∑ ∑ ∑ - 80.251.40.59

DÜZGÜN DAĞILIM
Bir X rasgele değişkeni aldığı değerleri eşit olasılıkla alıyorsa düzgün dağılıma
sahiptir denir. Düzgün dağılıma sahip bir X
rasgele değişkeninin aldığı değerler
x = x1 , x2 ,..., xn olmak üzere olasılık fonksiyonu,
f ( x) =
1
n
, x = x1 , x2 ,..., xn ( x1 < x2 < ... < xn )
olasılık tablosu,
x
f ( x)
x1
1
n
⋯
x2
1
n
xn
1
n
⋯
dağılım fonksiyonu,
0
i

F ( x) = 
n
 1
,
x < x1
, xi ≤ x < xi +1 , i = 1, 2,..., n − 1
x ≥ xn
,
ve
n
∑x
1 1 n
E ( X ) = ∑ xi f ( xi ) = ∑ xi = ∑ xi =
n n i =1
i =1
i =1
n
n
i =1
i
n
=x
n
n
E ( X 2 ) = ∑ x 2 f ( x) = ∑ xi2 f ( xi ) =
x
i =1
∑x
i =1
2
i
n
n
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( EX ) 2 =
∑ xi 2
i =1
n
n
− ( x )2 =
∑x
i =1
i
2
− nx 2
n
n
n
Var ( X ) = E ( X − EX ) 2 = E ( X − x )2 = ∑ ( xi − x ) 2 f ( xi ) =
i =1
n
n
n
n
 n

2
2
2
(
x
−
x
)
=
x
−
2
x
x
+
x
=
xi2 − nx 2 
∑
∑
∑
∑
∑
i
i
i

i =1
i =1
i =1
i =1
 i =1

∑ (x − x )
i =1
i
n
2
n
n
i =1
i =1
M X (t ) = E (etX ) = ∑ etx f ( x) = ∑ etxi f ( xi ) = ∑ etxi
x
1 tx 1 tx 1 tx
1
= e 1 + e 2 + e 3 + ... + etxn
n
n
n
n
1
n
, t∈R
dır.
Özel olarak X ´in aldığı değerler, x = 1, 2,..., n olduğunda,
1
f ( x) =
x = 1, 2,..., n
n
x
1
2
3 ...
n
1
1
1
1
f ( x)
...
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
E ( X ) = ∑ x f ( x) = ∑ xi f ( xi ) = ∑ i × = 1× + 2 × + .... + n ×
n
n
n
n
x
i =1
xi =1
(n + 1)
2 = n +1
n
2
2
 n +1 
n
n
(1²
+
2²
+
...
+
²)
−


∑ xi2 − n ⋅ x 2 =
 2 
Var ( X ) =
n
n
1
= (1 + 2 + .... + n) =
n
n⋅
n(n + 1)(2n + 1)
 n +1 
− n

6
 2 
=
n
n³ − n n ² − 1
=
=
12n
12
2
Örnek 1 Düzgün bir tavla zarı atılması deneyinde üste gelen nokta sayısı X olsun.
X ‘in olasılık fnksiynu,
f ( x) =
1
6
x = 1, 2,3, 4,5, 6
olasılık tablosu,
x 1
f ( x) 1
6
2
1
3
6
4
1
6
5
1
6
olasılık fonksiyonunun grafiği,
f(x)
1/6
• • • • • •
1 2 3 4 5 6
x
6
1
6
dağılım fonksiyonu,
 0

 1
 6

2
 6

3
F ( x) = P( X ≤ x) = 

 6

4

 6
 5

 6
 1

dağılım fonksiyonunun grafiği,
x <1
,
, 1≤ x < 2
, 2≤ x <3
, 3≤ x < 4
, 4≤ x<5
x <1
 0 ,

 x = 
, 1≤ x < 6
 6

x≥6
1 ,

, 5≤ x<6
x≥6
,
F(x)
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
1
beklenen değeri,
E( X ) =
2
x
3 4
5
6
7
n +1 6 +1
=
= 3.5
2
2
varyansı,
Var ( X ) =
n ² − 1 35
=
≈ 2,9167
12
12
standart sapması,
σX =
35
≈ 1.7078
12
dır.
Bu zarla oynanan bir oyunda üste gelen her nokta için 50 TL kazanıldığında,
oyunun dürüst olması için oyun kaç TL´ye oynatılmalıdır?
K = 50 X − a
a : oyuna giris icin verilen para.
Oyunun dürüst olması için E ( K ) = 0 olmalıdır.
E ( K ) = 50 E ( X ) − a
0 = 50 × 3.5 − a
a = 175 TL
Örnek 1 Düzgün dağılıma sahip kesikli bir rasgele değişkenin aldığı değerler,
1.33
1.85
2.16
2.41
2.56
2.81
2.86
2.9
2.96
3.05
3.11
3.12
3.17
3.28
3.32
3.72
4.06
4.18
4.19
5.18
olsun. n =20 olmak üzere, rasgele değişkenin her bir değeri alması olasılığı 1/20 olup olasılık
fonksiyonu,
1
f ( x) =
, x1 = 1.33 , x2 = 1.85 , ... , x20 = 5.18
20
ve dağılım fonksiyonu,
x < 1.33
0 ,
 i

