fuzzy soft topolojik uzaylar ve tıpta uygulamal

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SOFT DİTOPOLOJİK- FUZZY SOFT
TOPOLOJİK UZAYLAR VE TIPTA
UYGULAMALAR
Tuğba Han DİZMAN
DOKTORA TEZİ
Matematik Anabilim Dalı
Mayıs-2014
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait
olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and
presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as
required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and
results that are not original to this work.
İmza
Öğrencinin Adı SOYADI
Tuğba Han DİZMAN
Tarih:23.05.2014
ÖZET
DOKTORA TEZİ
SOFT DİTOPOLOJİK- FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR VE TIPTA
UYGULAMALAR
Tuğba Han DİZMAN
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Şaziye Yüksel
2014, 60Sayfa
Jüri
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
Doç. Dr. Kemal AYDIN
Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN
Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
Bu tezde belirsizliğe farklı bir yaklaşım olarak Molodtsov (1999) tarafından
geliştirilmiş soft kümeler ile topolojik yapılar ve soft ilefuzzy kümelerin bir araya
getirilmesiyle oluşturulmuş melez bir model olan fuzzy soft kümeler ile fuzzy topolojik
kavramlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca soft kümeleri kullanarak prostat
kanserini teşhis etmek için bir uzman sistem tasarlanmıştır.
Tezin ikinci bölümünde verilen soft ditopolojik uzaylar birbirinden bağımsız
olarak tanımladığımız soft açıklarla ilgili özelliklerin bulunduğu soft topolojik uzaylar
ve soft kapalılarla ilgili özelliklerin bulunduğu soft kotopolojik uzaylardan elde
edilmiştir.Soft topoloji ve soft kotopolojilerde sırasıyla 𝜏𝜏-soft süreklilik, 𝜏𝜏-soft ayırma
aksiyomları, 𝜅𝜅-soft süreklilik ve 𝜅𝜅-soft ayırma aksiyomları verilmiştir. Bu kavramlar
soft ditopolojik uzaylarda da incelenmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde fuzzy soft topolojik uzaylar incelenmiş, bu uzaylarda
komşuluk, Q-komşuluk, alt uzay, fuzzy soft iç ve kapanış noktaları gibi kavramlar
verilmiş vequasi ayırma aksiyomları çalışılmıştır.
Tezin dördüncübölümünde son yıllarda erkeklerde sıkça görülen prostat
kanserinin teşhisi için soft kümelerden faydalanarak elde ettiğimiz vesoft uzman
sistemler olarak adlandırdığımız birtahmin sistemitasarlanmıştır. Tasarladığımız bu
sistem,hastanın prostat spesifik antijen (PSA), yaş ve prostat hacmi (PV)
verilerinikullanarak prostat kanseri olma riskiyüzdesini hesaplayan bir programdır.
Hesaplanan buyüzde ile uzman doktora hasta hakkında bir fikir vermek amaçlanmıştır.
Bu yolla maliyeti yüksek olan ve hastada bazı fiziksel zararlara neden olabilen biyopsi
işlemini gereksiz yere uygulamak engellenebilir.Tasarladığımız sistemin prostat kanseri
teşhisi için kullanılması önerilir.
Anahtar Kelimeler:.Fuzzy soft quasi ayırma aksiyomları, fuzzy soft topolojik uzaylar, prostat
kanseri, soft ayırma aksiyomları, soft ditopolojik uzaylar, soft remote komşuluk, soft uzman sistem.
iv
ABSTRACT
Ph.D THESIS
SOFT DITOPOLOGICAL- FUZZY SOFT TOPOLOGICAL SPACES AND
THE APPLICATIONS IN MEDICINE
Tuğba Han DİZMAN
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCEOF
SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY INMATHEMATICS
Advisor: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
2014,60 Pages
Jury
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
Doç. Dr. Kemal AYDIN
Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN
Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
In this thesis, both the relation between soft set, defined byMolodtsov as a new
method for vagueness, and its corresponding topological structures and the relation
between fuzzy soft sets, a combination of fuzzy and soft sets, and its corresponding
fuzzy topological structures are investigated. Moreoverby using soft sets an expert
system to diagnose the prostate cancer is devised.
In the second section, soft ditopology is defined as a synthesis of soft topology
which is used to describe soft openness-type properties of a space and the soft
cotopology which deals with its soft closedness-type properties. 𝜏𝜏-soft continuity, 𝜏𝜏-soft
seperation axioms and 𝜅𝜅-soft continuity, 𝜅𝜅-soft seperation axioms are investigated in
soft topological and soft cotopological spaces, respectively.These concepts are also
studied in soft ditopological spaces.
In the third section fuzzy soft topological spaces are given and the concepts as
neihgborhood, Q-neighborhood, relative fuzzy soft topology, fuzzy soft interior and
closure points are defined and the quasi seperation axioms are investigated.
In the fourth section a prediction system, called soft expert system, is designed
to diagnose the prostate cancer which is the second most common cause of cancer death
among men. In our system the percantage of prostate cancer risk is obtained by using
the data of prostate specific antigen, age and prostate volume. We aim to help to the
doctor to decide whether the biopsy is necessary for a patient. It is known that biopsy
has high cost and sometimes can lead some complications for patients. For this reason it
is important to reduce the number of biopsy operations. Since our system prevents
unnecessary biopsy operations, it is suggested to use soft expert system to diagnose the
prostate cancer.
Keywords:Fuzzy soft quasi seperation axioms, fuzzy soft topological spaces,prostate cancer,
soft ditopological spaces, soft expert system, soft remote neighborhood,soft seperation axioms.
v
ÖNSÖZ
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde soft küme ve fuzzy soft
küme teoride yapılmış ve çalışmamız boyunca kullanacağımız temel tanım ve teoremler
verilmiştir. İkinci bölümde birbirinden bağımsız olan soft topoloji ve soft kotopoloji
kavramları tanıtılmış ve bu kavramlardan faydalanarak oluşturulmuş soft ditopolojik
uzaylar tanımlanmış ve özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde fuzzy soft topolojik
uzaylar geliştirilmiş ve fuzzy soft quasi ayırma aksiyomları çalışılmıştır. Dördüncü
bölümde soft kümeler kullanılarak prostat kanseri teşhisinde kullanılması önerilen bir
program tasarlanmıştır. Beşinci bölümde ise bu çalışmanın sonuçlarına yer verilmiştir.
Tez konumun seçilmesi ve yürütülmesi sürecinde özveri ve sabırla yol gösteren,
bilgi ve deneyimleriyle yolumu aydınlatan ve akademik hayatıma başladığım günden
beri desteğini her zaman hissettiğim danışman hocam Sayın Prof. Dr. Şaziye
YÜKSEL’esonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Hayatımda ve çalışmalarımda en büyük destekçilerim olan değerli annem ve
babam Nuran-Fahrettin ŞİMŞEKLER’e ve eşim Gürcan DİZMAN’a minnet ve
teşekkürlerimi sunarım.
Tuğba Han DİZMAN
KONYA-2014
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT ..................................................................................................................... v
ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ............................................................................................................. vii
SİMGELER VE KISALTMALAR .............................................................................. ix
1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1
1.1. Temel Kavramlar
................................................. 2
1.1.1. Fuzzy Kümeler ve Soft Kümeler
................................................. 2
1.1.2. Fuzzy Soft Kümeler
................................................. 6
2. SOFT DİTOPOLOJİK UZAYLAR .......................................................................... 9
2.1. Temel Kavramlar
............................................... 10
2.2.Soft Açıklar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Topolojik Uzaylar.................... 12
2.2.2. 𝝉𝝉-soft Sürekli ve Soft Açık Fonksiyonlar ............................................... 14
2.2.2.𝝉𝝉-ayırma Aksiyomları
............................................... 16
2.3.Soft Kapalılar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Kotopolojik Uzaylar ............. 19
2.3.2. 𝜿𝜿-soft Sürekli ve Soft Kapalı Fonksiyonlar .............................................. 22
2.3.3. 𝜿𝜿-soft Ayırma Aksiyomları
............................................... 26
2.4. Soft Ditopolojik Uzaylar
............................................... 29
3.FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ............................................................... 32
3.1. Fuzzy Soft Topolojik Uzayın Temel Kavramları ........................................ 32
3.2. Fuzzy Soft Quasi Ayırma Aksiyomları
............................................... 40
4. SOFT KÜMELERİN PROSTAT KANSERİ TEŞHİSİNDE BİR
UYGULAMASI ............................................................................................................. 47
4.1. Soft Uzman Sistemleri
............................................... 48
4.2. Sonuç
55
...................................................
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ................................................................................. 57
vii
5.1 Sonuçlar
............................................... 57
5.2 Öneriler
............................................... 58
KAYNAKLAR .............................................................................................................. 59
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler
⊆
∪
0𝑈𝑈 𝐸𝐸
Φ𝐴𝐴
:Alt küme
:Birleşim
~
∈
∉
∃
∀
:Boş fuzzy soft küme
:Boş soft küme
: Eleman
:Eleman değil
: En az bir
:Her
𝐼𝐼 𝑋𝑋
:Fuzzy kümeler ailesi
𝑓𝑓𝐴𝐴
:Fuzzy soft küme
𝑥𝑥𝛼𝛼 , 𝑦𝑦𝜇𝜇
:Fuzzy noktalar
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆
:Fuzzy soft nokta
∧
: İnfimum
𝜏𝜏𝑓𝑓 , 𝜏𝜏𝑓𝑓∗
∩
𝜏𝜏
𝜅𝜅
𝛿𝛿
𝐹𝐹𝐴𝐴
𝑥𝑥𝐴𝐴
∨
1𝑈𝑈 𝐸𝐸 ~
𝑈𝑈𝐸𝐸~
𝒫𝒫(𝑈𝑈)(2𝑈𝑈 )
I
:Fuzzy soft topolojiler
:Kesişim
:Soft topoloji
:Soft kotopoloji
:Soft ditopoloji
:Soft küme
:Soft nokta
:Supremum
:Tam fuzzy soft küme
:Tam soft küme
:U kümesinin kuvvet kümesi
:[0,1] kapalı aralığı
ix
1
1. GİRİŞ
George Cantor tarafından verilen “küme teori” matematiksel düşüncenin
gelişmesinde büyük rol oynamıştır. Bir küme elemanlarıyla belirlenir ve bir eleman
kümeye aittir ya da değildir. Örneğin doğal sayılar kümesini göz önüne alalım. Bu
kümede hiçbir belirsizlik yoktur ve elemanları bellidir. Şimdi bölümümüzdeki zeki
öğrencilerin kümesini bulmaya çalışalım. Kolayca anlaşılacağı gibi “zeki olma”
kavramı kesin bir kavram değildir, belirsizdir ve klasik kümeler yardımıyla böyle bir
kümeyi oluşturamayız. Olasılık teori, interval matematik, fuzzy küme teori gibi teoriler
belirsiz durumlar için geliştirilmiş teorilerden bazılarıdır. 1965 yılında Zadeh tarafından
tanımlanan fuzzy küme teori mühendislik, tıp,bilgisayar bilimleri gibi pek çok alana
uygulanmış ve araştırmacıların ilgisini çekmeyi başarmıştır. Fuzzy kümeler üyelik
fonksiyonları yardımıyla belirlenir. Bir eleman bir fuzzy kümeye üyelik derecesiyle
aittir ve bu derece [0,1] kapalı aralığında bir değerdir. Bu düşünceyle klasik
kümelerdeki nesnellik yerini belirsiz durumlar için geçerli olan öznelliğe bırakmıştır.
