FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK Aslı AKŞİT KAYA

 FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK
Aslı AKŞİT KAYA
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TEMMUZ 2013
ANKARA
Aslı AKŞİT KAYA tarafından hazırlanan FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA
KOMPAKTLIK adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
………………………………….
Tez Danışmanı,Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma jürimiz tarafından oy birliği ile Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi
olarak kabul edilmiştir.
Doç. Dr. Erdal GÜNER
………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Hakan EFE
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Tez Savunma Tarihi:
17 /07 /2013
Bu tez ile Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans
derecesini onamıştır.
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………………
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çevresinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Aslı AKŞİT KAYA
iv
FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK
(Yüksek Lisans Tezi)
Aslı AKŞİT KAYA
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Temmuz 2013
ÖZET
Dört bölümden oluşan bu tezde, fuzzy topolojik uzaylarda kompaktlık, tanımlar
ve teoremleri ile bu kompaktlıklar arasındaki ilişkiler üzerine yapılan
çalışmaların bir derlemesi yapılmıştır. Birinci bölüm Girişe ayrılmıştır. İkinci
bölümde fuzzy topolojik uzay ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde ise Chang [7], Nanda [5], Gantner [11], Wong [12], Concilio
[15], Lowen [18] ve Malghan [19] tarafından tanımlanan bazı kompaktlıklar ve
bu kompaktlıklar arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Dördüncü bölümde sonuç
ve önerilere yer verilmiştir.
Bilim Kodu
: 204.0.401
Anahtar Kelimeler : Fuzzy Topoloji, Fuzzy Kompaktlık, Fuzzy Hemen Hemen
kompaktlık, Fuzzy Yaklaşık Kompaktlık, Fuzzy Güçlü
Kompaktlık, Fuzzy Sayılabilir Kompaktlık, Fuzzy αKompaktlık, Fuzzy α- Lokal Kompaktlık, Fuzzy S-Kapalı
Uzaylar ve Fuzzy S- Kompaktlık, Fuzzy IKompaktlık Uzaylar
Sayfa Adedi
: 70
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Cemil YlLDIZ
v
COMPACTNESS IN FUZZY TOPOLOGICAL SPACES
(M.Sc. Thesis)
Aslı AKŞİT KAYA
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
July 2013
ABSTRACT
In this thesis which was formed in three sections, the studies of the compactness
in fuzzy topological spaces, its definition and theorems and their correlations
with each other were complied. The introduction is given in the first chapter. In
the second section the basic definition of fuzzy topological space and its
theorems were mentioned. In the third section, some compactness and the
correlations between·compactness defined by Chang [7], Nanda [5], Cantner
[11], Wong [12], Concilio [15], Lowen [18] ve Malghan [19] were explained.
Fourth section is given in the result and recommendations.
Scince Code
: 204.0.401
Key Words
: Fuzzy Topology, Fuzzy Compactness, Fuzzy Almost
Compactness, Fuzzy Near Compactness, Fuzzy Weakly
Compactness, Fuzzy α-Compactness, Fuzzy α-Local
Compactness, Fuzzy S-Closer Spaces and Fuzzy
S-Compactness S-, Fuzzy I- Compactness Spaces
Page Number
: 70
Advisor
: Prof. Dr. Cemil YILDIZ
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren Değerli Hocam Prof.
Dr. Cemil YILDIZ' a , bana manevi olarak destek veren sevgili aileme ve sevgili
ablam Kamile AKŞİT’e teşekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ......................................................................................................................... iv
ABSTRACT ..................................................................................................................v
TEŞEKKÜR ................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER ...................................................................................................................... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................. ix
1. GİRİŞ ......................................................................................................................1
2. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR ...........................................................................3
3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK VE KOMPAKTLIK
ÇEŞİTLERİ ........................................................................................................... 26
3.1. Fuzzy Topolojik Uzaylarda Kompaktlık......................................................... 26
3.2. Fuzzy Hemen Hemen Kompakt Uzaylar ........................................................ 28
3.3. Fuzzy Yaklaşık Kompakt Uzaylar .................................................................. 37
3.4. Fuzzy Sayılabilir Kompaktlık ......................................................................... 43
3.5. Fuzzy Dizisel Kompaktlık .............................................................................. 44
3.6. Fuzzy Güçlü Kompakt Uzaylar....................................................................... 45
3.7. Fuzzy α-Kompakt Fuzzy Topolojik Uzaylar .................................................. 49
3.8. Fuzzy Yerel α-Kompakt Uzaylar ................................................................... 52
3.9. Fuzzy Çarpım Topolojik Uzaylarda Kompaktlık ........................................... 53
3.10. Fuzzy Hafif Kompaktlık .............................................................................. 59
3.11 Fuzzy S-Kapalı Uzaylar ve Fuzzy S- Kompakt Uzaylar ............................... 60
3.12. Fuzzy I- Kompakt Uzaylar ............................................................................ 64
4. SONUÇ VE ÖNERİLER ...................................................................................... 67
viii
Sayfa
KAYNAKLAR ......................................................................................................... 68
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 70
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklamalar
I
[0,1] aralığı
IX
X den I ya tanımlanmış bütün fonksiyonların kümesi
µA
A nın üyelik fonksiyonu
≤
Fuzzy küme kapsaması
∨
Fuzzy küme birleşimi
∧
Fuzzy küme kesişimi
A-B
A fuzzy kümesinin B fuzy kümesinden farkı
PO(X)
Ön açık fuzzy kümelerin ailesi
A
Açık örtü
f(A)
A fuzzy kümesinin f altındaki görüntüsü
f-1(B)
B fuzzy kümesinin f altındaki ters görüntüsü
A
A fuzzy kümesinin kapanışı
o
A
A fuzzy kümesinin içi
Ac
A fuzzy kümesinin tümleyeni
J
İndis kümesi
∆
İndis kümesi
β
Fuzzy topoloji tabanı
S
Fuzzy topoloji alt tabanı
x
Simgeler
Açıklamalar
Supp(A), S(A)
Fuzzy Kümesinin dayanağı (supportu)
χ
Fuzzy noktaların ailesi
pλ
x0
veya p
(p )
λ
x n
veya (pn)
X de fuzzy noktası
X de fuzzy dizisi
N(p)
p noktasının fuzzy komşuklar ailesi
E(p)veya B p
(X,τ) üzerindeki τ fuzzy topolojik uzayında p
fuzzy noktasının komşuluklar tabanı,yerel tabanı
|X|
X in kardinalitesi
1
1. GİRİŞ
Matematik demek kesinlik demektir. Fakat günlük hayatımızda insandan insana
değişen konuşmalarda; pahalı arabalar, yüksek binalar, güzel kadınlar, yaşlı insanlar
gibi cümleler kurulur. Matematiğin tanımlayamadığı bu tür belirsizliklerin
çoğunlukla bilimsel olmadığı kabul edilmesine rağmen 19. yüzyıl başlarında bir çok
flozof bu tür belirsizlikler üzerine düşünmüştür. Einstein bu durumu "Matematiğin
kavramları kesin oldukları sürece, gerçeği yansıtmazlar, gerçeği yansıttıkları sürece
de kesin değildirler." sözü ile çok güzel ifade etmiştir. Azeri matematikçi Prof. Dr.
Lotfi Asker Zadeh [4], 1965 yılında fuzzy (bulanık) mantık ve fuzzy küme kavramını
tanımlamasıyla, belirsizlik modern anlamda, matematiksel olarak modellenmiştir.
Zadeh bu çalışmasıyla insan düşüncesinin çoğunun bulanık olduğunu, kesin
olmadığını belirtmiştir. Bu nedenle 0 ve 1 ile ifade edilen Boolean mantığı bu
düşüncenin işleyişini yeterli ifade etmemektedir. Açık-kapalı, sıcak-soğuk , 0 ve 1
gibi değişkenler insan mantığınında kesin ifadelerin yanı sıra az açık, ılık gibi ara
değerleride göz önüne almaktadır. Fuzzy mantık ise, klasik mantığının aksine iki
seviyeli değil daha çok seviyeli işlemleri kullanmaktadır. Yani; siyah beyaz yerine
siyah, grinin tonları ve beyaz gibi kademeleri de belirtir.
Fuzzy mantığının ilk uygulaması 1974 yılında Mamdani tarafından bir buhar
makinasının fuzzy denetiminin gerçekleştirmesi ile olmuştur. 1980 yılında bir
Hollanda şirketi çimento fırınlarında fuzzy mantığını uygulamıştır. Japonya başta
olmak üzere daha sonraları bir çok ülke, araştırma ve mühendislik konuları ile
ilerleme kaydettiler. Örneğin; fuzzy denetimli çamaşır makineleri; çamaşırın cinsine,
miktarına, kirliliğine göre, çamaşır yıkama ve su alma programlarını seçebilmektedir.
Klasik mantıkta doğru önerme 1, yanlış önerme 0 ile belirtilir. X evrensel kümesinde
bir A kümesi, matematiksel olarak χA: X → {0,1} fonksiyonu ile karakterize edilir.
Burada A kümesine ait elemanlara 1 değerini, ait olmayanlara 0 değerini veren χA
fonksiyonuna A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.
2
Fuzzy önermelerinde doğru veya yanlışlığı için kesin bir şey söylenemeyeceğinden
bunların doğruluk değeri [0,1]={ x∈R: 0≤x≤1} kümesiyle derecelendirilebilir.
Matematiksel olarak; X evrensel kümesinin bir A fuzzy kümesi µA : X → [0,1] ile
karekterize edilir ve µA ya A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu ve µA(x)’e x’in A
ya ait olma derecesi denir. A fuzzy kümesi X deki her elemanın üyelik derecesi ile
birlikte oluşturduğu ikililerin kümesidir. Yani;
A={(x, µA(x)): x∈X, µA(x)∈[0,1]}⊂XxI
dir.
Bu tezin II. bölümünde diğer bölümlerde kullanılacak Fuzzy Topolojik Uzaylar ile
ilgili temel kavramlar verilmiştir. III. Bölümde ise klasik topolojik uzaylardaki
kompakt ve kompaktlık çeşitlerinden yola çıkılarak, fuzzy topolojik uzaylarda da bu
kavramlara karşılık gelen tanımlar verilmiş ve aralarındaki ilişkileri incelenmiştir.
Chang [7], Nanda [5], Gantner [11], Wong [12], Concilio [15], Lowen [18] ve
Malghan’nın [19] makalelerinden faydalanarak fuzzy topolojik uzaylarda kompaklık,
fuzzy topolojik uzaylardaki hemen hemen kompakt, yakın kompakt, güçlü kompakt,
sayılabilir kompakt, çarpım uzayında kompaktlık, α- kompakt, yerel kompaktlık ve
hafif kompaktlık gibi fuzzy kompaktlık tanım ve teoremleri verilmiştir.
3
2. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR
Fuzzy küme kavramı, ilk defa karşımıza 1965 yılında Zadeh tarafından klasik küme
tanımına alternatif olarak çalışmasında karşımıza çıkmıştır [4]. Bu çalışmasında
Zadeh, “güzel bayanların topluluğu” ya da “uzun boylu erkeklerin topluluğu” gibi
klasik küme teorisinin tanımlayamadığı sınıfları belirlemenin yollarını aramıştır.
Klasik küme teorisinde evrensel X kümesinin elemanlarına; bir kümeye ait olma
durumunda 1 ve ait olmama durumunda 0 değerleri verilerek kesin bir ayrıma
gidilmiştir. Fakat gerçek hayat, örneklerde verildiği gibi, bu kadar kesin değerlerle
birbirinden ayrılmaz. Bunlar arasında ara değerlerde vardır. Bu ara değerleri Zadeh
kümeye ait olma derecesi ile tanımlayarak, fuzzy küme kavramını tanımlayarak
problem çözmüştür. 1968 yılında Chang, klasik topolojik uzaylardan yola çıkarak
fuzzy kümeler üzerine bir topoloji tanımlamıştır. Chang, çalışmasında fuzzy
topolojik uzay tanımı vererek bu tanıma ilişkin özellikler incelemiştir [7].
Tanım 2.1.1. X≠∅ herhangi bir küme ve I = [0,1] ⊂ R kapalı aralığı verilmiş olsun.
X de
µA : X → [0,1]
Üyelik fonksiyonu ile belirtilen;
A={(x, µA(x)):x∈X} ⊂ X x I
kümesine fuzzy kümesi denir. Kısalık için bu tezde fuzzy kümesini bazı durumlarda
f-küme olarak yazılacaktır.
Burada µA ya A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu, ∀x ∈ X için µA(x) ∈ I değeri
de x in üyelik değerini belirtir. Bu tezde zaman zaman µA yerine A, µA(x) yerine de
A(x) alınacaktır [3].
X den I ya tanımlanan tüm fonksiyonların kümesini IX ile gösterdiğimizde, IX
kümesinin her elemanı X de bir fuzzy kümesi belirtir. Kısaca bunun anlamı
µA=A∈IX denildiğinde µA=A, X de bir fuzzy kümesi anlaşılacaktır.
4
Örnek 2.1.1. X={a,b} kümesinde A f-küme ve üyelik fonksiyonu
µA : X → [0,1]
a→ µA(a)=0.3
b→ µA(b)=0.2
olsun. A={(x,µA(x)):x∈X}={(a,0.3),(b,0.2)} bir fuzzy kümesidir [3,7].
Tanım 2.1.2. ∀x ∈ X için µA(x) = α , α ∈ [0,1] olmak üzere A= µA fuzzy kümesine
sabit fuzzy küme denir [3].
Not 2.1.1. Bilinen anlamdaki kümeler aynı zamanda birer fuzzy kümesidir. X de bir
A kümesini ele alalım,
⎧1, x ∈ A ise,
µA ( x ) = ⎨
⎩0, x ∉ A ise,
buradan A nın bir fuzzy kümesi olduğu görülür ve bu A tek değil sonsuz çokluktadır.
Tanım 2.1.3. x ∈ X ve A bir fuzzy kümesi olmak üzere;
s u p p A = S ( A ) = A0={x∈X: µA(x)>0}
kümesine A fuzzy kümesinin desteği (support) denir [3].
Tanım 2.1.4. X ve ∅ birer fuzzy kümesi olup,
∀ x∈X için µX(x)=1 ise, X={(x,1) : x∈X }=1=µX
∀ x∈X için µ∅(x)=0 ise, ∅={(x,0) : x∈X}=0=µ∅
biçiminde ifade edilir [3].
Kümeler teorisinde bilinen kapsama ⊂, eşitlik =, birleşim ∪ ve kesişim ∩ işlemleri
fuzzy kümelerinde sırasıyla ≤ ,=,∨ ve ∧ ile gösterilir.
Tanım 2.1.5. X boştan farklı ve X de tanımlı A ve B iki fuzzy kümesi olsun. A ve B
fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları da µA ve µB olmak üzere aşağıdaki ifadeler
vardır [7,12]. ∀ x∈X için,
a) A ≤ B ⇔µA(x) ≤ µB(x)
5
b) A=B ⇔ µA(x) =µB(x)
c) C=A∨B ⇔ µC(x) = maks{ µA(x), µB(x) }
d) D=A∧B ⇔ µD(x) = min{ µA(x), µB(x) }
e) Ac ⇔ µAc(x) = 1- µA(x), ya da Ac = {(x, 1- µA(x) ): x∈Χ } dır.
Burada keyfi birleşim ve kesişimden de bahsedilebilir. Bunlar ;
∨ Ai=C ⇔ µC(x) = sup{ µ A i ( x )i∈I , x∈X }
i∈I
∨ Ai=D ⇔ µD (x) = inf{ µ A i ( x )i∈I , x∈X }
i∈I
biçiminde gösterilir.
Klasik kümelerde sağlanan De Morgan kuralları, fuzzy
kümelerde de
sağlanmaktadır.
Teorem 2.1.1. X üzerindeki fuzzy kümelerin bir ailesi {Ai : i ∈ J} olmak üzere; a) ( ∨ {Ai : i ∈ J} ) = ∧ {A ic : i ∈ J}
c
b) ( ∧ {Ai : i ∈ J} ) = ∨ {A ic : i ∈ J} dir [4].
c
İspat: a) Her x∈X için,
( ∨ {A : i ∈ I}) ( x ) =1- ∨ {A ( x ) : i ∈ I} = ∧ {1 − A ( x ) : i ∈ I} = ( ∧ {A ( x ) : i ∈ I})
c
i
i
i
c
i
O halde ( ∨ {Ai : i ∈ I} ) = ∧ {A ic : i ∈ I} olduğu görülür.
c
b) İspatı (a) şıkkına benzer biçimde yapılır.
Teorem 2.1.2. X de iki fuzzy küme A ve B olsun.
a) A ∨ B fuzzy kümesi A ve B yi ihtiva eden en küçük fuzzy kümesidir.
b) A ∧B fuzzy kümesi A ve B fuzzy kümeleri tarafından ihtiva edilen en küçük fuzzy
kümesidir [1].
6
İspat:
a) A ve B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonları sırasıyla µA ve µB olsun. ∀x∈X
için A∨B=C ⇔ maks{ µA(x), µB(x)} olduğundan dolayı; A≤ C ve B ≤C olduğu
aşikardır. Kabul edelim ki A ve B yi ihtiva eden en küçük fuzzy küme D olsun. O
halde;
µA(x) ≤ µD(x) ≤ µC(x), µB(x) ≤ µD(x) ≤ µC(x) …(1)
maks{ µA(x), µB(x)} ≤ µD(x), µA V B(x) = µC(x) ≤ µD(x)…(2)
(1) ve (2) den dolayı,
µC(x) =µD(x) (∀x∈X ) ⇒ C=D olduğu görülür.
Böylece A ve B yi ihtiva eden en küçük fuzzy küme A∨B dir.
b) (a) şıkkına benzer biçimde ispatlanır.
Özellikler 2.1.1. Χ de A, B ve C fuzzy kümeler olmak üzere aşağıdaki ifadeler
vardır.
a) A∨∅=A, A∧∅=∅, A∨Χ =Χ, A∧Χ = A
b) A∨B=B∨A, A∧B=B∧A, A∨A=A, A∧A=A
c) A∨ (B∨C)=(A∨B) ∨C, A∧ (B∧C)=(A∧B) ∧C
d) A≤ B⇒ A∨B=B, A≤ B⇒ A∧B=A
e) A∨ (B ∧C)=(A∨B) ∧ (A∨C), A∧ (B∨C)=(A∧B) ∨ (A∧C)
dir [1].
Tanım 2.1.6. Χ de iki fuzzy küme A ve B olsun.
A-B = A∧Bc ⇔µA-B(x) = min{ µA(x), µBc(x) : x∈X }
fuzzy kümelerine A ve B fuzzy kümelerinin farkı denir [1].
Özellikler 2.1.2. X≠∅, A ve B X in fuzzy kümeleri olmak üzere aşağıdaki şartlar
vardır.
a) A-∅=A
b) ∅c=X, Xc =∅, (Ac)c=A
7
c) A≤ B ⇔ Bc≤Ac
d) (A∧B)c=Ac∨Bc, (A∨B)c =Ac∧Bc
e) A∨ (B ∧C)=(A∨B) ∧ (A∨C), A∧ (B∨C)=(A∧B) ∨ (A∧C)
İspat:
a) A, B, X ve ∅ fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu µA, µB, µX ve µ∅ olsun.
