FUZZY RIESZ UZAYLARI Ercan TAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ

FUZZY RIESZ UZAYLARI
Ercan TAŞ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TEMMUZ 2013
ANKARA
Ercan TAŞ tarafından hazırlanan FUZZY RIESZ UZAYLARI adlı bu tezin Yüksek
Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
…………………………………………
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
…………………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
…………………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. İbrahim BÜYÜKYAZICI
…………………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Tez Savunma Tarihi: 17 / 07 / 2013
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…………………………………………
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Ercan TAŞ
iv
FUZZY RIESZ UZAYLARI
(Yüksek Lisans Tezi)
Ercan TAŞ
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Temmuz 2013
ÖZET
Bu tezin amacı fuzzy sıralı vektör uzayları ve fuzzy Riesz uzaylarını
incelemektir. Fuzzy kümeler üzerindeki sıra yapısıyla ilgili kavramlar ve
konular ele alınmış ve örneklerle açıklanmıştır.
Bilim Kodu
: 204.1.095
Anahtar Kelimeler : Fuzzy küme, fuzzy topoloji, fuzzy süreklilik, fuzzy sıralı
vektör uzayı, fuzzy Riesz uzayı
Sayfa Adedi
: 64
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
v
FUZZY RIESZ SPACES
(M.Sc. Thesis)
Ercan TAŞ
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
July 2013
ABSTRACT
The aim of this thesis is to examine fuzzy ordered vector spaces and fuzzy Riesz
spaces. The related concepts and subjects of the order structure on fuzzy sets
are discussed and illustrated by examples.
Science Code
: 204.1.095
Key Words
: Fuzzy set, fuzzy topology, fuzzy continuity, fuzzy ordered
space, fuzzy Riesz space
Page Number
: 64
Adviser
: Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, yanlışa
düştüğümde bana doğru yolu gösteren Sayın Hocam Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK’e, beni
en başından beri her zaman cesaretlendiren ve desteklerini bir an dahi olsun benden
esirgemeyen eşim ve kızım Sevay TAŞ ve A.Berra TAŞ’ a teşekkürü bir borç
bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET………………………………………………………………………............ iv
ABSTRACT……………………………………………………………………….. v
TEŞEKKÜR…………………………………………………………………........... vi
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………………. vii
SİMGELER VE KISALTMALAR………………………..……………………... viii
1. GİRİŞ……………………………………………………………………………. 1
2. TEMEL KAVRAMLAR………………………………………………………… 3
2.1. Riesz Uzayları ve Sıra Sınırlı Operatörler…………………………………... 3
2.2. Fuzzy Kümeler……………………………………………………………… 7
2.3. Fuzzy Topolojik Uzaylar ……………………………………………………14
2.4. Fuzzy Sürekli Fonksiyonlar …………………………………..……………. 20
3. FUZZY SIRA BAĞINTILARI VE FUZZY RIESZ UZAYLARI……………
31
3.1. Fuzzy Sıralı Kümeler……………………………………………………….. 31
3.2. Fuzzy Sıralı Vektör Uzayları……………………………………………….. 36
3.3. Fuzzy Riesz Uzayları……………………………………………………….. 49
4. SONUÇ VE ÖNERİLER………………………………………………………. 62
KAYNAKLAR…………………………………………………………….……… 63
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………….………. 64
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simge ve kısaltmalar, açıklamalar ile aşağıda
sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
x+
x in pozitif kısmı
x−
x in negatif kısmı
x⊥ y
x diktir y
xn ↑
( xn ) artan dizi
xn ↓
( xn ) azalan dizi
IX
X den I birim aralığına tanımlanan
fonksiyonların kümesi
τ
fuzzy topoloji
A
A fuzzy kümesinin içi
A
A fuzzy kümesinin kapanışı
Ac
A fuzzy kümesinin tümleyeni
( X ,τ )
fuzzy topolojik uzayı
U ( A)
A nın üst sınırı
L( A)
A nın alt sınırı
1
1. GİRİŞ
Cantor tarafından 1879 yılında yapılan küme tanımının ardından matematikte
incelenen her konuda kesinlik aranmıştır. Böylece olaylar karşısındaki düşünce
sistemimiz iki değerli mantığa göre oluşmuştur. Klasik küme tanımına göre bir şey
ya doğru yada yanlış (ya var yada yok, ya beyaz yada siyah, ya 1 yada 0)’dır. Ancak
günlük hayatımızdaki birçok olay bu şekilde açıklanamayacak kadar karmaşıktır. Bu
durum rastgelelik değil, ancak belirsizlik ima eder. Bu belirsizlikler fuzzy (bulanık)
kelimesiyle açıklanır. Böyle bir durum karşısında kesin bir yargı yoktur. İki değerli
mantığa dayanan matematik kesinlik göstermeyen olaylar karşısında yetersiz
kalmıştır. Bu sebeple Cantor tarafından verilen küme tanımı 1965 yılında Zadeh
tarafından fuzzy (belirtisiz) küme kavramı tanımlanarak klasik küme kavramı
genişletilmiştir [1]. Fuzzy mantık sayısal değerleri sözel ifadelerden yola çıkarak
bilgi tabanlı denetleyiciler arasında insan düşünce yapısına yakınlaşmayı sağlamıştır.
Bu kavram, bir nesnenin istediğimiz belirli bir kategoriye daha az veya daha çok
karşılık geldiğini göstermeye çalışır. Fuzzy küme kavramı rastgele değişkenlerin
varlığından daha çok, bir sınıfa kesin olarak karşılık gelen kriterlerin yokluğunda
belirsizlik kaynağındaki problemlerle ilgili doğal bir yol sağlar. Aslında gerçekliğin
her tonunu açıklayan fikir, bazı mantıkçılar için 1965’e kadar uzun süreli bir saplantı
idi. Son kırk yılda fuzzy küme teorisi hem bilimsel bakış, hem de uygulama
açısından hızla gelişti. Bu teoriye mevcut bilgi, çok değerli katkı sunan bir alan
oluşturdu.
Denklik, benzerlik, kümeleme gibi kavramları içeren problemlerle başa çıkmak için
çok çeşitli teknikler vardır. Fuzzy bağıntıları üzerine çalışma da yine Zadeh
tarafından başlatıldı. 1971’deki ünlü makalesinde Zadeh denklik kavramını
tanımlayan ve fuzzy sıra kavramını veren fuzzy bağıntısını tanıttı [2]. Fuzzy sıra
kavramı, çeşitli alanlarda bilinen sonuçların çıkarımını kolaylaştıran ve yenilerini
keşfetmeyi
teşvik
eden
yansıma,
ters
simetri
ve
geçişme
özelliklerinin
genelleştirilmesiyle tanımlandı. Fuzzy sıralamada birçok yarar vardır. Mesela,
alternatif bir küme ile bizim tercihlerimiz ifade edildiğinde kullanılabilir. Kesin
sıralama ile karşılaştırıldığında daha fazla açıklama gücü vardır. Sadece
2
seçeneğimizden diğerine tercihimizi değil, bu tercihin gücünü de ifade etmemize
imkân sağlar. Bu tezde, son yıllarda basılmış makalelerdeki fuzzy sıralama bağıntısı
ve bu bağıntıyla oluşturulan uzaylar ile ilgili sonuçlar sunulmuştur [9-12].
İkinci bölümde, sıralama bağıntısı ile ilgili olarak sıralı vektör uzayları, Riesz
uzayları ve diğer kavramlar tanıtılmıştır. Diğer yanda, fuzzy kümeler, bunların
topolojik yapıları ve fuzzy topolojik uzaylar arasındaki fuzzy sürekli fonksiyonlar
verilmiş ve örneklerle açıklamalar yapılmıştır.
Üçüncü bölümde ise, fuzzy ve sıra kavramları bir arada ele alınarak fuzzy sıralı
kümeler, fuzzy sıralı vektör uzayları, fuzzy Riesz uzayları ve bunlarla ilgili
kavramlar ayrıntılı olarak incelenmiş, ilgili sonuçlar verilmiştir.
Dördüncü bölümde, elde edilen sonuçların ilgili teoriye katkısından ve bu sonuçların
kullanılmasıyla yapılacak çalışmaların öneminden bahsedilmiştir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Riesz Uzayları ve Sıra Sınırlı Operatörler
2.1. Tanım (sıralı vektör uzayı)
E reel vektör uzayı ve üzerindeki sıralama bağıntısı ≤ olmak üzere, x ≤ y iken her
z∈E ve her λ∈ΙR+ için x + z ≤ y + z ve λ x ≤ λ y oluyorsa, E ye sıralı vektör uzayı
denir.
2.2. Tanım (Riesz uzayı)
E sıralı vektör uzayı olmak üzere, her x,y∈E için
x ∨ y = sup{x, y} ∈ E (veya x ∧ y = inf {x, y} ∈ E ) oluyorsa, E ye Riesz uzayı denir.
2.3. Tanım (bir elemanın pozitif kısmı, negatif kısmı ve modülü)
Bir Riesz uzayının herhangi bir x elemanı için;
x += x ∨ 0 ,
x −= x ∧ 0 ,
| x |= x ∨ (− x) eşitlikleriyle verilen elemanlarına sırasıyla, x in pozitif kısmı,
x in negatif kısmı ve x in modülü denir.
2.1. Teorem (Aliprantis and Burkinshaw, 1985)
Bir Riesz uzayının herhangi bir x elemanı için aşağıdakiler sağlanır:
1) =
x x+ − x− ;
2) | =
x | x+ + x− ;
3) x + ∧ x − = 0 .
2.4. Tanım (iki elemanın dikliği, bir kümenin diki)
E Riesz uzayı olmak üzere, x, y ∈ E için | x | ∧ | y |= 0 oluyorsa, x ve y birbirlerine
4
diktir denir ve bu durum x ⊥ y ile gösterilir. E nin D altkümesinin diki ise,
Dd =
{x ∈ E : her y ∈ D için x ⊥ y} ile tanımlanır.
2.5. Tanım (sıra yakınsaklık)
E
Riesz
uzayı
olmak
üzere
{xa } ⊆ E
ve
x∈E
için
| xa − x |≤ ya ↓ 0
({ ya } azalan ve infimumu 0) olacak şekilde { ya } ⊆ E ağı varsa, {xa } ağı x
elemanına sıra yakınsaktır denir.
2.6. Tanım (düzgün yakınsaklık, göreceli düzgün yakınsaklık, düzgün Cauchy dizisi)
E Riesz uzayı {xn } ⊆ E ve x ∈ E olmak üzere,
(a) 0 ≤ u ∈ E alındığında, her ε > 0 için nε ≤ n iken | xn − x |≤ ε u olacak şekilde
nε ∈ IN varsa, {xn } dizisi x elemanına u-düzgün yakınsak(düzgün yakınsak ),
(b)
xn → x (u-düzgün yakınsak)olacak şekilde
0 ≤u∈E
varsa, {xn } dizisi
x elemanına göreceli düzgün yakınsak,
(c) Her ε > 0 için nε ≤ n, m iken | xn − xm |≤ ε u olacak şekilde nε ∈ IN ve
(ε dan bağımsız) 0 ≤ u ∈ E varsa, {xn } dizisine düzgün Cauchy dizisi denir.
2.7. Tanım (düzgün kapalı küme, düzgün tam Riesz uzayı)
E Riesz uzayı olmak üzere,
(a) E nin D altkümesindeki her {xn } dizisi için xn → x (göreceli düzgün yakınsak)
iken x ∈ D oluyorsa, D ye düzgün kapalı küme,
(b) E nin her düzgün Cauchy dizisi göreceli düzgün yakınsak oluyorsa, E ye düzgün
tam Riesz uzayı denir.
2.8. Tanım (Arşimedyan Riesz uzayı, Dedekind tam Riesz uzayı, Riesz altuzayı, sıra
yoğun Riesz altuzayı, ideal, band)
5
E Riesz uzayı olmak üzere,
(a) Her x ∈ E + için n −1 x ↓ 0 oluyorsa, E ye Arşimedyan Riesz uzayı,
(b) E nin üstten sınırlı her altkümesi supremuma sahipse, E ye Dedekind tam Riesz
uzayı,
(c) G altuzayı için x, y ∈ G iken x ∨ y ∈ G (veya x ∧ y ∈ G ) oluyorsa, G ye E nin
Riesz altuzayı,
(d) G Riesz altuzayı için 0 < x ∈ E iken 0 < y ≤ x olacak şekilde y ∈ G varsa, G ye E
nin sıra yoğun Riesz altuzayı,
(e) Ι altuzayı için | x |≤| y | ve y ∈ I iken x ∈ I oluyorsa, Ι ya E de (sıra) ideal,
(f ) Β ideal ve her bir {xa } ⊆ B; 0 ≤ xa ↑ x({xa } artan ve supremumu 0) ağı için
x ∈ B oluyorsa, Β ye E de band denir.
2.9. Tanım (bir kümenin ürettiği Riesz altuzayı (ideal, band))
E Riesz uzayının boştan farklı D altkümesini kapsayan en küçük Riesz altuzayına (ya
da ideale, banda) D nin ürettiği Riesz altuzayı (ya da ideal, band ) denir.
• Bir Riesz uzayı Dedekind tam ise, Arşimedyandır. E Riesz uzayının D
altkümesinin ürettiği ideal ve band sırasıyla,
Ι D = {x∈E : x ≤ ∑ i =1 λ i xi olacak şekilde λ 1 ,…,λ n ∈IR+ ve x 1 ,…,x n ∈E var}
n
{x ∈ E : 0 ≤ xa ↑| x | olacak şekilde {xa } ⊆ D + var}
BD =
biçimindedir. E nin herhangi bir x elemanının ürettiği ideal ve band sırasıyla,
I x = { y ∈ E :| y |≤ λ x olacak şekilde λ ∈ IR var} ve Bx = { y ∈ E :| y | ∧ n | x |↑| y |}
biçiminde elde edilir.
6
2.10. Tanım (sıra birim, zayıf sıra birim)
E Riesz uzayı, 0 < e ∈ E olmak üzere,
(a) I e = E oluyorsa; yani her x ∈ E + için x ≤ λ e olacak şekilde λ ∈ IR + varsa, e ye
E nin sıra birimi,
(b) Be = E oluyorsa; yani her x ∈ E + için x ∧ n | e |↑ x oluyorsa, e ye E nin zayıf sıra
birimi denir.
• E Riesz uzayının zayıf sıra birimi, aynı zamanda sıra birimidir. E nin her
x > 0 elemanı, ürettiği idealin sıra birimi; ürettiği bandın zayıf sıra birimidir.
Arşimedyan Riesz uzayında e > 0 elemanının zayıf sıra birim olması için gerek ve
yeter şart x ⊥ e iken x = 0 olmasıdır.
2.11. Tanım (sıralı aralık, sıra sınırlı küme)
x
ve
y,
E
Riesz
uzayında
x ≤ y olacak
şekilde
iki
eleman
iken
[ x, y ] = {z ∈ E : x ≤ z ≤ y} kümesine sıralı aralık; E nin bir sıralı aralığı tarafından
kapsanan altkümesine de sıra sınırlı küme denir.
2.12. Tanım (sıra sınırlı operatör, pozitif operatör, aralık koruyan operatör, Riesz
homomorfizması, sıra sürekli operatör)
E ve F Riesz uzayları, T : E → F operatör (lineer dönüşüm) olmak üzere,
(a) E deki her D sıra sınırlı küme için F de Τ (D) sıra sınırlı küme oluyorsa, Τ ye sıra
sınırlı operatör,
(b) E nin her x ≥ 0 elemanı için F de Tx ≥ 0 oluyorsa,Τ ye pozitif operatör,
(c) E de xa → 0 (sıra yakınsak) iken F de Txa → 0 sıra yakınsak) oluyorsa,Τ ye sıra
sürekli operatör,
(d) Her x, y ∈ E için T ( x ∨ y ) = Tx ∨ Ty oluyorsa, Τ ye Riesz homomorfizması,
7
(e) Τ pozitif operatör ve her x∈E+ için T [0, x] = [0, Tx] oluyorsa, Τ ye aralık
koruyan operatör denir.
• E Riesz uzayından F Riesz uzayına sıra sınırlı operatörlerin kümesi
) için
Lb ( E , F
) ile gösterilir. T1 , T2 ∈ Lb ( E , F