1999 yılında Molodtsov belirsiz durumlar için “soft küme teori” adını verdiği
yeni bir teori geliştirdi ve “Soft Set Theory- First Results” isimli makalesinde soft küme
teorinin fuzzy küme teoriden daha iyi bir yöntem olduğunu gösterdi.Molodtsov
makalesinde fuzzy kümelerde tanımlanan üyelik fonksiyonunun her durum için nasıl
belirleneceği sorusunun bu teori için bir zorluk olduğunu belirtti ve bu durumun
nedenini parametreleme işleminin olmayışına bağladı. Bu zorluktan kurtulmak için de
soft kümeleri bir evren ile bir parametre kümesinden faydalanarak tanımladı ve soft
kümeler evrenin parametrelenmiş alt kümeleri olarak verildi. Molodtsov soft kümelerin
Perron integrasyonu, oyun teori, olasılık teori, ölçü teori, düz fonksiyonlar gibi alanlara
uygulamalarını verdi. Soft küme teori kısa zamanda hızla gelişti. Maji ve arkadaşları
(2002) soft kümeleri karar verme problemlerinde kullandı. Pei ve Miao (2005) soft
kümeler ile bilgi sistemleri arasındaki ilişkileri gösteren bir çalışma yaptı. Chen (2005)
soft kümelerde parametre azaltmayla ilgili bir metot verdi ve bu metodu rough
kümelerdeki özellikleriazaltmayla karşılaştırdı. Aktaş ve Çağman (2007) soft kümelerle
fuzzy ve rough kümeler arasındaki ilişkiyi gösterdi ve soft kümeleri cebirsel yapılara
uyguladı. Jun ve Park (2008) soft kümelerin BCK/BCI cebirlere uygulanmasını gösteren
bir çalışma yaptı. Feng ve arkadaşları (2008) soft yarı halkalar üzerine çalışmalar
başlattı. Kong ve arkadaşları (2008) en iyi seçimi yapma problemi için soft kümeleri
kullandı ve soft kümelerde normal parametre azaltma için bir algoritma verdi. Ma ve
2
arkadaşları (2011) soft kümelerde parametre azaltma için yeni bir algoritma verdi ve bu
algoritmanın Kong ve arkadaşları (2008) tarafından verilen algoritmadan daha kullanışlı
olduğunu gösterdi. Feng ve arkadaşları (2010) soft kümeleri fuzzy ve rough kümelerle
bir araya getirdi ve rough fuzzy, rough soft, soft rough, soft rough fuzzy olarak
adlandırılan yeni melez kümeleri tanımladı. Shabir ve Naz (2011) soft topolojik uzayları
tanımladı ve sonrasında pek çok yazar soft topolojik uzayları geliştirdi(Ali ve
ark.(2009), Çağman ve ark.(2011), Ahmad ve Hussain (2012), Zorlutuna ve ark. ( 2012
)).
Maji ve arkadaşları (2001) fuzzy ve soft kümeleribir araya getirerek fuzzy soft
kümeleri tanımladı. Roy ve Maji (2007), fuzzy soft kümelerin uygulamalarına yönelik
çalışmalar yaptı. Ahmad ve Kharal (2009) fuzzy soft kümelerde birleşim, kesişim gibi
kuralları tanımladı ve fuzzy soft kümelerin De-Morgan ilişkilerini inceledi. Kharal ve
Ahmad (2009)fuzzy soft kümelerin sınıfları arasındaki dönüşümleri tanımladı.Tanay ve
Kandemir (2011) fuzzy soft topolojik uzayları ve bu uzaylardaki temel kavramları
tanımladı. Roy ve Samanta (2011) fuzzy soft topolojik uzayları sabit parametre kümeli
fuzzy soft kümeler üzerinde tanımladı, fuzzy soft topolojiler için taban ve alt taban
kavramlarını verdi.
1.1. Temel Kavramlar
Bu bölümde çalışmamız boyunca kullanacağımız tanımlar, teoremler ve
lemmalar verilmiştir.
1.1.1. Fuzzy Kümeler ve Soft Kümeler
Bu kesimde belirsizliğe iki farklı yaklaşım olan fuzzy küme teori ve soft küme
teorinin tez boyunca kullanılacak olan kavramları verilmiştir.
1.1.1.1.Tanım(Zadeh, 1965).𝑈𝑈 ≠ ∅olmak üzere 𝑈𝑈 kümesi üzerinde bir fuzzy
kümesi, 𝜇𝜇𝐴𝐴 : 𝑈𝑈 → 𝐼𝐼 = [0,1] üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen
ikililerin oluşturduğu kümedir.
𝐴𝐴 = {�𝑢𝑢, 𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢)�: 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈}
1.1.1.2. Tanım(Zadeh, 1965).Boş fuzzy kümeher 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 için 𝜇𝜇∅ (𝑢𝑢) = 0
üyelik fonksiyonuyla karakterize edilir ve 0𝑈𝑈 simgesi ile gösterilir:
0𝑈𝑈 = {(𝑢𝑢, 0): 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈}.
3
1.1.1.3.Tanım(Zadeh, 1965).Tam fuzzy kümeher 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 için 𝜇𝜇𝑈𝑈 (𝑢𝑢) = 1
üyelik fonksiyonuyla karakterize edilir ve 1𝑈𝑈 simgesi ile gösterilir:
1𝑈𝑈 = {(𝑢𝑢, 1): 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈}.
1.1.1.4.Tanım(Zadeh, 1965).𝐴𝐴ve𝐵𝐵, 𝑈𝑈kümesiüzerinde iki fuzzy küme olsun.
𝑖𝑖) Her 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 için 𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢) ≤ 𝜇𝜇𝐵𝐵 (𝑢𝑢) ise 𝐴𝐴fuzzy kümesine𝐵𝐵fuzzy kümesininalt
kümesidenir ve 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 simgesiyle gösterilir.
ve
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴ve𝐵𝐵kümelerininbirleşimi𝐶𝐶fuzzy kümesidir,𝐴𝐴 ∨ 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶simgesiyle gösterilir
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈için𝜇𝜇𝐶𝐶 (𝑢𝑢) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚⁡
{𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢), 𝜇𝜇𝐵𝐵 (𝑢𝑢)}
üyelik fonksiyonuyla tanımlanır.
ve
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴ve𝐵𝐵kümelerininkesişimi𝐷𝐷fuzzy kümesidir, 𝐴𝐴 ∧ 𝐵𝐵 = 𝐷𝐷simgesiylegösterilir
{𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢), 𝜇𝜇𝐵𝐵 (𝑢𝑢)}
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈için𝜇𝜇𝐷𝐷 (𝑢𝑢) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚⁡
üyelik fonksiyonuyla tanımlanır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴fuzzy kümesinin tümleyeni𝐴𝐴𝑐𝑐 simgesi ile gösterilir ve
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈için𝜇𝜇𝐴𝐴𝑐𝑐 (𝑢𝑢) = 1 − 𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢)
üyelik fonksiyonuyla tanımlanır.
1.1.1.5. Tanım(Zadeh, 1965).Bir 𝐴𝐴fuzzy kümesinin α-seviye kümesi,
şeklinde tanımlanır.
𝐹𝐹(𝛼𝛼) = {𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈: 𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢) ≥ 𝛼𝛼},
𝛼𝛼 ∈ [0,1]
1.1.1.1. Uyarı(Aktaş ve Çağman, 2007).Fuzzy küme ile klasik küme
arasındaki ilişki 𝛼𝛼-seviye fonksiyonu yardımıyla kurulabilir. 𝐴𝐴fuzzy kümesi,
𝜇𝜇𝐴𝐴 (𝑢𝑢) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠⁡
{𝛼𝛼: 𝑢𝑢 ∈ 𝐹𝐹(𝛼𝛼) }
formülünden𝛼𝛼-seviye kümelerinin herhangi bir ailesi yardımıyla elde edilebilir.
1.1.1.6. Tanım (Molodtsov, 1999).𝑈𝑈evren kümesi,𝐸𝐸 parametre kümesi ve
𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸olsun.
𝐹𝐹: 𝐴𝐴 → 𝒫𝒫(𝑈𝑈)bir
dönüşüm
ise𝐹𝐹𝐴𝐴 (yada
(𝐹𝐹, 𝐴𝐴))ikilisineU
evreni
üzerindesoft kümedenir. Başka bir deyişle soft küme 𝑈𝑈evren kümesinin altkümelerinin
parametrelenmiş bir ailesidir.
Tez boyunca aksi belirtilmediği sürece 𝐹𝐹𝐴𝐴 , U evreni üzerinde bir soft küme
olarak düşünülecektir.
4
1.1.1.1.Örnek.Bay 𝑋𝑋 ve Bayan 𝑌𝑌 evlilik törenleri için bir salon kiralamayı
planlamaktalar. 𝐹𝐹𝐸𝐸 soft kümesi “salonun olanaklarını” göstersin.
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢4 , 𝑢𝑢5 , 𝑢𝑢6 }kiralanabilecek salonları ve 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 , 𝑒𝑒4 , 𝑒𝑒5 }
parametre kümesi ve
𝐹𝐹(𝑒𝑒1 ) = {𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢4 }
𝐹𝐹(𝑒𝑒2 ) = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢4 }
𝐹𝐹(𝑒𝑒3 ) = ∅
𝐹𝐹(𝑒𝑒4 ) = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢5 }
𝐹𝐹(𝑒𝑒5 ) = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢6 }
olsun. O halde 𝐹𝐹𝐸𝐸 (𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝐹𝐹, 𝐸𝐸))soft kümesi:
dir.
𝐹𝐹𝐸𝐸 = �𝑒𝑒1 = {𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢4 }, 𝑒𝑒2 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢4 }, 𝑒𝑒3 = ∅, 𝑒𝑒4 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢5 }, 𝑒𝑒5 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢6 }�
U
u1
u2
u3
u4
u5
u6
e1
0
1
0
1
0
0
e2
1
0
1
1
0
0
e3
0
0
0
0
0
0
e4
1
0
1
0
1
0
e5
1
0
0
0
0
1
Tablo1.1.1.1.𝐹𝐹𝐸𝐸 soft kümesinin tablosal gösterimi
olsun.
1.1.1.7. Tanım(Maji ve ark, 2003).𝑈𝑈evreni üzerinde 𝐹𝐹𝐴𝐴 ve 𝐺𝐺𝐵𝐵 iki soft küme
𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵veher
𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴için𝐹𝐹(𝑎𝑎) ⊆ 𝐺𝐺(𝑎𝑎)ise𝐹𝐹𝐴𝐴 soft
kümesi
altkümesi olarak adlandırılır.
𝐺𝐺𝐵𝐵 soft
kümesinin
1.1.1.8.Tanım(Maji ve ark, 2003).Her 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 için 𝐹𝐹(𝑎𝑎) = ∅ ise 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesi
boş soft küme olarak adlandırılır ve ΦA simgesi ile gösterilir.
1.1.1.9. Tanım(Maji ve ark, 2003).Her 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 için 𝐹𝐹(𝑎𝑎) = 𝑈𝑈 ise 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesi
tam soft küme olarak adlandırılır ve 𝑈𝑈𝐴𝐴~ simgesi ile gösterilir.
1.1.1.2.Uyarı.İki soft küme için “𝑉𝑉𝑉𝑉”, “𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑌𝑌𝑌𝑌” işlemleri Molodtsov’un
makalesindetavsiye ettiği doğrultuda Maji ve arkadaşları tarafından 2003 yılında
aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
1.1.1.10. Tanım(Maji ve ark, 2003).U evreni üzerinde𝐹𝐹𝐴𝐴 ve 𝐺𝐺𝐵𝐵 iki soft küme
olsun. "𝑭𝑭𝑨𝑨 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑮𝑮𝑩𝑩 "soft kümesi
5
∀(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵, 𝐻𝐻(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = 𝐹𝐹(𝑎𝑎) ∩ 𝐺𝐺(𝑏𝑏)
olmak üzere 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⋀𝐺𝐺𝐵𝐵 = 𝐻𝐻𝐴𝐴×𝐵𝐵 şeklinde tanımlanır ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⋀𝐺𝐺𝐵𝐵 simgesi ile gösterilir.
