19754_Fonksiyonlar Ve Fonksiyonların Özellikleri.pptx

•
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir
elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f
bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir.
•
f
• f: A
B veya A
B
• Biçiminde gösterilir.Burada, A kümesine fonksiyonun tanım
kümesi, B kümesine de değer kümesi denir.
• f(A)={f(x): x  A} kümesine f fonksiyonunun
kümesi denir. f(A)
B dir.
f(A) görüntü
kümesi
•
•
•
•
•
•
•
görüntü
Tanım kümesi
Değer kümesi
f: A
B bağıntısının fonksiyon olabilmesi için:
1. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı.
2. Tanım kümesindeki her elemanın yalnız bir görüntüsü
olmalıdır.
DÜŞEY (DİKEY) DOĞRU TESTİ
Grafiği verilmiş bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y
eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğriyi en
az bir ve en çok bir noktada kesiyorsa verilen bağıntı fonksiyondur.
EŞİT FONKSİYONLAR
f:A
B ve g:A
B iki fonksiyon olsun.
Her x A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir.
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Örten ve İçine Fonksiyon
f:A
B fonksiyonu verilsin.
f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir.
f(A)≠B ise f ye içine fonksiyon denir.
Değer kümesinin her y elemanı için x eksenine paralel
çizilen tüm doğrular fonksiyonun grafiğini en az bir noktada
kesiyorsa bu fonksiyon örtendir.
• Bire –Bir Fonksiyon
• f:A
B fonksiyonu verilsin.
• A kümesinin her elemanının görüntüsü farklı ise f ye bire-bir
fonksiyon denir. Yani, her a,b  A için a≠b
f(A)≠f(B) ise
• F ye bire-bir fonksiyon denir.
• X eksenine (tanım kümesine) paralel çizilecek doğruların
tamamı grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon
bire birdir.
• Sabit Fonksiyon (f(x)=c, c  R)
• f: A
B fonksiyonu verilsin.
f(A) görüntü kümesi bir elemanlı ise f ye sabit fonksiyon
denir. Tanımlı olduğu bölgede
f(x)=
sabit fonksiyon ise
dir.
• Birim Fonksiyon (f(x)=x)
• f :A A fonksiyonu verilsin.
• Her elemanı kendisi ile eşleyen fonksiyona birim (etkisiz)
fonksiyon denir ve genellikle I ile gösterilir.Yani,
• I(X)=X birim fonksiyondur.
• DOĞRUSAL FONKSİYON
• Kuralı bir doğru denklemi olan fonksiyonlara doğrusal
fonksiyon denir.
• f(x)= ax+b Doğrusal Fonksiyonunun Grafiği
• y= ax+b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun geçtiği
herhangi iki nokta bulunur.Eksenleri kestiği noktaları bulmak
tercih edilir.
•
y= f(x) fonksiyonunun grafiğinin (varsa) kestiği noktalar
f(x) = 0 denkleminin çözüm kümesinde bulunan
elemanlardır.
y
b
•
•
•
•
•
•
x
a
y
b
+ =1
• X eksenini (a,0), y eksenini (0,b) noktalarında kesen
doğrunun denklemi
•
x
a
+
y
b
= 1 dir.
• PARÇALI FONKSİYON
•
•
•
•
•
Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer fonksiyon
olarak tanımlanan fonksiyona parçalı fonksiyon denir.
MUTLAK DEĞER FONKSİYON
f(x) , f(x)> 0
|f(x)|=
0
, f(x)= 0
-f(x), f(x)< 0
• Biçiminde tanımlanan y= |f(x)| fonksiyonuna mutlak
değer fonksiyonu denir. f(x)= 0 eşitliğini sağlayan x
değerleri fonksiyonun kritik noktalarıdır.
•
ÖRNEK SORULAR
• 1.SORU: f:A
B, f(x)= x-2
• A={0,1,2,3} ise
• f(A) görüntü kümesini bulunuz.
•
•
•
•
•
•
ÇÖZÜM : f:A B, x y=f(x)
X=0
f(0)=0-2=-2
X=1
f(1)=1-2=-1
X=2
f(2)=2-2=0
X=3
f(3)=3-2=1 olduğundan,
f(A)={-2,-1,0,1} bulunur.
• 2. SORU: f(x.y)=f(x)+f(y) ise f(1) kaçtır ?
• ÇÖZÜM: f(1.1)=f(1)+f(1)
•
•
f(1)= f(1)+f(1)
f(1)-f(1)=f(1)
0= f(1) bulunur.
• 3.SORU: f(4x-3)=6x+2 ise f(5) kaçtır ?
•
•
•
•
ÇÖZÜM: 4x-3=5
4x=8
x=2 olur.
Verilen eşitlikte x=2 yazarsak
f(4.2-3)=6.2+2
f(5)=14 olur.
• 4. SORU: f(x)= x+f(x+1) ve f(1)=6 eşitliklerini sağlayan f(x)
fonksiyonu için f(10) kaçtır ?
• ÇÖZÜM: x=1
f(1)=1+f(2)
•
x=2
f(2)=2+f(3)
•
•
•
x=9
f(9)=9+f(10)
•
•
f(1)=1+2+…+9+f(10)
9.10
•
6= 2 + f(10)
•
f(10)=-39 bulunur.
•
• 5. SORU: f(x)= 4x-3 olmak üzere,
• f(2x+1)in f(x) türünden değerini bulunuz.