T1 ≤ T2 ⇔ Her 0 ≤ x ∈ E için T1 x ≤ T2 x
) sıralı vektör uzayıdır. Pozitif
ile tanımlanan sıralama bağıntısıyla Lb ( E , F
) Dedekind tam
operatörler sıra sınırlıdırlar. F Dedekind tam olduğunda, Lb ( E , F
Riesz uzayıdır ve bu durumda her sıra sınırlı operatör, iki pozitif operatörün farkı
olarak yazılabilir. Bu tezde her operatör lineer olarak alındığından ve Riesz
uzayından Riesz uzayına tanımlandığından, operatörün pozitifliği ile monoton
artanlığı denktir.
2.2. Fuzzy Kümeler
2.13. Tanım (fuzzy küme)
X boştan farklı herhangi bir küme ve I = [ 0,1] olmak üzere X den I ya tanımlanan
bütün fonksiyonların kümesini I X ile gösterelim. I X in her bir elemanına X in bir
fuzzy kümesi denir [1].
2.14. Tanım (fuzzy alt küme)
X ≠ ∅ ve I = [ 0,1] olmak üzere f A : X → I üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen
=
A
{( x, f
A
( x ))
}
: x ∈ X ⊂ X × I kümesine X in bir fuzzy alt kümesi denir. Bundan
sonra zaman zaman f A yerine A, f A ( x) yerine A( x) alınacaktır [1].
8
Örnek 1
X={7,8,9,10,11,12,13} kümesi üzerinde bir fuzzy küme bulalım.
f A ( x) =
1
ile tanımlanan f A :X → [0,1] fonksiyonunu göz önüne alalım;
1 + ( x − 10) 2
x = 7 ⇒ f A (7) = 0.1
x = 8 ⇒ f A (8) = 0.2
x = 9 ⇒ f A (9) = 0.5
x = 10 ⇒ f A (10) = 1
x = 11 ⇒ f A (11) = 0.5
x = 12 ⇒ f A (12) = 0.2
x = 13 ⇒ f A (13) = 0.1
( x, f A ( x) ) fuzzy kümesi
( x, f A ( x) ) = {(7, 0.1), (8, 0.2), (9, 0.5), (10,1), (11, 0.5), (12, 0.2), (13, 0.1)} olur.
2.15. Tanım (fuzzy nokta, fuzzy noktasının desteği, fuzzy noktasının değeri)
X boştan farklı herhangi bir küme olmak üzere X deki xα fuzzy kümesinin
xα : X → I üyelik fonksiyonu
α ,
=
xα ( y ) 
0 ,
y=x
, α ∈ (0,1]
y≠x
şeklinde tanımlı ise xα ya X de fuzzy noktası denir. Burada x ∈ X noktasına xα fuzzy
noktasının desteği (dayanağı) ve α ∈ (0,1] sayısına xα fuzzy noktasının değeri denir
[8].
9
Bundan sonra fuzzy noktasını xα yerine p ile göstereceğiz.
2.16. Tanım (fuzzy kümenin desteği)
x ∈ X ve A bir fuzzy küme olmak üzere
SuppA= A0 ={(x, f A (x)): f A (x)>0 }
kümesine A fuzzy kümesinin desteği denir [5].
2.17. Tanım
X boştan farklı herhangi bir küme, p X de bir fuzzy nokta ve A, X in bir fuzzy kümesi
olsun. Eğer her x ∈ X için p(x) ≤ A(x) ise p, A ya aittir (A, p yi içerir) denir ve p<A ile
gösterilir.
2.18. Tanım
X ve ∅ kümeleri birer fuzzy küme olup her x ∈ X için
f X (x) = 1 ⇒ X = {(x,1):x ∈ X } ve f ∅ (x) = 0 ⇒ ∅ = {(x,0):x ∈ X }
şeklinde ifade edilir [5].
Buradan her klasik anlamdaki kümenin bir fuzzy kümesi olduğu sonucu çıkar.
2.19. Tanım
X deki herhangi iki fuzzy küme A ve B olsun. A ve B nin üyelik fonksiyonları
sırasıyla f A ve f B olmak üzere, her x ∈ X için
10
1. A ≤ B ⇔ f A (x) ≤ f B (x) ,
2. A = B ⇔ f A (x) = f B (x) ,
3. C = A ∧ B ⇔ min{ f A (x), f B (x)} = f C (x) ,
4. D = A ∨ B ⇔ mak{ f A (x), f B (x)} = f D (x) ,
5. E = A c ⇔ f E (x) = 1− f A (x) ,
şeklinde tanımlanır [5].
2.20. Tanım
X deki fuzzy kümelerin bir ailesi { Aj } j∈J olsun. Buna göre birleşim ve kesişim
işlemlerinin genelleştirilmiş hali
C= ∨ Aj ⇔ f C (x) = sup { f Aj ( x) }
j∈J
j∈J
D= ∧ Aj ⇔ f D (x) = inf { f Aj ( x) }
j∈J
j∈J
şeklinde tanımlanır [5].
2.21. Tanım
A ve B X de fuzzy kümeler olsun. Bu durumda A ile B nin farkı A−B=A ∧ B c ile
tanımlanır. Eğer üyelik fonksiyonları sırasıyla f A ve f B ise, her x ∈ X için
f A − B (x) = min { f A (x),1− f B (x)} ve
x∈ X
f B − A (x) = min {1− f A (x), f B (x)}şeklinde tanımlanır [5].
x∈ X
11
Örnek 2
X={ x1 , x2 }
ve
I=[0,1]
olmak
üzere
X
üzerinde
A = {( x1 ,0.2),( x2 ,0.5)} ve B = {( x1 ,0.1),( x2 ,0.7)}
iki
fuzzy
küme
şeklinde tanımlansın. Bu
durumda A ∨ B, A ∧ B, Ac ve A−B fuzzy kümelerini bulalım.
A ve B fuzzy kümelerinin her x ∈ X için üyelik fonksiyonlarının değerleri sırasıyla
f A (x) ve f B (x) olsun. Buna göre x1 ∈ X için f A ( x1 ) = 0.2 ve f B ( x1 ) = 0.1; x2 ∈ X
için f A ( x2 ) = 0.5 ve f B ( x2 ) = 0.7 dir.
A ∨ B = C ⇔ f C (x) = maks{ f A (x), f B (x)}
⇔ f C ( x1 ) = 0.2 ve f C ( x2 ) = 0.7
⇔ A ∨ B = {( x1 ,0.2),( x2 ,0.7)}
A ∧ B = D ⇔ f D (x) = min{ f A (x), f B (x)}
⇔ f D ( x1 ) = 0.1 ve f D ( x2 ) = 0.5
⇔ A ∧ B = {( x1 ,0.1),( x2 ,0.5)}
Ac = X−A ⇔ f A (x) = 1− f A (x)
c
⇔ f A c ( x1 ) = 0.8 ve f A c ( x2 ) = 0.5
⇔ Ac = {( x1 ,0.8),( x2 ,0.5)}
A−B = A ∧ B c
⇔ f A − B (x) = min { f A (x), f B (x)}
x∈ X
c
⇔ f A − B ( x1 ) = 0.2 ve f A − B ( x2 ) = 0.3
⇔ A−B = {( x1 ,0.2),( x2 ,0.3)}
2.2. Teorem
X de iki fuzzy küme A ve B olmak üzere
12
i) A ∨ B fuzzy kümesi A ve B yi ihtiva eden en küçük fuzzy kümedir [4].
ii) A ∧ B fuzzy kümesi A ve B kümeleri tarafından ihtiva edilen en büyük fuzzy
kümedir [7].
İspat
i) A ve B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla f A ve f B olsun. A ∨ B=C
⇔ f C (x) = mak{ f A (x), f B (x)} olduğundan A ≤ C ve B ≤ C dir. D nin A ve B yi
ihtiva eden en küçük fuzzy küme olduğunu kabul edelim. D fuzzy kümesinin üyelik
fonksiyonu f D olmak üzere A ≤ D olduğundan f A (x) ≤ f D (x) ve B ≤ D olduğundan
f B (x) ≤ f D (x) dir. Buradan
mak{ f A (x), f B (x)} ≤ f D (x) ⇒ f A − B (x) = f C (x) ≤ f D (x)
olur. A ∨ B=C fuzzy kümesi A ve B yi ihtiva eden bir küme olup kabulden dolayı
f A (x) ≤ f D (x) ≤ f C (x) ve f B (x) ≤ f D (x) ≤ f C (x) ⇒ f D (x) ≤ f C (x)
bulunur. O halde her x ∈ X için f D (x)= f C (x) olup C = D dir. Buna göre A ve B yi
ihtiva eden en küçük fuzzy küme A ∨ B dir.
ii) (i) şıkkına benzer şekilde ispat yapılır.
2.1. Özellik
X deki fuzzy kümeler A, B ve C olmak üzere
1. A ∧ ∅ = ∅, A ∨ ∅ = A, A ∨ X = X, A ∧ X = A
2. A ∧ B = B ∧ A, A ∨ B = B ∨ A, A ∧ A = A, A ∨ A = A
3. (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C), (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
13
4. C ∨ (A ∧ B) = (C ∨ A) ∧ (C ∨ B), C ∧ (A ∨ B) = (C ∧ A) ∨ (C ∧ B)
5. A ≤ B ⇒ A ∨ B = B, A ≤ B ⇒ A ∧ B= A
dir [7].
2.2. Özellik
A ve B, X de iki fuzzy küme olmak üzere
1. A−∅ = A
2. ∅ c = X, X c = ∅, (A c ) c = A
3. A ≤ B ⇔ A c ≤ B c
4. (A ∨ B) c =A c ∧ B c , (A ∧ B) c =A c ∨ B c
dir [7].
2.3. Teorem
X kümesi üzerindeki herhangi bir fuzzy kümesi A olsun.
i) A ∧ A c = ∅ olmak zorunda değildir [7].
ii) A ∨ A c = X olmak zorunda değildir [7].
Örnek 3
X = {x1 , x2 } olmak üzere X de bir fuzzy kümesi A={( x1 ,0.2),( x2 ,0.9)} olarak
verilsin. A ∧ A c = ∅ ve A ∨ A c = X olup olmadığını görelim.
A c = {( x1 ,0.8),( x2 ,0.1)}
A ∧ A c = {( x1 ,0.2),( x2 ,0.1)} ⇒ A ∧ A c ≠ ∅
A ∨ A c = {( x1 ,0.8),( x2 ,0.9)} ⇒ A ∨ A c ≠ X
14
2.3. Fuzzy Topolojik Uzaylar
2.22. Tanım (fuzzy topolojik uzay, fuzzy açık küme, fuzzy kapalı küme)
X boştan farklı bir küme ve τ ≤ I X fuzzy kümelerinin bir ailesi olsun. Aşağıdaki
şartları sağlayan τ ailesine X üzerinde fuzzy topoloji, (X, τ ) ikilisine de fuzzy
topolojik uzay denir.
ft 1 ) ∅, X ∈ τ (0,1 ∈ τ )
n
ft 2 ) Her A1 , A2 ,…, An ∈ τ için ∧ Ai ∈ τ
i=1
ft 3 ) ∀ i ∈ I için Ai ∈ τ ⇒ ∨ Ai ∈ τ
i∈I
τ topolojisinin her bir elemanına X de fuzzy açık küme, X uzayına göre tümleyeni
fuzzy açık olan kümeye de fuzzy kapalı küme denir [5].
2.4. Teorem
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay olmak üzere
κ ={K ∈ I X : K fuzzy kapalı ⇔ K c ∈ τ }
şeklinde tanımlı κ (kapalılar) ailesi aşağıdaki şartları sağlar [5].
k 1 ) ∅, X ∈ κ
n
k 2 ) ∀ K1 , K 2 ,…,K n ∈ κ ⇒ ∨ K i ∈ κ
i∈I
k 3 ) ∀ i ∈ I için K i ∈ κ ⇒ ∧ K i ∈ κ
i∈I
15
2.23. Tanım (fuzzy kümesinin içi)
( X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A ∈ I X olsun.
A = ∨ {B:A ≤ B, B ∈ τ } = sup{B:A ≤ B, B ∈ τ }
şeklinde tanımlanan fuzzy kümesine A fuzzy kümesinin içi denir.
Tanımdan da anlaşıldığı gibi A fuzzy açık bir kümedir. Üstelik A , A nın kapsadığı
en geniş fuzzy açık kümedir [5].
2.5. Teorem
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A ∈ I X olsun. A nın fuzzy açık küme olması için
gerekli ve yeterli koşul A = A olmasıdır [6].
2.1. Sonuç
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A,B ∈ I X ve A , A fuzzy kümesinin içi olsun. Bu
durumda
i) X  =X, ∅  =∅
ii) A ≤ A
iii) ( A )  = A
iv) A ≤ B ⇒ A ≤ B 
v) (A ∧ B)  = A ∧ B 
sağlanır [7].
16
2.24. Tanım (fuzzy kümesinin kapanışı)
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A ∈ I x olsun.
A = ∧ {B:A ≤ B, B c ∈ τ } = inf{B:A ≤ B, B c ∈ τ }
ile tanımlanan fuzzy küme A fuzzy kümesinin kapanışı denir. A kümesi tanımdan da
anlaşıldığı gibi fuzzy kapalı bir kümedir. Ayrıca A , Ayı kapsayan en küçük fuzzy
kapalı kümedir [5].
2.6. Teorem
( X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A ∈ I X olsun. A nın fuzzy kapalı küme olması için
gerekli ve yeterli koşul A= A olmasıdır [6].
2.2. Sonuç
( X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A, B X in iki fuzzy kümesi ve A , A nın kapanışı
olsun. Bu durumda;
i) X = X , ∅ = ∅
ii) A ≤ A
iii) A = A
iv) A ≤ B ⇒ A ≤ B
v) ( A ∨ B) = A ∨ B [5].
2.7. Teorem
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A ∈ I X olsun. Bu durumda ( A ) c = Ac ve ( A)c = ( Ac )
17
dir [7].
İspat
A ∈ I X olsun.
 c
(A
=
) (sup{B : B ≤ A, B ∈τ })c
= inf{B : B ≤ A, B ∈τ }c
= inf {C = B c : Ac ≤ B c = C , C
∈τ }
= inf{C : Ac ≤ C , C ∈τ }
= A
( A=
)c (inf {B : A ≤ B, B c ∈})c
= sup{B : A ≤ B, B c ∈τ }c
= sup{B c =
D:D =
B c ≤ Ac , B c ∈τ }
= sup{D : D ≤ Ac , D ∈τ }
= ( Ac )
2.25. Tanım (fuzzy kümesinin komşuluğu)
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve A ∈ I X olsun. A yı ihtiva eden bir B fuzzy açık
kümesini kapsayan N kümesine, A fuzzy kümesinin bir komşuluğu denir. Buna göre
N, A nın fuzzy komşuluğu ⇔ ∃ B ∈ τ var ∋ A ≤ B ≤ N [7].
2.26. Tanım (fuzzy noktasının komşuluğu)
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve p, X in bir fuzzy noktası olsun. p fuzzy noktasını
içeren bir A fuzzy açık kümesini kapsayan N kümesine, p nin fuzzy komşuluğu denir
18
ve p nin bütün fuzzy komşuluklar ailesi N(p) ile gösterilir. Buna göre
N ∈ N(p) ⇔ ∃ A ∈ τ var ∋ p < A ≤ N [7].
2.8. Teorem
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay, p ∈ I X ve N(p), p fuzzy noktasının komşuluklar ailesi
olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler vardır.
i) Her N ∈ N(p) için p < N
ii) Her N1 , N 2 ∈ N(p) için N1 ∧ N 2 ∈ N ( p)
iii) Herhangi bir N ∈ N ( p) ve N ≤ B ⇒ B ∈ N ( p)
iv) Her N ∈ N(p) için A ≤ N olacak şekilde öyle bir A ∈ N ( p) vardır ki q < A şartını
sağlayan her q fuzzy noktası için N ∈ N (q) dur [8].
İspat
i) Her N ∈ N ( p ) için tanımdan p < A ≤ N olacak şekilde A ∈ τ vardır. O halde
p < N olur.
ii) Her N1 ve N 2 ∈ N ( p ) için tanımdan p < A1 ≤ N1 ve p < A2 ≤ N 2 olacak şekilde
A1 , A2 ∈ τ vardır. Buradan p < A1 ∧ A2 ve
A1 ∧ A2 ∈ τ dur. p < A1 ∧ A2 ≤ N1 ∧ N 2
olup buradan N1 ∧ N 2 ∈ N ( p) olur.
iii)
N ∈ N ( p ) ve N ≤ B olsun. Bu durumda p < A ≤ N ≤ B olacak şekilde A ∈ τ
vardır. Buradan p < A ≤ B olacak şekilde A ∈ τ bulunmuş olur. Bu durumda B
∈ N ( p) olur.
iv) N ∈ N ( p) olsun. Bu durumda p < A ≤ N olacak şekilde A ∈ τ vardır. q < A veya A
∈ τ olduğundan A ∈ N(q) olur. A ≤ N olduğundan (ii) N ∈ N(q) olur.
19
2.27. Tanım (fuzzy topoloji tabanı)
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve β ≤ τ olsun. ∀A ∈ τ için A= ∨ B
j∈J
j
olacak şekilde
β {B j } j∈J ≤ β alt ailesi varsa β ye τ için bir taban denir. Yani,
=
β , τ için bir taban ⇔ ∀A ∈ τ için ∃ β ' ⊂ β var ∋ A =
∨
B [7].
B∈ β '
2.28. Tanım (fuzzy topolojinin alt tabanı)
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay, ϕ ≤ τ
olsun. ϕ
nın elemanlarının her sonlu
kesişimlerinin oluşturduğu fuzzy küme sınıfı τ için bir taban oluşturuyor ise, ϕ
ailesine τ için bir alt taban denir. Yani;
ϕ , τ için alt taban ⇔ { ∧ S: ϕ ≤ A,ϕ sonlu} τ için taban
S ∈ϕ
şeklindedir [7].
2.29. Tanım (fuzzy topolojide yerel taban)
(X, τ ) fuzzy topolojik uzay ve β , τ için bir taban olsun. X in bir p fuzzy noktası için
β p = {B : p < B ve B ∈ β }
ailesini göz önüne alalım. p<A olmak üzere ∀A ∈ τ için p<B ≤ A olacak şekilde en
az bir B ∈ β p varsa β p ailesine p noktasının τ topolojisine göre yerel tabanı (lokal
tabanı) denir [7].
20
2.4. Fuzzy Sürekli Fonksiyonlar
2.30. Tanım
X ve Y herhangi iki küme ve g:X → Y bir fonksiyon olsun. Eğer A, X de bir
fuzzy kümesi ve üyelik fonksiyonu f A ise, bu durumda g(A) A nın f fonksiyonu
altında görüntüsü denir ve g(A) da Y de bir fuzzy kümesi olup üyelik
fonksiyonu, ∀ y ∈ Y için
sup{ f A ( x)} , g −1 ( y ) ≠ ∅
f g ( A) ( y ) =  x∈g −1 ( y )

