Kavrama ~ 1 - Salih YILDIZ

Çözümler
Kavrama ~ 1
4. f(x)=ax2+bx+c  f′(x)=2ax+b
f(1)=0a+b+c=0
f′(1)=52a+b=5
a+b=2 olduğundan a+b+c=02+c=0c=–2
2a+b=5a+a+b=5a+2=5a=3
a.c=3.(–2)=–6 bulunur.
1.
a) f(x)= 4x–3  f′(x)= 4  f′(101)= 4
b) f(x)=x3–2x+2007  f′(x)=3x2–2  f′(1)=3–2=1
c) f(x)=
x3 x 2
x2
x

 x  f′(x)= 3.
 2.  1
3
2
3
2
f′(x)= x2+x–1  f′(2)= 22+2–1=5
d) f(x)=x2008–x2007+ 2
f′(x)=2008.x2007–2007.x2006
f′(1)= 2008–2007=1
2.
f(x)=x2–
x
=x2–
5. h(x)=x2–2x
1
lim
. lim  h(x)  h(2) 
x 2 x  2 x 2
h(x)  h(2)
 1

= lim 
=h′(2)
. h(x)  h(2)   = lim
x 2  x  2
 x 2 x  2
1
x2
1
1
1 1
1 
f′(x)= 2x– .x 2 = 2x  x 2
2
2
1
1 3
1 
f′(1)=2.1  (1) 2 = 2  
2 2
2
h′(x)=2x–2  h′(2)=2.2–2=2 bulunur.
3. f(x)= a2x2+2(a–2)x+1
f′(x)=2a2x+2 (a–2)  f′(1)=2a2+2a–4
f′(1)=0  2a2+2a–4=0
6.
a2+a–2=0 kökleri a1 ve a2 olsun.
1
a1+a2 =  =–1 bulunur.
1
b
 2
ax  bx  c  0  x1  x 2   a 


f(x)=tx5–5
f(x  h)  f(x) 1
lim
 .f (x)
h 0
5h
5
f′(x)=5tx4 
157
1
5tx 4
f (x) 
 tx 4 bulunur.
5
5
Kavrama ~ 1
Çözümler
2
 x  2mx, x  1
10. f(x)  
2
nx  3x , x  1
7. f(x)=x–2+x–3–1
  f(x)  f( 1) 
f( 1)  f(x)
lim
 lim
=  f ( 1)
x 1
x 1
x 1
x  ( 1)
f (x)  2x 3  3.x 4
f ( 1)  2.( 1)3  3.( 1)4 =(–2).(–1)–3.1
x  R için f(x) fonksiyonu türevli olduğundan
x=1 de sürekli ve türevlidir.
=2–3=–1
f ( 1)  ( 1)  1 bulunur.
1– <1 lim (x2  2mx)  1 2m
x 1
1+>1 lim (nx2  3x)  n  3
x 1
 x 3  3x 2 , x  2
8. f(x)  
, x2
5x  1
lim f(x)  lim f(x)  1  2m  n  3 (I)
x 1
1–<1f(x)=x2+2mxf′(x)=2x+2m  f′(1–)=2+2m
1+>1f(x)=nx2–3x  f′(x)=2nx–3  f′(1+)=2n–3
f′(1–)= f′(1+)2+2m=2n–3 (II)
a) 2–<2  lim (x3  3x 2 )  23  3.22  4
x 2
2+>2 lim (5x  1)  5.2  1  9
x 2
lim f(x)  lim f(x) olduğundan
x 2
x 1
(I)1+2m=n–32m=n–4
(II)2+2m=2n–3
x 2
f(x) fonksiyonu x=2 de sürekli değildir. O halde,
f′(2) yoktur.
2+(n–4)=2n–3  n=1m= 
b) 1<2  f(x)=x3–3x2  f′(x)=3x2–6x
f′(1)=3–6=–3 olur.
3>2f(x)=5x–1  f′(x)=5  f′(3)=5 olur.
f′(1)+ f′(3)=–3+5=2 bulunur.
Pratik ç☺züm:
x  R için f(x) fonksiyonu türevli olduğundan
3
x2  2mx = nx2  3x  n=1 ve m=  dir.
2
3
 2
2
 x  2.(  )x  x  3x, x  1
2
f(x)  
1.x2  3x  x 2  3x
, x 1

