ankara ün˙ıvers˙ıtes˙ı fen b˙ıl˙ımler˙ı enst˙ıtüsü yüksek l˙ısans tez˙ı

ANKARA ÜNI·VERSI·TESI·
FEN BI·LI·MLERI· ENSTI·TÜSÜ
YÜKSEK LI·SANS TEZI·
LUPAŞ OPERATÖRLERI·NI·N BAZI ÖZELLI·KLERI·
Murat BODUR
MATEMATI·K ANABI·LI·M DALI
ANKARA
2016
Her hakk¬ sakl¬d¬r
TEZ ONAYI
Murat BODUR taraf¬ndan haz¬rlanan " Lupaş Operatörlerinin Baz¬Özellikleri
" adl¬tez çal¬şmas¬ 05/01/2016 tarihinde aşa¼
g¬daki jüri taraf¬ndan oy birli¼
gi ile
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬’nda YÜKSEK LI·SANS TEZI· olarak kabul edilmiştir.
Dan¬şman: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Jüri Üyeleri:
Başkan: Doç. Dr. Ali OLGUN
K¬r¬kkale Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬
Üye
: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬
Üye
: Doç. Dr. Rabia AKTAŞ
Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬
Yukar¬daki sonucu onaylar¬m
Prof. Dr. I·brahim DEMI·R
Enstitü Müdürü
ETI·K
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yaz¬m kurallar¬na uygun olarak
haz¬rlad¬g¼¬m bu tez içindeki bütün bilgilerin do¼
gru ve tam oldu¼
gunu, bilgilerin
üretilmesi aşamas¬nda bilimsel eti¼
ge uygun davrand¬g¼¬m¬, yararland¬g¼¬m bütün kaynaklar¬at¬f yaparak belirtti¼
gimi beyan ederim.
05/01/2016
Murat BODUR
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
LUPAŞ OPERATÖRLERI·NI·N BAZI ÖZELLI·KLERI·
Murat BODUR
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Bu çal¬şmada Lupaş operatörlerinin baz¬özellikleri incelenmiştir.
Bu tez yedi bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölüm giriş bölümü olup yaklaş¬mlar teorisi hakk¬nda genel bilgi verilecektir.
I·kinci bölümde, lineer pozitif operatörler tan¬t¬lacak, temel özellikleri incelenecek ve
süreklilik modülünün tan¬m¬ verilecektir. Ayr¬ca tezde kullan¬cak olan baz¬ temel
tan¬mlar üzerinde durulacakt¬r.
Üçüncü ve dördüncü bölümlerde, Lupaş operatörü ve Lupaş operatörünün Kantorovich tipli genelleştirmesi tan¬mlanacak ve sa¼
glad¬g¼¬özellikler incelenecektir.
Beşinci ve alt¬nc¬bölümlerde ise bizim kendi çal¬şmalar¬m¬z olan çok de¼
gişkenli Lupaş
operatörü ve genelleştirilmiş çok de¼
gişkenli Lupaş operatörü tan¬mlanacak; sa¼
glad¬g¼¬
baz¬özellikler ispatlar¬yla beraber verilecektir.
Son olarak yedinci bölüm tart¬şma ve sonuç bölümüne ayr¬lm¬ş olup, bu bölümde
neler yapt¬g¼¬m¬z ve neler yapabilece¼
gimiz hakk¬nda genel bilgi verilecektir.
Ocak 2016 , 38 sayfa
Anahtar Kelimeler: Lupaş operatörü, konvekslik, Lipschitz süreklilik, süreklilik
modülü fonksiyonu,
konvekslik,
Lipschitz süreklilik.
ii
ABSTRACT
Master Thesis
SOME PROPERTIES OF LUPAŞ OPERATORS
Murat BODUR
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Some features of Lupaş operators have been examined on this study.
The thesis is composed of seven parts.
In the …rst part, which is the introducton part, general informations about approximations theory will be given.
In the second part, linear positive operators will be introduced, the basic features
will be examined and the de…nition of modulus of continuity will be given. Besides,
the focus will be on some basic de…nitions used in the thesis.
In the third and forth part, the Lupaş operator and the generalization of Kantorovich
type will be de…ned and the features that they have provided will be examined.
In the …fth and sixth part, multivariate Lupaş operators, generalized multivariate
Lupaş operators which are our own studies will be de…ned; some features they have
provided wil be given with their proofs.
Lastly, as the seventh part includes discussion and conclusion parts, general information will be provided about what we have done so far and what can be done
more.
January 2016 , 38 pages
Key Words: Lupaş operator, convexity, Lipschitz continuity, function of modulus of
continuity, convexity,
Lipschitz continuity.
iii
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şmam¬n her aşamas¬nda bana destek olan, anlay¬ş gösteren, beni sab¬rla
dinleyip yönlendiren ve benimle tecrübelerini paylaşan k¬ymetli hocalar¬m, Say¬n
Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL’a (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬), Say¬n Prof. Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA’ya (Ankara Üniversitesi
Matematik Anabilim Dal¬)ve aileme teşekkürü bir borç bilirim.
Murat BODUR
Ankara, Ocak 2016
iv
I·ÇI·NDEKI·LER
TEZ ONAY SAYFASI
ETI·K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ABSTRACT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TEŞEKKÜR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ŞEKI·LLER DI·ZI·NI·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÇI·ZELGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. LI·NEER POZI·TI·F OPERATÖRLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Lineer Pozitif Operatörlerin Tan¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lineer Pozitif Operatörlerin Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Süreklilik Modülü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kullan¬lacak Olan Di¼
ger Tan¬mlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. LUPAŞ OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLI·KLERI· . . . . . . . . . .
3.1 Lupaş Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lupaş Operatörünün Baz¬Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. LUPAŞ OPERATÖRÜNÜN KANTOROVICH GENELLEŞTI·RMESI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Ln ’¬n Kantorovich Genelleştirmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Temel Sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¼ I·ŞKENLI· LUPAŞ OPERATÖRÜ VE BAZI ÖZEL5. ÇOK DEG
LI·KLERI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörünün Baz¬Özellikleri. . . . . . . . . .
¼ I·ŞKENLI·LUPAŞ OPERATÖ6. GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş ÇOK DEG
RÜ VE BAZI ÖZELLI·KLERI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Genelleştirilmiş Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörü . . . . . . . . . . . .
6.2 Genelleştirilmiş Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörünün Baz¬Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. TARTIŞMA VE SONUÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KAYNAKLAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
i
ii
iii
iv
vi
vii
viii
1
3
3
4
6
9
11
11
11
16
16
16
22
22
23
29
29
30
35
36
38
SI·MGELER DI·ZI·NI·
Bn (f ; x)
Bernstein polinomlar¬
C [a; b]
[a; b] aral¬g¼¬nda sürekli reel de¼
gerli fonksiyonlar¬n uzay¬
Kn (f ; x)
Lupaş operatörünün Kantorovich tipli genelleştirmesi
Ln (f ; x)
Lupaş Operatörleri
Ln;m (f ; x)
Çok de¼
gişkenli Lupaş operatörü
Ln;m (f ; x)
Genelleştirilmiş çok de¼
gişkenli Lupaş operatörü
LipM ( )
Lipschitz s¬n¬f¬fonksiyonlar¬
Sn (f ; x)
Szasz operatörleri
vi
1. GI·RI·Ş
Yaklaş¬mlar teorisi, temel olarak verilen key…, sürekli bir fonksiyona kendisinden
çok daha basit ve daha kolay sonuçlar elde edilebilen fonksiyonlar ya da polinomlar yard¬m¬yla yaklaşmay¬ temel al¬r. Ele ald¬g¼¬m¬z sürekli bir fonksiyona cebirsel
polinomlarla ya da fonksiyonlarla yaklaş¬ld¬g¼¬nda en iyi yaklaşan polinomun ya
da fonksiyonun bulunmas¬ve yaklaş¬m h¬z¬n¬n hesaplanmas¬yaklaş¬mlar teorisinde
çal¬ş¬lan en önemli problemlerden birisidir.
Yaklaş¬mlar teorisi geçmişten günümüze kadar birçok matematikçiye ilham kayna¼
g¬
olmuştur. Y¬llard¬r yaklaş¬mlar teorisi üzerine birçok yay¬n yap¬lm¬ş olup günümüzde
de çal¬ş¬lmaya devam edilmektedir.
Yaklaş¬mlar teorisinin geliştirilmesinde en büyük ad¬m 1885 y¬l¬nda Karl Weierstrass’
¬n "[a; b] sonlu aral¬g¼¬ üzerinde tan¬ml¬ her sürekli f fonksiyonu için, o fonksiyona
yak¬nsayan bir fPn (x)g polinom dizisi karş¬l¬k gelir." teoremini ortaya atmas¬ ve
ispatlamas¬ ile ortaya ç¬km¬şt¬r. Bu teoremin ispat¬n¬n kar¬ş¬k ve uzun olmas¬ sebebiyle daha sonralarda birçok matematikçi daha anlaş¬labilir ve daha k¬sa ispatlar
yapm¬şlard¬r. Bunlardan baz¬lar¬Carl Runge (1885), Henri Lebesque (1908), Charles
Jean de la Vallée- Poussin (1908), Sergei N. Bernstein (1912) ve Lipot Fejer (1916)’in
yapt¬klar¬d¬r. Bu ispatlar içerisinde en ilginç olan¬1912 y¬l¬nda Bernstein taraf¬ndan
verilmiştir.
Bu teoremi ispat etmek için Bernstein, sürekli fonksiyonlara yaklaş¬m için Bn f operatörünü f 2 C[0; 1]; x 2 [0; 1] olmak üzere
Bn f (x) =
n
X
k=0
f
k
n
n k
x (1
k
x)n k ;
n2N
şeklinde tan¬mlam¬ş ve Bernstein polinomlar¬n¬n [0; 1] aral¬g¼¬nda sürekli olan f fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsad¬g¼¬n¬göstermiştir. Bu aç¬dan Bernstein polinomlar¬
Weierstrass teoreminde ad¬geçen Pn (x) polinomuna örnektir.
