GEOMETR‹

GEOMETR‹
Derginin bu say›s›nda Temel Orant› Teoremi ve A.A. Üçgen Benzerli¤i konusunda çözümlü sorular yer almaktad›r. Bu konuda, ÖSS’de ç›kan sorular›n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar›, sorular›m›z›n çözümü içinde hat›rlatmay› amaçlad›k. ÖSS’de bu konudan ortalama 3 soru ç›kmaktad›r. Derginin bundan sonraki say›s›nda
K.A.K ve K.K.K Benzerli¤i, Benzer fiekiller, Benzer Cisimler ve Benzerlik Oran› konusu ele al›nacakt›r.
ÇÖZÜM
A
SORU
ABC üçgeninde
x+2
[DE] // [BC]
m(DFB ) = m(FBC ) (içters aç›lar)
x+5
DFB ikizkenar üçgen olur.
|AD| = (x + 2) cm
E
D
|BD| = |DF| = 4 cm
|DB| = 2 cm
∆
∆
ADE ~ ABC ,
x–1
2
|AE| = (x + 5) cm
|EC| = (x – 1) cm ise,
2
B
C
8 =4+x
12 3 15
30 = 12 + 3x
x kaçt›r?
A) 3
B) 4
AD DE
=
AB
BC
C) 5
D) 6
x = 6 cm olur.
E) 7
Yan›t : C
ÇÖZÜM
SORU
Temel orant› teoreminden,
D
x+2 =x+5
2
x–1
ABCD dörtgeninde,
[AB] // [EF] // [DC]
|DE| = 2 cm
|EA| = 8 cm
|DC| = 4 cm
|EF| = 6 cm ise,
x = –3 negatif oldu¤undan x = 4 al›nmal›d›r.
|AB| = x kaç cm dir?
AD AE
dir.
=
DB EC
A) 11
B) 12
2
4
C
6
E
F
8
A
B
x
C) 13
D) 14
E) 15
Yan›t : B
ÇÖZÜM
[DK] // [CB] çizilirse
A
SORU
D
2
KBCD paralelkenar olur ve
E
|DC|=|LF|= |KB|= 4 cm dir.
ABC üçgeninde
|EL| = |EF| – |LF|
[DE] // [BC]
8
D
4
4
F
x
∆
∆
DEL ~ DAK oldu¤undan,
E
B
C
15
8
A
10
DE
EL
⇒ 2 = 2 ⇒ AK = 10 cm
=
DA AK
10 AK
|FE| = x kaç cm dir?
|AB| = |AK| + |KB| = 10 + 4 = 14 cm olur.
4. SAYI
B) 5
C) 6
F
2 L
|BC| = 15 cm ise,
A) 4
C
|EL| = 6 – 4 = 2 cm
[BF] aç›ortay
|AD| = 2.|DF| = 8 cm
4
D) 7
Yan›t : D
E) 8
8
K
4
B
ÇÖZÜM
SORU
A
ABC ve AED
[DE] a¤›rl›k merkezinden
geçip ve [BC] ye paralel
oldu¤u için,
|AD| = 2.|BD| = 2k olur.
[DF] // [BE]
ABE üçgeninde temel
orant› teoreminden,
üçgenlerinde
D
[AB] // [DE]
|DF| = |FE|
x
|BG| = 4 cm
|FC| = 6 cm ise,
B
6
F
G
4
C
E
|GF| = x kaç cm dir?
A) 3
2
AD AF
⇒ 2k = 6
=
DB FE
FE
k
C) 5
2
B) 2
D) 3
E) 4
F
3
G
D
E
x
k
B
C
[DE] // [BC], ABC üçgeninde temel orant› teoreminden,
AD AE
⇒ 2k = 9
=
x
DB EC
k
x = 4,5 cm bulunur.
∆
ABC ~DFC (A.A. üçgen benzerli¤inden)
DF
= 6
AB 10 + x
∆
6
2k
|FE| = 3 cm olur.