0
, g −1 ( y ) = ∅
şeklinde tanımlanır. Burada g −1 ( y ) ={x ∈ X: g(x)= y } dir [5]. Şema ile
gösterecek olursak;
g
Y
X
→
g  fA
fA
I
2.31. Tanım
X ve Y herhangi iki küme olmak üzere g:X → Y bir fonksiyon ve B, Y de bir
fuzzy küme olsun. ∀ x ∈ X için, f g −1 ( B ) (x)= f B (g(x)) üyelik fonksiyonu ile
tanımlanan g −1 (B)=g −1 ( f B ) ifadesine B in ters görüntüsü denir [5]. Şema ile
gösterecek olursak;
−1
g
←
g
X
Y
→
g −1 ( f B )
fB
I
21
2.9. Teorem
X, Y herhangi iki küme g:X → Y bir fonksiyon, A X de ve B Y de fuzzy kümeleri
olsun. Aşağıdaki özellikler vardır;
i)
∀ B ≤ Y de bir fuzzy küme ⇒ g −1 (B c )=( g −1 ( B) ) c
ii)
∀ A ≤ X de bir fuzzy küme ⇒ g ( Ac ) ≥ ( g ( A) ) c
iii) ∀ B 1 ,B 2 ≤ Y için B 1 ≤ B 2
⇒ g −1 (B 1 ) ≤ g −1 (B 2 )
iv) ∀ A 1 ,A 2 ≤ X için A 1 ≤ A 2
⇒ g(A 1 ) ≤ g(A 2 )
v)
∀ B ≤ Y ⇒ g( g −1 (B)) ≤ B
vi)
∀ A ≤ X ⇒ A ≤ g −1 (g(A))
vii)
∀ j ∈ J için B j ≤ Y ⇒ g −1 ( ∨ B j )= ∨ g −1 ( B j )
j∈J
j∈J
viii) ∀ A,B ≤ X ⇒ g(A ∧ B) ≤ g(A) ∧ g(B)
ix)
∀ j ∈ J için B j ≤ Y ⇒ g −1 ( ∧ B j ) = ∧ g −1 ( B j )
x)
g:X → Y ve h:Y → Z fonksiyonları verilsin. Her p < Z fuzzy kümesi için;
j∈ J
j∈J
(h  g ) −1 (p)= g −1 (h −1 (p)) dır [5].
İspat
i) Her x ∈ X için,
f g −1 ( B c ) (x)= f B c (g(x))=1− f B (g(x))=1− f g −1 ( B ) (x)= f[ g −1 ( B )]c (x)
Üyelik fonksiyonlarının eşitliğinden, g −1 ( B c ) =[g −1 ( B) ] c elde edilir.
ii) Her y ∈ Y için g −1 (y) ≠ ∅ ise,
22
{ f A (x)}
f g ( A c ) (y)= sup { f A c (x)}= sup {1− f A (x)}=1− inf
−1
(1)
f[ g ( A)]c (y)=1− f g ( A) (y)=1− sup { f A (x)}
(2)
x∈ g −1 ( y )
x∈ g
x∈ g −1 ( y )
( y)
x∈ g −1 ( y )
olur. (1) ve (2) den, her y ∈ Y için f g ( A c ) (y) ≥ f[ g ( A)]c (y) olur. Böylece, g(A c ) ≥ [g(A)] c
elde edilir.
iii) Her x ∈ X için f g −1 ( B ) (x) = f B1 (g(x)) , f g −1 ( B ) (x) = f B2 (g(x)) ve
1
2
B 1 ≤ B 2 ⇔ f B1 (g(x)) ≤ f B2 (g(x))
olduğundan f g −1 ( B ) (x) ≤ f g −1 ( B ) (x) ve dolayısıyla g −1 (B 1 ) ≤ g −1 (B 2 ) elde edilir.
1
2
iv) Her y ∈ Y için g −1 (y) ≠ ∅ olsun.
f g ( A1 ) (y)= sup { f A1 (x)} , f g ( A2 ) (y)= sup { f A2 (x)} ve
x∈ g −1 ( y )
x∈ g −1 ( y )
A 1 ≤ A 2 ⇔ f A1 (x) ≤ f A2 (x)
olduğundan sup { f A1 (x)} ≤ sup { f A2 (x) } olur. Buradan
x∈ g −1 ( y )
f g ( A1 ) (y) ≤ f A2 (y)
elde edilir.
v) Her y ∈ Y için
x∈ g −1 ( y )
∀y∈Y
⇒ g(A 1 ) ≤ g(A 2 )
23
(a) g −1 (y) ≠ ∅ ise,
f g [g −1 ( B ) ] (y) = sup { f g −1 ( B ) (x)} = sup { f B (g(x))} = f B (y)
x∈ g −1 ( y )
x∈ g −1 ( y )
üyelik fonksiyonlarının eşitliğinden g[ g −1 (B)] ≤ B bulunur.
(b) g −1 (y)= ∅ ise, f g [g −1 ( B ) ] (y)=0= f∅ (y) üyelik fonksiyonlarının eşitliğinden,
g  g −1 ( B )  = ∅ dir. (i) ve (ii) den dolayı g  g −1 ( B )  ≤ B olur.
vi) Her x ∈ X için,
f g −1 ( g ( A)) (x) ≥ f g ( A) (g(x)) = sup { f A (x)} ve buradan g
x∈ g −1 ( y )
fonksiyonunun özellikleri dikkate alınırsa,
∀x∈ X
f g −1 ( g ( A)) (x) ≤ f g ( A) (x) ⇒ g −1 (A) ≥ A
olmasını gerektirir.
vii) Her x ∈ X için
f g −1 ( ∨ B ) (x) = f ∨ Bi (g(x)) = sup { f Bi (x)}= sup { f g −1( B ) (x)}= f ∨ g −1 ( B ) (x)
i∈J
i∈J
i∈ J
i∈ J
i
i∈J
i
üyelik fonksiyonlarının eşitliğinden g −1 ( ∨ B i )= ∨ g −1 (B i ) bulunur.
i∈ J
i∈ J
viii) A ∧ B ≤ A ve A ∧ B ≤ B olduğundan (vi) şıkkından dolayı g(A ∧ B) ≤ g(A) ve
g ( A ∧ B ) ≤ g ( B) elde edilir. Her y ∈ Y için f g ( A ∧ B ) (y) ≤ f g ( A) (y), f g ( A ∧ B ) (y) ≤ f g ( B ) (y)
ve buradan
f g ( A ∧ B ) (y) ≤ min{ f g ( A) (y), f g ( B ) (y)} = f g ( A) ∧ g ( B ) (y) ⇒ g(A ∧ B) ≤ g(A) ∧ g(B)
24
bulunur.
ix) Her x ∈ X için
f g −1 ( ∧ B ) (x) = f ∧ Bi (g(x)) = inf { f Bi (x)}= inf { f g −1( B ) (x)}= f ∧ g −1 ( B ) (x)
i∈J
i∈J
i∈ J
i∈ J
i
i∈J
i
üyelik fonksiyonlarının eşitliğinden, g −1 ( ∧ B i )= ∧ g −1 (B i ) olur.
j∈ J
i∈ J
x) Her x ∈ X için
f ( h  g ) −1 ( p ) (x) = f p ((h  g )(x)) = f p (h(g(x))) = f h −1 ( p ) (g(x)) = f g −1 ( h −1 ( p )) (x)
üyelik fonksiyonlarının eşitliğinden (h  g ) −1 (p) = g −1 (h −1 (p)) elde edilir.
2.32. Tanım (fuzzy sürekli fonksiyon)
(X, τ ), (Y, τ ′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve g:X → Y bir fonksiyon olsun. Y deki her
fuzzy açık kümenin g altındaki ters görüntüsü X de fuzzy açık ise, g fonksiyonuna
fuzzy sürekli denir. Yani,
g fuzzy sürekli (f-süreklidir) ⇔ ∀ A ∈ τ ′ için g −1 (A) ∈ τ
sağlanır [5].
Örnek 4
X=[0,1]=I üzerindeki fuzzy kümeleri,
25
, 0 ≤ x ≤ 1/ 4
 1
, 0 ≤ x ≤ 1/ 2
 0

f A ( x) = 
ve f B ( x) = − 4 x + 2 , 1 / 4 ≤ x ≤ 1 / 2
2 x − 1 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1
 0
, 1/ 2 ≤ x ≤ 1