A-∅= A∧∅c⇔µ A-∅(x)= min{ µA(x),µ∅c(x)}= min{ µA(x),1- µ∅(x)}= µA(x) ⇔A
b) ∅c=X (?)
∅c={(x,1-µ∅(x)): x∈X}={(x,1-0): x∈X}={(x,1): x∈X}=X
Xc=∅ (?)
Xc={(x,1-µX(x)): x∈X}={(x,1-1): x∈X}={(x, 0): x∈X}= ∅
(Ac)c=A (?)
(Ac)c ⇔µ(Ac)c(x)=1-µ (Ac)(x) =1-(1- µA(x)) = 1-1+ µA(x) = 0+ µA(x) = µA(x) ⇔ A
c) A≤B⇔ Bc ≤ Ac (?)
A≤B olsun.∀x∈X için µA(x) ≤ µB (x) ⇔ 1+µA(x) ≤1+ µB (x)
⇔ 1-µB (x) ≤ 1-µA (x)
⇔ µBc(x) ≤µBc(x)
⇔∀x∈X için Bc ≤ Ac dir.
d) (A∨B)c =Ac∧Bc (?)
A ∨ B = C ⇔ µC(x) = maks{ µA(x), µB(x)}, x∈X
(A∨B)c ⇔µ(A∨B)c (x)=1- maks{ µA(x), µB(x)}= min{ 1-µA(x), 1-µB(x)}⇔ Ac∧Bcdir.
Benzer şekilde,
A ∧B = D ⇔ µD(x) = min{ µA(x), µB(x)}, x∈X
(A∧B)c ⇔ µ(A∧B)c =1- min{ µA (x), µB (x)}= maks{ 1-µA(x), 1-µB(x)} ⇔ Ac∨Bc dir.
Teorem 2.1.3. X de A∈IX fuzzy küme olsun.
a) A∧Ac=∅ olmak zorunda değildir.
8
b) A∨Ac=X olmak zorunda değildir [1].
İspat:
a) A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu µA olsun.
µAc(x) = {1-µA (x): ∀ x ∈ X} olduğunu biliyoruz. İspat için üç durum sözkonusudur;
I. durum :
A=X olsun.
⇒ A=X = {(x,1): x ∈ X}
⇒ Ac=Xc = {(x, 1- µ X ( x ) ): x ∈ X}={(x, 1-1): x ∈ X} ={(x, 0): x ∈ X}= ∅
⇒ A∧Ac=∅olur.
II. durum :
A=∅ olsun.
⇒ A=∅ = {(x,0): x ∈X }
⇒ Ac=∅c = {(x, 1- µ∅ ( x ) ): x ∈X}={(x, 1-0): x ∈ X} = {(x, 1): x ∈ X}= X
⇒ A∧Ac=∅ olur.
III. durum
A≠∅, A≠Χ olmak üzere Kabul edelim ki ; A∧Ac=∅ olsun.
µ∅ : X→ [0,1], (∀ x ∈ X) , µ∅ (x) =0 ve µ∅ (x) =min {µA (x), µAc (x) : x∈X }
µ∅ (x) =µA (x), (her x ∈ X) olursa µ∅ (x) = 0 ⇒ A=∅ bu bir çelişkidir.
Çünkü ; A ≠ ∅ idi. Böylece A ∧ Ac ≠ ∅ olur.
µ∅ (x) = min { µA (x), µAc (x) : x∈X } = µAc (x) ise,
µAc (x) =1- µA (x) = 0 , (∀x ∈ Χ)
Böylece,
µA (x) =1 (∀ x ∈ Χ )
Buradan da A = Χ elde edilir. Ancak bu bir çelişkidir. A∧Ac ≠ ∅ dir.
b) (a) şıkkına benzer şekilde ispat yapılır.
9
Örnek 2.1.3. X = {x1,x2} , I=[0,1] olmak üzere Χ de A kümesi
A = {( x1,0.3),(x2,0.5)}
olarak verilsin. O halde A≠∅ ve A≠Χ dir. A ∧ Ac = ∅, A∨Ac=X midir?
A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu µA olmak üzere,
∀x ∈ Χ µA (x1) = 0.3, µA (x2) = 0.5 dir.
fuzzy kümesinin tümleme tanımından;
Ac = {( x1,0.7), (x2,0.5)} ise,
A∧Ac = {(x1,0.3), (x20.5)} ≠ ∅, A∨Ac = {(x1,0.7), (x20.5)} ≠ X
olduğu görülür.
Tanım 2.1.7. X≠∅ herhangi bir küme olsun ve λ ∈ (0,1] olmak üzere;
p λx 0 : X → I
üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen,
⎧λ, x = x 0
pλx0 ( x ) = ⎨
⎩ 0, x ≠ x 0
ile tanımlı X deki pλx 0 fuzzy kümesine, X de bir fuzzy noktası denir.
Buradaki x0 a
pλx 0 fuzzy noktasının dayanağı (support) ve λ ya da pλx 0 fuzzy
noktasının değeri denir. X deki tüm fuzzy noktalarının kümesini χ ile göstereceğiz.
Bu tezde bazen pλx 0 = p olarak da alınacaktır [3,9].
Tanım 2.1.8. X≠∅ Χ in bir fuzzy kümesi A ve p∈χ olsun. Ayrıca, p fuzzy noktası
A ya aittir denir. Yani;
p∈A ⇔ ∀ x∈Χ için λ<µA(x)
dir.
Ayrıca, fuzzy noktalarının birleşimi de bir fuzzy kümesi belirtir [3].
10
Tanım 2.1.9. X≠∅ v e A ∈ I X , p = pλx 0 ∈ X olsun.
λ+ µA(x) > 1
ise, p ile A fuzzy kümesi çakışığımsıdır (quasi-concident) denir ve pqA ile gösterilir
[3].
Tanım 2.1.10. X≠∅, A,B ∈ I X olsun
µA (x) + µB (x) > 1 veya µA (x) > µBc (x)
olacak şekilde x ∈ X varsa, A v e B fuzzy-kümelerine çakışığımsıdır denir ve AqB
ile gösterilir [3].
λ
Teorem 2.1.4. Χ≠∅, A , B ∈ ΙX ve p= p x ∈Χ olsun.
a) A≤ B ⇔ A ve Bc çakışığımsı değildir. Yani, A q/ Bc dir.
b) p∈A ⇔ p q/ Ac [3].
İspat:
a) A ≤B ⇒ ∀x∈Χ için µA (x) ≤µB (x)
⇒∀x∈Χ için 1+µA (x) ≤ 1+µB (x)
⇒∀x∈Χ için µA (x)+1 - µB (x) ≤ 1
⇒∀x∈Χ için µA (x) +µBc (x) ≤ 1
⇒ A q/ Bc A q/ Bc ⇒∀x∈Χ için µA (x) +µBc (x) ≤ 1
⇒∀x∈Χ için µA (x) ≤ 1-µBc (x)
⇒ ∀x∈Χ için µA (x) ≤µB (x)
⇒A ≤ B
b) p∈A ⇔ ∀x∈Χ için p < µA (x)
⇔ ∀x∈Χ için p ≤ µA (x) ≤1
⇔ ∀x∈Χ için p ≤ 1- µA (x)
11
⇔ ∀x∈Χ için p ≤ µAc (x) ≤1
⇔ ∀x∈Χ için p+µAc (x) ≤1
⇔ p q/ Ac
Tanım 2.1.11. τ ≤ IX fuzzy kümelerin ailesi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, τ ya Χ de
yarı- fuzzy topolojisi (Χ,τ) ikilisine de yarı- fuzzy topolojik uzayı denir [7].
t1) ∅, X ∈ τ (0,1∈τ)
t2) ∀ A , B ∈τ ⇒ A∧B∈τ
t3) ∀i∈Ι için Ai∈τ ⇒ ∨ Ai∈τ
i∈I
Bu tezde fuzzy topolojik uzayı kısa olması için f.t.u biçiminde de yazılacaktır.
τ topolojisin her elemanına fuzzy açık (F-açık) küme, X uzayına göre tümleyeni açık
olan kümeye de fuzzy kapalı (F-kapalı)küme denir. Genel topolojide τ ailesi sadece
∅ ve Χ ten oluşuyorsa (X,τ) topolojik uzayına indiskret topolojik uzay ve τ ailesi X
in tüm alt kümelerinden oluşuyorsa (X,τ) topolojik uzayına da diskret topolojik uzay
denilirdi. Aynı durum fuzzy topolojik uzaylar için de vardır [7].
Tanım 2.1.12. τ < ΙX fuzzy kümelerinin bir ailesi olsun. τ ailesi aşağıdaki şartları
sağlıyorsa τ ya X de bir fuzzy topolojısi (X,τ) ikilisine de fuzzy topolojik uzay
denir.
t1) ∀λ∈IX ( λ sabit olmak üzere ) fuzzy kümesi λ∈τ
t2) ∀µA,µB ∈τ ⇒ µA∧µB∈τ ( A,B∈τ ⇒ A∧B∈τ )
t3) {Ai}i∈Ι ≤τ ⇒
∨ µ A i ∈τ ( {Ai}i∈I ≤τ ⇒ i∨∈I A i ∈ τ ) [18].
i∈I
Yarı fuzzy topolojik uzayı ile fuzzy topolojik uzayı arasındaki fark; yarı fuzzy
topolojik uzayınaki sabit kümelerin özel hali olan X ve ∅ un τ da olması şartı vardır.
Fuzzy topolojik uzayında ise, bunlara ek olarak tüm sabit kümelerin τ da olması hali
vardır.
12
Örnek 2.1.5. Χ={ a,b} olmak üzere Χ kümesi üzerinde fuzzy kümeleri aşağıdaki
gibi tanımlansın:
A={ (a,0.3) , (b,0.6) }, µA(a)=0.3, µA(b)=0.6
B={ (a,0.4) , (b,0.1) },µB (a)=0.4, µB(b)=0.1
C={ (a,0.3) , (b,0.1) }, µC (a)=0.3, µC (b)=0.1
D={ (a,0.4) , (b,0.6) }, µD (a)=0.4, µD (b)=0.6
Χ={ (a,1) , (b,1)}, ∅={ (a,0) , (b,0)}
fuzzy kümeleriyle τ = {∅,Χ,A,B,C,D} biçiminde tanımlanan τ ailesi Χ üzerinde bir
yarı fuzzy topolojik uzayı oluşturur. Gerçekten;
t1) τ nun tanımından ∅ ∈ τ ve Χ∈τ dur.
t2) τ ailesine ait her sonlu elemanın kesişimi τ ailesine aittir. Gerçekten; ∅ kümesinin
diğerleri ile kesişimi ∅, Χ in diğerleriyle kesişimi diğerlerini verir.
Ayrıca;
A∧B={ (a,0.3) , (b,0.1)}=C∈τ, A∧C ={ (a,0.3) , (b,0.1)}=C∈τ
τ ya ait olan diğer fuzzy kümelerin kesişimi de τ ya aittir.
Benzer şekilde;
A ∧ (B∧C)=(A∧B) ∧C= C∈τ, A ∧ (B∧D)=(A∧B) ∧D= C∈τ
τ ya ait olan diğer fuzzy kümelerin sonlu kesişimi yine τ ailesine aittir.
t3) Keyfi birleşiminde τ ya ait olduğu ( t2) şıkkına benzer şekilde gösterilir.O halde, τ
ailesi Χ de bir yarı fuzzy topolojisidir.
X üzerinde benzer şekilde sonsuz çoklukta fuzzy topolojisi konulabilir, çünkü a,b∈X
olmak üzere µA üyelik fonksiyonu, I da sonsuz değer alır. Buradaki X üzerinde ise
en çok dört tane topolojik yapı konulabilir.
13
Tanım 2.1.13. Χ üzerinde birden fazla τ1 ve τ2 fuzzy topolojisi var olsun. Eğer;
τ1< τ2 ise, τ2 fuzzy topolojisi τ1 fuzzy topolojisinden daha incedir, ya da τ1 fuzzy
topolojisi τ2 fuzzy topolojisinden daha kabadır denir [3].
Örnek 2.1.6. (Χ,τ∗) topolojik uzay A, Χ de bir fuzzy kümesi üyelik fonksiyonu da
µA ve α∈[0,1) olsun.
µA,α ={x∈X, µA(x) >α}∈τ∗ ve µA,α⊂ X olmak üzere; τ ={ A:∀α∈[0,1) için µA,α∈τ∗}
X üzerinde bir yarı fuzzy topolojisidir. Gerçekten;
t1) ∅ ,Χ∈τ (0,1∈τ) (?)
∀ x∈Χ için µ X (x)= 1 >α, µ1 ,α∈ τ∗ , Χ∈τ veya 1∈τ dur,
{x∈Χ : µ∅(x) =0>α } = ∅ ∈ τ∗⇒∀ x∈Χ için µ∅(x) = 0 >α, ∅∈τ veya 0∈τ.
t2) µA , µB ∈τ ( A,B ∈τ ) ⇒ A∧B=C∈τ (?)
A ∧B ⇔ µ A ∧B(x)= min{µA(x), µB(x): x∈Χ}⇔µA∧µB =µC
µC,α ={x∈Χ, µC (x) > α, α∈ [0,1) }∈τ∗ (?) Ayrıca, µC,α = µA,α ∧µB,α (?)
olduğunu gösterelim.
µA,α , µB,α ∈ τ∗ ⇒ µA,α ∧µB,α ∈ τ∗ olsun.
µC, α = {x∈Χ, µC (x) >α, α∈ [0,1)}= {x∈Χ, min{ µA(x), µB(x)} >α, α∈ [0,1)}
= {x∈Χ, µA(x) >α, µB(x) >α, α∈ [0,1)}= {x∈Χ, µA(x) >α ve µB(x) >α, α∈ [0,1)}
= {x∈Χ, µA(x) >α, α∈ Χ [0,1)} ∧{x∈Χ,µB(x) >α, α[0,1)}= µA,α ∧µB,α ∈ τ∗
⇒ µC,α ∈ τ∗ ⇒ C∈ τ ⇒ µC∈τ
olur.
t3) {Ai}i∈Ι < τ ⇒ ∨ µ Ai ∈τ (?)
i∈I
µ ( ∨ Ai),α = ∨ µ Ai , α olduğunu gösterelim.
i∈I
i∈I
µ ( ∨ Ai ),α = {x∈Χ: sup{ µAi(x)} >α, i∈Ι } , α∈ [0,1)
i∈I
∨ µA
i∈I
i
,α
= {x∈Χ: µAi(x) >α, i∈Ι } , α∈ [0,1)
14
∀ x∈µ ( V Ai ),α ⇒ {x∈Χ: sup{µAi(x)} >α, ∀α için }
i∈I
∃i∈Ι var ∋ µAi(x) >α ⇒ x∈ ( ∨ µ Ai , α )
i∈I
⇒µ(∨
i∈I
Ai
),α ≤ ∨ µ Ai , α ………….(I)
i∈I
∀ x∈ ∨ µ Ai , α için ∃i∈Ι var ∋ x∈ µ ( ∨
i∈I
i∈I
Ai
),α …………(II)
(I) ve (II) den µ (( ∨ Ai),α ) = µ ( ∨ Ai ),α dir.
i∈I
i∈I
τ ailesi X üzerinde yarı fuzzy topolojisidir. (X,τ) ise yarı fuzzy topolojki uzayıdır.
Teorem 2.1. 5. (X,τ) yarı fuzzy topolojik uzayı olsun.
Κ={A≤ X :A fuzzy kapalı⇔Ac∈τ}ailesi aşağıdaki şartları sağlar.
k1) ∅ , X∈ Κ
k2) ∀ A ,B∈ Κ ⇒ A∨B ∈ Κ
k3) {Ai} i∈Ι∈ Κ ⇒ ∧ Ai∈ Κ [1].
i∈I
İspat:
k1) X ≤ X ve Xc = ∅∈τ ⇒ X∈Κ ,
∅≤ X ve ∅c = X∈τ ⇒∅∈Κ
k2)∀ A ,B∈ Κ ⇒ A∨B ∈ Κ (?)
A ∈Κ ⇒Ac ∈ τ
B∈ Κ ⇒ Bc∈ τ ⇒ Ac∧Bc ∈ τ
(A∨B)c = Ac ∧Bc ∈ τ olduğundan A∨B∈Κ
dir.
k3) {Ai} i∈Ι ∈ Κ olsun.
∀ i∈Ι için Ai∈ Κ olduğundan Aic ∈ τ dur.
( ∨ Ai c)∈ τ olduğundan ( ∧
i∈I
i∈I
Ai)
c
∈τ dur. Bu durumda ∧ Ai ∈K dır.
O halde Κ kapalılar ailesi k1, k2, k3 şartlarını sağlar.
i∈I
15
Teorem 2.1.6. X ≠∅ , Κ ailesi k1, k2, k3 şartlarını sağlasın. Bu durumda;
τ = { A ≤ Χ : Ac∈Κ}
ailesi. Χ üzerinde bir tek yarı fuzzy topolojisidir.
ispat: τ nun yarı fuzzy topoloji olduğu kolayca gösterilir. Şimdi τ nun tek olduğunu
gösterelim. K yı kapalılar ailesin kabul eden τ dan başka τ′ topolojisi olsun.
∀B∈ τ′ için Bc∈K ⇒ B∈τ olduğundan τ′ ≤τ dur.
∀A∈τ için Ac∈K ⇒A∈ τ′
olduğundan τ≤ τ′ dur. Böylece τ= τ′ dur. O halde τ
tektir.
Tanım 2.1.14. (X, τ) f.t.u. ve A ∈ IX olsun. A fuzzy kümesini kapsayan fuzzy
kapalı kümelerin arakesitine A nın kapanışı denir ve Α veya cl(A) ile gösterilir.
Yani;
cl(A) = A = ∧{B: A≤ B,B c ∈ τ } = inf { B: A ≤ B, B c ∈τ }
dir [3],[8],[13].
Teorem 2.1.7. (X,τ) f.t.u. ve A,B ∈IX olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır:
a) X = X , ∅ = ∅ b) A fuzzy kapalıdır
c) A ≤ A
d) A , A yı kapsayan en dar kapalı fuzzy kümesidir.
e) A ≤ B ⇔ A ≤ B
f)
A fuzzy kapalı ⇔ A = A
g) A =A
h)
( A ∨ B) = A ∨ B
[3], [8].
İspat: Tanım 2.1.14 ten açıktır.
16
(X , τ ) f.t.u. ve A ∈ I X olsun.
Tanım 2.1.15.
A nın kapsadığı bütün fuzzy açık
o
kümelerinin birleşimine A nın içi denir ve A veya int(A) ile gösterilir. Yani;
o
int(A) = A = ∨ { B:B≤A, B∈τ} = sup{B:B≤A, B∈τ}
dir [3,8,13].