ÇÖZÜM
∆
A
(1)
Yan›t : D
∆
ABG ~ EFG (A.A üçgen benzerli¤inden)
SORU
|EF| x
=
|AB| 4
(2)
ABC ve DBC
üçgenlerinde,
[AB] // [EF] // [DC]
2.|AB| = 3.|DC|
|EF| = 12 cm ise,
|DF| = |EF| dir,
(1) ve (2) den
6 =x
10+x 4
A
D
E
12
B
F
C
|DC| kaç cm dir?
x2 + 10x – 24 = 0 ⇒ (x–2) (x + 12) = 0
A) 16
x = –12 olamayaca¤›ndan x = 2 cm dir.
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
ÇÖZÜM
Yan›t : B
A
D
3k
A
SORU
a¤›rl›k merkezidir.
D
[BE] // [DF]
G
B
|EC| = x kaç cm dir?
4. SAYI
B) 3,5
1 = 1 + 1
12 3k
2k
(2)
E
C) 4
C
D) 4,5
C
1 = 1 + 1 özelli¤inden
|EF| |AB| |DC|
(3)
1 = 5 ⇒ k = 10 oldu¤undan
12 6k
x
|AF| = 6 cm ise,
F
B
F
[DE] // [BC]
2k
12
6
G noktas›, ABC üçgeninin
A) 3
E
DC = 2k = 20 cm olur.
E) 5
Yan›t : C
9
ÇÖZÜM
SORU
A
ABE üçgeninde Pisagor teoreminden,
ABC üçgeninde,
[AD] ∩ [BE] = {F}
|BF| = 2.|FE|
|CE| = 3.|AE|
|BE|2 = 162 + 122 ⇒ |BE| = 20 cm olur.
F
|DF| = 6 cm ise,
∆
B
B) 4,5
|AB| |AE|
⇒ 16 = 12 ⇒ |ED| = 6 cm
=
|DC| |ED|
8
|ED|
C
D
C) 5
D) 5,5
E) 6
∆
∆
BEF ~ BDC (A.A.)
ÇÖZÜM
[TE] // [BC] çizelim.
ADC üçgeninde Tales
teoremi uygulan›rsa,
|EF|
|BE|
⇒ 20 = x ⇒ x = 80 cm bulunur.
=
|BD| |DC|
26 8
13
A
3
T
3
y
|TE|
=
=1
|DC| 4y 4
|TE| = k ve
|DC| = 4k olur.
∆
∆
ABE ~ DCE (A.A.)
6
|AF| = x kaç cm dir?
A) 4
|BE|2 = |AB|2 + |AE|2
E
x
y
k
E
Yan›t : D
n
F
2n
3y
6
∆
B
TEF ~ DBF (A.A.)
D
2k
C
4k
|BD| 2n
=
= 6
n |TF|
|TE|
Bu eflitliklerden,
SORU
|BD| = 2 . |TE| = 2k ve |TF| = 3 cm olur.
ADC üçgeninde temel orant› teoreminden,
|AT|
y
|AT| |AE|
⇒
=
=
9
3y
|TD| |EC|
ve
A
ABC üçgeninde,
|AT| = 3 cm olur.
3
x
m(ADE ) = m(ACB )
D
|AD| = |DB| = x
|AF| = x = 3 + 3 = 6 cm bulunur.
5
x
|AE| = 3 cm
Yan›t : E
E
|EC| = 5 cm ise,
B
C
x kaç cm dir?
SORU
A
.
12
16
A) 2 2
D
.
E
B) 2 3
D) 3 3
C) 3 2
E) 4 2
8
x
B
F
ÇÖZÜM
C
∆
ABC ve DBC üçgenlerinde,
ADE ~ ACB (A.A.)
m (BAC ) = m(BDC ) = 90°
x 2 = 12,
|EF| = x kaç cm dir?
4. SAYI
B) 60
11
x
|AE| |AD|
⇒ 3 =x
=
|AB| |AC|
2x 8
[EF] // [DC]
|AB| = 2.|DC| = 16 cm,
|AE| = 12 cm ise,
A) 50
11
A
∆
D) 80
13
E) 90
13
Yan›t : B
10
α
θ
E
D
5
x
θ
x = 2 3 cm olur.
