3. bölüm - akademi vizyon

MATEMATİK
3.
www.akademivizyon.com.tr
Trigonometri
BÖLÜM
3. AÇI ÖL ÇÜ BİRİMLER İ:
SAYI KÜMELERİ
Açılar derece, radyan ve grad ölçü birimleri ile ölçülür.
1. BİR İM ÇE MBE R:
Koordinat eksenlerinin kesiştiği noktayı (orijin) merkez
Derece: Bir çemberin 360 da birini gören merkez açının
kabul eden ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim
ölçüsü 1 derecedir. Bir çember yayının tüm ölçüsü 360
çember denir.
dir. 1 = 60I  3600 II dir.
y
Radyan: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki bir yayı
Yarıçapı 1 birim olduğundan
çevresi 2  birimdir
gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır.
(0,1)
2
Bir çember yayının tüm ölçüsü 2 radyandır.
2
Denklemi : x + y = 1 dir.
(–1,0)
O
(0,0)
(1,0)
Grad: Bir çemberin 400 de birini gören merkez açının
x
ölçüsü 1 graddır.
Bir çember yayının tüm ölçüsü 400 graddır. Derece,
radyan ve grad arasında,
(0,–1)
360 = 2 radyan = 400 grad
2. YÖNLÜ A ÇI:
 180 =  radyan = 200 grad
Saatin dönme yönünün tersi pozitif yöndür. Buna göre,

D
180


R
G

dür.
 200
saatin dönme yönüyle ters yönde olan açılar pozitif
yönlü açı, aynı yönde olan açılar negatif yönlü açıdır.
ÖRNEK
80 kaç radyandır?

A
CBA açısı pozitif yönlü açıdır.
A)
B

2
B)
4
9
C)
5
9
D)
8
9
E) 
ÇÖZÜM
C
D
R
olduğuna göre

180 
4
Şekilde AB ışınından başlayan ok
A
80
R

180 
BC ışınında bitmiştir. O halde

 R
4
9
9
ABC açısı negatif yönlüdür.
Cevap B’dir.
B
C
ÖRNEK

2
radyanlık açı kaç derecedir?
3

Açı ABC şeklinde okunursa negatif yönlü, CBA şeklinde okunursa pozitif yönde okunmuş olur.

A) 30

B) 45
C) 60
D) 90
E) 120
Buna göre m( CBA )  m( ABC ) dir.
www.akademivizyon.com.tr
1
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
ÇÖZÜM
ÖRNEK
D
R
 olduğundan ve  radyanlık açı 180 ise
180 
2
D
 3  D = 120
180

32 
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
5
ÇÖZÜM
32  30   2 30  2



5
5
5
5
Cevap E’dir.
 6 
ÖRNEK
150 lik açı kaç graddır?
500
A)
3
B)
400
3
200
C)
3
100
D)
3
2
2
 3 .2  
5
5
Esas ölçüsü:
E) 100
2
dir.
5
5. TRİG ON OMET RİK F ONK SİY ONLA R:
ÇÖZÜM
A. Sİ NÜS VE KOSİNÜS FONKSİ YONLARI :
D
G
150
G



180 200
180 200
G
y
150 .200 500

180
3
1
Cevap A’dır.
P(x,y)
y0
4. ESAS ÖLÇ Ü:

–1
x
x0 1
Derece cinsinden verilen bir açının 360 ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçüdür.
Radyan ve grad cinsinden bir açının esas ölçüsü ise
–1
sırasıyla 2 ve 400 e bölümünden kalandır.

k  Z için
P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da
açının sinüsü denir.
x0 = cos 
y0 = sin 
k. 360 + a  a(mod 360)
k. 2 + a  a(mod 2 )
0  a  360
Burada a; esas ölçü, k: devir sayısıdır.

Yatay x eksenine kosinüs ekseni, düşey olan y
eksenine sinüs ekseni denir.
ÖRNEK
1340 nin esas ölçüsü kaç derecedir?
B. TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARI:
ÇÖZÜM
1340 360
_ 1080 3
260
y
Tanjant ekseni
 1340= 3.360+260
A
Esas ölçüsü: 260 dir.
T K
Kotanjant ekseni
ÖRNEK

–1580 nin esas ölçüsü kaç derecedir?
B
x
ÇÖZÜM
_ 1580 360
_ 1800 –5
220
 –1580 = –5.360 + 220
Esas ölçüsü: 220 dir.
T noktasının ordinatına açının tanjantı, K noktasının
apsisine açının kotanjantı denir.
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI
2
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr

