Kümesi Bulma...............................................9 Birinci Dereceden İki Bilinmiyenli Denklemler.......10 İkili..............................................................................10 Sıralama.....................................................................10 Eşitsizlik.....................................................................11 Oran – Orantı.............................................................11 Ortak Paranteze Alma...............................................12 Çözümlü Test – 1.......................................................13 Cevaplı Test – 1..........................................................17 Cevaplı Test – 2..........................................................19 2. BÖLÜM SAYILAR.....................................................................22 Sayı Kümeleri.............................................................22 Doğal Sayılar..............................................................23 Tam Sayılar.................................................................26 Tek ve Çift Tam Sayılar..............................................27 Pozitif ve Negatif Sayılar...........................................29 Ardışık Sayılar...........................................................31 Asal Sayı....................................................................36 Aralarında Asal Sayılar.............................................36 Basamak Analizi........................................................37 Çözümleme................................................................42 Faktöriyel...................................................................44 Sayma Sistemleri.......................................................47 Çözümlü Test – 1.......................................................54 Çözümlü Test – 2.......................................................58 Çözümlü Test – 3.......................................................62 Cevaplı Test – 1..........................................................66 Cevaplı Test – 2..........................................................68 Cevaplı Test – 3..........................................................70 Cevaplı Test – 4..........................................................72 Cevaplı Test – 5..........................................................74 Cevaplı Test – 6..........................................................76 Çıkmış Sorular...........................................................78 3. BÖLÜM BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI...................82 Bölme.........................................................................82 Bölünebilme Kuralları...............................................86 2 ile Bölünebilme.................................................86 3 ile Bölünebilme.................................................86 4 ile Bölünebilme.................................................87 5 ile Bölünebilme.................................................88 7 ile Bölünebilme.................................................89 8 ile Bölünebilme.................................................89 9 ile Bölünebilme.................................................89 10 ile Bölünebilme...............................................91 11 ile Bölünebilme...............................................91 Çözümlü Test ............................................................93 Cevaplı Test - 1..........................................................97 Cevaplı Test - 2..........................................................99 Çıkmış Sorular...........................................................101 4. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK........104 Asal Çarpanlara Ayırma............................................104 Bir Tam Sayının Bölenleri.........................................105 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı.....................107 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)...........................108 En Küçük Ortak Kat (EKOK)...............................111 Çözümlü Test ............................................................116 Cevaplı Test - 1..........................................................120 Cevaplı Test - 2..........................................................122 Cevaplı Test - 3..........................................................124 Çıkmış Sorular...........................................................126 5. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER......................128 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler.....128 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler......131 Denklem Sistemi........................................................131 Yok Etme Metodu.................................................131 Yerine Koyma Metodu.........................................132 Özel Denklemler........................................................133 Çözümlü Test ............................................................136 Cevaplı Test - 1..........................................................140 Cevaplı Test - 2..........................................................142 Çıkmış Sorular...........................................................144 vi 6. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR................................................146 Kesir ve Kesir Türleri................................................146 Kesir.....................................................................146 Basit Kesir............................................................146 Bileşik Kesir.........................................................146 Tam Sayılı Kesir...................................................147 Sabit Kesir............................................................148 Denk Kesir............................................................148 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem.................................149 Toplama İşlemi.....................................................149 Çıkarma İşlemi.....................................................150 Çarpma İşlemi......................................................150 Bölme İşlemi........................................................150 Kuvvet Alma.........................................................150 İşlem Önceliği......................................................151 Ondalık Kesir.............................................................154 Ondalık Sayılarda Dört İşlem....................................155 Devirli Ondalık Açılımlar...........................................157 Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma..........160 Çözümlü Test - 1........................................................161 Çözümlü Test - 2........................................................165 Cevaplı Test - 1..........................................................169 Cevaplı Test - 2..........................................................171 Çıkmış Sorular...........................................................173 7. BÖLÜM EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER................................176 Basit Eşitsizlikler.......................................................176 Özellikleri.............................................................176 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları......................................179 Kapalı Aralık.........................................................179 Yarı Açık Aralık.....................................................179 Açık Aralık............................................................180 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler.....180 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi..............................181 Mutlak Değer..............................................................183 Özellikleri.............................................................185 Çözümlü Test – 1.......................................................189 Çözümlü Test – 2.......................................................193 Cevaplı Test – 1..........................................................197 Cevaplı Test – 2..........................................................199 Cevaplı Test – 3..........................................................201 Çıkmış Sorular...........................................................203 8. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR..........................................................206 Özellikleri.............................................................206 Üslü Sayılarda Dört İşlem.........................................209 Toplama – Çıkarma..............................................209 Çarpma.................................................................210 Bölme...................................................................212 Çözümlü Test - 1........................................................215 Çözümlü Test – 2.......................................................219 Cevaplı Test - 1..........................................................223 Cevaplı Test - 2..........................................................225 Çıkmış Sorular...........................................................227 9. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR.......................................................230 Köklü Sayıların Özellikleri........................................230 Köklü Sayılarda Dört İşlem.......................................234 Toplama-Çıkarma.................................................234 Çarpma.................................................................235 Bölme...................................................................236 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması........238 Eşlenik........................................................................239 İç İçe Sonlu Kökler....................................................241 İç İçe Sonsuz Kökler.................................................242 A 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması.............244 Köklü Sayılarda Sıralama.........................................246 Köklü Sayılarda Denklem Çözme.............................247 Çözümlü Test -1.........................................................248 Cevaplı Test - 1..........................................................252 Cevaplı Test - 2..........................................................254 Çıkmış Sorular...........................................................256 10. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA.............................................260 Ortak Parantez Yöntemi......................................260 Gruplandırma Yöntemi........................................260 ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması........261 Özdeşlikler.................................................................263 İki Kare Farkı........................................................263 Tam Kare İfadeler.................................................265 III. Dereceden Özdeşlikler.........................................268 Çözümlü Test – 1.......................................................270 Çözümlü Test – 2.......................................................274 Cevaplı Test – 1..........................................................278 Cevaplı Test – 2..........................................................280 Çıkmış Sorular...........................................................282 11. BÖLÜM ORAN – ORANTI .......................................................286 Oran......................................................................286 Orantı....................................................................286 Orantının Özellikleri............................................286 Orantı Türleri..............................................................288 Doğru Orantı........................................................288 Ters Orantılı Çokluklar........................................290 Bileşik Orantı.......................................................291 Ortalamalar................................................................292 Aritmetik Ortalama..............................................292 Geometrik Ortalama............................................293 Çözümlü Test - 1........................................................295 Çözümlü Test - 2........................................................299 Cevaplı Test - 1..........................................................303 Cevaplı Test - 2..........................................................305 Çıkmış Sorular...........................................................307 vii 12. BÖLÜM PROBLEMLER...........................................................310 Denklem Kurma Problemleri....................................310 Yaş Problemleri.........................................................316 Yüzde Problemleri.....................................................319 Faiz Problemleri.........................................................321 Kâr – Zarar Problemleri.............................................322 Karışım Problemleri..................................................325 İşçi Problemleri..........................................................328 Havuz Problemleri.....................................................330 Hareket Problemleri..................................................331 Çözümlü Test - 1 .......................................................337 Çözümlü Test - 2 .......................................................341 Çözümlü Test - 3 .......................................................345 Çözümlü Test - 4........................................................349 Çözümlü Test - 5 .......................................................353 Çözümlü Test - 6 .......................................................357 Çözümlü Test - 7 .......................................................361 Çözümlü Test - 8 .......................................................365 Çözümlü Test - 9 .......................................................369 Cevaplı Test – 1..........................................................373 Cevaplı Test – 2..........................................................375 Cevaplı Test – 3..........................................................377 Cevaplı Test – 4..........................................................379 Cevaplı Test – 5..........................................................381 Cevaplı Test – 6..........................................................383 Cevaplı Test – 7..........................................................385 Cevaplı Test – 8..........................................................387 Çıkmış Sorular...........................................................389 13. BÖLÜM KÜMELER...................................................................398 Küme..........................................................................398 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı................398 Kümelerin Gösterimi...........................................398 Küme Çeşitleri.....................................................399 Kümelerde İşlemler.............................................400 Alt Küme...............................................................403 Küme Problemleri................................................405 Çözümlü Test ............................................................407 Cevaplı Test ...............................................................411 Çıkmış Sorular...........................................................413 14. BÖLÜM FONKSİYON-İŞLEM-MODÜLER ARİTMETİK...........416 Bağıntı........................................................................416 Fonksiyon...................................................................416 İşlem...........................................................................417 İşlem Tabloları......................................................419 İşlemin Özellikleri................................................419 Modüler Aritmetik......................................................423 Modüler Aritmetiğin Özellikleri...........................424 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü..............428 Çözümlü Test – 1.......................................................429 Çözümlü Test – 2.......................................................433 Cevaplı Test – 1..........................................................437 Cevaplı Test – 2..........................................................439 Çıkmış Sorular...........................................................441 15. BÖLÜM PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK.....444 Saymanın Temel Kuralları.........................................444 Toplama Kuralı.....................................................444 Çarpma Yolu ile Sayma.......................................444 Saymanın Temel İlkesi........................................444 Permütasyon (Sıralama)...........................................446 Tekrarlı Permütasyon..........................................447 Dairesel Permütasyon.........................................448 Kombinasyon (Gruplama) ........................................449 Olasılık........................................................................454 Olasılık Fonksiyonu ...........................................454 Olasılık Hesabı.....................................................455 Koşullu Olasılık...................................................459 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık..............................460 Çözümlü Test – 1.......................................................461 Çözümlü Test – 2.......................................................465 Çözümlü Test – 3.......................................................469 Cevaplı Test – 1..........................................................473 Cevaplı Test – 2..........................................................475 Çıkmış Sorular...........................................................477 16. BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER.............................................480 Tablo ve Yorumlama..................................................480 Grafik ve Yorumlama.................................................484 Çizgi Grafik..........................................................484 Sütun Grafiği........................................................486 Daire Grafiği.........................................................486 Çözümlü Test – 1.......................................................489 Çözümlü Test – 2.......................................................492 Cevaplı Test – 1..........................................................496 Cevaplı Test – 2..........................................................499 Çıkmış Sorular...........................................................501 17. BÖLÜM SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ...........................508 Sayı Örüntüleri ..........................................................508 Sayı Dizileri................................................................511 Tablo ve Şekil Soruları..............................................513 Akıl Yürütme ve Mantık Soruları..............................522 Görsel Yetenek...........................................................530 Çözümlü Test ............................................................536 Cevaplı Test – 1..........................................................547 Cevaplı Test – 2..........................................................549 Cevaplı Test – 3..........................................................551 Çıkmış Sorular...........................................................553 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 1. 6 5 4 5 : c − : m işleminin sonucu kaçtır? 5 2 2 6 A) –12 B) –6 C) 6 D) 12 5. E) 24 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 169 / 5. soru 10 ! - 9 ! 8! + 7! işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72 Modüler Soru Bankası Sayfa 117 / Soru 4 2. d1 + 2 1 n| - 2 3 3 işleminin sonucu kaçtır? A) −5 B) −1 C) 1 D) 3 E) 5 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 12 / Soru 1 6. ab 8c x –––––––– 268 • • • + –––––––– 5628 A) 17 3. Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı doğal sayılardır. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır? B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 Modüler Soru Bankası Sayfa 64 / Soru 16 2 93 - 2 92 2 94 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 1 1 1 1 B) C) D) E) 5 4 2 3 6 Modüler Soru Bankası Sayfa 174 / Soru 17 4. 7. 12! - 24 $ 10! 10! + 5 $ 9! işleminin sonucu kaçtır? A) 84 B) 72 C) 70 D) 64 E) 60 xyz 23 • • • • + 1158 KLLKM x A) 11 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 32. soru Yanda verilen çarpma işlemine göre, K + L + M toplamı kaçtır? B) 12 C) 13 D) 14 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 6 / Soru 5 1 E) 15 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 8. x < 0 < y olmak üzere, x - y + x - y 12. e ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) −2xB) −y C) y D) 2y E) 2x Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 15 / Soru 1 3 3x + 4 2 2x + 1 =e o o 3 2 olduğuna göre, x kaçtır? A) - 3 2 B) – 1 C) - 1 1 D) 5 2 E) 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 177 / Soru 6 9. y < 0 < x < 2 olmak üzere, y − 1 + x − 5 + y + 2x − −3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y - 1 C) y - 3 B) x + 3 D) x + y + 1 E) x - y + 3 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 193 / 3. soru x 13. 1 = 4 5 32 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 10. − x 2 y 2 0 olduğuna göre, B) 3 C) 4 D) – 3 E) – 2 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 179 / Soru 8 −x + x − y − y + x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) - x B) 2y - x D) y C) 2y + x E) 3y - 2x Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 14 33. soru 11. x < y olmak üzere, I. II. x+z 1 y+z 2 2 x 1y 1 1 2 III. x y ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I D) I ve II B) Yalnız II 14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu x x2 + 2x + 15 f = 3 9 C) Yalnız III Buna göre, f(a) = 6 ise a kaçtır? E) I, II ve III A) -4B) -3 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 14 / Soru 2 C) -2 D) 2 E) 3 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 213 / Soru 1 2 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 15. 