C) 70
13
3
β
B
α
C
SORU
ÇÖZÜM
A
ABC ve ADC üçgenlerinde,
L
[DH] ⊥ [AC]
m(BAD ) = m(DAC ) = m(BCD )
K
[DK] ⊥ [AB]
|AE| = 6 cm
|DE| = 2 cm
|BE| = 4 cm
|AB| = x
|DC| = y ise,
[CL] ⊥ AB
x
6
A
H
3
3
30°
çizilirse,
8
B
C
6
D
aranan uzakl›k
4
B
E
2
x + y kaç cm dir?
|CL| uzunlu¤udur.
C
DHC (30°, 60°, 90°) üçgeninden,
y
|DH| = 3 cm olur.
D
A) 9
B) 10
C) 11
[AD] aç›ortay oldu¤u için |KD| = |DH| = 3 cm olur.
D) 12
∆
E) 13
BD KD
⇒ 8 = 3
=
BC
CL
14 CL
ÇÖZÜM
∆
A
∆
CL = 21 cm bulunur.
4
ACD ~ CED (A.A.)
α α
y 8
CD |AD|
⇒
=
=
2 y
ED
CD
y2 = 16,
∆
∆
BKD ~ BLC (A.A.)
Yan›t : C
x
6
y = 4 cm
∆
β
ABE ~ CDE (A.A.)
4
B
|BE| |AB|
⇒ 4 =x
=
DE
CD
2 y
C
α
E
2 β
SORU
y
D
x = 2y = 2 . 4 = 8 cm
ABCD dikdörtgeninde,
D
C
[DE] ⊥ [AF]
x + y = 8 + 4 = 12 cm olur.
|AD| = 12 cm
Yan›t : D
F
12
|AE| = 4 cm
10
|EF| = 10 cm
4
|BF| = x ise,
A) 14
3
ABC üçgeninde,
B) 5
C) 16
3
∆
∆
D
.
ADE ~ FAB (A.A.)
α
30°
8
B
D
6
C
|AD| |AE|
=
|FA| |FB|
|BD| = 8 cm
12 = 4
14 x
|DC| = 6 cm ise,
C noktas›n›n AB ye olan uzakl›¤› kaç cm dir?
4. SAYI
B) 5
C) 21
4
D) 6
x = 14 cm olur.
3
E) 23
4
Yan›t : A
11
C
.
.
m (BAD ) = m ( DAC)
A) 21
5
E) 17
3
D) 6
ÇÖZÜM
A
m (ACB ) = 30°
B
A
x kaç cm dir?
SORU
x
.
E
12
10
β
.
A
.
4
. α E
F
β
x
.
B
SORU
ÇÖZÜM
A
ABC ve ADE, birer
eflkenar üçgendir.
|CE| = 12 cm
|FD| = 4 cm ise,
|AF| = x
E
∆
∆
12
|DG|
|GF|
=
GE
DG
C
F
4
D
A) 10
∆
FGC ~ DGA (A.A.)
x
B
kaç cm dir?
∆
DGC ~ EGA (A.A.)
B) 12
C) 14
Bu eflitlikten
E) 18
∆
∆
∆
∆
EAD ~ EBF ve
60°–α
A
ADE eflkenar
üçgeninde,
GH
GE
GH 8
=
⇒
=
BF
EF + BF
6
EGH ~ EFB ve
60°–α
α
60°
E
Yan›t : C
12
B
β
β
60°
C
F β
60°–α
4 60°
x–8
D
∆
CFD ~ ACE (A.A.)
D
SORU
C
2
E
ABCD karesinde,
[BD] ∩ [AE] = {G}
[FG] ⊥ [AD]
|BE| = 10 cm
|EC| = 2 cm ise,
|FD| CD
=
CE
AE
4 = x – 8 ve
12 x + 4
DA + GH
= 10 olur.