Buna göre,
tan  

cosec A 
y sin 

| BT |
x cos 
Hipotenüs uzunluğu
b

Karşı dik kenar uzunluğu a
Ayrıca;
x cos 
cot   
| AK |
y sin 

tan x 
sin x
cos x
, cot x 
cos x
sin x
Birim çembere (1, 0) noktasından çizilen teğete

sec x 
1
1
, cos ecx 
cos x
sin x

sin2 x + cos2 x = 1

tanx.cotx = 1

1 + tan2 x = sec2 x

1 + cot2 x = cosec2 x
tanjant ekseni, (0, 1) noktasından çizilen teğete
kotanjant ekseni denir.
6. BİR İM ÇE MBE RDE BÖ LGEL ER
y
II. Bölge
sin > 0
cos < 0
I. Bölge
sin > 0
cos > 0
1
sina 1  –1  sina  1
cosa 1  –1  cosa  1
secx  1, cosecx  1
–1
1
III. Bölge
sin < 0
cos < 0
–1
x
ÖRNEK
Yandaki şekil üst tabanı
IV. Bölge
sin < 0
cos > 0
olmayan bir küpün açılımı
olduğuna göre tan nın
değeri kaçtır?
7.
DİK ÜÇGENDE
DEĞERLER
TRİGONOMETRİK

A
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
b
c
ÇÖZÜM
Yöndeş
B

sin A 
a
açıların ölçüleri
a
eşit olduğundan
c
Karşı dik kenar uzunluğu a

hipotenüs uzunluğu
b
tan  
3a
3
a
a


cos A 
a
Komşu dik kenar uzunluğu c

hipotenüs uzunluğu
b



tan A 

cot A 
Cevap D’dir.
Karşı dik kenar uzunluğu
a

Komşu dik kenar uzunluğu c
ÖRNEK
Komşu dik kenar uzunluğu c

Karşı dik kenar uzunluğu
a
0 <  < 90 olmak üzere
sin  

sec A 
Hipotenüs uzunluğu
b

Komşu dik kenar uzunluğu c
olduğuna göre cos . sec2 değeri kaçtır?
A)
www.akademivizyon.com.tr
3
5
3
3
5
B)
4
5
C)
3
4
D)
5
4
E) 1
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
ÇÖZÜM
Tabloda da görüldüğü gibi birbirini 90 ye ta-
4
1 5
cos   , sec   
4 4
5
5
mamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin
4 5
cos   sec 2     
5 4
kosinüsüne,
5
kotanjantına
3
2
8. ÖZEL
AÇILARIN
ORANLARI:
tan (–) = –tan
cot (–) = –cot
A
b)  +  ikinci bölgededir.
sin ( – ) = sin
2
1
cos (–) = –cos
tan (–) = –tan
30
3
C
cot (–) = –cot
B
3
cot 30   3
c)  +  üçüncü bölgededir.
sin ( + ) = –sin
3
1
, cos 60 
2
2
1
tan60  3, cot 60 
3
sin60 
cos (+) = –cos
tan (+) = tan
cot (+) = cot
A
1
2

2
2
45
1
2

2
2
cos 45 
d) 2 –  dördüncü bölgededir.
sin (2 – ) = –sin
2
1
cos (2 – ) = cos
tan 45   1
tan (2 – ) = –tan
cot 45  1
45
C
sina
cos0 = 1, tan0 = 0 dır.
0
30
45
60
90
0
1
2
2
2
3
2
1
1
3
2
2
2
1
2
cosa
1
tan
0
1
3
3
180
0
e)
270
0


tan      cot 
2


0
0


cot      tan 
2


3
1
1
3
0
Tanımsız
Tanımsız
f)
cot
 3

sin
     cos 
2


 3

cos
     sin 
 2

0
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI


sin     cos 
2



cos      sin 
2

–1
–1
Tanımsız
a
cot (2 – ) = –cot
B
1
Tanımsız
sin0 = 0,
AÇILARIN
cos (–) = cos
1

diğerinin
sin (–) = –sin
TRİGONOMETRİK
3
2
sin 45 
diğerinin
a) – dördüncü bölgededir.
60

sekantı
9. 90
DEN
BÜYÜK
TRİGONOMETRİK ORANLARI:
1
2
tan 30  
tanjantı

4
Cevap D’dir.
cos 30  
birinin
kosekantına eşittir.
4 25 5
 

5 16 4
sin 30  
birinin
ve
4
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
ÖRNEK
 3

tan
    cot 
2


cos( 85   )  cos( 85   )
 13 
  13 

sin 
   sin
 
2

  2

 3

cot
    tan 
 2

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
 3

sin
     cos 
 2

g)
A) 1
B) 2
C) tan
D) cot
E) 0
 3

cos
    sin 
 2

ÇÖZÜM
 3

tan
     cot 
2


cos( 85   )  cos( 85   )
 13 

 13 

sin 
    sin
 
2
2




 3

cot
     tan 
2


Biribirini 180 ye tamamlayan iki açının sinüsle-
ÖRNEK
ÖYS - 1982
A) sin 220
B) cos 130
D) sin(–40)
E) sin 50
 cos   cos  2cos 

