Mat 102 - Matematik II / Calculus II C¸ alısma Soruları

Mat 102 - Matematik II / Calculus II
Çalışma Soruları
Çok Değişkenli Fonksiyonlar:
Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik
wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için:
x + arccos y
seviye eğrilerini çizdirmek için:
contour plot z = ln (xy) at z = 1
grafiğini çizdirmek için:
3d plot ln(xy)
kodlarını kullanabilirsiniz. Ancak 3D grafikleri her zaman doğru çizmeyebilir. Örneğin ln(xy)
fonksiyonunun tanım kümesi ve seviye eğrilerini ele alarak 3D grafiği ile karşılaştırınız.
1) Aşağıda fonksiyonların tanım kümelerini bulup ilgili uzayda gösteriniz.
C: {(x, y) | xy > 0}
a) z = f (x, y) = ln(xy)
b) z = f (x, y) = y + arccos x C: {(x, y) | − 1 ≤ x ≤ 1}
p
c) h = f (x, y, z) = 16 − x2 − y 2 − z 2 C: {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 16}
2) Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini seviye eğrilerini kullanarak çiziniz.
p
b) f (x, y) = 1 − x2 − y 2
a) z = f (x, y) = x2 + y 2
c) z =
p
x2 + y 2 − 1
3) Aşağıdaki fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki seviye(düzey) eğrilerini çiziniz.
a) f (x, y) = 1 − |x| − |y|,
b) f (x, y) = xy,
k = 0, 14 , 24 , 43 , 1
k = −2, 0, 1
c) f (x, y) = y − cos x,
k = −2, 0, 1
wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun limitini bulmak için:
limit sin(xy)/ x as (x,y) tends to (0,pi)
kodunu kullanabilirsiniz.
1
4) Aşağıdaki limitleri varsa bulunuz, yoksa olmadığını gösteriniz.
x2 y
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
p
x2 + y 2 + 1 − 1
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
a)
g)
lim
b)
sin(xy)
(x,y)→(0,0)
x
c)
lim
e)
x−y
p
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
f)
lim
(x,y)→(π, 14 )
x2 tan(xy)
x2 (y − 1)2
(x,y)→(0,1) x2 + (y − 1)2
lim
sin(xy)
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
5) Aşağıdaki fonksiyonların sürekli oldukları kümeleri bulunuz.
1
a) f (x, y) = 2
C:Sf = {(x, y) | x2 − y 2 6= 0}
x − y2
x+y+z
, C:Sf = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 6= 1}
b) f (x, y, z) = 2
x + y2 + z2 − 1
c) f (x, y, z) = x ln(yz), C:Sf = {(x, y, z) | yz > 0}
 2
2

 x − 4y , x 6= 2y
x − 2y
6) f (x, y) =
fonksiyonu R2 ’de sürekli ise g(x)’i bulunuz.

g(x),
x = 2y
Çok Değişkenli Fonksiyonlar:
Kısmi türev, Zincir kuralı, Gradyen vektörü ve Yönlü türev
wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun yönlü türevini bulmak için:
derivative of x^2 y+ x y^2+z in the direction (3,3,0) at point (1,2,1)
kodunu kullanabilirsiniz.
1) Aşağıdaki fonksiyonların kısmi türevlerini bulunuz.
p
xy
b) f (x, y, z) = e z
a) f (x, y) = ln x + x2 + y 2
c) f (x, y) = cos
x
y
sin
y
x
∂ 3u
=?
∂x∂y∂z
∂ 2f
∂ 2f
2
b) z = f (x, y) = sin (3x − 4)
=?,
=?
⇒
∂x∂y
∂y 2
dz
c) z = txy 2 , x = t + ln(y + t2 ), y = et
⇒
=?
dt
t
∂f
∂f
d) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ), x = tu, y =
⇒
=?,
=?
u
∂t
∂u
2) a) u = sin(xy) + cos(xz) + tan(yz)
⇒
3) w(x, y) = f (x2 + y 2 , xy, 2x) ve f , 2. dereceden sürekli kısmi türevlere sahip olmak üzere;
wyx (x, y) =?