1
Bernstein operatörleri f fonksiyonunun kapal¬ ve s¬n¬rl¬ aral¬klarda tan¬ml¬ olmas¬
halinde incelenir. f fonksiyonunun s¬n¬rs¬z aral¬klarda olmas¬ durumunda da yaklaş¬m problemleri incelenmiştir. S¬n¬rs¬z aral¬klarda sürekli bir fonksiyona yak¬nsayan önemli bir fonksiyon dizisi de G. M. Mirakyan taraf¬ndan inşa edilmiştir.
1941 y¬l¬nda Mirakyan, [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde sürekli olan ve lim f (x)=(1+x2 ) < 1
x!1
koşulunu sa¼
glayan f fonksiyonuna yak¬nsak olan
Sn f (x) = e
nx
1
X
k
n
f
k=0
(nx)k
;
k!
n 2 N;
ile tan¬ml¬Szasz operatörleri olarak bilinen fSn g operatörler dizisini tan¬mlam¬şt¬r
ve yaklaş¬m özelliklerini incelemiştir. 1944 y¬l¬nda J. Faward ve 1950 y¬l¬nda O. Szasz
taraf¬ndan bu operatörlerin baz¬özellikleri incelenmiştir. Genellikle Sn f fonksiyon
serileri Szasz- Mirakyan operatörleri olarak bilinir.
1951 y¬l¬nda H. Bohman
Ln (f ; x) =
n
X
k=0
f (tk;n )uk (x);
x 2 [0; 1]; 0
tk;n
1; n 2 N
şeklinde olan lineer pozitif operatörler dizisinin [0; 1] aral¬g¼¬nda sürekli f fonksiyonuna düzgün yak¬nsakl¬g¼¬ hakk¬nda oldukça kullan¬şl¬ bir kriter vermiştir. 1953
y¬l¬nda P. P. Korovkin, H. Bohman’¬n sonucunu genelleyen ve lineer pozitif operatörler ile yaklaş¬m teorisini derinleştiren bir çal¬şma sunmuştur. Çal¬şmadaki kritere
göre; key… bir fLn (f )g lineer pozitif operatör dizisinin f fonksiyonuna kapal¬ ve
sonlu bir aral¬kta düzgün yak¬nsak olmas¬için gerek ve yeter koşul; her i = 0; 1; 2
için fLn (ei )g dizisinin ilgili aral¬kta ei fonksiyonuna düzgün yak¬nsamas¬d¬r. Burada
ei ’ler i = 0; 1; 2 için ei (t) = ti ile tan¬ml¬ test fonksiyonlar¬d¬r. Bu kriter, sürekli
fonksiyonlara lineer pozitif operatörlerle yaklaş¬m teorisinin temelini oluşturmuştur. Bohman-Korovkin teoremini gerçekleyen di¼
ger operatör dizileri Bernstein polinomlar¬n¬n bulunma yöntemleri kullan¬larak elde edilmiştir. Bu yüzden Bernstein
polinomlar¬lineer pozitif operatörlerle yaklaş¬m teorisinin oluşmas¬nda çok önemli
bir yere sahiptir. Bohman- Korovkin teoreminden sonra bu teoremin koşullar¬n¬
sa¼
glayan çok say¬da lineer pozitif operatörler dizisi inşa edilmiş ve yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir.
2
2. LI·NEER POZI·TI·F OPERATÖRLER
2.1
Lineer Pozitif Operatörlerin Tan¬m¬
Tan¬m 2.1 X ve Y iki fonksiyon uzay¬ olsun. E¼
ger X’den al¬nan herhangi bir
f fonksiyonuna Y ’de bir g fonksiyonu karş¬l¬k getiren bir L kural¬ varsa buna X
uzay¬nda bir operatördür denir ve L(f ; x) = g(x) biçiminde gösterilir
(Hac¬saliho¼
glu ve Hac¬yev 1995).
Burada L(f ; x) = L(f (t); x) olmak üzere L operatörü f fonksiyonunun ba¼
gl¬oldu¼
gu
t de¼
gişkenine göre uygulanmaktad¬r. Sonuç ise x de¼
gişkenine ba¼
gl¬bir fonksiyondur.
Bundan dolay¬ x de¼
gişkeni L işleminde sabit gibidir ve L(f (x); x) = f (x)L(1; x)
yaz¬labilir.
X uzay¬lineer bir uzay oldu¼
gunda lineer operatörün tan¬m¬yap¬labilir.
Tan¬m 2.2 X ve Y lineer fonksiyon uzaylar¬olmak üzere,
L:X!Y
şeklindeki L operatörünü gözönüne alal¬m. E¼
ger 8 f; g 2 X ve 8 ;
2 R için
L( f + g; x) = L(f ; x) + L(g; x)
koşulu sa¼
glan¬yorsa L operatörüne lineer operatör denir
(Hac¬saliho¼
glu ve Hac¬yev 1995).
Tan¬m 2.3 X bir vektör uzay¬olmak üzere her f 2 X için
f
0 iken L(f ; x)
0
oluyor ise L operatörüne pozitif operatör denir.
Hem lineerlik hem de poziti‡ik şart¬n¬ sa¼
glayan operatöre lineer pozitif operatör
denir (Hac¬saliho¼
glu ve Hac¬yev 1995).
3
Uyar¬2.1 f
0 iken L(f ; x)
Kabul edelim ki f
0 gerçeklenir mi?
0 olsun. Bu durumda
f
0
elde edilir. L operatörü pozitif oldu¼
gundan
L( f ; x)
0
bulunur. L operatörünün lineerlik özelli¼
gi kullan¬l¬rsa
0 ise L(f ; x)
L(f ; x)
0
elde edilir. Yani istenilen özelli¼
gin gerçeklendi¼
gi görülmüş olur.
2.2
Lineer Pozitif Operatörlerin Özellikleri
Lemma 2.1 Lineer pozitif operatörler monoton artand¬r. Yani;
f
g ise L(f )
(2.1)
L(g)
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
I·spat. Kabul edelim ki f
g olsun. Bu durumda g
f
0 olaca¼
g¬ndan ve L
operatörü pozitif oldu¼
gundan
L(g
f)
(2.2)
0
yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan L operatörü lineer oldu¼
gundan
L(g
f ) = L(g)
(2.3)
L(f )
elde edilir. Bunun (2.2)’de kullan¬lmas¬yla
L(g
f ) = L(g)
L(f )
bulunur.
4
0 ise L(f )
L(g)
(2.4)
Lemma 2.2 L bir lineer pozitif operatör ise o taktirde;
jL(f )j
L(jf j)
(2.5)
jf j
(2.6)
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
I·spat. Key… bir f fonksiyonu için
jf j
f
’dir. L operatörünün lineerli¼
ginden, monoton artanl¬g¼¬ndan ve de (2.6)’dan
L(jf j)
L(f )
L(jf j)
(2.7)
yaz¬labilir. Bu ise
jL(f )j
L(jf j)
(2.8)
oldu¼
gunu gösterir.
Tan¬m 2.4 n 2 N olmak üzere fn (x)’e bir fonksiyon dizisi denir ve (fn ) ile gösterilir.
Tan¬m 2.5 n 2 N olmak üzere Ln (f ; x)’e bir operatör dizisi denir ve (Ln ) ile
gösterilir.
Tan¬m 2.6 Kapal¬bir [a; b] aral¬g¼¬üzerinde sürekli ve reel de¼
gerli fonksiyonlardan
oluşan kümeye C [a; b] fonksiyon uzay¬denir. Bu uzaydaki norm,
kf kC[a;b] = max jf (x)j
a x b
şeklinde tan¬mlan¬r. Burada
5
1:
8f , g 2 C [a; b] için f + g 2 C [a; b]
2:
8f , g 2 C [a; b] için f + g = g + f
3:
8f , g , h 2 C [a; b] için (f + g) + h = f + (g + h)
4:
8f 2 C [a; b] için 9 vard¬r ki f + = + f = f
5:
8f 2 C [a; b] için 9f 0 vard¬r ki f + f 0 = f 0 + f =
6:
8f 2 C [a; b] ve
2 C için f 2 C [a; b]
7:
8f 2 C [a; b] ve
,
8:
8f 2 C [a; b] için 1:f = f
9:
8f 2 C [a; b] ve
2 C için (
,
)f =
( f)
2 C için ( + ) f = f + f
10: 8f , g 2 C [a; b] ve
2 C için
11: 8f 2 C [a; b] için kf k
(f + g) = f + g
0
12: 8f 2 C [a; b] için kf k = 0 () f = 0
13: 8f 2 C [a; b] ve
2 C için k f k = j j kf k
14: 8f , g 2 C [a; b] için kf + gk kf k + kgk
koşullar¬sa¼
gland¬g¼¬ndan C [a; b]; lineer normlu uzayd¬r
(Hac¬saliho¼
glu ve Hac¬yev 1995).
Tan¬m 2.7 (fn ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna C [a; b] lineer normlu uzay¬nda düzgün yak¬nsak olmas¬için, 8x 2 [a; b] iken
lim kfn (x)
n!1
f (x)kC[a;b] = 0
olmas¬d¬r. Daha aç¬k olarak ise
lim
max jfn (x)
n!1 a x b
f (x)j = 0
eşitli¼
ginin sa¼
glanmas¬demektir (Hac¬saliho¼
glu ve Hac¬yev 1995).
2.3
Süreklilik Modülü
f 2 C [a; b] olsun. 8 > 0 için
! (f ; ) = sup jf (t)
x;t2[a;b]
jt xj
6
f (x)j
ile tan¬mlanan ! fonksiyonuna f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.
