1.2 Tümüyle Düzenli Topolojik Uzaylarda Sürekli Fonksiyonlar

6
1. Tümüyle Düznli Hausdorff Uzaylar
1.2
Tümüyle Düzenli Topolojik Uzaylarda Sürekli
Fonksiyonlar Halkası ve Kapalı Taban
X topolojik uzay olmak üzere X’den R’ye tanımlı sürekli fonksiyonlar kümesini C(X) ile göstermiştik. Noktasal cebirsel işlemlere göre (noktasal toplama
ve noktosal çarpma) C(X) bir cebirdir. Ayrıca noktasal sıralamadan gelen
sıralamaya göre bir Riesz cebirdir. Özelikkle fonksiyonel analizde C(X) vektör
uzayı önemli bi öznedir.
Bu kısımda verilen bir X topolojik uzayı için C(X) ve C(Y ) Riesz cebirlerini izomorfik yapan tümüyle düzenli Y topolojik uzayının varlığını göstereceğiz. Bunun sonucu olarak C(X) vektör uzayının ve cebirinin yapısını anlamak daha kolay olacaktır. Dolayısıyla C(X) cebirini çalışırken X’i tümüyle
düzenli almak genelliği bozmayacaktır. Önce aşağıdaki teoreme ihtiyacımız
var.
Teorem 1.3. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) X tümüyle düzenlidir.
(ii) τ , Hausdorff ve bir F ⊂ RX tarafından üretilen topolojidir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): F = C(X) ya da F = Cb (X) almak yeterlidir.
(i) =⇒ (ii): K, X uzayında kapalı olsun. x ∈ X \ K verilsin. Bu durumda
x ∈ ∩ni=1 f −1 ((ai , bi ) ⊂ X \ K
olacak biçimde fi ∈ F ’ler vardır. fi (x) ∈ (ai , bi ) olduğundan her i için
gi (fi (x)) = 1
ve gi ((ai , bi )c ) ⊂ {0}
olacak biçimde gi : R → R sürekli fonksiyonlar vardır.
h : X → R,
h = (g1 ◦ f1 )...(gn ◦ fn )
olarak tanımlıyalım. g ∈ C(X), g(x) = 1 ve f (X \ K) ⊂ {0} olduğu barizdir.
Bu kanıtı tamamlar.
Aşağıdaki teoremin kanıtı okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem 1.4. (X, τ ) bir topolojik uzay ve F ⊂ C(X) tarafından X üzerinde
üretilen topoloji τ ’ye eşit olsun. Y bir topolojik uzay ve σ : Y → X fonksiyonu
için aşağıdakiler denktir.
(i) σ süreklidir.
(ii) her f ∈ F için f ◦ σ : Y → R süreklidir.
1.2. Tümüyle Düzenli Topolojik Uzaylarda Sürekli Fonksiyonlar Halkası ve Kapalı Taban
7
Şimdi aşağıdaki temel teoremi verebiliriz.
Teorem 1.5. Verilen her topolojik uzay (X, τX ) için öyle bir tümden düzenli
(Y, τY ) topolojik uzayı vardır ki, C(X) ve C(Y ) Riesz cebir izomorfiktir.
Kanıt: x, y ∈ X için, ≡ ilişkisi
x ≡ y ⇐⇒
∀f ∈ C(X),
f (x) = f (y)
olarak tanımlansın. ≡ ilişkisinin bir denklik ilişkisi olduğu açıktır. Her x ∈ X
için [x], x’nin denklik sınıfını göstermek üzere,
Y = X/≡ = {[x] : x ∈ X}
σ : X → Y , σ(x) = [x]
olarak tanımlansın.
F = {g ∈ RY : g ◦ σ ∈ C(X)}
olmak üzere, τY , Y üzerinde F tarafından üretilen topoloji olsun. Aşağıdakiler
gerçekleşir:
(i) F ⊂ C(Y ) olduğu bariz.
(ii) Yukarıdaki teorem gereği σ süreklidir.
(iii) Y , Hausdorff-uzayıdır: Y ’de [x] 6= [y] olsun. Bu x 6≡ y demektir. Tanımdan
bir f ∈ C(X) için f (x) 6= f (y) dir. g : Y → R fonksiyonu g([x]) = f (x)
olarak tanımlıyalım. Bu g ◦ σ = f ∈ C(X) dir. F ’nin tanımından
g ∈ C(Y ) dir ve g([x]) 6= g([y]) dir. Bu Y ’nin Hausdorff olduğunu
kanıtlar.
(iv) Y , tümüyle düzenlidir: Y Hausdorff ve topolojisi F ⊂ RY tarafından
üretilmiş olmasından dolayı Teorem ??? gereği tümüyle düzenlidir.
(v) F = C(Y ): f ∈ C(Y ) verilsin. σ sürekli olduğundan, f ◦ σ ∈ C(X) ve
F ’nin tanımı gereği f ∈ F dir.
(vi) π : C(Y ) → C(X), π(f ) = f ◦ σ olarak tanımlanan fonksiyonun Riez
cebir izomorfizma olduğu açıktır.
Bu kanıtı tamamlar.
X bir topolojik uzay ise, f ∈ C(X) olmak üzere
Z(f ) = {x ∈ X : f (x) = 0}
8
1. Tümüyle Düznli Hausdorff Uzaylar
kümesine sıfır küme denir.
Teorem 1.6. X, T2 -uzay olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) X tümüyle düzenli.
(ii) X uzayında sıfır kümelerin kümesi, kapalı kümeler tabanıdır. Yani, X’nin
kapalı kümeleri sıfır kümelerin arakesitleridir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): K ⊂ X kapalı olsun. Her k ∈ X \ K için
fk (k) = 1 ve fk (K) ⊂ {0}
özelliğinde fk ∈ C(K) vardır.
K = ∩k∈X\K Z(fk )
olsuğu barizdir.
(ii) =⇒ (i): K ⊂ X kapalı ve x ∈ X \ K verilsin. Varsayım gereği
K = ∩i∈I Z(fi )
özellig̈inde fi ∈ C(X)’ler vardır. Ayrıca 0 ≤ fi ≤ 1 seçebiliriz. x 6∈ K
olduğundan bir i ∈ I için x 6∈ Z(fi ), yani fi (x) 6= 0 dır. fi (K) ⊂ {0} olduğu
da barizdir.
Bu kanıtı tamamlar.
Alıştırmalar
1.8. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. X üzerinde Cb (X) ve C(X) tarafından üretilen topolojilerin eşit (τ ∗ ile gösterelim) ve τ topolojisinden daha kaba olduğunu, yani τ ∗ ⊂ τ
olduğunu gösteriniz.
1.9. X bir topolojik uzay ve Y tümüyle düzenli topolojik uzay ve C(X) ve C(Y ) cebirleri
cebir izomorfizma olsunlar. Cb (X) ve Cb (Y ) cebirlerinin izomorfik olduklarını gösteriniz.