158 YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSZİLİĞİ 6.7

158
2
2
2
2
O halde 6 + a + b + c $ ^ a + b + ch dir.
2
2
2
2
2
2
6 + a + b + c $ a + b + c + 2^ab + bc + cah
2^ab + bc + cah # 6 & ab + bc + ca # 3
elde edilir.
6.7
YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSZİLİĞİ
Oldukça kullanışlı bir eşitsizliktir. Özellikle simetrik fonksiyonlarda kullanılır.
a1 # a2 # a3 # ... # an, b1 # b2 # b3 # ... # bn artan sırada dizilmiş reel sayılar olsun.
^a1, a2, a3, ..., anh dizisinin herhangi bir permütasyonu ^a1y , a2y , a3y , ..., a ny h olmak üzere,
y
y
y
y
a1 b1 + a2b2 + a3b3 + ... + an bn $ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + ... + a n bn
dir. Bu eşitsizliğe yeniden düzenleme eşitsizliği denir.
İspat: b1 # b2 # b3 # ... # bn olsun. s 2 r olmak üzere S ve S’ toplamlarını aşağıdaki
gibi ifade edelim.
S = a1 b1 + a2b2 + a3b3 + ... + arbr + ... + asbs + ... + an bn
y
S = a1 b1 + a2b2 + a3b3 + ... + asbr + ... + arbs + ... + an bn
y
S - S = arbr + asbs - asbr - arbs
=
^bs - brh^as - arh dir. bs - br $ 0 olduğunu
y
biliyoruz. S $ S olması için as $ ar olmalıdır. İşleme bu şekilde devam edersek,
S maksimum değerini a1 # a2 # a3 # ... # an durumunda alır.
Problem : a, b, c reel sayılar olmak üzere,
2
2
2
a + b + c $ ab + bc + ca
olduğunu gösteriniz.
3
3
3
Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c göre simetriktir. ( f, a, b, c nin
tüm permütasyonları için invaryanttır. f (a, b, c) = f (a, c, b) = ... = f (c, b, a) ) O halde
genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. ^ a, b, ch ve ^ a, b, ch dizileri için,
2
2
2
aa + bb + cc $ ab + bc + ca & a + b + c $ ab + bc + ca bulunur. ( 2. çarpan
durumundaki ^ a, b, ch yerine sağ tarafta
^b, c, ah permütasyonunu kullandık. )
159
Problem : a, b, c reel sayılar olmak üzere,
3
3
3
2
2
2
a +b +c $ a b+b c+c a
olduğunu gösteriniz.
3
3
3
Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c göre simetriktir. O halde
2
2
2
2
2
genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. a $ b $ c dir. ^ a , b , c
2
h ve ^a, b, ch dizileri
için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım.
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
a a+b b+c c $ a b+b c+c a & a +b +c $ a b+b c+c a
bulunur.
Uygulamalar:
1.) a, b birbirinden farklı pozitif reel sayılar olmak üzere,
3
3
2
2
a +b 2 a b+b a
olduğunu gösteriniz.
Problem : (Nesbitt Eşitsizliği ) a, b, c pozitif reel sayılar olmak üzere,
a + b + c $ 3
b+c
c+a
a+b
2
olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.
Çözüm : f (a, b, c) =
a + b + c fonksiyonu a, b, c göre simetriktir. O
b+c
c+a
a+b
halde genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. a + b $ a + c $ b + c dir. Buradan
1 $ 1 $ 1 elde edilir.
1 , 1 , 1
`b+
j ve ^a, b, ch dizileri
b+c
c+a
a+b
c c+a a+b
için iki kez yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım.
a + b + c $ b + c + a
b+c
c+a
a+b
b+c
c+a
a+b
a + b + c $ c + a + b
b+c
c+a
a+b
b+c
c+a
a+b
Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplnaırsa,
2`
a + b + c
c + c+a + a+b
j $ bb +
b+c
c+a
a+b
c+a
a+b
+c
2`
a + b + c
a + b + c $ 3
j$ 3 & b+
b+c
c+a
a+b
c
c+a
a+b
2
bulunur.
160
Problem : a1, a2, a3, ..., an ! R+,
s = a1 + a2 + a3 + ... + an olmak üzere,
an
a1
a2
$ n
+
+ ... +
s - a1
s - a2
s - an
n-1
olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.