2.1.8. ( X , τ ) fuzzy topolojik uzayı ve A,B ∈ I X olsun. Bu durumda
Teorem
aşağıdaki ifadeler vardır.
o
o
a) X = X , ∅ = ∅
o
b) A ≤ A
c) A fuzzy açıktır.
o
d) A , A nın kapsadığı en geniş fuzzy açık kümesidir.
o
o
e) A ≤ B ⇒ A ≤ B
o
o o
f) (A ∧ B) = A ∧ B
g)
⎛o⎞
⎜A⎟
⎝ ⎠
o
o
=A
o
h) A fuzzy açıktır ⇔ A = A
[3,8,13].
İspat: Tanım 2.1.15 dan açıktır.
Teorem 2.1.9. ( X , τ ) fuzzy topolojik uzayı ve A ∈ I X olsun.
c
a)
⎛o⎞
⎜A⎟
⎝ ⎠
b)
( )
c
= ( Ac )
A =
o
( Ac ) dir [3].
17
İspat:
a) A ∈ I X olsun;
⎛o⎞
⎜A⎟
⎝ ⎠
c
= ( sup { B:B ≤ A, B ∈ τ } ) c= inf { B : B ≤ A, B ∈ τ } c
= inf{ C = B c : A c ≤ B c = C , C c ∈ τ } = inf { C : Ac ≤ C, C c∈ τ } = (A
c
)
b) A ∈ I X olsun;
( A)
c
= ( i n f { B : A ≤ B, Bc ∈ τ} )c= s u p { B : A≤ B, Bc∈ τ}c
o
= s u p { Bc= D : D =Bc ≤ Ac, Bc∈τ }= s u p { D : D ≤ Ac, D∈τ }= ( A c )
Tanım 2.1.16. (X, τ) fuzzy topolojik uzay ve A, X üzerinde bir fuzzy küme olsun.
( )
a) Eğer A = A
o
ise, A ya fuzzy düzenli açık küme,
⎛o⎞
b) Eğer A = ⎜ A ⎟ ise, A ya fuzzy düzenli kapalı küme denir [3].
⎝ ⎠
Teorem 2.1.10. Bir X kümesi üzerindeki A fuzzy kümesinin fuzzy düzenli açık
(kapalı) olması için gerek ve yeter şart Ac fuzzy kümesinin düzenli kapalı (açık)
olmasıdır [3].
İspat: Teorem 2.1.9. (a) ve (b) şıklarından açıktır.
Teorem 2.1.11. (X, τ) bir fuzzy topolojik uzay olsun.
a) A, X üzerinde fuzzy açık küme ise, A fuzzy düzenli kapalı kümedir,
b) A, X üzerinde fuzzy kapalı küme ise, Ao fuzzy düzenli açık kümedir [3].
İspat:
( )
(( ) ) ≤ A elde
o
a) A fuzzy açık küme olduğundan A ≤ A dir. O halde A
edilir. A fuzzy kümesi açık olduğundan A = A o ≤
o
(( A ) ) bulunur.
o
18
böylece A fuzzy düzenli kapalı küme olduğu görülür. Yani A
(( A ) ) dir.
o
b) (a) şıkkına benzer şekilde yapılır.
Sonuç 2.1.1. Her B fuzzy düzenli açık (kapalı) küme aynı zamanda fuzzy açıktır
(kapalıdır). Ancak tersi doğru değildir [8].
Tanım 2.1.17. X ve Y herhangi iki küme olsun. g: X → Y bir fonksiyon ve B , Y de
bir fuzzy kümesi olmak üzere B n i n g −1 ( B ) ile gösterilen g altındaki ters
görüntüsü, X üzerinde bir fuzzy kümesidir denir ve üyelik fonksiyonu her x∈X için;
µ g−1 ( B) ( x ) = µ B ( g ( x ) ) biçiminde gösterilir. Ayrıca X üzerindeki bir A fuzzy kümesinin g ( A ) ile gösterilen
g altındaki görüntüsü, Y üzerinde bir fuzzy kümesidir denir ve üyelik fonksiyonu
her y∈Y için;
⎧ sup {µ A ( z )} , g −1 ( y ) ≠ ∅
⎪ −1
µ g( A ) ( y ) = ⎨ z∈g ( y )
⎪⎩
0,
g −1 ( y ) = ∅
biçiminde gösterilir [7].
Tanım 2.1.18. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : (X, τ) → (Y, τ′ )
bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır.
a) Her B ∈ τ′ için f −1 ( B ) ∈τ ise, f ye fuzzy sürekli fonksiyon,
b) Her A ∈τ için f(A)∈ τ′ ise, f ye fuzzy açık fonksiyon,
c) Her A τ-kapalı fuzzy kümesi için f(A) τ′ -kapalı ise, f ye fuzzy kapalı
fonksiyon,
d) Y üzerindeki her B fuzzy düzenli açık kümesi için f −1 ( B ) ∈τ ise, f ye fuzzy
hemen hemen sürekli fonksiyon,
19
e) X üzerindeki her A fuzzy düzenli açık kümesi için f(A)∈ τ′ ise, f ye fuzzy
hemen hemen açık fonksiyon denir [8].
Sonuç
2.1.2. Fuzzy sürekli bir fonksiyon, aynı zamanda fuzzy hemen hemen
süreklidir. Ancak tersi genelde doğru değildir [1].
Teorem 2.1.12. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar, f : (X, τ) → (Y, τ′ ) bir
fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir:
a) f fonksiyon fuzzy süreklidir,
b) Her τ′ -kapalı fuzzy kümenin ters görüntüsü τ-kapalı fuzzy kümedir [1].
Teorem 2.1.13. X, Y ve Z birer küme, f : X→Y , g : Y→Z fonksiyonlar olsun. X
üzerinde A, A1, A2 fuzzy kümeleri ve Y üzerinde B, B1, B2 fuzzy kümeleri verilsin.
Bu durumda;
a) f−1(Bc)= (f−1(B))c
b) f fonksiyonu örten ise, (f(A))c ≤ (f(Ac)),
c) f(f−1(B))≤ B ve özel olarak f örten ise, f (f−1(B)) = B dir,
d) A ≤ f−1(f(A)),
e) B1≤B2 ise, f−1(B1) ≤ f−1(B2),
f) A1 ≤ A2 ise, f(A1)≤f(A2),
g) f ve g fonksiyonlarının birleşkesi gof olmak üzere Z üzerindeki her C fuzzy
kümesi için (g of)-1(C) = f-1(g-1(C)) olur. [7]
İspat:
a) Her x ∈X için µf−1(Bc)(x) = µBc(f(x))= 1 − µB(f(x)) = 1 − µf−1(B)(x)= µ (f−1(B))c(x)
olduğundan f−1(Bc) = (f−1(B))c dir.
b) f fonksiyonu örten olsun. O halde her y ∈Y için f−1(y) ≠∅; olur. O zaman her
y∈Y için;
µf(Ac)(y) = sup{µAc(z) : z ∈ f−1(y)}= sup{1−µA(z) :z ∈f−1(y)}= 1−inf{µA(z):z ∈f−1(y)}
20
ve µ(f(A))c(y) = 1 − µf(A) (y)= 1 − sup{µA(z) : z ∈ f−1(y)} elde edilir. O halde her y ∈Y
için, inf{µA(z) : z ∈ f−1(y)} ≤ sup{µA(z) : z ∈ f−1(y)} olduğundan
µ(f(A))c(y) ≤ µf(Ac)(y) dir. Buradan (f(A))c≤(f(Ac)) elde edilir.
c) f örten olsun. Bu durumda her y ∈ Y için f−1(y) ≠∅; olur.
O halde;
µ f(f−1(B)) (y) = sup{µf−1(B)(z) : z ∈ f−1(y)}= sup{µB(f(z)) : z ∈ f−1(y)}= µB(y) dir.
Eğer f örten değil ve f−1(y) =∅ ; ise, µf(f−1(B))(y) = 0 ≤ µB(y) olur. Bu ise f(f−1(B)) ≤ B
demektir.
d) Her x ∈ X için x∈ f−1(f(x)) olduğundan µf−1(f(A))(x) = µf(f−1(f(x)))> µA(x)
olur. O halde A ≤ f−1(f(A)) elde edilir.
e) B1 ≤ B2 olsun. Her x∈X için µ f
−1
(B1 )
(x) ≤ µ f
−1
(B 2 )
(x) elde edilir. O halde;
f−1(B1) ≤ f−1(B2) olur.
f) A1 ≤ A2 olsun. Bu durumda her y ∈ Y için µA1 ( y ) ≤ µ A2 ( y ) dır. O halde;
⎧
−1
⎪sup µ A1 ( z ) : z ∈ f ( x )
µ f ( A1 ) ( y ) = ⎨
⎪
0,
⎩
{
}
f −1 ( x ) ≠ ∅ ise,
f
−1
(x) = ∅
ise,
ve buradan,
⎧
−1
⎪sup µ A 2 ( z ) : z ∈ f ( x )
µ f ( A1 ) ( y ) ≤ ⎨
⎪
0,
⎩
{
}
f −1 ( x ) ≠ ∅ ise,
f
elde edilir. Dolayısıyla her y ∈ Y için µ f
−1
−1
(x) = ∅
( A1 )
ise,
(y) ≤ µ f
−1
(A 2 )
(y) elde edilir. O halde;
f(A1) ≤ f(A2) olur.
g) Her x ∈ X için
µ(gof)−1(C)(x) = µC(g o f)(x) = µC(g(f(x)))= µg−1(C)(f(x))= µf−1(g−1((C))) (x)= µ(f−1og−1)(C) (x)
21
olduğundan (g of)−1(C) = f−1(g−1(C)) elde edilir.
Teorem 2.1.14. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : (X, τ) → (Y, τ′ ) bir
fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir:
a) f fuzzy hemen hemen sürekli fonksiyondur.
b) Y nin her fuzzy düzenli kapalı B kümesi için f −1 ( B ) , X üzerinde τ-kapalı
fuzzy kümedir.
(( ) )
c) Her B ∈ τ′ için f −1 ( B ) ≤ ⎛⎜ f −1 B
⎝
o
0
⎞ dir.
⎟
⎠
( )
d) Y deki her fuzzy kapalı B kümesi için f −1 Bo ≤ f −1 ( B )
dir [8].
İspat:
(a) ⇔ (b) f−1(Bc) = (f−1(B))c eşitliği ve Teorem 2.1.10. dan açıktır.
o
( )
o
(a) ⇔ (c) Y deki fuzzy açık B kümesi için, B = B ≤ B olduğu açıktır.
(( ) ) bulunur. O halde teoerem 2.1.11. in (b) şıkkından
Öyleyse f −1 ( B ) ≤ f −1 B
( )
o
o
dolayı B fuzzy düzenli açık kümedir denilir. O halde f, hemen hemen sürekli
olduğundan,
(( ) ) fuzzy açık olduğu görülür. Öyleyse f
f −1 B
o
−1
( B ) ≤ f −1
(( B) ) = ⎛⎜⎝ f (( B) ) ⎞⎟⎠ o
−1
o
0
dir.
( c ) ⇔ (a) B fuzzy düzenli açık küme olsun. O halde B fuzzy açıktır. Hipotezden
ve
( )
( ( ) ) = (f
o
B = B olmasından dolayı f −1 ( B ) ≤ (f −1 B ) o
Teorem2.1.8. (b)
şıkkından,
( f ( B) ) ≤ f ( B )
−1
o
−1
bulunur. Yani f −1 ( B ) , X in fuzzy açık kümesidir.
o
−1
olduğundan
( B))
o
dir.
( f ( B) )
−1
o
= f −1 ( B )
22
(b) ⇔ (d) Diğer şıklara benzer biçimde gösterilebilir.
Tanım 2.1.19. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : (X, τ) → (Y, τ′ ) bir
( ( ))
fonksiyon olsun. Eğer her B ∈ τ′ için f −1 ( B ) ≤ f −1 B
o
ise, f ye fuzzy zayıf
sürekli fonksiyon adı verilir [8].
Sonuç 2.1.3. Fuzzy sürekli bir fonksiyon, aynı zamanda fuzzy zayıf süreklidir.
Ancak tersi genelde doğru değildir [8].
Tanım 2.1.20. (X, T) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : (X, τ) → (Y, τ′ ) bir
( )
fonksiyon olsun. Eğer X üzerindeki her A fuzzy kümesi için f A ≤ f ( A ) ise, f ye
fuzzy güçlü sürekli fonksiyon adı verilir [8].
Teorem 2.1.15. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzayları verilsin. Bir
f : (X, τ) → (Y, τ′ ) fonksiyon fuzzy güçlü sürekli ise, fuzzy süreklidir [16].
İspat: f ,fuzzy güçlü sürekli fonksiyon olsun. Y deki B fuzzy τ′ -kapalı kümesini
alalım. Burada f −1 ( B )
nin, fuzzy τ-kapalı olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
Bunun için
f −1 ( B ) ≤ f −1 ( B ) olduğunu görmek yeterli olacaktır. B fuzzy kümesi τ′ -kapalı
olduğundan B =B dir. Diğer taraftan f fonksiyon güçlü sürekli olduğundan,
(
)
(
)
(
)
f f −1 ( B ) ≤ f ( f −1 ( B ) ) ≤ B ⇒ f f −1 ( B ) ≤ B = B ⇒ f −1 ⎛⎜ f f −1 ( B ) ⎞⎟ ≤ f −1 ( B )
⎝
⎠
((
⇒ f −1 f f −1 ( B )
)) ≤
(
)
f −1 ⎛⎜ f f −1 ( B ) ⎞⎟ ≤ f −1 ( B ) ⇒ f −1 ( B ) ≤ f −1 ( B )
⎝
⎠
bulunur. f −1 ( B ) ≤ f −1 ( B ) her zaman sağlandığından f −1 ( B ) = f −1 ( B ) bulunur.
Böylece f −1 ( B ) fuzzy τ-kapalıdır. Öyleyse f fuzzy süreklidir.
23
Tanım 2.1.21. ( X, τ ) f.t.u. ve p , X in bir fuzzy noktası olsun. p fuzzy noktasını
içeren ∀A∈τ fuzzy kümesini kapsayan N fuzzy kümesine p nin fuzzy komşuluğu
(O-fuzzy komşuluğu) yani;
N, p nin fuzzy komşuluğu ⇔ ∃A∈τ var ∋ p<A≤N
denir ve p nin bütün fuzzy komşuluklarının ailesini N(p) ile gösterilir. Yani,
N(p)= { N∈ IX: N , p nin fuzzy komşuluğu} dir [1].
Tanım 2.1.22. (X,τ) f.t.u. ve A∈ IX olsun. A yı ihtiva eden her B∈τ elemanını
kapsayan N∈IX kümesine A fuzzy kümesinin bir komşuluğu denir. Yani; A , N∈IX
için, A ≤ B ≤ N olacak şekilde B∈τ varsa N ye A fuzzy kümesinin fuzzy komşuluğu
denir [1].
Tanım 2.1.23. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı verilmiş olsun.
a) β ≤ τ olmak üzere ∀A∈τ için Ai∈β, i∈I olmak üzere A= ∨Αi , β fuzzy
i∈Ι
kümeler ailesine τ nun fuzzy tabanı denir.
b) S≤ τ olmak üzere S ye ait fuzzy kümelerin sonlu arakesitleri τ için bir taban
ise S ye τ nun alt tabanı denir [21].
Tanım 2.1.24. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı ve β, τ nun bir taban olsun. X in bir p
fuzzy noktası için Bp={B: p<B ve B∈β} ailesini göz önüne alalım. p<A olmak
üzere, ∀A∈τ için p<B≤A olacak şekilde Bp nin bir elemanı varsa , Bp ailesine p
fuzzy noktasına ait τ topolojisinin yerel tabanı ( lokal tabanı ) denir [1].
Tanım 2.1.25. X ve Y herhangi iki küme olsun. X den Y ye birebir ve örten bir g
fonksiyonu varsa, X ve Y kümelerine elemanları sayısı bakımından denktir yada aynı
kardinal sayıya sahiptir denir. Herhangi bir X kümesinin kardinal sayısı, bu kümenin
kardinalitesiyle belirlenir ve |X| ile gösterilir [7,12].
24
Tanım 2.1.26. (X,τ) f.t.u. ve βτ={β: τ nun tabanı } ailesi olsun. Her β∈βτ için β
kardinal sayılar kümesinin en küçük elemanına (X,τ) f.t.u nın ağırlığı (weight) denir
ve ω(X,τ) ile gösterilir, yani;
ω(X,τ) =eke{|β|: β∈βτ } [7,12].
Tanım 2.1.27. (X,τ) f.t.u. p∈X ve {E(p)} komşuluklar tabanlarının bir ailesi olsun.
E(p) komşuluklar tabanlarının |E(p)| kardinal sayılarının en küçük elemanına, p fuzzy
noktasının karakteri denir ve χ(p, (X,τ)) ile gösterilir, yani ;
χ(p, (X,τ))= min{ |E(p)| :E(p), p nin komşuluklar tabanı} [7,12].
Tanım 2.1.28. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı, N(p) X kümesinde p nin komşuluklar
ailesi ve E(p) de N(p) nin bir alt ailesi olsun. N(p) nin her N elemanına karşılık E≤ N
olacak şekilde E(p) nin bir E elemanı varsa E(p) ailesine X üzerindeki τ fuzzy
topolojisi için p fuzzy noktasının fuzzy komşuluklar tabanı denir [1].
Teorem 2.1.16. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı ve β≤τ olsun. β nın τ topolojisi için bir
tabanı olması için gerek ve yeter şart her p∈X için E(p)={E∈β:p∈E} ailesinin p
fuzzy noktası için bir komşuluklar tabanı olmasıdır [1].
Tanım 2.1.29. (X,τ) fuzzy topolojik uzayının her noktasının sayılabilir bir
komşuluklar tabanı varsa, bu uzaya birinci sayılabilir fuzzy uzay denir [11].
Tanım 2.1.30. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı sayılabilir bir tabana sahipse, bu uzaya
ikinci sayılabilir fuzzy uzayı denir [11].
Teorem 2.1.17. İkinci sayılabilir her fuzzy uzayı, birinci sayılabilir fuzzy uzaydır
[11].
ispat: (X,τ) ikinci sayılabilir bir fuzzy topolojik uzay olsun. İkinci sayılabilirlik
tanımından (X,τ) fuzzy topolojik uzayının sayılabilir bir tabanı vardır. Yani ∃β∈τ
25
tabanı var ∋ |β| sayılabilir tabana sahiptir. Teorem 2.1.16. den p∈X fuzzy noktasının
E(p) komşuluklar tabanı β nın bir alt ailesidir. O halde, E(p)≤ β ⇒ |E(p)|≤| β| dır.
Tanım 2.1.31. ( X,τ ) fuzzy topolojik uzay, X de fuzzy noktaların ailesi χ ve p = pλx
∈ χ de X nin f-noktası olmak üzere;
f :IN→χ
( )
n → f ( n ) = p λx =p n
n
biçiminde tanımlı fonksiyona (doğal sayılar tarafından indislenen fuzzy noktaların
⎛
⎞
kümesine) X de fuzzy dizisi denir ve ⎜⎜p λ ⎟⎟⎟ =(p n ) ile gösterilir [1].
