Document

1.MERTEBEDE DİFERENSİYEL DENKLEMLER
1. Soru : Aşağıdaki diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.

ce2 x  1 
1. y   y  y  ce x  2. y   e x  y e x  e y  c 3. y   1  y 2  y  2 x 
ce  1

4. y   1  cos ln x  sin ln x  y ln y  c  x  3  sin ln x  5. xy   2  3x 2  y  0
3 2
x 
 2
3
2
2
2
2
x
y

ce

 6. y  y sec x tan x  0 2 y  c  sec x   1 7. y  xy  y  xy  y


2
x

x 
 y
2
2
2
y  1  c 4  x2  x 4  x2

ce

 8.  4  x  y  1  y  x  4  x
y

1


9. x 1  y  y  1  x  y  0  xy  ce x y  10. sin x cos ydx  tan y cos xdy  0






1
 c  11.  x  1 y3 y  x  y 2  1 y 2  ln  y 2  1  2 x  2ln  x  1  c
ln cos x 
cosy






3



12. y  1  y 2 1  x 2  2 y  1  y 2  x  1  x 2 c  ln 1  y 2  y 1  y 2 




13. 1  x 2 1  y 2  y  2 x  y  y 3   0 y 1  x 2   c 1  y 2 
2. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
3
1. y   cos  2 x  1  3 y 13 y  ce3 x  2sin  2 x  1  3cos  2 x  1 2. y  2 y  e2 x
4
1
1
x


3 
 2x
2
2
x
e y  c  x  3. x y  y  x e x e x y  e  c 
4 




x4 2 
2
4.  x 2  5x  6  y  3xy  8 y  x 2  0  x  2   x  3 y  c   x3 
4 3 

2
 x

5. x 1  x  y   x  1  x 2  1   x 2  x  1 y 
y  ce x  x  6. y  x e x  3 y
 x 1

3 2
x

3
 x2 
5 y  ce 2  e  7. y  2csc2 x sin x  y  y  c tan x  sin x







8. 2 1  x  y  4 x 1  x  y y 1  x  c  x 2 9. 1  x 2  y  2 x 1  x 2   2 xy
 y  1  x  c  x  10. 2 1  x  y 
2
2
2
2

1  x 2  1  x  y y 1  x  c  1  x

3. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
y
1. xy   2 x  y  xy  c  x 2  2. xy   y  x cos 2  y  x tan 1  c  ln x 
x
y
y
y


3. xy   x cos  y sec  tan  cx  4. x  x  2 y  y   2 x  y  y  0
x
x
x


2y
2y




5
y  y  3x   cx3 5. xyy  x 2e x  y 2  0  x  2 y  4 xe x lnc x 





6.
y
y x
y
y
cos   sin  cos  y  0
x
x y
x
x


y


 ysin  c 
x


7. y 2  2 xy  x 2 y  y 2  2 xy  x 2  0 y2  x 2  c  x  y 
y
3tan 1


x
 cy 4 
8. x 2  4 x  3 y  y  6 x 2  3xy  2 y 2 y  x 2  x 2  y 2  e


y


9. x  x  y  y  y  x  y   x x 2  y 2  0  x ln x  x 2  y 2  x sin 1  cx 
x




4. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
5. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
3
 x2

5

2 3

1. y  3xy  xy   ce 2  1 2. y   3  2 y cos x  y   sin x  3cos x  ce3 x 
y

y

 x 2
1 
c
3. x2  x  1 y  y 2  x  x  2  y  0 

x  1 
  x  1 y
 2x2

4. 6 x3 y  4 x 2 y  1  3x  y 4  3  3x  ln x  c  5. y   tan x  y 2 sec x  y  0
 y

2
1

1
2
x
 2  c sec x  2sec x tan x  6. y  2 y 1  x y  0    ce  1  x  
y

y

3
2 3
3
3
7. 3xy  1  3xy ln x  y 4 x  cy  3x y 1  2ln x  8. 2 xyy  1  2 x  y 2  0

y
2

 1  cx  x3 10. x 2 1  x 2  y   x  3x3  y  y

9. x2 1  x  y   2  x  xy  y 2 y c  x  1  1  x 2

 y ln cx  x 1  x 
2


10.  2 x 2 y3  x 2 y 2  2 x  y  2 y  1  c  y 3  x  2 y  1  3
5. Soru: Aşağıda bir y1 özel çözümü verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini
bulunuz.
1. y  1  x  x3  1  2 x 2  y  xy 2 , y1  x  y  x   ce x  1  x   1