Çözüm :Verilen ifade a1, a2, a3, ..., an ye göre simetriktir. O halde genelliği bozmadan
a1 $ a2 $ a3 $ ... $ an olsun. O halde s - a1 # s - a2 #
1 $ 1
$
s - a1
s - a2
... $
... # s - an ve
1 , 1 , ..., 1
1
dir. ^ a1, a2, a3, ..., anh ve `
j
s - a1 s - a2
s - an
s - an
dizileri için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım.
an
a3
an
a1
a2
a2
a1
$
+
+ ... +
+
+ ... +
+
s - a1
s - a2
s - an
s - a1
s - a2
s - an - 1
s - an
an
a3
a1
a2
a4
a1
a2
$
+
+ ... +
+
+ ... +
+
s - a1
s - a2
s - an
s - a1
s - a2
s - an - 1
s - an
..................................................................................................................................................
an
an
an - 2
a
a1
a2
a1
$
+
+ ... +
+
+ ... +
+ n-1
s - a1
s - a2
s - an
s - a1
s - a2
s - an - 1
s - an
(n - 1) defa yeniden düzenleme eşitsizliği uygulamış olduk. Bu eşisizlikler taraf
tarafa toplanırsa,
an
a2
+
+ ... +
j
s - a1
s - a2
s - an
a + a3 + ... + an
a + a4 + ... + a1
a + a2 + a3 + ... + an - 1
$ 2
+ 3
+ ... + 1
s - a1
s - a2
s - an
^n - 1h` a1
a2 + a3 + ... + an = s - a1, a3 + a4 + ... + a1 = s - a2, a1 + a2 + ... + an - 1 = s - an
eşitliklerini kullanalım.
^n - 1h` a1
s - a1
+
an
s-a
a2
s-a
s-a
+ ... +
j $ s - a1 + s - a2 + ... + s - an
s - a2
s - an
1
2
n
= 1 + 1 + ... + 1
1 44n2
44 3
tan e
& ^n - 1h`
an
a1
a2
+
+ ... +
j=n
s - a1
s - a2
s - an
bulunur. n = 4 için formülü kullanırsak,
a
b
c
d
$ 4 olduğunu söyleyebiliriz.
+
+
+
b+c+d
a+c+d
a+b+d
a+b+c
3
Uygulamalar:
1.) a1, a2, a3, ..., an ! R+,
s = a1 + a2 + a3 + ... + an olmak üzere,
2
s + s + ... + s
$ n
s - a1
s - a2
s - an
n-1
olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.
161
Problem : a, b, c pozitif reel sayılar olmak üzere,
2
2
2
2
2
2
a + c + b + a + c + b $ 2^a + b + ch
b
c
a
olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.
Çözüm : f (a, b, c) =
2
2
2
2
2
2
a + c + b + a + c + b fonksiyonu a, b, c ye göre simetrik
b
c
a
1 $ 1 $ 1 dir. Buradan 1 $ 1 $ 1
c
b
a
c
b
a
tir. O halde genelliği bozmadan a $ b $ c olsun.
2
2
ve ^ a , b , c
2
2
a 1 +b
b
2 1
2
a
+b
c
2
h dizileri
için iki kez yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım.
1 + c2 1 $ b2 1 + c2 1 + a2 1 = b + c + a
c
a
b
c
a
1 + c2 1 $ a2 1 + b2 1 + c2 1 = a + b + c
a
b
a
b
c
Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplnaırsa,
2
2
2
2
2
2
a + c + b + a + c + b $ 2^a + b + ch bulunur.
b
c
a
Problem : x, y, z pozitif reel sayılar olmak üzere,
3
3
3
x + y + z $ x+y+z
yz
zx
xy
olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.
3
Çözüm : f (x, y, z) =
3
3
x + y + z fonksiyonu x, y, z ye göre simetriktir. O halde
yz
zx
xy
3
3
genelliği bozmadan x $ y $ z olsun. x $ y $ z
^ x3, y3, z3h ve ` 1 , 1 , 1 j dizileri
, 1 $ 1 $ 1
3
yz
zx
xy
dir. Buradan
için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım.
yz zx xy
3
2
3
2
3
2
x + y + z = x3 1 + y3 1 + z3 1 $ x3 1 + y3 1 + z3 1 = x + y + z
yz
zx
xy
yz
zx
xy
xy
yz
zx
y
z
x
2
Şimdide
2
2
x + y + z ifadesi için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım. Burada
y
z
x
2
dikkat etmemiz gereken f (x, y, z) =
2
2
x + y + z fonksiyonu x, y, z ye göre simetrik
y
z
x
değil döngüseldir. (cyclic) x $ y $ z ve z $ y $ x durumlarının ikisinide incelememiz
gerekir.
2
2
i.) x $ y $ z olsun. x $ y $ z
, 1$1 $ 1
2
z
y
x
2
2
dir. ^ x , y , z
için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım.
h ve ` 1 , 1 , 1 j dizileri
2
z y x
162
2
2
2
2
2
2
x + y + z $ y + z + x = y + z + x bulunur.
y
z
x
y
z
x
2
2
ii.) z $ y $ x olsun. z $ y $ x
, 1 $1 $1
2
x
y
z
2
2
dir. ^ z , y , x
h ve ` 1 , 1 , 1 j dizileri
2
x y z
için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım.
