ST165-01-02-OLASILIK I 08/11/2012 OLASILIK PROBLEMLER IV (OLASILIK 1. X FONKSYONLARI, OLASILIK YOUNLUK FONKSYONLARI VE DAILIM FONKSYONLARI ) sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: fX (x) Buna göre, Çözüm : P X ≤ b = 2P X > b = 2x , 0 ≤ x ≤ 1 ise = 0 , di§er x de§erleri olacak biçimde bir b için says bulunuz. Olaslklar: P X≤b P X>b b Z = 0 1 Z = b b 2xdx = x2 0 = b2 1 2xdx = x2 b = 1 − b2 olur. Bu durumda, P X ≤ b = 2P X > b 2 2 b = 2 ∗ (1 − b ) =⇒ r olarak bulunur. 2. X 0<b<1 olaca§ için, b= r 2 b = 3 2 =⇒ =⇒ b=± 2 3 2 'tür. 3 sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: fX (x) (a) a = ax , 0 ≤ x ≤ 1 ise = a , 1 ≤ x ≤ 2 ise = a(3 − x) , 2 ≤ x ≤ 3 ise = 0 , di§er x de§erleri için sabitini bulunuz. (b) Bulunan a 1 5 5 P ≤ X ≤ /X ≤ 2 3 3 de§erini yerine koyarak, ko³ullu olasl§n bulunuz. Çözüm : (a) X sürekli raslant de§i³keninin tanm kümesi üzerinden, alnd§nda bire e³ittir. Bu durumda, a fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali sabiti +∞ Z fX (x)dx = 1 −→ −∞ : fX (x)dx = 1 a(3 − x)dx = 1 = 1 = 1 Alt Snr, +∞ : Üst Snr −∞ 1 Z 2 Z 0 fX (x)dx + 1 1 Z 2 Z axdx + 0 3 Z fX (x)dx + 2 3 Z adx + 1 2 1 3 ax2 x2 2 + ax| + a 3x − 1 2 0 2 2 a 5a + a + 3a − 2 2 HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ =⇒ a= 1 2 1 ST165-01-02-OLASILIK I OLASILIK PROBLEMLER IV olarak elde edilir. Buna göre, X 08/11/2012 sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu: fX (x) = = = = x 2 1 2 3−x 2 0 , 0≤x≤1 ise , 1≤x≤2 ise , 2≤x≤3 ise , di§er x de§erleri için olarak yazlr. (b) fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonuna göre, ko³ullu olaslk: Z 1 Z 5/3 x 1 1 5 dx + dx ≤X≤ 2 2 2 3 1/2 1 = Z 1 Z 5/3 5 x 1 P X≤ dx + dx 3 2 2 0 1 1 x 5/3 x2 5 1 1 1 + ∗ 1 − ∗ − 1 + 4 1/2 2 1 4 4 2 3 5/3 = 2 1 1 5 1 x x + ∗ −1 + 4 2 3 4 0 2 1 25 48 = 25 7 28 12 P 1 5 5 ≤ X ≤ /X ≤ 2 3 3 P = = = olarak elde edilir. 3. X kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: pX (x) (a) A (b) X 'in x−1 3 = A 4 = 0 , x = 1, 2, 3, . . . , di§er x ise de§erleri için sabitinin de§erini bulunuz. da§lm fonksiyonunu bulunuz. Çözüm : (a) X kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir. durumda, A Bu sabiti +∞ X pX (x) = 1 = 1 = 1 x=1 +∞ x−1 X 3 A 4 x=1 0 1 2 3 3 3 3 3 A + + + + ... 4 4 4 4 1 A 1 − 34 4A HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ = 1 −→ = 1 =⇒ 3 ≤1 4 1 A= 4 oldu§u için 2 ST165-01-02-OLASILIK I OLASILIK PROBLEMLER IV olarak elde edilir. Buna göre, X 08/11/2012 kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu: pX (x) 1 4 0 = = x−1 3 4 , x = 1, 2, 3, . . . , di§er x ise de§erleri için olarak yazlr. (b) X 'in da§lm fonksiyonu, alt snrndan x de§erine FX (x) FX (x) = P X ≤ x 'tir. FX (x)'i elde etmek kadar pX (x) olaslk fonksiyonunun toplam = = = x X amacyla, X 'in tanm kümesinin alnr: pX (t) t=1 x X 3 x−1 1 3 0 3 1 3 2 1 3 t−1 = + + + ... + 4 4 4 4 4 4 4 t=1 x 3 x 1 1− 4 3 =1− 4 4 1 − 34 Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir: FX (x) X 'in = 1− = = 0 1 x 3 4 , x = 1, 2, 3, . . . , , x < 1 ise x → +∞ ise ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: +∞ 3 4 | {z } FX (+∞) = 1 − =1 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) (4+∞ ) de§eri, (3+∞ ) de§erinden daha hzl büyümektedir. Bu nedenle, sayi = 0 ±∞ 4. X kuralindan sfra e³it olur. kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: pX (x) (a) a = 2ax , x = 1, 2, 3 ise = a(1 + 2x) , x = 4, 5, 6, 7 ise = 0 , di§er x de§erleri için sabitini bulunuz. (b) Bulunan a de§erini yerine koyarak, P X =2 olasl§n ve P X < 3/X ≤ 4 ko³ullu olasl§n bulunuz. (c) X 'in da§lm fonksiyonunu bulunuz. (d) X 'in da§lm fonksiyonunu yardmyla, P X≥5 olasl§n bulunuz. Çözüm : (a) X kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir. HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ Bu 3 ST165-01-02-OLASILIK I durumda, a OLASILIK PROBLEMLER IV 08/11/2012 sabiti 7 X pX (x) = 1 a(1 + 2x) = 1 X 7−3 3 X 2a x + a 1 + 2(x + 3) = 1 = 1 = 1 = 1 x=1 3 X 2ax + x=1 x=1 7 X x=4 x=4−3 X 4 3∗4 + 2a 7a + 2ax 2 x=1 4∗5 12a + 7a ∗ 4 + 2a 2 60a olarak elde edilir. Buna göre, X =⇒ a= 1 60 kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu: pX (x) = = = x 30 1 + 2x 60 0 , x = 1, 2, 3 , x = 4, 5, 6, 7 , di§er x ise ise de§erleri için olarak yazlr. (b) X kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonuna göre, 1 2 = P X=2 = 30 15 ve 2 X x 30 x=1 1 3 ∗ (1 + 2) P 1≤X≤2 2 30 30 P X < 3/X ≤ 4 = = 3 = = = 1 1+2∗4 21 7 X x P X≤4 ∗ (1 + 2 + 3) + + p(4) 30 60 60 30 x=1 olarak elde edilirler. (c) pX (x) olaslk fonksiyonu, parçal bir fonksiyondur. Bu nedenle, FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonuda parçal bir fonksiyon olacaktr. Parçal da§lm fonksiyonunu elde etmek için, pX (x) olaslk fonksiyonunun her bir parças ayr ayr dü³ünülecektir: 1. Parça: FX (x) = x X t=1 pX (t) = x X x ∗ (x + 1) t 1 x ∗ (x + 1) = = , x = 1, 2, 3 30 30 2 60 t=1 HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ ise 4 ST165-01-02-OLASILIK I 2. OLASILIK PROBLEMLER IV 08/11/2012 Parça: FX (x) x X = pX (t) t=1 = x 3 X X 1 + 2t t + 30 60 t=4 t=1 = FX (3) + x−3 X t=4−3 3∗4 + 60 = x−3 X t=1 1 + 2(t + 3) 60 7 + 2t 60 x−3 X 1 12 + t 7 ∗ (x − 3) + 2 60 60 t=1 (x − 3) ∗ (x − 2) 12 1 + 7x − 21 + 2 60 60 2 1 7x − 9 + (x − 3) ∗ (x − 2) 60 = = = x2 + 2x − 3 , x = 4, 5, 6, 7 60 = ise Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir: FX (x) = = = = X 'in x ∗ (x + 1) 60 x2 + 2x − 3 60 0 1 , x = 1, 2, 3 , x = 4, 5, 6, 7 , , x<1 x≥7 ise ise ise ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: FX (7) = (d) X 'in 72 + 2 ∗ 7 − 3 =1 60 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) da§lm fonksiyonu yardmyla, P X ≥ 5 = 1 − P X ≤ 4 = 1 − FX (4) = 1 − 42 + 2 ∗ 4 − 3 60 = 13 20 olarak elde edilir. 