ŞŞ ŞŞ - 80.251.40.59

Örnek: X 1 , X 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu
1
,
0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
0
,
d. y.
f X 1 ,X 2 x 1 , x 2  =
olsun.
a) Y = X 1 + X 2 rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
F Y y = PY ≤ y = PX 1 + X 2 ≤ y
∫∫
=
f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 dx 1 dx 2
x 1 ,x 2 :x 1 +x 2 ≤y
ve
0
,
y<0
∫ ∫ dx 2 dx 1
,
0≤y<1
,
1≤y<2
,
y≥2
y y−x 1
∫∫
0 0
f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 dx 1 dx 2 =
1
x 1 ,x 2 :x 1 +x 2 ≤y
1
1 − ∫ ∫ dx 2 dx 1
y−1y−x 1
1
olmak üzere,
0
,
y<0
y2
2
,
0≤y<1
,
1≤y<2
,
y≥2
F Y y =
1−
2 − y 2
2
1
dır. Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
y
f Y y =
, 0<y<1
2−y , 1 < y < 2
0
, d. y.
dır.
b)
Y1 = X1 + X2
Y2 = X1
dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
X 1 , X 2  nin değer kümesi
D X 1 ,X 2  =
x 1 , x 2  : 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
olmak üzere,
y1 = x1 + x2
y2 = x1
dönüşümü altında bu küme şekilde gösterilen,
y 1 , y 2  : 0 < y 1 ≤ 1, 0 < y 2 < y 1 ∪ y 1 , y 2  : 1 < y 1 < 2, y 1 − 1 < y 2 < 1
kümesine (D Y1 ,Y2   dönüşmektedir. Dönüşüm birebirdir.
Ters dönüşüm
x1 = y2
x2 = y1 − y2
ve
∂x 1 , x 2 
= det
∂y 1 , y 2 
∂x 1
∂y 1
∂x 2
∂y 1
∂x 1
∂y 2
∂x 2
∂y 2
= det
olmak üzere Y 1 , Y 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
0
1
1 −1
= −1
∂x 1 , x 2 
∂y 1 , y 2 
f X 1, X 2 y 2 , y 1 − y 2 
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  =
0
1
,
y 1 , y 2  ∈ D Y1 ,Y2 
0
,
d. y.
,
y 1 , y 2  ∈ D Y1 ,Y2 
,
d. y.
=
dır. Y 1 in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
y1
∫ 1 × dy 2
,
0 < y1 < 1
0
f Y1 y 1  =
1
∫ 1 × dy 2 , 1 < y 1 < 2
y 1 −1
0
=
,
d. y.
y
,
0 < y1 < 1
2 − y1
,
1 < y1 < 2
0
,
d. y.
olarak elde edilir.
c) Y 1 = X 1 X 2 rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. Böyle
durumlarda, bir yardımcı Y 2 değişkeni tanımlanır, Y 1 ile Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonu bulunur ve buradan Y 1 in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir.
Yardımcı değişken Y 2 = X 2 olarak tanımlanırsa,
y1 = x1x2
y2 = x2
dönüşümü için D Y1 ,Y2  kümesi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Dönüşüm birebir olup ters
dönüşüm,
y
x 1 = y 12
x2 = y2
ve
∂x 1 , x 2 
= det
∂y 1 , y 2 
1
y2
−y 1
y2
0
1
= y12
dır. Böylece,
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  =
1
y2
,
0 < y1 < y2 < 1
0
,
d. y.
ve
1
∫ y12 dy 2 , 0 < y 1 < 1
f Y1 y 1  =
y1
0
,
d. y.
− ln y 1
,
0 < y1 < 1
0
,
d. y.
=
dır.
D X 1 ,X 2  =
x 1 , x 2  : 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
D Y1 ,Y2  = y 1 , y 2  : 0 < y 1 < y 2 < 1
d)
Y 1 = X 1 /X 2
Y2 = X1X2
dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
y 1 = x 1 /x 2
y2 = x1x2
dönüşümü altında D X 1 ,X 2  kümesi,
D Y1 ,Y2  = y 1 , y 2  : 0 < y 2 < y 1 < 1 ∪ y 1 , y 2  : y 1 > 1, 0 < y 2 < 1/y 1
kümesine dönüşmektedir.