Lemma 2.3 Süreklilik modülü aşa¼
g¬daki özellikleri sa¼
glar:
(i)
! (f ; )
(ii)
1
2
0
ise ! (f ;
1)
! (f ;
m 2 N için ! (f ; m )
(iii)
2 R+ için ! (f ;
(iv)
2)
m ! (f ; )
)
(1 + ) ! (f ; )
(v)
lim ! (f ; ) = 0
(vi)
jf (t)
f (x)j
! (f ; jt
(vii) jf (t)
f (x)j
1+
!0
xj)
jt xj
! (f ; ).
I·spat. (i) Tan¬m gere¼
gince, süreklilik modülü mutlak de¼
gerin supremumu oldu¼
gundan ispat aç¬kt¬r.
(ii)
1
2
için jt
xj
2
bölgesinin jt
xj
1
bölgesinden daha büyük oldu¼
gu
aç¬kt¬r. Bölge büyüdü¼
gü taktirde, al¬nan supremumunda büyümesi gerekti¼
ginden
ispat tamamlan¬r.
(iii) Süreklilik modülünün tan¬m¬ndan dolay¬
sup jf (t)
! (f ; m ) =
(2.9)
f (x)j
x;t2[a;b]
jt xj m
yaz¬labilir. jt
xj
m için t = x + mh seçilmesiyle jhj
! (f ; m ) = sup jf (x + mh)
elde edilir. O taktirde
(2.10)
f (x)j
x;t2[a;b]
jhj
şeklinde yaz¬labilir. Di¼
ger yandan
sup jf (x + mh)
f (x)j = sup
m
X1
[f (x + (k + 1) h)
f (x + kh)]
(2.11)
x;t2[a;b] k=0
jhj
x;t2[a;b]
jhj
olup, sa¼
g tarafa üçgen eşitsizli¼
gi uygulan¬rsa
sup jf (x + mh)
x;t2[a;b]
jhj
f (x)j
m
X1
sup jf (x + (k + 1) h)
f (x + kh)j
k=0 x;t2[a;b]
jhj
! (f ; ) + ::: + ! (f ; )
= m ! (f ; )
7
(2.12)
elde edilir.
(iv)
[j j] <
2 R+ say¬s¬n¬n tam k¬sm¬[j j] ile gösterilirse bu durumda
< [j j] + 1 eşitsizli¼
ginin geçerli oldu¼
gu aç¬kt¬r. Şimdi bu eşitsizlikten ve (ii)
de ispatlanan ! (f ; ) n¬n azalmayan fonksiyon olmas¬n¬kullanarak
! (f ;
! (f ; ([j j] + 1) )
)
eşitsizli¼
gi yaz¬labilir. [j j] pozitif bir tamsay¬ oldu¼
gundan üstteki eşitsizli¼
gin sa¼
g
taraf¬na (iii) özelli¼
gi uygulanabilir. Bu durumda
! (f ; ([j j] + 1) )
([j j] + 1) ! (f ; )
2 R+ için [j j] + 1
eşitsizli¼
gi elde edilir. Ayr¬ca 8
! (f ; ([j j] + 1) )
(2.13)
+ 1 oldu¼
gu göz önüne al¬n¬rsa
( + 1) ! (f ; )
olur. Sonuç olarak
! (f ;
)
(2.14)
( + 1) ! (f ; )
elde edilir ki, bu da ispat¬tamamlar.
(v) jt
xj
eşitsizli¼
gindeki
! 0 olmas¬t ! x olmas¬anlam¬na gelir. f fonksi-
yonu sürekli oldu¼
gundan, süreklilik tan¬m¬na göre t ! x için jf (t)
f (x)j ! 0
oldu¼
gundan ispat aç¬kt¬r.
(vi) ! (f ; ) ifadesinde
= jt
xj seçilirse
! (f ; jt
elde edilir. O halde jf (t)
jf (t)
xj) = sup jf (t)
(2.15)
f (x)j
x2[a;b]
f (x)j lerin supremumu ! (f ; jt
f (x)j ifadesi ! (f ; jt
xj) olaca¼
g¬ndan,
xj) den küçük kalacakt¬r. Bu ise istenilendir.
(vii) (vi) özelli¼
ginden
jf (t)
f (x)j
! (f ; jt
xj) = ! f ;
jt
xj
yaz¬labilir. Bu eşitsizlikte (iv) özelli¼
gi kullan¬l¬rsa
jf (t)
f (x)j
jt
bulunur ki bu ise ispat¬tamamlar.
8
xj
+ 1 ! (f ; )
(2.16)
2.4
Kullan¬lacak Olan Di¼
ger Tan¬mlar
Tan¬m 2.8 (Hölder eşitsizli¼
gi) a = (a1 ; a2 ; :::; an ) ve b = (b1 ; b2 ; :::; bn ) reel veya
1 1
kompleks say¬lar¬n iki n lisi olsun. Bu takdirde + = 1 olmak üzere
p q
(a) p > 1 ise,
n
X
k=1
jak bk j
n
X
jak bk j
n
X
k=1
(b) p < 0 veya q < 0 ise,
n
X
k=1
k=1
jak jp
!1=p
jak jp
!1=p
n
X
k=1
n
X
k=1
jbk jq
!1=q
jbk jq
!1=q
eşitsizlikleri geçerlidir (Mitrinović 1970).
1 1
+ = 1 olmak üzere f ve g
p q
[a,b] aral¬g¼¬nda tan¬ml¬reel fonksiyonlar, jf jp ve jgjq [a,b] aral¬g¼¬nda integrallenebilir
Tan¬m 2.9 (I·ntegral için Hölder eşitsizli¼
gi) p > 1,
fonksiyonlar ise
Zb
jf (x)g(x)j dx
a
0
@
Zb
a
11=p 0
jf (x)jp dxA
eşitsizli¼
gi geçerlidir (Mitrinović 1993).
Tan¬m 2.10 D
@
Zb
a
Rn olmak üzere 8t1 ; t2 ; :::; tn 2 D ve
şekilde negatif olmayan
1;
jg(x)jq dxA
1+
2 + ::: +
n
= 1 olacak
say¬lar¬için
!
n
n
X
X
t
i i
i f (ti )
2 ; :::;
f
11=q
n
i=1
i=1
sa¼
glan¬yorsa reel de¼
gerli bir fonksiyon olan f’ye konveks fonksiyon denir.
Tan¬m 2.11 f; [0; 1) da konveks bir fonksiyon ise Ln (f ; x)
(Cao vd. 2005).
9
f (x) ’dir
Tan¬m 2.12 !; D bölgesinde tan¬ml¬, reel de¼
gerli, sürekli bir fonksiyon olsun. E¼
ger
! fonksiyonu 8 x; y 2 [0; 1) için
a) ! (x + y)
b) x
! (x) + ! (y) (alt toplamsall¬k)
y için ! (x)
! (y) (azalmayan)
c) ! (0) = 0
özelliklerini sa¼
gl¬yor ise ! fonksiyonuna genel süreklilik modülü fonksiyonu denir.
Tan¬m 2.13 f reel de¼
gerli, sürekli bir fonksiyon,
2 (0; 1] olmak üzere 8 x; y 2
[0; 1) için
jf (x)
f (y)j
M jx
sa¼
glanacak şekilde bir M > 0 varsa f fonksiyonuna
yj
’y¬nc¬basamaktan Lipschitz
sürekli fonksiyondur denir. Lipschitz sürekli fonkisyonlar¬n kümesi LipM ( ) ile
gösterilir.
10
3. LUPAŞ OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLI·KLERI·
3.1
Lupaş Operatörü
(nx)0 = 1;
(nx)k = (nx) (nx + 1) ::: (nx + k
(a + b)k =
k
X
k
i
i=0
1) ; k 2 N;
(a)i (b)k i ; k 2 N
olmak üzere Lupaş operatörü
Ln (f ; x) = (1
nx
a)
1
X
(nx)k
k=0
şeklinde tan¬mlan¬r. a =
1
2
k
ak f ( ); jaj < 1; x
k!
n
0;
al¬n¬rsa, Agratini taraf¬ndan tan¬mlanan
Ln (f ; x) = 2
nx
1
X
(nx)k
k=0
k
f
(
); n 2 N
2k k! n
(3.1)
operatörü elde edilir. Bu operatörün baz¬klasik yaklaş¬m sonuçlar¬Agratini, Taşdelen, Erençin, Tunca, Finta ve Sofonea taraf¬ndan verilmiştir. Agratini sonlu aral¬klarda yaklaş¬m¬n derecesi için tahminlerde bulunmuş ve Voronovskaya tipli teoremle
vermiştir. Daha sonra Ln operatörünün istatistiksel yaklaş¬m özellikleri incelenmiş,
ayn¬operatör için Kantorovich ve Durrmeyer operatörleri kurulmuştur.
3.2
Lupaş Operatörünün Baz¬Özellikleri
Teorem 3.1 Tan¬m 2.12 ile tan¬mlanan ! (x) genel süreklilik modülü fonksiyonu
ise (3.1) ile tan¬mlanan Ln (!; x) operatörü de genel süreklilik modülü fonksiyonudur
(Erençin vd. 2014).
11
I·spat. x; y 2 [0; 1) olsun. x
ny
Ln (f ; y) = 2
ny
= 2
ny
= 2
y için
1
X
(ny)
k=0
1
X
2k k!
k=0
1 X
k
X
toplamlar¬n s¬ras¬de¼
giştirilir ve k
Ln (f ; y) = 2
= 2
ny
k
n
f
(n (x + (y x)))k
f
2k k!
k
n
1 k
(nx)i (n (y
2k k! i
k=0 i=0
ny
k
x))k
i
f
k
n
x))k
i
f
k
n
i = j al¬n¬rsa
1 X
1
X
1 k
(nx)i (n (y
k
2
k!
i
i=0 k=i
1 X
1
X
i=0 j=0
1
2i+j i!j!