1.1.1.11.Tanım(Maji ve ark, 2003).𝐹𝐹𝐴𝐴 ve𝐺𝐺𝐵𝐵 U evreni üzerinde iki soft küme
olsun. "𝑭𝑭𝑨𝑨 𝑽𝑽𝑽𝑽 𝒀𝒀𝒀𝒀𝑮𝑮𝑩𝑩 "soft kümesi
∀(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵, 𝑂𝑂(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) = 𝐹𝐹(𝑎𝑎) ∪ 𝐺𝐺(𝑏𝑏)
olmak üzere 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∨ 𝐺𝐺𝐵𝐵 = (𝑂𝑂𝐴𝐴×𝐵𝐵 ) şeklinde tanımlanır ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∨ 𝐺𝐺𝐵𝐵 simgesi ile gösterilir.
1.1.1.12.Tanım(Maji ve ark, 2003).𝐴𝐴𝑖𝑖 ⊂ 𝐸𝐸ve𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 : 𝐴𝐴𝑖𝑖 → 𝒫𝒫(𝑈𝑈)bir soft küme
olmak üzere {𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 : 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} soft kümeler ailesinin kesişimi
𝐺𝐺𝐶𝐶 = ⋂~
𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝐶𝐶 = ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝐺𝐺: 𝐶𝐶 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)veℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖𝐺𝐺𝐶𝐶 (𝑒𝑒) = ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 (𝑒𝑒)
olacak şekilde bir soft kümedir.
1.1.1.13.Tanım(Maji ve ark, 2003).𝐴𝐴𝑖𝑖 ⊂ 𝐸𝐸ve𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 : 𝐴𝐴𝑖𝑖 → 𝒫𝒫(𝑈𝑈)bir soft küme
olmak üzere {𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 : 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} soft kümeler ailesinin birleşimi
𝐺𝐺𝐶𝐶 = ⋃~
𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝐶𝐶 = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝐺𝐺: 𝐶𝐶 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)veℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖𝐺𝐺𝐶𝐶 (𝑒𝑒) = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 (𝑒𝑒)
olacak şekilde bir soft kümedir.
1.1.1.14. Tanım(Zahiri, 2013).𝑈𝑈birevren kümesive 𝐹𝐹: 𝑈𝑈 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)dönüşümü
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹(𝑢𝑢) = {𝑢𝑢}
şeklinde tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Buradan𝐹𝐹𝑈𝑈 soft kümesine U kümesinden
üretilmiş basit soft küme denir.
1.1.1.3.Uyarı.1.1.1.14.Tanımgereği
her
kümeden
bir
soft
küme
elde
edilebileceği açıktır.
1.1.1.1.Teorem(Aktaş ve Çağman, 2007).Her fuzzy kümeden bir soft küme
elde edilebilir.
1.1.1.15. Tanım(Ma ve ark., 2011). 𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , … , 𝑢𝑢|𝑈𝑈| } boş kümeden farklı,
sonlu sayıda nesnelerin kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎|𝐴𝐴| } boş kümeden farklı sonlu
özelliklerin kümesi,𝑉𝑉𝑎𝑎 kümesi 𝑎𝑎 özelliğinin değer kümesi olmak üzere 𝑉𝑉 = ⋃𝑎𝑎∈𝐴𝐴 𝑉𝑉𝑎𝑎 , her
(𝑢𝑢, 𝑎𝑎) ∈ 𝑈𝑈 × 𝐴𝐴ve𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑎𝑎) ∈ 𝑉𝑉𝑎𝑎 için 𝑓𝑓: 𝑈𝑈 × 𝐴𝐴 → 𝑉𝑉 bir bilgi fonksiyonu olsun.O halde
𝑆𝑆 = (𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝑉𝑉, 𝑓𝑓) dörtlüsü bir bilgi sistemi olarak adlandırılır. Bilgi sistemleri bilgi
tabloları şeklinde de gösterilebilir (Bkz. Tablo 1.1.1.2). Bir 𝑆𝑆 = (𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝑉𝑉, 𝑓𝑓) bilgi
6
sisteminde her 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 için 𝑉𝑉𝑎𝑎 = {0,1} ise 𝑆𝑆dörtlüsü𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵-değerli bilgi sistemi olarak
adlandırılır.
U
𝑢𝑢1
𝑢𝑢2
𝑢𝑢3
⋮
𝑢𝑢|U|
𝑎𝑎 1
𝑓𝑓(𝑢𝑢1 , 𝑎𝑎1 )
𝑓𝑓(𝑢𝑢2 , 𝑎𝑎1 )
𝑓𝑓(𝑢𝑢3 , 𝑎𝑎1 )
⋮
𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈| , 𝑎𝑎1 )
𝑎𝑎 2
𝑓𝑓(𝑢𝑢1 , 𝑎𝑎2 )
𝑓𝑓(𝑢𝑢2 , 𝑎𝑎2 )
𝑓𝑓(𝑢𝑢3 , 𝑎𝑎2 )
⋮
𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈| , 𝑎𝑎2 )
𝑎𝑎k
𝑓𝑓(𝑢𝑢1 , 𝑎𝑎𝑘𝑘 )
𝑓𝑓(𝑢𝑢2 , 𝑎𝑎𝑘𝑘 )
𝑓𝑓(𝑢𝑢3 , 𝑎𝑎𝑘𝑘 )
⋮
𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈| , 𝑎𝑎𝑘𝑘 )
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
𝑎𝑎|A|
𝑓𝑓(𝑢𝑢1 , 𝑎𝑎|𝐴𝐴| )
𝑓𝑓(𝑢𝑢2 , 𝑎𝑎|𝐴𝐴| )
𝑓𝑓(𝑢𝑢3 , 𝑎𝑎|𝐴𝐴| )
⋮
𝑓𝑓(𝑢𝑢|𝑈𝑈| , 𝑎𝑎|𝐴𝐴| )
Tablo1.1.1.2.Bilgi sistemi
1.1.1.2. Teorem(Ma ve ark, 2011).U evreninde 𝐹𝐹𝐸𝐸 soft kümesi 𝑆𝑆 =
(𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝑉𝑉[0,1] , 𝑓𝑓) biçiminde bir 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵-değerli bilgi sistemidir.
1.1.1.4.Uyarı.𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵-değerli bir bilgi sisteminin bir soft küme olarak
gösterilebileceği açıktır. 1.1.1.1.Örnekte verilmiş olan 𝐹𝐹𝐸𝐸 soft kümesi 1.1.1.2. Tabloda
olduğu gibi bir 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 tablosu olarak gösterilebilir.
1.1.2.FuzzySoft Kümeler
Bu kesimde fuzzy küme ve soft kümeden yararlanılarak Maji ve arkadaşları
(2001) tarafından tanımlanmış fuzzysoft küme teorinin tez boyunca kullanılacak genel
kavramları verilmiştir.
1.1.2.1. Tanım(Maji ve ark, 2001). 𝐼𝐼 𝑈𝑈 ya daℱ(𝑈𝑈)simgesiU kümesinin tüm
fuzzy alt kümelerinin ailesini göstersin.𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸olmak üzere𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → ℱ(𝑈𝑈)bir dönüşüm ise
𝑓𝑓𝐴𝐴 ikilisinefuzzysoft kümedenir.
Çalışmamız boyunca U evreni üzerinde E parametresine bağlı fuzzysoft kümeler
ailesini 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)simgesi ile göstereceğiz.
1.1.2.1.Uyarı.Roy
ve
Samanta
(2011)
çalışmalarında
fuzzysoft
küme
kavramınıaşağıda gösterildiği gibi düzenlediler:
1.1.2.2. Tanım (Roy ve Samanta, 2011).𝑓𝑓: 𝐸𝐸 → ℱ(𝑈𝑈)dönüşümüeğer her
𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 − 𝐴𝐴için𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒) = 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴 = 0𝑈𝑈 ve her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒) = 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴 ≠ 0𝑈𝑈 şeklinde tanımlı
ise𝑓𝑓𝐴𝐴 ikilisineU evreni üzerinde fuzzysoft küme denir.
7
1.1.2.3.
Tanım(Roy
ve
Samanta,
kümesinintümleyeni𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑐𝑐 simgesi ile gösterilir ve
şeklinde tanımlanır.
2011).𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy
soft
𝑓𝑓𝐴𝐴𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 → ℱ(𝑈𝑈), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴 𝑐𝑐 = 1 − 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴
1.1.2.4. Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun.
𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 𝑣𝑣𝑣𝑣 ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ≤ 𝑔𝑔𝐵𝐵 (𝑒𝑒)
ise𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑔𝑔𝐵𝐵 fuzzy soft kümesininalt kümesi denir ve 𝑓𝑓𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐵𝐵 simgesi
ile gösterilir.
𝑔𝑔𝐵𝐵 fuzzy soft kümesi𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin alt kümesi ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft
kümesine𝑔𝑔𝐵𝐵 fuzzy soft kümesinin süper kümesidenir.
1.1.2.5. Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Bu iki fuzzysoft
kümeninbirleşimi
𝑓𝑓𝐶𝐶 (𝑒𝑒),
𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵
𝑒𝑒 ∈ 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴
𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 𝑣𝑣𝑣𝑣 ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ𝐶𝐶 = � 𝑔𝑔𝐶𝐶 (𝑒𝑒),
𝑓𝑓𝐶𝐶 (𝑒𝑒) ∨ 𝑔𝑔𝐶𝐶 (𝑒𝑒), 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵
şeklinde bir ℎ𝐶𝐶 fuzzysoft kümesidir vebu işlem 𝑓𝑓𝐴𝐴 ⊔ 𝑔𝑔𝐵𝐵 = ℎ𝐶𝐶 ile gösterilir.
1.1.2.6.Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Bu iki fuzzysoft
kümenin kesişimi𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ve ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 için,ℎ𝐶𝐶 (𝑒𝑒) = 𝑓𝑓𝐶𝐶 (𝑒𝑒) ∧ 𝑔𝑔𝐶𝐶 (𝑒𝑒) şeklinde bir
ℎ𝐶𝐶 fuzzysoft kümesidir ve bu işlem 𝑓𝑓𝐴𝐴 ⊓ 𝑔𝑔𝐵𝐵 = ℎ𝐶𝐶 ile gösterilir.
1.1.2.7. Tanım(Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için
𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒) = 0ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑨𝑨parametre kümesine göreboşfuzzy soft
küme denir ve 0~
𝑈𝑈𝐴𝐴 simgesi ile gösterilir. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için 𝑓𝑓𝐸𝐸 (𝑒𝑒) = 0 ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 boş fuzzy
softküme olarak adlandırılır ve 0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 simgesi ile gösterilir.
1.1.2.8.Tanım (Maji ve ark, 2001).𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için
𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒) = 1 ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesine𝑨𝑨parametre kümesine göretamfuzzysoft
küme denir ve 1~
𝑈𝑈𝐴𝐴 simgesi ile gösterilir. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için𝑓𝑓𝐸𝐸 (𝑒𝑒) = 1ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 tam fuzzysoft
küme olarak adlandırılır ve 1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 simgesi ile gösterilir.
~
~ 𝑐𝑐
~
𝑐𝑐
1.1.2.2. Uyarı.(0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 ) = 1𝑈𝑈𝐸𝐸 , (1𝑈𝑈𝐸𝐸 ) = 0𝑈𝑈𝐸𝐸 olduğuboş fuzzysoft küme ve tam
fuzzysoft küme tanımlarından kolaylıkla görülebilir.
8
1.1.2.9. Tanım(Kharal ve Ahmad 2009).𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)ve𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) sırasıyla U ve V
üzerindeki tüm fuzzysoft kümelerin ailesini göstersin. 𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉ve𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃 iki
fonksiyon
olsun.
adlandırılır,
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) → 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)fuzzysoft
dönüşümolarak
𝑖𝑖) 𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun. 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin𝜑𝜑𝜓𝜓 fuzzysoft dönüşümü altındaki
görüntüsü𝑉𝑉evreniüzerinde bir fuzzysoft kümedir ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑓𝑓𝐴𝐴 )(𝑘𝑘)(𝑣𝑣) = �
şeklinde tanımlanır.
∀𝑘𝑘 ∈ 𝜓𝜓(𝑒𝑒), ∀𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑉𝑉𝜑𝜑(𝑢𝑢)=𝑣𝑣 𝑉𝑉𝜓𝜓(𝑒𝑒)=𝑘𝑘 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢),
0𝑈𝑈 ,
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐵𝐵 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)olsun.