2. y  x  1  2 x  y  1  x  y 2 , y1  1  y  1  c  xe x   e x
3. xy  x 4  2 y  y 2 , y1   x 2
 y  x  e
2
x2

 c  2 x 2e x
2


2
 xy  2 c  x  xy  1  0
x

1 x 


5. 1  x 2  y  1   2 x  y  y, y1  x  y  x   c  ln
  2
1 x 




4. x 2 y  2  xy  4  xy   0, y1  


6. y  2 tan x sec x  y 2 sins, y1  sec x  y cos x  1  c  cos3 x   3cos3 x
6. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
1. xy  y  x 2  0 3xy  x3  c 2.  6 xy  x 2  3 y  3 y 2  2 xy  2 x  0
3xy  x y  x  3 y  c 3.  x y 1 y  xy 1  0  y x  2x  2 y  c
4. 1  x  y  y  2  x  2 xy  x  y  3x y  3 y  6 x  c
5. 1  3x y  6 y  y  x  3xy  0 2 x  9 x y  6 y  12 y  c
6.  20 y  3xy  6 x y  3x  y  y  6 xy  9 x y  4 x  0
5 y  y x  3x y  3x y  x  c 7.  e cos y  xe  y  e sin y  e  0
e sin y  xe  c 8. 10 y x  3x  2 y  10x y  6xy  0 10x y  9x y  6 y  c
9.  2 y tan x  3x  y  2  6 xy  y sec x  0 2 x  3x y  y tan x  c
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
4
y
x
3
2
2 2
2
2
2
4
2
3
2
3
y
x
2 3
2
2
2
2
y
x
3
3
2
2
3
2
2
10.  x cos hy  sin hx  y  sin hy  y cos hx  0  y sinh x  x sinh y  c
11. x  3  5x  12 xy 2  4 x 2 y  y   3  10 x  8xy 2  6 x 2 y  y  0
2x y  4x y  5x y  3xy  c 12.  2 10x y  y  y  x 1  5 y 
15x y  2 y 12 y  3x  c 13. 1  20  x  y   y  20  x  y   0  y  2  x  y 
3
2
2
2
4
3
2
3
2
3
2
4
9
2
10
9

c
14.  x sin  xy   cos  x  y   sin y  y  y sin  xy   cos  x  y   cos x  0
cos  xy   sin  x  y   sin x  cos y  c
7. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini verilen dönüşümleri
uygulayarak bulunuz
1.  2 y  x  dy   y  5x  dx  0, u  y  x , v  y  2 x
 y  2x    y  x   c
2
2.  2 x  3 y  dx  3xdy  0, u  x  y , v  x  y  x 2  3xy  c

2

3. y  x sin 2 y  x3 cos2 y  0, u  tan y 2 tan y  x 2  1  ce x 4. xy  x 2  y  y 2 , y  ux
 y  x tan  x  c  5.
2
xy  1  ln x  ln y  y  0, xy  u cx  ln  xy 
6. x2 y  sec y  3x tan y, sin y  u 4 x sin y  1  cx 4
7. x 1  x 4  y  2 x  x 2  y 2   1  x 4  y ,
8.  x 2  y  y  x  4 xy, y  ux 2
y
u
x
 y  x   x  1  c  y  x   x 1
2
2
 x  y   cy
2
2
8. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini uygun dönüşümler
uygulayarak bulunuz
2
1.  2 x  1 y  4e y  2  0 2  e y  c  2 x  1 2. y   x  y  x  y  tan  x  c 
3. xy  y  ln  xy   1  0  xy  e
5. y  x  y  1
cx

x
 2
2

4. 2 yy  xy  x  0  x  y  2  ce 2

2
2
3



4 y   x  c   4x 6.  y  4x 1  y  0  yy  44xx 13  ce
2
2
4x





 2

dy
 c  x  8. 3xy 2 y  y3  x  y 3  cx  x ln x
 sin  x  y  
7.
x
dx
 tan  1


2

1


dy 2 y
y
y
y

 cos 2  0  tan 2  sec 2  ce x  10. 1  x  y  1  y  1  x  1  y
9.
x
x
dx x
x



1 y  1 x  c 1 x

9. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini mümkün olduğu kadar
fazla yöntemden yararlanarak bulunuz ve her birinde elde edilen sonuçları karşılaştırınız.
1. y  xy 3 y 2  x 2  c   1  0 2. yy  4 x 1  x   y 2  0  y 2  4 x 2  ce2 x 