I
üzerinde
fuzzy
τ ={∅,X, Ac },
topolojiler,
g:(I, τ ) → (I, τ ′ ) fonksiyonu, g ( x ) =
τ ′ ={∅,X,A,B,A ∨ B}
ve
x
olarak tanımlansın. Buna göre, g fonksiyonun
2
f-sürekli olduğunu, yani herhangi bir A ∈ τ ′ için g −1 (A) ∈ τ olduğunu göstermeliyiz.
, 0 ≤ x ≤ 1/ 4
 1
, 0 ≤ x ≤ 1/ 2
 1

f Ac ( x) = 
ve f A∨ B ( x) = − 4 x + 2 , 1 / 4 ≤ x ≤ 1 / 2
− 2 x + 2 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1
 2 x − 1 , 1/ 2 ≤ x ≤ 1

olduğu, fuzzy kümelerinde tümleme ve birleşim tanımlarından açıktır.
∅ ∈ τ′
⇒ Her x ∈ X için f g −1 ( ∅ ) ( x) = f ∅ (g(x))
⇒ g −1 (∅)=∅ ∈ τ ⇒ g −1 (∅) ∈ τ
X ∈ τ′
⇒ Her x ∈ X için f g −1 ( x ) ( x) = f X (g(x))
⇒ g −1 (X)=X ∈ τ ⇒ g −1 (X) ∈ τ
Diğer yandan,
A ∈ τ′
, 0 ≤ x ≤1
 x  0
⇒ f g −1 ( A) ( x) = f A (g(x))= f A   = 
 2  x − 1 , 1 ≤ x ≤ 2
 x
⇒ f g −1 ( A) ( x) = f A (g(x))= f A   = 0 (I = [0,1] olduğundan)
2
⇒ g −1 (A)=∅ ∈ τ ⇒ g −1 (A) ∈ τ ,
26
B ∈ τ′
, 0 ≤ x ≤ 1/ 2
 1
 x 
⇒ f g −1 ( B ) ( x) = f B (g(x))= f B   = − 2 x + 2 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1
2 
, 1≤ x ≤ 2
 0
, 0 ≤ x ≤ 1/ 2
 1
= 
= f A c (x)
− 2 x + 2 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1
⇒ Her x ∈ X için f g −1 ( B ) ( x) = f A c (x)
⇒ g −1 (B)= Ac ∈ τ
⇒ g −1 (B) ∈ τ ,
A ∨ B ∈ τ ′ ⇒ f g −1 ( A∨ B ) ( x) = f A∨ B (g(x))= f A∨ B
, 0 ≤ x ≤ 1/ 2
 1
 x 
  = − 2 x + 2 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1
2 
, 1≤ x ≤ 2
 x −1
, 0 ≤ x ≤ 1/ 2
 1
=
= f A c (x)
− 2 x + 2 , 1 / 2 ≤ x ≤ 1
⇒ Her x ∈ X için f g −1 ( A∨ B ) ( x) = f A c (x)
⇒ g −1 (A ∨ B)= Ac ∈ τ
⇒ g −1 (A ∨ B) ∈ τ
 x
Böylece, her A ∈ τ ′ için g −1 (A) ∈ τ olur. O halde g:I → I, g(x)=   fonksiyonu fuzzy
2
süreklidir.
2.10. Teorem
(X, τ ) ve (Y, τ ′ ) iki fuzzy topolojik uzay ve g:X → Y bir fonksiyon olsun. Bu
durumda aşağıdaki ifadeler denktir.
i)
g fonksiyonu fuzzy süreklidir [5].
27
ii) τ ′ ye göre kapalı her fuzzy kümesinin ters görüntüsü τ ya göre kapalıdır [5].
İspat
(i) ⇒ (ii): g fuzzy sürekli olsun. κ ′ τ ′ ye göre kapalılar ailesi olmak üzere, her
K ∈ κ ′ için g −1 (K) ∈ κ olduğunu göstermeliyiz. Burada κ , τ ya göre kapalılar
ailesidir.
K∈ κ ′ ⇒ K c ∈ τ ′
⇒ g −1 ( K c ) ∈ τ (g, fuzzy sürekli olduğundan)
⇒ [g −1 ( K ) ] c ∈ τ
⇒ g −1 ( K ) ∈ κ
(ii) ⇒ (i): τ ′ ye göre fuzzy kapalı kümenin g altındaki ters görüntüsü τ ya göre
fuzzy kapalı olsun. Yani, her K ∈ κ ′ için g −1 ( K ) ∈ κ olsun. Her A ∈ τ ′ için
g −1 ( A) ∈ τ olduğunu göstermeliyiz.
A ∈ τ ′ ⇒ Ac ∈ κ ′
⇒ g −1 ( Ac ) ∈ κ
⇒ [g −1 ( A) ] c ∈ κ
⇒ g −1 ( A) ∈ τ
2.11. Teorem
(X, τ ) ve (Y, τ ′ ) iki fuzzy topolojik uzay ve g:X → Y bir fonksiyon olsun. g
fonksiyonu fuzzy sürekli ise, bu durumda A ≤ X fuzzy kümesi için g(A) ≤ Y kümesinin
her komşuluğunun ters görüntüsü A nın bir komşuluğudur [5].
28
İspat
g fuzzy sürekli olsun. Komşuluk tanımından B nin g(A) nın bir komşuluğu olması
için gerek ve yeter şart g(A) ≤ U ≤ B olacak biçimde U ∈ τ ′ nün var olmasıdır. Bu
ifadeye g −1 uygulanırsa g −1 (g(A)) ≤ g −1 (U) ≤ g −1 (B) olur. A ≤ g −1 (g(A)) ve g −1 (U)
açık olduğundan g −1 (U) ∈ τ ve A ≤ g −1 (U) ≤ g −1 (B) sağlanır. Böylece, g −1 (B) A nın
komşuluğu olur.
2.12. Teorem
(X, τ ) ve (Y, τ ′ ) iki fuzzy topolojik uzay ve g:X → Y bir fonksiyon olsun. Bu durumda
aşağıdaki ifadeler birbirine denktir.
i) g, fonksiyonu fuzzy süreklidir [5].
ii) τ ′ nün alt tabanına (ya da tabanına) ait her B kümesi için g −1 (B) ∈ τ olur [5].
İspat
(i) ⇒ (ii): g fonksiyonu fuzzy sürekli ve β ′ de τ ′ için bir taban olsun. Buna göre her
B ∈ τ ′ ve her p<B için p< B p ≤ B olacak biçimde B p ∈ β ′ vardır. g fonksiyonu fuzzy
sürekli
olduğundan,
g −1 (B) ∈ τ , g −1 (p) ≤ g −1 (B)
dir
ve
g −1 ( B p ) ∈ β ,
g −1 ( p ) ≤ g −1 ( B p ) ≤ g −1 ( B) sağlanır. Buradan g −1 (B) ∈ τ elde edilir.
(ii) ⇒ (i): Açıktır.
2.13. Teorem
(X, τ ) ve (Y, τ ′ ) iki fuzzy topolojik uzay ve g:X → Y bir fonksiyon olsun. Bu durumda
aşağıdaki ifadeler denktir.
i) g, fonksiyonu fuzzy süreklidir [1-5].
29
ii) Her A ≤ X fuzzy kümesi için g (A) ≤ g ( A) dir [1-5].
İspat
(i) ⇒ (ii): g fonksiyonu fuzzy sürekli olsun. Kapanış tanımından her A ≤ X için
g ( A ) ≤ g ( A) dır. Buradan A ≤ g −1 (g(A)) ≤ g −1 ( g ( A) ) dır. g ( A) , fuzzy kapalı ve g
nin sürekli olmasından, g −1 ( g ( A) ), X de fuzzy kapalıdır ve A kümesini kapsar.
Halbuki,
A
yı
kapsayan
en
dar
küme
A
dır.
O
halde
A ≤ A ≤ g −1 ( g ( A)) ⇒ g ( A) ≤ g ( A) olur.
ii) ⇒ (i) Her A ≤ X için g (A) ≤ g ( A) ve K ≤ Y herhangi bir kapalı küme olsun.
g −1 ( K ) ≤ X nin kapalı olduğunu gösterelim. Özel olarak A = g −1 (K) alırsak
A = g −1 ( K ) ⇒ g (A) = g( g −1 ( K ) ) ≤ g ( g −1 ( K )) ≤ K = K ⇒ g (A) ≤ K
olur. Diğer taraftan A ≤ g −1 ( g (A) ) ≤ g −1 (K) = A ⇒ A ≤ A dır. Böylece A = g −1 (K)
kapalıdır. Teorem 2.11 den dolayı g fuzzy süreklidir.
2.14. Teorem
(X, τ ), (Y, τ ′ ), (Z, τ ′′ ) fuzzy topolojik uzaylar ve g : X → Y , h : Y → Z fonksiyonları
verilmiş olsun. g ve h fonksiyonları fuzzy sürekli ise, h  g : X → Z fonksiyonu da
fuzzy süreklidir [1-5].
İspat
g : X → Y , h : Y → Z fuzzy sürekli ve her W ∈ τ ′′ olsun. h fonksiyonu fuzzy sürekli
olduğundan, fuzzy sürekli olma tanımından h −1 (W) ∈ τ ′ dir. Ayrıca, g fonksiyonu
fuzzy sürekli olduğundan, fuzzy sürekli olma tanımından h −1 (W) ∈ τ ′ için
−1
g −1 (h −1 (W)) ∈τ dir. Teorem 2.10 (vii) şıktan dan dolayı (h  g ) (W)= g −1 ( h −1 (W))
30
olduğunu biliyoruz. Bu ise h  g : X → Z fonksiyonunun fuzzy sürekli olması
demektir.
31
3. FUZZY SIRA BAĞINTILARI VE FUZZY RİESZ UZAYLARI
Bu bölümde fuzzy Riesz uzayı tanımı ve fuzzy Riesz uzayları ile ilgili bazı
teoremleri vereceğiz.
3.1. Fuzzy Sıralı Kümeler
3.1. Tanım (fuzzy sıralı küme)
X kesin küme (crisp set) olmak üzere, x,y,z∈X ve µ : X × X → [ 0,1] X × X in fuzzy
altkümelerinin üyelik fonksiyonu iken
1) µ ( x, x) =1
2) µ ( x, y ) + µ ( y, x ) > 1 ⇒ x = y
3) max ( min{µ ( x, y ) , µ ( y, z )}) ≤ µ ( x, z )
y
sağlanıyorsa, X e fuzzy sıralı küme denir ve ( X , µ ) veya kısaca X ile gösterilir [11].
3.2. Tanım (fuzzy sıralı kümede üst sınır, alt sınır, supremum, infimum)
A, X fuzzy sıralı kümesinin kesin kümesi olsun. A nın X üzerinde
1

, ∃ x ∈ A için µ ( x, y ) ≤
0
2
U ( A )( y ) = 
 ∧ µ ( x, y ) , diğer durumlarda
 x∈A
biçimde tanımlanan U(A) fuzzy kümesine A nın üst sınırı olur. A nın L(A) alt sınırı
1

