simulasyon6_2012 .pptx

05.11.2012 1
Poisson Dağılımı
EME 3105
Sistem Simülasyonu
Pek çok deney sürekli bir zaman aralığında, bir alanda ya da
hacimde bir olayın sayılması sonucunda 0,1,2,… değerlerinin
verilmesiyle oluşur.
Simulasyonda İstatistiksel Modeller-III
Ders 6
Birim zaman: dakika, saat, gün, hafta
Birim uzay: uzunluk, alan, hacim olabilir.
Poisson dağılımı sürekli uzayda kesikli veriler veren
deneylere uygulanır.
Poisson Rassal Değişkeni
Poisson Rassal Değişkeni
Tanım: Verilmiş bir zaman aralığında bir alanda yada hacimde
başarıların sayısı X rassal değişkeni olsun. Aşağıdaki koşulları
sağlayan X’e Poisson Rassal Değişkeni denir.
1)  Deney, verilmiş bir birim zaman, alanda ya da hacimde bir
4)  Çok küçük bir zaman aralığı, alan yada hacimde iki ya da daha
çok başarının olması hemen hemen olanaksızdır. Yani bu
durumda birden çok başarının olması olasılığı sıfıra yaklaşır.
olayın (başarının) elde ediliş sayılarının sayılmasıyla oluşur.
2)  İki ayrık birim zamanda, alanda ya da hacimde elde edilecek
başarıların sayıları birbirinden bağımsızdır.
5)  Bir birim zaman, alan ya da hacimde bir sonucun ortalama
elde ediliş sayısı λ’dır.
3)  Bir birim zaman, alan veya hacimdeki başarı olasılığı tüm
birimler için aynıdır.
1 05.11.2012 Poisson Rassal Değişkeni
Örnek:
a)  Büyük bir şehirde trafiğin yoğun olduğu bir kavşakta aylık
otomobil kazalarının sayısı
Poisson Dağılımı
Tanım: X; 0,1,2,… değerlerini alabilen bir Poisson rassal
değişkeni olsun. X’in olasılık fonksiyonu:
b)  Bir üretim malındaki kusurların sayısı
c)  Bir telefon santralında her bir dakika için gerçekleşen telefon
f ( x) = P( X = x ) =
konuşmalarının sayısı
d)  Yeni bir otomobilde kalite kontrolörleri tarafından saptanan
yüzey hatalarının sayısı
e− λ .λ x
, x=0,1,2,... λ >0
x!
e=2,71828
λ: dağılımın ortalaması
e)  Bir hava alanına her saat inen uçakların sayısı
Poisson Dağılımının Beklenen Değeri ve
Varyansı
Poisson Dağılımı
Teorem: X rassal değişkeni Poisson dağılımına sahip
Distribution Plot
Poisson
0
Mean=1
5
10
Mean=2
15
olsun:
20
0,4
µ = E( X ) = λ
0,3
Probability
0,2
0,1
Mean=4
0,4
Mean=8
σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = λ
0,0
0,3
0,2
0,1
0,0
0
5
10
15
20
X
2 05.11.2012 Düzgün (Uniform) Dağılım
Tanım: X rasgele değişkeni tümü eşit olasılıklı N sonuca
sahipse, X’e kesikli düzgün rassal değişken denir.
Düzgün (Uniform) Dağılım
Tanım: X rasgele değişkeninin alabileceği değerler
x1,x2,…,xN olsun. X’in olasılık fonksiyonu:,
Örnek :
Muayene için kuyrukta bekleyen 10 parçanın
numaralandığını kabul edelim. Her bir parça kuyruktaki sıra
numarasıyla gösterilsin. Bu durumda muayene için bir parça
rassal olarak (1,10) aralığında kesikli düzgün daılım
kullanılarak çekilebilir.
Düzgün (Uniform) Dağılım
f ( x) = P( X = x) =
1
, x = x1 , x2 ,..., xN
N
Bu dağılıma kesikli düzgün dağılım denir.