2 3

 x y , (x, y) 6= (0, 0)
4) f (x, y) = x2 + 4y 3
olarak tanımlanıyor. fx (0, 0) =?, fy (0, 0) =?

 0,
(x, y) = (0, 0)
2

2
2

 sin(x + y ) , (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
5) f (x, y) =
fonksiyonunun (0, 0)’da türevlenebildiğini gösteriniz.

 1,
(x, y) = (0, 0)

3

 x
, (x, y) 6= (0, 0)
6) f (x, y) = x2 + y 2
olsun.

 0,
(x, y) = (0, 0)
a) f, (0, 0) noktasında sürekli mi?
b) fx (x, y) =?, fy (x, y) =?
c) fyx (0, 0) =?

3

 2x y , (x, y) 6= (0, 0)
7) f (x, y) = x2 + y 2

 0,
(x, y) = (0, 0)
olsun.
a) f, (0, 0) noktasında sürekli mi?
b) fx (0, 0) değeri var mı?
c) fxx (0, 0) değeri var mı?
−
8) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 fonksiyonunun P0 = (1, 2, 3) noktasındaki ve →
v = −2i + j + −2k
vektörü yönündeki yönlü türevini bulunuz. C:(4)

2

 2x y , (x, y) 6= (0, 0)
fonksiyonu verilsin .
9) f (x, y) = x4 + y 2

 0,
(x, y) = (0, 0)
a) Of (0, 0) =?
−
b) →
u = i + j vektörü için Du f (0, 0) =?
c) f (x, y) fonksiyonu (0, 0)’da türevlenebilir midir? Neden?
10) f (u, v) bir fonksiyon, f (−1, 3) = 0, f1 (−1, 3) = 2 ve f2 (−1, 3) = −3 olsun.
g(x, y, z) = f (xyz, x2 + y 2 + z 2 ) ise Og(1, −1, 1) =? C:< −8, 8, −8 >
11) f (x, y) = ex ln y fonksiyonu verilsin .
a) Hangi doğrultuda en hızlı artar?
b) Bu doğrultudaki artış oranı nedir?
−
→ f (0, 1) =?
c) →
u = i + j olmak üzere D−
u
12) f (x, y), (a, b) noktasında her yönde
yönlü türeve sahip olan bir fonksiyon olsun.
√
1
1
3
1
1
−
→
−
→
→
v = i+
j vektörleri için D−
u = √ i − √ j ve →
u f (a, b) = √ ve D−
v f (a, b) = 2 ise f ’nin
2
2
2
2
2
√
(a, b) noktasındaki maksimum artış oranı kaçtır?
3
C:
√
28+8 3
√
3+1
Mat 102 - Matematik II / Calculus II
Çalışma Soruları
Çok Değişkenli Fonksiyonlar:
Türev, Gradiyent ve Uygulamaları

xy

p
, (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
1) f (x, y) =
fonksiyonunun (0, 0)da sürekli ve kısmi türevlere sahip