1
 cos   cos  2cos 

Aşağıdakilerden hangisi sin 40 ye eşittir?
C) cos (–50)
10.
ÇÖZÜM

cos( 84     )  cos( 84     )






 sin 6       sin 6     
2
2





ri eşittir.
ÜÇGENDE BAZI TEOREM LER
a) Kosinüs Teoremi:
sin 40 = cos 50
cos 50 = cos(–50)
sin 40 = cos (–50)
A

ABC ’de


a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
Cevap C’dir.
c
b

b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
ÖRNEK

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C dir.

13x  olduğuna göre,
2
B
C
a
cos 7 x  sin 5 x
cos 8 x  sin 6 x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D)

2
E) 
ÖRNEK
A
Şekilde verilenlere göre
ÇÖZÜM
7x + 6x = 13x =
12
x aşağıdakilerden hangisidir?

ise sin6x = cos 7x
2
4
D
x
6

5x + 8x = 13x =
ise sin5x = cos8x
2
olduğundan
B
C
12
9
E
A) 8
cos 7 x. sin 5x cos 7 x. cos 8 x

1
cos 8 x. sin 6 x cos 8 x. cos 7 x
D)
274
B)
184
E)
314
C)
216
Cevap B’dir.
www.akademivizyon.com.tr
5
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM



Verilenlere göre m( A )  135 
m( ACB )  m(DCE )   olsun

ABC de sinüs teoremi yazılırsa,
Kosinüs teoreminden
5
sin135
2
2


x
sin35
2
12 = 4 +9 – 2 . 4 . 9. cos 
144 = 16 + 81 – 72 cos
cos  = 
x
47
72

x
ABC de kosinüs teoremi uygularsak
5.sin35
sin135


5 sin35
2
2
10 2.sin35
2
Cevap D’dir.
x2 = 144 + 36 – 2.6.12. cos
x2 = 180 – 144. 
x2 = 274  x =
47
72
c) Tanjant Teoremi:

274
A

B C
tan
2  bc
 
bc
B C
tan
2
Cevap D’dir.
c
b) Sinüs Teoremi:
b
B
A
a
C
D
ÖRNEK
b
c
A
O
B
C
a
4
x

Bir ABC de
90
a
b
c


 2R
sin A sinB sinC
30
B
C
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre x kaç birimdir?
R:Çevrel çemberin yarıçapı
B) 4 2
A) 4 3
C) 8

A
Yandaki şekilde
ABC de tanjant teoremi yazılırsa,


m(B)  35
tan

35
B
| BC | 5 birim
| AC | xbirimdir.
10
5

B C
2  bc
 
bc
B C
tan
2
x
m(C)  10
C
tan 60

x4

x4
3

Buna göre x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
tan 30
A) sin35
3 x  12  x  4  2 x  16
5 2 . sin 35
2
E) 6
ÇÖZÜM
ÖRNEK
C)
D) 12
B) 5sin35
D)
10 2 sin 35
2
3
3
x4
x4
x = 8 br
Cevap C’dir.
E) 1
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI
6
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
11. T OPL AM VE FAR K F OR MÜLLE Rİ
d) Üçgenin Alanı:
A
a ve b reel sayıları için ,
c
b
B
sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
2.
sin(a – b) = sina . cosb – cosa . sinb
3.
cos (a + b) = cosa. cosb – sina . sin b
4.
cos (a – b) = cosa. cosb + sina. sinb
5.
tan (a + b) =
C
a

ABC de

1.

A ( ABC ) 

A ( ABC ) 

A ( ABC ) 
1
 b  c. sin A
2

1
 a  c  sin B
2

1
 a  b  sin C
2
tan a  tan b
1  tan a  tan b
6 . tan (a – b) =
tan a  tan b
1  tan a. tan b
7.
cot (a + b) =
cot a  cot b  1
cot a  cot b
8.
cot (a – b) =
cot a  cot b  1
cot b  cot a


cot (a  b) yi bulmak için, tan (a  b) nin çarpmaya göre tersi alınır.
ÖRNEK
1

A
cot(a  b) 
 )
tan( a 
b
3
83
B
5
37
ÖRNEK
C
sin 15 in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Şekilde AB = 3br, AC = 5br olduğuna göre
Δ
A( ABC ) kaç br2 dir.
A) 6
D)
15 3
2
B)
15
4
E)
15 3
4
C)
15 2
2


B)
3 ( 2  1)
2
C)
3 ( 2  1)
4
D)
2( 3  1
2
E)
3 ( 2  1)
2
sin 15 = sin (60 – 45)
A  B C  180 olduğundan
sin (60 – 45) = sin60 . cos45 – cos60 . sin45

