1.2 Fonksiyonlarla¨Uretilen Topoloji

1.2. Fonksiyonlarla Üretilen Topoloji
1.2
5
Fonksiyonlarla Üretilen Topoloji
Aşağıdaki tanımla başlayabiliriz.
Tanım 1.3. (Bourbaki, 1951) ∅ =
6 X, (Xi , τi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi,
X
ve her i ∈ I için, 0 6= Fi ⊂ Xi verilsin. X üzerinde F = {f : i ∈ I, f ∈ Fi
tarafından üretilen topoloji,
B = {fi −1 (U ) : i ∈ I, U ∈ τi }
tarafından üretilen topolojidir. Bu topolojiye F tarafından üretilen topoloji.
Bu topoloji ile donatılmış X topolojik uzayına ise F tarafından üretilen
topolojik uzay denir.
Aşağıdaki iki teoremin de kanıtı oldukca barizdir. Detayları okuyucuya
bırakıyoruz.
Teorem 1.2. ∅ 6= X ve B ⊂ P(X) verilsin. X, B tarafından üretilen toploji
uzay, {0, 1} ayrık uzay ve her B ∈ B için, χB : X → {0, 1} (B’nin karakteristik fonksiyonu) olmak üzere {χB : B ∈ B} fonksiyonları tarafından üretilen
topolojiler eşittir.
Teorem 1.3. ∅ 6= X ve (Y, τY ) iki topolojik uzay olsun ve ∅ 6= F ⊂ Y X verilsin. τF , X üzerinde F tarafından üretilen topolojik uzay olsun. Aşağıdakilerin
doğruluğunu gösteriniz.
(i) F ⊂ C((X, τF ), (Y, τ )).
(i) τX , X üzerinde bir topoloji ve F ⊂ C((X, τX ), (Y, τ )) ise τF ⊂ τX
olduğunu gösteriniz.
Alıştırmalar
1.12. X bir topolojik uzay, (Yi , τi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi, F = {fi : i ∈ I}, Y ’den
Yi ’ye tanımlı fonksiyonların kümesi ve Y , bu küme tarafından üretilmiş topolojik uzay
olsun. f : X → Y bir fonksiyon olsun. Aşağıdakilerin denkliklerini gösteriniz.
(i) f süreklidir.
(ii) Her i ∈ I için fi ◦ f : X → Yi süreklidir.
1.13. ∅ 6= X ve (Y, τ ) topolojik uzay ve f : X → Y fonksoyonu verilsin. X’i üzerinde f
tarafından üretilen topolojik uzay olarak alalım. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) f birebir ve örtendir.
(ii) f homeomorfizmadır.