elips - Google Groups

ELİPS
Merkezil elips
® Merkezi O noktası olan elipse merkezil elips denir.
® Elipsin eksenleri kestiği A,A',B ve B' noktalarına elipsin
köşeleri denir.
® F ve F' noktalarına elipsin odakları denir.
® Odaklar arası uzaklık |FF'| = 2c dir.
® e=
odaklar arası uzaklık
değerine elipsin dış merkezliği denir.
asal eksen uzunluğu
® Köşeleri A(a,0), A'(-a,0), B(0,b) ve B'(0,-b) olan merkezil elipsin
denklemi:
x2 y2
+
=1
a2 b2
dir.
® Odakların bulunduğu eksene asal eksen, diğer eksene de yedek
eksen denir.
B(0,b)
B(0,b)
A '( -a,0) F'( -c,0)
O
F(c,0)
P
F(c,0)
P
A(a,0)
A '( -a,0)
O
A(a,0)
F'( -c,0)
B'(0, -b)
B'(0, -b)
Şekil I
Şekil II
® Asal eksen uzunluğu:
|AA'|=2a
® Asal eksen uzunluğu:
|BB'|=2b
® Yedek eksen uzunluğu:
|BB'|=2b dir.
® Yedek eksen uzunluğu:
|AA'|=2a dir.
® Odakları x ekseninde olan elips için a > b dir.
® Odakları y ekseninde olan elips için b > a dir.
a2 = b2 + c 2
® Dış merkezliği
b2 = a2 + c 2
® Dış merkezliği
e=
c
a
® Elips üzerindeki herhangi bir P noktası için
| PF | + | PF' |= 2a
e=
c
b
® Elips üzerindeki herhangi bir P noktası için
| PF | + | PF' |= 2b
3.
SORULAR
1. Odakları x ekseninde olan, asal eksen uzunluğu 20 br ve
yedek eksen uzunluğu 16 br olan elipsin
Denklemi
x2 y2
+
=1
20 16
olan elipsin
a) odakları arasındaki uzaklığı
a) odakları arasındaki uzaklığı
b) dış merkezliği
b) dış merkezliği
c) grafiği
c) denklemi
d) grafiği
4. Denklemi
x2 y2
+
=1
25 34
olan elipsin
a) odakları arasındaki uzaklığı
b) dış merkezliği
2. Odakları y ekseninde olan, asal eksen uzunluğu 26 br ve
odakları arasındaki uzaklığı 10 br olan elipsin
c) grafiği
a) yedek eksen uzunluğu
b) dış merkezliği
c) denklemi
d) grafiği
2
ve odakları arasındaki uzaklığı 8 br olan
3
merkezil elipsin odakları y ekseninde olduğuna göre denklemini
bulunuz.
5. Dış merkezliği
6. k > 0 olmak üzere,
2
P(2,k) noktası
2
x
y
+
= 1 elipsi üzerinde olduğuna göre k kaçtır?
32 8
9. Düzlemde F(2,0) ve F'(-2,0) noktalarına olan uzaklıkları toplamı
10 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
7.
B
P
1
A'
F'
O
B'
F
2
A(5,0)
10. Düzlemde F(0,-3) ve F'(0,3) noktalarına olan uzaklıkları toplamı
14 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
R
Şekildeki merkezil elipste A(5,0) dır.
| PF' |= 1 br, | RF |= 2 br olduğuna göre
| PF | + | RF' | toplamı kaç br dir?
11.
x2 y2
x2 y2
+
= 1 ve
+
=1
16 9
9 16
elipslerinin kesiştikleri noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanını
bulunuz.
2
2
8. x + 2y = 1 elipsinin dış merkeziliğini bulunuz.
Doğrultman Doğruları
P2
H2
A '( -a,0)
x=-
Sorular
P1
F'( -c,0) O
H1
1. Düzlemde F (2,0) noktasına olan uzaklığının x = 8 doğrusuna olan
1
uzaklığına oranı olan noktaların geometrik yer denklemini
2
bulunuz.