2
2
2
2
2
2
y
y
z
z
+
+ x $ x +
+
= x + z + y bulunur. O halde,
x
y
z
x
z
y
3
3
3
x + y + z $ x + y + z dir. Eşitlik x = y = z durumunda sağlanır.
yz
zx
xy
Uygulamalar:
1.) a, b, c ! R+ olmak üzere,
+
2.) a, b, c ! R olmak üzere,
1 + 1 + 1 $ a + b + c olduğunu gösteriniz.
2
2
2
abc
a
b
c
2
2
2
a + b + c $ b + c + a olduğunu gösteriniz.
2
2
2
a
b
c
b
c
a
Problem : x, y, z pozitif reel sayılar olmak üzere,
x
2
2
2
2
2
- z2 + y - x + z - y $ 0
y+z
z+x
x+y
olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.
Çözüm :
2
2
2
2
2
2
y
z
x + y + z
olduğunu göstermek
$
+ x +
y+z
z+x
x+y
y+z
z+x
x+y
yeterlidir.
f (x, y, z) =
x
2
2
2
2
2
- z2 + y - x + z - y $ 0 fonksiyonu x, y, z
y+z
z+x
x+y
ye göre simetrik değil
döngüseldir. x $ y $ z ve z $ y $ x durumlarının ikisinide incelememiz gerekir.
2
2
i.) x $ y $ z olsun. x $ y $ z
2
,
2 2 2
1 $ 1 $ 1
dir. ^ x , y , z h ve
y+z
z+x
x+y
1 , 1 , 1
`y+
j dizileri için yeniden düzenleme
z z+x x+y
2
2
2
2
2
eşitsizliğini uygulayalım.
2
y
z
x + y + z
bulunur.
$
+ x +
y+z
z+x
x+y
y+z
z+x
x+y
2
2
ii.) z $ y $ x olsun. z $ y $ x
2
,
2 2 2
1 $ 1 $ 1
dir. ^ z , y , x h ve
x+y
z+x
y+z
1 , 1 , 1
`x+
j dizileri için yeniden düzenleme
y z+x y+z
2
2
2
2
eşitsizliğini uygulayalım.
2
2
y
y
z
z
bulunur.Eşitlik x = y = z duru
$
+
+ x
+ x +
x+y
z+x
y+z
x+y
z+x
y+z
munda sağlanır.
163
3
3
3
Problem : a, b, c ! R+ olmak üzere, a + b + c $ 3abc olduğunu gösteriniz.
3
3
3
Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c ye göre simetriktir. Genelliği boz
madan a $ b $ c varsayalım. ^ a, b, ch, ^ a, b, ch, ^ a, b, ch dizileri için yeniden düzenleme
eşitsizliği uygulayalaım.
aaa + bbb + ccc $ abc + bca + cab = 3abc bulunur.
Problem : a, b, c $ 1 olmak üzere,
a b c
b c a
a b c $a b c
olduğunu gösteriniz.
a b c
Çözüm : f (a, b, c) = a b c fonksiyonu a, b, c ye göre simetriktir. Genelliği bozmadan
a b c
a $ b $ c varsayalım. a b c ifadesinin ln ’ini alalım.
a b c
ln^a b c h = alna + blnb + clnc dir. a $ b $ c olduğundan lna $ lnb $ lnc dir.
^a, b, ch ve ^lna, lnb, lnch dizileri için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım.
alna + blnb + clnc $ alnc + blna + clnb elde edilir.
alna + blnb + clnc $ alnc + blna + clnb + e
ln^aa bb cch
$e
ln^ca ab bch
a b c
a b c
&a b c $c a b
bulunur.
Problem : x1 # x2 # x3 # ... # xn ve y1 # y2 # y3 # ... # yn iki sayı dizisi olsun.
" z1, z2, z3, ..., zn , sayısı dizisi " y1, y2, y3, ..., yn , dizisinin bir permütasyonu olmak üzere,
^ x1 - y1h2 + ^ x2 - y2h2 + ... + ^ xn - ynh2 $ ^ x1 - z1h2 + ^ x2 - z2h2 + ... + ^ xn - znh2
olduğunu gösteriniz. ( IMO - 1975 )
Çözüm :
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n
n
i=1
n
i=1
n
^ x1 - y1h2 + ^ x2 - y2h2 + ... + ^ xn - ynh2 = / xi2 - 2 / xi yi + / yi2
n
^ x1 - z1h2 + ^ x2 - z2h2 + ... + ^ xn - znh2 = / xi2 - 2 / xi zi + / zi2
n
olduğundan
/
i=1
2
xi
n
n
- 2/ xi yi + /
i=1
i=1
2
yi
i=1
n
$
/
i=1
2
xi
-2
/ xi zi + / zi2 eşitsziliğinin
i=1
i=1
doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa,
n
n
i=1
i=1
/ xi yi $ / xi zi elde edilir. Bu eşitsizlik yeniden düzenleme eşitsizliğinin kendisidir.