ENM 316 BENZETİM

ENM 316 BENZETİM
DERS 4
GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ SEÇİMİ
• Varışlar arası zamanlar veya talep genişlikleri gibi rassal girdileri
kullanan bir benzetimi gerçekleştirmek için,
– bu girdilerin olasılık dağılımlarının belirlenmesi gerekir.
• Bir benzetim modeline girdi rassal değişkenlerini temsil eden özel
dağılımlar verildiğinde,
– benzetimin zaman boyunca çalışmasında bu dağılımlardan üretilen
rassal değerler kullanılır.
• Bir benzetim, olasılık dağılımları ile sistemin her bir rassallık
kaynağının gösterilmesi gerekir.
• Pratikte karşımıza çıkan sistemler bir ya da daha fazla rassallık
kaynağına sahiptirler.
GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ SEÇİMİ
GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ SEÇİMİ
• Girdiler için uygun dağılımların belirlenmesi, bir benzetim
çalışmasının en önemli aşamalarından birisidir.
• Girdilerdeki hatalı kabuller ( yanlış bir dağılımın seçimi gibi), sistem
hakkında kötü kararların verilmesinin sağlayan çıktıların elde
edilmesine sebep olur.
• Girdi dağılımlarının belirlenmesinde 4 adım:
–
–
–
–
1) Verinin toplanması
2) Dağılım ailesinin seçimi (üstel, normal vb.)
3) Parametre tahmini
4) Uygunluk testi
• Uygunluk testi ile seçilen dağılım kabul edilmez ise, 2. adıma geri
dönülür ve farklı bir dağılım seçilerek prosedür tekrarlanılır.
• Toplanan veri bilinen dağılımlardan hiçbirine uymuyor ise, AMPİRİK
DAĞILIM tanımlaması yapılır.
VERİNİN TOPLANMASI
• İncelenen sistem için, bir benzetim modeli geliştirildikten sonraki
adım, modelde kullanılacak girdiler için sistemden verilerin
toplanmasıdır.
• Veri toplamada aşağıdaki kurallara uyulması gerekir;
1- Sistem önceden gözlemlenmeli ve hangi verilerin toplanması gerektiğine, hangi zamanlarda
verinin toplanacağına karar verilmelidir. Veri toplamak için gerekli formlar hazırlanmalıdır.
2- Girdi dağılımını belirlemek için yeterli verinin toplanması gerekir.
3- Sistemi iyi temsil edecek şekilde veri (homojen veri) toplanmalıdır. Bu nedenle, ardışık
günlerin aynı zaman periyotlarında ve aynı günün ardışık zaman periyotlarında veriler
toplanarak verinin homojenliği kontrol edilmelidir. Homojenliği kontrol etmek için kullanılan bir
test 2 örnekli t-testi’dir. Bu test ile dağılımların ortalamalarının eşit olup olmadığı test edilir.
4- İki değişken arasında bir ilişkinin olup olmadığının belirlenmesi gerekir. Scatter diyagramları
kullanılarak ilişkinin varlığı gözlemlenebilir. Regresyon analizi de değişkenler arasında
ilişkinin belirlenmesinde kullanılmaktadır.
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
• Dağılım ailesinin seçiminde;
– nokta istatistikleri ,
• ortalama, medyan, varyans
• değişim katsayısı ve Lexis oranı
• Çarpıklık ve basıklık katsayısı
– histogramlardan
yararlanılır.
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
• Nokta İstatistikleri:
– Bazı özel dağılımlar özel istatistik değerlere sahiptir.
– Bu istatistikler datadan (veriden) elde edilir ve teorik dağılımın nokta istatistikleri
ile karşılaştırılır.
a) Ortalama, Medyan ve Varyans
-Mod < Medyan < Ortalama
ise dağılım SAĞA ÇARPIK
-Mod > Medyan > Ortalama
ise dağılım SOLA ÇARPIK
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
b) Değişim Katsayısı ve Lexis Oranı:
– Değişim katsayısı, sürekli dağılımın şekli hakkında bilgi sahibi olmamızı
sağlar.
δˆ =
δ=
δˆ
s 2 ( x)
x
1 β2
1β
=1
x1 , x 2 ,...., x n
Üstel dağılım için
değeri 1’e yakın ise, dağılımın üstel olduğunu gösterir.
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
• Bazı sürekli dağılımlar için değişim katsayısı
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
• Lexis oranı; kesikli dağılımlar için kullanılır. Değişim katsayısı ile
aynı işleve sahiptir.