F(c,0) A(a,0)
a2
c
x=
a2
c
Şekildeki gibi odakları x ekseninde olan elips için doğrultman
doğrularının denklemleri
a2
a2
ve x = dir.
c
c
Elips üzerindeki herhangi bir P noktasının kensine en yakın odağa
olan uzaklığının yine kendisine en yakın olan doğrultman doğrusuna
x=
olan uzaklığına oranı elipsin dış merkezliğine eşittir.
| PF
| | P2 F ' |
1
=
=e
| PH
| P2 H 2 |
1 1 |
H1
b2
y=
c
B(0,b)
2. Düzlemde F (0, -3) noktasına olan uzaklığının y = uzaklığına oranı
25
doğrusuna olan
3
3
olan noktaların geometrik yer denklemini
5
bulunuz.
3. Denklemi
x2 y 2
+
=1
16 9
olan elipsin doğrultman doğrularının denklemlerini bulunuz.
F(c,0)
P1
O
P2
F'( -c,0)
B'(0, -b)
H2
y=-
b2
c
Şekildeki gibi odakları y ekseninde olan elips için doğrultman
doğrularının denklemleri
b2
b2
ve y = dir.
c
c
Elips üzerindeki herhangi bir P noktasının kensine en yakın odağa
olan uzaklığının yine kendisine en yakın olan doğrultman doğrusuna
y=
olan uzaklığına oranı elipsin dış merkezliğine eşittir.
| PF
| | P2 F ' |
1
=
=e
| PH
| P2 H 2 |
1 1 |
4. Denklemi
x2 y 2
+
=1
12 16
olan elipsin doğrultman doğrularının denklemlerini bulunuz.
Asal ve yedek Çemberler
Doğrultman Çemberleri
Merkezi elipsin odakları ve yarıçap uzunluğu elipsin asal eksen
uzunluğuna eşit olan çemberlere elipsin doğrultman çemberleri
Elips ile merkezi aynı ve çap uzunluğu elipsin asal ekseni kadar olan
çembere elipsin asal çemberi denir.
Elips ile merkezi aynı ve çap uzunluğu elipsin yedek ekseni kadar olan
denir.
çembere elipsin yedek çemberi denir.
O
F'
O
F
Odakları x ekseninde olan merkezil elip için,
(x + c )
2
(x - c )
2
+ y 2 = 4a 2
+ y = 4a
2
2
asal çember denklemi:
x2 + y 2 = a2
yedek çember denklemi:
x2 + y 2 = b2
Not:
Odakları y eksenin olan elips için bu denklemler:
x 2 + ( y - c ) = 4b 2
2
x 2 + ( y + c ) = 4b 2
2
dir.
O
Sorular
1.
x2 y 2
+
=1
12 8
elipsinin doğrultman çemberlerinin denklemlerini bulunuz.
Odakları x ekseninde olan merkezil elip için,
asal çember denklemi:
x2 + y 2 = b2
yedek çember denklemi:
x2 + y 2 = a2
Sorular
1. Denklemi
x2 y 2
+
=1
144 25
olan elipsin asal çemberi ile yedek çemberi arasında kalan bölgenin
alanı kaç br 2 dir?
2.
x2 y 2
+
=1
20 29
elipsinin doğrultman çemberlerinin denklemlerini bulunuz.
2.
Denklemi
Teğet ve Normal Denklemleri
x2 y 2
+
=1
36 49
olan elipsin asal ve yedek çemberlerinin denklemlerini bulunuz.
normal
P( x0 , y0 )
O
teğet
x2 y 2
+
= 1 elipsine üzerindeki bir P( x0 , y0 ) noktasından çizilen
a 2 b2
x.x0 y. y0
teğet doğrusunun denklemi
+ 2 =1
a2
b
a2 y
normal doğrusunun denklemi y - y0 = 2 0 (x - x0 )
b x0
Sorular
1. 4 x 2 + 9 y 2 = 72 elipsinin (-3, 2) noktasındaki teğet ve normal
doğrularının denklemlerini bulunuz.