3. yy  csc2 x  y 2 cot x  y 2 sin 2 x  c  2 x 4.  x  y  y  x  y  x 2  2 xy  y 2  c
5. 1  x  2 y  y  1  2 x  y  x 2  xy  y 2  x  y  c 6.  5  2 x  4 y  y  3  x  2 y
 x  2 y   6x 10 y  c 7. x  x  2 y  y   2x  y  y  0 xy  x  y   c
2
1

2
2
2  2

8. 2 x yy  x 1  2 x   y  x  y  ce x  9.  2 x 2  4 xy  y 2  y  x 2  4 xy  2 y 2


3
2
2
3
2
x  6x y  6xy  y  c 10. 6xy y  x  2 y3  0 x  x  4 y3   c
2




12.  3x  6 x y  3xy  20 y  y  4 x
x  3x y  3x y  xy  5 y  c

11. 5x 2  2 y 2 yy  x x 2  5 y 2  0  x 4  10 x 2 y 2  2 y 4  c
3
4
2
3
2
2
2
3
3
3

 9 x 2 y  6 xy 2  y 3  0
4
10. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz (karışık
problemler).
2
e x y
e x  ye y  c 2. 6 x 2 y   x3  1 y  0 y  c  x3  1
1. y 

y 1

3. y  4 y  32 x 2
 y  ce
4x

 8x 2  4 x  1 4.  x 2  2 y 3  dy   2 xy  3x 2  1 dx  0


x3 4 x 2 3x
dy 3 y
2
x y  x  y  x  c 5. dx  x  x  4 x  3  y  6  5  4  cx3 


2
3
2


6. 3x 2 y 2  x y  2 xy3  y  0  x 2 y 3  xy  c 7. 2 xy3  1  x 2  y  0 y 2  2ln 1  x 2   c


8. sin  xy   xy cos  xy   1  x 2 cos  xy  y  0  y  x sin  xy   c
1

 2  y 2  c 10. xy  2 y  2 x3 y 2   cx 2  2 x3 
y

1


1
1 
 1
11. 1  1  x 2  2 xy  y 2    y 2  1  x 2  2 xy  y 2   y  0  x  2 y 2  arctan  x  y   c 




2
dx
12. 8x3 y  12 x3   x4  1 y  0  x 4  1  2 y  3  c 13.  1  cos 2  t  x 
dt
3
3
x
x
2
tan t  x   t  c 14. y  4e y   4e  3 y x  y  0  y x  4ex y  c
9. e2 x y 2   e2 x y  2 y  y  0
 e
2x



2
x

x  c  
1 

dy
 x  ye
c
15. y  2  2 x  y  3  y  2 x  3 
16.
x

1

xy

e
 



x  1
4 
dx
 x 1




dy 4 x3 y 2  3x 2 y
dy
2

  2 x  y  1 y  1  2 x  2 tan 2 x  c 18.
x3 y  x4 y 2  c
dx
dx
x3  2 x 4 y
dy
19.  y 2
 y 3  4 2 5 y3  c 3  12 2  20.  y  2 x  1 dx   x  y  4  dy  0
d
 x



y2
y
2
xy

x

x

 4 y  c  21.
 cos x  
 sin y  y  0 2 xy  sin x  cos y  c

2
x


 y

17.




22. xy  y  y 3 x 2  y 2  cx 2  1 23. 4 x3 y3  9 x2 y 2  4 x3 y 2   3x 4 y 2  6 x3 y  2 x 4 y  y  0
1
dy
2
2 
  x  y  1   x  y  1  y  ce4 x  x  
dx
4

2
4
2
25. x  2 y  xy  0 4x y  x  c
x y
4
3
 3x3 y 2  x 4 y 2  c 24.
11.Soru: Aşağıda verilen başlangıç değer problemlerinin çözümlerini bulunuz.
y dy
et
1.