(nx)i (n (y
i+j
n
x))j f
(3.2)
elde edilir. Di¼
ger taraftan,
Ln (f ; x) = 2
nx
1
X
(nx)
i
i=0
= 2
= 2
2i i!
n(y (y x))
ny n(y x)
2
1
X
(nx)
= 2
ny
i=0
1
X
i
n
(nx)i
f
2i i!
i
n
2i i!
1
1
X
(nx) X (n (y
x))j
f
2j j!
i
n
(nx)i (n (y x))j
f
2i i!
2j j!
i
n
i
2i i!
ny
f
i
i=0
= 2
i
n
f
i=0
1 X
1
X
i=0 j=0
j=0
(3.3)
elde edilir. (3.2)’den (3.3) ç¬kar¬l¬rsa
Ln (f ; y)
Ln (f ; x) = 2
ny
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
f
i i!
j j!
2
2
i=0 j=0
i+j
n
f
i
n
bulunur. Son formülde f yerine ! süreklilik modülü fonksiyonu al¬n¬rsa !’n¬n alt
12
toplamsall¬k özelli¼
ginden
Ln (!; y)
2
ny
= 2
nx
Ln (!; x)
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
!
i i!
j j!
2
2
i=0 j=0
1
X
(nx)
i
2i i!
i=0
= 2
n(y x)
1
X
j=0
2
n(y x)
j
n
1
X
(n (y
x))j
!
2j j!
j=0
(n (y x))j
!
2j j!
j
n
j
n
= Ln (!; y x)
elde edilir. Bu da Ln ! ’n¬n alt toplamsall¬k özelli¼
gini sa¼
glad¬g¼¬n¬ gösterir. y
için Ln (!; y)
x
Ln (!; x)’ dir. Ln (!; 0) = ! (0) = 0 oldu¼
gundan Ln (!; x) genel
süreklilik modülü fonksiyonudur.
Teorem 3.2 0 <
1 olmak üzere f 2 LipM ( ) ise Ln (f ; x) 2 LipM ( )
gerçeklenir (Erençin vd. 2014).
I·spat. x
y için
jLn (f ; y) Ln (f ; x)j
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
ny
f
2
i i!
j j!
2
2
i=0 j=0
M2
n(y x)
1
X
(n (y
x))j
2j j!
j=0
elde edilir. Burada f (t) = t ; 0 <
i+j
n
f
i
n
j
n
1 fonksiyonunun konkav oldu¼
gu ve Tan¬m
2.13 gözönüne al¬n¬rsa
jLn (f ; y)
(
M
2
n(y x)
M fLn (t; y
= M (y
elde edilir. Ayn¬şekilde x
Ln (f ; x)j
1
X
(n (y
j=0
x))j j
2j j!
n
)
x)g
x)
y için de gösterilebilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
13
Teorem 3.3 f; [0; 1) aral¬g¼¬nda konveks ise bu durumda (3.1) ile tan¬mlanan
Ln (f ; x) artmayand¬r (Erençin vd. 2014).
I·spat. Ln operatörünün (3.1) ile verilen tan¬m¬dikkate al¬n¬r ve aşa¼
g¬daki işlemler
yap¬l¬rsa
Ln (f ; x) Ln+1 (f ; x)
1
1
X
X
((n + 1)x)k
(nx)k
k
k
(n+1)x
nx
f
2
f
= 2
k
k
2 k!
n
2 k!
n+1
k=0
k=0
( 1
)
1
X (nx)
X
((n
+
1)x)
k
k
nx x
x
k
k
= 2
2
f
f
k k!
k k!
2
n
2
n+1
k=0
k=0
bulunur.
Ln (f ; x) Ln+1 (f ; x)
(1
1
X (x) X
(nx)k
nx x
l
= 2
f
l
2 l! k=0 2k k!
l=0
olur. I·lk toplamda k yerine k
k
n
1
X
((n + 1)x)
k
2k k!
k=0
f
k
n+1
)
l yaz¬l¬rsa
Ln (f ; x) Ln+1 (f ; x)
)
(1 1
1
X X (nx)k l (x)l
X
((n
+
1)x)
k
l
k
k
= 2 nx x
f
f
k l 2l l! (k
k k!
2
l)
!
n
2
n+1
k=0
l=0 k=l
(1 " k
#)
X X (nx)l (x)k l
((n + 1)x)k
l
k
= 2 nx x
f
f
k
k
2 l! (k l) !
n
2 k!
n+1
k=0 l=0
elde edilir. S¬ras¬yla
l
l
ve tl
=
tl =
(nx)l (x)k l
l!(k l)!
((n+1)x)k
k!
=
(nx)l (x)k l k
((n + 1)x)k l
0;
l
n
seçilirse, bu durumda
k
X
l=0
l
=
k
X
1
(nx)l (x)k
((n + 1)x)k l=0
14
l
k
l
=1
olur. Di¼
ger taraftan,
k
X
l tl
l=0
l!l+1
k
X
1
(nx)l (x)k
=
((n + 1)x)k l=0
k
X
1
=
(nx)l (x)k
((n + 1)x)k l=1
l
l
k 1
X
k
(nx)l+1 (x)k
((n + 1)x)k l=0
=
k l
l n
k!
1)! (k
(l
l 1
1
l)! n
(k 1)! 1
l! (k l 1)! n
k 1
X
k
=
(nx) (nx + 1) ::: (nx + l) (x)k
((n + 1)x)k l=0
k 1
X
kx
=
(nx + 1) ::: (nx + l) (x)k
((n + 1)x)k l=0
k
l 1
kx
((n + 1)x) ((n + 1)x) + 1) ::: ((n + 1)x) + k
k 1
X
k 1
(nx + 1)l (x)k 1 l
l
l=0
=
k
=
(n + 1) ((n + 1)x) + 1)k
k
(n + 1)
=
k 1
X
k
l 1
(nx + 1)l (x)k
1
l
1)
k
1 l
1 l=0
bulunur. f konveks bir fonksiyon oldu¼
gundan
k
X
1
k
(nx)l (x)k l f
((n + 1)x)k l=0 l
f
k
X
1
k
(nx)l (x)k
((n + 1)x)k l=0 l
elde edilir; bu ise Ln (f ; x)
l
n
l
l
n
!
=f
Ln+1 (f ; x) oldu¼
gunu ispatlar.
15
1 1
l
n
k
n+1
1
l
LUPAŞ OPERATÖRÜNÜN KANTOROVICH GENELLEŞTI·R-
4.
MESI·
4.1
Ln ’¬n Kantorovich Genelleştirmesi
Lupaş operatörünün Kantorovich tipli genelleştirilmesi Agratini taraf¬ndan aşa¼
g¬daki
gibi inşa edilmiştir.
nx
Kn (f ; x) = n2
1
X
k=0
(nx)k
2k k!
(k+1)
n
Z
f (t)dt; n 2 N:
(4.1)
k
n
Yeşildal ve Erençin (2009), Ln ’nin bir genelleştirmesi olan
Ln (f ; x) = 2
an x
1
X
(an x)k
k=0
2k k!
f(
k
); n 2 N
bn
(4.2)
operatörünü tan¬mlam¬ş ve a¼
g¬rl¬kl¬ yaklaş¬m özelliklerini incelemişlerdir. Burada
(an ) ve (bn ) artan s¬n¬rs¬z pozitif diziler olmak üzere
an
bn
= 1+O
1
bn
1
n!1 bn
, lim
= 0’d¬r.
g¬daki
Yeşildal ve Erençin (2009) taraf¬ndan Ln ’¬n Kantorovich genelleştirmesi aşa¼
gibi tan¬mlanm¬şt¬r.
Kn (f ; x) = bn 2
an x
1
X
k=0
(an x)k
2k k!
(k+1)
bn
Z
f (t)dt; n 2 N:
k
bn
an
n!1 bn
(an ) ve (bn ) artan s¬n¬rs¬z pozitif diziler olmak üzere lim
4.2
(4.3)
1
n!1 bn
= 1, lim
= 0’d¬r.
Temel Sonuçlar
Öncelikle Ln operatörü için ei (t) = ti , i = 0; 1; 2 ile tan¬ml¬ test fonksiyonlar¬n¬
hesaplayal¬m.
Ln (e0 ; x) = Ln (1; x)
1
X
(an x)k
= 2 an x
=1
k k!
2
k=0
16
(4.4)
ve
Ln (e1 ; x) = Ln (t; x)
1
X
(an x)k k
an x
= 2
2k k! bn
k=0
1
=
2
bn
1
2
bn
=
an x
an x
1
X
k=1
1
X
k=1
an
x2
bn
an
=
x2
bn
=
(an x)k
k
2 (k 1)!
(an x)(an x + 1)k
2k (k 1)!
(an x+1)
1
1
X
(an x + 1)k
2k k!
an
(an x+1) (an x+1)
2
= x
bn
k=0
(4.5)
ve
Ln (e2 ; x) = Ln (t2 ; x)
1
X
(an x)k k 2
an x
= 2
2k k! b2n
k=0
= 2
an x
1
X
(an x)(an x + 1)k
2k (k
k=1
k 1!j
an
=
x2
bn
an
=
x2
bn
an
= 2 x2
bn
an x
1)!
k
b2n
1
X
(an x + 1)j j + 1
(
)
2j+1 j!
bn
j=0
(an x+1)
(an x+1)
1
X
(an x + 1)j j
an
+ x2
j
2 j!
bn bn
j=0
1
X
(an x + 1)(an x + 2)j
2j (j
j=1
an
= 2 x(an x + 1)2
bn
=
1
(an x+2)
an
an
x(an x + 1) + 2 x
2
bn
bn
1)!
