KONU 2. STURM-L˙IOUV˙ILLE OPERATÖRÜ L2 (0,π)

KONU 2. STURM-LI·OUVI·LLE OPERATÖRÜ
L2 (0; ) uzay¬nda
l (y) =
00
y + q (x) y;
0
x
diferansiyel ifadesinin yard¬m¬ile
L : L2 (0; ) ! L2 (0; )
operatörü tan¬mlayal¬m, burada q reel de¼
gerli ve sürekli fonksiyondur.
D (L)
L2 (0; ) olmak üzere D (L) ile aşa¼
g¬daki koşullar¬ sa¼
glayan uzay¬
gösterelim:
1. Her y 2 D (L) için, y fonksiyonu ikinci mertebeden diferansiyellenebilir
olsun.
2. l (y) 2 L2 (0; ) koşulu y 2 D (L) için sa¼
glans¬n.
3. h ve H reel say¬lar¬için
0
y (0) hy (0) = 0
0
y ( ) + Hy ( ) = 0
s¬n¬r koşullar¬gerçekleşsin.
8
>
>
< y; y 2 L (0; )
2
D (L) =
>
>
:
00
1: y mevcut
2: l (y) 2 L2 (0; )
0
3: y (0) hy (0 ) = 0
0
y ( ) + Hy ( ) = 0
Tan¬m 2.1. Her y 2 D (L) için
9
>
>
=
>
>
;
Ly = l (y)
olarak tan¬mlanan operatöre Sturm-Liouville operatörü denir.
Soru 2.2. L2 (0; ) uzay¬nda
l0 (y) =
00
y ;
0
x
diferansiyel ifadesinin ve
y (0) = y ( ) = 0
s¬n¬r koşullar¬n¬n yard¬m¬ile tan¬mlanan operatör L0 olmak üzere
a) D (L0 ) tan¬m kümesini yaz¬n¬z.
b) f : [0; ] ! R ve f (x) = sin 2x fonksiyonun D (L0 ) tan¬m kümesinden
midir? Neden?
c) g : [0; ] ! R ve g (x) = cos x fonksiyonun D (L0 ) kümesinden midir?
Neden?
1
Çözüm.
a)
8
<
9
00
1: y mevcut
=
00
D (L0 ) =
y; y 2 L2 (0; ) 2: y 2 L2 (0; )
:
;
3: y (0) = y ( ) = 0
b) f fonksiyonun D (L0 ) uzay¬ndan olmas¬için f in s¬n¬r koşullar¬n¬sa¼
glamas¬n¬kontrol etmemiz yeterlidir.
f (0)
=
sin 0 = 0
f( )
=
sin 2 = 0
oldu¼
gundan f 2 D (L0 ) gerçeklenir.
c)
g (0) = cos 0 = 1
oldu¼
gundan g fonksiyonu s¬n¬r koşulunu sa¼
glam¬yor. Bu nedenle g 2
= D (L0 ) :
Al¬şt¬rmalar
1. A ile L2 (0; 1) uzay¬nda
00
l0 (y) =
y ;
diferansiyel ifadesinin ve
0
x
1
0
y (0) = y (1) = 0
s¬n¬r koşullar¬n¬n yard¬m¬ile tan¬mlanan operatörü gösterelim.
a) D (A) tan¬m kümesini yaz¬n¬z.
b) f : [0; 1] ! R ve f (x) = sin ( x) gibi tan¬mlanan f fonksiyonu D (A)
uzay¬ndan m¬d¬r? Neden?
c) g : [0; 1] ! R ve g (x) = cos x2 fonksiyonu D (A) uzay¬ndan olup olmad¬g¼¬n¬inceleyiniz.
2. B ile L2 (0; ) uzay¬nda
l (y) =
0
00
y + ex y;
0
0
x
diferansiyel ifadesinin ve y (0) = y ( ) = 0 s¬n¬r koşullar¬n¬n yard¬m¬ile tan¬mlanan operatörü gösterelim. Bu operatörün D (B) tan¬m kümesini yaz¬n¬z.
2