, ∃ x ∈ A için µ ( x, y ) ≤
0
2
L ( A )( y ) = 
 ∧ µ ( y, x) , diğer durumlarda
 x∈A
32
biçiminde tanımlanan X üzerindeki fuzzy kümesidir. Bir z elemanı için z ∈ U ( A ) ve
y ∈ U ( A ) ⇒ y ∈ U ( z ) ( y ∈U ({z}) ) oluyorsa z ye A nın supremumu denir. Bir w
elemanı için w ∈ L ( A ) ve y ∈ L ( A ) ⇒ y ∈ L ( w ) ( y ∈ L ({w}) ) oluyorsa w ya A nın
infimumu denir [12].
3.3. Tanım (fuzzy sıralı kümede artan dizi, azalan dizi)
X fuzzy sıralı küme olsun. X in bir ( xn ) dizisi için m ≤ n iken µ ( xm , xn ) >
oluyorsa
( xn )
ye
artan
dizi
denir
ve
xn ↑
yazılır.
1
2
Ayrıca
x=
sup { xn : n ∈ IN } =
∨ xn mevcutsa xn ↑ x yazılır. Benzer olarak azalan dizi
n∈IN
inf { xn : n ∈ IN } =
∧ xn mevcutsa
tanımlanır ve böyle dizi için xn ↓ yazılır. x =
n∈IN
xn ↓ x yazılır [11].
3.4. Tanım (fuzzy sıralı kümede yakınsaklık ve limit)
X fuzzy sıralı kümesinde bir dizi ( xn ) ve x ∈ X olsun.
(a ) Her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
1
1
ve µ ( xn , bn ) >
2
2
(b) an ↑ x ve bn ↓ x
olacak biçimde X in (an ) ve (bn ) dizileri varsa ( xn ) dizisi x e fuzzy sıra bağıntısına
F
göre yakınsaktır veya kısaca (oF ) -yakınsak denir ve xn 
→ x yazılır. x elemanına
fuzzy sıra bağıntısına göre limiti denir ve x = (oF )- lim xn yazılır [10].
3.1. Önerme
Fuzzy sıra bağıntısına göre yakınsaklık aşağıdaki özelliklere sahiptir.
33
F
i) xn ↑ iken xn 
→ x ⇔ xn ↑ x ,
F
xn ↓ iken xn 
→ x ⇔ xn ↓ x ,
ii) Her ( F ) − yakınsak dizi sınırlıdır,
1
1
F
F
ve xn 
→ y ⇒ µ ( x, y ) > ,
→ x , yn 
2
2
iii) Her n ∈ IN için µ ( xn , yn ) >
F
F
iv) xn 
→ x ve xn 
→y ⇒ x= y,
F
v) xn 
→ x yakınsak ise, ( xn ) nin her bir alt dizisi aynı limite ( F ) -yakınsaktır.
vi) Her n ∈ IN için µ ( yn , xn ) >
1
1
F
F
ve µ ( xn , zn ) > ve yn 
→ x ve zn 
→x
2
2
F
ise xn 
→ x olur [10].
İspat
oF
i) ( ⇒ ) : xn 
→ x ve
( an )
ile ( bn ) önceki tanımdaki diziler olsun. xn ↑ iken
oF
xn 
→ x olduğundan her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
1
1
ve µ ( xn , bn ) > dir. Ayrıca
2
2
bn ↓ x olduğundan x ∈ L ({bn : n ∈ IN } ) olur. Buradan her n ∈ IN için µ ( x, bn ) >
1
2
sağlanır. (bn ) azalan bir dizi olduğundan sabit bir m ve herhangi bir n ≤ m için
1
2
1
2
µ (bm , bn ) > ve ayrıca µ ( xm , bm ) > dir. Geçişme özelliğinden her n ≤ m için
µ ( xm , bn ) >
1
1
sağlanır. n > m iken ( xn ) artan bir dizi olduğundan µ ( xm , xn ) > ve
2
2
ayrıca µ ( xn , bn ) >
1
1
dir. Geçişme özelliğinden µ ( xm , bn ) > elde edilir. m ∈ IN için
2
2
xm ∈ L ({bn : n ∈ IN } ) dir. x =
Böylece her
∧ bn olduğundan her m ∈ IN için xm ∈ L ( x ) olur.
n∈IN
m ∈ IN için µ ( xm , x) >
Ayrıca her m ∈ IN için µ (am , xm ) >
1
ve dolayısıyla x ∈ U ({ xm : m ∈ IN } ) dir.
2
1
1
olduğundan µ (am , y ) >
olur. O halde
2
2
34
y ∈ U ({am : m ∈ IN } )
x=
ve
x=
∨ an
n∈IN
olduğundan
y ∈ U ( x)
olur. Dolayısıyla
∨ xn yani xn ↑ x sağlanır.
n∈IN
( ⇐) :
xn ↑ x olsun ve her n ∈ IN için an = xn ve bn = x alalım. (an ) artan (bn )
azalan ve an ↑ x , bn ↓ x sağlanır. Üstelik her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
1
ve
2
1
o
µ=
( xn , bn ) µ ( xn , x) > dir. Tanım 3.4 den xn 
→ x olur. Azalan dizi durumu da
2
F
benzer şekilde yapılır.
oF
ii) xn 
→ x olsun. Her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
1
1
, µ ( xn , bn ) > ve an ↑ x , bn ↓ x
2
2
olacak biçimde (an ) ve (bn ) dizileri vardır. an ↑ olduğundan her n ∈ IN için
µ (a1 , an ) >
1
1
ve böylece a1 ∈ L ({an : n ∈ IN } ) dir. Her n ∈ IN için µ (an , xn ) > ⇒
2
2
µ (a1 , an ) >
1
olduğundan a1 ∈ L ({ xn : n ∈ IN } ) olur ki, bu ( xn ) dizisinin alttan
2
sınırlı olmasını verir. bn ↓ olduğundan b1 ∈ U ({bn : n ∈ IN } ) dir. Her n ∈ IN için
µ (bn , b1 ) >
1
olur. O halde b1 ∈ U ({ xn : n ∈ IN } ) dir ve böylece ( xn ) alttan sınırlıdır.
2
oF
iii) xn 
→ x ise, an ↑ x ve n ∈ IN için µ (an , xn ) >
(an ) dizisi vardır. Her n ∈ IN için µ ( xn , yn ) >
1
olacak biçimde X in bir
2
1
1
olduğundan µ (an , yn ) > olur.
2
2
oF
Yine yn 
→ y ise, bn ↓ y ve her n ∈ IN için µ ( yn , bn ) >
1
olacak biçimde X in
2
bir (bn ) dizisi vardır. Sabit bir m ∈ IN için n ≤ m iken (an ) nin artan olmasından
dolayı µ (an , am ) >
1
1
olur. Her m ∈ IN için µ (am , ym ) > olduğundan her n ≤ m için
2
2
35
µ (an , ym ) >
1
1
dir. Diğer yandan her m ∈ IN için µ ( ym , bm ) > olduğundan n ≤ m
2
2
iken µ (an , ym ) >
1
1
dır. n > m iken bn ↓ olmasından µ (bn , bm ) > olur. Her n > m
2
2
için µ ( yn , bn ) >
1
1
1
olduğundan µ ( yn , bm ) >
dır. µ (an , yn ) >
den dolayı her
2
2
2
n > m için µ (an , bm ) >
1
1
olur. Böylece her n ∈ IN için µ (an , bm ) > ; yani
2
2
bm ∈ U ({an : n ∈ IN } ) dır. x =
∨ an olduğundan bm ∈ U ( x) olur. m ∈ IN keyfi sabit
n∈IN
olduğundan her m ∈ IN için µ ( x, bm ) >
1
; yani x ∈ L ({bm : m ∈ IN } ) dır. y =
2
olması x ∈ L( y ) olmasını gerektirir. Dolayısıyla µ ( x, y ) >
iv) Her n ∈ IN için µ ( xn , xn ) >
durumda µ ( y, x) >
∧ bn
n∈IN
1
bulunur.
2
1
1
olduğu için (iii) den µ ( x, x) > olur. Tersi
2
2
1
dır. µ ( x, y ) + µ ( y, x) > 1 olması ve fuzzy sıra bağıntısının ters
2
simetri özelliğinden x = y elde edilir.
v) (an ) ve (bn ) tanımındaki özellikte verilen diziler olsun. Her n ∈ IN için
1
2
1
2
µ (an , xn ) > , µ ( xn , bn ) > ve an ↑ x , bn ↓ x dır. ( xn ) , ( xn ) nin bir alt dizisi iken
k
her nk ∈ IN için µ (ank , xnk ) >
Geriye
1
1
ve µ ( xnk , bnk ) >
dır ve ank ↑ x , bnk ↓ x olur.
2
2
ank ↑ x olduğunu göstermek kalır. Her
olduğundan x ∈ U
( {a
nk
k ∈ IN için µ (ank , y ) >
: k ∈ IN
})
dir. y ∈ U
( {a
nk
k ∈ IN
: k ∈ IN
})
için
µ (an , x) >
k
1
2
olsun. Bu durumda her
1
1
olduğundan her n ∈ IN için µ (an , y ) > olur. an ↑ x
2
2
36
olduğundan µ ( x, y ) >
1
; yani y ∈ U ( x) bulunur. Böylece x = ∨ ank bulunur. Benzer
2
k∈IN
oF
→ x sağlanır.
olarak bnk ↓ x dir. Dolayısıyla xnk 
oF
vi) yn 
→ x ise an ↑ x ve n ∈ IN için µ (an , yn ) >
1
olacak biçimde (an ) dizisi
2
oF
vardır. zn 
→ x ise, bn ↓ x ve her n ∈ IN için µ ( zn , bn ) >
1
olacak biçimde (bn )
2
dizisi vardır. Her n ∈ IN için
µ (an , yn ) >
1
1
1
ve µ ( yn , xn ) > ⇒ µ (an , xn ) >
2
2
2
dir ve
µ ( xn , zn ) >
1
1
1
ve µ ( zn , bn ) > ⇒ µ ( xn , bn ) >
2
2
2
oF
→ x elde edilir.
olur. Diğer yandan an ↑ x ve bn ↓ x olduğundan xnk 
3.2. Fuzzy Sıralı Vektör Uzayları
3.5. Tanım
X vektör uzayı olmak üzere x1 , x2 ∈ X için µ ( x1 , x2 ) >
1
iken
2
1) x ∈ X için µ ( x1 , x2 ) ≤ µ ( x1 + x, x2 + x)
2) 0 < α ∈ IR için µ ( x1 , x2 ) ≤ µ (α x1 , α x2 ) özelliklerini sağlayan fuzzy sıralı küme ise
X e fuzzy sıralı vektör uzayı denir [9].
37
Örnek 5
X = IR n olsun. µ : IR n × IR n → [ 0,1] dönüşümü x = ( x1 ,..., xn ) , y = ( y1 ,..., yn ) iken
x= y
1 ,
2

µ ( x, y )= 
, i= 1,..., n için xi ≤ yi ve x ≠ y
3
diğer durumlarda
 0 ,
biçiminde tanımlansın µ yansımalı ve ters simetriktir. µ nün geçişmeli olduğunu
gösterelim.
x = ( x1 ,...,
xn ) , z
=
( z1 ,..., zn ) ∈ X
olsun. z = x ise, µ ( x, z ) ≥
∨ [µ ( x, y) ∧ µ ( y, z )]
y∈ X
sağlanır. x ≠ z olması halinde iki durum vardır:
1) µ ( x, z ) =
2
=
iken her i = 1, 2,..., n için xi ≤ zi dir.
Bir y
3
( y1 ,..., yn ) ∈ X
için
y = x veya y = z ise
µ ( x, z ) ≥ µ ( x, y ) ∧ µ ( y , z )
sağlanır. y ≠ x ve y ≠ z ise, µ ( x, y ) ≤
Böylece
µ ( x, z ) ≥
∨ [µ ( x, y) ∧ µ ( y, z )]
y∈ X
olur.
(3)
2
2
ve µ ( y, z ) ≤ olduğundan (3) sağlanır.
3
3
38
2) µ ( x, z ) = 0 ve y ∈ X olsun. y = x veya y = z ise (3) ün sağlandığı açıktır.
y ≠ x ve y ≠ z olsun. µ ( x, y ) =
2
olduğundan her
3
µ ( x, z ) = 0 olduğundan en az bir
i = 1, 2,..., n için xi ≤ yi dir.
j = 1, 2,..., n için xi > zi olur. Aynı j için
z j < x j ≤ y j olduğundan µ ( y, z ) = 0 olur ve (3) sağlanır. µ ( x, y ) = 0 ise (3) ün
sağlandığı açıktır. Böylece
µ ( x, z ) ≥
∨ [µ ( x, y) ∧ µ ( y, z )]
y∈ X
elde edilir. O halde µ geçişkendir. Sonuç olarak, µ fuzzy sıra bağıntısıyla X = IR n
fuzzy sıralı kümedir.
X = IR n nin fuzzy sıralı vektör uzayı olduğunu gösterelim:
(i) x, y ∈ X için µ ( x, y ) >
1
olsun. x = y ise her z ∈ X için
2
x + z = y + z ⇒ µ ( x + z , y + z ) = 1 = µ ( x, y )
olur. x ≠ y ise µ ( x, y ) =
=
z
bir
( z1 ,..., zn ) ∈ X
2
dir ve her i = 1, 2,..., n için xi ≤ yi olur. Herhangi
3
ve
x + z = y + z ⇒ µ ( x + z, y + z ) =
(ii) x, y ∈ X ve µ ( x, y ) >
her
i = 1, 2,..., n
için
xi + zi ≤ yi + zi
2
olduğundan µ ( x, y ) ≤ µ ( x + z , y + z ) sağlanır.
3
1
olsun. x = y ise her 0 ≤ α ∈ IR için
2
α x= α y ⇒ 1= µ ( x, y ) ≤ µ (α x, α y )= 1
ve
39
olur. x ≠ y ise, µ ( x, y ) >
1
2
olduğundan µ ( x, y ) =
olur. Bu durumda her
2
3
i = 1, 2,..., n için xi ≤ yi ve 0 ≤ α ∈ IR iken α xi ≤ α yi olur. Aynı zamanda α x ≠ α y
dir. Böylece µ (α x, α y ) =
2
dür. α = 0 iken µ (α x, α y ) = 1 dir. O halde her
3
0 ≤ α ∈ IR için µ ( x, y ) ≤ µ (α x, α y ) olur. Sonuç olarak, µ fuzzy sıra bağıntısına
göre X = IR n fuzzy sıralı vektör uzayıdır [10].
Örnek 6
X , [ 0,1] üzerinde sürekli reel değerli fonksiyonların vektör uzay, yani X = C [ 0,1]
olsun. C [ 0,1] üzerinde
f =g
1 ,
3