1
X
(an x + 2)k
k=0
a2
= 2n x2
bn
bulunur.
17
1
2k k!
+2
an
x
b2n
+
(an x+1)
+
an
x
b2n
1
X
(an x + 1)j 1
2j j!
bn
j=0
an
x
b2n
(4.6)
Lemma 4.1 (4.3) ile verilen Kn operatörü 8 x > 0 için aşa¼
g¬daki eşitlikleri sa¼
glar
(Erençin ve Yeşildal 2009).
Kn (1; x) = 1
1
an
Kn (t; x) =
x+
bn
2bn
2
a
an
1
Kn (t2 ; x) = 2n x2 + 3 2 x + 2
bn
bn
3bn
I·spat. (4.3) eşitli¼
ginde s¬ras¬ile i = 0; 1; 2 olmak üzere ei (t) = ti al¬n¬rsa
Kn (e0 ; x) = Kn (1; x)
1
X
(an x)k
an x
= bn 2
2k k!
k=0
k+1
bn
k
bn
=1
(4.7)
bulunur.
Kn (e1 ; x) = Kn (t; x)
(k+1)
= bn 2
an x
Zbn
1
X
(an x)k
k=0
= bn 2
= bn 2
an x
an x
2k k!
k
bn
1
X
(an x)k
k=0
1
X
k=0
tdt
2k k!
(an x)k
2k k!
(k + 1)2
2b2n
2k + 1
2b2n
1
X
(an x)k k
bn
an x
= 2
+ 22
k
2 k! bn 2bn
k=0
=
an
1
x+
bn
2bn
k2
2b2n
an x
1
X
(an x)k
k=0
2k k!
(4.8)
18
elde edilir.
Kn (e2 ; x) = Kn (t2 ; x)
= bn 2
an x
1
X
k=0
= bn 2
= bn 2
= 2
an x
an x
an x
(an x)k
2k k!
Z
k=0
1
X
k=0
1
X
t2 dt
k
bn
1
X
(an x)k
k=0
2k k!
(an x)k
2k k!
(k + 1)3
3b3n
k3
3b3n
(k 3 + 3k 2 + 3k + 1
3b3n
(an x)k k 2
1
2
+
2k k! b2n bn
a2n 2
an
x +2 2x+
2
bn
bn
2
an
a
= 2n x2 + 3 2 x +
bn
bn
=
(k+1)
bn
an x
1
1 an
x+ 2
bn bn
3bn
1
3b2n
k3
1
X
(an x)k k
1
+
2
k k! b
2
2
3b
n
n
k=0
an x
Lemma 4.2 8 x > 0 için (4.3) ile verilen Kn operatörü
x)2 ; x) = (
an
bn
1)2 x2 +
3an
b2n
1
bn
x+
1
3b2n
eşitli¼
gini sa¼
glar (Erençin ve Yeşildal 2009).
I·spat. Kn lineer bir operatör oldu¼
gu için
Kn ((t
x)2 ; x) = Kn (t2 ; x)
2xKn (t; x) + x2 Kn (1; x)
şeklinde yaz¬labilir. Lemma 4.1’in kullan¬lmas¬yla
Kn ((t x)2 ; x)
a2
an
= 2n x2 + 3 2 x +
bn
bn
2
a
an
= 2n x2 + 3 2 x +
bn
bn
an
= (
1)2 x2 +
bn
1
3b2n
1
3b2n
3an
b2n
bulunur.
19
k=0
2k k!
(4.9)
olup istenilen sonuca var¬l¬r. Böylece ispat tamamlan¬r.
Kn ((t
1
X
(an x)k
an
1
x+
+ x2
bn
2bn
an
x
2x2
+ x2
bn
bn
1
1
x+ 2
bn
3bn
2x
Teorem 4.1 f , [0; 1) aral¬g¼¬nda integrallenebilir ve [0; 1)’un her kompakt alt
i 21
h
1
1
n
x
+
aral¬klar¬nda s¬n¬rl¬ olsun. x
0 ve n;x = ( abnn 1)2 x2 + 3a
2
2
b
bn
3b
n
n
olmak üzere
jKn (f ; x)
f (x)j
2! (f ;
n;x )
sa¼
glan¬r (Erençin ve Yeşildal 2009).
I·spat. Kn operatörünün lineerlik ve monotonluk özelliklerinden yararlanarak;
jKn (f ; x)
f (x)j
bn 2
an x
1
X
(an x)k
2k k!
k=0
(k+1)=b
Z n
jf (t)
f (x)j dt
k=bn
şeklinde yaz¬labilir. Süreklilik modülünün
jf (t)
! (f ; jt
f (x)j
xj) = ! f ;
jt
xj
ve
! (f ;
özelliklerinden
jKn (f ; x)
f (x)j
! (f ; )
= ! (f ; )
2
)
8
>
<1
>
:
2 (bn 2
an x
2
1
= ! (f ; )
2k k!
(
2
2
(k+1)=b
Z n
jf (t)
f (x)j dt) + 1
k=bn
x)2 ; x) + 1
2 Kn ((t
1
1
X
(an x)k
k=0
1
= ! (f ; )
+ 1 ! (f ; )
an
bn
3an
b2n
1)2 x2 +
1
bn
x+
9
>
=
>
;
1
+1
3b2n
+1
= 2! (f ; )
sonucuna var¬l¬r. Burada
=
istenilen ispat elde edilir.
Teorem 4.2 8 x; t 2 [0; 1),
sa¼
glan¬r. Burada
n;x
h
= ( abnn
n;x
h
= ( abnn
2 2
1) x +
3an
b2n
1
bn
x+
1
3b2n
i 12
al¬n¬rsa
2 (0; 1] ve f 2 LipM ( ) s¬n¬f¬ndan ise, bu durumda
jKn (f ; x)
1)2 x2 +
f (x)j
3an
b2n
20
M
1
bn
n;x
x+
1
3b2n
i 21
’dir
(Erençin ve Yeşildal 2009).
I·spat.
jKn (f ; x)
f (x)j
an x
bn 2
1
X
(an x)k
k=0
M bn 2
an x
2k k!
2
ve q =
jKn (f ; x)
M bn 2
2
2
2k k!
an x
1
P
an x
1
P
k=0
=2
f (x)j dt
k=bn
(k+1)=b
Z n
jt
xj dt
k=bn
olmak üzere Tan¬m 2.9 ile verilen Hölder eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
f (x)j
k=0
M bn 2
jf (t)
1
X
(an x)k
k=0
p=
(k+1)=b
Z n
M bn 2
an x
(an x)k
2k k!
(an x)k
2k k!
1
P
k=0
2
6
4
2
6
4
(an x)k
2k k!
(k+1)=b
Z n
(t
k=bn
(k+1)=b
Z n
(t
k=bn
2
6
4
elde edilir. Burada p =
3
7
x)2 dt5
3
k=bn
ve q =
h
7
x)2 dt5
2
2
kullan¬l¬r ve Ln (1; x) = 1 oldu¼
gu hat¬rlan¬rsa
jKn (f ; x)
f (x)j
M [Kn ((t
bulunur ki bu ise ispat¬tamamlar.
21
(k+1)=b
Z n
2=2
(1)
k=bn
3(2
)=2
7
dt5
=2
3
(t
2
6
4
7
x)2 dt5
(k+1)=b
Z n
2
=2
k+1 k
bn
i(2
)=2
=2
olmak üzere tekrar Hölder eşitsizli¼
gi
x)2 ; x)]
=2
=M
n;x
5.
¼ I·ŞKENLI· LUPAŞ OPERATÖRÜ VE BAZI ÖZELLI·KÇOK DEG
LERI·
5.1
D
Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörü
Rm ; m 2 N olmak üzere
D = fx = (x1 ; x2 ; :::; xm ) 2 Rm : 0
xi < 1; 1
i
mg
şeklinde bir D bölgesi tan¬mlans¬n.
k! = k1 !k2 !:::km !; jkj = k1 + k2 + ::: + km ;
1
1 X
1
1
X
X
X
n
n!
;
=
:::
;
=
k! (n jkj)! k=0 k =0 k =0 k =0
k
1
m
2
k
n
(x)k = (x1 )k1 (x2 )k2 ::: (xm )km ; f
=f
km
k1 k2
; ; :::;
n n
n
ve f, D’de sürekli, reel de¼
gerli bir fonksiyon olmak üzere, çok de¼
gişkenli Lupaş operatörü
Ln;m (f ; x) = 2
njxj
1
X
(nx)
k=0
k
2jkj k!
f
k
n
(n 2 N)
;
(5.1)
şeklinde tan¬mlan¬r. Burada motivasyonumuz Olgun’un ve Cao, Ding, Xu’nun çal¬şmalar¬olmuştur (Cao vd. 2005), (Olgun 2012).
Tan¬m 5.1 E¼
ger 8x1 ; x2 ; :::; xm 2 D ve
olmayan
1;
2 ; :::;
m
1+
2 +:::+
m
= 1 olacak şekilde negatif
say¬lar¬için
f
m
X
i=1
i xi
!
m
X
if
(xi )
i=1
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬yorsa reel de¼
gerli f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir
(Cao vd. 2005).
22
Tan¬m 5.2 f , [0; 1) da konveks bir fonksiyon ise Ln (f ; x)
f (x) ’dir
(Cao vd. 2005).
Tan¬m 5.3 ! (u), D bölgesinde tan¬ml¬, reel de¼
gerli, sürekli bir fonksiyon olsun.
E¼
ger ! fonksiyonu u
v yani ui
vi olmak üzere 8 1
i
m, u = (u1 ; u2 ; :::; um ) ve
v = (v1 ; v2 ; :::; vm ) 2 D için
a) ! (u + v)
b) u
! (u) + ! (v) (alt toplamsall¬k)
v için ! (u)
! (v) (azalmayan)
c) ! (0) = ! ((0; 0; :::; 0)) = 0
özelliklerini sa¼
gl¬yor ise ! fonksiyonuna genel süreklilik modülü fonksiyonu denir
(Cao vd. 2005).