Düzgün (Uniform) Dağılım
Teorem : X rassal değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip
olsun.
µ = E( X ) =
N +1
2
σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 =
Olasılık Grafiği
Dağılım Grafiği
3 N 2 −1
12
05.11.2012 İspat
İspat
N
1 2
(1 + 22 + ... + N 2 )
N
N.(N+1)(2N+1)
ve 12 +22 +3 +...+N 2 =
eşitliğini kullanarak
6
1.N .( N + 1).(2 N + 1) ( N + 1).(2 N + 1)
E( X 2 ) =
=
N .6
6
E ( X 2 ) = ∑ x 2 . f ( x) =
İspat:
i =1
N
1
(1 + 2 + ... + N )
N
i =1
N.(N+1)
ve 1+2+3+...+N=
eşitliğini kullanarak
2
1.N .( N + 1) N + 1
E( X ) =
=
2.N
2
E ( X ) = ∑ x. f ( x) =
σ X2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2
=
Yaygın Kesikli Dağılımlar (1)
Yaygın Kesikli Dağılımlar (2)
15
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Bernoulli (p)
Tek denemedeki basarı sayısı
16
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
f (x) = p .(1− p) , x = 0,1
x
1−x
Binom (n,p)
n tane Bernoulli denemesindeki
basari sayisi
Geometrik (p)
Sıralı bernoulli denemelerinde ilk
basarıya kadarki deneme sayısı
Negatif Binom (k,p)
Sirali Bernoulli denemelerinde
k’ninci basariya kadarki deneme
sayisi
( N + 1).(2 N + 1) ( N + 1) 2 N 2 − 1
−
=
6
4
12
⎛ n ⎞ x n−x
f (x) = ⎜
⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n
⎝ x ⎠
f (x) = q x−1.p,
x = 1,2,...
⎛ x −1 ⎞ k
x−k
f (x) = ⎜
⎟ .p .(1− p)
⎝ k −1 ⎠
x=k, k+1,...
E[X] ve V[X]
µ = E( X ) = p
σ 2 = p.q = p.(1− p)
µ = E( X ) = np
σ 2 = npq
E( X ) =
1
q
,σ2 = 2
p
p
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
Poisson (λ)
Belli bir zaman süresince gerçekleşen
olayların sayısı
Kesikli Düzgün (a,b)
f (x) =
e− λ .λ x
, x=0,1,2,... λ >0
x!
1
b− a +1
x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b
f (x) =
Kesikli Düzgün
µ = E( X ) = k / p
f (x) =
σ 2 = kq / p 2
4 1
, x = x1 , x2 ,..., x N
N
E[X] ve V[X]
µ = E( X ) = λ
σ2 =λ
(b + a)
2
(b − a + 1)2 − 1
σ2 =
12
µ = E( X ) =
µ = E( X ) =
σ2 =
N −1
12
2
N +1
2
05.11.2012 Birim Talebin Modellenmesi (1)
Birim Talebin Modellenmesi (2)
17
18
Histogram of Binom; geometrik; negativebinom; poisson
15000
7500
10000
5000
5000
2500
0
0
2
4
6
8
10 12
negativebinom
14
16
0,12
Distribution p
Geometric 0,1
Distribution
Negativ e Binomial
0,10
0
13
26
39 52 65
poisson
78
91
12000
10000
0,08
0,06
0,04
9000
7500
0,02
6000
5000
3000
2500
0
Distribution Plot
geometrik
10000
Probability
Frequency
Binom
20000
5
10
15
20
25
30
35
40
0
0,00
0
4
8
12
16
20
0
10
X = total number of trials.
μ=10
Birim Talebin Modellenmesi (3)
19
Distribution Plot
0,14
Distribution
Negative Binomial
0,12
p
NEvents
0,4 4
Distribution Mean
Poisson
10
Probability
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
5
10
15
X
20
25
20
30
X
24
30
X = total number of trials.
5 40
50
p
NEv ents
0,4 4