1020m A 18. - 20. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. B A dan dakikadaki hızı 10 metre olan hareketli, B den dakikadaki hızı 20 metre olan bir kuş aynı anda karşılıklı olarak harekete başlıyor. Kuş hareketliyle karşılaşıp, tekrar B ye dönüyor ve hiç durmadan tekrar A dan hareket eden hareketliye doğru uçuyor ve karşılaşınca durmadan tekrar B ye dönüyor. Pamuk ◦ 74 Diğer Kuş bu hareketine A dan hareket eden hareketli B ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş toplam kaç metre yol almıştır? A) 4020 B) 3960 C) 2840 D) 2420 Mısır ◦ 100 Naranciye ◦ 100 ◦ 150 Naranciye ◦ ◦ 70 40 Greyfurt Limon ◦ 60 Buğday E) 2040 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 388 / 20. soru Bir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır. Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir. 18. Bu bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır? A) 6 16. Bir sınıftaki 20 öğrencinin 1. sınav sonuçlarının ortalaması 4,5 dir. 2. sınavda 4 öğrenci notunu 2 puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir. Buna göre, son sınavın ortalaması kaçtır? A) 5 B) 4,9 C) 4,8 D) 4,7 C) 10 D) 12 E) 15 E) 4,6 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 306 / 14. soru 19. Bu bölgede mandalina için kulanılan arazi 200 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür? A) 900 17. A torbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, B torbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı top vardır. B) 840 C) 800 D) 720 E) 648 20. Bu bölgede greyfurt için kullanılan arazi limon için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür? A ve B torbalarından sırasıyla birer top çekildiğinde iki topun renginin aynı olma olasılığı kaçtır? A) B) 8 17 5 7 1 4 B) C) D) E) 36 9 12 2 9 A) 1000 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 222 / Soru 18 B) 1080 D) 1120 C) 1100 E) 1150 Modüler Soru Bankası Sayfa 410 / Soru 7-9 3 2015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR 21. - 23. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. C satış sayısının A1 E D 23. C markasının satış sayısının 50° 75° 120° A 35° 80° 75° A5 80° 45° 60° A4 B I. Grafik A2 A3 3 'i, D markasının 5 1 'ü yerine, B markası satılmış 3 olsaydı B markalı otomobilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç olurdu? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 35 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 Soru 23-25 II. Grafik I. grafik beş farklı otomobil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir. A1 E D C 50° 75° 120° A 35° 80° 75° A5 80° 45° 60° A4 B I. Grafik A2 A3 II. Grafik 24. A(2, 1) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriği B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? II. grafik ise A markalı otomobil firmasının beş farklı modeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir. C) 2 2 B) 2 A) 1 D) 2 5 E) 3 5 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 286 / Soru 9 21. Yıl içinde A1 modelinden 450 adet satıldığına göre, C marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 560 B) 600 C) 610 D) 630 E) 700 25. ABCD dikdörtgen, 6AC@ + 6DE@ = "F , , AD = 20 cm, DC = 15 cm ve EC = 5 cm'dir. Yukarıdaki verilenlere T göre, A ^ADF h kaç cm2 dir? 22. A5 modeli A2 modelinden 80 adet fazla satıldığına göre, B marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 840 B) 900 C) 960 D) 1080 A) 120 B) 100 A 4 D 15 F B C) 90 Geometri Yaprak Test 13 / Soru 8 E) 1120 20 E D) 80 5 C E) 60 TEMEL KAVRAMLAR � KÜME � KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Yı 2005 - � KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 2006 - � BOŞ KÜME lla So ra ru Gö A re na Ç liz ık le mı ri ş 2007 � SAYI KÜMELERİ - � TEK - ÇİFT TAMSAYILAR 2008 � TAM SAYILARDA İŞLEMLER - � İŞLEM ÖNCELİĞİ 2009 � RASYONEL SAYILAR - � RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 2010 � DENKLEMLER - � ÇÖZÜM KÜMESI BULMA 2011 � İKİLİ - � SIRALAMA 2012 � EŞİTSİZLİK - � ORAN ORANTI 2013 � ORTAK PARANTEZE ALMA - 2014 2015 - - “Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.” John Von Neumann 2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir. Örnek “Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur Örnek “Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “ ! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “ ! ”sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir. Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır. Örnek Örnek A = "a, b, " c , , "d, e , , f , kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm: A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a ! A, b ! A, " c , ! A, "d, e , ! A, f ! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla s (A) = 5 bulunur. Örnek ”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm: “PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = "P, E, G, M , olur. Dolayısıyla s (A) = 4 bulunur. Örnek A = "Kerem , kümesinin eleman sayısı kaçtır? 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1 d A A) 1 2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2! A Çözüm: şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s (A) = 1 bulunur. 1) Liste Yöntemi 2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. B) 2 C) 3 D) 4 Örnek Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = " x l x 1 100, x ! N , şeklinde gösterilir. E) 5 3 3) Venn Şeması SAYI KÜMELERİ Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. 