 x 2  3x, x  1
9. f(x)  
3x  5 , x  1
a)
f:RR, f(x)=x2–3x olur.
f′(x)=2x–3  f′(0)=2.0–3=–3 ve f′(2)=2.2–3=1
f′(0)+ f′(2)=–3+1=–2 bulunur.
lim (x2  3x)  12  3.1  2
x 1
lim (3x  5)  3.1  5  2
x 1
f(1)=3.1–5=–2 ve lim f(x)  lim f(x)  f(1)
x 1
3
bulunur.
2
x 1
olduğundan x=1 noktasında f(x) fonksiyonu
süreklidir.
b) 1–<1  f′(x)= 2x– 3  f′(1–)= 2.1–3= –1
1+>1  f′(x)= 3  f′(1+)= 3
c) f(x) fonksiyonunun x=1 noktasında türevli
olması için, bu noktada sürekli ve f′(1–)= f′(1+)
olmalıdır.
f(x) fonksiyonu x=1 de süreklidir. [a şıkkından]
f (1 )  1 ve f (1 )  3 [b şıkkından]
f′(1–)  f′(1+) olduğundan f(x) fonksiyonu x=1 de
türevli değildir.
158
Çözümler
Kavrama ~ 2
5. f(x)=(x2–ax).(2+3x)
1. f(x)=(1–x2).(x2+x)
f(1  2h)  f(1)
lim
= 2.f (1)
h 0
h
f (x)  2x  a.(2  3x)  (x 2  ax) 3
=4x+6x2–2a–3ax+3x2–3ax = 9x2+(4–6a)x–2a
f (x)   2x .(x2  x)  (1  x 2 ). 2x  1
f (x)  bx 2  2x  c olduğuna göre,
f (1)  ( 2).(2)  0. 3  4
9x2+(4–6a)x–2a=bx2–2x–c
b=9
4–6a=–2 a=1,
–2a=–c –2.1=–cc=2
a+b–c=1+9–2=8 bulunur.
2f (1)  2.( 4)  8 bulunur.
g(x)
g(x).x  g(x).1
 f (x) 
x
x2
3.2  g(2)
g(2).2  g(2)
 1
f (2) 
4
22
2. f(x) 
4=6 – g(2)g(2)=2 bulunur.
6. f(x) 
f(x) 
f (x) 
3. f(x)  x  3 x  1 
f (1) 
4. f(x) 
f (x) 
1
2 1

x a
x2
1
3 2
=
3 1
2 x

x2  2x2  2ax
2x2.  tan x.cot x 
=
2x. 1
5
5x
2x
f(x) 
olur.
5
2
2
f (x)  ise, f ( 21)  bulunur.
5
5
1
3
3 x2
1 1 5
  bulunur.
2 3 6
1.x2  (x  a).2x 
 f (x) 
x4
1
2x 2.tan x
cot x
 2x 2.tan x.
5x
5x
cot x
(x2 )2

7. f(x) 
 x2  2ax
x4
g(x)  2 x
f (x)  1  f (1)  1
1
1
 g(1) = 1
g(x)  2

2 x
x
(f  2g)(1)  f (1)  2.g(1)
f (x)  0   x  2ax  0 denkleminin kökleri ise,
2
x1+x2=2a [ x1  x 2  
x 2  1 (x  1)(x  1)

= x–1
x 1
x 1
b
]
a
2a=–2
a=–1 bulunur.
=1+2.1=3 bulunur.
159
Kavrama ~ 2
Çözümler
8. f(x)  a x  1
f (x)  a.
f (4)  a.
=
1
2 x
1
g(x)  bx2  3
1+>1 olduğundan, f(x)  3 x  x
g(x)  2bx
f (x) 
a
4
f (4)  g(1) 
a
 2b a=8b
4
f(x)  a x  1
1
2 x
b) f ( 1) = ?
g(x)=bx2–3
–1<1 olduğundan, f(x)=(x4–x3)(x2+1)
f (x)  4x3  3x2  .(x2  1)  (x 4  x3 ) 2x 


f(9)= 3a–1
,
g(1)=b–3 olur.
f(9)=g(1)3a–1=b–3 [ a=8b ]
3.8b–1=b–3
24.b–1=b–3
23b=–2
b