3.
Şekildeki merkezil elipsin alanı, asal çemberi ile elips
arasında kalan taralı alana eşit olduğuna göre, elipsin
dış merkezliği kaçtır?
2.
x2 y 2
+
= 1 elipsine üzerindeki P (-3,1) noktasından çizilen teğetin
12 4
eğimini bulunuz.
3. 9 x 2 + by 2 = 36 elipsine üzerindeki P (k ,1) noktasından çizilen teğetin
denklemi x + 3 y - 12 = 0 olduğuna göre b - k değerini bulunuz.
3.
x2 y 2
+
= 1 elipsi ile 2 x - y + k = 0 doğrusu birbirine teğet oldu20 10
ğuna göre k kaç olabilir?
Bir doğru ile bir elipsin birbirine göre durumu
Denklemi
x2 y 2
+
= 1 olan elips ile denklemi y = mx + n olan doğru
a 2 b2
için
® m 2 a 2 + b 2 - n 2 = 0 ise elips ve doğru birbirine teğettir.
® m 2 a 2 + b 2 - n 2 > 0 ise doğru elipsi iki farklı noktada keser.
® m 2 a 2 + b 2 - n 2 < 0 ise elips ve doğru kesişmez.
Sorular
1.
x2 y 2
+
= 1 elipsinin y = 2 x - 4 doğrusuna paralel olan teğetlerini bulunuz.
16 36
2. 9 x 2 + 16 y 2 = 144 elipsinin y = 2 x - 3 doğrusuna dik olan teğetlerinin
denklemlerini bulunuz.
2
2
4. 3x + 4 y = 12 elipsine dışındaki P(2,3) noktasından çizilen teğetlerin
denklemlerini bulunuz.
Monge(Monj) Çemberi
B
L(-
a2
, c)
b
F
A'
O
K(
a2
, c)
b
A
O
F'
B'
Elipsin odaklarından geçen en kısa (asal eksene dik) kirişlerinin
Monj Çemberi
uzunluğuna elipsin parametresi denir.
Bu kirişlerin uzunlukları odakları x ekseninde olan elipsi için
Elipsin birbirine dik olan teğetlerinin dik kesiştikleri noktaların
geometrik yer denklemi bir çember belirtir. Bu çembere Monge
2b 2
a
odakları y ekseninde olan elips için ise
p =| KL |=
(monj) çemberi denir.
x 2 + y 2 = a 2 + b 2 dir.
Denklemi
p =| KL |=
2a 2
b
Değme Kirişi
Elipsin parametrik denklemi
P( x0 , y0 )
θ Î R olmak üzere,
A
x2 y 2
+
= 1 elipsinin parametrik denklemi
a 2 b2
x = a.cosθ
y = b.sinθ
dır.
O
B
Elipsin alanı
değme kirişi
x2 y 2
+
= 1 elipsinin alanı π.a.b br 2 dir.
a 2 b2
Merkezil elipse dışındaki bir P( x0 , y0 ) noktasından çizilen teğetlerin
elipse değdiği noktalar A ve B olsun. AB doğrusuna değme kirişi denir.
Denklemi
x.x
y. y
AB : 20 + 2 0 = 1
a
b
Elipsin köşegenleri ve eşlenikleri
y = m2 x
Elipsin Parametresi
O
B
A'
F'
O
B'
K (c,
F
L (c, -
b2
)
a
A
b2
)
a
y = m1 x
Elipsin merkezinden geçen kiriş doğrularına elipsin köşegenleri
denir.
Merkezil elipste y = mx doğruları köşegendir.
y = m1 x köşegenine paralel olan kirişlerin orta noktalarının
geometrik yeri de bir köşegen olur.
Bu köşegene y = m1 x köşegeninin eşleniği denir.