,
µ ( f ,=
g) 
f ≤ g ve f ≠ g
4

 0 , diğer durumlarda
dönüşümünü tanımlayalım. µ nün yansımalı ve ters simetrik olduğu açıktır.
Geçişmeli olduğunu görmek için
f , h ∈ C[0,1]
alalım.
f =h
durumunda
geçişkenlik sağlanır. f ≠ h ise iki durumda söz konusudur.
1) µ ( f , h) =
3
olsun. Herhangi bir g ∈ C [ 0,1] için g = h veya g = f ise
4
µ ( f , h) ≥ µ ( f , g ) ∧ µ ( g , f )
sağlanır. g ≠ f ve g ≠ h olsun. µ ( f , h) ≤
sağlanır. Böylece
(4)
3
3
ve µ ( g , h) ≤
olduğundan (4)
4
4
40
µ ( f , h) ≥ ∨ [ µ ( f , g ) ∧ µ ( g , f ) ]
g
olur.
2) µ ( f , h) = 0 ve g ∈ X olsun. g = f veya g = h iken (4) sağlanır. g ≠ f ve
g ≠ h olsun. µ ( f , g ) =
3
ise, her x ∈ [ 0,1] için f ( x) ≤ g ( x) olur. µ ( f , h) = 0
4
olduğundan f ( x0 ) ≤ h( x0 ) olacak biçimde x0 ∈ [ 0,1] vardır. O halde h( x0 ) ≤ g ( x0 )
yani µ ( g , h) = 0 dır ve (4) sağlanır. Sonuç olarak µ geçişkendir.
Şimdi C ∈ [ 0,1] in µ ye göre fuzzy sıralı vektör uzayı olduğunu gösterelim.
(i) f , g ∈ C [ 0,1] ve µ ( f , g ) >
3
olsun. µ ( f , g ) = 1 ise
4
h ∈ C [ 0,1] için µ ( f + h, g + h) =
1 olur. µ ( f , g ) =
f = g olduğundan her
3
ise f ≤ g ve f ≠ g dir. Bu
4
3
durumda her h ∈ C [ 0,1] için f + h ≠ g + h olduğundan µ ( f + h, g + h) = olur.
4
Böylece her f , g , h ∈ C [ 0,1] için
µ ( f , g ) ≤ µ ( f + h, g + h )
sağlanır.
(ii) f , g ∈ C [ 0,1]
ve
µ( f , g) >
µ (α f , α g ) = 1 dir. µ ( f , g ) >
1
2
olsun.
µ( f , g) = 1
0 ≤ α ∈ IR
ise
için
3
ise f ≤ g ve f ≠ g olmasından her 0 ≤ α ∈ IR
4
için α f ≤ α g ve α f ≠ α g olur ki, bu durumda µ (α f , α g ) =
3
sağlanır. α = 0
4
için µ (α f , α g ) = 1 dir. Böylece her bir durum için 0 ≤ α ∈ IR iken
41
µ ( f , g ) ≤ µ (α f , α g )
sağlanır. Sonuç olarak C [ 0,1] , µ fuzzy sıralı bağıntısıyla birlikte fuzzy sıralı vektör
uzayıdır [10].
Not
µ ( x1 , y1 ) >
1
2
µ ( x1 , y1 ) >
1
1
ve
⇒ µ ( x1 + x2 , y1 + x2 ) >
2
2
ve
µ ( x2 , y2 ) >
1
2
⇒ µ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) >
µ ( x2 , y2 ) >
dir. Geçişme özelliğinden µ ( x1 + x2 , y1 + y2 ) >
1
2
dir.
Gerçekten
1
1
⇒ µ ( y1 + x2 , y1 + y2 ) >
2
2
1
olur [7].
2
3.2. Önerme
X fuzzy sıralı vektör uzayı x, x1 , x2 ∈ X ve α , β ∈ IR olmak üzere aşağıdakiler
sağlanır.
a)
µ (0, x) >
1
1
1
ve µ (0, y ) > ⇒ µ (0, x + y ) >
2
2
2
b)
µ (0, x) >
1
1
ve µ (0, − x) > ⇒ x = 0
2
2
c)
µ (0, x) >
1
1
ve α ≥ 0 ⇒ µ (0, α x) >
2
2
d)
µ ( x, y ) >
1
1
ve α ≤ 0 ⇒ µ (α x, α y ) >
2
2
e)
µ (0, x) >
1
1
ve α ≤ β ⇒ µ (α x, β y ) >
[10].
2
2
İspat
a) Yukarıda verilen nottan sağlanır.
42
b) µ (0, − x) >
1
⇒
2
µ (0, − x) ≤ µ (0 + x, x − x) ⇒
µ ( x, 0) >
1
olduğundan ters
2
simetri özelliğinden x = 0 olur.
c) Fuzzy sıralı vektör uzayı tanımının ikinci özelliğinden sağlanır.
µ ( x, y ) >
d)
µ (α y, α x) >
e) µ (0, x) >
1
1
⇒ µ (0, y − x) > dir. α ≥ 0 olduğundan
2
2
1
2
µ (0, α x − α y ) >
⇒
1
olur.
2
1
1
1
ve α ≤ β ⇒ < µ (0, x) ≤ µ (0, β y − α x) ⇒ µ (α x, β y ) > olur.
2
2
2
3.3. Önerme
{x }
j
, fuzzy sıralı vektör uzayındaki elemanların bir sistemi olsun.
j∈J
j∈J
∧ (− x ) de vardır ve ∨ x
j
j∈J
∨x
j∈J
j
j
varsa,
=
− ∧ (− x j ) sağlanır [10].
j∈J
İspat
a = ∨xj
alalım
j∈J
µ ( − a, − x j ) >
a ∈ U ({x j : j ∈ J })
veya her
j∈J
için
µ ( x j , a) >
1
⇒
2
1
olduğundan −a ∈ L({− x j : j ∈ J }) olur. x ∈ L({− x j : j ∈ J }) olsun.
2
Her j ∈ J için − x ∈ U ({x j : j ∈ J }) olur. a = ∨ x j olduğundan − x ∈ U (a ) dir. Yani
j∈J
µ ( a, − x ) >
olur.
1
1
dolayısıyla µ (− x, a ) > ⇒ x ∈ L(−a ) olur. Böylece −a=
2
2
∧ (− x )
j∈J
j
43
3.4. Önerme
Bir fuzzy sıralı vektör uzayının elemanlarının iki sistemi { x j }
∨x
j∈J
j
ve
∨
k∈K
yk varsa
∨
j∈J , k∈K
( x j + yk ) da vardır ve
∨
j∈J , k∈K
j∈J
ve { xk }k∈K olsun.
( x j + yk )=
∨ x + ∨y
j∈J
j
K ∈k
k
sağlanır [10].
İspat
a = ∨ x j ve b =
j∈J
µ ( x j , a) >
∨
k∈K
yk olsun. Her j ∈ J ve k ∈ K için
1
1
1
ve µ ( yk , b) > ⇒ µ ( x j + yk , a + b) >
2
2
2
⇒ a + b ∈U
olur.
Herhangi
bir
z ∈U
({ x
j
({ x
j
+ yk : j ∈ J ve k ∈ K }
+ yk : j ∈ J ve k ∈ K }
)
için
)
µ ( x j + yk , z ) >
1
2
olduğundan k yı sabit alarak her j ∈ J için
µ ( x j , z − yk ) >
1
⇒ z − yk ∈ U
2
({ x
j
)
: j ∈ J } ⇒ z − yk ∈ U ( a )
elde edilir. Böylece her k ∈ K için µ (a, z − yk ) >
1
1
⇒ µ ( yk , z − a ) > olduğundan
2
2
z − a ∈ U ({ yk : k ∈ K } ) olur. O halde
z − a ∈ U (b) ⇒ µ (b, z − a ) >
a+b
olduğundan=
∨
j∈J , k∈K
1
1
⇒ µ ( a + b, z ) > ⇒ z ∈ U ( a + b )
2
2
(x j + y k ) eşitliği elde edilir.
44
Benzer önerme en büyük alt sınır için de verilebilir.
3.5. Önerme
X fuzzy sıralı vektör uzayının elemanlarının bir sistemi { x j }
0 < α ∈ IR ise,
j∈J
olsun.
∨x
j
var ve
0 < α ∈ IR
iken
j∈J
∨ (α x ) de vardır ve ∨ (α x ) = α ( ∨ x ) sağlanır [10].
j
j∈J
j
j∈J
j∈J
j
İspat
a = ∨ xj
j∈J
alınırsa, her
µ (α x j , α a) >
µ(x j ,
1
α
x) >
j∈J
µ ( x j , a) >
için
(
)
1
2
olur.
(
)
1
⇒ α a ∈ U {α x j : j ∈ J } dir. x ∈ U {α x j : j ∈ J } ve 0 < α iken
2
1
1
(∀j ) ⇒
x ∈U
2
α
({ x
⇒ µ (α a, x) >
=
α a α=
(∨ x j )
olduğundan
j∈J
j
)
: j ∈ J} ⇒
1
α
x ∈ U ( a ) ⇒ µ (α ,
1
α
x) >
1
⇒ x ∈ U (α a )
2
∨ (α x ) bulunur.
j∈J
j
3.6. Önerme
∨x
j∈J
j
var ve 0 < α ise,
∧ (α x ) de vardır ve ∧ (α x ) = α ( ∨ x ) sağlanır.
j∈J
j
j
j∈J
j∈J
İspat
−α > 0 olduğundan bir önceki önermeden
∨ ((-α )x ) vardır ve
j∈J
j
j
1
2
45
−(α ( ∨ x ))
(−α )( ∨ x ) =
∨ ((-α )x ) =
j∈J
j
j∈J
j
sağlanır. Önerme 3.3 den
j∈J
j
α (∨ x j )
⇒ − ∨ (-α x j ) =
j∈J
∧ (α x ) = α ( ∨ x )
j∈J
j
j∈J
j
j∈J
elde edilir [10].
3.7. Önerme
Bir fuzzy sıralı vektör uzayında aşağıdakiler sağlanır.
oF
oF
oF
(a) xn 
→x+ y
→ x ve yn 
→ y ⇒ xn + yn 
oF
oF
(b) xn 
→ α x [10].
→ x ve α ∈ IR ⇒ α xn 
İspat
(a) (oF ) -yakınsaklık tanımından her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
µ (an′ , yn ) >
1
1
, µ ( xn , bn ) > ,
2
2
1
1
ve µ ( yn , bn′ ) > olacak biçimde (an ) , (bn ) , (an′ ) , (bn′ ) dizileri vardır
2
2
ve an ↑ x , bn ↓ x , an′ ↑ y , bn′ ↓ y sağlanır. Her n için
µ (an , xn ) >
1
1
1
ve µ (an′ , yn ) > ⇒ µ (an + an′ , xn + yn ) >
2
2
2
µ ( xn , bn ) >
1
1
1
ve µ ( yn , bn′ ) > ⇒ µ ( xn + yn , bn + bn′ ) >
2
2
2
dir. Ayrıca (an + an′ ) artan ve (bn + bn′ ) azalandır. Geriye x +=
y
x +=
y
∧ (b
n∈IN
µ (an′ , yn ) >
n
∨ (a
n∈IN
n
+ an′ ) ve
+ bn′ ) olduğunu göstermek kalır. Her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
1
1
⇒ µ (an + an′ , x + y ) >
2
2
olduğundan
1
ve
2
x + y ∈ U ({an + an′ : n ∈ IN } )
olur. z ∈ U ({an + an′ : n ∈ IN } ) alınırsa, her n ∈ IN için µ (an + an′ , z ) >
1
olduğundan
2
46
her m, n ∈ IN için µ (am + an′ , z ) >
1
dir. n sabit ve
2
1
2
µ (am + an′ , an + an′ ) > dir. Ayrıca µ (am + an′ , z ) >
m ≤ n iken µ (am , an ) >
1
⇒
2
1
olur. Diğer yandan, m > n ise
2
(an′ ) artan olduğundan
µ (am′ , an′ ) >
dir.
1
1
⇒ µ (am + an′ , am + am′ ) >
2
2
1
µ (am + am′ , z ) >
2
Ayrıca
olduğundan
yine
geçime
µ (am + an′ , z ) >
1
olur. n keyfi sabit olduğundan her m, n ∈ IN için
2
µ (am + an′ , z ) >
1
⇒ z ∈ am + an′ : m, n ∈ IN
2
elde edilir.
∨
m∈IN
({
∨
a m ve
n∈IN
a n′ nün varlığı
}) ⇒ z ∈U 
∨
m , n∈IN
özelliğinden