3 x
1
1
1 1 5
f (1 ) 

=   olur.
3 2
2 1 3 2 6
3 1
5 17
f (1 )  f (1 )  2  
6 6
g(1)  2b.1 =2b
2 4
1
3 2
f (1)  4  3.(1  1)  (1  (1)) 2.(1)
f (1)   7.(2)  (2). 2
f ( 1)  14  4
f ( 1)  18 bulunur.
2
bulunur.
23
c) f (1) = ?
x=1 kritik nokta olduğundan, bu noktada
süreklilik, 1– ve 1+ türev incelenir.
f (1 )  2 ve f (1 ) 
9. f(x)=x2.(x3–1)– 3 x
f(x)  x5  x2  3 x
f(1)  f(x)
(f(x)  f(1))
lim
 lim
 f (1)
x 1
x 1 x  1
x 1
1
f (x)  5x 4  2x 
3 2
3 x
1
1 8
f (1)  5  2  = 3  
3
3 3
8
f (1)   bulunur.
3
5
olduğundan
6
f (1 )  f (1 )
O halde, f (1) yoktur.
d) f (2) = ?
2>1 olduğundan, f(x)  3 x  x
f (x) 
1
3

1
3 x2 2 x
1
1
f (2) 

bulunur.
3
3 4 2 2
(x 4  x3 ).(x 2  1), x  1

 x2  1 3 2
 x
, x 1
10. f(x)  
 x
3 x  x
, x 1

a) f(1- ) + f(1+ ) = ?
1–<1 olduğundan, f(x)=(x4–x3)(x2+1)
f (x)  4x3  3x2  .(x2  1)  (x 4  x3 ). 2x 


f (1 )   4  3.(1  1)  (1  1). 2
f (1 )  1.2  0
f (1 )  2 olur.
160
Çözümler
Kavrama ~ 3
1. f(x2–2)=x4–4x2+1
 f(x2  2)  (x 4  4x 2  1)


4. x2= y  x3
y  x 2  x3
y=(x2+x3)2
f(x)=y=(x2+x3)2
f′(x)=[(x2+x3)2]′
f′(x)=2.(x2+x3).(2x+3x2)
f′(2)=2.(4+8).(4+12)
f′(2)=384 bulunur.
f′(x2–2)(x2–2)′=4x3–8x
f′(x2–2)(2x)=4x3–8x
f′(x2–2)=
4x 3  8x
2x
f′(x2–2)=2x2–4
x2–2=2x2=4x= m2
f′(x2–2)=2x2–4
x= m2  f′(2)=4 tür.
f(2)=16–16+1=1 bulunur.
[ Dereceler çift olduğu için sonuç değişmez. ]
5. (f+g)′(1)=f′(1)+g′(1)

f(x2 )  (x3  x)


f′(x2)(x2)′=3x2–1
f′(x2)(2x)=3x2–1
2
3

(x  2x) , x  2
2. f(x)  
3 (x 2  1)2 , x  2

f′(x2)=
x=1<2  f(x)=(x2–2x)3
f′(x)=[(x2–2x)3]′
f′(x)=3(x2–2x)2.(2x–2)  f′(1)=3(12–22)(2–2)=0
x=32  f(x)= 3 (x 2  1)2 =
f′(x)=
2
2
33 (x  1)
x=1 için f′(12)=f′(1)=
2
33 (32  1)
3.12  1
=1
2.1
g(x)  [(x3  x)2 ]
2
(x 2  1) 3
 (2x) f′(3)=
3x 2  1
2x
g′(x)=2(x3–x)(3x2–1)
x=1 için g′(1)=2.(0).(2)=0
f′(1)+g′(1)=1+0=1 bulunur.
 (2.3) =2
f′(1)+f′(3)=0+2=2 bulunur.
6. f′(x)=(x2–x)′
f′(x)=2x–1

g(x2  1)  (x3  1)


g′(x2–1)[2x]=3x2
15
3. f(x)= x x x x 
f′(x)=
16
x.x 2.x 4.x 8 =
16 15
x
g′(x2–1)=
= x 16
15
3
x
2
x=– 3 için g′(2)= 
1616 x
15
15
 1 
f′  32  =
=15 bulunur.