1) Sayma Sayıları Kümesi Örnek A = "a, b, c, d , kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. A a b d c "1, 2, 3,..... , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " ile gösterilir. 2) Doğal Sayılar Kümesi "0,1, 2, 3,..... , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir 3) Tam Sayılar Kümesi BOŞ KÜME "........, - 3, - 2, - 1, 0,1, 2, 3 ....... , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Örnek “Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir Not Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z - " ile gösterilir. Z − = "..............., − 3, − 2, − 1 , dir. Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " - 1 " dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Örnek A = "a, b, c , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. = A "= a, b, c , "= b, a, c , "c, a, b , gibi RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. Örnek 3 hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. -7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir. Z + = "1, 2, 3,......... , dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı " 1 " dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b ! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " ile gösterilir. Örnek 2 - 17 6 , , ,14, - 1,... birer rasyonel sayıdır. 5 19 13 4 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir. Örnek 5 ,5 - 2 , 7 ,... birer irrasyonel sayıdır. 3 Örnek − 65 + 93 işleminde Sayıların biri (-) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 2 65 olduğundan olur. Buradan − 65 + 93 = 28 bulunur. Örnek 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi 124 - 175 işleminde Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Sayılar zıt işaretli ve 175 2 124 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani (- ) işareti verilir. Reel sayılar kümesi " R " ile gösterilir. Buradan 124 − 175 = − 51 bulunur. R = Q , Q ' şeklinde ifade edilir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere 2n - 1 veya 2n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi "..... - 5, - 3, - 1,1, 3, 5,... , şeklinde ifade edilir. b) Çift tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi "... - 4, - 2, 0, 2, 4,.... , şeklinde ifade edilebilir. Not Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a − b = − b + a dýr. Örnek − 354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan − 354 + 195 = 195 − 354 = − 159 bulunur. Not TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir. Örnek 32 + 14 + 29 işleminde Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur. Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur. Örnek İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir. Örnek 36 − 73 + 86 − 118 işleminde iki tane pozitif (+ ) , iki tane negatif (- ) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır. 36 − 73 + 86 − 118 = 36 + 86 − 73 − 118 = 122 − 191 = − 69 bulunur . - 45 - 11 - 73 işleminde Çıkarma İşlemi Sayıların hepsi negatif (- ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " - " olur. Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır. Buradan − 45 − 11 − 73 = − (45 + 11 + 73) = − 129 bulunur. b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir. Örnek 48 - 19= 48 + ( -19)= 29 33 - 76 =33 + ( -76) =-43 141 - ( -214) = 141 + (214) = 355 5 Çarpma İşlemi Örnek Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. ! 84 21 ( -84) : (16) = = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse) 16 4 ( -100) : ( -35) = Uyarı Yani ( + ) ⋅ ( + ) =+ ( -) ⋅ ( -) =+ 100 20 (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse) = 35 7 Kuvvet Alma Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yan zılıp çarpılır. Yani a sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Yani ( -) ⋅ ( + ) =- n a = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. ( + ) ⋅ ( -) =- n tane Not Örnek Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. 4 2 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır. ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 bulunur. Buradan 24 = 2 4 tan e Örnek Örnek ( -5) ⋅ ( -23) =115 ( -12) ⋅ (11) = -132 (18) ⋅ (12) = 216 (-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan ( -3)3 =( -3) ⋅ ( -3) ⋅ ( -3) =-27 bulunur. Bölme İşlemi 3 tan e Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. Not 1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Not 2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) : ( + ) =+ ( -) : ( -) =+ Örnek Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. ( -5)4 = 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 Yani ( -) : ( + ) =- ( -2)7 =-27 =-2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =-128 ( + ) : ( -) =- Örnek Örnek ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 işleminde ( -68) : (17) = -4 (120) : (12) = 10 ( -111) : (37) = -3 ( -180) : ( -15) = 12 Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir. negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. ! Uyarı Buradan ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 = ( -64) + (49) - ( -125) = -64 + 49 + 125 = -64 + 174 = 110 bulunur. 