Ters dönüşüm,
x 1 = y 1 y 2  1/2
x 2 = y 1 /y 2  1/2
olmak üzere,
∂x 1 , x 2 
= det
∂y 1 , y 2 
1
2
y2
y1
−1
2
y2
y 31
1/2
1/2
1
2
1
2
y1
y2
1
y1y2
1/2
1/2
=
1
2y 1
dır. Böylece Y 1 , Y 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
y2
y1
f X 1 ,X 2 y 1 y 2  1/2 ,
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  =
1/2
1
2y 1
0
=
1
2y 1
,
y 1 , y 2  ∈ D Y1 ,Y2 
0
,
d. y.
olarak elde edilir.
e)
Y 1 = minX 1 , X 2 
Y 2 = maxX 1 , X 2 
,
y 1, y 2  ∈ D Y1 ,Y2 
,
d. y.
dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
D Y1 ,Y2  = y 1 , y 2  : 0 < y 1 ≤ y 2 < 1
A 1 = x 1 , x 2  : 0 < x 1 < x 2 < 1
A 2 = x 1 , x 2  : 0 < x 2 < x 1 < 1
A 3 = x 1 , x 2  : 0 < x 1 = x 2 < 1
olmak üzere,
D X 1 ,X 2  = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3
yazabiliriz. Ancak , PX 1 , X 2  ∈ A 3  = 0 olduğundan, A 3 kümesini dönüşümde gözönüne
almayabiliriz.
y 1 , y 2  : A 1 ∪ A 2  D Y1 ,Y2 
x 1 , x 2   y 1 , y 2  = minx 1 , x 2 , maxx 1 , x 2 
y1 = x1
y2 = x2
,
x 1 , x 2  ∈ A 1
,
x 1 , x 2  ∈ A 2
=
y1 = x2
y2 = x1
olmak üzere, ayrık A 1 ve A 2 kümelerinin herbirinde dönüşüm birebirdir. Ters dönüşümler,
u 1 , u 2  : D Y1 ,Y2  \y 1 , y 2  : 0 < y 1 = y 2 < 1  A 1
y 1 , y 2 
 y 1 , y 2 
s 1 , s 2  : D Y1 ,Y2  \y 1 , y 2  : 0 < y 1 = y 2 < 1  A 2
y 1 , y 2 
olmak üzere,
 y 2 , y 1 
∂u 1 , u 2 
= det
∂y 1 , y 2 
1 0
∂s 1 , s 2 
= det
∂y 1 , y 2 
0 1
0 1
1 0
=1
= −1
dır. Böylece, Y 1 , Y 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, y 1 , y 2  ∈ D Y1 ,Y2  için,
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  =
fu 1 y 1 , y 2 , u 2 y 1 y 2 
∂u 1 , u 2 
∂s 1 , s 2 
+ fs 1 y 1 , y 2 , s 2 y 1 y 2 
∂y 1 , y 2 
∂y 1 , y 2 
ve y 1 , y 2  ∈ D Y1 ,Y2  için f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  = 0 dır. Buradan,
2
,
0 < y1 < y2 < 1
0
,
d. y.
f Y1 ,Y2 y 1 , y 2  =
olarak elde edilir.
Y 1 ve Y 2 nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları,
1
∫ 2dy 2 , 0 < y 1 < 1
y1
f Y1 y 1  =
0
,
d. y.
21 − y 1 
,
0 < y1 < 1
0
,
d. y.
=
ve
y2
f Y2 y 2  =
∫ 2dy 1 , 0 < y 2 < 1
0
0
, d. y.
2y 2
,
0 < y2 < 1
0
,
d. y.
=
dır.
f
Y 1 = −2 ln X 1  1/2 cos2πX 2 
Y 2 = −2 ln X 1  1/2 sin2πX 2 
dönüşümü (Box-Muller dönüşümü) ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 rasgele değişkenlerinin ortak
olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
Bu dönüşüm
D X 1 ,X 2  =
x 1 , x 2  : 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
kümesini,
D Y1 ,Y2  =
kümesine dönüştürmekte ve
olmaktadır. Ters dönüşüm,
y 1 , y 2  : −∞ < y 1 < ∞, − ∞ < y 2 < ∞
y 1 , y 2  : y 1 = 0 veya y 2 = 0
kümesi dışında birebir
y 21 + y 22
2
x1 = e
−
y
x 2 = 1 arctan y 21
2π
ve
−
y 21 + y 22
2
−y 1 e
−y 2 /y 21
2π1 + y 22 /y 21 
∂x 1 , x 2 
= det
∂y 1 , y 2 
y 21 + y 22
2
−y 2 e
1/y 1
2π1 + y 22 /y 21 
−
y 21 + y 22
2
= −e
2π
−
olmak üzere,
y 21 + y 22
2
f Y1 Y2 y 1 , y 2  = 1 e
, −∞ < y 1 < ∞, − ∞ < y 2 < ∞
2π
−
dır.
Örnek: X 1 , X 2  nin olasılık yoğunluk fonksiyonu
f X 1 ,X 2  x 1 , x 2  =
1
x α−1 x β−1 e −x 1 −x 2
ΓαΓβ 1 2
,
x 1 > 0, x 2 > 0
0
,
d. y.
olsun. Burada α ile β sabit ve α > 0, β > 0 dır.
