MATEMAT‹K

1 . B Ö L Ü M
MATEMAT‹K
Derginin bu say›s›nda Çarpanlara Ay›rma ve Özdefllikler konusunda çözümlü sorular yer almaktad›r. Bu konuda, ÖSS’de ç›kan sorular›n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar›, sorular›m›z›n çözümü içinde hat›rlatmay› amaçlad›k. ÖSS’de bu konudan ortalama 2 soru ç›kmaktad›r. Derginin bundan sonraki say›s›nda
Problemler konusu ele al›nacakt›r.
SORU
ÇÖZÜM
Afla¤›dakilerden hangisi, (x2–3x)2–4x2+12x ifadesinin bir çarpan› de¤ildir?
Verilen ifade düzenlenip çarpanlar›na ayr›l›rsa,
x2 – 6x – y2 –16y – 55 = x2 – 6x+ 9 – (y2+ 16y + 64) =
(x –3)2 – (y +8)2 = [(x –3) – (y +8)] . [(x – 3) + (y + 8)] =
(x – y – 11) (x + y + 5) bulunur. Çarpanlardan biri,
x – y – 11 dir.
A) x
B) x+1
C) x–2
D) x–3
E) x–4
ÇÖZÜM
Yan›t : A
(x2 – 3x)2 – 4x2 + 12x = (x2 – 3x)2 – 4(x2 – 3x)
= (x2 – 3x) (x2 – 3x –4)
= x(x – 3) (x + 1) (x – 4) Bu çarpanlar aras›nda, (x – 2)
yoktur.
SORU
Yan›t : C
x2 + x – a2 + 5a – 6 ifadesinin bir çarpan› afla¤›dakilerden hangisidir?
SORU
A) x+a+3
B) x+a–1
D) x+a–2
A = 106 – 103 – 2 ise,
C) x–a+1
E) x–a+2
A n›n çarpanlar›ndan biri afla¤›dakilerden hangisidir?
ÇÖZÜM
A) 501
Verilen ifade çarpanlar›na ayr›l›rsa,
x2 + x – a2 + 5a – 6 = (x – a + 3) (x + a –2) bulunur.
B) 599
C) 899
D) 1001
E) 1099
x
x
ÇÖZÜM
A = 106 – 103 – 2 çarpanlar›na ayr›l›rsa,
A = (103 +1) (103 – 2)
A = 1001 . 998 bulunur. 1001 bu çarpanlardan biridir.
–a
a
+3
–2
Bu ifadenin bir çarpan›, x + a – 2 dir.
Yan›t : D
Yan›t : D
SORU
SORU
x2–6x–y2–16y–55 ifadesinin çarpanlar›ndan biri
afla¤›dakilerden hangisidir?
x2–5x–k+1 ifadesinin bir çarpan› (x+2) ise,
di¤er çarpan› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x–y–11
B) x–y+11
D) x+y+3
C) x–y+5
A) x+3
E) x+y+11
B) x–7
D) x–2
5. SAYI
3
C) x+7
E) x–5
ÇÖZÜM
SORU
x2 – 5x –k + 1 ifadesinin bir çarpan› (x + 2) ise,
x2 – 5x –k + 1 = (x + 2) (x + n) dir.
x = –2 ⇒ 4 + 10 –k + 1 = 0
k = 15 bulunur.
x2 – 5x – 14 = (x+2) (x–7) olur.
x
2
x
–7
Di¤er çarpan› (x–7) dir.
ax 2–(a–1)x–3a
x–2
sadeleflmifl biçimi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) x–1
B) x+1
C) 2x–3
D) 2x+1
E) 2x+3
ÇÖZÜM
Yan›t : B
Verilen ifade sadeleflebildi¤ine göre, pay›n bir çarpan› (x–2) dir.
x = 2 ⇒ ax2 – (a – 1) x – 3a = 0 olur.
4a – 2a + 2 – 3a = 0
a = 2 bulunur.
a = 2 ⇒ 2x2 – x – 6 = (2x + 3) (x – 2)
SORU
a4 + a 2 + 1
a2 –a + 1
ifadesi sadeleflebildi¤ine göre,
ifadesinin en sade biçimi afla¤›daki-
(2x+3) (x–2)
= 2x + 3 olur.
x–2
lerden hangisidir?