0,
(x, y) = (0, 0)
olduğunu gösteriniz.
p
2) f (x, y) = x2 + y 2 fonksiyonunun P = (3, 4) noktasındaki L(x, y) lineerleştirmesini yazınız ve
p
bundan faydalanarak (2, 98)2 + (4.03)2 sayısının yaklaşık değerini bulunuz.
CEVAP: 5.012
3) Teğet düzlemi yaklaşımını (doğrusal yaklaşım) kullanarak e0.1 ln(0.9) değerini yaklaşık olarak
hesaplayınız. (−0.1)
4) z = f (x, y) fonksiyonu için f (1, 2) = 3, fx (1, 2) = 2 ve fy (1, 2) = 5 olduğu biliniyor. f (1.1, 1.8)
in değerini yaklaşık olarak bulunuz. (f (1.1, 1.8) ≈ 2.2
5) f (x, y, z) =
xy 2
ise, f (1.01, 1.98, 2.03) ün yaklaşık değerini bulunuz. (0.7728)
1 + z2
6) Aşağıdakilerin yaklaşık değerini hesaplayınız.
(a) sin(31◦ ) · cos(58◦ )
(b) (1.002)(2.003)2 (3.004)3
7)
1
1
1
= + eşitliği veriliyor. Başlangıç durumunda x = 100 ve y = 25 dir. x, 30 artar ve
z
x
y
1
y, 5 azalırsa z’de nasıl bir değişiklik olur. (Diferansiyel yardımıyla çözebilirsiniz) ( 2 dz =
z
1
1
dx + 2 dy ⇒ dz = −2
x2
y
8) f (x, y) = 3x2 y + y 3 − 108y fonksiyonunun maksimum, minimum ve eyer noktalarını bulunuz.
((±6, 0) eyer noktası, (0, 6) yerel min. , (0, −6) yerel maks. )
9) f (x, y) = xy(3 − x − y) fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz ve bu kritik noktalarda yerel
maksimum ve minimum değerleri alıp almadığını belirleyiniz.
CEVAP:Kritik noktalar (0, 0)(3, 0), (0, 3)ve(1, 1). Eyer(semer) noktaları (0, 0), (3, 0), (0, 3). f (1, 1) =
1 yerel max. değeri.
10) Aşağıdaki fonksiyonların tüm kritik noktalarını bulup sınıflandırınız.
1
√
(a) f (x, y) = x y − x2 + 9x − y
(y > 0) ((6, 9) noktası yerel maks.)
(b) g(x, y) = (x − 1) ln(xy) ((1, 1) noktası bir semer noktası)
11) f (x, y) = (y − x2 )(y − 3x2 ) fonksiyonun ekstremum değerlerini bulunuz. ((0, 0) eyer noktası)
12) D = {(x, y) : x ∈ [0, 3]} ile tanımlanıyor. Her (x, y) ∈ D için
gösteriniz. (f (x, y) =
x2 + y 2
≤ ex+y−2 olduğunu
4
(x2 + y 2 )e−x−y+2
fonksiyonunun maksimum değeri bulunarak gösterilebilir.)
4
13) (a) f (x, y) = x2 y − 6y 2 − 3x2 nin tüm kritik noktalarını bulup sınıflandırınız.
(b) Kenarları koordinat eksenlerine paralel olan ve 36x2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 elipsoidi içine
yerleştirilebilen maksimum hacimli
dikdörtgensel kutunun boyutlarını bulunuz ve maksi√ !
16 3
mum hacmini bulunuz.
3
(c) f (x, y) = xy nin x2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak
için Lagrange çarpanları yöntemini kullanınız.
(d) f (x, y) = 2xy + y 2 + 8x + −4y fonksiyonunun 1 ≤ x ≤ 2 ile −1 ≤ y ≤ 1 in belirlediği R
bölgesi üzerindeki en büyük ve en küçük değerini bulunuz.
14) Sınav notları g(x, y, z) = 10f (x, y, z) fonksiyonu ile hesaplansın. (x, y, z), x2 + y 2 + z 2 = 25