5. X sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: fX (x) = = x+3 56 0 , 0≤x≤8 , di§er x de§erleri için X 'in da§lm fonksiyonu yardmyla, Çözüm : X 'in da§lm fonksiyonu, P X ≤ 5/2 ≤ X ≤ 7 ise FX (x) = P X ≤ x HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ 'tir. ko³ullu olasl§n bulunuz. FX (x)'i elde etmek amacyla, X 'in tanm 5 ST165-01-02-OLASILIK I OLASILIK PROBLEMLER IV kümesinin alt snrndan Z x de§erine kadar x x Z fX (t)dt = FX (x) = 0 0 fX (x) 08/11/2012 olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr: t+3 1 dt = 56 56 x t2 3x 1 2 x2 + 3t + = x + 6x = 2 112 56 112 0 (1) (1) denklemine göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir: FX (x) 1 2 x + 6x 112 0 1 = = = X 'in , 0≤x≤8 , , x≤0 x≥8 ise ise ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it olmaldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: FX (8) = 1 2 64 + 48 8 +6∗8 = =1 112 112 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) Ko³ullu olaslk: P 2≤X≤5 F (5) − FX (2) = X P X ≤ 5/2 ≤ X ≤ 7 = = FX (7) − FX (2) P 2≤X≤7 1 112 1 112 52 + 6 ∗ 5 − 72 + 6 ∗ 7 − 1 112 1 112 22 + 6 ∗ 2 13 = 25 22 + 6 ∗ 2 olarak elde edilir. 6. X sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: fX (x) (a) fX (x)'in , 0 ≤ x ≤ 1 ise , 1 ≤ x ≤ 2 ise , di§er x de§erleri = ax = a = 0 olaslk yo§unluk fonksiyonu olmas için a sabiti ne olmaldr? (b) Bulunan (c) X 'in a de§erini yerine koyarak, 1 1 2 P X≤ / ≤X≤ 2 3 3 X 'in ko³ullu olasl§n bulunuz. da§lm fonksiyonunu bulunuz. (d) için da§lm fonksiyonu yardmyla, 3 P X≤ 2 olasl§n bulunuz. Çözüm : (a) fX (x)'in olaslk yo§unluk fonksiyonu olabilmesi için, Z +∞ (2) fX (x)dx = 1 −∞ e³itli§i sa§lanmaldr. (2) denkleminde integralin alnd§ tanm bölgesini ifade etmektedir. Bu durumda, Z 1 Z fX (x)dx + 0 a (−∞, +∞) aral§, X raslant de§i³keninin sabiti 2 fX (x)dx = 1 adx = 1 1 ax2 + ax|21 2 0 = 1 1 1 Z Z axdx + 0 2 1 HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ =⇒ a= 2 3 6 ST165-01-02-OLASILIK I OLASILIK PROBLEMLER IV olarak elde edilir. Buna göre, X 08/11/2012 sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu: fX (x) 2x 3 2 3 0 = = = , 0≤x≤1 ise , 1≤x≤2 ise , di§er x de§erleri için olarak yazlr. (b) fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonuna göre, ko³ullu olaslk: Z 1/2 1 1 P ≤X≤ 3 2 2 1 1 1/3 = Z 2/3 = P X≤ / ≤X≤ 2 3 3 1 2 P ≤X≤ 3 3 1/3 1/2 2 2 x2 1 − 13 2 3 1/3 5 = = 2 2 = 2 2/3 12 2 x 2 xdx − 13 3 3 3 1/3 2 xdx 3 olarak elde edilir. (c) fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonu, parçal bir fonksiyondur. da§lm fonksiyonuda parçal bir fonksiyon olacaktr. için, 1. fX (x) FX (x) = P X ≤ x Parçal da§lm fonksiyonunu elde etmek olaslk yo§unluk fonksiyonunun her bir parças ayr ayr dü³ünülecektir: Parça: x Z FX (x) = Z x fX (t)dt = 0 2. Bu nedenle, 0 2t 2 dt = 3 3 x t2 x2 = 2 0 3 , 0≤x≤1 ise Parça: x Z FX (x) = fX (t)dt 0 Z x 2 2t dt + dt 3 1 3 0 x 2t FX (1) + 3 1 Z = = 1 12 2 + ∗ (x − 1) 3 3 2x − 1 , 1≤x≤2 3 = = ise Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir: FX (x) x2 3 2x − 1 3 0 1 = = = = X 'in , 0≤x≤1 ise , 1≤x≤2 ise , , x<0 x≥2 ise ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: FX (2) = (d) X 'in 2∗2−1 =1 3 