1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık

1. Metrik Uzaylarda
Kompaktlık
Bu bölümde metrik uzaylarda kompaktlık kavramı çalışılacaktır. Üc temel şey
gösterilecektir:
- Metrik uzaylarda kompaktlık, sayılabilir kompaktlık, dizisel kompaktlık
ve limit nokta kompaktlık kavramları denktir.
- Bir X metrik uzayının kompakt olması için gerekli ve yeterli koşul önkompakt ve tam olmasıdır.
- X metrik uzayının kompakt olması için gerekli ve yeterli koçul yalancı
kompakt olmasıdır.
- X kompakt uzay olmak üzere, C(X)’i üzerinde tanımlı supremum metriğine
göre metrik uzayı olarak ele alındığında, C(X)’nin bir alt uzayın kompakt olması için gerekli ve yeterli koşul, sınırlı kapalı ve eş sı̈rekli olmasıdır.
Bunların yanında Stone-Weirstrass Theoremi ifade edilerek kanıtı verilecektir.
1.1. Metrik Topolojide Kompaktlık
1.1
3
Metrik Topolojide Kompaktlık
Aşağıdaki önteorem ile başlayabiliriz.
Önsav 1.1. X Hausdorff dizisel uzayı olsun. X’nin dizisel kompakt olması
için gerekli ve yeterli koşul sayılabilir kompakt olmasıdır.
Kanıt: Dizisel kompakt uzayın sayılabilir kompakt olduğunu biliyoruz. X’nin
sayılabilir kompakt olduğunu varsayalım. (xn ), X’de bir dizi olsun.
A = {xn : n ∈ N}
sonlu ise, (xn ) dizisinin sabit bir altdizisi vardır, dolayısıyla yakınsak bir alt
dizisi vardır. A’nin sonlu olmadığı durum için: her m 6= n için xn 6= xm
olduğunu varsayabiliriz. (diğer durumda terimleri birbirinden farklı olan altdizisini alırız.) X sayılabilir kompakt ve A sonsuz olduğundan, A’nın bir yığılma
noktası x ∈ X vardır, yani x ∈ A \ {x}. X’nin Hausdorff olması nedeniyle her
n için xn 6= x olduğunu da varsayabiliriz (Neden?).X dizisel uzay olduğundan,
an → x özelliğinde A’de (an ) dizisi vardır. a1 = xn1 diyelim.
{an : n1 < n} 6⊂ {x1 , ..., xn1 }
olmasından dolayı
n1 < n2 ve an1 = xn2
özelliğinde n2 vardır. Bu yaklaşımla, tümevarımla N’de kesin artan (nk ) dizisi
elde edilir. Dolayısıyla (xnk ), (xn ) dizisinin x’ye yakınsayan bir altdizisidir. Bu
kanıtı tamamlar.
Metrik uzaylar Hausdorff dizisel uzaylar olduğundan, yukarıdaki önsavın bir
sonucu olarak aşağıdaki sonucu elde ederiz.
Sonuç 1.2. Metrik uzaylarda dizisel kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık kavramları çakışır.
Metrik uzaylarda dizisel kompaktlık ve kompaktlık kavramlarıda denktir.
Bunu göstemek için aşağıda verilen Lebesgue sayı kavramını kullanacağız.
Tanım 1.1. (X, d) bir metrik uzay ve U, A ⊂ X’nin bir açık örtüsü olsun.
r > 0 gerçel sayısı
∀x ∈ A∃Ux ∈ U, B(x, r) ⊂ U
özelliğindeyse, r’ye A’nın U açık örtüsününe göre Lebesgue sayısı denir.
Önsav 1.3. (X, d) bir metrik uzay, A ⊂ X dizisel kompakt olsun. A’nın her
açık örtüsünün bir Lebesgue sayısı vardır.
4
1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık
Kanıt: U, A’nın Lebesgue sayısı olamayan bir açık örtüsü olsun. Bu durumda
A’da öyle bir (xn ) dizisi vardır ki, her U ∈ U ve her n ∈ N için
B(xn , n1 ) 6⊂ U
dir. A dizisel kompakt olduğundan (xn ) dizisinin x ∈ A’ya yakınsayan bir
altdizisi vardır. B(x, r) ⊂ U özelliğinde r > 0 ve U ∈ U seçelim.
d(x, xk ) <
r
2
ve
1
k
<
r
2
özelliğinde k ∈ N seçebiliriz. Buradan,
B(xk , k1 ) ⊂ B(x, r) ⊂ U
olur ki, bu çelişkidir ve kanıtı tamamlar.
Şimdi aşağıdaki temel teoremi verebiliriz.
Teorem 1.4. X bir metrik uzay olsun. A ⊂ X uzayı için aşağıdakiler denktir.
i.) A kompact.
ii.) A dizisel kompakt.
iii.) A limit nokta kompakt.
iv.) A sayılabilir kompact.
Kanıt: Genel olarak T1 -uzaylarında limit nokta kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık kavramları denk olduklarından ve metrik uzaylarda T1 - olduğundan,
(iv) ⇐⇒ (iii) dir. (ii) ⇐⇒ (iv) ise, yukarıdaki sonuçtur. (i) =⇒ (iv) olduğu
genel topolojik uzaylada da doğrudur. Dolayısıyla (ii) =⇒ (i) olduğunu göstermek kanıtı tamamlayacaktır. a’nin dizisel kompakt fakat kompakt olmadığını
varsayalım. U, A’nin sonlu altörtüsü olmayan açık örtüsü olsun. U’nın bir Lebesgue sayısı r > 0 vardır.
A ⊂ ∪nj=1 B(xj , r)
özelliğinde xj ∈ A’lar vardır ( olmadığını varsayalım. x1 ∈ A olmak üzere,
x2 ∈ A \ B(x1 , r)
özelliğinde x2 ∈ A da seçebiliriz. Bu yaklaşımla, tümevarım kullanılarak her n
için,
xn+1 ∈ A \ ∪ni=1 B(xi , r)
özelliğinde, A’da (xn ) dizisi elde edilir. Her n 6= m için d(xn , xm ) ≥ r olduğunda,
(xn )’nin A da yakınsak altdizisi yoktur ki, bu A’nın dizisek kompakt olması
ile çelişir.) r’nin Lebesgue sayı olduğundan, Her 1 ≤ j ≤ n için
B(xj , r) ⊂ Uj
özelliğinde Uj ∈ U olmasından dolayı, {U1 , ..., Un }, U’nın sonlu altörtüsüdür.
Bu, A’nın sonlu altörtüsünün olmadığı varsayımıyla çelişr ve kanıt tamamlanır.