• ÇÖZÜM: f(x)=4x-3
x= f (x4)  3
• f(2x+1)=4(2x+1)-3=8x+1=8( f ( x4)  3 )+1 =2f(x)+7
• 6. SORU: f(x) doğal fonksiyonu için
• f(2)=1, f(3)=3 ise f(5) kaçtır ?
•
•
•
•
•
•
ÇÖZÜM: f(x)=ax4b olsun.
f(2)=1 2a+b=1 ve f(3)=3
3a+b=3
2a+b
a=2 ve b=-3 olur.
3a+b
Bu durumda, f(x)=ax+b=2x-3
f(5)=2.5-3=7 bulunur.
• 7.SORU: Aşağıdaki doğrusal fonksiyonların grafiklerini
çiziniz.
• a. f:R
R, f(x)=2x-1
• b. g:[-2,2]
R, g(x)=x+1
y
•
y=f(x)
• ÇÖZÜM: a. İstenenen y=2x-1
• doğrusunun grafiğidir.
• x=0 y=-1
x
1
1
• y=0 x= 2
-1 2
• b. İstenen y=x+1
• doğrusunun [-2,2]
y
y=g(x)
3
• aralığındaki grafiğidir.
0
• x=-2
y=-2+1=-1
x
2
2
• x=2
y=2+1=3
1
• 8. SORU: Aşağıdaki fonksiyonlarıngrafiklerini çizerek tanım
ve görüntü kümelerini belirleyiniz.
• a.x=y
b.y=x
y
y=2
• ÇÖZÜM:
2
• a.Tanım Kümesi: (-∞,∞)
0
x
• Görüntü kümesi: {2}
y
• b. Tanım Kümesi: (-∞,∞)
• Görüntü Kümesi: (-∞,∞)
yx
0
x
• 9. SORU: f:R R, f(x)=(a-3)x+a+2 fonksiyonu sabit
fonksiyon ise f(a) kaçtır ?
•
•
•
•
•
ÇÖZÜM: f(x) sabit fonksiyon ise f(x)=c olacağından
f(x)=(a-3)x+a+2 fonksiyonunda
a-3=0
a=3 olur. Bu durumda
f(x)=0.x+3+2
f(x)=5 olduğundan,
f(a)=f(3)= 5 bulunur.
• 10.SORU: f:[-2,3) B, f(x)=2x²+1 olmak üzere f(A) kümesini
bulunuz.
• ÇÖZÜM: f:[-2,3)
B, x
f(x)
• -2 ≤ x < 3
0 ≤ x² < 9
0 ≤ 2x² <18
•
1≤ 2x² +1< 19
• olduğundan, f(A)=[1,19) olur.
• 11. SORU: f:A [-5,7], f(x)=2x-1 olmak üzere f(x) bire bir
ve örten bir fonksiyondur. Buna göre A kümesini bulunuz.
• ÇÖZÜM: f: A
[-5,7]
•
x f(x)
• -5 ≤ 2x-1 ≤ 7 -4 ≤ 2x ≤ 4
• olduğundan, A=[-2,4] olur.
•
•
•
•
•
•
•
•
12.SORU: f(x)=|x-2|+2x-1
Fonksiyonunu parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
ÇÖZÜM: x-2 ≥ 0 için |x-2|= x-2
x-2 < 0 için |x-2|=-x+2 olacağından
x≥2
f(x)=x-2+2x-1=3x-3
x< 2
f(x)= -x+2+2x-1=x+1
f (x)  3x-3 , x ≥ 2
x+1 , x<2
• 13. SORU: f: R R,
•
f(x)= 2x+4
•
f(2k)=f(k-1) olduğuna göre, k nin değerini
bulalım.
• ÇÖZÜM: f(x)=2x+4 olduğuna göre,
• f(2k)=2.2k+4 = 4k+4 tür.
• f(k-1)= 2.(k-1)+4=2k-2+4= 2k+2 dir.
•
•
•
•
f(2k)=f(k-1)
4k+4=2k+2
2k=2-4
k= -1 olur.
•
•
•
•
14. SORU: f: R R,
f(x+1)=x+f(x)
f(2)=5
Olduğuna göre, f(4) ün değerini bulalım.
•
•
•
•
•
•
ÇÖZÜM: f(2)=5 ve f(x+1)=x+f(x) olduğuna göre,
X=2 için, f(2+1)=2+f(2)
f(3)=2+5= 7 dir.
X=3 için, f(3+1)=3+f(3)
f(4)=3+7
= 10 dur.
• 15. SORU:
•
f (x)

4x-m, x > -1
x+m, x ≤ -1
• f(2)-f(-3)=8 olduğuna göre, m kaçtır ?
• ÇÖZÜM: (8-m)-(-3+m)=8
•
8–m+3–m=8
•
11 -2m= 8
3
•
3=2m ise, m=
2
• MATEMATİK PROJE ÖDEVİ
ADI: ZEHRA
SOYADI: SAYAN
OKUL:BOZÜYÜK FEN LİSESİ
SINIF/NO: 9-A/ 916
ÖĞRETMEN: SİBEL MARTTİN
“Bir matematikçi sanmaz fakat bilir. İnandırmaya
çalışmaz çünkü ispat eder. Güveninizi beklemez. Belki
dikkat etmenizi ister.” Henri Poincare