Tan¬m 5.4 D
Rm ! R ’ye sürekli bir fonksiyon,
2 (0; 1] olmak üzere x =
(x1 ; x2 ; :::; xm ) ; y = (y1 ; y2 ; :::; ym ) 2 D için
jf (x)
f (y)j
M
m
X
i=1
jxi
yi j
sa¼
glanacak şekilde bir M > 0 sabiti varsa f fonksiyonuna
’y¬nc¬basamaktan Lip-
schitz sürekli fonksiyondur denir. Lipschitz sürekli fonkisyonlar¬n kümesi LipM ( ; D)
ile gösterilir (Cao vd. 2005).
5.2
Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörünün Baz¬Özellikleri
Teorem 5.1 Tan¬m 5.3 ile tan¬mlanan ! (u) genel süreklilik modülü fonksiyonu ise
(5.1) ile tan¬mlanan Ln;m (!; u) operatörü de genel süreklilik modülü fonksiyonudur
(Bodur ve Taşdelen 2015).
I·spat. x = (x1 ; x2 ; :::; xm ) ; y = (y1 ; y2 ; :::; ym ) 2 D ve x
23
y olsun. Bu durumda,
Ln;m (f ; y)
=2
njyj
1
P
k=0
=2
njyj
1
P
k=0
=2
njyj
(ny)k
f
2k k!
k
n
(n(x+(y x)))k
f
2k k!
1
1 P
P
k1 =0 k2 =0
:::
k
n
k2
k1 P
1 P
P
:::
km =0 i1 =0 i2 =0
km
P
im =0
1
(nx)i
i!2k (k i)!
(n(y
x))k i f
k
n
giştirilir ve kr ir =
yaz¬l¬r. Burada i = (i1 ; i2 ; :::; im ) 2 N0m ’dir. Toplamlar¬n s¬ras¬de¼
jr ; r = 1; 2; :::; m; al¬n¬rsa
Ln;m (f ; y) = 2
njyj
1 X
1
X
i=0 j=0
1
(nx)i (n(y
i!j!2ji+jj
x))j f
i+j
n
(5.2)
i
n
(5.3)
elde edilir. Di¼
ger taraftan x 2 D için
Ln;m (f ; x) = 2
njxj
1
X
(nx)
i=0
= 2
nj(y (y x))j
1
X
(nx)
i=0
= 2
njyj njy xj
2
njyj
= 2
i
2jij i!
j=0
i
n
i
n
i
f
2jij i!
1
1
X
(nx) X (n(y
i=0
njyj
i
f
jij
2 i!
1
X
(nx)
i=0
= 2
i
n
i
f
2jij i!
x))j
f
2jjj j!
i
n
1
1
X
(nx) X (n (y
i
i=0
2jij i!
j=0
x))j
f
2jjj j!
bulunur. (5.2)’den (5.3) ç¬kar¬l¬rsa
Ln;m (f ; y)
Ln;m (f ; x) = 2
njyj
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
f
2jij i!
2jjj j!
i=0 j=0
24
i+j
n
f
i
n
elde edilir. Son formülde f yerine ! süreklilik modülü fonksiyonu al¬n¬rsa !’n¬n alt
toplamsall¬k özelli¼
ginden
Ln;m (!; y)
Ln;m (!; x)
2
njyj
= 2
njxj
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
!
jij i!
jjj j!
2
2
i=0 j=0
1
X
(nx)
i=0
= 2
njy xj
i
2jij i!
2
n(y x)
1
X
(n (y
= Ln;m (!; y
x))j
!
2jjj j!
j=0
1
X
(n (y
x))j
!
2jjj j!
j=0
j
n
j
n
x) :
Bu Ln;m ’nin alt toplamsall¬k özelli¼
gini sa¼
glad¬g¼¬n¬gösterir. y
Ln;m (!; y)
j
n
x için
Ln;m (!; x) ’dir. Son olarak Ln;m (!; 0) = ! (0) = 0 oldu¼
gundan
Ln;m (!; x) genel süreklilik modülü fonksiyonudur.
1 olmak üzere f 2 LipM ( ; D) ise Ln;m (f ; x) 2 LipM ( ; D)
Teorem 5.2 0 <
gerçeklenir (Bodur ve Taşdelen 2015).
I·spat. x
y için,
jLn;m (f ; x)
2
njyj
Ln;m (f ; y)j
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
f
2jij i!
2jjj j!
i=0 j=0
1 X
1
X
(nx)i (n (y x))j
M
2
2jij i!
2jjj j!
i=0 j=0
25
njxj
i+j
n
2
n(jyj jxj)
f
m
X
k=1
i
n
jk
n
elde edilir. Burada f (t) = t ; 0 <
1 fonksiyonunun konkav oldu¼
gu dikkate
al¬n¬r ve Tan¬m 5.2 göz önüne al¬n¬rsa
jLn;m (f ; x)
Ln;m (f ; y)j
m
X
= M Ln;m
tk ; y
x
k=1
= M fLn;m (t1 ; y1
!
x1 ) + Ln;m (t2 ; y2
x2 ) + ::: + Ln;m (tm ; ym
elde edilir. Böylece Ln;m (f ; x) 2 LipM ( ; D) olur. Ayn¬şekilde x
xm )g
y içinde gös-
terilebilir. I·spat tamamlan¬r.
Teorem 5.3 f , [0; 1) aral¬g¼¬nda konveks ise (5.1) ile tan¬mlanan Ln;m (f ; x) artmayand¬r (Bodur ve Taşdelen 2015).
I·spat. m = 2 için ele alal¬m.
Ln;m (f ; x)
= 2
= 2
njxj jxj
njxj jxj
Ln+1;m (f ; x)
(
1
X
(nx)k
jxj
f
2
2jkj k!
k=0
(
jxj
2
k
n
1
X
((n + 1) x)
2jkj k!
k=0
1 X
1
X
(nx1 )k1 (nx2 )k2
f
k1 k ! 2k2 k !
2
1
2
k =0 k =0
1
2
k
n+1
2
bulunur. Biliyoruz ki i = 1; 2 olmak üzere 2xi =
1
P
li =0
(xi )l
i
2li li !
1 X
1 X
1 X
1
X
(x1 )l1 (nx1 )k1 (x2 )l2 (nx2 )k2
f
2l1 l1 ! 2k1 k1 ! 2l2 l2 ! 2k2 k2 !
l =0 k =0 l =0 k =0
1
1
2
)
’dir. O halde,
k1 k2
;
n n
2
1
1 X
X
((n + 1) x1 )k1 ((n + 1) x2 )k2
f
2k1 k1 !
2k2 k2 !
k =0 k =0
1
f
k
n
1 X
1
X
((n + 1) x1 )k1 ((n + 1) x2 )k2
f
k1 k !
k2 k !
2
2
1
2
k =0 k =0
1
k
k
n+1
2
26
k1
k2
;
n+1 n+1
)
ifadesinde i = 1; 2 olmak üzere ki yerine ki
1
1
1 P
1 P
P
P
(x1 )l
l1 =0 l2 =0 k1 =l1 k2 =l2
1
1 P
P
1
(x2 )l
2
((n+1)x1 )k1 ((n+1)x2 )k2
2k1 +k2 k1 ! k2 !
k1 =0 k2 =0
(nx2 )k2
(nx1 )k
l1 ! l2 !2l1 +l2 2k1 +k2
f
li ; al¬n¬rsa
1 l1
l1 l2 (k
1
l2
l1 )! (k l2 )!
k 1 l1 k 2 l2
; n
n
f
k1
; k2
n+1 n+1
elde edilir. Toplamlar¬n s¬ras¬ de¼
giştirilir ve ki
li yerine li al¬n¬rsa i = 1; 2 için
formülün son hali
1 X
1
X
k1 =1 k2 =1
1
2k1 +k2
(
k1 X
k2
X
(nx1 )l1 (nx2 )l2 (x1 )k1 l1 (x2 )k2
l1 ! l2 ! (k1 l1 )! (k2 l2 )!
l =0 l =0
1
1
1
X
1
+
2k2
k =1
2
(
k1
k2
;
n+1 n+1
k1
X
(nx1 )l1 (x1 )k1 l1
f
l
l
1 ! (k1
1 )!
l =0
(
l1
;0
n
((n + 1) x1 )k1
f
k1 !
k1
;0
n+1
)
l2
0;
n
((n + 1) x2 )k2
f
k2 !
k2
0;
n+1
)
1
k2
X
(nx2 )l2 (x2 )k2 l2
f
l
l
2 ! (k2
2 )!
l =0
+f ((0; 0))
l1 l2
;
n n
f
2
((n + 1) x1 )k1 ((n + 1) x2 )k2
f
k1 ! k2 !
1
X
1
+
2k1
k =1
l2
2
f ((0; 0))
olarak elde edilir. Burada,
I : =
(
k1 X
k2
X
(nx1 )l1 (nx2 )l2 (x1 )k1 l1 (x2 )k2
l1 ! l2 ! (k1 l1 )! (k2 l2 )!
l =0 l =0
1
k1
X
(nx1 )l1 (x1 )k1 l1
f
l
l
1 ! (k1
1 )!
l =0
l1 l2
;
n n
k2
X
(nx2 )l2 (x2 )k2 l2
f
: =
l2 ! (k2 l2 )!
l =0
k1
k2
;
n+1 n+1
;
l1
;0
n
((n + 1) x1 )k1
f
k1 !
k1
;0
n+1
;
l2
n
((n + 1) x2 )k2
f
k2 !
0;
k2
n+1
;
1
I2
f
2
((n + 1) x1 )k1 ((n + 1) x2 )k2
f
k1 ! k2 !