, y 1  1 2 y 2 ln y  y 2  4  t  1 et  1 2. y  x3 1  y  , y  0   3
t dt ln y
x


 dy
4
y

2
e
 1 3.
 2 y  1cos x, y    0  y  sin 2 x  2sin x


 dx
4. x  y   3x  3 y  4  y   0, y 1  0 x  3 y  2ln  2  x  y   1
5.
4


6 x  4 y  1   4 x  2 y  2  y   0, y  0   0 4  y  2   8  y  2  2 x  3  3  2 x  3  5  0
6. xy  y  x2e x , y 1  e  1  y  xe x  x 7. t 3
2
2
dx
1 2

 3t 2 x  1, x  2   0  x  2  3 
dt
t t 

2
   15 2
8. y cos x  y sin x  2 x cos 2 x, y   
y  x 2 cos x   2 cos x

32
4


2x 1 
2
48 x

9. 1  x 2  y  4 xy 
10. y  4 y  2 , y  0   1
y

,
y
0

1




2
2
1 x
y

1  x2  
1


1
sin x
12 x

, y  0  1
 y   2e  1  12 x  3  11.  x  1 y  3 y 
3
2
 x  1  x  1


 y   x 1
3

ln 1  x   cos x  12.  3x  8  y 2  4   4 y  x 2  5x  6  y   0 , y 1  2
16 x  2  x  3  9 y  2  13. x  2 y   4xy  y  y  0, y  1  0
2
2
2
2
2
2
1 1 1 
 y3  6 xy 2  1  0 14. yx2 dy  y3dx  2 x2 dy , y  1  1   2   1
x 
y y
15. x2  y 2  2 xyy, y 1  2  y 2  x 2  3x 16. 2  y 2  4   1  x2  yy  0, y  3  0
x
3
 x 1  y  4  16  x 1  17. e
2
2
2
2x


y 2  2 x  e2 x yy  0, y  0   2 e2 x y 2  2 x 2  4


dy
dx
2
2
6
 3x 2  t 2 , x  1  2 2 x  t  9t 19.  4  x 2   8 xy  2 x, y  0   1
dx
dt
4 
1
dy

2
8
4
4 2
 y   320 x  4  20. x  8 y  x y , y 1  1 4  y 5 x  x
4
dx


18. tx





 
21.  2r 2 cos sin   r cos  d   4r  s in   2r cos 2   dr  0, r    2
2
1 1

2r 2  r sin   r 2 cos2   10 22. x5 y  1  3x4 y , y 1  0  y  3  4 
x x 

1
5
 
23.  x  sin y  y  tgy  0, y 1   x sin y  cos 2 y  
4
8
6 


 
24. yy  cs c 2 x  y 2 cot x , y     y2 sin x  2 x 25. 2 y cos x  y sin x  y3 , y  0   1
4
y2  cos x  sin x   1 26. xy  2 y  2 x cos 2 x  2sin 2 x , y    1 y x2  x 2 sin 2 x   2


27.

1

  2 y x  dx   2 yx
x

2
2

 cos y  dy  0, y 1  
ln x  x
28.  et y  tet y  dt   tet  2  dy  0, y  0   1 
y  

2
y2  sin y   2 
2 

te  2 
t
29.  x  y  dx  xdy  0, y 1  3 2 y  7x  x3 30.  t  x  3 dt  dx  0, x  0   1
3
x  3e
t


2
2
 t  2 31. 2 y  4 x  xyy  0, y 1  2 y  2 x 2 x 2  1
32. 2cos  2 x  y   x 2  dx  cos  2 x  y   e y  dy , y 1  0

