16.04.2014 No: Ad

16.04.2014
No:
Ad-Soyad:
İmza:
Soru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Puanlama
25
25
25
25
25
25
25
Toplam
Alınan Puan
405024402006 GEOMETRİK TOPOLOJİ ARASINAV SORULARI
Not: İstediğiniz 4 soruyu cevaplayınız.
1. X = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} ve Y = {(x, y) ∈ R2 | x = y} olmak üzere X ∪ Y , R2 de bir
topolojik manifold mudur ? Açıklayınız.
Cevap :
100
2. f (0, 0) = 0 olmak üzere f : R2 −→ R, C ∞ -fonksiyon olsun.


 f (t, tu) , t 6= 0
t
g(t, u) =


0 ,
t=0
ile tanımlansın. (t, u) ∈ R2 için g(t, u) nun C ∞ -fonksiyon olduğunu ispatlayınız.
Cevap :
3. w = zdx − dz 1-form ve X = y
∂
∂
+x ,
∂x
∂y
R3 de vektör alanı olsun. w(X) ve dw yi
hesaplayınız.
Cevap :
4. x, y, z, w; R4 de standart koordinatlar olsun. R4 de x5 + y 5 + z 5 + w5 = 1 denkleminin çözüm
kümesi bir manifold mudur ? Açıklayınız.
Cevap :
5.
g : R2 −→ R3 , (φ, θ) 7−→ g(φ, θ) = (2 cos θ + φ2 , 2 sin φ, cos φ)
şeklinde tanımlanmış g fonksiyonunun daldırma(immersion) olup olmadığını inceleyiniz.
Cevap :
6. Uygun indirgeme işlemlerinden yararlanarak abca−1 b−1 c−1 ve ab−1 cedea−1 bc−1 d−1 kelimeleriyle verilen iki yüzeyin homeomorf olup olmadığını tayin ediniz.
Cevap :
7. G = (Z2 , +) toplamsal grubunun üzerinde τG = {∅, {0}, G} topolojisi tanımlanmış olsun.
G bir topolojik grup olur mu ? Açıklayınız.
Cevap :
Başarılar Dilerim.
Prof. Dr. İsmet KARACA