A  60 olur.
sin15 =

1
A(ABC)   3.5.sin60
2

2( 3  1)
4
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM

A)
1
3 15 3
 15 

2
2
4
=
Cevap E’dir.
www.akademivizyon.com.tr
3 2 1 2

 
2 2 2 2
6
2


4
4
2 ( 3  1)
4
Cevap A’dır.
7
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
12. YAR IM AÇ I FOR MÜLL ER İ
3a’nın trigonometrik oranları:
1. sin (a + b) = sina. cosb + sinb. cosa
formülünde b yerine a yazılırsa
1) sin3a = sina –4sin3 a
 sin 2a = 2sina . cosa
2) cos3a = 4cos3 a – 3cosa
3) tan3a =
tan3 a  3 tan a
2. cos(a + b) = cosa. cosb – sina . sinb
3 tan2 a  1
formülünde b yerine a yazılırsa
 cos2a = cos2 a – sin2 a
cos2a = 1 – 2sin2 a
13. DÖN ÜŞÜ M F OR MÜLLE Rİ
cos2a = 2cos2 a – 1
3.
tan( a  b) 
tan a  tan b
1  tan a  tan b
formülünde b yerine a yazılırsa
 tan2a=
4.
1) sina + sinb = 2 sin
ab
ab
 cos
2
2
2) sina – sinb = 2 sin
ab
ab
 cos
2
2
2 tan a
1  tan 2 a
cot( a  b) 
cot a. cot b  1
cot a  cot b
3) cosa + cosb = 2 cos
ab
ab
 cos
2
2
4) cosa – cosb = –2sin
ab
ab
 sin
2
2
formülünde b yerine a yazılırsa
 cot 2a 
cot 2 a  1
2 cot a
2 tan
 sin x 
x
2
x
2
1  tan 2
x
2 olur.
x
1  tan 2
2
1  tan 2
 cos x 
5) tana + tanb =
sin( a  b )
cos a  cos b
6) tana – tanb =
sin( a  b)
cos a  cos b
7) cota + cotb =
sin( a  b)
sin a  sin b
8) cota – cotb =
sin( a  b )
sin a  sin b
ÖRNEK
cos x  cos 6 x  cos 11x
sin x  sin 6 x  sin 11x
ÖRNEK
sin 22,5 nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangi-
A)
2 2
2
B)
D)
3 3
3
E) 1
2 2
2
C)
sidir?
A) cot6x
B) cot18x
C) cotx + cot6x + cot11x
D) 1
E) 0
2 2
2
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
cos2a = 1–2sin2 a
cos x  cos6x  cos11x
sin x  sin6x  sin11x
a = 22,5 , 2a = 45
cos 45 = 1 – 2 sin2 22,5
x -11x
x +11x
cos
+ cos6x
2
2
=
x +11x
x -11x
2sin
cos
+ sin6x
2
2
2.cos
2
 1  2sin2 22,5
2
2 2
 2sin2 22,5
2
sin 22,5 =
2 2
2
Cevap A’dır.
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI

2 cos 5 x  cos 6 x  cos 6 x
2 sin 6 x  cos 5 x  sin 6 x

cos 6 x( 2 cos 5 x  1)
 cot 6 x
sin 6 x( 2 cos 5 x  1)
Cevap A’dır.
8
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
14. T ERS D ÖNÜŞ ÜM FO RMÜL LER İ
3) tanx = a
1
1. cosa . cosb = [cos( a  b )  cos( a  b)]
2
denkleminin bir kökü a diğeri  + a dır.
x = a +2 (kZ) dir.
1
2. sina . sinb =  [cos( a  b)  cos( a  b)]
2
3. sina . cosb =
1
[sin( a  b)  sin( a  b )]
2
4. cosa . cosb =
1
[sin( a  b)  sin( a  b)]
2
4) a  R olmak üzere
cotx = a
denkleminin bir kökü a ise diğeri  + a dır.
x = a + k (kZ)dir.
5) k  Z olmak üzere
cos f(x) = cosg(x)  f(x)= g(x) + 2k
veya f(x) = –g(x) + 2 k
ÖRNEK
6) sinf(x) = sing(x)  f(x) = g(x) +2k
cos40.cos20.sin(–80) işleminin sonucu kaçtır?
veya f(x)=  – g(x) + 2k

3
8
A)
B)
cos10
3

2
8
7) tan f(x) = tang(x)
cot f(x) = cot g(x)