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
c) Çarpıklık ve Basıklık Katsayısı:
– Çarpıklık katsayısı, bir dağılımın simetriliğinin bir ölçüsüdür.
α 3 = 0 ise dagilim simetrik
α 3 > 0 ise dagilim saga carpiktir
α 3 < 0 ise dagilim sola carpiktir
Normal dağılım; α 3 = 0
Üstel dağılım; α 3 = 2
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
•
Basıklık katsayısı, dağılımın X eksenine yakınlığının bir ölçüsüdür.
n
E[( x − µ ) 4 ]
α4 =
(σ 2 ) 2
Normal dağılım; α 4
Uniform dağılım;
Üstel dağılım;
=3
α 4 = 1.8
α4 = 9
αˆ 4 =
∑[ X
i =1
i
− x( n ) ]4 / n
( s 2 (n)) 2
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
•
Histogram:
– Bir histogram, toplanan verinin (X1,X2,…,Xn) dağılımı ile ilgili olasılık
fonksiyonunun grafiksel tahminidir.
– Bir histogram, veri için bir model olarak araştırılan dağılımlar ile ilgili iyi bir ipucu
verir.
– Veriden yararlanılarak çizilen histogram, teorik dağılımın şekliyle karşılaştırılır.
•
X1,X2,…,Xn gözlemler olsun.
•
Gözlemler küçükten büyüğe sıralanır. X(1),X(2),…,X(n)
•
Açıklık (R= X(n) -X(1)) eşit uzunlukta k aralığa bölünür.
•
hj :[bj-1, bj] : j. aralığa düşen gözlemlerin oranı
[b0 , b1 ], [b1 , b2 ],..., [bk −1 , bk ]
∆b = b j − b j −1
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
•
Aralık genişliğinin belirlenmesi
∆b =
[ Max deg er ] − [ Min deg er ]
Aralik sayisi
– Bir histogramın çiziminde aralık genişliğinin belirlenmesi önemlidir.
– Aralık genişliğinin çok büyük ya da küçük alınması ile çizilen histogram, verinin
hangi dağılımdan geldiğine dair iyi bir bilgi vermez.
– Bu nedenle farklı aralık genişliği değerleri için histogram çizilerek, standart
dağılımlardan birisinin yoğunluk fonksiyonuna benzeyen histogram seçilmelidir.
• Aralık sayısının belirlenmesi
– Montgomery’e göre aralık sayısı :
– Blank’e göre aralık sayısı;
•
•
n < 50 ise 10-20
n > 50 ise 6-10
n
DAĞILIM AİLESİNİN SEÇİMİ
PARAMETRE TAHMİNİ
• Veriler için uygun bir (ya da birkaç) dağılım belirlendikten sonra, bu
dağılımın benzetimde kullanımı için parametre değerlerinin
belirlenmesi gerekir.
• Elde edilen X1,X2,…,Xn verileri, dağılımın parametrelerinin tahmin
edilmesi için kullanılır.
• Bir tahminci, verinin nümerik bir fonksiyonudur.
• Bir dağılımın parametresinin ( ya da parametrelerini) tahmin etmek
için kullanılan çeşitli metotlar vardır. Bunlar;
– 1) Maximum Likelihood tahmin edici (MLE)
– 2) En küçük kareler tahmin edici
– 3) Moment metodu
PARAMETRE TAHMİNİ
• Kesikli Dağılım:
– Veriye giydirilen dağılımın bir kesikli dağılım olduğunu kabul edilsin.
–
Bu dağılımın bir parametresi olsun.
– θ : Dağılımın parametresi
– pθ(x): Dağılımın olasılık fonksiyonu
– X1,X2,…,Xn :: gözlemlenen veriler
– Likelihood fonksiyonu, L(θ), aşağıdaki gibi tanımlanır.
– L(θ)= pθ(X1). pθ(X2). pθ(X3)…pθ(Xn)
– L(θ); veriler bağımsız olduğundan dolayı “bileşik olasılık fonksiyonu” dur.
• θ : bilinmeyen parametrenin değeri ise,
• L(θ); gözlemlenen verinin elde edilme olasılığını verir.
PARAMETRE TAHMİNİ
• θ’nın bilinmeyen değerinin MLE; L(θ)’yı maksimize eden değer
olarak tanımlanır.