x3
2
2
sin
2
x

y

 e y  sin 2   33. xyy  2 y  1, y 1  3

 
3
3



2 y  19 x 4  1
34.  2 x  y  dx   x  y  3 dy  0, y  0   2


 y2 
2
2
 

  ln 2 
ln  y  2   2  x  1   2 arctan 
 2  x  1 




x
3
x
2
x

e

1
35. y  1 e  3 y e  1 y  0, y  0   0  y3  x 
e  1





36.  2 x  1 y  1   x  2  x  3 y  0, y 1  1  y 


x2  x  6 


x

2
x

3


 
37. sin x  y sin x  2cos x  y cos x  0, y  0   1 y  1  2 tan x
38.  4 x3 y 2  6 x2 y  2 x  3 dx   2 x 4 y  2 x3  dy  0, y 1  3
x
4
y2  2 x3 y  x 2  3x  1  0
12.Soru: Tanımdan yararlanarak aşağıda verilen fonksiyonların lineer bağımlı olduklarını
ispatlayınız.
2
1. 2 x 2 , x 2 2. 3e2 x , 6e2 x 3. 0, cos x, e x 4. 1, 4cos2 x, 2sin 2 x 5. 1,  x, x
6. 1, sin 2 x, cos 2 x.
13. Soru: Wronski Determinantı yardımı ile, aşağıdaki fonksiyonların lineer bağımsız olduğu
bir I  kümesi belirleyiniz.
 x  1 , x2   1,0 3. x cos x, x sin x   0
1  x, 1  3x, x 2   5. eax , ebx , ecx , ( a, b, c farklı sabitler.)  
x2 , cos ln x, sin ln x  0,  7. 1, x3, x3 ln x  0,  8. x 1 , x 2 , x 3 
1. e x , e3 x
4.
6.
9.
 
2
2.
1 1
, ln x  0,  10. ea1x , ea2 x , ..., ean x ( a1 , a2 , ..., an farklı reel sabitler.)
x x
 0
 
14. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
1. y  0  y  c1  c2 x 2. y  4 y  0  y  c1e2 x  c2e2 x  3. y  2 y  3 y  0
 y  e c cos
x
2 x  c2 sin 2 x
1
 y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x 6.
7. y  2 y  5 y  0  y  e
x
 4. y  2 y  0  y  c  c e  5.
2 x
1
2
 y  e  c cos3x  c sin 3x 
 c cos 2 x  c sin 2 x  8. 4 y  12 y  9 y  0
y  2 y  10 y  0
1
x
1
2
2
3x
 

2
y

c

c
x
e



 9. 4 y  17 y  4 y  0
1
2


x



4
y

c
e
 c2e4 x 

1


3
 x

10. 16 y  24 y  9 y  0  y   c1  c2 x  e 4  11. y  5 y  5 y  0




 y  c1e


x
 

1
1 
11. 2 y  2 y  y  0  y  e 2  c1 cos x  c2 sin x   12. y  0
2
2 


13. y  y  0  y  c1  c2 cos x  c3 sin x 14. y  8 y  0
y  c e
2 x
1


 e x c2 cos 3x  c3 sin 3x 15. y  y  y  y  0
1
x
5 5
x
2
 c2e
2
1
2
2
 y  c  c x e
1
2
3
x
 c3e x 
x
3
x
x
 


1
1 
3
2
x  c3 sin
x   19. 4 y  8 y 11y  3 y  0
 y  c1e  e  c2 cos
3
3



x
5

 x


 4
3x 
2
2
2

y

c

c
x
e

c
e
y

c

c
x

c
x

c
e
20.
2
y

5
y

0






1
2
3
1
2
3
4




 4
x
x
2x
2 x
21. y  5 y  4 y  0  y  c1e  c2e  c3e  c4e 
y  c  c e
1
2
2x

 e x c3 cos 3x  c4 sin 3x
23. y 4  2 y  y  0  y   c1  c2 x  cos x   c3  cx x  sin x
25. y 4  16 y  0
y  c e
 y  c  c x e  c
2x
1
2
3
1
2x
5 5
x
2
2
1
 e x  c2 cos x  c3 sin x  18. 18 y  21y  14 y  4 y  0
22. 55. y 4  8 y  0

y  c  c x  c x 
 y   c  c x  c x  e  17. y  3y  4 y  2 y  0
16. y  3 y  3 y  y  0
y  c e
y  4 y  0

 c2e2 x  c3 cos 2 x  c4 sin 2 x 26. y 4  8 y  16 y  0
 cx x  e2 x  27. 12 y 4  31y  75 y  37 y  5 y  0
x
x