A) a – 1
B) a + 1
D) a2 –a + 1
C) a2+a+1
E) a2 –a – 1
Yan›t : E
ÇÖZÜM
1. yol: Pay ve payda çarpanlar›na ayr›larak sadelefltirilir.
Paya, a2 bir kez eklenir, paydan bir kez ç›kar›l›rsa,
SORU
a4+ 2a2+ 1 – a2
a2+ 1 2– a2
a2+1–a a2+1+a
=
=
a2–a+1
a2 –a + 1
a2 –a + 1
x2 – 1
x–1
x 2 + ax + b .
=
2
2
x – 2x – 3 x + 5x + 6 x + 3
= a2+a +1 bulunur.
a.b çarp›m› kaçt›r?
2. yol: Bir ifade, sadelefltirilmifl biçimine özdefltir. Bu
nedenle, bilinmeyenlerin yerine payday› s›f›r yapmayan de¤erler verilerek, ayn› sonucu veren seçenek
kontrol edilerek do¤ru seçenek bulunur.
A) – 6
+
–
–
+ a3 –+ a2 –
+
E) 8
x–1
x+1
=
x+3
x+3
x2 + ax + b = x2 –x – 6 bulunur.
Ayn› dereceli terimlerin katsay›lar› eflit olaca¤›ndan,
a = –1 ve b = –6 olur. a.b = 6 bulunur.
Yan›t : D
a2 –a + 1
a2 +a + 1
SORU
a
a2 – a + 1
2 +
–
+
– +a – a + 1
0
a2+
Bölüm =
a+1
olur.
2x + 1
+ 1
x 2 –1
x– x 2
x 2 +x
ifadesinin efliti afla¤›da-
kilerden hangisidir?
A) 2
Yan›t : C
5. SAYI
D) 6
2
sadelefltirmeler yap›l›rsa, x + ax + b . 1 = 1
x–3
x+2
3.yol: Polinom bölmesi yap›larak bölüm bulunabilir.
+
–
C) 3
x 2 + ax + b . x – 1
x+1 x–3
x+2
a = 0 ⇒ S = 1 olur. Oysa, a = 0 için A ve E seçenekleri, –1 olur.
a = 1 ⇒ S = 3 olur. a = 1 için B seçene¤i, 2 ve D seçene¤i 1 olur. Do¤ru seçenek C dir.
a4 + a2 + 1
a2
B) – 3
ÇÖZÜM
4
2
S = a + a + 1 olsun.
a2 –a + 1
3 –
–
+a4 +
–a +
3
a +1
oldu¤una göre,
4
B) x
x–1
C) 2
x
D) x+1
x
E) 1
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x2 + y2 = 42
2x 2–x–1+x–1
2x –
1 + 1
=
x ( x 2 – 1)
x2 – 1
x 2 – x x2 + x
(x)
=
–
(x–1)
(x+1)
x – y + 2xy = 12
x2 + y2 – 2xy –x + y = 30
( x 2–1)
2
=2
x ( x 2 – 1) x
(x– y)2 – (x– y) – 30 = 0
Yan›t : C
x–y
5
x–y
–6
(x – y + 5) (x – y – 6) = 0
x – y = –5 veya x – y = 6 d›r.
SORU
x – y nin pozitif de¤eri, 6 d›r.
3 6 3 + 6 . 3 6 2 + 1 2 . 3 6 + 8 iflleminin sonucu kaçt›r?
2 1 3 –6.2 1 2 + 1 2 . 2 1 – 8
A) 8
B) 9
C) 16
D) 27
Yan›t : E
E) 81
SORU
ÇÖZÜM
(a–b) ile (a+b) nin geometrik ortas› c dir.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ve
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 özdeflliklerini kullan›rsak,
3
36 + 2
2
36 + 6 . 36 + 12 . 36 + 8 =
21 3 – 6 . 21 2 + 12 . 21 – 8
21 – 2
3
3
= 38
19
(a+b+c) . (b+c–a) = 24 ise,
b ile c nin geometrik ortas› kaçt›r?
3
A) M2
B) 2
C) M6
–
D) M10
E) 2M3
= 2 3 = 8 bulunur.