C)
 cos10
3



 2

8


E)
0
f(x) = g(x) + k dir.
D) 1
ÖRNEK
sin2x = cos35 denkleminin [0, 90] aralığındaki
kökü kaç derecedir?
ÇÖZÜM
A) 70
cos40 . cos20. sin(–80)
1
 [cos(40  20 )  cos(40  20 )].(  sin80 )
2
B) 65
C) 37,5
D) 27,5
ÇÖZÜM
11

   cos20   (  cos10 )
2 2

cos35 = sin55 olduğundan sin2x=sin55
veya sin2x = sin125
1
1
  cos10  cos20.cos10
4
2
2x = 55
veya 2x = 125
x = 27,5 veya
x = 62,5
1
1
1
  cos10  cos30  cos10
4
4
4

E)17,5
Cevap D’dir.
 cos10
cos10
3
3

 


 2

2
8
8


ÖRNEK
cos2 x + 2cos2 x = 2 – sin2 x
Cevap C’dir.
 
denkleminin 0,  aralığındaki kökü aşağıdakiler 2
15. T RİGON OMETR İK DEN KLEMLER
den hangisidir?
1) a  [–1, 1] olmak üzere
A)
cosx = a

6
B)

4
C)

3
D)

2
E) 0
denkleminin [0,2] aralığındaki kökleri a ve –a dır.
Buna göre;
ÇÖZÜM
x = a + 2k
cos2 x + 2cos2 x = 2 – sin2 x
x = –a + 2k (kZ)’ dir.
cos2 + sin2 x+ 2(2cos2 x –1) = 2
1 + 4 cos2 x – 2 = 2
2) a  [–1,1] olmak üzere
sinx = a
4cos2 x = 3
denkleminin köklerinden biri a ise diğeri  – a dır.
Buna göre;
x=
x = a + 2k ve x =  – a + 2k
= –a (2k + 1)  dir.
www.akademivizyon.com.tr
 cosx =
3
,
2
cosx= 
3
2

6
Cevap A’dır.
9
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
ÇÖZÜM
acosx + bsinx ifadesinin
 x 

sin4  4  3  ün periyodu T1 =
 4
1
4
 x

tan3   2  in periyodu T2=
 2
1

2
a2  b2 dir.
en büyük değeri
en küçük değeri –
a2  b2 dir.
16.PER İY OD İK FON KSİYON LAR VE
TRİG ON OMET RİK FO NKS İYO NLAR IN
PERİYOD U
olduğundan T = OKEK (T1 , T2)
 OKEK (4, 2) = 4
Cevap B’dir.
f fonksiyonunda  x  A için f(x+T) = f(x) eşitliğini sağlayan en az bir T reel sayısı varsa f fonksiyonuna periyo-
17.TR İG ONO METR İK
GR AFİKLER İ
dik fonksiyon denir.
T’ye fonksiyonun periyodu, T’nin en küçük değerine
1) y = cosx fonksiyonunun grafiği
de esas periyot denir.
Periyot 2 olduğundan [0,2] aralığında değişim
tablosunu inceleyelim.
PERİ YOT BULM A
x
1) Sinn (ax + b)
cos n(ax + b) fonksiyonlarının periyotları:
n tek doğal sayı ise T 
0
/2
cos 1

0
–1
3 /2
0
2
1
2
|a|
y

n çift doğal sayı ise T 
|a|
1
2) tann (ax+b) ve cot n (ax+b) fonksiyonlarının
periyotları;
n doğal sayı ise T 
F ONKS İY ONLA RIN


2
3 2
2
X
–1

|a|
3) f(x) = g(x) 
 h (x) şeklindeki fonksiyonların esas
periyodu;
g(x) in periyodu T1
h(x) in periyodu T2 olmak üzere
T = OKEK (T1, T2)
2) y = sinx fonksiyonunun grafiği:
Periyot 2 olduğunda [0,2] aralığında inceleyelim.
x
0
sinx
0
/2

1
0
3 /2
–1
2
0
ÖRNEK
f(x) = cos5 (3x + 2) fonksiyonunun periyodu aşağı-
y
dakilerden hangisidir?
A) 
B)

2
C)

3
D)
2
3
E)

6
1
0
ÇÖZÜM


2
3
2
2
X
–1
f(x) = cos5(3x+2) fonksiyonunda n tek olduğundan
2
dür.
T
3
3) y = tanx fonksiyonunun grafiği:
Cevap D’dir.
Periyot  olduğunda [0, ] aralığında inceleyelim.
ÖRNEK
x 
 x
f(x) = 5 – sin4     tan3   
4 3
 2
x
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
tan x
0

4

2
3
4

1
+ –
–1
0
tanımsız
E) 
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI
0
10
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
18. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR


2

2
  
1) f:   ,   [ 1,1], y  f(x)  sin x fonksiyonu birebir
 2 2
3
2

ve örten olduğundan tersi vardır.
   
f 1 : [ 1,1]   ,  , f 1(x)  arc sin x
 2 2
4) y = cotx fonksiyonunun grafiği:
y = sinx  x= arcsiny
2) f:[0,
Periyot  olduğundan [0, ] aralığında inceleyelim.
x

4
0
3
4

2
]  [–1, 1],
y =cosx
fonksiyonu birebir ve örten olduğundan terside bir
fonksiyondur.