şartını sağlamak üzere f (x, y, z) = x2 + 2z 2 − (y − 6)2 − 16 olarak tanımlı ise hangi (x, y, z)
√
√
değerine karşılık gelen notu almak istersin? ((0, 2, 21) veya (0, 2, − 21) ⇒ g = 100)
15) f (x, y) = −4x3 − xy 2 + 2x2 y + x fonksiyonunun
maksimum,
minimum ve eyer noktalarını
1 1
1 1
bulunuz. ((0, ±1) eyer noktası,
,
yerel maks. , − , −
yerel min.)
3 3
3 3
16) Aşağıdaki fonksiyonların verilen bölgeler üzerindeki mutlak ekstremumlarını bulunuz.
(a) f (x, y) = x2 − y 2 ,
R = {(x, y)| x2 + y 2 ≤ 4} (maks: (±2, 0),
min: (0, ±2))
(b) f (x, y) = 2xy + y 2 + 8x − 4y, R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} (maks : (2, 1) ⇒
17, min : (0, 1) ⇒ −3)
17) f (x, y) = 4x3 + y 2 − 2x2 y + 102 fonksiyonunun ekstremum değerlerini bulunuz. ((3, 9) eyer
noktası, (0, 0) eyer noktası)
18) f (x, y, z) = xyz fonksiyonunun x + 2y + z = 2 şartı altındaki maksimum değeri nedir?( x =
2
1
4
z = ,y = ⇒ v =
maks.)
3
3
27
19) f (x, y) = 16 − x2 − 4y 2 fonksiyonunun x4r
+ 2y 4 ≤ 1 bölgesindeki ekstremum değerlerini
r
1
1
2
1
2
bulunuz. ((0, 0), (0, ± √ ), (±1, 0), (± √ , ±
) ⇒ maks:f (0, 0) = 16, min:f (± √ , ±
)=
3
3
2
3
3
13)
20) f (x, y) = 6xy 2 −2x3 −3y 4 fonksiyonunun ekstremum değerlerini bulunuz. ((0, 0) eyer noktası,
(1, 1), (1, −1) yerel maksimum)
2
21) 17x2 + 12xy + 8y 2 = 100 eğrisi (bir elips) üzerinde orijine en yakın ve en uzak noktaları
bulunuz.
CEVAP:(2, 1) ve (−2, −1) orijine en yakın noktalar
(2, −4) ve (−2, 4) orijine en uzak noktalar
22) f (x, y) = 2xy fonksiyonunun D : x2 + y 2 ≤ 4 kapalı diski üzerindeki maksimum ve minimum
değerlerini bulunuz.
√
√
√ √
CEVAP: f ( 2, 2) = 4 maksimum, f ( 2, − 2) = −4 minimum
√
√
√ √
f (− 2, − 2) = 4 maksimum, f (− 2, 2) = −4 minimum
23) Yüzey alanı 600 cm3 olan maksimum hacimli dikdörtgen biçimindeki bir kutunun boyutlarını
bulunuz. (uzunluk 10 cm, maks. hacim 1000 cm3 )
y2
= 1 elipsi üzerinde, P (−1, 0) noktasına
24) Lagrange çarpanları metodunu kullanarak, x2 +
4
en uzak olan noktaları bulunuz.
√
√
1 4 2
1 4 2
(( ,
) ve ( , −
))
3 3
3
3
25) Lagrange çarpanları yöntemini kullanarak aşağıdaki fonksiyonların yanlarında verilen kısıtlanmış
eğri üzerindeki ekstremumlarını bulunuz.
√
√
(a) f (x, y) = x2 + 8y 2 , x + y = 1
8
4 1
ve ( , ) noktasında olur.)
27
9 9
(maks. değer 8 ve (0, 1) noktasında olur. min. değer
(b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , x − 2y + 2z = 6
noktasında olur.)
2 4 4
(maks. değer yok. min değer 4 ve ( , − , )
3 3 3
(c) x2 − y 2 = 1 hiperbolü üzerinden (0, 4) noktasına olan en yakın noktanın koordinatlarını
√
bulunuz. ((± 5, 2) ve min. uzaklık 3 tür.)
3
Mat 102 - Matematik II / Calculus II
Çalışma Soruları
Çok Değişkenli Fonksiyonlar:
Çok Katlı İntegraller ve Uygulamaları
1) Aşağıdaki
