bölüneb lme bölüneb lme

A| B
|¯ C¯
¯ K¯
A:
B:
C :
K:
Bölünen
Bölen
Bölüm
Kalan
1) A = B.C + K
2) K < B
3) K = 0 ise A, B’ye tam bölünür.
4) K < C ise B ile C yer de i tirebilir.
ÖRNEK : 16’ya bölündü ünde bölüm m, kalan m2 olan en büyük do al sayıyı
bulunuz?
x | 16
x = 16m+m2 oldu undan
|¯ m¯ m’yi ne kadar büyük tutarsak
2
¯m ¯
x o kadar büyük olur. Ama unutmayalım ki; m2<16
olmalı. m en çok 3 olur.
ÇÖZÜM :
x = 16m+m2 =16.3 + 32 = 57
BÖLÜNEB LME KURALLARI
2 LE
Sonu {0,2,4,6,8} olmalı
3 LE
Rakamları toplamı 3 veya 3’ün katı olmalı
4 LE
Son iki rakamı 4’e bölünebilmeli
5 LE
Sonu {0,5} olmalı
6 LE
Hem 2’ye hem 3’e bölünebilmeli
7 LE
Sa dan sola 3’lü gruplar olu turulup, herbir
rakam sırasıyla 1,3,2 ile (sa dan sola)
çarpılarak, ilk grup (+), 2.grup (-), 3.grup (+)
,........ alınarak sonuç bulunur.
8 LE
Son 3 rakam 8’e bölünebilmeli
9 LE
Rakamları toplamı 9 veya 9’un katı olmalı
10 LE
Sonu {0} olmalı
11 LE
Sa dan sola +, - , + , - , ....... konulur, toplanır.
SORU : 3’e bölünebilme kuralını ispatlayınız.
ÇÖZÜM : Bir (abcd) sayısı alalım.
(abcd) = 1000a + 100b + 10c + d
= 999a + a +99b + b + 9c + c + d
999a, 99b ve 9c sayıları 3’ün bir katı oldu undan 3’e tam bölünürler ve
dolayısıyla kalanları 0 olur. a+b+c+d toplamının 3’e bölümünden kalan ne ise
cevap o olur.
SORU : 7’ye bölünebilme kuralını ispatlayınız.
ÇÖZÜM : Bir (abc) sayısı alalım.
(abc) = 100a + 10b + c
= 98a + 2a + 7b + 3b + c
Yani son rakamı 1 ile,sondan ikinci rakamı 3 ile, sondan üçüncü rakamı 2 ile
çarpmalıymı ız. Peki sayı 3 basamaktan fazla basamaklı olursa, ne yapmamız
gerekti ini yukarıda yazdım.Bunu ispatlayabilirmisiniz?
SORU : 11’e bölünebilme kuralını ispatlayınız?
ÇÖZÜM : Bir (abcde) sayısı alalım.
(abcde) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
= 9999a + a +1001b – b + 99c + c + 11d – d + e
= a–b+c–d+e
Yani sa dan sola bir (+), bir (-) ile çarpıp,toplamalıyız.
KURAL : n tabanındaki sayıların (n+1)’e bölünüp bölünemediklerini de
yukarıdaki gibi inceleriz.
n tabanındaki sayıların (n-1)’e bölünebilme kurallarıda
sayının rakamları toplamının (n-1)’e bölümünden elde edilen kalandır.
Bu iki kuralıda ispatlamaya çalı ın, faydalı olur.
SORU : (23413)5 sayısının 4’e ve 6’ya bölümlerinden elde edilen kalanları
bulunuz?
ÇÖZÜM : 4’e bölümünden kalan :
2+3+4+1+3=13
13’ü 4’e böldü ünüzde kalan 1’dir.
6’ya bölümünden kalan : +3-1+4-3+2 = 5 kalan 5’tir.
SORU : Be basamaklı baa4b sayısı 5 ile bölündü ünde kalan a dır. Bu sayı 4 ile
de tam bölünebildi ine göre, a’nın alabilece i de erlerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM : 4 ile tam bölünüyorsa, sayının son iki rakamı 4’e tam bölünebilmeli
yani 40,44 veya 48 olmalı.
b=0 için sayı 5 basamaklı olmaz.
b=4 için a=4 olur.b=8 için a=3 olur. a+b=4+3=7
SORU : 2a67a sayısı 3’e bölündü ünde 2 kalanını veren bir çift sayı ise yirmi
basamaklı aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa sayısının 9’a bölümünden kalan kaçtır?
ÇÖZÜM : 2+a+6+7+a = 3k+2
2a+15 = 3k+2
2a+13 = 3k (k Z)
Buradan a sayısı 1,4,7 olabilir.Verilen sayı çift oldu undan a=4 tür. 20 tane 4 =
20.4 = 80/9 =kalan 8