Buna göre,
cot x
+
1
0
–1
–
f 1. [ 1,1]  [0, ],f 1(x)  arccos x tir.
+
y = cos x  x = arc cosy
3) y = tanx fonksiyonu
–


2


2
0
3
2
  
tan :   ,   R fonksiyonunun
 2 2
2
  
tersi arctanx: R    ,  dir.
 2 2
y = tanx  x = arctany
ÖRNEK
4) y = cotx fonksiyonu
f(x) = 2 cosx – 1
cot: (0, )  R fonksiyonunun tersi arccot: R  (0,)
fonksiyonunun [0, 2] aralığındaki grafiğini çizelim.
dir.
y = cotx  x = arccoty dir.
ÇÖZÜM
ÖRNEK

3
2
2
x
0

2
cosx
1
0
–1
0
1
2cosx
2
0
–2
0
2
A) 0
2cosx–1
1
–1
–3
–1
1
D)
cos (arcsin2x) ifadesinin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 1
x2  1
E)
C)
1 x 2
1 4 x 2
ÇÖZÜM
1
O
–1
–2

2

arcsin2x = y  siny = 2x
3
2
cos(arcsin2x) = cosy
2
cosy =
Cevap E’dir.
–3
www.akademivizyon.com.tr
1  sin2 y  1  4x 2
11
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
6.
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
sin 24 = x
olduğuna göre, sin 72 nedir?
A) x
D) 3x – 4x3
2
B) 2x – 1
E) 3x – 3x3
A) –1
B) 
D) 1
E) 2
3
2
D)
3.
4.
6
2
E)
C)
1
2
3
2
3
3
B)
2
4
D)
3
4
E)
3
2
8.
C)
1
2
6
D) 4 3
olmak üzere,
9.
sin


 x).sin(  x) ifadesinin değeri kaçtır?
6
6
D)
5.
1
2
B)
1
4
E)
1
4
C)
1
2
D)
 2
4
sin15.cos1 5
ifadesinin eşiti kaçtır?
2
A) 1
D)
1
8
E)
2
2
C)
1
2
B)
1
2
E)
1
16
C)
B) 2 6
C)
6
2
E) 8 3



. cos
çarpımı kaçtır?
. cos
16
16
8
A) 1
A)
1
2
1
1
toplamı kaçtır?

sin 15 cos 15
A)
2
sin (
B)
3
A)
1
3
2
D)
cos 45. cos 15 – sin 75. sin 15
işleminin sonucu kaçtır?
sinx =
1
2
sin4 15 – cos415 ifadesinin sonucu kaçtır?
A) 
B) 
C)
C) 1–2x
cos 105 – cos 15 ifadesinin sonucu kaçtır?
A)  6
1
2
2
7.
2.
sin80.cos8 0
ifadesinin eşiti kaçtır?
cos70
2
4
B)
2
E)
2
8
C)
2
2
10. 2.sin275 ifadesinin değeri kaçtır?
1
4
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI
12
A)
3 2
4
B)
3 2
2
D)
3 2
2
E)
3 1
2
C)
2 3
2
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
11. 1460 lik yayın esas ölçüsü kaçtır?
16. sin 200, cos 160, tan 195 nin işaretleri sırası
ile aşağıdakilerden hangisidir?
A) 20
D) 150
B) 30
E) 160
C) 70
A) –, +, –
C) +, –, +
E) –, –, +
12. –2840 lik yayın esas ölçüsü aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 30
D) 240
3
< x < 2 ve cosx =
2
17.
B) 40
E) 320
B) –, –, –
D) –, +, +
C) 120
1
3
tanx  cotx
ifadesinin değeri
sinx
olduğuna göre,
kaçtır?
3
2
A) 
D)
B) 
3
2
1
2
C)
1
2
2
2
E)
13. 17846ıı lik açı kaç derece kaç dakika kaç saniyedir?
A) 4 56ı 27ıı
C) 26 57ı 4ıı
E) 4 56ıı
B) 4 57ı 26ıı
D) 3 57ı 26ıı
18.