 4
x
3
 y  c1e  c2e 4  e  c3 cos 2 x  c4 sin 2 x   28. 36 y  37 y  4 y  5 y  0







x
5x
x



 4
x
3
2
 y  c1e  c2e  c3e  c4e 6  29. y  y  3 y  5 y  2 y  0


2
x
2 x
30. y5  2 y  y  0
y   c1  c2 x  c3 x  e  c4e

 y  c  c
1
2

 c3 x  cos x   c4  c5 x  sin x 31. y 6  2 y  y  0
x


3
3 


x
x   c5  c6 x  sin
x
 y   c1  c2 x  e  e 2  c3  c4 x  cos
2
2 




 5
 4
x
2x
32. y  3 y  3 y  3 y  2 y  0  y  c1  c2e  c3e  c4 cos x  c5 sin x

33. y 6  3 y 4  3 y  y  0 y   c1  c2 x  c3 x 2  e x   c3  c4 x  c5 x 2  e  x
34. y 6  y  0  y  c1  c2 x  c3e x  c4e x  c5 cos x  c6 sin x

x


2
3
35.  D  1  2D  1  D2  1 y  0  y   c1  c2 x  e x   c3  c4 x  c5 x 2  e 2  c6 cos x  c7 sin x 


x

3


36.  4D2  4D  17  y  0  y  e 2  c1  c2 x  c3 x 2  cos 2 x   c4  c5 x  c6 x 2  sin 2 x  


37. D3  D  2   D2  4  y  0
2
2
 y  c  c x  c x  c
2
1
2
3
4
 c5 x  e2 x   c6  c7 x  cos 2x   c8  c9 x  sin 2x
15. Soru: Aşağıda verilen diferensiyel denklemlerin yanlarındaki fonksiyonların çözüm
olduğunu gösteriniz ve diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.
2
2
x
x 

3
1 3 y  2 y  12 y  8 y  0, y1  e  y  c1e 3  c2 cos 2 x  c3 sin 2 x 


7
x

2. 9 y  11y  4 y 14 y  0, y  e x cos x  y  e x  c1 cos x  c2 sin x   c3e 9 


 4
x
3. y  2 y  6 y  2 y  5 y  0, y1  sin x  y  c1 cos x  c2 sin x  e  c3 cos 2 x  c4 sin 2 x 

x
4. y  4  2 y  3 y  2 y  y  0, y1  e 2 sin
3
x
2
x

 
3
3 


2
y

e
x   c3  c4 x  sin
x

 c1  c2 x  cos
2
2 




 4
3x
2 x
5. y  7 y  6 y  30 y  36 y  0, y1  e , y2  e
y  c e
1
3x

 c2e2 x  e3 x c3e
3x
 c4e
3x

16. Soru: Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
1. y 4  2 y  3 y  2 y  y  0 diferensiyel denkleminin karakteristik denklemini, a bir
sabit olmak üzere,  r 2  ar  1 şeklinde ifade ediniz ve bundan yararlanarak genel
2
x

 
3
3 


x   c3  c4 x  sin
x
çözümü bulunuz. a  1, y  e 2  c1  c2 x  cos
2
2 




2. Karakteristik denkleminin her biri üçüncü dereceden katlı; -3, 1+3i şeklinde kökleri olan
dokuzuncu mertebeden, sabit katsayılı, lineer, homojen diferensiyel denklemin genel
çözümünü bulunuz.
y   c1  c2 x  c3 x 2  e3 x  e x  c4  c5 x  c6 x 2  cos3x   c7  c8 x  c9 x 2  sin 3x 


17. Soru: Aşağıdaki başlangıç değer problemlerinin çözümlerini bulunuz.
1. y  4 y  3 y  0, y  0   7, y  0   11  y  5e x  2e3 x 
2. y  4 y  20 y  0, y  0   2, y  0   4  y  2e2 x cos 4 x
3. y  6 y  9 y  0, y  0   0, y  0   2  y  2 xe3 x 
4. y  y  0, y  0   1, y  0   0  y  cos x 5. y  4 y  5 y  0, y  0   4, y  0   8
 y  4e
2x

7  2x 

cos x 6. 9 y  12 y  4 y  0, y  0   2, y 1  1  y   2  x  e 3 
3  


7. y  6 y  5 y  12 y  0, y  0   0, y  0   4, y  0   8  y  e x  e3 x 

1
4 x 
8. 2 y  3 y  2 y  0, y  0   1, y  0   0, y  0   1  y  2  e2 x  e 2 
5
5 

9. y  y  0, y  0  0, y  0   1, y  0   2  y  2  2cos x  sin x
4
10. y   3 y  2 y  0, y  0   y  0   y  0   0, y  0   4  y  3  2 x  4e x  e2 x 
1
1
1