Eğer bu köşegenin denklemi y = m2 x ise;
m1.m2 = eşitliği vardır.
b2
a2
1. 3x 2 + y 2 = 9 elipsinin dik kesişen teğetlerinin dik kesim noktalarının
geometrik yer denklemi nedir?
5. a Î R olmak üzere, parametrik denklemi
x = 5.cos a
y = 3.sin a
olan elipsin standart denklemini bulunuz.
2. 4 x 2 + 9 y 2 = 36 elipsine dışındaki P (2, -4) noktasından çizilen teğetleri
elipse A ve B noktalarında teğettir. Buna göre AB doğrusunun x eksenini
kestiği noktanın apsisi kaçtır?
6.
x2 y 2
+
=1
10 20
elipsinin asal çemberi ile kendisi arasında kalan bölgenin alanı
kaç br 2 dir?
7.
8 x 2 + 6 y 2 = 24
elipsinin y = 2 x doğrusuna paralel olan kirişlerinin orta noktalarının
geometrik yer denklemi nedir?
3. 25 x + 4 y = 100 elipsinin bir odağından geçen en kısa kirişinin
uzunluğu kaç br dir?
2
2
8.
4 x 2 + 7 y 2 = 28
elipsinin parametrik denklemini bulunuz.
4. 2 x 2 + 3 y 2 = 12 elipsinin bir odağından geçen en kısa kirişinin
uzunluğu kaç br dir?
Elipsin Ötelenmesi
B1
A '1
F '1
M (a, b)
F1
A1
B
B '1
A'
F'
O
F
A
B'
Denklemi
uuuur
x2 y 2
+ 2 = 1 ve odakları F ve F' olan merkezil elips, OM = (a, b) vektörü ile ötelenerek M(a,b) merkezli ötelenmiş elips elde edilir.
2
a
b
Bu elipste
A1 (a + a , b)
B1 (a , b + b)
A1 '(a - a , b)
B1 (a , b - b)
F1 (a + c , b)
F1 '(a - c , b)
olur.
Denklemi
(x - a )
2
a2
( y - b)
2
+
b2
=1
dir.
3. F (2,0) ve F '(6,0) noktalarına uzaklıkları toplamı 20 br olan
noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Sorular
(x - 2 )
2
1.
( y + 1)
2
+
=1
25
16
elipsinin merkezini, köşelerini ve odaklarını bulunuz.
(x + 3)
2
2.
( y - 1)
2
+
=1
25
169
elipsinin merkezini, köşelerini ve odaklarını bulunuz.
4. F (2, -1) ve F '(2,7) noktalarına uzaklıkları toplamı 10 br olan
noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Karışık Sorular
2
2
1. 2 x + 3 y - 8 x - 6 y + 5 = 0 elipsinin merkezini bulunuz.
2.
5. Düzlemde verilen A(3,0) ve B (-3,0) noktaları için PA ve PB
doğrularının eğimleri çarpımını - 2 yapan P noktalarının geometrik
yer denklemini bulunuz.
x2 y 2
+
= 1 elipsinin x + 2 y - 10 = 0 doğrusuna en yakın noktasının
8
2
koordinatları toplamı kaçtır?
6.
B
F'
A'
P
Şekildeki elipsin denklemi
ninin çevresi kaç br dir?
3.
Denklemi 9 x 2 + 8 y 2 = 72 olan elipsin üzerindeki noktalardan asal
eksenine indirilen dik doğru parçalarının orta noktalarının geometrik
yer denklemini bulunuz.
4.
y
Yandaki AB doğru parçasının
A ucu y ekseninde, B ucu ise
A
x ekseninde hareketlidir.
| AB |= 8 br ve 3. | BP |= 5. | AP |
P
olduğuna göre P noktasının
geometrik yer denklemi nedir?
B
x
F
O
A
B'
x2 y 2
+
= 1 olduğuna göre PFF ' üçge36 20