1.5 Bölüm Uzayı

1.5. Bölüm Uzayı
1.5
13
Bölüm Uzayı
X bir topolojik uzay ve Y boş kümeden farklı bir küme olsun. f : X → Y
fonksiyonu verilsin. f ’yi sürekli yapan en az bir topoloji vardır; Y üzerindeki
en kaba topoloji. Ama bu durum ilginç bir durum değildir, çünkü bu topolojiye göre sadece f değil, X’den Y ’ye tanımlı her fonksiyon sürekli olacaktır.
Diğer taraftan Y üzerinde konulacak topoloji ne kadar ince ise, f ’nin sürekli
olma şansı o kadar azalacaktır. O halde ”f ’yi sürekli yapan Y ’deki en ince
topolojisi var mıdır?” sorusu anlamlıdır. Bu sorunun yanıtı aşağıdaki teoremle
bağlantılıdır.
Teorem 1.10. (X, τ ) bir topolojik uzay, Y boş kümeden farklı bir küme ve
f : X → Y örten fonksiyon olsun.
τf = {U ⊂ Y : f −1 (U ) ∈ τf },
Y üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye f -bölüm topolojisi denir. (Y, τf )
topolojik uzayına f -bölüm uzayı diyeceğiz.4
Kanıt: Bariz!
X topolojik uzay, f : X → Y fonksiyon ise, Y üzerineki f -bölüm topolojisi τf ,
Y üzerindeki f ’yi sürekli kılan toplojilerin en incesidir. Yani, τ , Y üzerinde
topoloji ve f bu topolojiye göre sürekli ise τ ⊂ τf dir.
Tanım 1.6. (X, τX ) ve (Y, τY ) iki topolojik uzay osun.
τY = {U ⊂ Y : f −1 (U ) ∈ τX }
özelliğindeki örten f : X → Y fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Her homeomorfizma bir bölüm fonksiyonudur. Ancak tersi doğru değildir;
homeomorfizmadan farkı birebir olmak zorunda olmamasıdır. (X, τX ) ve (Y, τY )
iki topolojik uzay ve f : X → Y bölüm fonksiyonu olsun. En az maliyetle,
yapıyı çok fazla bozmadan f bölüm fonksiyonu homeomorfizmaya dönüştürülebilir
mi? Öncelikle birebirliği sağlamak için, X üzerinde
x ≡ y ⇐⇒ f (x) = f (y)
tanımlı ≡ denklik ilişkisini gözönüne alarak, bu denklik ilişkisine göre X’nin
elemanlarının denklik sınıflarının kümesini X/≡ gösterelim ve
f : X/≡ → Y , f ([x]) = f (x)
4
Bu tanımlama standart bir tanımlama değil. Literatüde bu uzaya sadece bölüm uzayı
denilebilmekte.
14
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
olarak tanımlıyalım. f fonksiyonu birebir ve örtendir. Şimdi X üzerindeki
topolojiden fazla uzaklaşmadan ve onu kullanarak X/≡ üzerine uygun bir
topoloji koymamız işimizi sonlandıracaktır. X/≡ üzerine konulacak en iyi
topoloji ise, q : X → X/≡, q(x) = [x] olmak üzere, q-bölüm topolojisidir.
Bu topolojiyi τq ile gösterelim.
f : (X/≡, τq ) → (Y, τX ), f ([x]) = f (x)
olarak tanımlanan fonksiyon homeomorfizmadır. Bu gözlem nedeniyle aşağıdaki
tanımı yapmak kaçınılmaz olmalı.
Tanım 1.7. (Bear and Levi (1932))5 (X, τ ) bir topolojik uzay ve ≡, X
üzerinde bir denklik ilişkisi olsun.
q : X → X/≡, q(x) = [x]
olmak üzere, X/≡ üzerindeki q-bölüm topolojisine bölüm topolojisi ve bu
topoloji ile donatılmış X/≡ uzayına bölüm uzayı6 denir.
Her bölüm uzayı bir f -bölüm uzayıdır. Buna karşın, aşağıdaki teorem her
f -bölüm uzayı bir bölüm uzayına homeomorfik olduğunu söyleemekte. Kanıtını
okuyucuya bırakıyoruz.
Teorem 1.11. X ve Y iki topolojik uzay olsun. f : X → Y örten bir fonksiyon
olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) f bölüm fonksiyonudur.
(ii) X üzerinde öyle bir denklik ilişkisi ≡ vardır ki, q : X → X, q(x) = [x]
(=,x’nin denklik sınıfı) olmak üzere f = g ◦ q olacak biçimde g : X/≡ →
Y homeomorfizması vardır.
(iii) U ⊂ Y açık ancak ve ancak f −1 (U ) açıktır.
(iv) K ⊂ Y kapalı ancak ve ancak f −1 (K) açıktır.
(v) X üzerinde a ≡ b denklik ilişkisi f (a) = f (b) olarak tanımlansın.
f : X/≡ → Y , f ([x]) = f (x)
homeomorfizmadır.