Z 1 Z x iki katlı integralleri hesaplayınız.
1
xy 2 dydx ( 40
a)
)
Z0 4 Zx22
1
)
b)
dxdy (ln 25
24
2
(x
+
y)
3
1
Z 2 Z y+2
c)
x + 2y 2 dxdy (36)
−1 −y
Z 1 Z √1−x2 p
d)
1 − x2 − y 2 dydx ( π6 )
0
0
ZZ
e) R = {(x, y); |x| + |y| ≤ 1} →
x3 y 5 dxdy =? (0)
R
ZZ
2
e−x dA
2) x-ekseni, x = 1 doğrusu ve y = x doğrusu ile sınırlı bölge R olduğuna göre
integralini hesaplayınız. Cevap
R
e−1
2e
3) x-ekseni, x = 1 doğrusu ve y = x2 parabolü ile sınırlı bölge R dir. x + y − z = 0 düzleminin
7
birim küp
altında ve R bölgesinin üzerindeki hacmi bulunuz. Cevap 20
4) x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 katı küresinden x2 + y 2 = ax (a > 0) dairesel silindiri ile kesilen bölgenin
hacmini bulunuz.(ipucu:kutupsal koordinatlar kullanınız.)Cevap 34 a2 ( π2 − 23 )birim küp
ZZ 2
x
dA integralini
5) a) R bölgesi; x = 2, y = x doğruları ve xy = 1 hiperbolü ile sınırlı bölge ise
2
R y
hesaplayınız.( −9
)
4
ZZ
133
(x2 + y)dA =? ( 140
)
R
ZZ
√
√
c) R bölgesi;koordinat eksenleri ve x + y = 1 parabolü ile sınırlı bölge ise
xydA =?
b) R bölgesi; y = x2 ve x = y 2 eğrileri ile sınırlı bölge ise
R
1
( 280
)
ZZ
d) R bölgesi; x ekseni ve 0 ≤ x ≤ π olmak üzere y = sin x eğrisi ile sınırlı bölge ise
xdA =?
R
(π)
ZZ
(1 − x)dA =? (2)
e) R bölgesi;köşeleri (0, 0), (1, 1) ve (−2, 1) olan üçgen bölgesi ise
R
6) Aşağıdaki
Z 1 Z 2y integrallerin sırasını değiştiriniz.
a)
f (x, y)dxdy
0
−2y
1
2
Z
√
Z
2x−x2
b)
f (x, y)dydx
Z 1e Z 2−x
ln x
c)
f (x, y)dydx
Z1 1 Z0 x
d)
x2
9
0
Z
f (x, y)dydx +
1
3
Z
1
x2
9
f (x, y)dydx
7) Kutupsal
koordinatları kullanarak aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
ZZ
a)
(x2 + y 2 )dA; R = {(x, y); x2 + (y + 2)2 ≤ 4} (24π)
Z ZR
y
2
arctan dA; R = {(x, y); x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} ( π16 )
b)
x
ZZR
sin(x2 + y 2 )dA;
c)
R = {(x, y); π 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4π} (−6π 2 )
R
Z
8) I =
0
1
Z
1
√
x
3
ey dydx tekrarlı integralinin sırasını değiştirerek hesap ediniz. Cevap: e−1
3
9) Aşağıdaki bölgelerin alanlarını çift katlı integral kullanarak hesaplayınız.
a) Alttan R bölgesi (R : y = x2 ve y = 1 ile sınırlı )nın ve üstten z = 4−x−y eğrisini sınırladığı
68
)
cismin hacmini bulunuz.( 15
b) R bölgesi xy = 1, y = x ve x = e doğrularının sınırladığı sınırlı bölge ( 23 )
c) R bölgesi; x = y 2 ve x = 4 − 3y 2 eğrilerinin sınırladığı bölge ( 16
)
3
√
√
d) x2 + 2y 2 = 1 ve 2x2 + y 2 = 1 elipslerinin sınırladığı bölge ( 2 arcsin 2 3 2 )
√
√
√
e) x2 + y 2 = 4 ve y 2 − 2x2 = 1 eğrilerinin sınırladığı bölge ( 2 ln( 2 + 3))
√
10) R, düzlemin birinci bölgesinde 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, √x3 ≤ y ≤ 3x eşitsizlikleri ile tanımlanıyor.
ZZ
y
I=
arctan