ve 4 sin x  8 2 cos x
2
olduğuna göre, cosx kaçtır?
0<x<
10
A)
B)
1
10
C)
3
10
D)
1
3
E) 3
14. 7x = 90 olduğuna göre,
sin4x.sin2 x
kaçtır?
cos5x.cos3 x
A) –1
D) 2
1
2
E) tanx
B)
3
2
) olmak üzere, sinx = 
2
3
olduğuna göre, secx kaçtır?
C) 1
19. x  [,
A) 
3
B)
2
D)
3
7
E)
2
3
C)
3
7
7
3
15. a = tan 165
b = tan 130
c = tan 110
a, b ve c nin sayısal değerlerinin büyükten
küçüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) c > a > b
D) a > b > c
B) a > c > b
E) b > a > c
www.akademivizyon.com.tr
20.
C) c > b > a
3x + y = 90 ve sin 4y = cos 2x
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 18
13
B) 36
C) 45
D) 54
E) 72
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
ÇÖZÜMLER
5.
1
.2. sin 15. cos 15
sin 15. cos 15 2

2
2
1
1.
2.
sin 24 = x,
sin 72 = sin (3.24) = 3.sin 24 – 4.sin3 24
= 3x – 4x3 bulunur.
(sin 3a = 3.sina – 4.sin3 a)
Cevap D’dir.
(cosa – cos b = –2.sin
= 2
6.
ab
ab
)
. sin
2
2
7.
105  15
105  15
.sin
2
2
= –2.sin 60. sin 45
cos 105 – cos 15 = –2.sin
= –2.
3
2
6
bulunur.
.

2
2
2
Cevap B’dir.
. sin 30
2
1 1
.
1
 2 2 
bulunur.
2
8
Cevap D’dir.
1
. sin 160
sin 80. cos 80 2
1


bulunur.
cos 70
20
2
Cevap C’dir.
sin4 15 – cos415=(sin215–cos215).(sin2 15 + cos2 15)
= (sin215 – cos2 15).(1)
= (1 – cos2 15 – cos215)
= (1 – 2cos2 15)
= – cos 30
3
bulunur.
2
= 
Cevap A’dır.
3.
cos 45. cos 15 – sin 75. sin15
= cos 45.cos 15 – cos15.sin15
= cos 15 (cos 45 – sin 15) = cos15 (sin 45–sin 15)
8.
ab
ab
. cos
)
2
2
= cos15. 2.sin 15. cos 30
= sin 30. cos 30
1
1
sin 15  cos 15 sin 15  cos 15



1
sin 15 cos 15
sin 15 . cos 15
. sin 30
(cos15 )
(sin 15 )
2
(sina – sin b = 2.sin
=
=
1 3
3
bulunur.
.

2 2
4
(sin 15  cos 15)  x
3
 4 x = 4.
= 2 6 bulunur.
1
2
4
x = sin 15 + cos 15,
x2 = 1 + sin 30 = 1+
Cevap D’dir.
1 3
3
 ,x 
2 2
2
Cevap B’dir.
4.
sinx =
1
2
9.


1
2
sin (  x ) . sin (  x ) =
[cos ( )  cos( 2x )]
6
6
2
6
sin
=
1

=
[cos
– (1 – 2.sin2 x)]
2
3


 1


. cos
. cos
 . sin . cos
16
16
8 2
8
8
1 1
 1 2
2
bulunur.
. . sin  .

2 2
4 4 2
8
Cevap E’dir.
2
=
=

 1 
11
 
 1  2.
 2 

2 2

 

10. 2sin275 = 1 – cos 150 (cos 150 = 1 – 2 sin2 75)
= 1 – (–cos 30)
1
bulunur.
4
=1+
Cevap B’dir.
=
3
2
3 2
bulunur.
2
Cevap D’dir.
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI
14
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
11
www.akademivizyon.com.tr
17.
1460 360
– 1440 4
20
3
< x < 2 (4. bölge)
2
cos x =
1
3
3
2
1460 = 4.360 + 20 olduğundan esas ölçü 20
bulunur.
Cevap A’dır.
x
1
tanx =
2 , cotx = 
1
, sinx = 
2
12.
tan x  cot x

sin x
–2840 360
( 2 )  (

– –2880 –8
2
2
3
1
)
2 
3
bulunur.
2
3
+40
Cevap D’dir.
–2840 = –8 . 360 + 40 olduğundan esas ölçü 40
olur.
Cevap B’dir.
18. 0 < x <
13.
17846ıı 60ıı
ıı
– 17820 297ı 60ı
ıı
26 – 240ı 4
ı
57
ıı
ı

(1. bölge)
2
4sin x  82 cos x , 22 sin x  26 cos x , sinx = 3cosx,
sin x
3
cos x
tanx = 3
ıı
17846 = 457 26 bulunur.
Cevap B’dir.
10
3
cos x 
1
10
x
1
Cevap B’dir.
14. 7x = 90  sin4x = cos 3x ve sin 2x = cos 5x olur.
sin 4 x. sin 2 x
cos 3 x. cos 5 x