𝑔𝑔𝐵𝐵
fuzzy
soft
𝑢𝑢 𝜖𝜖 𝜑𝜑 −1 (𝑣𝑣) 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
diğer durumlarda
kümesinin𝜑𝜑𝜓𝜓 fuzzysoftdönüşümü
altındakitersgörüntüsüUüzerinde bir fuzzysoft kümedir ve
𝜓𝜓(𝑒𝑒)
∀𝑒𝑒 ∈ 𝜓𝜓 −1 (𝑃𝑃), ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑔𝑔𝐵𝐵 )(𝑒𝑒)(𝑢𝑢) = 𝜇𝜇𝑔𝑔 𝐵𝐵 (𝜑𝜑(𝑢𝑢))
şeklinde tanımlanır.
Eğer 𝜑𝜑 ve 𝜓𝜓 bire-bir ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 fuzzysoft dönüşümü bire-bir,𝜑𝜑 ve 𝜓𝜓 örtense
𝜑𝜑𝜓𝜓 fuzzysoft dönüşümü örten olarak adlandırılır.
9
2. SOFT DİTOPOLOJİK UZAYLAR
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷kavramı ilk olarak Brown ve Diker (1998) tarafından tanımlanmış ve
sonrasında bu konuda pek çok araştırma yapılmıştır. 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷kavramı, Kelly
tarafından 1962 yılında tanımlanan 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 kavramıyla ilişkilidir. Bitopolojilerden
farklı olarak ditopolojilerde bir küme üzerinde iki farklı yapı vardır, bunlardan biri
kümelerin açıklarla ilgili özelliklerini tanımlarken, diğeri kapalılarla ilgili özellikleri
tanımlar. Bu yapılar arasında bir bağ olmasına gerek yoktur ancak topolojilerde bu
yapılar birbiriyle ilişkilidir. Soft kümeler tümleme işlemi için uygun olmadıklarından
soft küme uygulamalarını 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 uygulamak topolojiye uygulamaktan daha
elverişlidir.
Çalışmamızın bu kesiminde soft küme ile ilgili yapılmış çalışmalardan soft
küme kavramında verilen 𝐸𝐸 ve 𝐴𝐴 parametre kümelerinin yorumlanması açısından
ayrılmaktayız. 𝐸𝐸kümesini potansiyel parametre kümesi ve 𝐴𝐴kümesini asıl parametre
kümesi olarak düşünebiliriz. Soft kümeyle ilgili çalışmalarda yazarlar, bir parametre 𝐴𝐴
kümesine ait değilse görüntüsünü boş küme olarak ve ya 𝐸𝐸 ile 𝐴𝐴 kümesini aynı (çakışık)
olarak kabul etmişlerdir. Biz ise çalışmamızda 𝐴𝐴 kümesine ait olmayan parametrelerin
görüntüsünü tanımlanmamış olarak kabul edeceğiz yani bu parametrelerin görüntüsünü
göz önüne almayacağız. Bu durum soft kümelerle ilgili işlemlerde temel bir farklılık
yaratmaktadır.
Bu bölümde ilk olarak bölüm boyunca kullanacağımız teorem, tanım ve
önermeleri
vereceğiz.
Sonra
soft
açıklar
üzerine
kurulmuş
soft
topolojiyi
tanımlayacağız. Soft topolojide vereceğimiz pek çok kavram ve sonuç daha önce çeşitli
yazarlar tarafından yapılmış olan çalışmalardaki sonuçlara benzer olduğundan ispatlar
kısaca geçilmiştir. Belirtmeliyiz ki, burada tümleyen işlemini kapalıları elde etmek için
kullanamıyoruz, çünkü kabul ettiğimiz soft küme modeliyle bu mümkün değildir. Daha
sonra
soft
kapalı
kümelerden
yararlanarak
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
kuracağız.
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘yaptığımız tüm işlemlerde soft kapalı kümelerden faydalanacağız
ve soft açıkları kullanmayacağız. Son olarakta önceki iki bölümde tanımladığımız ve
birbirinden bağımsız olan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
ve 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
kavramlarından
yararlanarak 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 tanımlayacağız ve bu uzaydaki bazı özellikleri
çalışacağız.
10
2.1.Temel Kavramlar
2.1.1.Tanım.U evren kümesi, Epotansiyel parametre kümesi ve 𝑨𝑨 ⊂ 𝑬𝑬asıl
parametre kümesi olsun. 𝑭𝑭: 𝑨𝑨 ⟶ 𝓟𝓟(𝑼𝑼)bir dönüşüm olmak üzere (𝑭𝑭, 𝑨𝑨) ikilisinesoft
küme denir ve kısaca 𝑭𝑭𝑨𝑨 simgesiyle gösterilir Burada 𝒆𝒆 ∈ 𝑨𝑨 ise 𝑭𝑭𝑨𝑨 (𝒆𝒆) ⊆ 𝑼𝑼olur ancak
𝒆𝒆 ∉ 𝑨𝑨 durumu göz önüne alınmayacaktır.
Bu
2.1.1.Uyarı.
bölüm
boyunca
soft
küme
2.1.1.Tanım
anlamında
düşünülecektir.
2.1.2.Tanım. 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin tümleyeni𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐 : 𝐴𝐴 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)dönüşümüdür ve
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐 (𝑒𝑒) = 𝑈𝑈 − 𝐹𝐹𝐴𝐴 (𝑒𝑒)
olur.
2.1.2.Uyarı.Soft kümelerin birleşimi, kesişimi, alt küme işlemleri, 𝑈𝑈𝐸𝐸~ tam soft
küme veΦ𝐸𝐸 boş soft kümeI. bölümde verildiği gibidir.
2.1.1.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑖𝑖 : 𝐴𝐴𝑖𝑖 ⟶ 𝒫𝒫(𝑈𝑈)soft kümelerin bir ailesi olsun. Bu durumda soft
kümelerde De-Morgan tipindeki ilişkiler aşağıdaki gibi sağlanır:
𝑖𝑖) (⋂~ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑖𝑖 𝐴𝐴 )𝑐𝑐 ⊆~ ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ~ (𝐹𝐹𝑖𝑖 𝐴𝐴 )𝑐𝑐 .
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖) (⋃~ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑖𝑖 𝐴𝐴 )𝑐𝑐 ⊇~ ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ~ (𝐹𝐹𝑖𝑖 𝐴𝐴 )𝑐𝑐 .
𝑖𝑖
𝑖𝑖
2.1.2.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) Φ𝐸𝐸 ∩~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 ,Φ𝐸𝐸 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 .
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ∩~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐸𝐸~ .
2.1.3.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 = 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ır.
2.1.4.Teorem. 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 , 𝐻𝐻𝐶𝐶 , 𝑆𝑆𝐷𝐷 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖)𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵olmak üzere 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 = Φ𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢
𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 = Φ𝐴𝐴 𝑒𝑒ş𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠ğ𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙ı𝑟𝑟.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑐𝑐 ⊆~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆~ 𝐻𝐻𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐻𝐻𝐶𝐶 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜.
11
𝑣𝑣) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐻𝐻𝐶𝐶 ⊆~ 𝑆𝑆𝐷𝐷 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐻𝐻𝐶𝐶 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∩~ 𝑆𝑆𝐷𝐷 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜.
2.1.3.Uyarı. Kharal ve Ahmad (2011) “Mappings on Soft Classes” isimli
çalışmalarında soft kümelerin aileleri arasında dönüşümü tanımlamıştır. Bizde bu
tanıma benzer olarak soft kümeler arasındaki dönüşümü aşağıdaki gibi düzenledik:
2.1.3.Tanım.𝑈𝑈, 𝑉𝑉iki evren kümesi 𝐸𝐸, 𝑃𝑃 iki potansiyel parametre kümesi,
𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ve 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃), sırasıyla (𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ve (𝑉𝑉, 𝑃𝑃) üzerinde tanımlı soft kümelerin aileleri
olsun.
𝜑𝜑: 𝑈𝑈 ⟶ 𝑉𝑉ve𝜓𝜓: 𝐸𝐸 ⟶ 𝑃𝑃
iki
fonksiyon
olsun.
𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)fonksiyonu altında,
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) soft kümesinin görüntüsü,
𝜑𝜑𝜓𝜓 ((𝐹𝐹𝐴𝐴 )(𝑒𝑒)) = 𝜑𝜑(⋃𝑒𝑒∈𝜓𝜓 −1 (𝑝𝑝) 𝐹𝐹(𝑒𝑒)), ∀𝑝𝑝 ∈ 𝜓𝜓(𝐴𝐴),
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)soft kümesinin ters görüntüsü,
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 ((𝐺𝐺𝐵𝐵 )(𝑝𝑝)) = 𝜑𝜑 −1 (𝐺𝐺𝐵𝐵 (𝜓𝜓(𝑒𝑒))), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝜓𝜓 −1 (𝐵𝐵)
olaraktanımlanmıştır.
𝜑𝜑ve𝜓𝜓 dönüşümleri bire-bir ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümüne bire-bir,𝜑𝜑 ve 𝜓𝜓 dönüşümleri
örtense 𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümüne örten adı verilir.
2.1.4.Uyarı. Sıradaki üç teorem Kharal ve Ahmad (2011) tarafından “Mappings
on Soft Classes” isimli çalışmalarında verilmiştir. Biz bu teoremleri parametre
kümesinde değişiklik yaparak tanımladığımız soft kümeler için yeniden düzenledik.
2.1.5.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 : 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)bir fonksiyon, 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ve 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 ,
𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)’de soft kümelerin bir ailesi olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 (Φ𝐴𝐴 ) = ΦΨ(𝐴𝐴) , 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑈𝑈𝐸𝐸~ ) ⊆~ 𝑉𝑉𝑃𝑃~ .
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 �⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 � = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 �𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 �.
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 �⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 � ⊆~ ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 �𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 �.
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ise𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐺𝐺𝐵𝐵 ).
2.1.6.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 : 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)bir fonksiyon, 𝐻𝐻𝐶𝐶 , 𝑆𝑆𝐷𝐷 ∈ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) ve 𝐻𝐻𝑖𝑖𝐶𝐶 ,
𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)’de soft kümelerin bir ailesi olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (Φ𝑃𝑃 ) = Φ𝐸𝐸 , 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (V𝑃𝑃 ~ ) = U𝐸𝐸 ~ .
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 �⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝐻𝐻𝑖𝑖𝐶𝐶 � = ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 �𝐻𝐻𝑖𝑖𝐶𝐶 �.
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
12
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 �⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝐻𝐻𝑖𝑖𝐶𝐶 � = ⋂𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 �𝐻𝐻𝑖𝑖𝐶𝐶 �.
𝑖𝑖
𝑖𝑖
2.1.7.Teorem. 𝜑𝜑𝜓𝜓 : 𝑆𝑆(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) ⟶ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃)bir fonksiyon ve 𝐻𝐻𝐶𝐶 ∈ 𝑆𝑆(𝑉𝑉, 𝑃𝑃) olsun.
Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (F𝐴𝐴 )) ⊆~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 .
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (F𝐴𝐴 𝑐𝑐 )=(𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (F𝐴𝐴 ))𝑐𝑐 .
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 ( 𝜑𝜑𝜓𝜓 (F𝐴𝐴 )).
2.2.Soft Açıklar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Topolojik Uzaylar
2.2.1. Soft Topoloji
Bu kesimdeÇağman ve ark.(2011),Zorlutuna ve ark. (2011), Kharal ve Ahmad
(2011),Aygünoğlu ve Aygün (2011), Shabir ve Naz(2013) tarafından soft topolojide
verilmiş bazı kavramları, sonuçları ve yapıları hatırlatacağız. Ancak bu çalışmalarda
elde edilen sonuçlardan 𝐸𝐸potansiyelve𝐴𝐴 asıl parametre kümelerinin yorumlanışı
bakımındanayrılmaktayız. Bunun yanısıra bu kesimde sadece açıklarla ilgili özellikleri
kullanırken kapalılarla ilgili özellikleri kullanmaktan kaçınacağız.