BF
3
x
|DC| = x – 8
∆
DA ED
DA 12
⇒
=
=
BF
EF
BF
6
x+4
|AD|=|DE|=|AE|= x+4
GC
GF
=
den
GA DG
|DG|2 = |GF| . |GE| kural› da bulunur.
|DG|2 = 2 . 8 = 16, |DG| = 4 cm
D) 16
ÇÖZÜM
G C DG
=
ve
GA GE
F
.
G
x
10
x = 14 cm olur.
|FG| = x kaç cm dir?
A) 68
11
Yan›t : C
B) 69
11
A
B
C) 70
11
D) 71
11
D
ÇÖZÜM
E) 72
11
C
2
E
12 F .
G
6y
5y
SORU
ABCD paralelkenar
D
C
A
[AC] ∩ [DE] = {G}
[GH] // [AD]
∆
F
6
A) 8
3
4. SAYI
H
A
∆
AGD ~ EGB (A.A.)
2
|GF| = 2 cm
DA + GH
BF
B
FG
DA 12
=
=
ve
GH
EB 10
E
|FG| = 6y ve
oran›
B) 3
12
Karenin bir kenar uzunlu¤u 12 cm olur.
G
A, B, E do¤rusal
|FE| = 6 cm ise,
. H 10
kaçt›r?
C) 10
3
GH = 5y olsun.
y = 12 cm
11
|FG| = 6y = 6 . 12 = 72 cm bulunur.
11 11
11y = 12,
D) 11
3
|FG| 6
=
|GH| 5
E) 4
Yan›t : E
12
B
SORU
SORU
ABC bir üçgen,
[AB] ⊥ [BC] ve
DEFG dikdörtgendir.
[KD] ∩ [HG] ∩ [FB] = {E}
|KH| = 4|BH|
|EF| = 2|FG|
|BE| = 5 cm ise,
5
D
F
K
E
.
E
A
5
.
B
C) 25
10
G
H
.
B) 20
F
BH |BT| 1
=
=
HK |TE| 4
D) 30
E) 35
|BE| kaç cm dir?
A) 8
F
10
B
∆
B) 10
a
2a
D
D α 8
C
4
E
∆
10
A
B
ADF üçgeni ikizkenar üçgen oldu¤undan iki taban d›fl
aç›s› birbirine efltir.
∆
|BT| |TH|
=
,
|BE| |EK|
8
HT = 2 cm olur.
BTH ~ BEK (A.A.)
m(CDE ) = m(BFE)
1 = 2 ve |EK| = 10 cm olur.
5 EK
DE DC
=
FB
EF
BKD dik üçgeninde Öklit ba¤›nt›s› uygulan›rsa,
52 = 10 .a
52 = 10 . a
a = 5 cm, |KD| =10 + 5 = 25 cm, |EF| = 2a = 5 cm
2
2 2
oldu¤undan
4 = 5 = 1 =k
8 10 2
∆
∆
CDE ~ EFB (K.A.K benzerli¤i) olur.
∆
BKD ~ BAC (A.A.)
k=
25
|BE| KD
5
⇒
=
= 2 ve |AC| = 25 cm bulunur.
|BF| AC
10 AC
CE
⇒ 1= 8
EB
2 EB
ve
EB = 16 cm bulunur.
Yan›t : C
4. SAYI
α
F
ve
∆
E) 16
5
|HT| |TE|
=
|GF| |FE|
∆
D) 14
C
G
HTE ~ GFE (A.A.)
HT
= 4
a
2a
C) 12
ÇÖZÜM
.
2a
E
H
.
.
a
y 2 T4
.
. 1
4y
B
ABC üçgeninde,
D, E, F noktalar› do¤rusald›r.
|AD| = |AF|
|FB|=|CE|=2|DE|=8 cm
|EF|=2|DC|=10 cm ise,
A
K
|BT| = 1 cm
|TE| = 4 cm
bulunur.
8
C
D
ÇÖZÜM
[HT] // [AC] çizilir.
BEK üçgeninde temel
orant› teoreminden
8
4
|AC| kaç cm dir?
A) 15
C
A
Yan›t : E
13