mat.hacim hesabı.indd

İNTEGRAL - 6
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
ALAN HESABI
3.
4.
y
Bazı Önemli Fonksiyonların Grafikleri:
y
x
y
y = mx2
y = mx3
x
Taralı Alan =
y
2
b
∫ f(y).dy
Taralı Alan = –
a
f
x
b
|a>1|
1
y = ax
1
0<a<1
x
x
y
y
y = lnx
–a
y
π
π/2
f(x)
Taralı Alan =
Tüm hakları
∫ f(x).dx
a
f
f
y
g
b
b
a
a
x
Taralı Alan
x
Taralı Alan
b
∫ [f(y) – g(y)].dy
=–
a
b
∫ [f(y) – g(y)].dy
a
y = cosx
x
y
y
2.
b
g
a
1
y
b
y
=
π/2 π
x
a
a
x
a
1
y = sinx
1.
0
y
1
b
– ∫ (f(x) – g(x)).dx
� y = �a2–x2
x
1
Taralı Alan =
∫ (f(x) – g(x)).dx
y=a
a
f(x)
b
x
a
f(x)
x
Taralı Alan = –
’ne aittir.
b
∫ f(x).dx
a
x
f
b
y
x
b
g
Taralı Alan =
y
∫ f(y).dy
a
a
g
a
b
y
6.
y.x = m
x
x
f(y) = x
y
5.
x = my
x
f(y) = x
x
y
y
d
S1
S3
b
S2
∫ f(x).dx = S1 – S2 + S3 dür.
a
c
d
x
y = x2 eğrisi ile x = 1 ve x = 3 doğruları arasında kalan
f(x) = lnx eğrisi x = 1 ve x = e3 doğruları arasında kalan
bölgenin alanı nedir?
bölgenin alanı nedir?
y
y
x
x
y = ex, x = 1 ve x = 3 doğruları ile sınırlı kalan bölgenin
y
x
alanı kaçtır?
π
π
,x=
ve y = 0 doğruları arasında
3
2
kalan bölgenin alanı nedir?
y = sinx eğrisi ile x =
y
x
y2 = x eğrisi x = 4 doğrusu ve eksenleri arasında kalan
f(x) = 2x eğrisi y = 2 doğrusu ve y ekseni arasında kalan
bölgenin alanı kaçtır?
bölgenin alanı kaçtır?
y
y
x
Tüm hakları
’ne aittir.
x
y = 2x2 ve y = x+3 arasında kalan bölgenin alanı kaçtır?
y
S1
–6
–2
4
S2
S3
8
y
x
x
S
S
S1 = 3 = 2 = 5
2
2
8
∫ f(x).dx
–6
integralinin değeri kaçtır?
y = x+3 doğrusu x = 3y–y2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaçtır?
(2012-LYS)
Birinci bölgede koordinat eksenleri x = 5, y = 5 doğruları ve
y = x2+1, x = y2+1 eğrileri arasında kalan A bölgesi aşağıda
verilmiştir.
y
(2, 5)
A
x
A bölgesinin alanı kaç birim karedir?
27
2
B)
35
3
x
(5, 2)
0
A)
y
C)
43
3
D)
y
71
6
E)
77
6
y = 3x2
y=
e
y = x2 ve y2 = 8x eğrileri arasında kalan bölgenin alanı
kaçtır?
y
x
Tüm hakları
’ne aittir.
Şekilde verilen taralı alan kaç birimdir?
x
4
x
y
y=
2
5
x
∫ (�4–x2 – 1) . dx
y = 5x
2
integralinin sonucu kaçtır?
–2
x
y
Şekilde verilen taralı bölgenin alan kaç birimdir?
x
4
∫ (�16–x2 + x – 4) . dx
4
∫ �16–x2 . dx
0
integralinin sonucu kaçtır?
y
0
integralinin sonucu kaçtır?
y
x
x
f(x) =
x<0
x – 4x + 4,
x≥0
2
fonksiyonunun grafiği ve x ekseni arasında kalan bölge-
�2
∫ (�4–x2 – x) . dx
integralinin sonucu kaçtır?
0
nin alanı kaçtır?
y
y
x
Tüm hakları
x + 2,
’ne aittir.
x
İNTEGRAL - 7
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
HACİM HESABI
y
f(x)
a
b
r
x
h
x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin
b
∫ [f(x)]2 . dx
V = πr2 . h
Koninin Hacmi
1 2
πr . h
V=
3
hacmi
V=π.
Silindirin Hacmi
r
a
Kürenin Hacmi
4 3
πr tür.
V=
3
y
f
d
c
x
y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin
V=π.
hacmi
d
∫ [f(y)]2 . dy
c
y
f(x)
y = 4–x, x = 0, y = 0 doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni
etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi nedir?
y
g(x)
a
b
x
x
x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin
hacmi
V=π.
b
∫ [f2(x) – g2(x)].dx
a
y
g
y = x+5, x = 0, y = 0 doğruları arasında kalan bölgenin
f
Oy ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin
d
hacmi kaçtır?
c
x
y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin
hacmi
V=π.