2.2.1.1.Tanım.𝑈𝑈evren kümesi ve 𝐸𝐸potansiyel parametre kümesi olsun. 𝑈𝑈𝐸𝐸 ~ tam
soft kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olan 𝜏𝜏, aşağıdaki özellikleri sağlarsa soft
topoloji olarak adlandırılır:
𝑖𝑖) Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ∈ 𝜏𝜏,
𝑖𝑖𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ~ 𝐹𝐹𝑖𝑖𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏,
𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏.
𝑖𝑖
𝜏𝜏ailesinin her elemanına soft açık küme ve (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏) ikilisine soft topolojik uzaydenir.
2.2.1.2.Tanım.𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde tanımlı 𝜏𝜏1 ve 𝜏𝜏2 soft topolojileri verilmiş olsun. Her
𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏2 için 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏1 oluyorsa 𝜏𝜏2 soft topolojisine 𝜏𝜏1 soft topolojisinden daha kaba
denir.
2.2.1.1.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 )ve(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏2 ) iki soft topolojik uzaysa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ∩ 𝜏𝜏2 )uzayı
da soft topolojik uzaydır.
İspat.𝑖𝑖) ΦA , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ∈ 𝜏𝜏1 ∩ 𝜏𝜏2 olduğu kolayca görülür.
13
𝑖𝑖𝑖𝑖) Her 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 için (𝐹𝐹𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1 ∩ 𝜏𝜏2 olsun. Buradan
(𝐹𝐹𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1 , (𝐹𝐹𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏2 𝑣𝑣𝑣𝑣 ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ~ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1 , ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ~ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏2
dir. Böylece ⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ~ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏1 ∩ 𝜏𝜏2 olur.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1 ∩ 𝜏𝜏2 olsun. Buradan
𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1 , 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏2 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1 , , 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏2
dir. Böylece 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝜏𝜏1 ∩ 𝜏𝜏2 olur.
2.2.1.2.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir
soft
topolojik
uzay
ise
her
(𝑈𝑈(𝑒𝑒), 𝜏𝜏(𝑒𝑒))uzayı da bir topolojik uzaydır.
𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸
için
2.2.1.1. Uyarı. 2.2.1.1. Teorem ve 2.2.1.2. Teoremlerin ispatı Shabir ve Naz
(2011) tarafından yapılmış çalışmadaki ispatlara benzer olarak yapılmıştır.
2.2.1.3.Tanım.𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ⊆ 𝐸𝐸 ve 𝐹𝐹𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için 𝑥𝑥𝐴𝐴 (𝑒𝑒) = 𝑥𝑥
şeklinde tanımlanan 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft kümesine soft nokta denir.
Eğer her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için 𝑥𝑥 ∈ 𝐹𝐹𝐵𝐵 (𝑒𝑒) ise 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktası 𝐹𝐹𝐵𝐵 soft kümesinin bir
elemanıdır denir ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐹𝐹𝐵𝐵 şeklinde gösterilir.
2.2.1.4.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ve 𝐹𝐹𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun.
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐺𝐺𝐶𝐶 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐵𝐵 olacak şekilde bir 𝐺𝐺𝐶𝐶 soft açığı varsa 𝐹𝐹𝐵𝐵 soft kümesine 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasının 𝝉𝝉-soft komşuluğu denir. 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bütün 𝜏𝜏-soft komşuluklarının
ailesini𝒩𝒩(𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ile göstereceğiz.
2.2.1.2.Uyarı. 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesinin her 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının 𝜏𝜏-soft komşuluğu olduğu
ve 𝐺𝐺𝐵𝐵 ∈ 𝒩𝒩(𝑥𝑥𝐴𝐴 ),𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼ 𝐻𝐻𝐶𝐶 ise 𝐻𝐻𝐶𝐶 ∈ 𝒩𝒩(𝑥𝑥𝐴𝐴 )olduğu kolaylıkla görülebilir.
2.2.1.5.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir
soft
topolojik
uzay
ve
𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
olsun.
𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐻𝐻𝐶𝐶 ⊆∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 olacak şekilde 𝐻𝐻𝐶𝐶 soft açığı varsa 𝐺𝐺𝐵𝐵 soft kümesine 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin
𝝉𝝉-soft komşuluğu denir. 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin bütün 𝜏𝜏-soft komşuluklarının ailesini𝒩𝒩(𝐹𝐹𝐴𝐴 )
simgesi ile göstereceğiz.
2.2.1.6.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft
kümesinin soft içi𝐹𝐹𝐴𝐴 ° simgesi ile gösterilir ve
şeklinde tanımlanır.
𝐹𝐹𝐴𝐴 ° = ⋃~ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 {𝐺𝐺𝐵𝐵𝑖𝑖 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝐺𝐺𝐵𝐵𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐺𝐺𝐵𝐵𝑖𝑖 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 }
14
2.2.1.3.Uyarı.Sıradaki iki teoremin ispatını Çağmanve ark.(2011), Shabir ve
Naz(2011),Hussain ve Ahmad. (2011) tarafından yazılmış makalelerde verilmiş benzer
teoremlerin ispatlarından faydalanarak elde edebiliriz.
2.2.1.3.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Aşağıdaki
özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 .
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° soft kümesi 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinde kapsanan en büyük soft açıktır.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑎𝑎𝑎𝑎ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° = 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴 ° )° = 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° .
𝑣𝑣) 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 ΦA ° = ΦA 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑈𝑈𝐸𝐸~ ° = 𝑈𝑈𝐸𝐸~ 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜.
2.2.1.4.Teorem. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun.
Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ⊆∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ° .
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 )° = 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ∩∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ° .
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 )° ⊇~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ∪∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 ° .
2.2.2. 𝝉𝝉-soft Sürekli ve Soft Açık Fonksiyonlar
Bu kesimde soft topolojik uzaylarda dönüşümlerle ilgili kavramlar tekrar gözden
geçirilecektir.
2.2.2.1. Tanım(Zorlutuna ve ark, 2012).(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 )ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) iki soft topolojik
uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft nokta ve 𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉, 𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃 fonksiyonlarolmak üzere
𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 )soft noktasının her 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) 𝜏𝜏-soft komşuluğu için
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐻𝐻𝐴𝐴 ) ⊆∼ 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝐻𝐻𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft komşuluğu varsa 𝜑𝜑𝜓𝜓
dönüşümüne 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝝉𝝉-soft sürekli fonksiyon denir. 𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümü𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft
kümesinin her soft noktasında 𝜏𝜏-soft sürekli ise 𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde
𝜏𝜏-soft süreklidir.
2.2.2.1.Uyarı. Aşağıdaki dört teoremin ispatı Aygünoğlu ve Aygün(2011),
Zorlutuna ve ark. (2012) tarafından yazılmış makalelerde verilmiş benzer teoremlerin
ispatlarından faydalanılarak yapılmıştır.
15
2.2.2.1.Teorem. 𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )fonksiyonu için aşağıdaki koşullar
eşdeğerdir:
𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 fonksiyonu𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜏𝜏-soft süreklidir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 )soft noktasının her 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) 𝜏𝜏-soft komşuluğu için 𝐻𝐻𝐴𝐴 ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) )
olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝐻𝐻𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft komşuluğu vardır.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 )soft noktasının her 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) 𝜏𝜏-soft komşuluğunun ters görüntüsü olan
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) )soft kümesi 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝜏𝜏-soft komşuluğudur.
2.2.2.2.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )soft
fonksiyonunun
𝜏𝜏-soft
sürekli
olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝜏𝜏2 soft topolojisine göre soft açık olan her soft
kümenin ters görüntüsünün 𝜏𝜏1 soft topolojisine göre soft açık bir küme 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
2.2.2.3.Teorem.𝑈𝑈, 𝑉𝑉, 𝑊𝑊evren kümeleri, 𝐸𝐸, 𝑃𝑃, 𝐾𝐾potansiyel parametre kümeleri,
𝜑𝜑1 : 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉,𝜑𝜑2 : 𝑉𝑉 → 𝑊𝑊, 𝜓𝜓1 : 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃, 𝜓𝜓2 : 𝑃𝑃 → 𝐾𝐾 fonksiyonlar, (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ), (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) ve
(𝑊𝑊𝐾𝐾~ , 𝜏𝜏3 )soft topolojik uzaylar,
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 = (𝜑𝜑1 , 𝜓𝜓1 ): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )ve(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 = (𝜑𝜑2 , 𝜓𝜓2 ): (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~ , 𝜏𝜏3 )
soft
fonksiyonlar
olsun.
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 , (𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 fonksiyonları𝜏𝜏-soft
sürekli
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝜊𝜊(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~ , 𝜏𝜏3 )bileşke soft fonksiyonu da 𝜏𝜏-soft süreklidir.
2.2.2.4.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )bir
soft
fonksiyon
olsun.
fonksiyonunun 𝜏𝜏-soft sürekli olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢
ise
𝜑𝜑𝜓𝜓 soft
∀𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑉𝑉𝑃𝑃~ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 �𝐹𝐹𝐴𝐴 ° � ⊆~ (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ))°
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
2.2.2.1.Örnek.𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑈𝑈, 𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝐸𝐸birim dönüşümler olsun.
birim
soft
𝑖𝑖 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏2 )
fonksiyonunun
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝜏𝜏2 ⊆~ 𝜏𝜏1 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
𝜏𝜏-soft
sürekli
olması
için
2.2.2.2.Tanım (Aygünoğlu ve Aygün, 2011).𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )soft
fonksiyon olsun. Her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏1 için 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) ∈ 𝜏𝜏2 ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonuna soft
açıkfonksiyon denir.
16
2.2.2.5.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )soft fonksiyonunun soft açık olması
için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢
∀𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ) ⊆~ (𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ))°
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.⇒: 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun.
𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ∈ 𝜏𝜏1 ve𝜑𝜑𝜓𝜓 soft
açık
fonksiyonolduğundan
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ) ∈ 𝜏𝜏2 dir. Diğer taraftan 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ) ⊆~ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) ve böylece
bağıntısı sağlanır.
𝜑𝜑𝜓𝜓 �𝐹𝐹𝐴𝐴 ° � = (𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ° ))° ⊆~ (𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ))°
⇐ : 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft açık küme olsun. O halde hipotez yardımıyla
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) = 𝜑𝜑𝜓𝜓 �𝐹𝐹𝐴𝐴 ° �
⊆~ (𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ))°
ifadesini elde ederiz. Bu da 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonunun soft açık olduğunu gösterir.
2.2.2.6.Teorem.𝑈𝑈, 𝑉𝑉, 𝑊𝑊evren kümeleri, 𝐸𝐸, 𝑃𝑃, 𝐾𝐾potansiyel parametre kümeleri,
𝜑𝜑1 : 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉 , 𝜑𝜑2 : 𝑉𝑉 → 𝑊𝑊, 𝜓𝜓1 : 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃, 𝜓𝜓2 : 𝑃𝑃 → 𝐾𝐾
fonksiyonlar, (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ), (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) ve (𝑊𝑊𝐾𝐾~ , 𝜏𝜏3 )soft topolojik uzaylar,
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 = (𝜑𝜑1 , 𝜓𝜓1 ): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) 𝑣𝑣𝑣𝑣 (𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 = (𝜑𝜑2 , 𝜓𝜓2 ): (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~ , 𝜏𝜏3 )
soft fonksiyonlar olsun. Eğer (𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 ve (𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 fonksiyonları soft açıksa
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝑜𝑜(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑊𝑊𝐾𝐾~ , 𝜏𝜏3 )
bileşke soft fonksiyonu da soft açıktır.
İspat.𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft açık küme olsun. O halde (𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) soft kümesi 𝜏𝜏2 soft
topolojisinde soft açıktır. (𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 soft açık fonksiyon olduğundan
�𝜑𝜑𝜓𝜓 � ((𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 )) = ((𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝑜𝑜(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 )(𝐹𝐹𝐴𝐴 )
2
soft kümesi de 𝜏𝜏3 soft topolojisine göre soft açık kümedir. Bu da (𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝑜𝑜(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 bileşke
soft fonksiyonunun soft açık olduğunu gösterir.