Y1 = X1 + X2
Y2 =
X1
X1 + X2
dönüşümü ile verilen Y 1 ve Y 2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonunu ve marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım.
y1 = x1 + x2
y 2 = x x+1 x
1
2
dönüşümü sonucu D X 1 ,X 2  kümesi
D Y1 ,Y2 =
y 1 , y 2  : 0 < y 1 < ∞, 0 < y 2 < 1
kümesine dönüşmektedir. Dönüşüm birebirdir. Ters dönüşüm,
x1 = y1y2
x 2 = y 1 1 − y 2 
ve
∂x 1 , x 2 
= det
∂y 1 , y 2 
y2
y1
= −y 1
1 − y 2 −y 1
olmak üzere
f Y1 ,Y2  y 1 , y 2  =
=
y 1 y 2  α−1 y1 − y 2  β−1 e −y 1 y 1
ΓαΓβ
,
0
,
β−1 α+β−1 −y 1
y α−1
y1
e
2 1 − y 2 
ΓαΓβ
,
0
,
y1 > 0
0 < y2 < 1
d. y.
y1 > 0
0 < y2 < 1
d. y.
1
∫ f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 dy 2 , y 1 > 0
f Y1 y 1  =
0
0
,
α+β−1
=
d. y.
1
y1
e −y 1
β−1
∫ y α−1
dy 2
2 1 − y 2 
ΓαΓβ
,
y1 > 0
0
,
d. y.
0
=
=
α+β−1 −y 1
ΓαΓβ
y1
e
ΓαΓβ Γα + β
,
y1 > 0
0
,
d. y.
1
y α+β−1 e −y 1
Γα + β 1
,
y1 > 0
0
,
d. y.
∞
f Y2 y 2  =
∫ f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 dy 1 , 0 < y 2 < 1
0
0
, d. y.
∞
=
=
β−1
y α−1
2 1 − y 2 
∫ y α+β−1
e −y 1 dy 1
1
ΓαΓβ
,
0 < y2 < 1
0
,
d. y.
0
Γα + β α−1
y 1 − y 2  β−1
ΓαΓβ 2
,
0 < y2 < 1
0
,
d. y.
olarak elde edilir.
Örnek: X 1 , X 2 , X 3 , 3 −boyutlu rasgele vektörün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
e −x 1 −x 2 −x 3
,
x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0
0
,
d. y.
f X 1 ,X 2 ,X 3 x 1 , x 2 , x 3  =
olsun.
Y1 =
X1
X1 + X2
Y2 =
X1 + X2
X1 + X2 + X3
Y3 = X1 + X2 + X3
dönüşümü ile verilen Y 1 , Y 2 ve Y 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonunu bulalım.
Bu dönüşüm altında D X 1 ,X 2 ,X 3  kümesi
D Y1 ,Y2 ,Y3  = y 1 , y 2 , y 3  : 0 < y 1 < 1, 0 < y 2 < 1, y 3 > 0
kümesine dönüşmektedir. Ters dönüşüm,
x1 = y1y2y3
x 2 = −y 1 y 2 y 3 + y 2 y 3
x 3 = −y 2 y 3 + y 3
olmak üzere,
∂x 1 , x 2 , x 3 
= det
∂y 1 , y 2 , y 3 
y2y3
y1y3
y1y2
−y 2 y 3 −y 1 y 3 + y 3 −y 1 y 2 + y 2
−y 3
0
= y 2 y 23
−y 2 + 1
ve
y 2 y 23 e −y 3
,
0 < y 1 < 1, 0 < y 2 < 1, y 3 > 0
0
,
d. y.
f Y1 ,Y2 ,Y3 y 1 , y 2 , y 3  =
dır.
Buradan, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla,
∞1
∫ ∫ y 2 y 23 e −y 3 dy 2 dy 3 , 0 < y 1 < 1
f Y1 y 1  =
00
0
1
∞
0
0
,
d. y.
∫ y 2 dy 2 ∫ y 23 e −y 3 dy 3 , 0 < y 1 < 1
=
0
=
,
d. y.
1 Γ3
2
,
0 < y1 < 1
0
,
d. y.
∞1
∫ ∫ y 2 y 23 e −y 3 dy 1 dy 3 , 0 < y 2 < 1
f Y2 y 2  =
00
0
,
2y 2
,
0 < y2 < 1
0
,
d. y.
d. y.
=
ve
11
∫∫ y 2 y 23 e −y 3 dy 1 dy 2 , y 3 > 0
f Y3 y 3  =
00
0
1
2
y 23 e −y 3
,
,
y3 > 0
,
d. y.
=
0
olarak elde edilir.
d. y.