• i) ln L L(θ) ;
– (logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan, L(θ)’nın maksimizasyonu
ln L(θ)’nın maksimizasyonuna eşdeğerdir. Hesaplaması daha kolaydır. )
• ii) ∂ ln L(θ ) = 0 ⇒ θˆ elde edilir.
∂ (θ )
PARAMETRE TAHMİNİ
• Örnek: Bernoulli dağılımın parametresini MLE ile tahmin ediniz.
PARAMETRE TAHMİNİ
• Sürekli Dağılım:
– Veriye giydirilen dağılımın bir sürekli dağılım olduğunu kabul edilsin.
– θ : Dağılımın parametresi
– fθ(x): Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu
– Likelihood fonksiyonu, L(θ), aşağıdaki gibi tanımlanır.
– L(θ)= fθ(X1). fθ(X2). fθ(X3)…fθ(Xn)
– lnL(θ) alınır
–
∂ ln L(θ )
= 0 ile θ parametresi tahmin edilir.
∂θ
PARAMETRE TAHMİNİ
• Örnek: Üstel dağılımın parametresini, β, MLE ile tahmin edilmesi.
⎧ 1 − xβ
⎪ e
f ( x) = ⎨ β
⎪⎩ 0
x > 0, β > 0
dd
UYGUNLUK TESTLERİ
• Uygunluk testi,
– X1,X2,…,Xn gözlemlerinin
– F̂ dağılım fonksiyonu ile özel bir dağılımdan
•
bağımsız örnekler olup olmadığını belirlemek için kullanılan bir istatistiksel
hipotez testidir.
• Bir uygunluk testi, aşağıdaki hipotezi test etmek için kullanılır.
H0 : Xi gözlemleri, F̂ dağılım fonksiyonu ile bağımsız özdeş dağılmış
rassal değişkenlerdir.
UYGUNLUK TESTLERİ
i) Ki – Kare (χ2) Testi
– χ2 testi; histogram ile giydirilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun bir formal (resmi)
karşılaştırılmasıdır.
– Sürekli ya da kesikli durumda χ2 test istatistiğini hesaplamak için giydirilen
dağılımın tüm alanı k ardışık alana bölünür.
–
–
[aj-1, aj) → j. Aralık;
[a0, a1), [a1, a2), … , [ak-1, ak);
•
a0 = -∞ ise [-∞,a1)
•
ak=∞ ise [ak-1, ∞)
X1, X2, … , Xn gözlem değerleri olduğunda;
k
– Nj : j. Aralıktaki gözlem sayısı;
∑N
j =1
j
= n → n gozlem sayisi
UYGUNLUK TESTLERİ
• pj : j. aralığa düşme olasılığı
( giydirilen dağılımdan örnekleme yapılsaydı; pj : j. aralığa düşen Xi’lerin oranı)
⎧ aj
⎪ ∫ fˆ ( x)dx
⎪ a j−1
⎪
pj = ⎨
⎪
Pˆ ( xi )
⎪a ∑
j −1 ≤ X i ≤ a j
⎪⎩
x surekli
x kesikli
• E[(aj-1, aj)]: j. aralığa düşen gözlem sayısının beklenen değeri
• E[(aj-1, aj)] = npj
UYGUNLUK TESTLERİ
• Test istatistiği
k
( N j − nPj ) 2
j =1
nPj
χ2 = ∑
•
χ 2 ≤ χ k2−1,1−α
•
H0 hipotezi red edilmez.
n→∞
χ 2 ~ χ k2−1
ise (1-α) güvenlik düzeyinde veri düşünülen dağılıma uygundur.
UYGUNLUK TESTLERİ
• Bir χ2 testini gerçekleştirme de en büyük zorluk aralık sayısının ve
aralık genişliğinin seçilmesidir.
– Öneri: pj değerlerinin yaklaşık olarak eşit seçilmesidir.
–
E j = nPj ≥ 5
→ Kesikli ve sürekli dağılımlar için geçerlidir.
– Sürekli dağılım için χ2 testinin kullanılmasında;
pj =
1
k
E j = nPj ≥ 5 ⇒ n.
1
n
≥5⇒ k ≤
k
5
– Yandaki tabloda, sürekli veriler için
örnek genişliğine bağlı olarak sınıf
aralıklarının sayısını vermektedir.
Kesikli dağılımlarda eşit olasılık aralıklarını elde etmek kolay değildir.
