1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasının Idealleri ve Zero

1. Sürekli Fonksiyonlar
Halkasının Idealleri ve Zero
Filterler
X topolojik uzay olmak üzere, X’den R’ye tanımlı sürekli fonksiyonların kümesini C(X) ile göstermiştik. f ,g ∈ C(X) için,
(f + g)(x) = f (x) + g(x) ve (f g)(x) = f (x)g(x)
olarak tanımlanan cebirsel işlemlere göre, C(X) bir halkadır. Üstelik, C(X)
halkası
(αf )(x) = αf (x)
olarak tanımlanan işleme göre bir cebirdir.
I ⊂ C(X) için
Z[I] = {Z(f ) : f ∈ I}
gösterimi kullanmakla birlikte, Z[C(X)] yerine Z(X) yazarız. Z(X) her elemanına sıfır küme demiştik. F ⊂ Z(X) için,
Z −1 [F] = {f ∈ C(X) : Z(f ) ∈ F}
gösterimi kullanılacaktır.
Filtre türü belirli aksiyomları sağlayan Z(X)’nin altkümelerine sıfır filtre
(z-filte) diyeceğiz. I, C(X)’nin bir ideali ise, Z[I] bir z-filtre olacaktır. Benzer
biçimde, F bir z-filtre ise, Z −1 [F] bir ideal olacaktır.
Bu kısımda, genel olarak C(X)’nin ideallerinden z-filtrelere tanımlı olan
I → Z[I]
dönüşümünün yapısı incelenecek, z-filtrelerin yakınsaması, yığılma noktası v.b.
tanımlamalarla X’nin bazı topolojik betimlemeleri verilebilecektir.
Bu bölümde aksi belirtilmedikce, ideallerin proper, yani C(X) halkasından
farklı olduğu varsayılacaktır.
1.1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasında Ideal ve z-Filtreler
1.1
3
Sürekli Fonksiyonlar Halkasında Ideal ve z-Filtreler
Giriş yazısındaki notasyonlara sadık kalarak aşağıdaki tanımı verebiliriz.
Tanım 1.1. X bir topolojik uzay olsun. Boş kümeden farklı F ⊂ Z(X)
kümesi,
(i) ∅ 6∈ F
(ii) Z1 , Z2 ∈ F iç Z1 ∩ Z2 ∈ F
(iii) Z1 ∈ F, Z2 ∈ Z(X) ve Z1 ⊂ Z2 ise Z2 ∈ F
özelliklerini sağlıyorsa, F’ye X’de sıfır filtre ya da z-filtre denir.
Aşağıdaki Theorem bir topolojik uzayında z-filtre kavramının yeterince
zengın olduğunu söyler.
Örnekler
1.1. X bir topolojik uzay ve B ⊂ Z(X) kümesinin sonlu arakesit özelliği varsa,
F = {∩B∈B0 : B0 ⊂ B
sonlu}
kümesi bir z-filtredir.
1.2. X ayrık topolojik uzay olsun. F’nin X’de filte olması için gerekli ve yeterli koşul z-filtre
olmasıdır.
1.3. X bir topolojik uzay ve F, X’de bir filtre olsun. F ∩ Z(X) bir z- filtredir.
Aşağıdaki teorem, bir yönüyle C(X) halkasının idealleri üzerinden, z- filtrelerin önemine işaret eder.
Teorem 1.1. X bir topolojik uzay olsun, I ⊂ C(X) bir ideal ve F ⊂ Z(X),
z- filtre olsun.
(i) Z[I] bir z-filtredir.
(ii) Z −1 [F] bir idealdir.
Kanıt:
(i):
- ∅ 6∈ Z[I]: Tersini varsayalım. ∅ = Z(f ) özelliğinde f ∈ I vardır. Her
x ∈ X için f (x) 6= 0 olduğundan, f1 tanimlı ve süreklidir.
1 = f f1 ∈ I
eçitliğinden I = C(X) elde deilir ki, bu çelişkidir.
- Z[I] sonlu arakesit işlem kapalıdır: f ,g ∈ I verilsin. f 2 + g 2 ∈ I olmasından,
4
1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasının Idealleri ve Zero Filterler
Z(f ) ∩ Z(g) = Z(f 2 + g 2 ) ∈ Z(I)
eşitliğiyle istenilen gösterilir.
- f ∈ I, g ∈ C(X) fonksiyonları Z(f ) ⊂ Z(g) özelliğinde olsunlar.
Z(g) = Z(f ) ∪ Z(g) = Z(f g) ∈ Z(I)
dır.
Z[I]’nın z-filtre olduğu gösterilmiş olur.
(ii): J = Z −1 [F] diyelim. 1 6∈ J olduğu bariz. f ,g ∈ J ve h ∈ C(X) verilsin.
Z(f ), Z(g) ∈ F olduğundan Z(f ) ∩ Z(g) ∈ F. Ayrıca, Z(f ) ∩ Z(g) ⊂ Z(f − g)
olmasından, Z(f − g) ∈ F, yani f − g ∈ J dir. Benzer biçimde, Z(f ) ⊂ Z(f h)
olmasından, Z(f h) ∈ F, yani f h ∈ J dir. Böylece, J’nin bir ideal olduğu
gösterilmiş olur.
X topolojik uzay, I, C(X)’nin bir ideali ve F, X’nin bir sıfır kümesi olmak
üzere,
Z[Z −1 [F]] = F ve Z −1 [Z[I]] ⊃ I
olduğunu göstermek zor değildir. Aşağıdaki örnek, genelde
Z −1 [Z[I]] = I
olmayacağını gösterir.
Örnekler
1.4. i : R → R, i(x) = x olarak tanımlansın. < i >, C(R)’de i tarafından úretien topolojik
uzay olmak üzere,
- 0 ∈ ∩Z[< i >].
- Z[< i >] = {Z(f ) : f (0) = 0}
1
- i 3 ∈ Z −1 [Z[< i >]] \ I.
- Z −1 [Z[< i >]] maksimal idealdir.
Alıştırmalar
1.5. X, topolojik uzay, I, C(X)’nin bir ideali ve F, X’de bir sıfır filtre olsun.
Z[Z −1 [F]] = F ve I ⊂ Z −1 [Z[I]]
olduğunu gösteriniz.
1.6. Yukarıda verilen Örnek ??? de geçenlerin doğruluğunu gösteriniz.
1.7. X = N discrete topolojik uzay olmak üzere,
c0 = {f ∈ Cb (X) : f (n) → 0}
1.1. Sürekli Fonksiyonlar Halkasında Ideal ve z-Filtreler
5
olarak tanımlansın. c0 , Cb (X) halkasının bir ideali olmasına karçın, Z[c0 ]’nın X uzayında
bir z-filtre olmadığını gösteriniz. Bu durum, Theorem ???(i) ile çelişir mi?
1.8. C(R) halkasında i(x) = x fonksiyonu trafından idealin
0
< i >= {f ∈ C(R) : f (0) = 0, f (0)
olduğunu gösteriniz.
var}