4
11. y   16 y  0, y  0   y  0   y  0   0, y  0   8  y   sin 2 x  e2 x  e2 x 
2
4
4


7
31
12. 4 y  4  8 y  19 y  32 y  12 y  0, y  0   3, y  0   3, y  0    , y  0  
2
4
x



 y  2e 2  cos 2 x  sin 2 x 


 4
13. y  4 y  4 y  0, y 1  1, y 1  2, y 1  y 1  0  y  2 x  3
18. Soru: Aşağıdaki diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz (Homogen
olmayan diferensiyel denklemin özel çözümünü bulurken belirsiz katsayılar yöntemini
uygulayınız.).
1. y  2 y  3 y  3e2t  y p  e2t  2. y  2 y  y  2et  y p  t 2et 
1 
1
1 


3. y  9 y  e x  y p   e x  4. y  3 y  2 y  2e x  e3 x  y p  e x  e3 x 
8 
3
2 


3
12


5. y  2 y  5 y  3sin 2t  y p  sin 2t  cos 2 t  6. y  3 y  2 y  sin x  e x
17
17



1  x x 2 3 x 
1 x 3
1


2 x


y

e  e 
8.
y

6
y

9
y

e
cosh
x
y

e

cos
x

sin
x
 p
 p

8
4
6
10
10




16
38


9. y  2 y  5 y  6sin 2 x  8cos 2 x  y p   cos 2 x  sin 2 x 
17
17


3 1
1


10. y  2 y  3  4sin 2t  y p  t  sin 2t  cos 2t 
2 2
2


x
3
x



11. y  4 y  3x  1  y p  x 2   12. y   y   2  sin x,  y p  2  sin x 
2
8
4



1
x


13. y  4 y  5sin3x  sin 2 x  cos3x  y p   sin 3x  cos3x  sin 2 x 
5
4


3
1


14. y  3 y  2 y  8  6e x  2sin x  y p  4  e x  cos x  sin x 
5
5


2


15. y  y  2 x2  6sin x  y p  x3  4 x  33sin x  16. y 4  y  y  x3
3


1 4 1 5
t



 4
2
 y p  6 x  x  x  17. y  y  3t  cos t  y p  3t  sin t 
4
20 
4



2
9


18. y  y  3 y  5 y  5sin 2 x  10 x2  2 x  5  y p  2 x 2  2 x  2  cos 2 x  sin 2 x 
17
17




x2 9
1
3
19. y  3 y   2 y   3e  6e  6 x  y p    x  e x  xe2 x 
2 4
2
2


 4
2
x
2x
4x
20. y  2 y  3 y  12 x  8xe  4e  6e
4 
x
2x

4 3 16
4 2  x 2 2x 3 4x 
 96
e 
 yp   x  x   x  x  e  e 
3
3
7 
13
186 
 49

19. Soru: Aşağıdaki başlangıç değer problemlerinin çözümlerini bulunuz.

49 17 4 x x 2 x 
 e   
1. y  4 y  2 x, y  0   1, y  0   2  y 
32 32
4 8

2. y  y  3x 2  4sin x, y  0   0, y  0   1  y  6cos x  sin x  3x 2  6  2 x cos x
7
19
1
1 3 

3. y  4 y  t 2  3et , y  0   0, y  0   2  y  sin 2t  cos 2t  t 2   et 
10
40
4
8 5 


1
 
4. y  2 y  y  tet  4, y  0  1, y  0   1  y  4   t 3  4t  3  et 
6
 

5. y  2 y  y  2e x  2 x, y  0   y  0   y  0   0  y  4  4e x  x 2e x  x 2  4 x
3 3
1 

6. y  4 y  t , y  0   y  0  0, y  0   1  y   cos 2t  t 2 
16 16
8 

5
5
5


4
7. y   y  5, y  0   y  0  y  0   y  0   0  y  e x  e x  cos x  5
4
4
2


4
 
2
8. y  4 y  x , y  0   y  0   1, y  0   y  0   1

39 5
11 2 x 3 2 x x 4 x 2 
y


x

e  e   

32 4
64
64
48 16 

20. Soru: Aşağıdaki diferensiyel denklemlerin çözümünde belirsiz katsayılar metodundan
yararlanıldığında aranması gereken özel çözümleri belirtiniz ( Bu özel çözümleri
bulmayınız.).
1. y  2 y  2 y  e x sin x  y p  xe x  A cos x  B sin x 
2. y  4 y  12 x 2  16 x cos 2 x
y
p