UYGUNLUK TESTLERİ
UYGUNLUK TESTLERİ
UYGUNLUK TESTLERİ
• ÖRNEK: Bir kavşakta sabah saatleri 7.00 ve 7.05 arasında 5
dakikalık bir süre için 5 iş gününde 20 haftalık bir peryotta arabaların
sayısı tutulmuş. Aşağıdaki tabloda 5 dakikalık bir zaman aralığında
araba gelişlerinin sayısı verilmiştir. (Banks & Carson, 1984)
UYGUNLUK TESTLERİ
ÇÖZÜM:
•
0; 5 dakikalık süreler için 12 kez hiç araba gelmediğini gösterir.
•
1; 5 dakikalık süreler için 10 kez 1 araba geldiğini gösterir.
•
Bu verilerin histogramı çizildiğinde
sıklık 20
2
3
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
4
5
6
7
8
9
10
11
x
UYGUNLUK TESTLERİ
• ÇÖZÜM:
• Verilerin histogramı, Poisson dağılımın olasılık fonksiyonu şekline
benzediğinden dolayı, verilerin Poisson dağılıma sahip olduğunu
kabul edilsin.
• Poisson dağılımın parametresi λ =3.64 olarak tahmin edilmiştir.
• Hipotez:
– H0: Veriler, Poisson dağılımdan gelmektedir.
– H1: Veriler, Poisson dağılımdan gelmemektedir.
• Poisson dağılımın olasılık fonksiyonu;
⎧ e − λ λx
⎪
⎪ x!
p( x) = ⎨
⎪ 0
⎪
⎩
x = 0,1,2,...
UYGUNLUK TESTLERİ
ÇÖZÜM:
• λ̂ =3.64 için, x’in tablodaki değerlerinin ortaya çıkma olasılıkları;
p(0)=0.026
p(1)=0.096
p(2)=0.174
p(3)=0211
p(4)=0.192
p(5)=0.140
• Ei = npi
• E1=100*(0.026)=2.6
p(6)=0.085
p(7)=0.044
p(8)=0.020
p(9)=0.008
p(10)=0.003
p(11)=0.001
dd
UYGUNLUK TESTLERİ
ÇÖZÜM:
χ 02
=27.68’dir.
’
serbestlik derecesi k-s-1=7-1-1=5;
χ 02 > χ 02.05 ,5
α =0.05 için
χ 2 =11.1
H0 hipotezi red
UYGUNLUK TESTLERİ
• ÖRNEK: Rassal olarak seçilen 50 adet elektronik chip’in yaşam
süreleri tutulmuştur. Bunlar;
•
Elektronik chiplerin yaşam sürelerinin üstel dağılıma sahip olup olmadığını Ki-Kare
testi ile test ediniz.
UYGUNLUK TESTLERİ
• ÇÖZÜM:
– Ki-Kare testini gerçekleştirmek için öncelikle veriler küçükten büyüğe sıralanır.
UYGUNLUK TESTLERİ
• ÇÖZÜM:
UYGUNLUK TESTLERİ
• Eşit olasılıklı aralıklar ile Ki-Kare testini gerçekleştirmek için, sınıf
aralıklarının sınırları belirlenmelidir.
• n=50 için k ≤ 10
np j ≥ 5
50
1
≥5
k
k ≤ 10
• k = 8 için pj = 0.125
• Her aralığın son noktası üstel dağılımın dağılım fonksiyonundan
hesaplanır.
UYGUNLUK TESTLERİ
UYGUNLUK TESTLERİ
χ 02 = 39.6
χ
2
0.05 ,6
= 12.6
χ 02 > χ 02.05 ,6
H0 hipotezi red
UYGUNLUK TESTLERİ
• ÖRNEK: Ki-Kare testinde Normal dağılım için aralıkların
hesaplanması
• Normal dağılım için kümülatif dağılım fonksiyonu;
⎛x−µ⎞
F( x ) = φ⎜
⎟
⎝ σ ⎠
−∞ ≤ x ≤ ∞
• ai: i. aralığın sınır değeri olmak üzere x = ai alınırsa
⎛a −µ⎞
F ( ai ) = φ ⎜ i
⎟
⎝ σ ⎠
i = 1,2 ,..., k
UYGUNLUK TESTLERİ
• İlk aralık; [-∞, a1) ve son aralık [ak - 1, ∞)
• Aynı problem için k=8 ve p=0.125
⎛a −µ⎞
F ( a1 ) = 0.125 = φ ⎜ 1
⎟ = φ (− 1.152 ) ⇒ a1 = µ − 1.152σ
⎝ σ ⎠
• Tüm aralıkların sınır değerleri
AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR
• Veriye uygun bir teorik dağılımın bulunamadığı durumlarda Ampirik
dağılımlardan yararlanılır.