Örnekler
5
Bölüm uzayı ilk kez Moore (1925) ve Alexandroff (1926) da çalışılmaya başlanmıştır. Bu
konuda ilk sistemli çalışma Bourbaki’nin kitabında yapılmıştır (1940)
6
bu tanımlama nedeniyle nedeniyle, f -bölüm uzayına, neden sadece bölüm uzayı
demediğimin anlaşıcağını umuyorum.
1.5. Bölüm Uzayı
15
1.29. X = [0, 2π], R Euclidean uzayının bir altuzayı ve
S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
kümesini R × R çarpım uzayın alt uzayı olarak ele alalım.
f : [0, 2π) → S 1 , f (x) = (cosx, sinx)
fonksiyonu birerbir, örten ve sürekli olmasına karşın tersi f −1 sürekli değildir. Buna
karşın
g : [0, 2π] → S 1 , g(x) = (cosx, sinx)
olarak tanımlanan fonksiyon bir bölüm fonksiyonudur. Ayrıca,
x ≡ y ⇐⇒ g(x) = g(y) ⇐⇒ 0 < x = y < 2π ya da x, y ∈ {0, 2π}
denklik ilişkisine ve X/≡ bölüm uzayına göre
g : X/≡ → S 1 , g([x]) = (cosx, sinx)
bir homeomorfizmadır. Yani, X/≡ ve S 1 uzayları homeomorfik uzaylarır.
1.30. [0, 2π], Euclidean R uzayının altuzayı olmak üzere X = [0, 2π]×[0, 2π] çarpım uzayından
S 1 × [0, 2π] uzayına tanımlı
f ((x, y)) = ((cosx, sinx), y)
olarak tanımlanan f fonksiyonu bir bölüm fonksiyonudur. f tarafından üretilen denklik
ilişki ≡’ye göre bölüm uzayı X/≡’den S 1 × [0, 2π] uzayına
f ([(x, y)]) = f (x, y)
olarak tanımlanan fonksiyon bir homeomorfizmadır. Yani X/≡ ve S 1 × [0, 2π] uzayları
homeomorfiktir.
1.31. f : X = [0, 2π] × [0, 2π] → S 1 × S 1 fonksiyonu
f ((x, y), (a, b)) = ((cosx, sinx), (cosa, sina))
eşitliği ile tanımlansın. f ’nin bir bölüm fonksiyonu olduğu barizdir. Bu fonksiyon tarafından
[0, 2π] × [0, 2π] üzerinde üretilen denklik ilişkisi ≡ olmak üzere, X/≡ ve S 1 × S 1 uzayları
homeomorfiktir. S 1 × S 1 uzayına Torus denir.
Uyarı: Bu örnekte geçen uzay örneklerin, geometrik olarak ne analam geldiğini analmak
için resimler çizilmeli???
Alıştırmalar
1.32. X ve Z iki topolojik uzay ve f : X → Y örten fonksiyon olsun. τY , Y üzerinde f -topoloji
olsun. g : Y → Z fonksiyonu için şağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) g süreklidir.
(ii) g ◦ f süreklidir.
1.33. X bir topolojik uzay ve Y = X × X çarpım uzayı olsun. Y üzerinde tanımlanan denklik
ilişkisi
(x, y)≡(a, b) ⇐⇒ y = b
olmak üzere, bölüm uzayı Y /≡ ve X’nin homeomorphic olduğunu gösteriniz.
1.34. f : [0, 2π] → S 1 , f (x) = (cosx, sinx) olarak tanımlanan fonksiyonun sürekli, örten ve
kapalı olmasına karşın açık olmadığını gösteriniz.
1.35. P : R2 → R, P ((x, y)) = x olarak tanımlanan fonksiyonun örten, sürekli ve açık olmasına
karşın kapalı olmadığını gösteriniz.
Kanıt: A = {(x, x1 ) : x ∈ R, x 6= 0} is closed in R2 , but P (A) is not closed in R.
16
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
1.36. f : X → Y bir bölüm fonksiyonu olsun. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) f açıktır.
(ii) Açık her U ⊂ X için f −1 (f (U )) açıktır.
1.37. X bir topolojik uzay ve ≡, X üzerinde denklik ilişkisi olsun. Aşağıdakilerin denkliğini
gösteriniz.
(i) U , X/≡ bölüm uzayında açıktır.
(ii) ∪{[x] : [x] ∈ U }, X’de açıktır.
1.38. X bir topolojik uzay, ≡, X üzerinde denklik ilişkisi olamak üzere q : X → X/≡, q(x) =
[x] olarak tanımlansın. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) q kapalıdır.
(ii) A ⊂ X kapalı ise ∪{[x] : [x] ∩ A 6= ∅} kapalıdır.
(iii) A ⊂ X açık ise ∪{[x] : [x] ⊂ A} açıktır.
Problemde geçen kapalılık ifadesi açık olma ile değiştirilirse, problem yine ge
ccerlidir.