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) da§lm fonksiyonu yardmyla, 3 P X≤ 2 3 2∗ −1 3 2 2 = FX = = 2 3 3 olarak elde edilir. HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ 7 ST165-01-02-OLASILIK I 7. X OLASILIK PROBLEMLER IV 08/11/2012 sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: fX (x) (a) X 'in da§lm fonksiyonunu bulunuz. (b) X 'in da§lm fonksiyonu yardmyla, x 1 − 500 = 500 e = 0 P X > 300 , , x>0 x≤0 ise ise olasl§n bulunuz. Çözüm : (a) FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in tanm kümesinin alt snrndan x de§erine kadar fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr: − t x Z x Z x t x x t 1 1 − 500 e 500 − 500 dt = = −e = 1 − e− 500 FX (x) = fX (t)dt = e 1 500 − 500 0 0 0 500 0 Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir: FX (x) X 'in x 1 − e− 500 0 1 = = = , , , x > 0 ise x ≤ 0 ise x → +∞ ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: +∞ FX (+∞) = 1 − e− 500 = 1 − e−∞ = 1 − 1 =1− e+∞ 1 +∞ | {z } sayi = 1 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) = 0 kuralndan ±∞ sfra e³it olur. (b) X sürekli raslant de§i³keninin da§lm fonksiyonu yardmyla, 300 3 P X > 300 = 1 − P X ≤ 300 = 1 − FX (300) = 1 − 1 − e− 500 = e− 5 olarak bulunur. 8. Bir futbol topunun yrtlmadan önce bir takmn maçlarnda kullanlma says, gösterilmektedir. X 'in x 1 pX (x) = B 3 = 0 (a) B X raslant de§i³keni ile olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: , x = 0, 1, 2, 3, . . . , di§er x ise de§erleri için sabitinin de§erini bulunuz. (b) Bulunan B de§erini yerine koyarak, (c) Futbol topunun n (n > 0, X 'in da§lm fonksiyonunu bulunuz. tamsay) maçtan fazla oynadktan sonra yrtlmas olasl§n bulunuz. Çözüm : (a) X kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir. HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ Bu 8 ST165-01-02-OLASILIK I OLASILIK PROBLEMLER IV 08/11/2012 durumda, +∞ X pX (x) = 1 = 1 = 1 = 1 −→ 1 ≤1 3 = 1 =⇒ B= x=0 +∞ X x 1 3 x=0 0 1 2 3 1 1 1 1 B + + + + ... 3 3 3 3 1 B 1 − 31 3 B 2 olarak elde edilir. Buna göre, X B oldu§u için 2 3 kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu: pX (x) 2 3 0 = = x 1 3 , x = 0, 1, 2, 3, . . . , di§er x ise de§erleri için olarak yazlr. (b) FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in de§erine kadar pX (x) olaslk fonksiyonunun toplam alnr: FX (x) = = tanm kümesinin alt snrndan x x X x 1 x X 2 1 t 2 1 0 1 1 1 2 = + + + ... + pX (t) = 3 3 3 3 3 3 3 t=0 t=0 x+1 x+1 1 2 1− 3 1 =1− 1 3 3 1− 3 Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir: FX (x) X 'in = 1− = = 0 1 x+1 1 3 , x = 0, 1, 2, 3, . . . , , x < 0 ise x → +∞ ise ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: +∞ 1 3 | {z } FX (+∞) = 1 − =1 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) (1+∞ ) de§eri, (3+∞ ) de§erinden daha hzl büyümektedir. Bu nedenle, sayi = 0 ±∞ (c) X 'in kuralindan sfra e³it olur. da§lm fonksiyonu yardmyla, n+1 n+1 1 1 = P X > n = 1 − P X ≤ n = 1 − FX (n) = 1 − 1 − 3 3 olarak bulunur. 