• Sürekli Dağılımlar için;
– Orijinal veri mevcutsa;
• Toplanan veriler küçükten büyüğe sıralanır.
• X(1), X(2) …X(n)
• Sürekli, piecewise-doğrusal dağılım fonksiyonu tanımlanır.
AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR
⎧
0
⎪
x − X(i)
⎪i −1
F( x ) = ⎨
+
⎪ n − 1 ( n − 1 )( X ( i +1 ) − X ( i ) )
1
⎪⎩
x < X(1)
X ( i ) ≤ x < X ( i +1 )
X(n) ≤ x
– Dezavantajları;
• 1) Simülasyon sırasında bu dağılımdan üretilen rassal değer X(1)’den küçük ve
X(n)’den büyük olamaz.
• 2) f(x)’in ortalaması, gözlemlerin örnek ortalamasına eşit değildir.
AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR
– Gruplandırılmış veri mevcutsa;
•
Xi’lerin değerleri bilinmediğinden dolayı farklı bir yaklaşım kullanılır.
•
[a0, a1), [a1, a2), …., [ak-1, ak) ; k ardışık aralık olsun.
•
j. aralık, nj gözlemi içermektedir.
•
n1+ n2+…+ nk = n gözlem sayısı
•
Sürekli piecewise doğrusal ampirik dağılım fonksiyonu G;
⎧
0
⎪⎪
x − a j −1
G( a j ) − G( a j −1 )
G( x ) = ⎨G( a j −1 ) +
a j − a j −1
⎪
⎪⎩
1
[
G( a 0 ) = 0 ,
G( a j ) =
]
x < a0
a j −1 ≤ x < a j
ak ≤ x
( n1 + n 2 + n3 + ... + n j )
n
AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR
• Pratikte, çoğu sürekli dağılım sağa çarpıktır.
• Gözlem sayısı (n), yeterli büyüklükte değilse, dağılım sağ uç
noktasından çok az gözleme sahip olabiliriz.
• Çünkü, bu uç noktadan gözlem elde etme olasılığı azdır.
• Bu durumda, yukarıda tanımlanan Ampirik dağılımlar, bu uç
noktalardan gözlem elde etmeye izin vermezler.
AMPİRİK (GÖZLEMSEL) DAĞILIMLAR
• Kesikli Dağılımlar için;
–
X1, X2, … Xn orijinal veri mevcutsa, ampirik dağılım tanımlamak çok kolaydır.
– Mümkün her x değeri için ampirik fonksiyon p(x); x’e eşit Xi’lerin oranı olarak
tanımlanır.
F ( x ) = P( x ≤ X ) =
∑ p( x )
−∞ < x < ∞
x≤ X i
– Gruplandırılmış kesikli veri için;
– Bir aralıktaki x’in mümkün değerleri için p(x)’lerin toplamı; bu aralıktaki Xi’lerin
oranına eşittir.
VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE
• Bazı durumlarda, ilgilenilen rassal değişkenler için veri toplamak
mümkün olmayabilir. Bu durumlar;
– 1) Üzerinde çalışılan sistem mevcut değilse
– 2) Sistem mevcut ancak, simülasyon çalışması için ayrılan süre, verinin
toplanması ve analizi için yeterli değilse.
• Verinin yokluğunda, bir dağılımın seçilmesi için literatürde 2 sezgisel
yaklaşım vardır.
• İlgilenilen rassal değişkenin, sürekli bir rassal değişken olduğunu
kabul edilsin (X).
– X rassal değişkeni, bir işin gerçekleştirilme zamanı olarak düşünülebilir.
– Örneğin; arızalanan bir makinenin tamir zamanı.
VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE
• Her iki sezgisel yaklaşımda
– Birinci adım; [a, b] aralığını belirlemektir [P(X<a or X>b)=0].
• a ve b’nin subjektif tahminlerini elde etmek için uzmanların fikirleri alınır.
• [a ve b] değerleri, bir işin gerçekleştirilmesi için en iyimser ve en kötümser zamanlardır.
– İkinci adım; X’in bir gösterimi olarak düşünülebilecek bir olasılık yoğunluk
fonksiyonunun belirlenmesidir.
• 1. Sezgisel Yaklaşım; üçgen dağılımın kullanılmasıdır.
