Ş 2dz Ş 2dz Ş Ş Ş ,Ş ,Ş Ş x 1

1. z = tan
x
2
MT 132 ANALİZ II Final (A) Çözümler
2dz
2dz
1
1
olsun.∫ 2+sin x+cos
dx = ∫
= ∫ 3+2z+z
2 ,
x
2z
1−z 2
1+z 2
2+
3 + 2z + z = z + 1 + 2 = 2
2
∫
2dz
3+2z+z 2
=∫
2
1
 z+1  2 +1
dz =
2∫
2
z+1
2
1
2
 z+1  2 +1
+
1+z 2
2∫
dz =
2
2 Arc tan z+1  + C olur ve ∫
=
1+z 2
 + 1 olduğundan
2
2
dx =
1
2+sin x+cos x
du
u 2 +1
=
2 Arc tan u + C
2 Arc tan
tan 2x +1
 + C bulunur.
2
2. Kesişme Noktaları: 6 − x 2 = x x = −3 , x = 2 B : −3 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 6 − x 2 (ve
2
6 − x 2 ,x fonksiyonları sürekli) olduğundan x̄ =
2
∫ −3 x6−x 2 −xdx
2
2
∫ −3 6−x 2 −xdx
1
2
, ȳ =
2
∫ −3 6−x 2  2 −x 2 dx
2
∫ −3 6−x 2 −xdx
2
olur.∫ x6 − x 2 − xdx = −125
, ∫ 6 − x 2  2 − x 2 dx = 250
, ∫ 6 − x 2 − xdx = 125
ve
12
3
6
−3
−3
−3
−1
x̄ = 2 , ȳ = 4 bulunur.
3. f x = 6x + 6y = 6x + y = 0 ve f y = 3y 2 + 6x − 9 = 3y 2 + 2x − 3 = 0 Kritik
Noktalar: 1, −1, −3, 3 bulunur.
6 6
f xx = f xy = f yx = 6, f yy = 6y Δ1, −1 = Det
= −72 < 0 bu nokta bir eyer
6 −6
6
noktasıdır. Δ−3, 3 = Det
6
= 72 > 0 ve f xx −3, 3 > 0 olduğundan bu noktada
6 18
bir yerel minimum vardır.
4. x 2 − 4x + 13 = x − 2 2 + 9
1
1
1
1
fx = x − 2 2 + 9 2 = 3 x−2
 2 + 1 2 = 3u 2 + 1 2 = 3t + 1 2 Binom teoreminden
3
1
2
∞
t + 1 2 = ∑ n=0
1
t n dir ve bu kuvvet serisi |t| < 1 için yakınsak |t| > 1 için
n
ıraksaktır. Öyleyse
fx =
∞
x 2 − 4x + 13 = 3 ∑ n=0
1
2
∞
 x−2
 2n = ∑ n=0
3
1
2
1
3 2n−1
x − 2 2n dir
n
n
x−2 2
ve bu kuvvet serisi 
 < 1 için yakınsak  3  > 1 için ıraksaktır. Buradan
yakınsaklık yarıçapı r = 3 olarak bulunur.
5. x 3x+1
i basit kesirlere ayrıştıralım. x 3x+1
= Ax + xBx+C
2 +36
+36x
+36x
x + 1 = Ax 2 + 36 + xBx + C den A = 361 , B = −1
,
C
=
1 bulunur.
36
x+1
1
1
1
x
1
1
x
∫ x 3 +36x dx = 36 ∫ x dx − 36 ∫ x 2 +36 dx + ∫ x 2 +36 dx = 72 ln x 2 +36
+ 16 Arc tan 6x  + C
bulunur.
6.a) x −ekseni etrafında dönmesi durumunda cismin hacmi (Disk Yönteminden)
x−2
3
2
1
V = ∫ πArc sin x 2  2 dx olur. y −ekseni etrafında dönmesi durumunda cismin hacmi
0
1
(Silindirik Tabakalar Yönteminden) V = ∫ 2πxArc sin x 2 dx olur. Disk Yöntemiyle
0
π
y −ekseni etrafında dönmesi durumunda cismin hacmi V = ∫ 2 π1 2 −  sin y  2  dy olur.
0
b) (y −ekseni etrafında dönmesi durumunda cismin hacmi (Silindirik tabakalar
1
1
Yönteminden)) V = ∫ 2πxArc sin x 2 dx =∫ πArc sin udu
∫ Arc sin udu
0
Kısmi İntegrasyon
=
0
uArc sin u − ∫
u
1−u 2
du = uArc sin u + 1 − u 2 + C olur.
1
∫ 0 πArc sin udu = π π2 − 1
π
(∫ 2 π1 2 −  sin y  2  dy integrali daha kolaydır)
0
7. x = 2 için seri yakınsaktır. x ≠ 2 için U n =
U n+1
Un
=
3 n+1
n+3
|x − 2| n+1
n+2
3 n |x−2| n
=3
n+2
n+3
3n
n+2
x − 2 n olsun.
|x − 2| olur. lim 3
n+2
n+3
|x − 2| = 3|x − 2| . Oran
testinden 3|x − 2| < 1 için seri (mutlak) yakınsak 3|x − 2| > 1 için seri ıraksaktır. r = 13
olur.
|x − 2| = 13 → x = 53 , 73 aralığın uç noktalarıdır.
∞
∞
x = 73 için kuvvet serisi ∑ n=0 1 = ∑ n=3 1n p −serisi dir p = 12 ≤ 1 olduğundan
n+2
ıraksaktır.
∞
x = 53 için kuvvet serisi ∑ n=0
pn =
1
n+2
>
1
n+3
−1 n
n+2
İşaret Değişimli bir seridir.
= p n+1 olduğu açıktır. Ayrıca lim p n = lim
1
n+2
= 0 olduğundan İşaret
Değişimli Seri Teoreminden kuvvet serisi bu uçta yakınsaktır. Yakınsaklık aralığı:  53 , 73 
olur.
8.a) ∂P
= e x + 1x − 1, ∂Q
= e x + 1x + y ve ∂P
≠ ∂Q
olduğundan P dx + Q dy tam
∂y
∂x
∂y
∂x
diferansiyel değildir.
b) Rx, y = e x + ln x − x olduğunda ∂R
= e x + 1x − 1 = ∂P
olur ve (en azından
∂x
∂y
konveks kümelerde) P dx + R dy tam diferansiyel olur.
(fx, y = ye x + y ln x − xy alınırsa df = P dx + R dy olur)