 A1x 2  A2 x  A3   B1x 2  B2 x  cos 2 x   B3 x 2  B4 x  sin 2x
3. y  3 y  2t 4  t 2e3t  sin 3t
y
p
5
4
3
2
3
2
3t
 At
 C1 cos3t  C2 sin 3t
1  A2t  A3t  A4t  A5t   B1t  B2t  B3t  e

4. y  4 y  4 y  2t 2  4te2t  tet s in 2t
y
p

2
3
2
2t
t
 At
1  A2t  A3   B1t  B2t  e  e 
C1t  C2  cos 2t  C3t  C4  sin 2t 
5. y  6 y  9 y  x 4e x  x2e2 x  x3e3 x
 y p   A1x 4  A2 x3  A3 x 2  A4 x  A5  e x   B1x 2  B2 x  B3  e 2 x 




5
4
3
2
3x

C
x

C
x

C
x

C
x
e




1
2
3
4


3 x
2 2x
3
6. y  3 y  2 y  x e  2 x e  4 x
 y p  A1 x 4  A2 x3  A3 x 2  A4 x   B1x 4  B2 x 3  B3 x 2  B4 x  e x 




3
2
2x

C
x

C
x

C
x
e




1
2
3


7. y  y  tet  2cos t
 y   At
p
1
2
 A2t  et  B1 cos t  B2 sin t

8. y 4  4 y  sin 2t  tet  4  y p  At 2   B1t  B2  et  t  C1 cos 2t  C2 sin 2t 
9. y 4  16 y  x 2 sin 2 x  x 4e2 x
 y p   A1 x3  A2 x 2  A3 x  cos 2 x   A4 x3  A5 x 2  A6 x  sin 2 x 




5
4
3
2
2x

B
x

B
x

B
x

B
x

B
x
e




1
2
3
4
5


4
3
2x
2
 y   A1 x  A2 x  e   B1x  B2 x  B3  e3 x 

2x
2 3x
3 4x  p
10. y  6 y  12 y  8 y  xe  x e  x e 

3
2
4x

C
x

C
x

C
x
e




1
2
3


6
5
4
 
 
 
3
2 x
x
11. y  2 y  5 y  x  x e  e sin 2 x

12. D  1 D 2  4
4
 D
2
y   A x
p
1
5

 A x e
2
 1 y  xe x  e 2 x  e 2 x  3 sin x
4
2
x

 B1x 2e2 x  B2 x 2e2 x  x C1 cos x  C2 sin x 
21. Soru: Aşağıdaki diferensiyel denklemlerin genel çözümlerini bulunuz (Homogen
olmayan denklemin y p özel çözümü sabitin değişimi yöntemi ile bulunur).
1
1  sin x


1. y  y  tan 2 x  y p   sin x  ln
 2 2. y  y  cs c 2 x
2
1  sin x


 y p    cos x  ln  csc x  cot x  1 3. y  9 y  9sec2 3t  y p  sin 3t  ln  tan 3t  sec3t  1
4. y  4 y  4 y  t 2e2t  y p  e2t ln t 5. y  4 y  sin 2 x sec2 2 x
4
1
x


 y p    sin 2 x  ln  cos 2 x   cos 2 x  6. y  3 y  2 y 
1  e x
4
2


y p  4e x 1  e x  ln 1  e x  7. y  2 y  2 y  3e x sec x y p  3e x  cos x  ln cos x  x sin x 





x2
1
x


8. y  2 y  y  e ln x  y p   2ln x  3 e x  9. y  3 y  2 y 
4
1  e2 x


1 2 x


x
2 x
x
x
1 x
2x
 y p  e tan e  e ln  e  1 10. y  3 y  2 y  cos e  y p  e cos e 
2




8 72 x 
et
11. y  2 y  y  14 x e  y p  x e  12. y  2 y  y 
5
1 t2



 1
 t
2
2
 y p    ln 1  t   t arctan t  e  13. xy  2  y p  x ln x
2

 

14. y  y  sec t  y p  ln  sec t  tan t   t cos t   sin t  ln  cos t 
3
2 x