9. X sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: fX (x) = kx2 = 0 HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ , 0 ≤ x ≤ 1 ise , di§er x de§erleri için 9 ST165-01-02-OLASILIK I (a) k OLASILIK PROBLEMLER IV 08/11/2012 sabitinin de§erini bulunuz. 1 3 (b) P X≤ (c) X 'in da§lm fonksiyonunu bulunuz. (d) X 'in da§lm fonksiyonu yardmyla, olasl§n bulunuz. P 1 3 ≤X≤ 1 2 olasl§n bulunuz. Çözüm : (a) X sürekli raslant de§i³keninin tanm kümesi üzerinden, alnd§nda bire e³ittir. Bu durumda, 1 Z k 1 Z kt2 dt = k fX (x)dx = 0 0 fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali sabiti 1 t3 k = =1 3 0 3 =⇒ k=3 olarak elde edilir. (b) X 'in olaslk yo§unluk fonksiyonu yardmyla, 3 31 3 Z 1/3 Z 1/3 1 x 1 1 P X≤ = fX (x)dx = 3x2 dx = 3 = = 3 3 3 27 0 0 0 olur. (c) FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in tanm kümesinin alt de§erine kadar fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr: 3 x Z x Z x t FX (x) = fX (t)dt = 3t2 dt = 3 = x3 , 0 ≤ x ≤ 1 ise 3 0 0 0 = 0 , x ≤ 0 ise = 1 , x ≥ 1 ise X 'in snrndan x tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: FX (1) = 13 = 1 =⇒ (d) X (Ko³ul sa§lanm³tr.) sürekli raslant de§i³keninin da§lm fonksiyonu yardmyla, P 1 3 ≤X≤ 3 3 1 1 1 1 1 1 1 19 =P X≤ −P X ≤ = FX − FX = − = 2 2 3 2 3 2 3 216 olarak bulunur. 10. X kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir: pX (x) (a) k (b) P X≥3 (c) X 'in = kx = 0 , x = 1, 2, 3, 4, 5 ise , di§er x de§erleri için sabitini bulunuz. olasl§n bulunuz. da§lm fonksiyonunu bulunuz. (d) b ³kknda belirtilen olasl§ da§lm fonksiyonu yardmyla bulunuz. (e) P 3≤X≤4 olasl§n bulunuz. HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ 10 ST165-01-02-OLASILIK I OLASILIK PROBLEMLER IV 08/11/2012 Çözüm : (a) X kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir. durumda, k Bu sabiti 5 X 5 X 1 5∗6 = 15k = 1 =⇒ k = pX (x) = kx = k 2 15 x=1 x=1 olarak elde edilir. Buna göre, X kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu: pX (x) = = x 15 0 , x = 1, 2, 3, 4, 5 , di§er x ise de§erleri için olarak yazlr. (b) X kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonuna göre, 5 5 X X 3+4+5 12 x P X≥3 = pX (x) = = = 15 15 15 x=3 x=3 bulunur. (c) FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in de§erine kadar pX (x) olaslk fonksiyonunun toplam alnr: FX (x) = x X t=1 pX (t) = x X t 1 x ∗ (x + 1) = 15 15 2 t=1 = = = X 'in tanm kümesinin alt snrndan x ∗ (x + 1) 30 0 1 , x = 0, 1, 2, 3, . . . , , x < 0 ise x → +∞ x ise ise tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol- maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir: FX (5) = (d) X 'in 5∗6 =1 30 =⇒ (Ko³ul sa§lanm³tr.) da§lm fonksiyonu yardmyla, 4 2∗3 = P X ≥ 3 = 1 − P X < 3 = 1 − P X ≤ 2 = 1 − FX (2) = 1 − 30 5 olarak bulunur. (e) X 'in da§lm fonksiyonu yardmyla, 4∗5 2∗3 7 P 3 ≤ X ≤ 4 = P 2 < X ≤ 4 = P X ≤ 4 − P X ≤ 2 = FX (4) − FX (2) = − = 30 30 15 olarak elde edilir. HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ 11