I1 : =
l2
0;
2
27
olup I; I1 ; ve I2 ’nin negatif olmad¬g¼¬n¬göstermek yeterlidir. I1 için
l1
ve xl1 =
l1
;0
n
(nx1 )l1 (x1 )k1 l1
k1 !
l1 ! (k1 l1 )! ((n + 1) x1 )k1
(nx1 )l1 (x1 )k1 l1 k1
0;
=
((n + 1) x1 )k1
l1
=
; l1 = 0; 1; :::; k1 olsun.
k1
P
l1
= 1 için
l1 =0
k1
X
l 1 xl 1
=
l1 =0
k1
;0
n+1
elde edilir. f ’in konveksli¼
ginden
k1
;0
n+1
f
k1
X
1
(nx1 )l1 (x1 )k1
((n + 1) x1 )k1 l =0
1
yaz¬labilir. Bu da I1
al¬narak
k1
P
l2 =0
l2
0 demektir.
l2
=
(nx2 )l (x2 )k
2
2
l2 ! (k2 l2 )!
= 1; ve xl2 = 0; ln2 olacak şekilde I2
içinde izlenir. Böylece Ln;m (f ; x)
Ln+1;m (f ; x) olur.
28
l2
l1
k1
f
l1
k2 !
((n+1)x2 )k
l1
;0
n
;
; l2 = 0; 1; :::; k2
2
0 elde edilir. Ayn¬yol I
6.
¼ I·ŞKENLI· LUPAŞ OPERATÖGENELLEŞTI·RI·LMI·Ş ÇOK DEG
RÜ VE BAZI ÖZELLI·KLERI·
6.1
D
Genelleştirilmiş Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörü
Rm ; m 2 N olmak üzere
D = fx = (x1 ; x2 ; :::; xm ) 2 Rm : 0
xi < 1; 1
i
mg
şeklinde bir D bölgesi tan¬mlans¬n. , [0; 1) aral¬g¼¬nda sürekli diferansiyellenebilen
ve
(a)
(0) = 0;
(b) inf 0 (x)
1
koşullar¬n¬sa¼
glayan bir fonksiyon olup
: D ! D fonksiyonu
(x) := ( (x1 ); (x2 ); :::; (xm )) :
şeklinde gösterilsin. Yukar¬daki (a) ve (b) koşullar¬ndan dolay¬ fonksiyonu [0; 1)’da
kesin artan olup, bu aral¬kta bir tersi vard¬r. Buradan ’nun tersi
1
1
(x) :=
1
(x1 );
(x2 ); :::;
1
(xm )
şeklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda genelleştirilmiş çok de¼
gişkenli Lupaş operatörü
Ln;m (f ; x) = 2
nj (x)j
1
X
k
n
1
f
k=0
şeklindedir. Burada (f
Tan¬m 6.1 f
1
1
)
k
n
:= f
1
k1
n
konveks ise f fonksiyonuna
29
;
(n (x))k
;
2jkj k!
1
k2
n
; :::;
(n 2 N) ;
1
km
n
(6.1)
’dir.
konvekstir denir (Aral vd. 2014).
Rm ! R ’ye sürekli bir fonksiyon,
Tan¬m 6.2 f : D
y = (y1 ; y2 ; :::; ym ) 2 D olmak üzere
jf (x)
f (y)j
M
m
X
i=1
j (xi )
2 (0; 1], x = (x1 ; x2 ; :::; xm ) ;
(yi )j
sa¼
glanacak şekilde bir M > 0 sabiti varsa f fonksiyonuna
’y¬nc¬ basamaktan
Lipschitz sürekli fonksiyondur denir. Lipschitz sürekli fonkisyonu kümesi
LipM ( ; D) ile gösterilir (Gadjiev ve Aral 2007).
6.2
Genelleştirilmiş Çok De¼
gişkenli Lupaş Operatörünün Baz¬ Özellikleri
1 olmak üzere f 2 LipM ( ; D) ise Ln;m (f ; x) 2 LipM ( ; D)
Teorem 6.1 0 <
gerçeklenir.
I·spat. x = (x1 ; x2 ; :::; xm ) ; y = (y1 ; y2 ; :::; ym ) 2 D ve x
y olsun. Bu durumda
Ln;m (f ; y)
= 2
nj (y)j
1
X
f
1
f
1
k=0
= 2
nj (y)j
1
X
k=0
= 2
nj (y)j
1 X
1
X
:::
k1 =0 k2 =0
i!2jkj
1
(k
i)!
k
n
(n (y))k
2jkj k!
k
n
(n [ (x) +
(y)
(x)])k
2jkj k!
k1 X
k2
1 X
X
:::
km =0 i1 =0 i2 =0
(n (x) )i (n( (y)
km
X
1
f
im =0
(x)))k
k
n
i
yaz¬l¬r. Burada i = (i1 ; i2 ; :::; im ) 2 N0m ’dir. Toplamlar¬n s¬ras¬de¼
giştirilir ve kr ir =
jr ; r = 1; 2; :::; m; al¬n¬rsa
Ln;m (f ; y)
= 2
nj (y)j
1 X
1
X
i=0 j=0
f
1
i+j
n
30
1
(n (x) )i (n( (y)
i!j!2ji+jj
(x)))j(6.2)
elde edilir. Di¼
ger taraftan,
Ln;m (f ; x)
nj (x)j
= 2
1
X
1
f
i=0
nj (y) ( (y)
= 2
(x))j
1
X
(n (x))i
2jij i!
i
n
1
f
i=0
nj (y)j nj (y)
= 2
(x)j
2
1
X
1
f
i=0
= 2
nj (y)j
= 2
nj (y)j
1
1
X
(n (x))i X
f
2jij i! j=0
i=0
i
n
(n (x))i
2jij i!
i
n
(n (x))i
2jij i!
1
1
1
X
(n (x))i X
f
jij i!
2
i=0
j=0
1
i
n
(n [ (y)
(x)])j
2jjj j!
i
n
(n [ (y)
(x)])j
jjj
2 j!
bulunur. (6.2)’den (6.3) ç¬kar¬l¬rsa
Ln;m (f ; (y))
=2
nj (y)j
1
P
i=0
Ln;m (f ; (x))
(n (x))i
2jij i!
1
P
(n[ (y) (x)])j
2jjj j!
j=0
1
(f
)
i+j
n
(f
1
)
i
n
elde edilir. f 2 LipM ( ; D) ise
Ln;m (f ; y)
Ln;m (f ; x)
2
nj (y)j
1 P
1
P
1
(f
)
i=0 j=0
M
1 P
1
P
i=0 j=0
i+j
n
(f
1
)
(n (x))i (n[ (y) (x)])j
2 nj (x)j 2 nj (y)
2jij i!
2jjj j!
= M Ln;m (
1 ; y1
elde edilir.Biliyoruz ki 2
x1 ) + Ln;m (
nj (x)j
1
P
k=0
2 ; y2
(n (x))k
2jkj k!
(n (x))i (n[ (y) (x)])j
2jij i!
2jjj j!
(x)j
m
P
k=1
jk
n
x2 ) + ::: + Ln;m (
= 1; ve
31
i
n
m ; ym
xm )
(6.3)
Ln;1 ( ; x) = 2
nj (x)j
1
P
k=0
k (n (x))k
n 2jkj k!
= (x)’dir. O halde tek de¼
gişkenli genelleştirilmiş
Lupaş operatörü Ln;1 f
Ln;1 (
nj (x)j
; x) = 2
1
X
k=0
2
nj
k
n
(n (x))k
2k k!
1
X
k (n (x))k
(x)j
n 2k k!
k=0
!
(x)
eşitsizli¼
gini sa¼
glar. Burada f (t) = t ; 0 <
önüne al¬n¬rsa k = 1; 2; :::; m için
1 fonksiyonunun konkav oldu¼
gu göz
(t) ; t 2 [0; 1); 0 <
1 fonksiyonu
konkav
olur. Sonuç olarak
Ln;m (f ; x)
Ln;m (f ; y)
M
m
X
k=1
j (xk )
(yk )j ;
gunu gösterir. Ayn¬şekilde x
eşitsizli¼
gine ulaş¬l¬r ki Ln;m f 2 LipM ( ; D) oldu¼
için de gösterilebilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 6.2 f , D bölgesinde
konveks fonksiyon ise Ln;m artmayand¬r.
I·spat. m = 2 için ele alal¬m.
Ln;m (f ; x)
=2
Ln+1;m (f ; x)
nj (x)j j (x)j
2j
(x)j
1
P
1
(f
)
k=0
=2
k
n
(n (x))k
2jkj k!
1
P
(f
1
k=0
)
((n+1) (x))k
2jkj k!
k
n+1
nj (x)j j (x)j
2j
(x)j
1 P
1
P
f
1
k1 =0 k2 =0
1 P
1
P
k1 =0 k2 =0
f
1
k1
n+1
;
k1
n
1
;
1
k2
n
(n (x1 ))k (n (x2 ))k
1
2k1 k1 !
2
2k2 k2 !
((n+1) (x1 ))k1 ((n+1) (x2 ))k2
k2
n+1
2k1 k1 !
32
2k2 k2 !
y
(xi )
bulunur. Biliyoruz ki i = 1; 2 olmak üzere 2
1
P
=
( (xi ))l
i
2li li !
li =0
1
1 P
1 P
1 P
P
k1
n
1
f
l1 =0 k1 =0 l2 =0 k2 =0
1
1 P
P
k1
n+1
1
f
k1 =0 k2 =0
;
( (x1 ))l (n (x1 ))k ( (x2 ))l (n (x2 ))k2
1
1
2
k2
n
1
;
2l1 l1 !
2k1 k1 !
2l2 l2 !
2k2 k2 !