Kanıt: (i) ⇐⇒ (ii): Aşağıdaki gerektirmeden hemen elde edilir.
∪{[x] : [x] ∩ A 6= ∅} = X \ q −1 (Y \ q(A))
olmasından istenilen elde edilir.
(ii) ⇐⇒ (iii): Bariz.
1.39. f : X → Y ve g : Y → Z iki bölüm fonksiyonu ise g ◦ f ’nin bölüm fonksiyonu olduğunu
gösteriniz.
1.40. f : X → Y ve g : Y → Z, g ◦ f bölüm fonksiyonu olacak biçimde iki sürekli fonksiyon
ise, g’nin bölüm fonksiyonu olduğunu gösteriniz.
1.41. X bir topolojik uzay ve D, elemanları boş kümeden farklı, ayrık ve birleşimleri X olan
P(X)’nin bir altkümesi olsun. Her x ∈ X için x ∈ D(x) olan sadece bir tane D(x) ∈ D
vardır.
f : X → D, f (x) = Dx
olarak tanımlanan fonksiyon örten fonksiyondur. D üzerindeki f -bölüm topolojini τf
ilegösterelim. F ⊂ D verilsin. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) F ∈ τf .
(ii) ∪U ∈F U , X’de açıktır.
D’ye X’de bir ayrışım, D üzerinde tanımlanan f -bölüm topolojisine ayrışım uzayı ve
f ’ye ayrışım fonksiyonu denir.
1.42. (X, τ ) bir topolojik uzay, D ⊂ P(X), X’nin bir ayrışımı ve P : X → D, x ∈ P (x)
özelliğinde örten fonksiyon olsun. τD , D üzerinde P -bölüm topolojisi olsun. Aşağıdakilerin
denkliğini gösteriniz.
(i) P kapalıdır.
(ii) F ∈ D, U ∈ τX ve F ⊂ U ise F ⊂ P −1 (W ) ⊂ U özelliğinde W ∈ τD vardır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): P (X \ U ) kapalıdır, W = D \ P (X \ U ) ∈ τD ve
F ⊂ P −1 (W ) ⊂ U
1.5. Bölüm Uzayı
17
dir.
(i) =⇒ (ii): K ⊂ X kapalı olsun. D\P (K)’nın açık olduğunu göstereceğiz. F ∈ D\P (K)
verilsin. D’nin elemanlarının ayrık olması ve her x ∈ X için x ∈ P (x) olmasından dolayı
F ⊂ X \ K dır. Varsayımdan dolayı
F ⊂ P −1 (W ) ⊂ X \ K
özelliğinde W ⊂ D açık kümesi vardır. Ayrıca
P (P −1 (W )) = W.
(Gerçekten P (P −1 (W )) ⊂ W olduğ bariz. U ∈ W verilsin. P örten olduğundan P (x) =
U özelliğinde x ∈ X alabiliriz. x ∈ P (x) = U ∈ W olduğundan x ∈ P −1 (W ). Dolayısıyla
U = P (x) ∈ P (P −1 (W )) olduğu görülür.) x ∈ F verilsin.
F = P (x) ∈ P (P −1 (W )) ⊂ P (X \ K)\ ⊂ D \ P (K).
Bu kanıtı tamamlar.
1.43. (X, τX ) ve (Y, τY ) iki topolojik uzay ve f : X → Y bölüm fonksiyonu olsun. D =
{f −1 (y) : y ∈ Y } kümesi üzerine P : X → D, P (x) = f −1 (f (x)) olmak üzere P -bölüm
topoloji τD koyalım. Aşağıdakiler denktir.
(i) f kapalıdır.
(ii) F ∈ D, U ∈ τX ve F ⊂ U ise F ⊂ P −1 (W ) ⊂ U özelliğinde W ∈ τD vardır.
1.44. X bir topolojik uzay olsun. x≡y ⇐⇒ {x} = {y} olarak tanımlanan denklik ilişkisinin
bölüm uzayı X/≡’nin T0 -uzayı olduğunu gösteriniz.
1.45. X bir topolojik uzay ve X/≡, X’nin bir bölüm uzayı olsun. Aşağıdakilerin denkliğini
gösteriniz.
(i) X/≡ T1 -uzaydır.
(ii) Her x ∈ X için [x] ⊂ X kapalıdır.
1.46. (Xi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve her i ∈ I için ≡i , Xi üzerinde denklik ilişkisi
Q
olsun ve [x]i , x ∈ Xi ’nin denklik sınıfını göstersin. Xi ’lerin çarpım uzayı X = i Xi
üzerinde
f ≡ g ⇐⇒ ∀i, f (i)≡i g(i)
ilişkisini tanımlıyalım. Aşağıdakileri kanıtlayın.
(i) ≡ bir denklik ilişkisidir.
(ii) Her
Q i ∈ I için qi : Xi → Xi /≡i , qi (x) = [x]i dönüşümü açık olsun.
i (Xi /≡i ) uzaylarının homeomorfikdir.
Q
i
Xi /≡ ve