⎝ xn ⎠
Tanım 2.1.32. (X,τ) fuzzy topolojik uzay (p n ), X de fuzzy noktaların dizisi ve
A∈X olsun.Bu durumda:
a) (pn) fuzzy dizisi sonunda A dadır gerek ve yeter şart ∃m∈N var ∋ ∀ n≤ m
için p ≤ A ((pn)=A) dir.
b) (pn) fuzzy dizisi bir A fuzzy kümesine (p fuzzy noktasına) yakınsıyor denir,
eğer, (pn) dizisi sonunda A nın (p nin ) her bir komşuluğunda ise [1].
Tanım 2.1.33. (X,τ) fuzzy topolojik uzay (p n ) X de fuzzy noktaların dizisi ve p 0
∈X olsun. p 0 ın her N∈N( p 0 ) komşuluğu için
m ≤ n ⇒ pn∈ N
olacak şekilde N komşuluğuna bağlı m∈N sayısı varsa, (pn) dizisi p 0 noktasına
yakınsıyor veya (pn) dizisinin limiti p0 dır denir ve
p n → p 0 veya lim p n = p 0 n →∞
şeklinde yazılır yani;
lim p n = p 0 ⇔ ∀ N∈N( p 0 ) için ∃ m∈N var ∋ ∀ n≥ m ⇒ p n ∈ N
n →∞
dir [1].
26
3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK VE KOMPAKTLIK
ÇEŞİTLERİ
3.1. Fuzzy Topolojik Uzaylarda Kompaktlık
Klasik topolojik uzaylardaki kompaktlık ve kompaktlık çeşitlerinden yola çıkılarak
fuzzy topolojik uzaylarda da bu kavramlara karşılık gelen tanımlar verilmiş ve
aralarındaki ilişkileri incelenmiştir. Bu bölümde, fuzzy topolojik uzaylarda
kompaktlık kavramı tanımlanmıştır ve ayrıca genel topolojik uzaylarda olduğu gibi
fuzzy topolojik uzaylardaki Hemen Hemen Kompakt,Yaklaşık Kompakt, Güçlü
Kompakt, Sayılabilir Kompakt, Çarpım Fuzzy Topolojik Uzayında Kompaktlık, α Kompakt gibi fuzzy kompaktlık çeşitlerinin özellikleri incelenmiştir.
Tanım 3.1.1 (X, τ) bir fuzzy topolojik uzay ve A, X de bir fuzzy küme olsun.
A≤ ∨ {B : B∈ A }
olacak biçimde fuzzy kümelerin bir A ailesine A kümesinin örtüsü denir. Eğer A
ailesi fuzzy açık kümelerden oluşuyor ise, A ya açık örtü, A nın elemanlarından
oluşan ve A yı örten alt ailesine de A nın alt örtüsü denir [7].
Tanım 3.1.2. Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayının her açık örtüsünün sonlu bir alt
örtüsü varsa (X,τ) ya kompakttır denir [7].
Tanım 3.1.3. Fuzzy kümelerin bir ailesi, A olsun. Eğer A nın her sonlu alt ailesinin
arakesiti boştan farklı ise, A ya sonlu arakesit özelliğine sahiptir denir [8].
Örnek 3.1.1. X = {a,b} olsun. A ={( a,0.1) ( b ,0.9)}, B = {( a ,0.5),( b ,0.1)},
C = { ( a , 0 . 1 ) , ( b , 0 . 2 ) , D= { ( a , 0 . 5 ) , ( b , 0 . 9 ) , X ={ (a,1),( b ,1)} ve
∅={ (a,0),(b,0) }, X de fuzzy kümeleri olmak üzere τ = { ∅ , X ,A,B,C,D} şeklinde
tanımlanan τ ailesinin X üzerinde bir fuzzy topolojik yapı oluşturduğunu ve bu
topolojik yapının kompakt olduğunu gösterelim:
27
t1) ∅, X∈ τ tanımından açıktır. t2 ) ∅ ⊂ X fuzzy kümesinin τ ya ait fuzzy kümelerle arakesiti ∅ u verir, τ ya ait
fuzzy kümelerin arakesiti yine fuzzy kümesidir, yani;
A , B ∈ τ için A ∧B = {(a, 0.1),(b, 0 . 2 ) } = C∈ τ
A , C ∈ τ için A ∧C = {(a, 0 .1),(b, 0 . 2 ) } = C ∈ τ
D ∈ τ İçin A ∧D = {(a, 0 . ,1),(b, 0 . 9 ) } = A ∈ τ
olur. Benzer biçimde diğer fuzzy kümelerin kesişiminin τ da olduğu kolayca
görülebilir.
t3) τ ya ait fuzzy kümelerle birleşim de, X de fuzzy kümesini vereceği açıktır. Yani;
A , B ∈ τ için A ∨ B ={(a, 0.5), (b, 0.9) }=D∈τ
A , C ∈τ için A ∨ B = {(a, 0.1), (b, 0.9) }=A ∈τ
olur. Benzer biçimde diğer f kümelerin birleşiminin τ da olduğu kolayca görülebilir.
O halde τ ailesi X üzerine fuzzy topolojik yapıdır ve (X,τ ) fuzzy topolojik uzaydır.
X kümesi sonlu olduğundan, X in her açık örtüsü de sonludur o halde (X,τ )
kompakttır.
Teorem 3.1.1 Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayının kompakt olması için gerek ve yeter
şart X in sonlu arakesit özelliğine sahip fuzzy kapalı kümelerinden oluşan her
ailesinin bütün elemanlarının arakesitinin boştan farklı olmasıdır [7].
İspat
:
(⇒):
(X,τ)
fuzzy
topolojik
uzayı
fuzzy
kompak
tolduğundan
A={ Ki : (Ki)c∈τ , i∈I } ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip bir aile olsun. Kabul
edelim ki ∧ {K i : i ∈ I} =∅ olsun. O halde ( ∧ {K i : i ∈ I} )c = ∅c = X olur. Buradan
{
}
∨ ( K i ) : i ∈ I = X olduğu görülür ve {(Ki)c: i∈I} ailesinin de X in bir açık örtüsü
c
{
}
olur. (X,τ) kompaktlığından ∨ ( K i ) : i ∈ I = X olacak biçimde sonlu bir J⊆I kümesi
c
28
vardır. Buradan ∧ {K i : i ∈ I} =∅ elde edilir Bu ise sonlu arakesit özelliği ile çelişir.
Öyleyse kabulümüz ∧ {K i : i ∈ I} ≠∅ olmalıdırdır.
(⇐): X in herhangi bir açık örtüsü A={Ai : Ai∈τ , i∈ I}ailesi ve her J ⊆ I sonlu alt
kümesi için X≠ ∨ {Ai , i∈J } olsun. Tümleyeni alınırsa ∅≠ ∧ { (Ai)c , i∈I }elde edilir.
Hipotezden ∅≠ ∧ { (Ai)c , i∈I } bulunur ki bu da A={Ai : Ai∈τ , i∈I } ailesinin X in
bir açık örtüsü olmasıyla çelişir. O halde en az bir sonlu J ⊆ I için,
∨ { Ai , i∈J } = X dir. Böylece, X fuzzy kompakttır.
Teorem 3.1.2. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f: (X, τ) → (Y, τ′ ) fuzzy
sürekli ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer (X, τ) kompakt ise (Y, τ′ ) de kompakttır
[7].
İspat:
B ailesi Y nin açık bir örtüsü olsun. O halde her x∈ X için,
µV{f-1(B) :B∈B }(x) =sup{µf-1(B) (x) : B∈B}= sup{µ B(f (x)) : B∈B}=1
dir {f-1(B) : B∈B} ailesi X ’in bir açık örtüsünü belirtir. (X, τ) fuzzy topolojik
uzayının kompakt olmasından, {f-1(B) : B∈B} ailesinin sonlu bir alt örtüsü vardır.
f örten olduğundan ∀ B ∈ Y için f(f-1(B))=B dir. O halde { f-1(B): B∈B} nin alt
örtüsündeki elemanlarının f altındaki görüntülerinden edilen kümeler, B ailesinin
sonlu bir alt örtüsü olacaktır. Öyleyse (Y, τ′ ) kompakttır.
3.2. Fuzzy Hemen Hemen Kompakt Uzaylar
Tanım 3.2.1. (X,τ) bir fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer X deki her fuzzy açık A
kümesi ∀i∈I için A i ≤ A olacak şekildeki Ai fuzzy açık kümelerinin birleşimi
şeklinde yazılabiliyorsa (X,τ) fuzzy topolojik uzayına düzenli uzay denir [15].
29
Tanım 3.2.2. (X, τ) bir fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer X deki her açık örtüsünün
kapanışlarından oluşan örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa (X,τ) fuzzy topolojik
uzayına hemen hemen kompakt uzay denir [15].
Teorem
3.2.1. Hemen hemen kompakt ve düzenli bir fuzzy
topolojik uzayı
kompakttır [15].
İspat: (X,τ) bir fuzzy topolojik uzay ve {Ai : i ∈ I} ailesi X in herhangi bir açık
örtüsü olsun. O halde;
∨ {Ai : i ∈I}=X
dir. X fuzzy topolojik uzayı düzenli olduğundan her i,j ∈ I için Bij ≤Ai ve
Ai = ∨ {Bij : i ∈ I} olacak şekilde Bij açık kümeleri vardır.
∨ {Ai : i ∈I} = X = ∨ { Bi : j ∈ I}
j
ve X in kompaktlığındanen az bir J⊆ I sonlu alt kümesi için
∨ { Bi : j ∈ J}=X
j
olur. Buradan ise ∨ { Bij : j ∈ J} = X ≤ ∨ {Ai : i ∈J} elde edilir. O halde (X, τ) fuzzy
hemen hemen kompakttır.
Sonuç 3.2.3. Her fuzzy topolojik kompakt uzayı hemen hemen kompakttır [16].
İspat: (X,τ) kompakt fuzzy topolojik uzay ve X in herhangi bir açık örtüsü
{Ai : i ∈ I} ailesi olsun. X in kompaktlığından en az bir J ⊆ I sonlu alt kümesi için,
X = ∨ {Ai : i ∈ J} ≤ ∨ { A i : i ∈ J}
bulunur öyleki (X, τ) fuzzy topolojik uzayı hemen hemen kompakttır.
Teorem 3.2.2. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzayları ve f : X→Y hemen hemen
sürekli ve örten fonksiyonu verilsin. Eğer (X,τ) hemen hemen kompakt ise (Y, τ′ )
uzayı da hemen hemen kompakttır denir [15].
30
İspat: {Ai : i ∈ I} ailesi, Y nin herhangi bir fuzzy açık örtüsü olsun. Bu durumda
Y = ∨ {Ai : i ∈I}≤ ∨ { ( A i ) : i∈I}≤Y
o
olduğundan { ( A i ) : i∈I} ailesi de Y için bir fuzzy açık örtüdür. Şimdi her i ∈I için
o
(A )
i
için,
o
fuzzy kümesinin fuzzy düzenli açık olduğunu gösterelim; bunun için her i∈I
(A )
o
i
⎛
= ⎜ Ai
⎝
( )
açık olduğundan
o
o
⎞
⎟ olduğunu göstermek yeterli olacaktır. ∀ i∈I için Ai kümeleri
⎠
(A )
( )
o
≤ A i ⇒ Ai
i
o
⎛
⇒ ⎜ Ai
⎝
≤ Ai = A i
( )
o
o
⎞
⎟ ≤
⎠
(A )
o
i
ve
o ⎛
A i ≤ ⎜ Ai
⎝
( ) ( )
o
⎞
⎟⇒
⎠
(( ) )
Ai
o o
⎛
≤ ⎜ Ai
⎝
( )
o
⎞
⎟
⎠
o
( )
⇒ Ai
( )
⇒ Ai
o
o
⎛
≤ ⎜ Ai
⎝
( )
⎛
= ⎜ Ai
⎝
( )
o
o
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
o
o
{ ( A i ) : i∈I} fuzzy düzenli açık kümelerden oluşan bir aile olur. f hemen hemen
o
(( ) ) ): i∈I} ailesi de fuzzy açık kümelerden oluşur.
sürekli olduğundan { ( f −1 A i
o
Ayrıca,
Y = ∨ { ( A i ) : i∈I} ⇒ f −1 (Y) = f −1 ( ∨ { ( A i ) : i∈I})
o
o
⇒ X = ∨ { f −1 (( Ai ) ) : i∈I}
o
(( ) ) ): i∈I} ailesi X in bir açık örtüsüdür. (X, τ) fuzzy topolojik
olduğundan { ( f −1 A i
o
uzayı hemen hemen kompakt olduğundan sonlu bir J ⊆ I alt kümesi için,
(( ) ) ⎞⎟⎠ : i∈J}
X = ∨ { ⎛⎜ f −1 A i
⎝
o
31
dir. f örten olduğundan
(( ) ) ⎞⎟⎠ : i∈J})
Y = f(X) = f ( ∨ { ⎛⎜ f −1 A i
⎝
o
(( ) ) ⎞⎟⎠ ): i∈J}
= ∨ {f( ⎛⎜ f −1 A i
⎝
o
bulunur. Teorem 2.1.11. (a) şıkkından ∀ i∈I için Ai fuzzy kümeleri açık olduğundan
Ai fuzzy düzenli kapalıdır. Teorem 2.1.14. (a) ⇒(b) gerektirmesinden ∀ i∈I için
( )
( )
o
f −1 Ai fuzzy kapalı kümedir. Ayrıca; A i ≤ Ai olduğundan
( )
f −1 Ai
o
( )
≤ f −1 Ai dir.
O halde ;
(( ) ) ⎞⎟⎠ ≤ f ( A ) = f ( A ) ⎛ f −1 A
⎜
i
⎝
o
−1
−1
i
(( ) ) ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠ ≤ f (f
⎛
f ⎜ ⎛⎜ f −1 Ai
⎝⎝
o
−1
i
( A )) = A
i
i
dir. Buradan,
(
( ) ) : i ∈ J ⎫⎬⎭ ≤ ∨ {A : i ∈ J}
⎧
Y = ∨ ⎨ f f −1 Ai
⎩
o
i
elde edilir. Böylelikle (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzayı hemen hemen kompakttır.
Teorem 3.2.6. Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayının hemen hemen kompakt olması için
gerek ve yeter koşul sonlu arakesit özelliğine sahip X in her {Ai : i ∈ I} fuzzy açık
kümelerinden oluşan ailesinin ∧ { Ai : i ∈ I} ≠ ∅ olmasıdır [15].
İspat: (⇒):X üzerindeki fuzzy açık kümelerin oluşturduğu {Ai : i ∈ I} ailesi, sonlu
arakesit özelliğine sahip olsun. Eğer ∧ { Ai : i ∈I}=∅ ise,
1 - ∧ { Ai : i ∈ I}= ∨ {l- Ai : i ∈ I} = X
elde edilir. O halde {1 - Ai : i∈I} ailesi X in bir fuzzy açık örtüsü olur. X hemen
hemen kompakt olduğundan en az bir J ⊆ I sonlu alt kümesi için
32
∨ { (1 − A i ) : i ∈J} = X
dir. Her i ∈ I için Ai fuzzy kümeleri fuzzy açık olduğundan
Ai ≤ Ai ⇒ 1 - Ai ≤1-Ai
⇒ (1 − A i ) ≤ (1 − A i ) =1-Ai……………(I)
⇒ Ai ≤ 1- (1 − A i )
elde edilir. O halde;
∧ {Ai : i∈J}≤ ∧ {1- (1 − A i ) : i∈J } = ∅
bulunur. Fakat bu ise sonlu arakesit özelliği ile çelişir. O halde ∧ { Ai : i ∈ J} ≠ ∅
olmalıdır.
(⇐):
{Ai : i ∈I} ailesi X in bir açık örtüsü olsun. Her J ⊆ I sonlu alt kümesi için
∨ { Ai : i ∈J} ≠ X ise, ∧ {1- Ai : i∈J} ≠ ∅ olduğundan {1- Ai : i ∈ J} sonlu arakesit
özelliğine sahip fuzzy açık kümelerden oluşan bir ailedir. Hipotezden,
∧ { (1 − A i ) : i ∈ I} ≠ ∅ dir.
Buradan;
∨ {1- (1 − A i ) : i ∈ I}≠ X
elde edilir. Eşitsizlik (I) de olduğu gibi {Ai : i∈I} ailesi X in bir açık örtüsü
olduğundan
X= ∨ {A i : i ∈ I} ≤ ∨ {1- (1 − A i ) : i ∈ I} ≠ X
elde edilir.
Bu ise bir çelişkidir. O halde en az bir sonlu J ⊆ I alt kümesi için ∨ { Ai : i ∈ J}=X
dir. Buradan X in hemen hemen kompak olduğu görülür.
33
Teorem 3.2.7. (X, τ) bir fuzzy topolojik uzay olsun. Aşağıdaki önermeler denktir;
a) X hemen hemen kompakttır.
b) Fuzzy düzenli kapalı kümelerden oluşan ve ∧ {Ai : i ∈ I} = ∅ olan her
{Ai : i ∈ J} ailesi için en az bir sonlu J ⊆ I alt kümesi vardır öyle ki;
o
∧ { A i : i ∈ J}= ∅ dir.
c) Sonlu arakesit özelliğine sahip olan ve fuzzy düzenli açık kümelerden oluşan her
{Ai : i ∈ I} ailesi için ∧ { Ai : i∈I}≠∅ dir.
d) X in fuzzy düzenli açık kümelerden oluşan her örtüsünün kapanışlarının X i örten
sonlu bir alt ailesi vardır [6].
İspat (a) ⇒(b) X hemen hemen kompakt uzay, {Ai : i∈I} fuzzy düzenli kapalı
kümelerden oluşan ve ∧ {Ai : i∈I} = ∅ olan herhangi bir aile olsun. Bu durumda
∨ {1 -Ai : i ∈I} =X olur. Her i ∈ I için Ai = ( Ai )
o
olduğundan ve Teorem 2.1.9. (a)
ve (b) şıklarından,
(
1-Ai =1- ( A i ) = 1 − ( A )
o
) (
o o
= 1 − Ai
(
elde edilir. O halde ∨ { 1 − A i
)
o
)
o
(
: i ∈I}=X olur ki bu da { 1 − A i
)
o
: i ∈J} ailesinin X
in bir açık örtüsü olduğunu gösterir. X hemen hemen kompakt olduğundan en az bir
sonlu J ⊆ Ialt kümesi için,
((
∨ { 1 − Ai
) ) : i ∈ J}=X
o
dir. Buradan,
((
1- ∨ { 1 − A i
) ) : i ∈ J}=∅ = ∧ {1- ( (1 − A ) ) : i ∈ J}
o
o
i
olur. Her i∈I için Ai fuzzy kümeleri düzenli kapalı olduğundan ve Teorem 2.1.9 (a)
ve (b) şıklarından
((
1- 1 − A i
)) (
o
)
o
= ⎛⎜ 1 − (1 − A i ) ⎞⎟
⎝
⎠
o
34
(
)
o⎞
⎛
= ⎜ 1 − (1 − Ai ) ⎟
⎝
⎠
((
= 1 − (1 − A io )
(
= ( A io )
)
))
o
o
o
= A io
elde edilir. Dolayısıyla,
∅ = ∧ { A io : i ∈ J}
olur.