Tüm hakları
y
x
d
∫ [f2(y) – g2(y)].dy
c
’ne aittir.
y = x2+3 eğrisi x = 1 doğrusu ve eksenler arasında kalan
y = �x eğrisi ile y = x2 parabolü arasında kalan bölgenin
bölgenin Ox ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile olu-
Ox eksenine etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şek-
şan şeklin hacmi kaçtır?
lin hacmi kaç π br3 tür?
y
y
x
x
x = �9–y2 ve |y| = 3–x fonksiyon grafikleri arasında ka-
Oy ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan şeklin
hacmi kaçtır?
y
x
lan bölgenin Oy ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
y = lnx eğrisi y = 2 ve eksenler arasında kalan bölgenin
oluşan şeklin hacmi kaç π br3 tür?
y
x
(2012-LYS)
y2 = 1–x parabolü x = 0 ve y = 0 doğruları arasında kalan
y
bölgenin Oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan
3
şeklin hacmi kaç π br3 tür?
1
y
x
1
x
Birinci bölgede; y ekseni, y = 1 doğrusu ve 9x2 + y2 = 9 elipsi
arasında kalan bölge y ekseni etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan dönel cismin hacmi kaç br3 tür?
A)
Tüm hakları
’ne aittir.
8π
9
B)
10π
9
C)
19π
18
D)
25π
27
E)
28π
27
UYGULAMA TESTİ - 6
6.
y
1.
20
2
4
8
∫
x.y = 2
0
x
A) ln2
C) 120
D) 140
C) 1
ln2
1
+2ln2
E) ln2
D) 2ln2
B) 110
B) 1 + ln2
f(x).dx integralinin değeri kaçtır? A) 100
x
2
Şekilde taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
f fonksiyon grafiği verilmiştir.
–2
1
–2
8
y = 2x
f
10
y
E) 160
7. y = x2 ve y = 16 – x2
2. y = (x – 2)2 parabolü ile eksenler arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
B) 1
C) 2
D) 3
7
3
8
E) 3
3. x = 4y – y2 ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanı
kaç br2 dir?
A) 5
3
8
B) 3
16
C) 3
20
D) 3
A) 32
E) 3
A) 4
eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
64�3
B) 3
32�3
3
128�3
D) 3
8.
y
4. y = e fonksiyonu x = 1 doğrusu ve eksenler arasında kalan bölgenin alanı kaçtır?
2x
A) e–1
2
e2
B) 2
C) e2–1
e2–1
D) 2
A) E) e
y = (x–4)2
x
4
8
B) 3
4
3
16
C) 4
D) 3
y
y
–6
S1
–2
0
m
4
S3
8
x
x
f(x) = sin2x fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Taralı alan
A) 0
Tüm hakları
1
br2 olduğuna göre m kaçtır? 2
π
π
π
π
C) D) E) B) 4
6
2
3
’ne aittir.
19
E) 3
S2
0
Şekildeki y = x2 ve y = (x – 4)2 eğrileri arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
9.
5.
E) 64�3
y = x2
0
76�3
C) 3
Şekilde S1 =
8
∫
–6
S3
S
= 2 = 4 ise,
2
3
f(x).dx integralinin değeri kaçtır? A) 0
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
UYGULAMA TESTİ - 6
10.
�2
2
∫
0
2
�8y –y2 . dy integralinin değeri kaçtır? π
B) π
C) 2
A) 2π
11.
y
15.
π
D) 4
π
E) 8
–2
�4 – x2 – x . dx �3
integralinin değeri kaçtır? ∫
0
π
3
2π
B) 3
π
C) 4
12.
3π
D) 4
x
2
Yukarıdaki taralı bölgenin Ox ekseni etrafında 360°
döndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi kaç π br3
tür?
�3
A) 0
A) 32
B) 3
64
3
16
C) 3
8
D) 3
4
E) 3
π
E) 2
y
16
eğrisi ile y = x, x = 0 ve y = 4
x
eğrileri arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç π br3 tür?
16. y =
–4
x
4
Yukarıdaki şekilde yarım dairenin alanı aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?
A)
C)
2
∫
–2
4
∫
–4
�8 – x2 . dx
B)
�16 – x2 . dx
D)
E)
0
∫
–4
4
∫
–4
4
∫
0
�4 – x2 . dx
�16 – x2 . dx
44
B) 3
40
3
8
3
16
B) 3
32
C) 3
y
64
D) 3
128
E) 3
y = x3
y = x
50
C) 3
x
doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π
br3 tür?
A) A) 17.
�16 – x2 . dx
13. y = 6 – x, y = 0, y = 2, x = 0
56
D) 3
Şekilde verilen taralı bölgenin Ox ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi kaç π br3
tür?
64
E) 3
A) 2
21
3
B) 21
4
C) 21
5
D) 21
6
E) 21
14. y = x2 + 1, parabolü ile x = 2, x = 0, y = 0
doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi
kaç π br3 tür?
202
A) 15
Tüm hakları
203
B) 16
204
C) 15
206
D) 15
’ne aittir.
207
E) 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
E
E
D
C
E
D
D
A
B
11
12
13
14
15
16
17
B
C
D
C
B
D
C