ÇÖZÜM
Yan›t : A
a–b ile a+b nin geometrik ortas› c ise, c2 = a2 – b2 dir.
⇒ a2 = b2 + c2 olur.
(b + c + a) (b + c – a) = 24
(b + c)2 – a2 = 24
(b + c)2 – (b2 + c2) = 24
b2 + c2 + 2bc – b2 – c2 = 24
bc = 12 bulunur. b ile c nin geometrik ortas›,
SORU
a2(b–1)–4ab+4b+4 = 0 ise,
b nin a türünden efliti afla¤›dakilerden hangisidir?
A) a+1
a–2
B) a+2
a–2
D) 3a–1
C) 2a+1
a
bc =
SORU
b nin a türünden eflitini bulmak için, ba¤›nt›da b yi
yaln›z b›rakmak gerekir.
a2b – a2 – 4ab + 4b + 4 = 0
b(a2 –4a + 4) = a2 – 4
b (a – 2)2 = (a – 2) (a + 2)
a ≠ b olmak üzere,
a3 – a2 = b3 – b2
A) 1
bulunur.
B) 2
C) 3
ÇÖZÜM
a3–a2=b3–b2
a3–b3=a2–b2
(a–b)(a2+ab+b2) = (a–b)(a+b)
a2+ab+b2=a+b
a2+ab+b2=ab+2
a2+b2=2
SORU
x2 + y2 = 42
x–y + 2xy = 12 ise,
x–y nin pozitif de¤eri kaçt›r?
5. SAYI
ve a + b = ab+2 ise,
a2 + b2 ifadesinin say›sal de¤eri kaçt›r?
Yan›t : B
A) 2
olur.
Yan›t : E
E) 2a
ÇÖZÜM
b= a + 2
a–2
12 = 2 3
B) 3
C) 4
D) 5
Yan›t : B
E) 6
5
D) 4
E) 5
SORU
ÇÖZÜM
a ≠ 0 olmak üzere,
x = a3 + a2 + a
x– 1 – 1 = 0 ⇒ x2 = x+1 istenen ifadede, x2 yerine,
x
x+1 ve oluflan, x– 1 yerine de 1 yaz›l›rsa,
x
y = a3 – a2 – a ve x2 – y2 = 16a4
ise,
x 2– 1 = x+1 – 1 = x – 1 + 1 = 1 + 1 = 2 bulunur.
x
x
x
x kaçt›r?
A) 23
B) 32
C) 37
D) 39
E) 43
Yan›t : C
ÇÖZÜM
SORU
x2–y2=16a4
(x–y)(x+y)=16a4
x=a3+a2+a ve y=a3– a2– a oldu¤undan,
x – y = 2a2 +2a ve x+y = 2a3 bulunur.
Bunlar yukar›daki denklemde yerine yaz›l›rsa,
(2a2+2a)(2a3)=16a4 ⇒ a+1=4 ⇒ a=3 bulunur.
x=a3+a2+a = 27+9+3 = 39 olur
A = (x2–2x)2 .(x2+x–6)
B = (x2–4)2 .(x2 + 2x – 8) ise,
A ile B nin OBEB i afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (x–2)3
B) (x–2)2
D) (x+2)3
Yan›t : D
C) (x–1)2
E) (x+2)2
ÇÖZÜM
SORU
a–c=4
b – c = – 4 ise,
A ve B çarpanlar›na ayr›l›r.
A=x2(x–2)3(x+3)
B= (x+2)2(x–2)3 (x+4)
OBEB(A, B) = (x–2)3 (Ortak çarpanlardan üsleri en küçük olanlar›n çarp›m›d›r.)
a2 + b2 – 2c2 ifadesinin say›sal de¤eri kaçt›r?
A) 32
B) 24
C) 12
D) – 12
E) – 16
Yan›t : A
ÇÖZÜM
a2+b2–2c2=a2–c2+b2–c2
=(a–c)(a+c)+(b–c)(b+c)
a–c=4, b–c=–4 ve (a–c)–(b–c) = 8⇒ a–b = 8 oldu¤undan,
a2+b2–2c2 =4(a+c)–4(b+c)
=4(a+c–b–c)
=4(a–b) = 4.8=32 bulunur.