(b)⇒ (c) {Ai: i ∈ I}sonlu arakesit özelliğine sahip fuzzy arakesit düzenli açık
kümelerin bir ailesi olsun ve ∅= ∧ { Ai : i∈I} olduğunu varsayalım. ∀ i∈ I için Ai
fuzzy düzenli açık olduğundan fuzzy açıktır. Dolayısıyla Teorem 2.1.11 ( a)
şıkkından her i∈I için {Ai : i ∈ I} fuzzy düzenli kapalı kümelerden oluşan bir ailedir.
Hipotez gereğince en az bir sonlu J ⊆ I alt kümesi vardır, öyleki;
{(
∧ Ai
)
o
}
:i∈J = ∅
dır. Her i ∈ J için Ai fuzzy kümeleri düzenli açık olduğundan,
{(
∧ Ai
)
o
}
: i ∈ J = ∧ {Ai : i ∈ J} = ∅
elde edilir ki, bu {Ai : i ∈I} ailesinin sonlu arakesit özelliğine sahip olmasıyla
{
}
çelişir. O halde ∧ A i : i ∈ I ≠ ∅ dir.
(c)⇒ (d) {Ai : i∈I} ailesi fuzzy düzenli açık kümelerden oluşan X in bir örtüsü
{
}
olsun. Her ∆⊆ J sonlu alt kümesi için ∨ Ai : i ∈ J ≠ X olduğunu varsayalım. Bu
durumda her i∈I için,
(1 − A ) = (1 − ( A ) ) o
o o
i
= (1 − A i ) o
35
= 1- Ai
olduğundan, 1- Ai fuzzy düzenli açık kümedir. Ayrıca ∧ {1- Ai : i∈J} ≠∅ olduğu
için {1- Ai : i∈I} ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip fuzzy düzenli açık bir aile olur.
varsayımdan,
(
∧ { 1 − Ai
) : i ∈ J}≠∅
elde edilir.
Her i∈J için Ai fuzzy düzenli açık olduğundan,
(
∧ { 1 − Ai
)
{
( )
: i ∈ J}= ∧ 1 − Ai
o
}
:i∈J
= ∧ {1 − Ai : i ∈ J}
= 1 − ( ∨ {A i : i ∈ J} )
≠∅
ve dolayısıyla;
∨ {Ai : i ∈ J} ≠X
olduğu çıkar ki, bu da {Ai : i∈I} ailesinin X in bir örtüsü olmasıyla çelişir. O halde
en az bir J ⊆ I için ∨ {Ai : i ∈ J} = X dir.
(d)⇒ (a) {Ai : i ∈ I} ailesi, X in bir açık örtüsü olsun. Teorem 3.2.2. de yapıldığı
( )
o
gibi { A i : i ∈ I} ailesi X in fuzzy düzenli açık örtüsüdür. Yani;
( ) : i ∈ I} = X
∨ { Ai
o
( )
dir. Varsayım gereğince, en az bir sonlu J⊆I kümesi için { Ai
dir. O halde;
o
( )
o
( )
Ai = A i ≤ A i ≤ Ai ⇒ Ai
o
≤ Ai
o
: i ∈ I} = X
36
ve
Ai ≤
(A ) ⇒ A ≤ (A )
o
i
i
olduğundan Ai =
o
i
(A )
o
i
elde edilir. Buradan ∨ {Ai : i ∈ J} olduğu çıkar.
Sonuç olarak X hemen hemen kompakttır.
Teorem 3.2.8. Kompakt bir uzayın fuzzy zayıf sürekli ve örten bir fonksiyon
altındaki görüntüsü hemen hemen kompakttır [16].
İspat: X bir kompakt uzay ve f : X →Y fuzzy zayıf sürekli ve örten bir fonksiyon
olsun. {Ai : i ∈ I} ailesi, Y nin herhangi
bir açık örüsü olsun. Bu durumda
∨ {Ai : i ∈ I} = Y olduğundan,
f −1 ( ∨ {Ai : i ∈ I} ) = Y = ∨ {f −1 ( A i ) : i ∈ I} = f −1 ( Y ) =X
elde edilir. f zayıf fuzzy sürekli olduğundan her i∈I için;
( ( ))
f −1 ( Ai ) ≤ f −1 A i
o
dir. Dolayısıyla;
∨
{
( (( ))) : i ∈ I⎫⎬⎭ ⎧
f -1 ( A i ) : i ∈ I} =X ≤ ∨ ⎨ f −1 A i
⎩
olur. Bu ise
o
{(f ( A )) : i ∈ I}ailesinin X in bir açık örtüsü olduğu anlamına
o
−1
i
gelir. X kompakt olduğundan en az bir sonlu J⊆ I alt kümesi için
{( ( )) : i ∈ J}=X
∨ f −1 A i
o
dir. Ayrıca f örten olduğundan
{(
( ))
f( ∨ f −1 A i
o
}
: i ∈ J )=f(X) =Y
olur ve her i∈J için,
( ( )) ⎞⎟⎠ ≤ f ( f ( A )) = A
f ⎛⎜ f −1 A i
⎝
o
−1
bulunur. Sonuç olarak;
i
i
37
( ( )) ⎞⎟⎠ : i ∈ J ⎫⎬⎭ ≤ ∨ {A : i ∈ J}
⎧
Y = ∨ ⎨f ⎛⎜ f −1 A i
⎩ ⎝
o
i
elde edilir. O halde Y hemen hemen kompakttır.
Teorem 3.2.9. Fuzzy hemen hemen kompakt bir kümenin fuzzy güçlü ve örten bir
fonksiyon altındaki görüntüsü kompakttır [6].
İspat : Fuzzy hemen hemen kompakt bir X kümesi ve f : X→ Y örten ve güçlü
sürekli bir fonksiyon verilsin. {Ai : i ∈ I} ailesi Y nin herhangi bir açık örtüsü olsun.
Bu durumda ∨ { Ai : i ∈ I}=Y olduğundan,
f−1( ∨ { Ai : i ∈ I} ) = ∨ {f−1(Ai): i∈I}= f−1(Y ) = X
elde edilir. f fuzzy güçlü sürekli fonksiyon olduğundan fuzzy süreklidir. O halde
{f−1(Ai): i∈I} ailesi X in bir açık örtüsü olur. X hemen hemen kompakt olduğundan
{
}
en az bir sonlu J ⊆ I alt kümesi için ∨ f −1 ( A i ) : i ∈ J = X dir. f örten ve güçlü
sürekli olduğundan;
{
= ∨ {f ( f
}
Y = f(X) = f( ∨ f −1 ( A i ) : i ∈ J )
−1
} ( Ai ) ) : i ∈ J
{
}
≤ ∨ f ( f −1 ( Ai ) ) : i ∈ J
= ∨ {Ai : i ∈ J}
bulunur. Böylece Y kompakttır.
3.3. Fuzzy Yaklaşık Kompakt Uzaylar
Tanım 3.3.1. Eğer bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayının her açık örtüsünün kapanışların
içinden oluşan ailenin X i örten sonlu bir alt ailesi var ise X fuzzy topolojik uzayına
fuzzy yaklaşık kompakttır denir. Diğer bir deyişle X in her açık örtüsünün düzenli
açık kümelerden oluşan sonlu bir alt örtüsü var ise, ( X,τ) fuzzy topolojik uzayına
fuzzy yaklaşık kompakttır denir [6].
38
Sonuç 3.3.1. Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayı için,
Fuzzy kompakt ⇒ Fuzzy yaklaşık kompakt ⇒ Fuzzy hemen hemen kompakt
gerektirmeleri doğrudur [6].
İspat: A= {A i : i ∈ I} ailesi (X,τ) fuzzy kompakt topolojik uzayının açık bir örtüsüsü
olsun. X kompakt olduğundan en az bir sonlu J ⊆ I kümesi için
∨
{Ai : i ∈ J} = X
dir. Her i∈I için Ai fuzzy açık kümeleri açık ve
( )
Ai ≤ Ai ⇒ A io = Ai ≤ A i
o
olduğundan
{(
X = ∨ {Ai : i ∈ J} ≤ ∨ Ai
)
o
}
:i∈J
elde edilir. O halde X fuzzy yaklaşık kompakttır.
Şimdi X fuzzy topolojik uzayı yaklaşık kompakt olsun ve X in herhangi bir açık
örtüsü {Ai : i ∈ I} verilsin. X fuzzy yaklaşık kompakt olduğundan
en az bir J ⊆ I sonlu kümesi için;
{(
∨ Ai
)
o
}
:i∈J = X
( )
dir.∀i∈J için A i
{(
X = ∨ Ai
)
o
o
}
≤ Ai olduğundan
{
}
: i ∈ J ≤ ∨ Ai : i ∈ J
bulunur. O halde X fuzzy topolojik uzayı hemen hemen kompakttır.
Bu önermelerin tersi doğru değildir.
Örnek 3.3.1 X boştan farklı bir küme ve her α∈ [0, 1] için
µα: X→[0, 1], µα (x) =α
biçiminde tanımlanmak üzere;
39
1
τ= { µα:α> } ∪ {∅}
2
fuzzy topolojisiyle (X, τ) uzayı yaklaşık kompakttır ancak fuzzy kompakt değildir.
⎧
τ * = ⎨β : 0 ≤ β ≤
⎩
1⎫
⎬ ∪ {X} kümesi (X,τ) fuzzy topolojik uzayının fuzzy kapalı
2⎭
1
kümelerinin ailesidir. O halde her α∈( ,1] için,
2
µα = ∧ {g : µ α ≤ g, g c ∈ τ} = ∧ {g : α ≤ g, g c ∈ τ} = ∧ {β : α ≤ β, β ∈ τ*} = X dir. Dolayısıyla her µα∈τ için
(µ ) =X olduğundan
o
α
(X,τ) yaklaşık kompakttır.
Şimdi { Ai : i ∈ I} ailesi X in bir açık örtüsü olsun. Eğer X uzayı fuzzy kompakt
olsaydı en az bir sonlu J⊆ I kümesi için ∨{ Ai : i∈J }=X olurdu. Bu ise sonlu sayıda
1 den küçük sayının supremumunun 1 olamayacağı gerçeğinden dolayı olamaz. O
halde (X, τ) fuzzy kompakt değildir [16].
Teorem3.3.2. Fuzzy yaklaşık kompakt ve düzenli fuzzy topolojik uzay kompakttır
[6].
ispat: (X, τ) fuzzy yaklaşık kompakt ve düzenli bir uzay, { Ai : i ∈ I } ailesi X in
herhangi bir açık örtüsü olsun. X fuzzy düzenli olduğundan ∀ i∈ I için Bij ≤ Ai ve
Ai = ∨ Bij olacak şekilde Bij fuzzy açık kümeleri vardır. { Bij : i∈J}, fuzzy açık
kümelerin bir ailesi olduğundan Teorem 3.2.2. nin ispatında
{
(B )
j
i
o
}
: i ∈ J fuzzy düzenli açık kümelerin bir ailesi olur. Ayrıca
(B ) ≤
o
j
i
{
(B )
j
i
o
gösterildiği gibi;
( Ai )° = Ai olduğundan ∨
}
{
(B )
j
i
o
}
: i ∈ J =X bulunur. O halde bu
: i ∈ J ailesi X in bir fuzzy düzenli açık örtüsüdür. (X, τ) fuzzy yaklaşık
kompakt olduğundan en az bir sonlu
40
J⊆ I kümesi için ∨
X= ∨
{
(B )
j
i
o
{
(B )
j
i
o
}
: i ∈ J =X dir. Böylece,
}
: i ∈ J ≤ ∨ {Ai : i ∈ J} ≤ X
elde edilir. O halde (X, τ) fuzzy topolojik uzayı kompakttır.
Teorem 3.3.3. (X, τ) fuzzy topolojik uzayının yaklaşık kompakt olması için gerek ve
yeter şart sonlu arakesit özelliğine sahip X in her fuzzy düzenli kapalı kümelerinin
{Ai : i ∈ I} ailesi için ∧ {Ai : i∈I}≠∅ olmasıdır [6].
İspat: (⇒) {Ai : i ∈ I} ailesi sonlu ara kesit özelliğine sahip, fuzzy
yaklaşık
kompakt X uzayının fuzzy düzenli kapalı kümelerden oluşan bir aile olsun.
Eğer ∧ {Ai : i ∈ I} = ∅ ise, 1- ∧ {Ai : i ∈I} = ∨ {1 − A i : i ∈ I} = X olur. O halde
{1 - Ai : i ∈ I} ailesi X in açık örtüsüdür. X fuzzy yaklaşık kompakt olduğundan en
az bir J⊆ Isonlu alt kümesi için;
{
} {
}
∨ (1 − A i ) : i ∈ J = ∨ (1 − A io ) : i ∈ J
o
o
= ∨ {1 − A io : i ∈ J}
= ∨ {1 − Ai : i ∈ J}
= X
elde edilir. Dolayısıyla ∧ {Ai : i ∈ J} = ∅ olur ki bu da sonlu arakesit özelliği ile
çelişir. O halde ∧ {Ai : i∈J}≠∅ dir.
(⇐) : {Ai : i ∈I} ailesi X in bir açık örtüsü olsun. Her sonlu J⊆I alt kümesi için
{( )
∨ Ai
o
}
{
( )
: i ∈ J ≠X olduğunu varsayalım. O halde ∧ 1 − Ai
{
( )
Böylece ∧ 1 − Ai
Hipotezden,
o
}
o
}
: i ∈ J ≠ ∅ olur.
: i ∈ J ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip olur.
41
{
( )
∧ 1 − Ai
o
}
: i ∈ I ≠∅
{( )
dolayısıyla ∨ Ai
o
}
( ) olduğundan
: i ∈ J ≠X ancak her i∈I için A i = Aio ≤ Ai
{(
X = ∨ {A i : i ∈ I} ≤ ∨ Ai
)
o
o
}
:i∈I ≤ X
elde edilir ki bu hipotezle çelişir. O halde en az bir sonlu J⊆I alt kümesi için
{( )
∨ Ai
o
}
: i ∈ J =X dir. Dolayısıyla (X,τ) fuzzy yaklaşık kompakttır.
Teorem 3.3.4. Fuzzy yaklaşık kompakt bir uzayın fuzzy hemen hemen sürekli ve
fuzzy hemen hemen açık bir fonksiyon altındaki görüntüsü fuzzy yaklaşık
kompakttır [6].
İspat: (X, τ) fuzzy yaklaşık kompakt uzay, (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzay ve f : X→Y
fuzzy hemen hemen sürekli, fuzzy hemen hemen açık ve örten bir fonksiyon olsun.
Eğer {Bi : i ∈J} ailesi Y nin bir açık örtüsü ise Teorem 3.2.2. in ispatında gösterildiği
( )
( )
o
gibi { Bi : i ∈J} ailesi de Y nin herhangi bir açık örtüsüdür ve her i∈I için Bi
o
fuzzy düzenli açık kümedir. f fonksiyon hemen hemen sürekli olduğundan
{f (( B ) ) : i ∈ I} ailesi de X in fuzzy açık örtüsü olur. X fuzzy yaklaşık kompakt
o
−1
i
olduğundan en az bir sonlu J ⊆ Ikümesi için;
(( ) )
⎧⎪⎛ −1
Bi
∨ ⎨⎜ f
⎪⎩⎝
o
o
⎫⎪
⎞
∈
:
i
J
⎬=X ⎟
⎠
⎪⎭
dir. f fonksiyonu örten olduğundan
(( ) )
⎛ ⎧⎪⎛
Y = f(X)= f ⎜ ∨ ⎨⎜ f −1 Bi
⎜
⎝ ⎪⎩⎝
(( ) )
⎧⎪ ⎛
= ∨ ⎨f ⎜ f −1 Bi
⎪⎩ ⎝
o
o
o
⎫⎪
⎞
∈
:
i
J
⎬
⎟
⎠
⎪⎭
o
⎫⎪ ⎞
⎞
:
i
J
∈
⎬⎟
⎟
⎠
⎪⎭ ⎠⎟
42
( )
o
bulunur. ∀ i∈I için ve Bi ≤ Bi f fuzzy hemen hemen sürekli olduğundan ve
Teorem 2.1.11.(a) şıkkından, Bi fuzzy düzenli kapalı kümedir. Ayrıca
(( ) ) ≤ f
o
f −1 Bi
−1
(B )
( )
ve Teorem 2.1.15. (b) şıkkından f −1 Bi
i
fuzzy kapalı
kümedir. Buradan ∀i∈I için ;
( )
(( ) ) ≤ f ( B ) = f ( B ) ( )
o
f-1( Bi )≤ f −1 Bi ⇒ f −1 Bi
(( ) )
⎛
⇒ f ⎜ f −1 Bi
⎝
dir ve
o
o
(( ) )
o
(( ) )
i
o
−1
i
o
(( ) )
o
−1
i
⎞
⎟ fuzzy düzenli açık küme ve f fuzzy düzenli açık fonksiyon,
⎠
⎛⎛
olduğundan f ⎜ ⎜ f −1 Bi
⎜⎝
⎝
⎛
⎜ f −1 Bi
⎝
−1
( ( )) ≤ f ( B ) ….(I) ⎞
−1
⎟ ≤ f Bi
⎠
⎛ −1
Bi
⎜f
⎝
o
o
⎞
⎟
⎠
o
⎞
⎟ fuzzy açık kümedir. Öyleyse ∀i∈ I için (1) den,
⎟
⎠
(( ) )
o
⎛ ⎛ −1
⎞
−1
⎜⎜f
f
Bi
≤
f
B
⇒
i
⎟
⎜⎝
⎠
⎝
( )
⎛ ⎛⎛
⇒ ⎜ f ⎜ ⎜ f −1 Bi
⎜ ⎜⎝
⎝ ⎝
o
( )
o
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
o
o
⎞
⎟ ≤ f f −1 Bi
⎟
⎠
( ( )) ≤ B
o
i
(( ) )
⎛ ⎛ −1
⎞⎞
Bi
⎟ ⎟ = ( f ⎜ ⎜ f
⎟⎟
⎜⎝
⎠⎠
⎝
o
⎞
⎟
⎠
o
⎞
⎟ ≤ Bi
⎟
⎠
( )
o
elde edilir. Böylece,
(( ) )
⎧⎪ ⎛ ⎛
Y = ∨ ⎨f ⎜ ⎜ f −1 Bi
⎜
⎩⎪ ⎝ ⎝
o
⎞
⎟
⎠
o
{(
⎫⎪
⎞
⎟ : i ∈ J ⎬ = ∨ Bi
⎟
⎠
⎭⎪
)
o
}
:i∈J ≤ Y dir. Öyleyse Y fuzzy yaklaşık kompakttır.
Teorem 3.3.5. Fuzzy kompakt bir uzayın fuzzy hemen hemen sürekli ve örten bir
fonksiyon altındaki görüntüsü fuzzy yaklaşık kompakttır [6].