6 Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti pozitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani n -n ! Örnek Uyarı n 1 a b = a ,= gibi (a ≠ 0, b ≠ 0) a b a -n ( -2)3 - 22 - ( -2)4 ifadesinde Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır. O halde ( -2)3 - 22 - ( -2)4 =-8 - 4 - 16 = -28 bulunur. Örnek Örnek 3 1 1 1 1 -3 (4)= = = 4= 43 4 ⋅ 4 ⋅ 4 64 [15 + ( -10) : (5) + 1] : 2 + 3 5 1 1 1 1 ( -2) = = = - 2 = ( -2)5 ( -2)( -2)( -2)( -2)( -2) 32 -5 2 1 1 1 1 ( -5)-2 = = = -5 = ( -5)2 ( -5)( -5) 25 ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. O halde [15 + ( -10) : (5) + 1] : 2 + 3 =[15 - 2 + 1] : 2 + 3 = 14 : 2 + 3 = 7+3 = 10 bulunur. Not 1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1’dir. 2) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir. Örnek [18 : ( -3) + 3 ⋅ ( -2)] - [2004 ⋅ 13 + 2007] 0 ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. O halde [18 : ( -3) + 3( -2)] - [ 2004 ⋅ 13 + 2007 ] Örnek 0 3 (8) =1, ( -27) =1, (2009) =1, =1 8 0 0 =[ -6 - 6] - 1 0 ýfýrdan (s farklýbütün (sıfırdan farklı bütün) ýlarýsayıların say n sýfýrýncýkuvveti 1 dir.) sıfırıncı kuvvetli 1’dir. = -12 - 1 = -13 bulunur. 1 1 1 3 = 3, ( -5) = -5, - = 5 5 1 0 1 İŞLEM ÖNCELİĞİ RASYONEL SAYILAR Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki işlemler yapılır. a şeklinde yazıb labilen sayılara rasyonel sayı (kesir) denir. Parantez içerisinde, (i) Kuvvet alınır. a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a b kesrinde a’ya pay, b’ye payda denir. (ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır. (iii)Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır. Örnek 12 - ( -15) : 5 - 4 ifadesinde İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma işlemi yapılır. O halde 12 - ( -15) : 5 - 4= 12 - ( -3) - 4 = 12 + 3 - 4 = 15 - 4 = 11 bulunur. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır. O halde a c a+c + = , b b b a c a-c - = dir. b b b 7 Bölme İşlemi Örnek Rasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır. 3 11 5 + - ifadesinde 8 8 8 Yani Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır. O halde 3 11 5 3 + 11 - 5 14 - 5 += = 8 8 8 8 8 9 = bulunur. 8 a c a d a⋅d : = ⋅ = dir. b d b c b⋅c Örnek 64 24 : ifadesinde 21 35 24 Birinci kesir yani 64 aynen yazılır ikinci kesir yani 35 21 ters çevrilir çarpılır. Not Rasyonel sayıların paydaları farklı ise önce paydalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır. 8 O halde Örnek Not 3 2 1 ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır. + + 4 3 6 Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak katları olan 12 de birleştirilir. O halde Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sayılarda da geçerlidir. 3 2 1 9 + 8 + 2 19 bulunur. + = + = 4 3 6 12 12 (3) ( 4) Örnek (2) Örnek 3- 1 7 ifadesinde + 5 10 Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Dolayısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir. 4- 4 1 7 40 - 2 + 7 47 - 2 45 9 - + = = = = O halde bulunur. 1 5 10 10 10 10 2 (10) (2) 3 2 1 ⋅ + ifadesinde 4 6 2 Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılırsa, 3- 3 2 1 6 1 ⋅ + =3 + 4 6 2 24 2 3 1 1 = - + 1 4 2 ( 4) Çarpma İşlemi Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sadeleştirilmelidir. Örnek 32 35 ifadesinde : 10 14 Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa 16 7 32 35 16 ⋅ = = 8 bulunur. 2 10 2 14 7 ! (2) 12 - 1 + 2 = 4 14 - 1 = 4 13 = bulunur. 4 Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. a c a⋅c Yani ⋅ = dir. b d b⋅d O halde 5 64 24 64 35 8 5 40 : = ⋅ = ⋅ = bulunur. 21 35 21 3 24 3 3 3 9 Uyarı Örnek 1 1 3 5 - : + ifadesinde 4 4 8 8 Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa 2 1 1 3 5 1 1 8 5 + - : + = - ⋅ 4 4 8 8 4 4 3 8 1 2 5 = - + 4 3 8 (6) (8) (3) 6 - 16 + 15 = 24 5 = bulunur. 24 8 HARFLİ İFADELER Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z,… gibi harflerle yazılan ifadelere harfli ifadeler denir. 3x + 4xy + 6yx + x2 ifadesinde 4xy ile 6yx benzer terimdir. 3x ile x2 benzer terim değildir. Örnek 3x, - 17ab, Örnek 8 2 2 2 x y z , 4x + 5y - 2z,... 9 HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER ifadeleri birer harfli ifadedir. Toplama ve Çıkarma İşlemi 3x ifadesi 3 ve x den oluşan bir harfli ifadedir. -17ab ifadesi -17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir. Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. TERİM: Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma (-) işlemi ile ayrılan kısımlara terim denir. Örnek 8x + 13y - 4z ifadesinde 8x birinci terim, 13y ikinci terim -4z üçüncü terim olur. KATSAYI: Örnek 3x + 7x - 2x = (3 + 7 - 2)x = 8x dir. Örnek 4a + 9b + 2a - b = 4a + 2a + 9b - b = 6a + 8b dir. Örnek x 2 y + 5x 3 - 3x 2 y - 2x 3 = x 2 y - 3x 2 y + 5x 3 - 2x 3 Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya bulunduğu terimin katsayısı denir. Örnek 3a + 7b + 5c ifadesinde Birinci terimin katsayısı 3, İkinci terimin katsayısı 7, Üçüncü terimin katsayısı 5’tir. BİLİNMEYEN: Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b, c, … gibi harflere bilinmeyen denir. Örnek 3x ifadesinin katsayısı 3 ve bilinmeyeni x’dir. 8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b’dir. BENZER TERİM: Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir. Örnek 4a + 5b2 - 3a - 7b2 ifadesinde 4a ile -3a benzer terim, 5b2 ile -7b2 benzer terimdir. = -2x 2 y + 3x 3 dir. Çarpma İşlemi Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır. Örnek +1 3x ⋅ 5x = 15x1= 15x 2 3 3 8x 2 ⋅ 6x= 48x 2 += 48x 5 7x 2 ⋅ 5xy 4= 35x 2 +1 ⋅ y 4= 35x 3 ⋅ y 4 -12x 5 ⋅ 4x 4 ⋅ y 4 = -48x 5 + 4 ⋅ y 4 = -48x 9 y 4 Örnek x(x 2 + x + 2) = x 3 + x 2 + 2x (x + 3)(2x + 5) = 2x 2 + 5x + 6x + 15 = 2x 2 + 11x + 15 Bölme İşlemi Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır. Örnek 16x 7 7 -3 = 2x = 2x 4 8x 3 -60x 3 y 2 y 2 -1 4y = -4 4 - 3 = 4 15x ⋅ y x x 9 Kuvvet Alma Örnek Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır. Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuvvetler çarpılır. Örnek 5x - 4 = 11 ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için 5x - 4 = 11 denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır. Buradan 5x - 4 = 11 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = (3x)2 = 32 ⋅ x 2 = 9x 2 ( -5x 3 )3 = ( -5)3 ⋅ (x 3 )3 = -125 ⋅ x 9 (x + y)2 ≠ x 2 + y 2 şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır. 15 = 3 bulunur. 5 Örnek ! Uyarı 3(x + 2) = 4x - 3 ifadesindeki denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin değeri yani x in değeridir. O halde 3 (x + 2) = 4x − 3 & 3x + 6 = 4x − 3 & 6 + 3 = 4x − 3x 9 = x bulunur. DENKLEMLER Örnek BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a ve b birer reel sayı olmak üzere ax + b =şeklinde 0 yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Örnek x x + = 8 3 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) - 15 C) {-15} D) {15} E) {-15, 15} Çözüm: 3x + 7 = 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. 4(x - 3) + 5 = 2x - 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir. x x 8 5x + 3x 120 + = ⇒ = 3 5 1 15 15 (5) (3) (15) ⇒ 8x = 120 ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir. Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm Kümesi Bulunurken; ⇒ x= 120 = 15 dir. 8 Buradan çözüm kümesi {15} bulunur. Örnek x-3 = 9 ise x kaçtır? 2 A) 22 B) 21 C) 19 x- 1) Payda eşitlemesi yapılır. 2) Parantezler dağıtılır. 3) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır. 4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölünür. Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir. B) 15 ! Uyarı D) 17 Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa x x-3 9 2x - (x - 3) 18 =⇒ = 1 2 1 2 2 (2) (2) ⇒ 2x - x + 3 = 18 ⇒ x+3= 18 ⇒ x = 18 - 3 = 15 bulunur. E) 15 10 Örnek x - 3 2x - 1 5 = ise x kaçtır? 4 3 12 A) -1B) -2C) - 18 21 D) - E) -5 5 5 Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur. Örnek x+y= 8 x-y= 14 denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa, x - 3 2x - 1 5 3(x - 3) - 4(2x - 1) 5 =⇒ = 4 3 12 12 12 (3) ( 4) y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır. x+ y =8 + (1) ⇒ 3x - 9 - 8x + 4 = 5 ⇒ - 5x - 5 =5 ⇒ - 5x =10 10 ⇒ x= = -2 bulunur. x - y = 14 2x = 22 x = 11 dir. x - y = 14 ⇒ 11 - y = 14 ⇒ 11 - 14 = y ⇒ -3 = y dir. Buradan çözüm kümesi {(11, - 3)} bulunur. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c birer reel sayı olmak üzere, ax + by + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Örnek 3x + 2y = 6 birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. x y 1 + = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. 5 3 9 Örnek x + 3y = 13 2x + y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 4} B) {1} C) {4} D) {(1, 4 )} E) {( 4, 1)} Çözüm: Birinci denklem -2 ile çarpılırsa ve ikinci denklemle toplanırsa x bilinmeyeni yok edilir. - 2 / x + 3y = 13 2x + y = 6 İKİLİ a ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir. (a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir. Örnek (3, 4) ifadesinde birinci bileşen 3 ve ikinci bileşen 4’tür. ÇÖZÜM KÜMESİ: Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir. - 2x - 6y = -26 + 2x + y = 6 - 5y = -20 -20 = y = 4 dür. -5 Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılırsa x + 3y = 13 ⇒ x + 12 = 13 ⇒ x = 1 olur. Burada çözüm kümesi {(1, 4)} bulunur. SIRALAMA > (büyük), ≥ (büyük ve eşit) Çözüm kümesi {(x, y)} şeklinde yazılır. < (küçük), ≤ (küçük ve eşit) İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır. sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir. x > y ifadesi x büyük y x < y ifadesi x küçük y şeklinde okunur. 11 Örnek Örnek x > 3, 3'ten büyük sayıları x ≥ 3, 3 ve 3'ten büyük sayıları x < 4, 4'ten küçük sayıları x ≤ 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder. x -1 x - 4 1 ≥ eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken 2 3 4 öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse x -1 x - 4 1 6(x - 1) - 4(x - 4) 3 ≥ ⇒ ≥ 2 3 4 12 12 (6) ( 4) ⇒ 6x - 6 - 4x + 16 ≥ 3 ⇒ 2x + 10 ≥ 3 ⇒ 2x ≥ -7 7 ⇒ x ≥ - bulunur. 2 Not 1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfırdan uzaklaştıkça büyür. 18 > 13, 29 < 37...gibi 2) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. -3 > -7, - 103 < -93 Örnek 18 ile 13 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı 13 küçük, 18 büyüktür. Yani 18 > 13 dür. -13 ile -8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır)’a olan uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani -8 büyük, -13 küçüktür. (3) ORAN – ORANTI Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a şeklinde gösterilir. a'nın b'ye oranı b ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a c ve ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse b d a c = bir orantı olur. b d Yani -8 > -13 tür. Özellikler EŞİTSİZLİK 1. a c = şeklinde verilen bir orantıda a ⋅ d = b ⋅ c dir. b d a, b birer reel sayı olmak üzere ax + b > 0 şeklinde yazılan ifadelere eşitsizlik denir. 2. a c = = k ise a= b ⋅ k ve c= d ⋅ k dır. b d Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer şekilde çözülür. Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklindedir. 3. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel sayının bir katıdır. Yani; Örnek x + 5 < 13 eşitsizliğinde x + 5 < 13 ⇒ x < 13 - 5 ⇒ x < 8 bulunur. Örnek 2(x + 3) < 3x + 4 eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek olursak 2(x + 3) < 3x + 4 ⇒ 2x + 6 < 3x + 4 ⇒ 6 - 4 < 3x - 2x ⇒ 2 < x bulunur. a b = c d ise a = c ⋅ k ve b = d ⋅ k (k ∈ R) dir. Örnek a 3 = orantısında b 5 a'nın karşısında 3 olduğundan a= 3 ⋅ k b'nin karşısında 5 olduğundan b= 5 ⋅ k dır. Örnek 4x = 9y → orantısında x 9 = yazılabilir. y 4 x in karşısında 9 olduğundan x= 9 ⋅ k y nin karşısında 4 olduğundan y= 4 ⋅ k dır.