– Bu yaklaşımda, uzmanlardan işin en olası bitirilme zamanı öğrenilir.
– c, X’in dağılımının “mod” değeridir.
– a, b ve c değeri verildiğinde, X rassal değişkeni; [a,b] ve mod c ile üçgen
dağılıma sahip olduğu kabul edilir.
VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE
VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE
• 2. Sezgisel Yaklaşım; Beta dağılımını kullanmaktır.
– Bu yaklaşımda, X r.d.’nin, [a,b] aralığında α1 ve α2 şekil parametreleri ile Beta
dağılımına sahip olduğu kabul edilir.
– Bu yaklaşımda, α1 ve α2 parametrelerinin nasıl seçileceği problemi vardır. Çeşitli
öneriler;
• a) X r.d.’nin [a,b] aralığında ortaya çıkma olasılığı eşit ise, α1 = α2 =1 seçilir. Bu
durumda elde edilen dağılım uniform dağılımdır. X~Uni(a,b)
• b) X r.d.’nin olasılık yoğunluk fonksiyonunun sağa çarpık olduğu kabul edilir. (Bir işin
gerçekleşme zamanı ile ilgili dağılımlar genellikle sağa çarpıktır.) bu durumda Beta
dağılımında , α1 > α2 > 1 dir. Ortalaması µ, mod c ile bir Beta dağılımı verildiğinde
VERİ ELDE ETMEK MÜMKÜN DEĞİLSE
µ =a+
α1( b − a )
α1 + α 2
c=a+
( α 1 − 1 )( b − a )
α1 + α 2 − 2
• µ ve c’nin subjektif tahminleri verildiğinde
α~1 =
( µ − a )( 2c − a − b )
( c − µ )( b − a )
α~2 =
( b − µ )α~1
µ −a
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• BETA DAĞILIMI:
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• BETA DAĞILIMI:
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• BETA DAĞILIMI:
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• BETA DAĞILIMI:
• Kullanım alanları;
– 1) Veri yokluğunda bir rassal değişkenin dağılımı olarak kullanılabilir.
– 2) Bir yığın içindeki hatalı parçaların oranı
– 3) Bir işi tamamlama zamanı (Örn; bir PERT şebekesinde)
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• GAMMA DAĞILIMI
– Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, çan eğrisi şeklindedir ve
simetriktir.
– Bazı durumlarda, tasarımcının ilgilendiği değişken bir çarpık (skewed) dağılım
sahip olabilir. Gamma dağılımı da bir çarpık dağılımıdır.
– Gamma dağılımını tanımlamak için, matematiğin çeşitli dallarından önemli bir
rolü olan bir fonksiyonu öğrenmek gerekir.
– α > 0 için, gamma fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
∞
Γ( α ) = ∫ x α −1 e − x dx
0
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• GAMMA DAĞILIMI
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• GAMMA DAĞILIMI
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• GAMMA DAĞILIMI
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• GAMMA DAĞILIMI
• Kullanım yerleri;
– Müşteri servisi,
– Makine tamiri gibi elle yapılan işlerin tamamlanma zamanı gamma dağılımı
olabilir.
– Bir malın aylık satış miktarı.
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• WEIBULL DAĞILIMI
– Normal, gamma, üstel ve uniform dağılımları, sürekli değişkenlerin olasılık
modellerinin belirlenmesinde çok sık yararlanılan dağılımlardır.
– Ancak, pratikte gözlemlenen verinin bir setine bu dağılımlardan hiçbirisi tam
olarak temsil etmeyebilir.
– Weibull dağılım ailesi, İsveçli fizikçi Waloddi Weibull tarafından 1939 yılında
bulunmuştur.
⎧ α α −1 −( x β )α
⎪β α x e
⎪
f ( x; α , β ) = ⎨
⎪
0
⎪
⎩
x>0
dd
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• WEIBULL DAĞILIMI
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• WEIBULL DAĞILIMI
ÖNEMLİ DAĞILIMLAR
• WEIBULL DAĞILIMI
• Kullanım yerleri;
– Güvenilirlikle ilgili değişkenler, genellikle bir Weibull dağılım ile tanımlanır.
– Bir ekipmanın bir parçasının arızalanma zamanı ya da bir elektronik parçanın
ortalama yaşam süresi için değerlerin üretilmesinde Weibull dağılım kullanılabilir.
– Aynı zamanda, bir işin tamamlanma zamanı Weibull dağılıma uyun olabilir.