İspat: (X, τ) fuzzy kompakt uzay, (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzay ve f : X→Y fuzzy
hemen hemen sürekli ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer {Ai : i∈I} ailesi Y nin bir
43
(( ) ) : i ∈ I} ailesi de
açık örtüsü ise, f hemen hemen sürekli olduğundan { f −1 A i
o
Teorem 2.1.14 den X in bir açık örtüsü olur. X fuzzy kompakt olduğundan en az bir
(( ) ) : i ∈ J}= X dir. Ayrıca f nin örtenliğinden,
sonlu J⊆I kümesi için ∨ { f −1 A i
{
o
(( ) ) : i ∈ J}⎞⎟⎠ ⎛
Y = f ( X ) = f ⎜ ∨ f −1 A i
⎝
o
(( ) ) ⎟⎞⎠ : i ∈ J⎬⎫⎭ ≤ ∨ {( A ) : i ∈ J} ≤ Y ⎧
= ∨ ⎨f ⎜⎛ f −1 A i
⎩ ⎝
o
o
i
bulunur. Böylece Y fuzzy yaklaşık kompakttır.
3.4. Fuzzy Sayılabilir Kompaktlık
Tanım 3.4.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzayının sayılabilir her açık örtüsünün sonlu bir
alt örtüsü varsa, (X,τ) fuzzy topolojik uzayına fuzzy sayılabilir kompakttır denir [12].
Tanım 3.4.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı ikinci sayılabilirdir denir, eğer τ nun
sayılabilir bir β tabanı varsa [12].
Teorem 3.4.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı II. sayılabilir ise, kompaktlık ile sayılabilir
kompaktlık denktir [12].
İspat: Her (X,τ) fuzzy topolojik uzayı kompakt ise sayılabilir kompaktır. Çünkü
kompakt uzayın açık örtüsü içinde sayılabilir olanlar ve onların sonlu alt örtüleri de
vardır. (X,τ) sayılabilir kompakt ve A = {Ai : i∈I } X in herhangi bir açık örtüsü
i0
olsun. Ai açık ve β={Bn: n∈IN } taban olduğundan her bir bir Ai için Ai = ∨ Bik ,
k =1
{ }
Bik ∈β , ise i0 , sonsuz da olabilir, ohalde β0= Bik ; 1 ≤ k ≤ i0 , i ∈ I , X in
sayılabilir bir açık örtüsünü oluşturur. X sayılabilir kompakt olduğundan, β 1 ≤ β 0
olacak şekilde sonlu bir β1 alt örtüsü vardır. β1 in her bir elemanı A i de ihtiva
44
edildiğinden, bu A i l e r A nın X i örten sonlu bir alt örtüsünü oluşturur. O halde
(X,τ) kompakttır.
Teorem 3.4.2 (X,τ) Fuzzy topolojik uzayı kompakt (sayılabilir kompakt) (Y, τ′ )
fuzzy topolojik uzayı ve f: X→Y örten fuzzy sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda
(Y, τ′ ) kompakt (sayılabilir kompakt) tır [12].
.
İspat: B ailesi Y nin herhangi bir açık örtüsü (sayılabilir herhangi bir açık örtüsü)
olsun. O halde; her x∈ X için,
µV{f-1(B) :B∈B }(x) =sup{µf-1(B) (x) : B∈B}= sup{µ B(f (x)) : B∈B}=1
olduğundan {f-1(B) : B∈B} ailesi X ’in bir açık örtüsü olur. (X, τ) fuzzy topolojik
uzayı kompakt olduğundan, {f-1(B) : B∈B} ailesinin sonlu bir alt örtüsü vardır.
n
Yani X = ∨ f −1 (Bk ) dır. f örten olduğundan,
k =1
n
Y=f(X)=f( ∨ f −1 (Bk ) )
k =1
n
−1
∨ f (f (Bk ))
k =1
n
∨ Bk , {Bk : k = 1, 2,..., n}
k =1
B ailesinin sonlu bir alt örtüsü olacaktır. Dolayısıyla (Y, τ′ ) kompakt (sayılabilir
kompakt) tır.
3.5. Fuzzy Dizisel Kompaktlık
Tanım 3.5.1. {An}n∈IN fuzzy kümelerinin dizisi bir A fuzzy kümesine yakınsaktır
denir eğer A da ihtiva edilen her açık O fuzzy kümesi için bir m∈IN var öyleki
∀n ≥ m için An , O da ihtiva edilir [12].
Tanım 3.5.2. Bir A fuzzy kümesine {An}n∈IN fuzy kümeleri dizisinin fuzzy kapanış
kümesi denir, eğer A da ihtiva edilen her O açık fuzzy kümesi ve her m∈IN sayısı
için n≥m var öyleki An , O da ihtiva edilir [12].
45
Tanım 3.5.3. (X,τ) fuzzy topolojik uzay olsun.Eğer X in eğer her fuzzy kümeleri
dizisinin yakınsak bir alt dizisi varsa (X,τ) fuzzy topolojik uzayına dizisel kompakt
uzay denir [12].
Tanım 3.5.4. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı yarı kompakt denir, eğer her fuzzy kümeleri
dizisinde bir fuzzy kapanış kümesi varsa [12].
Teorem 3.5.1. Her {An}, n=1,2,3,… fuzzy kümeleri dizisinin tek olmayan limiti var
olsun. Bu durumda her fuzzy topolojik uzayı hem dizisel kompakttır hem de yarı
kompakttır [12].
ispat: A, A = ∨ A n ile tanımlanan bir fuzzy kümesi olsun. O zaman An , A ya
n
yakınsar, çünkü A’yı içeren her açık küme bütün An , n=1,2,3,… leri içerecektir.
Bundan başka A’yı içeren her fuzzy kümesi aynı zamanda {An}, n=1,2,3,… nin
limitidir.
3.6. Fuzzy Güçlü Kompakt Uzaylar
Tanım 3.6.1. (X, τ) fuzzy topolojik uzay ve A da X de bir fuzzy küme olsun. Eğer
( )
A≤ A
o
olacak biçimdeyse A ya ön-açık fuzzy küme denir. X deki bütün ön-açık
fuzzy kümelerin ailesi PO(X) ile gösterilir [5].
Tanım 3.6.2. (X, τ) fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer X in her ön-açık örtüsünün
sonlu bir alt örtüsü varsa (X, τ) ya fuzzy güçlü kompakt uzay denir [5].
Tanım 3.6.3. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : X→Y bir fonksiyon
olsun. Eğer Y deki her fuzzy açık kümenin ters görüntüsü X de ön -açık fuzzy küme
ise f fonksiyonuna ön sürekli fonksiyon adı verilir [5].
46
Tanım 3.6.4. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : X→Y bir fonksiyon
olsun. Eğer Y üzerindeki her fuzzy ön-açık kümenin ters görüntüsü X de ön -açık
fuzzy küme ise f fonksiyonuna M-ön- sürekli fonksiyon denir [5].
Tanım 3.6.5. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : X → Y bir fonksiyon
olsun. Eğer X deki her fuzzy ön-kapalı kümenin f altındaki görüntüsü Y de ön kapalı fuzzy küme ise, f fonksiyonuna M-ön -kapalı fonksiyon denir [5].
Tanım 3.6.6. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve PO(X) ailesini alt taban
olarak kabul eden X üzerindeki fuzzy topolojik uzay τφ ile gösterilsin. Eğer,
f : (X, τφ)→(Y, τ′ ) fonksiyon fuzzy sürekli ise f : X→Y fonksiyonuna φ-sürekli
fonksiyon denir. Eğer, f : (X, τφ) → (Y, τ′ φ) (burada τ′ φ , PO(Y) ailesini alt taban
kabul eden Y deki fuzzy topolojiyi göstermektedir) fonksiyon fuzzy sürekli ise
f : X → Y fonksiyonuna, φ′ -sürekli fonksiyon denir [5].
Teorem 3.6.1. (X, τ) fuzzy topolojik uzayının fuzzy güçlü kompakt olması için
gerekli ve yererli koşul X in her sonlu arakesit özelliğine sahip ön-kapalı kümelerden
oluşan {Ai : i ∈ I} ailesi için ∧ {Ai : i ∈I} ≠∅ olmasıdır [5].
İspat: (⇒): X fuzzy güçlü kompakt uzay ve {Ai: i ∈ I} ailesi sonlu arakesit özelliğine
sahip X in ön-kapalı kümelerden oluşan bir ailesi olsun.
∧ {Ai : i ∈ I}=∅ olduğunu varsayalım. Bu durumda ∨ {1−Ai : i∈I} = X olduğundan
{1 − Ai : i∈I}ailesi X in bir fuzzy ön-açık örtüsü olur. X fuzzy güçlü kompakt
olduğundan en az bir sonlu J⊆I kümesi için ∨{1 − Ai : i ∈J} = X dir. Böylece
∧ {Ai : i ∈ I} = ∅ olur ki bu da sonlu arakesit özelliği ile çelişir. Öyleyse;
∧ {Ai : i ∈ J} ≠ ∅ dir.
(⇐): {Ai : i ∈ I} ailesi X in fuzzy ön-açık örtüsü olsun. X in fuzzy güçlü kompakt
olmadığını varsayalım. O halde her sonlu J⊆I kümesi için ∨{Ai : i∈J}≠ X olur.
Buradan ∧{1 − Ai : i∈J}≠∅ elde edilir. O halde ∀ i∈J⊆I için 1 − Ai fuzzy ön-kapalı
olduğundan hipotezden ∧{1−Ai : i∈∆}≠X ve dolayısıyla ∨{Ai : i ∈J} ≠ X elde edilir
47
ki bu da {Ai : i ∈ J} ailesinin X in örtüsü olmasıyla çelişir. O halde X fuzzy güçlü
kompakttır.
Teorem 3.6.2 (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve PO(X) ailesinin alt taban
olduğu X üzerindeki fuzzy topolojik uzay τφ olsun. Eğer f : (X, τφ ) → (Y, τ′ )
fonksiyon ön sürekli ise f fonksiyonu φ-süreklidir [5].
İspat: B ∈ τ′ olsun. f ön sürekli olduğundan f−1(B) fuzzy ön-açıktır. PO(X) ailesi τφ
için alt taban olduğundan f−1(B)∈τφ olur. O halde f fonksiyonu φ -süreklidir.
Teorem 3.6.3. (X,τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar, τφ ve τ′ φ sırasıyla X ve Y
üzerindeki PO(X) ve PO(Y) ailelerinin alt taban olduğu fuzzy topolojik uzaylar
olsunlar. Eğer f : (X, τ)→(Y, τ′ ) fonksiyonu M-ön-sürekli ise, f fonksiyonu φ′ süreklidir [5]. İspat: f fonksiyonu M-ön-sürekli ve A∈ τ′ φ olsun. O zaman her i = 1,2, ..., n için,
i
Bni ∈PO(Y ) olmak üzere
{
}
n
A = ∨ ∧ Bini : i ∈ I
i =1
olur. Buradan
{
}
⎡ n
f −1 ( A ) = f −1 ⎢∨ ∧ Bini : i ∈ I
⎣ i =1
{
}
n
⎤
= ∧
f −1 ( Bini ) : i ∈ I ∨
⎥
i =1
⎦
bulunur. f fonksiyonu M-ön-sürekli olduğundan her i ∈ I için f −1 ( Bini ) ∈PO(X) dir.
O halde f−1(A) ∈ τφ olur. Dolayısıyla f fonksiyonu M- φ′ -süreklidir.
Teorem 3.6.4. (Alexander Alt Taban Teoremi)
(X,τ) bir fuzzy topolojik uzay ve S ⊆ P(X), τ nun herhangi bir alt tabanı olsun. Bu
durumda aşağıdakiler denktir;
a) (X, τ) fuzzy kompakttır.
48
b) (X,τ) fuzzy topolojik uzayının S nin bazı elemanlarından oluşan her
örtüsünden sonlu bir alt örtü seçilebilir [16].
Teorem 3.6.4. (X, τ) bir fuzzy topolojik uzay ve PO(X) ailesinin alt taban olduğu X
üzerinde fuzzy topoloji τφ olsun. Bu durumda (X, τ) nin fuzzy güçlü kompakt olması
için gerek ve yeter şart (X, τφ ) fuzzy kompakt olmasıdır [5].
İspat: ( ⇒):Alexander alt taban teoreminden açıktır.
(⇐): (X, τφ ) fuzzy kompakt olsun. { Ai : i ∈ I} ailesi, X in fuzzy ön-açık örtüsü
olsun. Her i ∈ J için Ai∈PO(X) ⊆ τφ olduğundan {Ai : i ∈ I} ailesi (X, τφ ) in bir açık
örtüsü olur. (X, τφ ) fuzzy kompakt olduğundan en az bir sonlu J⊆ I için{Ai : i∈J}= X
dir. O halde (X, τ) fuzzy güçlü kompakttır.
Teorem 3.6.5. (X, τ) fuzzy güçlü kompakt uzay olsun. Bu durumdan X deki her τφ kapalı fuzzy kümesi fuzzy güçlü kompakttır [5].
İspat: A, X de fuzzy τφ kapalı bir küme ve {Ai : i∈I} ailesi A kümesinin τφ ön -açık
örtüsü olsun. PO(X) ⊆ τ φolduğundan {Ai : i ∈I} ailesi fuzzy açık kümelerden oluşur.
X \ A ve τφ açık olduğundan {Ai : i∈I}∪(X \ A) ailesi X in τφ açık örtüsü olur. (X, τ)
fuzzy güçlü kompakt olduğundan (X, τφ ) fuzzy kompakt olur. O halde J ⊆ I sonlu
alt kümesi için X =∨{ Ai : i ∈I } ∪ (X\A). Buradan A≤∨{Ai : i∈J }elde edilir.
Böylece A, X e göre fuzzy güçlü kompakt olur.
Teorem 3.6.6. (X, τ) fuzzy güçlü kompakt uzay olsun. Bu durumda sonlu arakesit
özelliğe sahip X in her τφ -kapalı kümelerinin {Ai : i∈J} ailesi için ∧{Ai : i ∈ J} ≠∅
dir [5].
49
İspat: X fuzzy güçlü kompakt uzay ve {Ai : i ∈ I} } ailesi sonlu arakesit özelliğine
sahip τφ -kapalı kümelerin bir ailesi olsun. ∧{Ai : i∈I}=∅ olduğunu varsayalım.
Buradan ∨{1−Ai : i∈I} = X elde edilir. O halde {1−Ai : i ∈ I} ailesi X in τφ açık
örtüsü olur. (X,τ) fuzzy güçlü kompakt olduğundan (X, τφ ) kompakt olur. Böyece en
az bir sonlu J ⊆ I için ∨{1 − Ai : i∈J} = X vardır. Bu ise ∧{Ai : i∈J} =∅ dır. Bu da
sonlu arakesit özelliği ile çelişir. O halde ∧{Ai : i ∈ I} ≠∅ dir.
3.7. Fuzzy α-Kompakt Topolojik Uzaylar
Tanım 3.7.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzayında ϕ ⊂ IX fuzzy kümelerin bir ailesi ve
α∈[0,1] olsun. Her x∈X için Ui(x) > α olacak şekilde bir U∈ ϕ fuzzy kümesi var ise,
ϕ ye X in fuzzy α - örtüsü denir. Eğer, Ω ⊆ ϕ alt ailesi X in α - örtüsü oluyor ise,
Ω ye ϕ nun fuzzy α-alt örtüsü adı verilir. ϕ nun her elemanı fuzzy açık (fuzzy
kapalı) küme ise, ϕ ya fuzzy açık (fuzzy kapalı) α- örtüsü denir [17].
Tanım 3.7.2. (X,τ) fuzzy topolojik uzay olsun. X in her fuzzy açık α - örtüsünden
sonlu bir α-alt örtüsü seçilebilirse, X e fuzzy α-kompakt uzay denir [17].
Tanım 3.7.3. (X,τ) fuzzy topolojik uzayında A = {Ai : i ∈I} fuzzy kümelerin bir
ailesi ve α∈I olsun. Her A1, A2, …,An∈ A, k = 1,2,.., n için Ak(x) ≥ αc olacak
şekilde bir x∈X ise, A ya α-merkezli denir [11].
Teorem 3.7.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı α-kompaktır ⇔X deki fuzzy kapalı
kümelerin her α-merkezli A = {Ai : i ∈I} ailesi ve her A∈ A için, A (x) ≥ αc olacak
şekilde bir x∈X vardır [11].
İspat: (⇒) : X deki fuzzy kapalı kümelerin α-merkezli ailesi A ve her x∈X için,
50
A (x)< αc olacak şekilde bir A∈ A olsun. O zaman, ϕ = {Aci : A∈A } ailesi, X in
fuzzy açık α-örtüsüdür. Ancak ϕ nin sonlu bir α-alt örtüsü yoktur. Çünkü,
A1c , A c2 ,..., A cn ∈ ϕ ise, A α-merkezli olduğundan, her k = 1,2,...,n için Ak(x) ≥αc
olacak şekilde bir x ∈ X vardır. Böylece, her k = l,2,...,n için A ck (x) < α dır. Bu ise
çelişkidir.
(⇐) : ϕ , X in fuzzy açık α-örtüsü olsun, fakat sonlu bir α-alt örtüsü olmasın. O
zaman, A = {Uc : U∈ ϕ } , X in fuzzy kapalı kümelerinin α-merkezli ailesidir.
Çünkü, A1c , A c2 ,..., A cn ∈ ϕ U1c , U c2 ,..., U cn ∈ A ise, her k= l,2,...,n için Uk(x) ≤ α
olacak şekilde bir x ∈ X vardır. Böylece, her k = 1,2,....n için U ck (x) < αc dir. Fakat,
her x ∈ X için U(x)>α olacak şekilde bir U∈ ϕ olduğundan, Uc ∈A ve U c (x) < αc
elde edilir. Bu ise çelişkidir.
Sonuç 3.7.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı α-kompaktır ⇔X deki fuzzy kümelerin her
α-merkezli A = {Ai : i ∈I} ailesi ve her A ∈ A için, cl(A(x)) < αc olacak şekilde bir
x ∈X vardır [11].
Teorem 3.7.2. X ve Y fuzzy topolojik uzaylar ve f : X→Y fuzzy sürekli, örten
fonksiyon olsun. X fuzzy α-kompakt uzay ise, Y de fuzzy α-kompakt uzaydır [11].
İspat: ϕ , Y nin herhangi bir α-örtüsü olsun, f, fuzzy sürekli fonksiyon olduğundan
her U∈ ϕ için f-1(U), X de fuzzy açık kümedir. x ∈ X ise, f(x)∈Y dir. Böylece,
U(f(x)) > α olacak şekilde bir U∈ ϕ vardır. U(f(x)) = f-1(U)(x) > α olduğundan,
f-1( ϕ ) = {f-1(U) : U ∈ ϕ } ailesi, X in fuzzy açık α-örtüsüdür. (X,τ) fuzzy topolojik
uzayı α-kompakt olduğundan, f-1( ϕ ) nin sonlu bir alt ailesi var ,{f-l(U1),...,f-1 (Un)}
sonlu ailesi, f-1( ϕ ) nun α-altörtüsüdür.
Her y ∈Y için, y = f(x) olacak şekilde bir x ∈X vardır. Böylece, bir k vardır ki ;
51
Uk(y) = Uk(f(x)) = f-1(Uk)(x) > α elde edilir. O halde, {Ui : i = l,2,...,n} sonlu ailesi,
ϕ nin α -alt örtüsüdür ve Y fuzzy topolojik uzayı α -kompaktır.