SORU
x 3 +y3
x 4 –y4 –x 3 y+xy 3
ifadesinin en sade biçimi afla¤›-
dakilerden hangisidir?
A)
Not : Bir denklem sisteminde, bilinmeyen say›s› denklem say›s›ndan fazla ise sonsuz çözüm vard›r. Bu nedenle, iki denklemi de sa¤layan de¤erler al›narak istenen bulunabilir.
a=4, c=0 ve b= –4 al›narak
a2+b2–2c2=16+16=32 bulunur.
2
x+y
B) x
x–y
D)
2x–1
y
C)
E) 1
x–y
ÇÖZÜM
Yan›t : A
Pay ve payda çarpanlar›na ayr›l›rsa,
SORU
(x+y)(x 2–xy+y 2)
x 3+y3
=
x 4–y4–x 3y+xy3 ( x 2–y2)(x 2+y2)–xy(x 2–y2)
x – 1 = 1 ise,
x
=
x2 – 1
x
ifadesinin say›sal de¤eri kaçt›r?
A) 1
2
B) 2
5. SAYI
C) 2
D) 3
2
(x+y)(x 2–xy+y 2)
x+y
=
( x 2–y2) (x 2+y2–xy) (x–y) (x+y)
= 1 bulunur.
x–y
Yan›t : E
E) 3
6
x 2+y
x+y
SORU
ÇÖZÜM
2+4a + 2 . a–b – a + b
2a
2a
a–b
a+ 1 = 2 3 ⇒ (a+ 1 ) 2 = (2 3 )2
a
a
ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?
a2+ 1 + 2 = 12 ⇒ a2 + 1 = 10
a2
a2
A) 2
a
B)
D)
a
a–b
2
a–b
C)
a–b
a
(a2+ 1 )2 = 102 ⇒ a4 + 1 + 2 = 100
a2
a4
4
1
a +
= 98
a4
E) 2
ÇÖZÜM
S = a2 – 1 olsun.
a2
2+4a + 2 a–b – a+b
2a
a–b 2a
S2 = a4 + 1 –2 = 98–2 = 96
a4
a–b
– (a–b)
= 2 + 4a + 2
2a 2a a–b 2a
S = 96 = 4 6 bulunur.
a–b
=1 + 2 + 2 .
– 2 (a–b)
a
a–b 2a a–b
Yan›t : D
=1 + 2 + 1 –2= 2
a
a
a
SORU
Yan›t : A
x2 = x – 1 ise,
x5 afla¤›dakilerden hangisine eflittir?
A) 1–x
SORU
2001.999
–
B) – 1
5
C) 2–x
D) 2x–3
E) 3–2x
ÇÖZÜM
x2 yerine her aflamada (x–1) yaz›larak istenen bulunur.
1999.1001
x5=(x2)2x=(x–1)2x =(x2–2x+1)x
1 0 1 2 – 201
iflleminin sonucu kaçt›r?
A) – 1
10
B) x–1
=(x–1–2x+1)x=–x.x= –x2
D) 1
5
C) 1
= –(x–1)=1–x olur.
E) 1
10
Yan›t : A
ÇÖZÜM
SORU
Kesrin pay›nda, 1000 = x yaz›l›rsa,
(2x+1) (x–1) – (2x–1) (x+1)
10 12– 2.101 + 1
=
=
4x + 5y = 30
–2x
101–1
3x – 2y = 18 ise,
2
1 2 x 2 + 7 x y – 1 0 y2
x+7y+3
–2000
= – 1 olur.
10000
5
ifadesinin say›sal de¤eri kaç-
t›r?
Yan›t : B
A) 24
B) 36
C) 48
ÇÖZÜM
4x+5y=30
3x–2y=18
x+7y=12
SORU
a + 1 = 2 3 ise,
a
a2 – 1
a2
A) 2M2
5. SAYI
12x 2+7xy–10y 2 (4x+5y)(3x–2y)
=
x+7y+3
x+7y+3
ifadesinin pozitif de¤eri kaçt›r?
B) 2M3
C) 4M3
D) 4M6
= 30.18 = 36
12+3
E) 6M6
Yan›t : B
7
D) 60
E) 72