2.2.2. 𝝉𝝉-ayırma Aksiyomları
Soft topolojik uzaylar için ayırma aksiyomları ilk kez Shabir ve Naz (2011)
tarafından verildi. Shabir ve Naz’ın çalışmasında ayırma aksiyomları klasik noktalardan
faydalanılarak tanımlanmıştır. Biz ise bu çalışmadan farklı olarak soft noktalardan
17
yararlanarak ayırma aksiyomlarını aşağıdaki gibi yeniden verdik ve ayırma
aksiyomlarını soft topolojik uzaylarda inceledik.
2.2.3.1.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir softtopolojik uzay olmak üzere her 𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
farklı soft nokta çifti için
 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir 𝐺𝐺𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft komşuluğu ya da 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft
noktasının𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir𝐻𝐻𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft komşuluğu varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)uzayına𝝉𝝉soft 𝑻𝑻𝟎𝟎 -uzay,
 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir 𝐺𝐺𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft komşuluğu ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft
noktasının𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir 𝐻𝐻𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft komşuluğu varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)uzayına𝝉𝝉soft 𝑻𝑻𝟏𝟏 -uzay,
 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının 𝐺𝐺𝐴𝐴 ∩~ 𝐻𝐻𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝐺𝐺𝐴𝐴 , 𝐻𝐻𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft
komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)uzayına𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟐𝟐 -uzay denir.
2.2.3.1.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)birsofttopolojik uzay olmak üzere her 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft
noktası için 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑐𝑐 soft kümesi soft açıksa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft topolojik uzayı𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 dır.
İspat. 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑐𝑐 soft açık küme ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktaları𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesinde herhangi iki
farklı soft nokta olsun. O halde 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑐𝑐 , 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑐𝑐 ve benzer olarak 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝑐𝑐 ,
𝑦𝑦𝐴𝐴 ∉~ 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝑐𝑐 dir. Bu da bize (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)uzayının𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzay olduğunu gösterir.
2.2.3.1.Uyarı. Kolaylıkla görebiliriz ki, (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzay ise 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -
uzayıdır ve (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzay ise 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇0 -uzayıdır. Bu durumların karşıtı aşağıdaki
örneklerde de görüleceği gibi genellikle doğru değildir.
2.2.3.1.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑧𝑧}evren kümesi, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 , 𝑒𝑒4 }potansiyel parametre
kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 }asıl parametre kümesi ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥, 𝑧𝑧}�, 𝐺𝐺𝐴𝐴 =
{𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = ∅}olmak üzere 𝜏𝜏 = {ΦA , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐴𝐴 } bir soft topoloji olsun. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft
topolojik uzayının bir𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇0 -uzayı olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Ancak 𝑧𝑧𝐴𝐴 soft
noktasını kapsayıp 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını kapsamayan hiçbir 𝜏𝜏-soft açık küme olmadığından
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft topolojikuzayıbir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayı değildir.
2.2.3.2.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}evren kümesi, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 }potansiyel parametre
kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 }, 𝐵𝐵 = {𝑒𝑒1 }, 𝐶𝐶 = {𝑒𝑒2 } asıl parametre kümeleri,
𝐹𝐹𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}�,
𝐺𝐺𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦}�,
18
𝐷𝐷𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦}�,
𝑇𝑇𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦}, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥}�,
𝐻𝐻𝐵𝐵 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}�,
𝐾𝐾𝐵𝐵 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦}�,
𝐼𝐼𝐶𝐶 = �𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦}�,
𝐿𝐿𝐶𝐶 = �𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥}�
olmak üzere 𝜏𝜏 = {Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐴𝐴 , 𝐷𝐷𝐴𝐴 , 𝑇𝑇𝐴𝐴 , 𝐻𝐻𝐵𝐵 , 𝐾𝐾𝐵𝐵 , 𝐼𝐼𝐶𝐶 , 𝐿𝐿𝐶𝐶 } olsun. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft topolojik
uzayı bir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayıdır ancak 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzayı değildir çünkü 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft
noktalarının 𝐺𝐺𝐴𝐴 ∩~ 𝐻𝐻𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde 𝐺𝐺𝐴𝐴 , 𝐻𝐻𝐴𝐴 soft açık kümeleri yoktur.
2.2.3.2.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ),
(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )
iki
soft
topolojik
uzay
ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )bire-bir ve 𝜏𝜏-soft sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer
(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )uzayı 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) uzayı da 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzayıdır.
İspat.𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴 ikifarklı soft nokta olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonubire-bir olduğundan
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ≠ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑦𝑦𝐴𝐴 )’dır. O halde 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ),𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑦𝑦𝐴𝐴 ) soft noktalarının 𝐹𝐹𝜓𝜓 (𝐴𝐴) ∩~ 𝐺𝐺𝜓𝜓 (𝐴𝐴) = Φ𝐴𝐴
olacak şekilde sırasıyla 𝐹𝐹𝜓𝜓 (𝐴𝐴) ve 𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) 𝜏𝜏-soft komşulukları vardır. 𝜑𝜑𝜓𝜓 softfonksiyonu 𝜏𝜏-
soft sürekli olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴) ) ve 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) ) soft kümeleri 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve𝑦𝑦𝐴𝐴 soft
noktalarının 𝜏𝜏-soft komşuluklarıdır ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴) ) ∩~ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐺𝐺𝜓𝜓(𝐴𝐴) ) = Φ𝐴𝐴
dır. Bu da (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 )soft topolojik uzayının bir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzayı olduğunu gösterir.
2.2.3.3.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ), (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 ) iki soft topolojik uzay ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )bire-bir, örten ve soft açık bir fonksiyon olsun. Eğer
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 )soft topolojik uzayı𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzayı ise (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )soft topolojikuzayı da 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -
uzayıdır.
İspat.𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ≠ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑦𝑦𝐴𝐴 )ikifarklı soft nokta olsun. O halde 𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴 ’dır.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 )uzayı𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 olduğundan 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak
şekilde sırasıyla 𝐹𝐹𝐴𝐴 ve𝐺𝐺𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft açık komşulukları vardır. 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft açık fonksiyon
olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) ve𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐺𝐺𝐴𝐴 ) soft kümeleri sırasıyla 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ), 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑦𝑦𝐴𝐴 ) soft
noktalarının𝜏𝜏-soft açık komşuluklarıdır ve 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ) ∩~ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐺𝐺𝐴𝐴 ) = Φ𝜓𝜓(𝐴𝐴) dır. Böylece
(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )bir 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇2 -uzayıdır.
19
2.2.3.2.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay olsun. Her 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft noktası
ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑐𝑐 ∈ 𝜏𝜏 şeklindeki boş kümeden farklı her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesi için
𝐺𝐺𝐴𝐴 ∩~ 𝐻𝐻𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının ve𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin sırasıyla 𝐺𝐺𝐴𝐴 ve
𝐻𝐻𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft açık komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft topolojikuzayına 𝝉𝝉-soft regüler
uzaydenir.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft topolojik uzayı hem 𝜏𝜏-soft regüler hem de𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayıysa 𝝉𝝉-soft
𝑻𝑻𝟑𝟑 -uzayıolarak adlandırılır.
2.2.3.2.Uyarı. Aşağıdaki örnekte 𝜏𝜏-soft regüler uzayın her zaman 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayı
olmadığı görülür:
2.2.3.3.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧}bir evren kümesi, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 }asıl parametre kümesi
𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 }potansiyel parametre kümesi ve
𝜏𝜏 = {Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝐹𝐹𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥}�, 𝐺𝐺𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦, 𝑧𝑧}�, 𝐻𝐻𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧}�}
olmak üzere (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏) uzayı𝜏𝜏-soft regüler uzaydır ancak 𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayı değildir.
2.2.3.3.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)bir soft topolojik uzay olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴 ve𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 , 𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∈
𝜏𝜏 şeklindeki boş kümeden farklı her 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesi için 𝑉𝑉𝐴𝐴 ∩~ 𝑊𝑊𝐴𝐴 = Φ𝐴𝐴
olacak şekilde sırasıyla 𝑉𝑉𝐴𝐴 ve 𝑊𝑊𝐴𝐴 𝜏𝜏-soft açık komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft
topolojikuzayına 𝝉𝝉-soft normal uzay denir.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏), hem 𝜏𝜏-soft normal hem de𝜏𝜏-soft 𝑇𝑇1 -uzayıysa 𝝉𝝉-soft 𝑻𝑻𝟒𝟒 -uzayıolarak
adlandırılır.
2.3.Soft Kapalılar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Kotopolojik Uzaylar
2.3.1. Soft Kotopoloji
2.3.1.1.Tanım.𝑈𝑈 bir evren kümesi ve 𝐸𝐸potansiyel parametre kümesi olsun.
𝑈𝑈𝐸𝐸~ tam soft kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olan 𝜅𝜅 aşağıdaki koşulları sağlarsa soft
kotopoloji olarak adlandırılır:
𝑖𝑖) Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ∈ 𝜅𝜅 ,
𝑖𝑖𝑖𝑖) {(𝐾𝐾𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} ⊆ 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅⋂~ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 (𝐾𝐾𝐴𝐴 )𝑖𝑖 ∈ 𝜅𝜅,
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐾𝐾𝐴𝐴 , 𝐿𝐿𝐵𝐵 ∈ 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝐾𝐾𝐴𝐴 ∪~ 𝐿𝐿𝐵𝐵 ∈ 𝜅𝜅dır.
𝜅𝜅ailesinin her elemanına soft kapalı küme ve (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)ikilisinesoft kotopolojik
uzaydenir.
20
2.3.1.2.Tanım.𝜅𝜅1 , 𝜅𝜅2 aileleri𝑈𝑈𝐸𝐸~ tam soft kümesi üzerinde iki soft kotopoloji
olsun.Her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅2 için 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅1 oluyorsa 𝜅𝜅2 ailesine 𝜅𝜅1 ailesinden daha kabadır denir
ve 𝜅𝜅2 ⊆ 𝜅𝜅1 ile gösterilir.
2.3.1.1.Teorem. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için
(𝑈𝑈(𝑒𝑒), 𝜅𝜅(𝑒𝑒))uzayı bir kotopolojik uzaydır.
2.3.1.2.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 )ve(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅2 )soft
kotopolojik
uzaylarsa
𝜅𝜅2 )uzayı bir soft kotopolojik uzaydır.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ∩
2.3.1.1.Uyarı.Soft kotopolojik uzayın lokal yapısını daha iyi anlayabilmek için
Wang (1983) tarafından verilmiş remote komşuluk kavramını soft kümeler için
genelleştirerek vereceğiz.
2.3.1.3.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay, 𝑀𝑀𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft küme ve
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft nokta olsun. Eğer 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐾𝐾𝐶𝐶 ⊇∼ 𝑀𝑀𝐵𝐵 olacak şekilde bir 𝐾𝐾𝐶𝐶 soft kapalı
kümesi varsa 𝑀𝑀𝐵𝐵 soft kümesine 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasınınsoft remote komşuluğu denir.
𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının tüm soft remote komşuluklarının ailesiℛℵ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )simgesi ile gösterilir.
2.3.1.4.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝑀𝑀𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Eğer
𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊈~ 𝐾𝐾𝐶𝐶 ⊇~ 𝑀𝑀𝐵𝐵 olacak şekilde bir 𝐾𝐾𝐶𝐶 soft kapalı kümesi varsa 𝑀𝑀𝐵𝐵 soft kümesine
𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin soft remote komşuluğu denir.
2.3.1.3.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay,𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ,𝐹𝐹𝐵𝐵 , 𝐺𝐺𝐶𝐶 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun.
Aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖) Φ𝐸𝐸 boş soft kümesi 𝑈𝑈𝐸𝐸~ tam soft kümesindeki her noktanınsoft remote
komşuluğudur.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐺𝐺𝐶𝐶 soft kümesi 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote komşuluğu ve 𝐹𝐹𝐵𝐵 ⊆~ 𝐺𝐺𝐶𝐶 ise
𝐹𝐹𝐵𝐵 soft kümesi de𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote komşuluğudur.
2.3.1.5.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ , ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun.
𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının her 𝑀𝑀𝐴𝐴 soft remote komşuluğu için 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∪~ 𝑀𝑀𝐴𝐴 ≠ 𝑈𝑈𝐴𝐴~ ise 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasına𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin soft kapanış (değme) noktasıdenir. 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin
tüm soft kapanış noktaları kümesine 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesininsoft kapanışı adı verilir ve
𝐹𝐹𝐴𝐴 −simgesi ile gösterilir.
2.3.1.4.Teorem. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. O halde
21
olur.
𝐹𝐹𝐴𝐴 − = ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝐾𝐾𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ı, 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 }
İspat.𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝐾𝐾𝐴𝐴 soft
kapalı, 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 }𝑣𝑣𝑣𝑣𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 −
olduğunu
varsayalım. O halde 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∪~ 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen en az
bir 𝐿𝐿𝐴𝐴 soft kapalı kümesi vardır. Bu durumda 𝐿𝐿𝐴𝐴 𝑐𝑐 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 olur ve buradan𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐿𝐿𝐴𝐴 dır.
Böylece 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐿𝐿𝐴𝐴 ⊇~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 olacak şekilde bir 𝐿𝐿𝐴𝐴 soft kapalı kümesi bulanabilir.
Buradan𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝐾𝐾𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘ı, 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 } olur ve bu durumdabir
çelişkidir. O zaman 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 − olmalıdır.
Şimdi 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 − ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝐾𝐾𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘ı, 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 } olduğunu
kabul edelim. O halde 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 olacak şekilde bir 𝐾𝐾𝐴𝐴 soft kapalı kümesi vardır
ve böylece𝐾𝐾𝐴𝐴 soft kümesinin 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote komşuluğu olduğu
ve𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∪~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ olduğu görülür. Buradan𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 −olur.Bu ise çelişkidir. O zaman
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝐾𝐾𝐴𝐴 soft kapalı, 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 } olmalıdır.
2.3.1.5.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. O halde
aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 −
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 −soft kümesi 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesini kapsayan en küçük soft kapalı kümedir.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin soft kapalı olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐹𝐹𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐴𝐴 −
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴 −)− = 𝐹𝐹𝐴𝐴 −.
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.İspat 2.3.1.4.Teoremden açıktır.
2.3.1.6.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 , 𝐺𝐺𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. O
halde aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹𝐴𝐴 − ⊆∼ 𝐺𝐺𝐵𝐵 −
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 )− = 𝐹𝐹𝐴𝐴 − ∪~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 −.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)(𝐹𝐹𝐴𝐴 ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 )− ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 − ∩~ 𝐺𝐺𝐵𝐵 −.
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑈𝑈𝐸𝐸~ )− = 𝑈𝑈𝐸𝐸~ , (Φ𝐴𝐴 )− = Φ𝐴𝐴 .
2.3.1.6.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun.𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasının
soft
her
kotopolojik
𝑀𝑀𝐴𝐴
soft
uzay,
remote
𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
komşuluğu
ve
için
(𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 ≠ 𝑈𝑈𝐴𝐴~ ise 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasına𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin soft yığılma noktası
22
denir.𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin tüm soft yığılma noktalarının kümesini 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ simgesi ile
göstereceğiz.
2.3.1.2.Uyarı.Her soft yığılma noktasının bir soft kapanış noktası olduğu
kolayca görülebilir.
2.3.1.7.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. O halde
𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ soft kümesi bir soft kapalı kümedir.
İspat.
Varsayalım
ki𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~
soft
kapalı
küme olmasın.
O
halde
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ (𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ )− ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ olacak şekilde bir 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft noktası
vardır. Buradan 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ dir. Bu durumda 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının
(𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~
olacak şekilde bir 𝑀𝑀𝐴𝐴 soft remote komşuluğu vardır. 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 olduğundan
𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑐𝑐 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~
dır. Böylece,
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )− = (𝐹𝐹𝐴𝐴 )− ∪~ (𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ )− = (𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ )−
olur. Bu durum ise bir çelişkidir.
2.3.1.8.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. O halde
𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ = (𝐹𝐹𝐴𝐴 )−dır.
İspat.𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )−ve𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ ⊆∼ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )−olduğundan
olduğu kolayca görülebilir.
𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ ⊆∼ (𝐹𝐹𝐴𝐴 )−
(1)
Diğer taraftan 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ soft kümesi soft kapalı olduğundan
ifadesini elde ederiz.
(𝐹𝐹𝐴𝐴 )− ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~
(1) ve (2) ifadelerinden𝐹𝐹𝐴𝐴 ∪~ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ = (𝐹𝐹𝐴𝐴 )−olduğu görülür.
(2)
2.3.1.2.Sonuç.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay ve 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴 soft
kümesinin soft kapalı olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝐹𝐹𝐴𝐴 ~ ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
2.3.2. 𝜿𝜿-soft Sürekli ve Soft Kapalı Fonksiyonlar
2.3.2.1.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 )ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ) iki soft kotopolojik uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft
nokta ve 𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉, 𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃 fonksiyonlar olmak üzere 𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )bir
23
soft fonksiyon olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 )soft noktasının her 𝑀𝑀𝜓𝜓 (𝐴𝐴) soft remote komşuluğu için
𝑀𝑀𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∩∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑈𝑈𝐸𝐸~ ) ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 ) olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir 𝑁𝑁𝐴𝐴 soft remote
komşuluğu varsa 𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümüne 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜿𝜿-soft sürekli fonksiyon denir.
𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümü𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesinin her soft noktasında 𝜅𝜅-soft sürekli ise 𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde 𝜅𝜅-
soft süreklidir denir.
2.3.2.1.Uyarı.𝑉𝑉𝑃𝑃′ = 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑈𝑈𝐸𝐸~ )olmak üzere 𝜅𝜅2 ′ , 𝑉𝑉𝑃𝑃′ üzerinde 𝜅𝜅2 kotopolojisinden
indirgenmiş bir kotopolojidir ve𝐾𝐾𝐴𝐴′ ∈ 𝜅𝜅2 ′ olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢
𝐾𝐾𝐴𝐴′ = 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∩∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃′ ,𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅2
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
2.3.2.1.Lemma.𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )softfonksiyonunun
𝜅𝜅-soft
sürekli
,𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅2
olsun.
olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃′ , 𝜅𝜅2 ′ )soft fonksiyonunun
𝜅𝜅-soft sürekli 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
′
′
∈ 𝜅𝜅2 ′ ve𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ∉~ 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
= 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∩∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃′
İspat.⇒: 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ∉~ 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∈ 𝜅𝜅2 olduğu kolaylıkla görülür. 𝜑𝜑𝜓𝜓 softfonksiyonu𝜅𝜅-soft sürekli
′
olduğundan𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
= 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∩∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑈𝑈𝐸𝐸~ ) ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 ) olacak şekilde bir
𝑁𝑁𝐴𝐴 soft remote komşuluğu vardır. Bu da 𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ′ )soft fonksiyonunun
𝜅𝜅-soft sürekli olduğunu gösterir.
⟸: 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∈ 𝜅𝜅2 ve𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ∉~ 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
olsun.
′
𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
= 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∩∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑈𝑈𝐸𝐸~ )
′
′
olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) ∉~ 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
dır. O halde𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 )olacak
şekilde bir 𝑁𝑁𝐴𝐴
soft remote komşuluğu vardır ve böylece 𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶
(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )fonksiyonu 𝜅𝜅-soft süreklidir.
2.3.2.2.Lemma𝜑𝜑𝜓𝜓 : (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )soft
fonksiyonunun
𝜅𝜅-soft
sürekli
′
olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) soft noktasının her 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
⊆∼ 𝑓𝑓(𝑈𝑈𝐸𝐸~ ) soft
′
remote komşuluğu için𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 )olacak şekilde bir 𝑁𝑁𝐴𝐴 soft
′
remote komşuluğunun olmasıdır. Üstelik bu durumda 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
= 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 ) olur.
2.3.2.1.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 softfonksiyonunun 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜅𝜅-soft sürekli olması
′
için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) soft noktasının her 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
⊆∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃′ soft remote
′
komşuluğunun ters görüntüsü olan 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
) ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesinin𝑥𝑥𝐴𝐴
noktasının bir soft remote komşuluğudur.
soft
24
′
İspat.⇒ : 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
soft kümesi𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) soft noktasının bir soft remote komşuluğu
′
olsun.𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
soft kümesini 𝑉𝑉𝑃𝑃′ evreninde 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) soft noktasını içermeyen bir soft kapalı
olarak varsayabiliriz. 𝜑𝜑𝜓𝜓 softfonksiyonu 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜅𝜅-soft sürekli olduğundan
′
𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 )olacak şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen bir 𝑁𝑁𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kapalı
kümesi
vardır.
Şimdi
′
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
) ⊆∼ 𝑁𝑁𝐴𝐴 olduğunu
göstermeliyiz.
′
′
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
) ⊈∼ 𝑁𝑁𝐴𝐴 olduğunu varsayalım. O halde 𝑁𝑁𝐴𝐴 ∪∼ (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
))𝑐𝑐 ≠ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
′
′
ve𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 ) ∪∼ (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
)𝑐𝑐 ≠ 𝑉𝑉𝑃𝑃′ dır. Buradan 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
⊈∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑁𝑁𝐴𝐴 ) olur ve bu durum bir
′
) ⊆∼ 𝑁𝑁𝐴𝐴 dır. Böylece,
çelişkidir. O halde 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
′
′
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
) = ⋂∼ {𝑁𝑁𝐴𝐴 : 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
)}
′
olur. Bu da gösterir ki; 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
) soft kümesi 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote
komşuluğudur.
′
soft kümesi 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) soft noktasının bir soft remote komşuluğu olsun.
⟸ : 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
′
Varsayımımızdan, 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
) soft kümesi de 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote
′
′
komşuluğudur.𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
)) = 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴)
olduğundan, 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonu 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasında 𝜅𝜅-soft süreklidir.
2.3.2.1.Sonuç.𝜑𝜑𝜓𝜓 softfonksiyonu𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜅𝜅-soft sürekli ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 )
soft noktasının her 𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ⊆∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃 soft remote komşuluğunun ters görüntüsü olan
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ) ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft küme 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote komşuluğudur.
2.3.2.3.Lemma. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)soft kotopolojik uzayında𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesinin soft
kapalı olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesinin içermediği her noktanın soft
remote komşuluğu 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
2.3.2.2.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅𝑈𝑈 ) → (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅𝑉𝑉 )softfonksiyonunun
𝜅𝜅-soft
sürekli olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝜅𝜅𝑉𝑉′ kotopolojisine göre soft kapalı olan her
soft kümenin ters görüntüsünün 𝜅𝜅𝑈𝑈 topolojisine göre soft kapalı olmasıdır.
2.3.2.3.Teorem. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 )ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ) iki soft kotopolojik olsun.
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )soft fonksiyonunun 𝜅𝜅-soft sürekli olması için
−
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 her 𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ⊆∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃~ ′ için (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ))− ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ )𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
25
−
İspat. ⇒: 𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ⊆∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃~ ′ olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ soft kümesi soft kapalı olduğundan,
−
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ )soft kapalıdır. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 ′
−
−
−
olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ) ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ )dır.
Böylece (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ))− ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ) olur.
⇐:𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ∈ 𝜅𝜅2 ′
−
Hipotezden,(𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ))− ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ) = 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ )
olsun.
olur. Bu da bize 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ) soft kümesinin bir soft kapalı küme olduğunu gösterir.
2.3.2.4.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ), (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ) ve (𝑊𝑊𝑅𝑅~ , 𝜅𝜅3 ) soft kotopolojik uzaylar,
𝜑𝜑1 : 𝑈𝑈 ⟶ 𝑉𝑉, 𝜑𝜑2 : 𝑉𝑉 ⟶ 𝑊𝑊 ve 𝜓𝜓1 : 𝐸𝐸 ⟶ 𝑃𝑃, 𝜓𝜓2 : 𝑃𝑃 ⟶ 𝐾𝐾 dönüşümler olmak üzere
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 = (𝜑𝜑1 , Ψ1 ): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ),(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 = (𝜑𝜑2 , Ψ2 ): (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ) ⟶ (𝑊𝑊𝑅𝑅~ , 𝜅𝜅3 )
iki soft fonksiyon olsun. (𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 ve(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝜅𝜅-soft sürekli fonksiyonlar ise
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝜊𝜊(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 bileşke soft fonksiyonu da 𝜅𝜅-soft süreklidir.