, xi ≤ x < xi +1 , i = 1, 2,..., n − 1 = 
, xi ≤ x < xi +1 , i = 1, 2,...,19
20

,
x ≥ xn
x ≥ 5.38
 1 ,
dır. Dağılım fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
0
i

F ( x) = 
n
 1
,
x < x1
>> x=[1.33 1.85 2.16 2.41 2.56
>> stairs( x,(1:20)/20 )
2.81 2.86 2.90 2.96 3.05 3.11 3.12 3.17 3.28 3.32 3.72 4.06 4.18 4.19 5.18];
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Dirac Dağılımı
(Bir Noktada Yoğunlaşmış Dağılım)
(Ω, U , P )
ω
Ω
X
R
c
(Ω, U , P ) bir olasılık uzayı olmak üzere,
X : Ω →
R
ω → X (ω ) = c
gibi bir rasgele değişkenin dağılımına bir noktada yoğunlaşmış dağılım denir. Esasında X
rasgele değişkeni c değerini alan sabit bir fonksiyondur. DX ={c} olmak üzere, X rasgele
değişkenin olasılık fonksiyonu,
f ( x) = 1 , x = c
olasılık tablosu,
x
f ( x) = P ( X = x )
c
1
dağılım fonksiyonu,
0 , x < c
F ( x) = 
1 , x ≥ c
ve
E ( X ) = ∑ xf ( x) = c
x
Var ( X ) = E ( X - Ε( X )) 2 = E ( X - c ) = ∑ ( x - c 2 f ( x) = (c - c) 2 .1 = 0
2
x
M X (t ) = Ε(e ) = ∑ e f ( x) = e
tx
tX
ct
, t ∈R
x
dır.
c=0 olduğunda sıfır noktasında yoğunlaşmış dağılım ortaya çıkmaktadır. Sıfır
noktasında yoğunlaşmış dağılıma Dirac dağılımı denir.
(Ω, U , P )
ω
Ω
X
R
0
Dirac dağılımının olasılık fonksiyonu,
f ( x) = 1 , x = 0
olasılık tablosu,
x
f ( x) = P ( X = x )
0
1
dağılım fonksiyonu,
0 , x < 0
F ( x) = 
1 , x ≥ 1
ve
E ( X ) = 0 , Var ( X ) = 0 ,
M X (t ) = 1 , t ∈ R
dır. Dirac dağılımının olasılık fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafikleri,
f(x)
1
x
F(x)
1
dır.
x
Bazı Kesikli Dağılımlar
Düzgün Dağılım
o.f.
m.ç.f.
1
, x = x1 , x2 ,..., xn
n
xt
n
ei
, t∈R
∑
i =1 n
n
∑x
ortalama
j =1
x=
j
n
n
∑(x − x )
varyans
parametre
Bernoulli Dağılımı
b (1, p )
Binom
b ( n, p )
o.f.
m.ç.f.
n
x1 , x2 ,..., xn ∈ R , n ∈ {1,2,...}
p x (1 − p )
1− x
, x =0,1
1 − p + pet , t ∈ ℝ
p
ortalama
varyans
p (1 − p )
parametre
p ∈ (0,1) , n ∈ {1,2,...}
o.f.
n x
n− x
  p (1 − p ) , x = 0,1,...,n
 x
m.ç.f.
ortalama
varyans
Hipergeometrik
i =1
2
i
(1 − p + pe )
t n
, t∈ℝ
np
np (1 − p )
parametre
p ∈ (0,1) , n ∈ {1,2,...}
o.f.
a N − a  N 
 
  
 x n − x   n 
m.ç.f.
açık biçimi yok
ortalama
a
N
N −n
a
a
× n × × (1 − )
N −1
N
N
varyans
parametre
n×
N , a, n ∈ {1, 2,...} , a < N , n < N
Poisson
o.f.
e−λ λ x
, x = 0,1, 2,...
x!
m.ç.f.
e
Geometrik

, t ∈R

ortalama
varyans
λ
λ
parametre
o.f.
λ ∈ (0, ∞)
m.ç.f.
Negatif Binom
λ  et −1
(1 − p )
x −1
p , x =1,2,...
pet
,
1 − (1 − p ) et
t < − ln(1 − p )
ortalama
1
p
varyans
1− p
p2
parametre
o.f.
p ∈ (0,1)
m.ç.f.
ortalama
varyans
parametre
 x − 1 k
k −r

 p (1 − p ) , x = k , k + 1,...
 k − 1

pet

t
 1 − (1 − p ) e



k
,
t < − ln(1 − p )
k
p
k (1 − p )
p2
p ∈ (0,1) , k ∈ {1, 2,...}