16
 4  16 432 16.42
3 3
2
x=  3 için g(2)= (  3)3  1
= 3 3  1
161
Kavrama ~ 3
Çözümler
(fog)′(2)=f′  g(2)  .g′(2)
9. f(2x–1)=g(x3–x2)
[f(2x  1)]  [g(x3  x 2 )]
 3 3
=f′(–3 3 +1).  

2 

f (2x  1)(2x  1)  g(x 3  x 2 ).(x 3  x 2 )
f (2x  1).[2]  g(x3  x 2 ).[3x 2  2x]
 3 3
= 2.( 3 3  1)  1 .  

2 

f (2x  1)  g(x 3  x 2 ) 
 3 3 
= [ 6 3  2  1]. 

 2 
x=2 için
f′(3)=g′(4).4=2.4=8 bulunur.
 3 3 
= ( 6 3  1). 

 2 
= 27 
3x 2  2x
2
3 3
bulunur.
2
10. h(x)=f(x2–2x)
[h(x)]  [f(x 2  2x)]
7. f(x–2)=(2x+1).g(x–1)
 f(x  2)  [(2x  1).g(x  1)]
h(x)  f (x 2  2x).[(x 2  2x)]
h(x)  f (x 2  2x).[2x  2]
h(3)  f (3).[4] =4.4=16 bulunur.
f′(x–2).[1]=[2].g(x–1)+(2x+1).g′(x–1).[1]
f′(x–2)=2.g(x–1)+(2x+1).g′(x–1)
x=5  f′(3)=2.g(4)+(11).g′(4)
6=2.4+11.g′(4)
2
g′(4)= 
bulunur.
11
 f(x)  x 2  2x  f (x)  2x  2 


 f (3)  4


8. (fogoh)(x)=f[(goh)(x)]=f[g(h(x))]
(fogoh)(x) =f′[g[h(x)]].g′(h(x)).h′(x)
[f′(x)=2x, g′(x)=3x2, h′(x)=4x3]
(fogoh)′(1)=f′  g[h(1)] .g[h(1)].h(1)
[ h′(1)=4.13=4, h(1)=14–1=0 ]
(fogoh)(1)  f [g(0)].g(0).4
[ g′(0)=3.02=0, g(0)=03+1=1 ]
(fogoh)(1)  f [1].0.4  0 bulunur.
162
Çözümler
Kavrama ~ 4
1. f(x)=(sin3x)3
f′(x)=3(sin3x)2cos3x.3
f′(x)=9(sin3x)2cos3x
6. f(x)=arcsin[cos(x2)]
1
f (x) 

1  cos(x )
f (x) 
f′(x)=
 (  sin x 2 ).2x


2
7. f(x)=arccos( 1  x2 )
1
1
f (x) 

 2x
2
1  (1  x ) 2. 1  x 2
1
sin2 x.cos2 (cot x)
f (x) 
3. f(x)=
2x.sin x

2
2
1  cos(x2 )
2. f(x)=tan(cotx)
f(x + h)  f(x)
lim
 f (x)
h 0
h
1
1

f′(x)=
cos2 (cot x) sin2 x
f′(x)=
2
x
2
x . 1 x
2

x
x . 1  x2
1  cos x
1  cos x
(sin x)(1  cos x)  (1  cos x)(  sin x)
(1  cos x)2
8. f(x)=arccot(tanx)
1
1
f (x) 

2
1  tan x cos2 x
1
f (x) 
cos2 x(1  tan2 x)
3 
1 
1 3
. 1
 1 .
4 3
2  2   2  2

f   

2
9
3
1

1 2 


f (x) 
4. f(x)=cosx.sin22x
f′(x)=–sinx.sin22x+cosx.2.sin2x.cos2x.2






f      sin .sin2  cos .2.sin .cos .2
4
2
4
2
2
4
9. f(x)=
2
2
2

f    
.1 
.2.1.0.2  
2
2
2
4
f (x) 
arccosx
tanx
1
f (x) 
5. f(x)=tan( sinx )
1
1
f (x) 