(am + an′ ) 
m , n∈IN

∨
(am + an′ ) nun varlığını garanti eder
ve böylece Önerme 3.4 den
∨
m , n∈IN
(am + an′ ) =∨ a m +
m∈IN
∨
n∈IN
a n′ =x + y
olur. Böylece z ∈ U ( x + y ) ve dolayısıyla
x +=
y
∨ (a
n∈IN
y
yöntemle x +=
∧ (b
n∈IN
n
n
+ an′ ) sağlanır. Benzer
oF
+ bn′ ) sağlanır. O halde xn + yn 
→ x + y olur.
oF
(b) xn 
→ x ise, an ↑ x , bn ↓ x ve her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
1
1
, µ ( xn , bn ) >
2
2
olacak biçimde (an ) ve (bn ) dizleri vardır. α > 0 iken her
n ∈ IN için
47
µ (α an , α xn ) >
µ (am , an ) >
1
1
ve µ (α xn , α bn ) >
olur. (an ) artan olduğundan m ≤ n iken
2
2
1
1
⇒ µ (α am , α an ) > den (α an ) de artandır. Benzer yolla (α bn ) nin
2
2
azalan dizi olduğu gösterilir. Önerme 3.5 den
(α a )
∨=
n∈IN
n
α=
( ∨ an ) α x ve ∧=
(α bn ) α=
( ∧ bn ) α x
n∈IN
n∈IN
n∈IN
oF
dir. O halde α xn 
→ α x olur. α < 0 ise, her n ∈ IN için µ (an , xn ) >
µ ( xn , bn ) >
1
⇒
2
µ (α bn , α xn ) >
1
2
ve
µ (α xn , α an ) >
1
olur.
2
1
ve
2
(bn ) azalan
olduğundan (α bn ) artan, (an ) artan olduğundan (α an ) azalandır. Önerme 3.6 dan
(α b )
∨=
n∈IN
n
α=
( ∧ bn ) α x ve
n∈IN
(α a )
∧=
n∈IN
n
( ∨ an ) α x
α=
n∈IN
oF
dır. O halde α xn 
→ α x olur. α = 0 durumu ise aşikardır.
3.6. Tanım (fuzzy sıralı kümede yönlendirilmiş küme)
D, X fuzzy sıralı kümesinin alt kümesi olmak üzere D nin her F sonlu alt kümesi için
D ∩ U ( F ) ≠ ∅ ve D ∩ L ( F ) ≠ ∅ oluyorsa D ye yönlendirilmiş küme denir [9].
3.7. Tanım (yönlendirilmiş fuzzy sıralı vektör uzayı, fuzzy Arşimedyan uzay)
(a) Yönlendirilmiş küme olan fuzzy sıralı vektör uzayına yönlendirilmiş fuzzy sıralı
vektör uzayı denir [12].
(b) X yönlendirilmiş fuzzy sıralı vektör uzayındaki herhangi bir negatif olmayan
x∈ X
elemanı için {α x : 0 < α ∈
IR} kümesi üstten sınırlı değilse, X e fuzzy
Arşimedyan uzay denir [12].
48
3.1. Teorem
X yönlendirilmiş fuzzy sıralı vektör uzayının, fuzzy Arşimedyan uzay olması için
gerek ve yeter şart
α n → α iken
1
µ (α n x, y ) > olacak biçimde x, y ∈ X için
2
1
2
µ (α x, y ) > olmasıdır [12].
İspat
X fuzzy Arşimedyan uzay ve {α n } , α n → α olacak biçimde reel sayıların artan bir
(
)
dizisi olsun, yani α n ↑ α α = ∨ α n olsun. Her n için ε n= α − α n alınırsa 0 ≤ ε n ↓ .
Gerçekten,
m≤n
n N
⇒αm ≤ αn
⇒
α − αm ≥ α − αn
⇒
ε m ≥ ε n dir. Ayrıca
inf ε n =
inf (α − α n ) =
α − sup α n =0 olur, yani ε n ↓ 0 dir. O halde her 0 ≤ z ∈ X için
1
ε n 0
z ↓ . Her x, y ∈ X için n ∈ IN iken µ (α n x, y ) > ise X yönlendirilmiş olduğu
2
için
1
2
µ ( x, z ) > olacak biçimde pozitif bir z ∈
X in varlığı düşünüldüğünde
α x − y=
(α n + ε n ) x − y= (α n x − y ) + ε n x
µ (α x − y , ( α n x − y ) + ε n x ) >
1
2
ve
dolayısıyla
her n ∈ IN
için
1
2
olmasından,
her
n ∈ IN için
µ (α x − y, ε n x ) > olur. Ayrıca µ ( x, z ) > ve ε n ≥ 0 ⇒ µ ( ε n x, ε n z ) >
1
olduğundan
2
µ (α n x − y + ε n x, ε n x ) >
1
2
sağlanır.
olur.
1
2
n ∈ IN iken µ (α x − y, ε n z ) >
Yani
Üçgen
1
2
µ (α n x, y ) >
eşitsizliğinden
1
, yani ( α x − y ) ∈ L ({ε n z : n ∈ IN } ) olur. Böylece
2
(α x − y ) ∈ L(0) ⇒ µ (α x − y, 0) >
1
1
⇒ µ (α n x, y ) >
elde edilir. α n ↓ α olsun. Bu
2
2
durumda −α n ↓ −α olur. α n x =
( −α n )( − x ) eşitliği ele alındığında yukarıdaki ispattan
49
µ ( (-α )(− x), y ) >
1
1
⇒ µ (α n x, y ) >
bulunur. Son olarak {α n } monoton değilse
2
2
α k → α olacak biçimde {α n } nin monoton bir {α kn } alt dizisi vardır ve bu alt dizisi
n
üzerinde yapılan ispatla µ (α n x, y ) >
1
bulunur.
2
Tersine her 0 < α ∈ IR için µ (α n x, y ) >
olduğundan
her
n ∈ IN için
1
 1
ise µ  x,
2
 α
 1
1
 1
y  > ⇒ µ  (− y), −x  >
 2
α
 2
1
 1
µ  (− y), −x  >
α
 2
ve
1
→0
n
olduğundan
1
1
µ ( 0 ( − y ) , − x ) > ⇒ µ ( x, 0) > elde edilir, yani x negatif olur. O halde x ∈ X için
2
2
{α x : 0 < α ∈ IR}
üstten sınırlı ise, x negatif olur ki bu x in fuzzy Arşimedyan uzay
olması demektir.
3.3. Fuzzy Riesz Uzayları
3.8. Tanım (fuzzy pozitif, fuzzy negatif elemanlar)
1
X fuzzy sıralı vektör uzayındaki bir x elemanı için µ (0, x) > oluyorsa x e fuzzy
2
1
pozitif, µ ( x, 0) > oluyorsa x e fuzzy negatif denir. X in tüm fuzzy pozitif
2
elemanlarının kümesi X + ile fuzzy negatif elemanlarının kümesi X − gösterilir [9].
3.9. Tanım (fuzzy Riesz uzayı)
X fuzzy sıralı vektör uzayının sonlu her altkümesinin supremumu ve infumumu varsa
(yani X e aitse), X e fuzzy Riesz uzayı denir [9].
50
Örnek 7
X = IR 2 olsun. x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) olmak üzere
 1
3 4

µ : X × X → [ 0,1] ; µ ( x, y ) = 
2 3
 0
,
x= y
, x1 ≤ y1 , x2 ≤ y2 ve x ≠ y
,
x1 < y1 ve x2 > y2
,
diğer durumlarda
dönüşümünü tanımlayalım. Pozitif elemanların kümesi,
P = {( x, y ) ∈ IR 2 : x ≥ 0 ve y ≥ 0} ∪ {( x, y ) ∈ IR 2 : x > 0 ve y < 0}
ve negatif elemanların kümesi,
Q = {( x, y ) ∈ IR 2 : x ≤ 0 ve y ≤ 0} ∪ {( x, y ) ∈ IR 2 : x < 0 ve y > 0}
dir. µ bağıntısı yansımalı ve ters simetriktir. Geçişme özelliğinin sağlandığını
görelim. x, z ∈ X olsun. Dört durum söz konusudur:
(i) µ ( x, z ) = 1 iken x ≠ z dir.
µ ( x, z ) ≥ ∨ [ µ ( x, y ) ∧ µ ( y , z ) ]
y
(5)
olur.
(ii) µ ( x, z ) =
3
iken x ≠ z dir. Herhangi bir y ∈ X için y = x veya y = z ise
4
µ ( x, z ) ≥ µ ( x, y ) ∧ µ ( y , z )
(6)
51
sağlanır. y ≠ x ve y ≠ z ise,
µ ( x, y ) ≤
3
3
ve µ ( y, z ) ≤ olur. Bu durumda (6)
4
4
sağlanır. O halde (5) bu durumda da sağlanır.
(iii) µ ( x, z ) =
2
iken x1 < z1
3
ve x2 > z2 dir. y = x veya y = z ise (6) sağlanır.
µ ( x, y ) =
3
olduğundan x1 ≤ y1 ve x2 ≤ y2 dir. Böylece y2 ≥ z2 olur. O halde
4
µ ( y, z ) ≤
2
2
ve tekrar (6) sağlanır. µ ( x, y ) <
ise (6) sağlanır. Bu durumda (5)
3
3
sağlanır.
(iv) µ ( x, z ) = 0 iken x1 ≥ z1 dir. x1 = z1 ise, x2 > z2 olur. Herhangi bir y ∈ X için,
y = x veya y = z olduğundan (6) bağıntısının doğruluğu açıktır.
olsun. µ ( x, y ) =
y ≠ x ve y ≠ z
3
ise x1 ≤ y1 ve x2 ≤ y2 dir. Dolayısı ile y1 ≥ z1 ve y2 > z2 olur.
4
Böylece µ ( y, z ) = 0 ve (6) sağlanır. µ ( x, z ) =
2
ise x1 < y1 veya x2 > y2 dir. Bu
3
durumda y1 > z1 ve µ ( y, z ) = 0 olur. O halde x1 = z1 iken herhangi bir y ∈ X için (6)
sağlanır. x1 > z1 ve y ∈ X olsun. µ ( x, y ) = 1 ise (6) sağlanır. µ ( x, y ) =
3
ise x1 ≤ y1 ve
4
x2 ≤ y2 olur. Bu y1 > z1 olduğunu gösterir. O halde µ ( y, z ) = 0 dır ve (6) sağlanır.
µ ( x, y ) =
2
ise x1 < y1 ve x2 > y2 dır. Bu durumda y1 > z1 olur ve µ ( y, z ) = 0
3
sağlanır. Böylece herhangi bir y ∈ X için (6) sağlanır. Sonuç olarak (5) bu durumda
da sağlanır. Böylece µ bağıntısı geçişkendir.
X = IR 2 koordinat cebir işlemleriyle reel vektör uzaydır. µ fuzzy sıra bağıntısıyla
IR 2 fuzzy sıralı vektör uzayıdır. Gerçekten
i) x, y ∈ IR 2 için µ ( x, y ) =
buradan
1
olsun. x = y ise her z ∈ X için x + z = y + z ve
2
52
µ ( x, y ) ≤ µ ( x + z , y + z )
sağlanır. µ ( x, y ) =
(7)
3
ise x1 ≤ y1 , x2 ≤ y2 ve x ≠ y olur. Herhangi bir z için
4
3
x1 + z1 ≤ y1 + z1 ve x2 + z2 ≤ y2 + z2 ve x + z ≠ y + z olduğundan µ ( x + z , y + z ) =
4
ve böylece (7) sağlanır. µ ( x, y ) =
2
ise x1 < y1 ve x2 > y2 dir. Herhangi bir z ∈ X
3
2
için x1 + z1 < y1 + z1 ve x2 + z2 > y2 + z2 olduğundan µ ( x + z , y + z ) = ve böylece
3
(7) sağlanır.
1
olsun. µ ( x, y ) = 1 ise x = y ve her 0 ≤ α ∈ IR için
2
ii) x, y ∈ X için µ ( x, y ) >
α x = α y olduğundan µ (α x, α y ) = 1 olur. Böylece her 0 ≤ α ∈ IR için
µ ( x, y ) ≤ µ (α x, α y )
olur. µ ( x, y ) =
(8)
3
ise x1 ≤ y1 , x2 ≤ y2 ve x ≠ y olur. Herhangi bir 0 < α ∈ IR için
4
α x ≠ α y olduğundan µ (α x, α y ) =
α x1 ≤ α y1 , α x2 ≤ α y2 ,
3
olur. α = 0 ise
4
α x= 0= α y ⇒ µ (α x, α y ) = 1 dır. O halde (8) sağlanır. µ ( x, y ) =
2
ise x1 < y1 ve
3
x2 > y2 dir. Herhangi bir 0 < α ∈ IR için α x1 < α y1 ve α x2 > α y2 ve böylece
µ (α x, α y ) =
2
olur. α = 0 ise, α x= 0= α y ve böylece µ (α x, α y ) = 1 olur ve (8)
3
sağlanır. Böylece µ fuzzy sırası ile X = IR 2 fuzzy sıralı vektör uzayıdır.
Geriye IR 2 nin bir sonlu alt kümesinin supremum ve infimuma sahip olduğunu
göstermek kalır. A =
{x : x =
i
i
(ai , bi ) ∈ IR 2 , i = 1,..., n} sonlu alt kümesini alalım ve
{
=
a sup
=
{ai : i 1,..., n} olsun. (a, bi1 ),..., (a, bim ) ∈ A ise, b = inf bi1 ,..., bim
}
olsun.
53
n
=
a′ inf
=
∨ xi =
supA sağlanır. Benzer olarak,
(a, b) ∈ A dir ve (a, b) =
{ai : i 1,..., n}
i =1
ve
(a′, bk1 ),..., (a′, bkl ) ∈ A
ise,
{
b′ = sup bk1 ,..., bkl
n
(a′, b′) =
∧ xi =
inf A sağlanır. Sonuç olarak,
i =1
}
olsun.
(a′, b′) ∈ A
ve
IR 2 µ fuzzy sırası ile fuzzy Riesz
uzayıdır [11].
3.2. Teorem
1