Teorem 3.7.3. (X, τ) ve (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve f : X → Y fuzzy sürekli,
örten fonksiyon olsun. X in fuzzy A alt kümesi X e göre α-kompakt ise, f(A) fuzzy
alt kümeside Y ye göre α-kompakttır [11].
İspat: ϕ = {U: i∈I} ailesi supp(f(A)) nın fuzzy açık α-örtüsü olsun. x∈supp(A) için
f(x)∈f(S(A))= Supp(f(A)) olduğundan bir m var , Vm(f(x))>α ve böylece,
(f-1(Vm))(x) >α dır. Buradan ν ={f-1(Vi):i∈I}ailesi, S(A) nın fuzzy açık α -örtüsüdür.
A fuzzy kümesi X e göre α-kompakt olduğundan, ν nün sonlu bir alt ailesi var
{f-1(Vi):I=1,2,…,n} sonlu alt ailesi ν nün α-alt örtüsüdür.
Her y∈S(f(A)) için y=f(x) olacak şekilde bir x∈S(A) ve bir m vardır ki,
α<f-1(Vm) (x)= Vm(f (x))= Vm (y) dır. Böylece, {Vi:I=1,2,…,n} sonlu ailesi S(f(A))
nın α-örtüsüdür ve f(A) fuzzy kümesi, Y ye göre α-kompakttır
Teorem 3.7.4.f : X→Y fuzzy α-sürekli, örten fonksiyon olsun. X in fuzzy A alt
kümesi X e göre α-kompakt ise, f(A) fuzzy alt kümeside Y ye göre α-kompakttır
[17].
İspat: ϕ = {U; : i∈I}ailesi Supp(f(A)) nın fuzzy açık α-örtüsü ve x∈S(A) için
f(x)=y olsun. Böylece Uiy (f(x))= Uiy (y) >α olacak şekilde bir Uiy ∈ ϕ vardır. ffuzzy α-sürekli olduğundan Vx (x) >α ve f(Vx) ⊆ Uiy olacak şekilde bir Vx∈τ vardır.
Böylece, ν ={ Vx: x∈ Supp(A) }ailesi Supp(A) nın fuzzy açık α -örtüsü olur. A
fuzzy kümesi X e göre α-kompakt olduğundan, ν nün sonlu bir alt ailesi var öyleki
η ={ Vx: x∈ Supp(A0)} sonlu ailesi ν nin α-altörtüsüdür. Her y∈supp(f(A)) için
f(x)=y olacak şekilde bir x∈Supp(A) ve bir Vx ∈ η var
Vx(x)>α olur. f(Vx)(y)>α
52
ve f(Vx) ⊆ Uiy olduğundan, { Uiy : x∈ Supp(A0), f(x) = y } sonlu ailesi Supp(f(A))
nın α-örtüsüdür. Böylece, f(A) fuzzy kümeside Y ye göre α-kompakttır.
3.8. Fuzzy Yerel α-Kompakt Uzaylar
Tanım 3.8.1. (X,τ) fuzzy topolojik uzay ve α∈[0,1) olsun. X deki her bir p fuzzy
noktasının U açık komşuluğu var
U(p)=1 ve SuppU α-kompakt ise, (X,τ) fuzzy
topoojik uzayına α-kompakt denir [19].
Teorem 3.8.1. f: X→Y fuzzy sürekli, fuzzy açık ve örten fonksiyon olsun.
Eğer, X fuzzy topolojik uzayı yerel α-kompakt ise, Y fuzzy topolojik uzayı da yerel
α-kompakttır [19].
İspat: y∈Y ve f(x) = y olsun. X fuzzy topolojik uzayı yerel α-kompakt olduğundan
her x∈X için U(x)=1 olacak şekilde x in bir fuzzy açık U komşuluğu var ve SuppU
kümesi X de α-kompakttır. f, fuzzy açık fonksiyon olduğundan,
f(U)(y)= ∨ {U ( x ) : f ( x ) = y} =1
olacak şekilde f(U) kümesi y nin fuzzy açık komşuluğudur. f fuzzy sürekli
olduğundan Suppf(U) kümesi Y de α-kompakttır. Böylece Y fuzzy topolojik uzayı
da yerel α-kompakttır.
Teorem 3.8.2. f : X→Y fuzzy α-sürekli,fuzzy açık ve örten fonksiyon olsun. X
fuzzy topolojik uzayı yerel α-kompakt ise,Y fuzzy topolojik uzayı da yerel αkompakttır [19].
Ispat: y∈Y ve f(x)=y olsun. X fuzzy topolojik uzayı yerel α-kompakt olduğundan,
her x∈X için U(x)=1 olacak şekilde x in bir fuzzy açık U komşuluğu var ve SuppU
kümesi X e göre α-kompakttır. f(U)(y)= ∨ {U ( x ) : f ( x ) = y} =1 olacak şekilde f(U)
fuzzy kümesi y nin fuzzy
açık komşuluğudur. f fuzzy α-sürekli olduğundan
53
Suppf(U) kümesi Y de α-kompakttır. Böylece Y fuzzy topolojik uzayı da yerel αkompakttır.
3.9. Fuzzy Çarpım Topolojik Uzaylarda Kompaktlık
Tanım 3.9.1. J≠∅ indis kümesi olmak üzere (Xj,τj)j∈J fuzzy topolojik uzaylar ailesi,
X=
∏ Xj
j∈J
f j : X=
fuzzy çarpım kümesi ve ∏ X j → X j
j∈J
izdüşüm
fonksiyonları olsun. ∀ j∈J için f j iz düşüm fonksiyonlarını sürekli kılacak şekildeki
X=
∏ X j fuzzy
j∈J
kümesi üzerindeki en kaba τ topolojisine fuzzy çarpım topolojisi ve
(X,τ) ikilisine de fuzzy çarpım uzayı denir [14,21].
Her x∈X için µ ( x ) >α ( µ ( x ) ≥α)olacak şekilde bir µ∈β var ise β≤IX fuzzy alt
kümelerinin ailesine α-örtü (α *-örtü) denir.
Eğer A herhangi bir küme ise, A nın sonlu alt kümelerinin ailesi 2⎢A⏐dır [20].
I= [0,1]olmak üzere I üzerinde rölatif topoloji olup topolojisi, ℑ = {( α,1] : α ∈ I} ∪ {I}
dur [20].
Eğer τ, X de bir fuzzy topoloji ise, ι ( τ ) , τ fonksiyonlar ailesi için X de başlangıç ve
ℑ , I üzerinde rölatif topolojisi olsun [18].
Tanım 3.9.2. (X,τ) fuzzy topolojik uzayı olsun. Her β≤τ ailesi için sup µ = 1 için
µ∈β
β0∈2⎢β⏐ var ∋ sup µ = 1 ise, (X,τ) fuzzy topolojik uzayına quasi fuzzy kompakt denir
µ∈β0
[20].
54
Tanım 3.9.3. 0≤α<1 olsun. (X,τ) fuzzy topolojik uzaynın her α-örtüsünün sonlu bir
α-alt örtüsü var ise (X,τ) ya α-kompakt denir [20].
Tanım 3.9.4. 0<α≤1 olsun. (X,τ) fuzzy topolojik uzaynın her α*- örtüsünün sonlu bir
α*- örtüsü var ise (X,τ) ya α*-kompakt denir [20].
Tanım 3.9.5. Her bir α∈I\{1} için (X,τ) α-kompakt ise, (X,τ) güçlü fuzzy kompakt
denir [20].
Tanım 3.9.6. Eğer (X, ι ( τ ) ) kompakt ise, (X,τ) ultra- fuzzy kompakt denir [20].
Tanım 3.9.7. (X,τ) fuzzy topolojik uzay olsun. Her bir β≤τ ailesi için sup µ = 1 ve her
µ∈β
ε>0 için β0∈2⎢β⏐ sup µ ≥ α − ε var ise (X,τ) zayıf fuzzy kompakt denir [20].
µ∈βo
Tanım 3.9.8. (X,τ) fuzzy topolojik uzay olsun. Her bir β≤τ ve her bir α∈I için
⎢β⏐
sup µ ≥ α ve her bir α ∈ ( 0, α ] için β0∈2 var ∋ sup µ ≥ α − ε var ise, (X,τ) ya
µ∈βo
µ∈β
fuzzy kompakt denir [20].
{v-1(α,1]: v∈τ, α∈I} ailesi ι ( τ ) için bir alt taban ve her α∈I\{1} için,
ια ( τ ) ={v-1(α,1] : v∈τ} alırsak, bu durumda ια ( τ ) , X de bir topolojidir ve açıkça
ι ( τ ) = sup ια ( τ ) dur. Benzer şekilde her α∈I\{1}, τα={v-1[α,1] : v∈τ }kümesini
α∈I −{1}
oluşturabiliriz. O halde τα X de bir bir topoloji değildir ancak ια* ( τ ) olarak ifade
edilen topoloji için bir tabandır [20].
Önerme 3.9.1. (X,τ) α-kompakt (α*-kompakttır) gerek ve yeter koşul (X,ıα(τ))
( ya da (X,ı*α(τ))) kompaktır [20].
55
İspat: Fuzzy kümelerinin bir β ailesi X in
α-örtüsüdür ancak ve ancak
∨ µ −1 (α,1] = X (veya ∨ µ −1 [α,1] = X ) dır.
µ∈β
µ∈β
Önerme 3.9.2. X bir küme olsun. (Yj,τj)j∈J fuzzy topolojik uzayların bir ailesi ve
bütün j∈J için, fj:X → Yj fonksiyonlar olsun. Bu durumda;
⎛
⎞
ı α ⎜ sup f j−1 ( τ j ) ⎟ = sup f j−1 ı α ( τ j )
⎜ j∈J
⎟ j∈J
⎝
⎠
(
)
dir [20].
İspat: Bilindiği gibi bazı j∈J ve herhangi v∈τj için ( f j−1 ( v ) )
−1
( α,1]
= f j−1 ( v −1 ( α,1])
⎛
⎞
−1
⎜
olup, buradan ια sup f j ( τ j ) ⎟ = sup f j−1 ı α ( τ j ) elde edilir.
⎜ j∈J
⎟
j∈J
⎝
⎠
(
Bütün j∈J için,
γj =
f j−1 ( τ j )
j∈J
)
⎛
⎞
⎛
⎞
alalım. O zaman, sup ⎜ ıα ( τ j ) ⎟ = ı α ⎜ sup γ j ⎟ olduğunu
j∈J ⎝
⎝ j∈J ⎠
⎠
göstermek yeterlidir. Λ bir küme olsun ve her λ∈Λ için Jλ∈2⎢J⏐. Her bir jλ∈Jλ için
alalım.
v jλ ∈ γ jλ
olsun. O halde, ∨ ∧ v −jλ1 ( α,1] = ⎛⎜ sup inf v jλ ⎞⎟
λ∈Λ jλ ∈J λ
⎝ λ∈Λ jλ ∈Jλ
⎠
−1
( α,1]
dir. Bu da
⎛
⎞
gösteriyor ki; sup ια ( γ j ) deki her bir kümenin ια ⎜ sup γ j ⎟ da olduğudur.
j∈J
⎝ j∈J ⎠
Teorem 3.9.1. Eğer (Xj,τj)j∈J fuzzy topolojik uzaylarının bir ailesi olsun. Her j∈J için
⎛
⎞
(Xj,τj) bir α-kompakttır ⇔ ⎜ ∏ X j , ∏ τ j ⎟ α-kompakttır.
j∈J
⎝ j∈J
⎠
İspat: Önerme 3.9.2 den ∏τ
j∈J
j
⎛
⎞
α-kompakttır ⇔ ια ⎜ ∏ τ j ⎟ kompakt olduğu elde
⎝ j∈J ⎠
⎛
⎞
ι (τ )
edilir. Bunuda ια ⎜ ∏ τ j ⎟ = ∏ ια ( τ j ) ve her j∈J için α j kompakt ⇔
⎝ j∈J ⎠ j∈J
∏ ι (τ )
α
j∈J
j
56
kompakt olduğunu göstermek yeterlidir tekrar ifade edelim ki her j∈J içinτj αkompakttır.
Bunu bir önceki teoremden ve güçlü fuzzy kompaktlık tanımından elde edilir. Ayrıca
güçlü fuzzy kompaktlık için bir çarpım teoremi aşağıdaki gibidir [20].
Teorem 3.9.2. Eğer (Xj,τj)j∈J fuzzy topolojik uzaylarının bir ailesi ise bu durumda
⎛
⎞
∀j∈J, (Xj,τj) için güçlü fuzzy kompakttır ⇔ ⎜ ∏ X j , ∏ τ j ⎟ güçlü fuzzy kompak ise
j∈J
⎝ j∈J
⎠
[20].
İspat: Her α seviyesi için teorem 3.9.1 uygulanır.
Ultra fuzzy kompaktlık için aşağıdaki sonucu verebiliriz.
Teorem 3.9.3 Eğer (Xj,τj)j∈J fuzzy topolojik uzaylarının bir ailesi ise bu durumda
⎛
⎞
∀j∈J, (Xj,τj) için ultra fuzzy kompakt ise ⇔ ⎜ ∏ X j , ∏ τ j ⎟ ultra fuzzy kompakttır
j∈J
⎝ j∈J
⎠
[20].
İspat: ıα yerine ı kullanılarak önerme 3.9.1 den ispatı yapılır.
Teorem 3.9.4. (Xj,τj)j∈J fuzzy topolojik uzaylarının bir ailesi fuzzy kompakt ise, bu
⎛
⎞
durumda ⎜ ∏ X j , ∏ τ j ⎟ çarpım uzayı da fuzzy kompakttır [14].
j∈J
⎝ j∈J
⎠
İspat: σ = {f j−1 ( v ) : j ∈ J, v ∈ τ j } deki herhangi bir β ailesi için α>0, ε>0 var ∋ ∀β0 ∈
için supv 0 ≥/ α − ε olduğunu göstermek yeterlidir. Burada supv ≥/ α dır.
v∈β0
v∈β
57
β, böyle bir aile ise, o zaman
{
β j = {v ∈ τ j : f j−1 ( v ) ∈β} . O halde
∀j ∈ J için
}
∀ ( B j ) ∈ 2⏐β⏐için f j−1 ( v ) : v ∈ ( β j ) ∈ 2⏐β⏐ var ve böylece , z ∈ ∏ X j var ∋
0
0
j∈J
( )( )
sup f j−1 ( v )( z ) < α-ε ⇔ sup v ( z j ) < α-ε ⇔ sup v ( z j ) < α- ε 2 - ε 2 .
v∈( β )
v∈( β )
v∈( β )
j 0
j 0
j 0
Her ( B j )0 ∈ 2⏐β⏐
için yukarıdaki eşitsizlikten dolayı ve (Xj,τj)j∈J fuzzy kompaktlığı x j ∈ τ j var ∋
( 2)
supv ( x j ) < α- ε
v∈β j
dır.
Her j∈J için bunun doğruluğu aynıdır.
supv ( x ) = sup
v∈B j
sup
v∈β∧ prj−1
( τj)
( 2 ) <α buluruz.
v ( x ) = sup sup f j−1 ( µ )( x ) = sup sup µ ( x ) ≤α- ε
j∈J µ∈β j
j∈J µ∈β j
j∈J
Aşağıdaki teorem zayıf fuzzy kompaktlığın sonlu çarpanlarla korunduğunu
göstermektedir.
Teorem 3.9.5. Eğer (Xj,τj) , j∈J sonlu sayıda zayıf fuzzy kompakt fuzzy topolojik
⎛
⎞
uzayıları ise, bu durumda ⎜ ∏ X j , ∏ τ j ⎟ çarpım uzayı da zayıf fuzzy kompakttır
j∈J
⎝ j∈J
⎠
[14].
İspat: σ = {f j−1 ( v ) : j ∈ J, v ∈ τ j } deki herhangi β ailesi için ε>0 sayısı var ∋ ∀β0 ∈
2⏐β⏐ için supv ≥/ 1 − ε olduğunu göstermemiz yeterlidir. Burada supv ≥/ 1 dir.
v∈β0
v∈β
β böyle bir aile olsun. Bu durumda βj={v∈τj: f j−1 (x)∈β} olur.
{
}
O halde , ∀ ( B j )0 ∈ 2⏐β⏐ için f j−1 ( v ) : v ∈ ( β j ) ∈ 2⏐β⏐ sahibiz böylece ∃z ∈ ∏1 X j
0
n
var ∋ sup f j−1 ( v )( x ) <1-ε ⇒ sup v ( z j ) <1-ε dir. O halde xj∈Xj var ∋ sup µ ( x j ) <1.
( )0
v∈ β j
x=(x1,…,xn) alınırsa,
( )0
v∈ β j
f ∈β j
58
sup v ( x ) = sup
v∈β
sup v ( x ) = sup sup f j−1 ( µ ) (x) = sup sup µ(x j ) <1
j=1,2,....,n µ∈β j
j=1,2,...,n v∈β∧ f j−1 ( τ j )
j=1,2,....,n µ∈β j
elde edilir.
Zayıf fuzzy kompakt uzaylarının keyfi çarpımlarının zayıf fuzzy kompakt olmadığını
dair aksi bir örnek verelim.
( n)
Örnek 3.9.3. ∀n ∈ IN , In=I ve τn= {α : α sabit }∨{(1- 1
XA
) : A ≤I } olsun. Bu
durumda açıkça ∀n ∈ IN için (In,τn) zayıf fuzzy kompakttır. Çünkü;
( ( ))
⎧⎧ −1
∏ τn =< ⎨⎨f j 1 − 1 n
IN
⎩⎩
XA
{
}
⎫
⎫
: A ≤ I, n ∈ IN ⎬ ∨ α : α sabit ⎬ >
⎭
⎭
Şimdi x∈I için,
( ( n ))
f n−1 1 − 1
Xx
⎧1 − 1
( n)
y n = x ise,
⎪⎩
0
y n ≠ x ise,
( y ) = ⎪⎨
dir.
O halde;
( ( ))
sup f j−1 1 − 1 n
n∈IN,x∈I
Xx
( y ) = 1 dir.
n1 ,...., n k ∈ IN ve x1 ,..., x k ∈ I olsun. Bu
durumda, ⎧ y n1
⎪
⎪
⎪
y ∈ ∏ In = ⎨
IN
⎪
⎪
⎪⎩ y n k
= x1
.
.
.
= xk
( ( n ))
alalım. Böylece sup f n−j1 1 − 1
j= 0,1,2,...,k
XX j ( y )
= 0 dır [14].
59
Bu gösteriyor ki sonlu bir alt aile yok ∋ seçilen ε>0 için ∏ In bütün noktalarında en
IN
az 1-ε da supremuma sahiptir. Böylece, ( ∏ In , ∏ τn ) zayıf kompakt değildir [14].