 cos x
cos2 ( sin x ) 2 sin x
1
cos2 x  sin2 x
1  x2

1
 1 =–1
1
 tan x  arccos x 
1
cos2 x
tan2 x
10. f(x)=arcsin(cosx.sinx)
1
f (x) 
 (  sin2 x  cos2 x)
2
1  (cos x.sin x)
cos x
f (x) 
2 sin x.cos2 ( sin x )
163
cos 2x
1  (cos x.sin x)2
Çözümler
Kavrama ~ 5
1. f(x)= log2 x + lnx2
6. f(x)=ln(2x)2x
f(x)=2x.ln(2x)
1
2
x  log e  2x
f′(x)=
2
x
x2
1
2

f′(x)=
2x.ln 2 x
f′(x)=2ln(2x)+2x 
2
2x
f′(x)=2(ln(2x)+1)
7. f(x)=log252x–1+ln(3x+1)
2
2. f(x)= 32x+1 + esin
x
f′(x)=
2
f′(x)=2.32x+1.ln3+2.sinx.cosx. esin
2
f′(x)=32x+1.ln9+sin2x. esin
3. f(x)=ln[log2
3x 2
3
x
2.52x 1.ln5
52x 1
 log2 e 
f′(x)=2.ln5.log2e+
x
3
3x  1
3
3x  1
8. f(x)=lnxsinx
f(x)=sinx.lnx
(x3–1)]
 log2 e
f′(x)=cosxlnx+
f′(x)= x  1 3
log2 (x  1)
sin x
x
9. f(x)=log3  sin(arccosx) 
cos(arccos x) 
4. f(x)=cos(e2x)– 5
x
f′(x)=–sin(e2x).e2x.2– 5 x.ln5.
f′(x)=
1
1
1  x 2  log e
3
sin(arccos x)
2 x
10. f(x)=cos(e2x)–sin2(lnx)
f′(x)=–sin(e2x).e2x.2–2sin(lnx).cos(lnx) 
5. f(x)=(2x)e+2x
f′(x)=e.(2x)e–1.2+2x.ln2
164
1
x
Çözümler
Kavrama ~ 6
1. I. xy–15=0
dy
y

dx
x
6.
1
3
x
2
3
y
a  0
2
II.
siny–x2=0
1 3
x
3y
dy
3



1
3
dx
2 x2
2 3
y
3
dy
2x
2x


dx
cos y cos y
III. 2xy–(x2–y2)2=0
dy
2y  2(x 2  y 2 )(2x)

dx
2x  2(x 2  y 2 )( 2y)
=
4x(x 2  y 2 )  2y
2x  4y(x 2  y 2 )

=

7. F(x,y)= sin arctan(x2y) = 0 fonksiyonunun
dy
2x  sin(xy).y
IV. x2–y2–cos(x.y)=0
=
dx
2y  sin(xy).x
yerine x ve y ye göre değişiklik gösteren x2y
ifadesinin türevinin alınması yeterlidir.

2x  sin(xy).y
2y  sin(xy).x

[F(x,y)= sin arctan(x2y) = 0 yerine F(x,y)=x2y ]
dy
2xy
2y
 2 
dx
x
x
2. y.sinx+x.cos2y=0
dy
y cos x  cos2 y

dx
sin x  2x.cos y.(  sin y)

y cos x  cos2 y
sin x  x.sin 2y
8. F(x,y)=ln  3 x  y  =0


F(x,y)=(x2+y).ln3=0
2x
F(x, y)  
 2x
1
2
3. e(x+y)–tan(x+y)=0
dy
e  (1  tan2 (x  y))

=–1
dx
e  (1  tan2 (x  y))
9. xy–yx=0
dy
y.x y 1  y x .ln y y x .ln y  y.x y 1
 y

dx
x .ln x  x.y x 1 x y .ln x  x.y x 1
4. F(x,y)=cos2( x 3  y 2 ) fonksiyonunun yerine x
ve y ye göre değişiklik gösteren x3–y2 ifadesinin
türevinin alınması yeterlidir.
[ F(x,y)=cos2( x 3  y 2 ) yerine F(x,y)=x3–y2 ]
dy
3x 2 3x 2


dx
2y
2y
5.
 x2  2x 
x 2  2x
=1
10. ln 
=0  2
2
 y + 2y 
y + 2y


x  y 1  0
x 2  2x = y 2 + 2y
1
dy
 2 x 
1
dx

2 y
y
x

x 2  2x  y 2  2y = 0
y
x
F(x, y)  
165
2x  2
2x  2

2y  2 2y  2