 1 bulunur.
cos 5 x. cos 3 x cos 5 x. cos 3 x
Cevap C’dir.
19. x  [,
sinx = –
3
] (3. bölge)
2
2
,
3
3
2
x
15. a = tan 165 = –tan 15
7
b = tan 130 = –tan 50
c = tan 110 = –tan 70
Tanjant fonksiyonunun değeri (0 den 90 ye
doğru) açı büyüdükçe artar.
tan 15 < tan 50 < tan 70, buradan da a > b > c
bulunur.
Cevap D’dir.
secx =
1

cos x
1
7

3

3
bulunur.
7
Cevap C’dir.
20. 3x + y = 90
sin 4y = cos 2x ise 4y + 2x = 90, 2y + x = 45
3x + y = 90
2y + x = 45 denklem sistemi çözülürse,
x = 27 ve y = 9 olur. x + y = 36 bulunur.
Cevap B’dir.
16. sin 200 (III. bölge) = –
cos 160 (II. bölge) = –
tan 195 (III. bölge) = +
Cevap E’dir.
www.akademivizyon.com.tr
15
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
TRİGONOMETRİ
6.
KONU TEKRAR TESTİ
1.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B)
5
A) 150 
6
D)
5   1000 


3  3 
G
 400 

  120
 3 
G
E) 252 
B) 6° 2’ 5”
E) 8° 20’ 50”
D) tan 
E) 1
cot x. (1 – cos x) . (1+ sec x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
   72 36’ 23”
Bir A BC ’de m  A   39° 45’ 55”, m  B
C) cosec x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
m  C  nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 112° 24’ 18”
D) 71° 57’ 13”
cot  
B) 97° 25’ 37”
E) 67° 37’ 42”
B) 1
C) sin 
D) cos  E) tan 
C) 83° 41” 25”
9.
sin 
1  cos 
cos2 x  1
1  sin2 x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos 
B) sin 
A) tan x
D) sec 
E) tan 
2
5.
B) cos x
E) sec x
2.sin2 
2cos2   2
A) –1
4.
C) cos 
C) 6° 2’ 50”

ise
B)
A) sin x
D) tan x
8.
3.
1
cos 
A) –1
7
5
21770” lik açı, kaç derece, kaç dakika kaç saniyedir?
A) 50° 2’ 6”
D) 9° 2’ 5”
2
7
C)
 305
4
7.
2.
2
(cosec  . tan ) – (sec  . sin )
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) cosec 
cos a
sin a

sec a cosec a
10.
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) cos x
C) sin x
D)
x
2
–tan E) –cos x
cot a  tana
.sec a
sec 2 a  cosec 2a
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan a
D) sin a
B) cot a
E) 1
C) cos a
MATE MATİ K–2 K ONU ANL ATIM LI S ORU BAN KA SI
A) cos a
D) tan a
16
B) cot a
E) sin a .cos a
C) sin a
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
4
www.akademivizyon.com.tr
2
2
2
11. sin x + cos x + sin x. cos x
toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) 1
D) cos x
16.
ifadesinin eşiti kaçtır?
2
B) 1 + sin x
E) sin x
19 
 20 
2 29
sin  
 tan2
  cot
4
4
 3 
C) cos x
2
2
A) 
17.
12. I.
II.
III.
sin 25° = cos 65°
tan 53° = cot 53°
IV. sec 37° = cosec 53°
2
2
V. sin 45 = cosec 45°
Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
B) 2
3
2
C) 0
x + y = 90° ve cos x + cos y =
D)
2
2
E)
3
2
13
4
3
ise
2
sin (90° – x) . sin (90° – y)
çarpımının sonucu kaçtır?
sin 60
 sin30
2
A) 1
B) 
C) 3
D) 4
A) 
5
4
B) 
4
9
C)
4
5
D)
5
8
E)
D)
1
2
E) 1
E) 5
18.
tan 216°.
sin  594  cos576
sin  504   cos 486
ifadesinin değeri kaçtır?
2
2
2
2
13. cos 53° + sin 63° + sin 27° + cos 37°
toplamının değeri kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
A) –1
sin a  sec a
3

cosa  coseca 2
 dar açı ve cot  =
A)
2
3
B)
3
4
C) 1
D)
3
2
15.  x  R için;
2
2
sin x = 1 + k. cos x
eşitliğini sağlayan k değeri kaçtır?
7
34
C) 0
www.akademivizyon.com.tr
D) 1
B)
5
7
C)
13
6
x dar açı ve 15. tan x = 8 ise
D)
5
2
E) 7
cos x  sin x
sin x  cos x
kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 
B) –1
3
cos   2 sin 
ise
5
sin   2 cos 
E) 2
20.
A) –2
C) 0
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
ise cot a nın değeri kaçtır?
A)
1
2
E) 3
19.
14.
B) 
E) 2
17
8
17
B) 
3
5
C)
7
23
D)
5
3
E)
25
8
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