dxdy iki katlı integralini kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara
x
R
Z πZ 2
3
π2
dönüştürerek hesap ediniz. Cevap:I =
θrdrdθ =
π
16
1
6
p
11) Kutupsal koordinatlar kullanarak z = x2 + y 2 konisinin üstünde ve x2 +y 2 +z 2 = 1 küresinin
altında kalan cismin hacmini bulunuz. Cevap: 2π
(1 − √12 ) birim küp
3
12) İki katlı interal kullanarak aşağıda verilen cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) S cismi; koordinat düzlemleri,x = 1 ve y = 2 düzlemleri ile z = x + 2y + 1 düzleminin
sınırladığı cisim,(7)
b) Koordinat düzlemleri ile x+2y = 2 ve x+4y +2z = 8 düzlemlerinin 1. kuadrantta sınırladığı
)
cisim, ( 23
3
c) x = 0, z = 0, x + 3y = 6, 2x + 3 = 12 ve x + y + z = 6 düzleminin sınırladığı cisim, (12)
d) x2 + y 2 = 1 dik silindiri ile z = 0 ve 2x + 2y + 3z = 6 düzleminin sınırladığı cisim, ( 13 )
Z πZ π
sin y
13) I =
dydx tekrarlı integrali D bölgesi üzerinde iki katlı integrale karşılık gelmeky
0
x
tedir. D bölgesini çizdikten sonra integralin sırasını değiştirin ve integrali hesaplayın.
Cevap:2
2
Z
4
14)
0
2
Z
√
√
y
y
dxdy =? (dydx e çevrilirse sonuç
4 + x5
2
2 2
2
4
5
bulunur.)
ZZ
2
(1 + x2 + y 2 )dxdy =? ((x, y) =
15) R = {(x, y) : (x + y ) ≤ x − y , 0 ≤ x} olmak üzere
R
1
π
(r cos θ, r sin θ) → sonuç + )
2 16
16) R = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ 2x} (veya x2 + y 2 = 1 çemberi içerisinde ve y = 2x doğrusu
altında kalan bölge) olmak üzere
ZZ
−3 3
2e 5 x +x ydA =?
R
−2
√ − −2
√
5
9 5
(Cevap: e 3
)
17) C1 : (x − 1)2 + y 2 = 1 ve C2 : (x − 2)2 + y 2 = 1 olarak tanımlanıyor.R, C2 nin içinde ve C1 in
dışındaki noktaların kümesi olmak üzere
ZZ
y 2 dA
R
integralini
a) dxdy in integrali olarak
b) dydx in integrali olarak
c) Kutupsal koordinatlarda integral olarak ifade ediniz.
(Cevap: √
Z 3 Z 2+√1−y2
Z 1 Z 2+√1−y2
2
a) 2
y 2 dxdy + 2 √
y 2 dxdy
√
√
3
2
2
0
1+ 1−y
2− 1−y
2
Z Z √
Z Z √
2
2
2
1−(x−2)
3
1−(x−2)
y 2 dydx
y 2 dydx + 2
b) 2
3
2
Z
π
6
√
1−(x−1)2
Z 2 cos θ+√4 cos2 θ−3
c) 2
0
2
0
r2 sin2 θrdrdθ
2 cos θ
1 + sin(x2 + y)
18) f (x, y) =
olmak üzere
1 + x2
bulunuz. (Cevap:2π 2 )
Z
0
2π
Z
ln y
Z
f (x, y)dxdy+
−∞
19) Aşağıdaki üç katlı integralleri hesaplayınız.
Z 3 Z √9−x2 Z √9−x2
a)
dzdxdy (18)
0
0
0
Z πZ π Z 2
2
x cos y sin zdxdydz (3)
b)
0
0
1
Z 2 Z ln z Z ln y
7
x+y
c)
e dxdydz
2 ln 2 −
4
1
0
0
√
√
Z 1 Z 1−x2 Z 1−x2 −y2
dz
p
d)
dydx
1 − x2 − y 2 − z 2
0
0
0
3
∞
2π
π2
8
Z
ln y
f (x, y)dxdy değerini
ln(y−2π)
Z
1
Z
2
Z
x+z
e)
0
0
Z −1
2π Z 1 Z √
x2 yz 2 dydxdz
1
2−r 2
(0)
√
(π(6 2 − 8))
Z0 2 Z0 θ r Z 3+24r2
2π
17π
π
dzrdrdθ
g)
5
0
0
0
f)
3dzrdrdθ
20) z = 8 − x2 − y 2 ve z = x2 + y 2 paraboloidleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini katlı
integral ile hesaplayınız. (16π)
4