((n+1) (x1 ))k1 ((n+1) (x2 ))k2
k2
n+1
1
’dir. O halde,
2k1 k1 !
2k2 k2 !
halini al¬r. i = 1; 2 olmak üzere ki yerine ki li ; al¬n¬rsa
1
1
1 P
1 P
P
P
1 k1 l1
f
; 1 k2n l2
n
l1 =0 l2 =0 k1 =l1 k2 =l2
( (x1 ))l ( (x2 ))l
1
(n (x1 ))k
2
l1 ! l2 !2l1 +l2
1
1 P
P
2k1 +k2
l1
k1
n+1
;
1
f
k1 =0 k2 =0
(n (x2 ))k2
1 l1
l2 (k
1
((n+1) (x1 ))k1 ((n+1) (x2 ))k2
k2
n+1
1
l2
l1 )! (k2 l2 )!
2k1 +k2 k1 ! k2 !
elde edilir. Toplamlar¬n s¬ras¬ de¼
giştirilir ve ki
li yerine li al¬n¬rsa i = 1; 2 için
formülün son hali
1 P
1
P
1
k1 =1 k2 =1
2k1 +k2
k1 P
k2
P
l1
n
1
f
l1 =0 l2 =0
1
f
+
1
P
k1 =1
k1
P
k1
n+1
1
P
f
k2 =1
k2
P
l2 =0
;
1
k2
n+1
l2
n
(n (x1 ))l (n (x2 ))l ( (x1 ))k
1
2
l1 (
1
(x2 ))k
2
l2
l1 ! l2 ! (k1 l1 )! (k2 l2 )!
((n+1)x1 )k ((n+1)x2 )k
1
2
k1 ! k2 !
o
1
2k1
l1 =0
+
1
;
1
l1
n
;0
(n (x1 ))l ( (x1 ))k
1
1
l1
l1 ! (k1 l1 )!
f
k1
n+1
1
;0
((n+1) (x1 ))k
k1 !
1
2k2
f 0;
1
l2
n
(n (x2 ))l ( (x2 ))k
2
2
l2
l2 ! (k2 l2 )!
+f (0; 0) f (0; 0)
33
f 0;
1
k2
n+1
((n+1) (x2 ))k
k2 !
2
1
olarak elde edilir. Burada
k2
k1 P
P
1
f
I :=
l1
n
l1 =0 l2 =0
1
f
k1
P
I1 :=
k1
n+1
;
1
f
1
l1
n
l1 =0
I2 :=
k2
P
1
f 0;
l2 =0
1
1
2
k1 ! k2 !
(n (x1 ))l ( (x1 ))k
1
1
l1
2
2
l2
o
1
l1 (
(x2 ))k
2
l2
k1
n+1
1
f 0;
l2 ! (k2 l2 )!
;
1
f
l1 ! (k1 l1 )!
(n (x2 ))l ( (x2 ))k
l2
n
2
l1 ! l2 ! (k1 l1 )! (k2 l2 )!
((n+1) (x1 ))k ((n+1) (x2 ))k
k2
n+1
;0
(n (x1 ))l (n (x2 ))l ( (x1 ))k
l2
n
1
;
((n+1) (x1 ))k
;0
k1 !
((n+1) (x2 ))k
k2
n+1
1
;
2
k2 !
olup I ; I1 ; ve I2 ’nin negatif olmad¬g¼¬n¬göstermek yeterlidir. I1 için
l1
ve xl1 =
l1
;0
n
(n (x1 ))l1 ( (x1 ))k1 l1
k1 !
l1 ! (k1 l1 )!
((n + 1) (x1 ))k1
(n (x1 ))l1 ( (x1 ))k1 l1 k1
=
0;
((n + 1) (x1 ))k1
l1
:
=
k1
P
; l1 = 0; 1; :::; k1 olsun.
k1
X
l 1 xl 1
f
1
k1
;0
n+1
=
l1 =0
elde edilir. f ’in
1
f
k1
X
l1 =0
konveksli¼
ginden
!
l 1 xl 1
=
= f
= 1 için
l1
l1 =0
k1
;0
n+1
k1
n+1
1
;0
k1
X
(n (x1 ))l1 ( (x1 ))k1
((n + 1) (x1 ))k1
l =0
1
=
k1
X
l1
1
f
l1
k1
f
l1
1
l1
n
;0
(xl1 ) ;
l1 =0
yaz¬labilir. Bu da I1
al¬narak
k1
P
l2 =0
l2
0 demektir.
l2
=
(nx2 )l (x2 )k
2
= 1; ve xl2 = 0; ln2 olacak şekilde I2
içinde izlenir. Böylece Ln;m (f ; x)
2
l2 ! (k2 l2 )!
l2
k2 !
((n+1)x2 )k
; l2 = 0; 1; :::; k2 ;
2
0 elde edilir. Ayn¬yol I
Ln+1;m (f ; x) olup ispat tamamlan¬r.
34
0
7. TARTIŞMA VE SONUÇ
Lupaş operatörleri üzerine olan bu çal¬şmam¬zda tek de¼
gişkenli ve Kantorovich tipli
genelleştirmesi hakk¬nda yaz¬lm¬ş olan makaleler incelendi ve bunlar¬n sa¼
glad¬g¼¬
baz¬ özellikler araşt¬r¬ld¬. Daha sonra "Biz ne yapabiliriz?" sorusuna cevaben çok
de¼
gişkenli Lupaş operatörü ve genelleştirilmiş çok de¼
gişkenli Lupaş operatörü inşa
edilmiş ve sa¼
glad¬g¼¬ baz¬ özellikler ispatlanm¬şt¬r. Yine bu operatörlerle ilgili verimli çalşmalardan sonra birçok genelleştirme yap¬lmas¬ve operatörün baz¬özelikleri sa¼
glamas¬n¬n ispatlanmas¬ beklenmektedir. Lineer pozitif operatörlerin içinde
önemli bir yer tutan Lupaş operatörü üzerine çal¬şmalar içeren bu tez; bu konularla
ilgilenenlere motive edici bir destek olup; kaynak olabilece¼
gi düşüncesiyle de önem
taş¬maktad¬r.
35
KAYNAKLAR
Aral, A., Inoan, D. and Raşa, I., (2014). On the generalized Szász-Mirakyan operators. Results Math. 65, No. 3-4, 441–452.
Bodur, M. and Taşdelen-Yeşildal, F., (2015). On multivariate Lupaş operators, General Mathematics, submitted.
Brown B., Elliott M. and Paget D. F., (1987). Lipschitz constants for the Bernstein
polynomials of a Lipschitz continuous function. J. Approx. Theory 49, No. 2,
196–199.
Cao, F., Ding, C., and Xu, Z., (2005). On multivariate Baskakov operator. J. Math.
Anal. Appl. 307, No. 1, 274–291.
Cheney, E. W.and Charma, A., (1964). Bernstein power series, Can. J. Math. 16,
241-252.
Erençin, A.and Taşdelen, F., (2007). On a family of linear and positive operators in
weighted spaces.Journal of inequalities in pure and applied mathematics 8,1-6.
Erençin, A. and Taşdelen, F., (2009). On certain Kantorovich type operators Fasciculi Mathematici., No.41, 65-71.
Erençin, A., Başcanbaz-Tunca, G. and Taşdelen Yeşildal, F., (2014). Some properties
of the operators de…ned by Lupaş, Revue D’Analyse Numérique et de Théorie
de L’Approximation, 43, No. 2, 158-164.
Finta, Z., (2001). Pointwise approximation by generalized Szász-Mirakjan operators.
Studia Univ. Babeş-Bolyai Math. 46, No. 4, 61–67.
Finta, Z., (2002). Quantitative estimates for some linear and positive operators.
Studia Univ. Babeş-Bolyai Math. 47, No. 3, 71–84.
Gadjiev, A.D. and Aral, A., (2007). The estimates of approximation by using a new
type of weighted modulus of continuity, Computers and Mathematics with
Applications 54, 127–135.
Hac¬salihoglu, H. and Hac¬yev, A., (1995). Lineer Operatör Dizilerinin Yak¬nsakl¬g¼¬.
Ankara, No. 1-94.
Khan M. K. and Peters M. A., (1989). Lipschitz constants for some approximation
operators of a Lipschitz continuous function. J. Approx. Theory 59, No. 3,
307–315.
Li Z., (2000). Bernstein polynomials and modulus of continuity. J. Approx. Theory
102, No. 1, 171–174.
Lupas¸A., (1995). The approximation by some positive linear operators. In: Proceedings of the International Dortmund Meeting on Approximation Theory
(M.W. Müller et al.,eds.),Akademie Verlag, Berlin, 201-229.
36
Mhaskar, H. N. and Pai, D. V., (2000). Fundamentals of approximation theory. CRC
Press, Boca Raton, FL; Narosa Publishing House, New Delhi.
Mitrinović, D.S., (1970). Analytic Inequalities. Springer-Verlag, 400, Berlin.
Mitrinović, D.S., Peµcarić, J.E. and Fink, A.M., (1993). Classical and New
Inequalities in Analysis. Kluwer Academic Publishers, 740 pp, Dordrecht/Boston/London.
Olgun, A., (2012). Some properties of the Multivariate Szász Operators, Comptes
rendus de l’Acad´emie bulgare des Sciences, 65, No. 2, 139-146.
Sofonea, D. F., (2009). On a sequence of linear and positive operators. Results Math.
53 , No. 3-4, 435–444.
37
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: Murat BODUR
Do¼
gum Yeri
: Antalya/Manavgat
Do¼
gum Tarihi : 09/02/1990
Medeni Hali
: Bekar
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l):
Lise
: Manavgat Anadolu Lisesi (2004-2008)
Lisans
: Çankaya Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü (2008-2013)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬(Eylül 2013- Ocak 2016)
Çal¬şt¬g
¼¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l:
Yay¬nlar¬:
38