IN
IN
3.10. Fuzzy Hafif Kompaktlık
Tanım 3.10.1. Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayı bir (Y, τ′ ) fuzzy topolojik uzayına
çarpımsal ilişkili denir, eğer A∈τ ve B∈ τ′ olmak üzere Ac ≥/ C ve Bc ≥/ D olacak
şekilde her C∈IX ve D∈IY fuzzy kümeleri için;
Ac xY ∨ XxBc ≥ BxC olduğunda Ac ≥C ve Bc ≥D özelliğinde ve
Ac xY ∨ XxBc =Ac xY ∨ XxBc
sağlayacak şekilde A1∈τ veya B1∈ τ′ vardır. Eğer A∈X ve B∈Y ve X ile Y
çarpımsal ilişkili ise AxB = AxB dir [21].
Tanım3.10.2. (X,τ) fuzzy topolojik uzayının her sayılabilir açık örtüsü, kapanışlaları
X i örtecek şekilde sonlu bir alt aileye sahip ise, X fuzzy topolojik uzayına hafif
kompakttır denir [21].
Teorem 3.10.1. Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayı hafif kompakttır gerek ve yeter koşul
X in sonlu arakesit özelliğine sahip her bir sayılabilir açık ailesi için
∧ { A j : j ∈ IN}≠∅
dir [21].
Teorem 3.10.2. (X1, τX1 ) ve (X2, τX 2 ) sırasıyla hafif kompakt ve yaklaşık kompakt
uzaylar olsunlar. Eğer X1 ve X2 çarpımsal ilişkili ise bunların fuzzy çarpımlarıda
hafif kompakttır [21].
İspat: X1 ve X2 sırasıyla hafif kompakt ve yaklaşık kompakt uzaylar olsunlar. X1x X2
nin hafif kompakt olduğunu göstermek için Teorem 3.10.1. i kullanalım. Eğer
{A xB }
j
j j∈IN
, Aj∈ τX1 ,Bj∈ τX 2 (j∈IN) sonlu arakesit özelliğine sahip aile ise,
60
∧ { A j xB j : j∈IN}≠∅ dır.
{A
j
: j ∈ IN} ve
{B : j ∈ IN} sırasıyla
j
sonlu arakesit
özelliğine sahip X1 de fuzzy açık kümeler ve X2 de fuzzy düzenli kapalı kümeler
{
}
{
}
olduğu dikkate alınırsa bu durumda A j : j ∈ IN ≠∅ ve B j : j ∈ IN ≠∅, buradan
{
}
{
}
∧ A j ( x1 ) : j ∈ IN ≠∅ ve ∧ B j ( x 2 ) : j ∈ IN ≠∅ olacak şekilde ( x1 , x 2 ) ∈ X1xX 2
vardır.Böylece,
{
} {
{
}
}
∧ { A j xB j ( x 1 , x 2 ) : j ∈ IN}= ∧ ( A j ( x1 ) : j ∈ J ∧ B j ( x 2 ) : j ∈ J )
{
}
= ∧ A j ( x1 ) : j ∈ J ) ∧ ( ∧ B j ( x 2 ) : j ∈ J )≠∅ dir.
3.11. Fuzzy S-Kapalı Uzaylar ve Fuzzy S- Kompakt Uzaylar
Tanım 3.11.1. A, X de bir fuzzy kümesi olsun,
a) B
A B olacak şekilde bir B τ varsa, A ya yarıaçık fuzzy küme
denir.
b) Bo
A B olacakşekilde bir B kapalı kümesi varsa, A ya yarıkapalı
fuzzy küme denir.
c) A hem yarıaçık ve hem de yarıkapalı ise, A ya yarıdüzenli fuzzy küme
denir [22].
Tanım 3.11.2. (X, τ) ve (Y, τ') fuzzy topolojik uzayları ve f: X Y fonksiyonu
verilmiş olsun,
a) Her A τ için f(A) τ' ise, f ye fuzzy açık fonksiyon denir .
b) Her C τ için f(C) yarıaçık ise, f ye fuzzy yarıaçık fonksiyon denir .
c) X de her B yarıaçık kümesi için f (B) kümesi Y de yarıaçık ise, f
fuzzy ön-yarıaçık fonksiyondur denir .
d) Her D τ' için f-1(D), X de yarıaçık ise, f ye fuzy yarısürekli fonksiyon
denir .
e) Y'de her A yarıdüzenli kümesi için f-1(A) kümesi X de yarıdüzenli ise,
f ye fuzzy yarı-kararsız fonksiyon denir [22].
61
Daha önceki konularda da değindiğimiz ve burada da kullanacağımız, aşağıdaki
tanımları bir daha gözden geçirelim.
Tanım 3.11.3.
a) Bir (X, τ) f.t.u kompakttır denir eğer X in her açık örtüsü sonlu bir
altörtü bulundurursa .
b) Bir (X, τ) f.t.u hemen hemen kompakttır denir eğer, X in her fuzzy
açık örtüsü, kapanışları X i örten sonlu bir altörtü bulundurursa .
Bir (X, τ) f.t.u da alınan A fuzzy kümesinin yarıkapanışının
A = ∧ {B: A B, B fuzzy yarıkapalı kümedir}
diye tanımlandığını anımsarsak şu önermenin geçerli oldugunu bilmekteyiz [22].
Önerme 3.11.1. A, X in bir yarıaçık fuzzy kümesi ise, A nın yarıkapanışı A yarı
düzenlidir [22].
Teorem3.11.1. f: X
Y fonksiyonu fuzzy yarısüreklidir gerek ve yeter koşul X in her
A fuzzy kümesi için f(A)
f ( A ) dir [22]..
Bu kesimde yarı açık fuzzy küme tanımından hareketle fuzzy topolojik uzaylarda
tanımlanan S-Kompaktlık ve S-Kapalılıkla ilgili bazı sonuçlar verilecek. Bu
tanımları kısaca hatırlayalım.
Bir (X,τ) f.t.u verilsin. X i her yarı açık örtüsünden (kapanışları-yarıkapanışları) X i
örten sonlu bir alt örtü seçilebiliyorsa X uzayına S-kompakt (S-kapalı, yarı S kapalı)
denir.
Açıktır ki her S-kompakt uzay S-kapalıdır. Bunun tersi doğru değildir.
Teorem3.11.2. Yarı fuzzy S-kapalı bir uzayın fuzzy yarı kararsız görüntüsü Skapalıdır [22].
62
İspat :
f : X Y fonksiyonu fuzzy yarıkararsız ve örten olsun. X uzayı yarı S-kapalı ve
{Ai: i I}, Y nin bir yarı açık örtüsü ise, yarıaçık kümenin yarıkapanışı yarı düzenli
olduğundan {Ai: i I}, Y nin yarıdüzenli kümelerden oluşan örtüsüdür. f yarıkararsız
olduğundan {f-1(Ai),
i I}, X in yarıdüzenli örtüsüdür.
X uzayı yarı S-kapalı
olduğundan, sonlu bir ∆⊂I alt kümesi vardır ki ∨ {f-1( Ai ), i ∆}=X dir. f örten
oldugundan,
Y=f(X)=f( ∨ {f-1( Ai ), i ∆})= ∨ { f(f-1( Ai )), i ∆} ∨ { Ai , i ∆}
∨ A i , i ∆} elde
edilir.
Böylece Y uzayı S-kapalıdır.
Sonuç 3.11.1. Fuzzy S-Kompakt uzayın fuzzy yarıkararsız örten görüntüsü Skapalıdır [22].
İspat: Fuzzy S-kompakt uzay yarı S-kapalı olduğundan Teorem3.11.2. den kolayca
çıkar.
Teorem 3.11.3. Bir fuzzy S- uzayın fuzzy yarısürekli görüntüsü kopmaktır [22].
İspat: f: X
Y fuzzy yarısürekli ve örten bir fonksiyon olsun. {Ai : i I}
Y nin fuzzy açık örtüsü ise, {f-1( Ai ), i I}, X in bir yarıaçık örtüsüdür. Hipotezden
sonlu bir ∆⊂I alt kümesi vardır ki ∨ {f-1( Ai ), i I}=X dir. f nin örtenliğinden
∨ { Ai , i I} Y elde edilir. Böylece Y uzayı kompakttır.
Fuzzy hemen hemen açık fonksiyon tanımı Ganguly ve Saha tarafından verildi. Bir
f: X
Y fonksiyonu hemen hemen açıktır gerek ve yeter koşul Y de her A fuzzy
açık kümesi için
( )
f −1 A = f −1 ( A ) dir. Fuzzy hemenhemen açık fonksiyonu fuzzy
yarıaçık kümelerle karakterize edebiliriz.
63
Önerme 3.11.2. Bir f : X
Y fonksiyonu fuzzy hemen hemen açıktır gerek ve yeter
( )
koşul Y de her A yarıaçık kümesi için f −1 A = f −1 ( A ) dir [22].
İspat (⇒):
f hemen hemen açık ve A, Yde yarıaçık olsun. O zaman bir B açıkkümesi vardır ki
A B A ve f-1( A)
( )
f −1 A
f-1( B)
f-1( A )
f −1 ( A )
f −1 ( B ) dir. B = A olduğundan
f −1 ( A ) elde edilir.
(⇐):Fuzzy açık küme yarıaçık olduğundan açıktır.
Teorem 3.11.4.f, X'den Y üzerine fuzzy hemen hemen açık, yarıaçık bir fonksiyon ve
Y uzayı S-kapalı olsun. X'deki her A yarıaçık kümesi için f −1 ( f ( A ) ) = A ise, X uzayı
hemen hemen kompakttır [22].
İspat: {A i: i I}, X in fuzzy açık örtüsü olsun. O zaman {f(Ai ): i I} ailesi Y nin
yarıaçık örtüsüdür.Y uzayı S-kapalı olduğundan sonlu bir J⊂I altkümesi vardır ki
( )
∨ { f A i :i J
Ydir.
Böylece X= ∨ f-1{ f ( A i ) : i J = ∨ { f ( A i ) :i J f −1 ( f ( Ai ) ) : i J
∨ { A i, i J}
çıkar. X uzayı hemen hemen kompakttır.
Fuzzy ön-yarıaçık fonksiyon yarıaçık olduğundan aşağıdaki sonucu verebiliriz.
Sonuç 3.11.2. f, X'den Y üzerine fuzzy hemen hemen açık, ön-yarıaçık ve Y
uzayı S-kapalı olsun. X'deki her A yarıaçık kümesi için f −1 ( f ( A ) )
S-kapalıdır [22].
A ise, X uzayı
64
3.12. Fuzzy I- Kompakt Uzaylar
Bu kesimde fuzzy düzenli kapalı kümeler kullanılarak I-kompaktlık tanımlanacaktır.
Tanım 3.12.1. Bir (X,τ) f.t.u I-kompakttır denir, eğer X in her fuzzy düzenli kapalı
örtüsü, içleri X i örten sonlu bir altörtü bulundurur [22].
Fuzzy S-kapalı uzaylar için aşağıdaki karakterizasyonverilmiştir:
(X,τ) f.t.u S-kapalıdır gerek ve yeter koşul X in her fuzzy düzenli kapalı örtüsü sonlu
bir altörtü bulundurur. Buradan her fuzzy I-kompakt uzayın S-kapalı olduğu açıktır.
Bunun tersi genelde doğru değildir.
.
Örnek 3.12.1. X = {a, b, c, d} olsun. X üzerinde {fn, gn, hn, kn : n = 1,2, ...}
ailesinin alttaban olduğu fuzzy topoloji τ' ile gösterelim [22].
Burada;
fn (a) =1- 1 n , fn (b)=1-1 n, , fn (c)= 1 2 , fn (d) = 1-1 n ,
gn (a) = 1-1 n, gn (b) = 1 2, gn (c) = 1-1 n,, gn (d) = 1-1 n,,
hn (a) = 0, hn (b) = 0, hn (c) = 1 2, hn (d) = 1 n,,
kn (a) = 1 n, kn (b) = 1 2,
kn (c) = 0, kn (d) = 0
dir [9].
Bu durumda f n (a) = f n (b) = g n (c) = g n (d) = 1 olduğundan { f n , g n : n = 1,2, ...}
fuzzy düzenli kapalı örtüdür. S-kapalılık için verilen karakterizasyon gereğince, bu
düzenli kapalı örtüden sonlu altörtü seçilebilir. Böylece (X, τ ') fuzzy topolojik uzayı
65
( )
o
S-kapalıdır. Diğer taraftan (fn)ove (gn)o fuzzy kümeleri düzenli açıktır. Yani f n =fn,
( g ) =g
o
n
n
( ) , ( g ) : n =1,2, } örtüsünden sonlu altörtü seçilemez. O
dir. Fakat { f n
o
o
n
halde (X,τ ') uzayı I-kompakt değildir.
Fuzzy yarıaçık kümelerle I-kompaktlığı karakterize etmek mümkündür.
Teorem 3.12.1.Bir (X, τ) fuzzy topolojik uzayı I-kompakttır gerek ve yeter koşul X
in her fuzzy yarıaçık örtüsü, kapanışlannın içi X i örten sonlu altörtü bulundurur [22].
İspat (⇒): {A i: i I}, X in yarıaçık örtüsü ise, { A i: i I X in düzenli kapalı
örtüsüdür.
( )
o
X uzayı I-kompakt olduğundan sonlu bir J⊂I altkümesi vardır ki ∨ { A i : i J} X
dir.
(⇐):Fuzzy düzenli kapalı küme yarıaçık olduğundan istenen hemen elde edilir.
Teorem 3.12.2. Bir f : X Y fonksiyonu fuzzy sürekli, örten ve X uzayı I-kompakt
ise Y uzayı hemen hemen kompakttır [22].
İspat: {A i: i I},Y nin fuzzy açık kümelerden oluşan örtüsü olsun. f fuzzy sürekli
olduğundan {f-1 (Ai): i I}, X in fuzzy açık örtüsüdür. Buradan{ f −1 ( A i ) : i I} X in
düzenli kapalı örtüsü olup X in I-kompaktlığından sonlu bir J⊂I a1tkümesi vardır ki
(
( ))
−1
X= ∨ { f A i
(
o
, i J}dir. f nin süreklilği ve örtenliğiden,
( ))
−1
Y=f(X)=f( ∨ { f A i
o
, i J})
=∨ {
∨ {
( )
f (f −1 A i )
( )
f (f −1 A i )
, i J}
, i J}
66
∨ {
( )
f (f −1 A i )
= ∨ { A i: i J
kompakttır.
, i J}
67
4. SONUÇ VE ÖNERİLER
Klasik
topoloji
ile
fuzzy
topolojisinin
kompaktlıkla
ilgili
kavramları
karşılaştırılmıştır. Bunlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Kompaktlık kavramı
fuzzy topolojik uzaylarda geniş bir şekilde ele alınmış, kompaktlık çeşitleri
arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Bu çeşitler arasındaki tek yönlü ve çift yönlü
geçişlere yer verilmiştir.Klasik topolojideki kompaktlık kavramı yerine fuzzy
kompaktlıkta daha geniş uygulama alanı olacağı açıktır. Klasik kompaktlık yerine
fuzzy kompaktlığın kullanılması bir çok kolaylığı sağlayacaktır.
68
KAYNAKLAR
1. Alaca, C., "Fuzzy Uzaylarında Süreklilik", Gazi Üni Üniversitesi Fen Bilimleri
Ensit. Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, (2001)
2. Yıldız, C., " Genel Topoloji", Gazi Üni. Basımevi. Ankara, (1999)
3. Pu Pao -Ming Liu Ying Ming, "Fuzzy Topology I. Neighborhood structure of
fuzzy point and Moore Smith convercenge", Journal of Matematical Analysis
and applications , 76: 571-599 (1980).
4. Zadeh, L. A., "Fuzzy Sets" , Information and Control, 8: 338 – 358 (1965).
5. Nanda, S., "Strongly Compact Fuzzy Topological Spaces", Fuzzy Sets and
Systems,42: 259-262 (1991).
6. Eş, A H., and "Almost Compactness and Near Compactness İn Fuzzy Topological
Spaces",Fuzzy Sets and Systems, 22: 289-295 (1987).
7. Chang, C. L, "Fuzzy Topological Spaces", Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 24: 182- 190 (1968).
8. Azad, K. K.,"On Fuzzy Semicontinuity, Fuzzy Almost Continuity and Fuzzy
Weakly Continuity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 82: 14
-32 (1981).
9. De Parada Vi cente, M., A, "Fuzzy Filters", Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 129: 560-568 (1989).
10. Liu Yıng-Ming and Luo Mao-Kang, "Fuzzy Topology", World Scientific
Publishing 9, 147-177 (1998).
11. Gantner T. E.,Steinlage R.c., Warren R.H, " Compactness İn Fuzzy Topologial
Spaces" Journal of Mathematical Analysis and Applications, 62:547-562
(1978).
12. Wong C., K., "Covering Properties of Fuzzy Topological Space",Journal of
Mathematical Analysis and Applications, 43;697-704 (1973).
13. Chattopadhyay, K. C., Hazra, R. N., Samanta, S. K., "Gradation of Openness
Fuzzy Topology", Fuzzy Sets and Systems, 49, 237 - 242 (1992).
14. Lowen R., "İnital Final Fuzzy Topological and The Fuzzy Tycnoff Therom",
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 11-21(1977).
69
15. Concilio, A. D. and Gerla, G., 1984, "Almost Compactness İn Fuzzy Topological
Spaces", Fuzzy Sets and Systems, 13: 187 – 192 (1984).
16. Günel, G., "Pürüssüz Topolojik Uzaylarda Kompaktlık ve Çeşitli Kompaktlık
Türleri" Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Ensit. Matematik Anabilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi, (2006).
17. Mashhour, A.S.,Ghanım, M.H., Fath, Alla M.A., "α.-Separation Axioms And
α-Compactness İn Fuzzy Topological Spaces" The Rocky Mountain”, Journal
of Mathematical Analysis and Applications, 16 (3): 591-600 (1986).
18. Lowen, R., "Fuzzy Topological Spaces and Fuzzy Compactness", Journal of
Mathematical Analysis and Applications , 56: 621-63(1976).
19. Malghan, S. R., Benchalli, S. S., "Open Maps and Local Compactness in Fuzzy
Topological Space" Journal of Mathematical Analysis and Applications,
99:338-349 (1984).
20. Lowen, R., "A Comparison of Different Compactness Notions Compactness ın
Fuzzy Topological Spaces" , Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 64: 446-454 (1978 ).
21. Gürsul, F., "Belirsiz Topolojik Uzaylarda Kompaktlıklar" Hacettepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Ensit. Matematik Anabilim Dalı Bilim Uzmanlığı Tezi, (2006).
22. Çoker D., Eş H. "Belirsiz Topolojik Uzaylarda S-Kapalılık ve I-Tıkızlık"
www.fergi.hacettepe.edu.tr. (1990)
70
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, Adı
: AKŞİT KAYA, Aslı
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 01.03.1972 Acıpayam
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (312) 2130064
e-mail
: [email protected].
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Lisans
Gazi Üniversitesi/ Matematik Bölümü
1996
Lise
Denizli Cumhuriyet Lisesi
1989
İş Deneyimi
Yıl Yer Görev
1996-1998 Uşak Merkez Karacahisar Köyü İköğretimokulu
1998 Ankara ATO 65. Yıl İlköğretim Okulu
1998 -2009 Ankara Balgat Anadolu-Teknikve Endüstri Meslek Lisesi
2009 Ankara Bahçelievler Anadolu Lisesi
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Resim yapmak