Bir X fuzzy Riesz uzayında µ  x + y , x + y >  sağlanır [9].
2

İspat
x+ +y+ ) >
µ ( ( x + y )+ , 1
ve µ
2
(( x + y )
−
, +
x− y− ) >
⇒ µ ( ( x + y )+ + ( x + y )− , x+ + x− + y+ + y− ) >
⇒ µ ( x + y , x + y )>
1
2
1
2
1
2
3.1. Lemma
Bir X fuzzy Riesz uzayında herhangi üç pozitif eleman
µ ( x ∧ ( x1 + x2 ) , x ∧ x1 + x ∧ x2 ) >
x, x1 , x2
1
sağlanır [9].
2
İspat
y =x ∧ ( x1 + x2 ) olsun. Bu durumda µ ( y, x1 + x2 ) >
1
ve y pozitiftir. O halde
2
için
54
y= y1 + y2 olacak biçimde iki pozitif y1 ve y2 elemanı için µ ( y1 , x1 ) >
µ ( y2 , x2 ) >
µ ( y2 , x ) >
1
,
2
1
1
1
x >
sağlanır. µ ( y, )
ve y= y1 + y2 olduğundan µ ( y1 , x ) >
ve
2
2
2
1
2
(
µ yi , x ∧ xi ) >
olur.
Böylece
i = 1, 2
yi ∈ L ({ x, xi } ) ⇒ yi ∈ L ( x ∧ xi ) ⇒
için
1
1
1
x ∧ xi ) > olduğundan µ ( y1 + y2 , x ∧ x1 + x ∧ x2 ) > elde
⇒ µ ( yi , 2
2
2
edilir.
3.10. Tanım (fuzzy pozitif operatör)
X fuzzy sıralı vektör uzayını Y fuzzy sıralı vektör uzayına dönüştüren bir U
operatörü, η Y üzerinde fuzzy sıra olmak üzere,
µ ( x, 0) > iken η ( 0, U ( x ) ) ≥ µ ( 0, x )
1
2
şartını sağlıyorsa U ya fuzzy pozitif operatör denir [12]
• U : X →Y
toplamsal
fuzzy
pozitif
operatör
ise
1
2
µ ( x1 , x2 ) > iken
η
(U ( x1 ) ,U ( x2 ) ) ≥ µ ( x1 ,x2 ) sağlanır.
• X ile Y iki fuzzy Riesz uzayı ve U : X → Y toplamsal fuzzy pozitif operatörse
(
)
Teorem 3.2 den η U ( x+ ) − U ( x− ) , U ( x+ ) + U ( x− ) >
(
)
iken η U ( x ) , U ( x ) >
1
sağlanır. Böylece x ∈ X
2
1
olur.
2
3.2. Lemma
X bir fuzzy Riesz uzayı ve Y bir fuzzy Arşimedyan uzay olsun U : X → Y toplamsal
55
fuzzy pozitif operatör ise U operatörü homojendir [12].
İspat
𝛼 her hangi bir reel sayı olsun. Bu durumda an ↑ α ve bn ↓ α olacak biçimde
{an }n∈IN ve {bn }n∈IN rasyonel sayı dizileri mevcuttur. Herhangi bir sıfırdan farklı
pozitif x ∈ X
için
η (U ( an x ) ,U (α x ) ) >
µ ( an x, α x ) >
1
2
1
2
η (U (α x ) ,U ( bn x ) ) >
µ ( ( anU ( x ) ,U (α x ) ) >
η (α U ( x ) , U ( α x ) ) >
1
2
ve
ve
ve
1
µ (α x, b n x) >
2
µ (U (α x ) , bnU ( x ) ) >
1
2
1
2
olsun. Bu durumda
sağlanır.
Böylece
olur. Teorem 3.1 den
1
1
ve η (U (α x ) , αU ( x ) ) > ve dolaysıyla U (α x ) = αU ( x)
2
2
sağlanır.
3.3. Lemma
X bir fuzzy Riesz uzayı ve Y bir vektör uzay olsun.
U ( x + y=
) U ( x ) + U (y)
olacak
biçimdeki
x, y ∈ X +
U : X + → Y operatörünün
bir
iken
tek
V : X → Y genişlemesi vardır. Üstelik her x ∈ X için
=
V ( x ) U ( x+ ) − U ( x− )
(9)
sağlanır [12].
İspat
(9) eşitliği X fuzzy Riesz uzayı üzerinde bir toplamsal operatör tanımlar. Gerçekten,
x ∈ X alınırsa X in
56
( x + y )+ + a =
x+ + y+ ve
( x + y )− + a =
x− + y−
şartlarını sağlayan a ≥ 0 elemanı vardır. Böylece
U ( x + y )+ + U ( a ) =
U ( x+ ) + U ( y+ ) ve U ( x + y )− + U ( a=
) U ( x− ) + U ( y− ) olur.
Dolayısıyla V ( x + y =
) V ( x ) + V ( y ) sağlanır. Aynı zamanda V, U operatörünün tek
genişlemesidir.
f ve g X fuzzy Riesz uzayı üzerinde iki lineer fonksiyonel olsun. X in cebirsel duali
üzerinde sıralama bağıntısı
f ≤ g ⇔ g − f fuzzy pozitif
biçiminde tanımlanır.
3.3. Teorem
f X fuzzy Riesz uzayı üzerinde tanımlanan fuzzy pozitif lineer fonksiyonel, X * X in
cebirsel
duali
olmak
üzere,
herhangi
x∈ X
bir
için
f ( x+ ) =
sup { g ( x ) : g ∈ X * , 0 ≤ g ≤ f } olur [12].
İspat
{
}
Herhangi bir a ∈ X için sup g ( a ) : g ∈ X * , 0 ≤ g ≤ f ≤ f ( a ) ≤ f ( a+ ) sağlanır.
X+
üzerinde
U
=
( x ) sup { f ( x ∧ α a+ ) : 0 ≤ α ∈ IR}
biçiminde
tanımlanan
U
fonksiyonu toplamsaldır. Gerçekten herhangi bir α ≥ 0 için. Lemma 3.1 den
µ ( ( x1 + x2 ) ∧ α a+ , ( x1 ∧ α a+ ) + ( x2 ∧ α a+ ) ) >
1
sağlanır. Bu durumda η IR üzerinde
2
1
f ( x ∧ α a ) + f ( x ∧ α a )) >
( ( ( x + x ) ∧ α a ) , 2
fuzzy sıralama bağıntısı iken η f
1
2
+
1
+
2
+
57
ve dolayısıyla η (U ( x1 + x2 ) , U
( x1 ) + U ( x2 ) ) >
1
olur. Diğer yandan. Önerme 3.4
2
den α1 , α 2 ≥ 0 iken µ ( ( x1 ∧ α1a+ ) + ( x2 ∧ α 2 a+ ) , ( x1 + x2 ) ∧ (α1 + α 2 ) a+ ) >
(
Bu durumda η f ( x1 ∧ α1a+ ) + f ( x2 ∧ α 2 a+ ) , f
dolayısıyla
η ( (U ( x1 ) + U ( x2 ) ) , U ( x1 + x2 ) ) >
(( x
1
1
2
1
sağlanır.
2
)
+ x2 ) ∧ (α1 + α 2 ) a+ ) >
olur.
Böylece
1
2
ve
U ( x1 + x2 ) =
U ( x1 ) + U ( x2 ) elde edilir. Lemma 3.3 den U nun X üzerinde tanımlı bir V toplamsal
operatörüne tek genişlemesi vardır. x ∈ X + iken V=
( x ) U ( x ) ≤ f ( x ) olduğundan
V ≤ f olur. Bu durumda 0 ≤ V ≤ f ve V ∈ X * elde edilir. V ( a− ) = 0 olmasından
dolayı
V (=
a ) U ( a=
f ( a+ ) < sup { g ( x ) : g ∈ X * , 0 ≤ g ≤ f }
+)
{
}
olur. O halde f ( a+ ) < sup g ( x ) : g ∈ X * , 0 ≤ g ≤ f sağlanır.
3.11. Tanım (yeten küme)
S X fuzzy Riesz uzayı üzerinde fuzzy pozitif lineer fonksiyonellerin bir kümesi
olmak üzere, sıfırdan farklı herhangi bir x ∈ X için f ( x ) ≠ 0 olacak biçimde f ∈ S
varsa S ye yeten küme denir [12].
3.4. Teorem
X fuzzy Riesz uzayı, üzerindeki fuzzy pozitif lineer fonksiyonellerin yeten kümesiyle
verilsin ve a ∈ X olsun. Her fuzzy pozitif lineer f fonksiyoneli için η ( 0, f ( a ) ) >
ise µ ( 0, a ) >
1
sağlanır.
2
1
2
58
İspat
f ve g X üzerinde fuzzy lineer fonksiyoneller ve 0 ≤ g ≤ f iken η ( g ( a ) , f ( a ) ) >
1
2
olsun. Teorem 3.3 den her fuzzy pozitif lineer f fonksiyoneli için f ( a+ ) = f ( a ) olur.
X üzerinde fuzzy pozitif lineer fonksiyonellerin bir yeten kümesi var olduğundan
a+ = a sağlanır. Böylece µ ( 0, a ) >
1
sağlanır.
2
3.12. Tanım (başlıca (majorizing) alt vektör uzay)
Z, X fuzzy Riesz uzayının alt vektör uzayı olmak üzere, herhangi bir x ∈ X için
µ ( x1 , x ) >
1
2
ve µ ( x, x2 ) >
1
2
olacak biçimde
x1 , x2 ∈ Z varsa Z ye başlıca
(majorizing) alt vektör uzay denir [12].
3.5. Teorem
Z, X fuzzy Riesz uzayının başlıca alt vektör uzayı, Y tam fuzzy Riesz uzayı olsun.
U : Z → Y fuzzy pozitif lineer operatör ise x ∈ X iken V ( x ) = U ( x ) olacak biçimde
V : X → Y fuzzy pozitif lineer operatörü vardır [12].
İspat
v ∈ Z c ve x1 , x2 ∈ Z için µ ( x1 , v ) >
1
1
ve µ ( v, x2 ) > olsun. U fuzzy pozitif lineer
2
2
operatör olduğundan η (U ( x1 ) , U ( x2 ) ) >
1
olur.
2
1
1


a = sup U ( x ) : x ∈ Z ve µ ( x, v ) > ve µ ( v, u ) >  , b = sup U ( x ) : x ∈ Z ,
2
2


59
y1 ∈ [ a, b ] =
ve x1 sup ( Z ∪ {v} ) alalım. x ∈ Z ve α ∈ IR iken
U1 : X 1 → Y ; U1 ( x + α v ) = U ( x ) + α y1
biçiminde tanımlanan U1 operatörü fuzzy pozitif lineer operatördür. Gerçekten α ≠ 0
için µ ( 0, x + α v ) >
1
alındığında, α > 0 iken
2
1
 1
 1
 1
 1
x, v  > ⇒ η  − U ( x ) , y1  > ⇒ η ( 0, U1 ( x + α v ) ) >
2
 α
 2
 α
 2
µ−
olur. α < 0 durumu da benzer olarak ispatlanır.
B, U nun tüm fuzzy pozitif lineer genişlemelerinin kümesi olsun. B üzerinde sıralama
V1 ≤ V2 ⇔ V2 , V1 in genişlemesidir
biçiminde alınırsa, Zorn Lemmasından B nin X in tamamı üzerinde tanımlı bir V
büyük (maksimal) elemanı vardır.
3.6. Teorem (Fuzzy Hahn-Banach Teoremi)
X (reel) vektör uzayı, Y tam fuzzy Arşimedyan Riesz uzayı ve p : X → Y altlineer
operatör olsun. Z, X in alt uzayı ve U : X → Y ,her x ∈ Z için η (U ( x ) , p ( x ) ) >
1
2
olacak biçimde bir lineer operatör ise, x ∈ Z iken V ( x) = U ( x) ve x ∈ X iken
η (V ( x ) , p ( x ) ) >
1
olacak biçimde V : X → Y lineer operatörü vardır [12].
2
60
İspat
=
X 1 sup ( Z ∪ {v} ) olsun. U nun bir genişlemesi U1 : X 1 → Y ise, z ∈ Z ve
v ∈ Z c ve
λ ∈ IR iken y1 = U1 ( v ) alındığında,
, U1 ( z + λ v ) = U ( z ) + λ y1 ⇒ η
(U ( z ) + λ y1 p ( z + λ v ) ) ≥ 12
(10)
Gerçekten, (10) ifadesi z ∈ Z iken λ > 0 için
, η
(U ( z ) + λ y1 p ( z + v ) ) > 12
ifadesine; λ < 0 için
η
, (U ( z ) − y1 p ( z − v ) ) > 12
ifadesine denktir. O halde x, z ∈ Z iken
η (U ( z ) − ,
p ( z − v ) y1 ) >
1
1
p ( z + v ) − U ( x ) y1 ) >
ve η ( , ,
2
2
(11)
olacak biçimde bir y1 seçilebilir. Çünkü her x, z ∈ Z için
η (U ( z ) − p ( z − v ) , p ( u + z ) − U ( u ) ) ≥ η (U ( z + v ) , p ( z + u ) ) >
1
2
olduğundan, Y nin tam olması
=
s sup {U ( z ) − p ( z − x ) : z ∈ Z } =
ve t inf { p ( u + x ) − U ( u ) : u ∈ Z }
61
eşitlikleriyle verilen s ve t nin Y de mevcut olmasını gerektirir ve η ( s, t ) >
η ( s, y ) >
1
olur.
2
1
1
ve η ( y, t ) > şartlarını sağlayan bir y ∈ Y , (11)’i ve böylece (10)’u
2
2
sağlar. Bundan sonraki kısımda teoremin ispatı Zorn Lemmasının bilinen
uygulamasıdır.
62
4. SONUÇ VE ÖNERİLER
Her ne kadar Zadeh fuzzy sıralamayı 1971 yılında tanımladıysa da, fuzzy sıralama ve
bunun yardımıyla oluşturulan uzaylar son yirmi yılda çalışılmaya başlanmıştır. Genel
olarak matematiğin hemen tüm alanlarında ilgili teoriler cebirsel ve topolojik
kavramlarla oluşturulur. Ancak çoğunlukla sıralamanın rolü ya ele alınmaz, ya da
kısıtlı bir şekilde düşünülür. Sıralı vektör uzaylarına örgü (lattice) yapısı
eklenmesiyle oluşturulan Riesz uzaylarının teorisi, cebirsel ve topolojik kavramları
daha genel bakış açısıyla tanımlayıp geliştirmeye imkân sağlar. Dolayısıyla
tezimizde fuzzy sıralama için verilen kavramlar ve elde edilen sonuçlardan başka
ilgili teoriyi geliştirecek yeni argümanlar bulmak pekâlâ mümkündür. Fuzzy
kavramının matematikte disipliner bir anlayışla ortaya konulması sonrasında,
uygulamalı bilimlerde ve çeşitli mühendisliklerde ele alınmasıyla teknolojik pek çok
gelişmeyi sağlaması ilgilendiğimiz konu üzerinde çalışmayı cazip kılmaktadır. Biz
de bundan sonraki çalışmalarımızda bu argümanlar üzerine yoğunlaşmak
niyetindeyiz.
63
KAYNAKLAR
1. Zadeh, L.A., “Fuzzy sets”, Information and Control, 8:338-353 (1965).
2. Zadeh, L.A., “Similarity relations and fuzzy orderings”, Inform. Sciences, 3:177200 (1971).
3. Aliprantis, C.D.; Burkinshaw, O., ‘‘Positive Operators’’, Academic Press,
London, 1-3, 45-46, 181-182 (1985).
4. Zaanen, A.C., ‘’Riesz Spaces II’’, North-Holland Mathematical Library, 30.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 651-686 (1983).
5. Chang, C.L., “Fuzzy topological spaces”, J. Math. Anal. Appl., 24:182-190
(1968).
6. Nanda, S., “On fuzzy topological spaces”, Fuzzy Sets and Systems, 19:193-197
(1986).
7. Alaca, C., “Fuzzy Uzaylarda Süreklilik”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 6-20 (2001)
8. Pu, P.M., Liu, Y.M., “Fuzzy topology. I. Neighborhood structure of a fuzzy point
and Moore-Smith convergence”, J. Math. Anal. Appl., 76,2:571-599 (1980).
9. Beg, I., Islam, M.U., “Fuzzy Riesz spaces”, J. Fuzzy Math. 2,1:211-229 (1994).
10. Beg, I., Islam, M.U., “Fuzzy ordered linear spaces”, J. Fuzzy Math., 3,3:659-670
(1995).
11. Beg, I., Islam, M.U., “Fuzzy Archimedean spaces”, J. Fuzzy Math., 5,2:413-423
(1997).
12. Beg, I., “On fuzzy order relations”, J. Nonlinear Sci. Appl., 5:357–378 (2012).
64
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: TAŞ, Ercan
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 15.02.1981 Gaziantep
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (505) 2254425
e-mail
: [email protected].
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Lisans
Afyon Kocatepe Üniversitesi / Uşak Matematik Bölümü
2005
Lise
Gaziantep 19 Mayıs Lisesi
1998
Mezuniyet tarihi
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2005-
Ankara Özel Eğitim Kurumu
Öğretmenlik
Yabancı Dil
İngilizce
Hobileri
Kitap Okumak, Yüzmek, Gezi, Futbol