İspat.𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅3 olsun.(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 soft
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 −1 (𝐾𝐾𝐴𝐴 ) ∈ 𝜅𝜅2
dir.
fonksiyonu𝜅𝜅-soft
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 soft
(𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝜊𝜊(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 = (𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 −1 ((𝜑𝜑𝜓𝜓 )2
−1
fonksiyonu𝜅𝜅-soft
sürekli
sürekli
olduğundan
olduğundan
(𝐾𝐾𝐴𝐴 ) ) ∈ 𝜅𝜅1 dir. Bu da (𝜑𝜑𝜓𝜓 )2 𝜊𝜊(𝜑𝜑𝜓𝜓 )1 bileşke soft
fonksiyonunun𝜅𝜅-soft sürekli olduğunu gösterir.
2.3.2.2.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 )ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ) iki soft kotopolojik uzay ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )
bir soft fonksiyon olsun. Her 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅1 için 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 ) ∈ 𝜅𝜅2 ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonu soft
kapalıolarak adlandırılır.
2.3.2.5.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 )ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 ) iki soft kotopolojik uzay ve
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜅𝜅2 )
soft fonksiyon olsun. 𝜑𝜑𝜓𝜓 softfonksiyonunun soft kapalı olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦
−
𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 )� ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 −)𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.⇒ : 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝐹𝐹𝐴𝐴 −soft kapalı olduğundan 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 −)soft kümesi soft
−
kapalıdır. 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐹𝐹𝐴𝐴 −olduğundan�𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 )� ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐹𝐹𝐴𝐴 −) olduğu kolayca görülebilir.
⇐ : 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~bir
−
soft
�𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 )� ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 −)dırve
−
kapalı
küme
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 −) = 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 )
olsun.
Hipotezden
olduğundan
�𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 )� ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐾𝐾𝐴𝐴 ) olur Bu da 𝜑𝜑𝜓𝜓 soft fonksiyonunun soft kapalı olduğunu
gösterir.
26
2.3.3. 𝜿𝜿-soft Ayırma Aksiyomları
2.3.3.1.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir softkotopolojik uzayolsun. Her farklı𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft
nokta çifti için 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını içeren bir 𝑀𝑀𝐴𝐴 soft remote komşuluğu
ya da 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasının𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içeren bir 𝑁𝑁𝐴𝐴 soft remote komşuluğu varsa
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)soft kotopolojik uzayına𝜿𝜿-soft𝑻𝑻𝟎𝟎 -uzay denir.
2.3.3.1.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)softkotopolojik uzayı𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇0 -uzay ise
𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴 ⇒ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )− ≠ (𝑦𝑦𝐴𝐴 )−
dır.
İspat.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇0 -uzay olsun. 𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴 farklı soft noktaları için (𝑥𝑥𝐴𝐴 )− =
(𝑦𝑦𝐴𝐴 )− olsun. O halde 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )−, (𝑥𝑥𝐴𝐴 )− = (𝑦𝑦𝐴𝐴 )− olduğundan 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ (𝑦𝑦𝐴𝐴 )−ve
𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ (𝑦𝑦𝐴𝐴 )−, (𝑥𝑥𝐴𝐴 )− = (𝑦𝑦𝐴𝐴 )−olduğundan 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )−dır. 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ (𝑦𝑦𝐴𝐴 )−olduğundan, 𝑥𝑥𝐴𝐴
soft noktasının her 𝑀𝑀𝐴𝐴 soft remote komşuluğu için𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑦𝑦𝐴𝐴𝑐𝑐 ≠ 𝑈𝑈𝐴𝐴~ dır. O halde
𝑀𝑀𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ∪~ (𝑈𝑈 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 (𝑒𝑒)) ≠ 𝑈𝑈
olacak şekilde bir𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 vardır. Buradan 𝑦𝑦 ∉ 𝑀𝑀𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ve böylece 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∉~ 𝑀𝑀𝐴𝐴 olur.
Yukarıdaki işlem benzer şekilde 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktası için de gösterilebilir. Bu ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)
uzayının𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇0 -uzay olmasıyla çelişir.
2.3.3.2.Tanım.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir
softkotopolojik
uzay
olmak
üzere
her
farklı𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft nokta çifti için, 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını içeren bir 𝑀𝑀𝐴𝐴
soft remote komşuluğu ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasının𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içeren bir 𝑁𝑁𝐴𝐴 soft remote
komşuluğu varsa(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayına𝜿𝜿-soft𝑻𝑻𝟏𝟏 -uzaydenir.
2.3.3.2.Teorem.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)softkotopolojik
𝜅𝜅-soft
uzayının
𝑇𝑇1 olması
için
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 her 𝑥𝑥𝐴𝐴 (𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸) soft noktasının soft kapalı bir küme
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.⇒: 𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )−olsun. O halde 𝑧𝑧𝐴𝐴 ∈~ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )−olacak şekilde bir 𝑧𝑧𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft
noktası vardır. Buradan 𝑧𝑧𝐴𝐴 soft noktasının bir𝑀𝑀𝐴𝐴 soft remote komşuluğu için
𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑐𝑐 ≠ 𝑈𝑈𝐴𝐴~ dır. Böylece𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉~ 𝑀𝑀𝐴𝐴 olur. Bu ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅) uzayının𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 olmasıyla
çelişir.
noktası
⇐: 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft kapalı bir küme olsun. Bu durumda 𝑥𝑥𝐴𝐴 = (𝑥𝑥𝐴𝐴 )−dır. Farklı bir 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft
için,𝑦𝑦𝐴𝐴 ∉~ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )−
ve (𝑥𝑥𝐴𝐴 )− = 𝑥𝑥𝐴𝐴
olduğundan
𝑥𝑥𝐴𝐴
soft
noktası𝑦𝑦𝐴𝐴
soft
27
noktasınınbir soft remote komşuluğudur. Benzer şekilde 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktası da𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasının bir soft remote komşuluğudur. Böylece (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayıbir𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 -uzayıdır.
2.3.3.1.Uyarı.Her𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 -uzayı bir 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇0 -uzayıdır. Ancak karşıtı aşağıdaki
örnekte de olduğu gibi genellikle doğru değildir.
2.3.3.1.Örnek.U reel sayılar kümesi, E doğal sayılar kümesi
𝐾𝐾𝐸𝐸𝜆𝜆 = {(𝑒𝑒, [𝑒𝑒 + 𝜆𝜆, ∞[ ): 𝜆𝜆 ∈ ℕ, 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸𝜆𝜆 } 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝜅𝜅 = �𝐾𝐾𝐸𝐸𝜆𝜆 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ � ∪~ {Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸~ }
olsun. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı bir 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇0 -uzayıdır ancak𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 -uzayı değildir.
2.3.3.2.Uyarı.𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 , 𝜅𝜅-soft regüler ve 𝜅𝜅-soft normal uzayların özelliklerini
verebilmek için soft remote komşuluktan daha kuvvetli bir yapıya ihtiyaç duyarız:
2.3.3.3.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir soft kotopolojik uzay, 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft nokta ve
𝑆𝑆𝐵𝐵 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ bir soft küme olsun.
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥 ∉ 𝐾𝐾𝐶𝐶 (𝑒𝑒) ⊇ 𝑆𝑆𝐵𝐵 (𝑒𝑒)
olacak şekilde bir 𝐾𝐾𝐶𝐶 soft kapalı kümesi varsa 𝑆𝑆𝐵𝐵 soft kümesine𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasınınstrong soft remote komşuluğu denir.
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ⊈~ 𝐾𝐾𝐶𝐶 (𝑒𝑒) ⊇ 𝑆𝑆𝐵𝐵 (𝑒𝑒)
olacak şekilde bir 𝐾𝐾𝐶𝐶 soft kapalı kümesi varsa 𝑆𝑆𝐵𝐵 soft kümesine𝐹𝐹𝐴𝐴 soft kümesininstrong
soft remote komşuluğu denir.
2.3.3.4.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir softkotopolojik uzay olmak üzere her𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 farklı soft
nokta çifti için𝑥𝑥𝐴𝐴 ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴 ~ olacak şekilde sırasıyla 𝑀𝑀𝐴𝐴 ve
𝑁𝑁𝐴𝐴 soft strong remote komşulukları varsa(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayına𝜿𝜿-soft𝑻𝑻𝟐𝟐 -uzay denir.
2.3.3.3.Teorem(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)bir𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 -uzay ise
dır.
𝑥𝑥𝐴𝐴 = ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅}
İspat. 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasından farklı bir 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını göz önüne
alalım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 -uzay olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için , 𝑥𝑥 ∉ 𝑀𝑀𝐴𝐴 (𝑒𝑒), 𝑦𝑦 ∉ 𝑁𝑁𝐴𝐴 (𝑒𝑒)
ve 𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴 ~ olacak şekilde 𝑀𝑀𝐴𝐴 ve 𝑁𝑁𝐴𝐴 soft kapalı kümeleri vardır. O halde
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 ve𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑀𝑀𝐴𝐴 dır.Bu da bize gösterir ki, 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içeren bir soft kapalı
küme 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasını içermez. Böylece 𝑥𝑥𝐴𝐴 = ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅}olur.
28
2.3.3.4.Teorem𝑥𝑥𝐴𝐴 = ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅} ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı bir𝜅𝜅-soft
𝑇𝑇0 -uzayıdır.
İspat.𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ iki
farklı
durumda𝑦𝑦𝐴𝐴 ∉~ ⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈ 𝜅𝜅}
soft
olur.
nokta
olsun.Bu
⋂~ {𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ : 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∈
𝜅𝜅}softkümesini𝑆𝑆𝐴𝐴 olarak adlandıralım. O halde 𝑆𝑆𝐴𝐴 soft kümesi 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktasının bir soft
remote komşuluğudur ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içerir. Bu da bize(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayınınbir𝜅𝜅-soft
𝑇𝑇0 -uzayı olduğunu gösterir.
2.3.3.3.Uyarı.Her 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 -uzayı bir 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 -uzayıdır ancak karşıtı aşağıdaki
örnekte gösterildiği gibi doğru değildir:
2.3.3.2.Örnek 𝑈𝑈 = ℝevren kümesi, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 } ve𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸
parametre
kümeleri,𝜆𝜆 ∈ ℕ ve(𝐾𝐾𝐴𝐴 )𝜆𝜆 = {(𝑒𝑒𝑖𝑖 , 𝑉𝑉): 𝑖𝑖 ∈ {1,2,3}, 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐸𝐸 ve 𝑉𝑉 ⊆ ℝ sonlu bir küme}
olmak üzere 𝜅𝜅 = {(𝐾𝐾𝐴𝐴 )𝜆𝜆 ⊆~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ } ∪~ {𝑈𝑈𝐸𝐸~ }şeklinde alınırsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı bir soft
kotopolojik uzayıdır ve bir 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 -uzayıdır ancak𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 -uzayı değildir.𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴
soft noktaları için, 𝑀𝑀𝐴𝐴 = {(𝑒𝑒𝑖𝑖 , {𝑦𝑦}): 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐴𝐴} ve 𝑁𝑁𝐴𝐴 = {(𝑒𝑒𝑖𝑖 , {𝑥𝑥}): 𝑒𝑒𝑖𝑖 ∈ 𝐴𝐴} soft kümeleri
sırasıyla
𝑥𝑥𝐴𝐴
ve
𝑦𝑦𝐴𝐴
soft
noktalarının
soft
remote
komşuluklarıdır
ve𝑦𝑦𝐴𝐴 ∈~ 𝑀𝑀𝐴𝐴 ,𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 dır. Buradan (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅) bir 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 -uzayıdır.Ancak𝑥𝑥𝐴𝐴 ve 𝑦𝑦𝐴𝐴 soft
noktalarının𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 = ℝ𝐴𝐴 ~
olacak
şekilde strong soft
remote komşulukları
olmadığından (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayıbir 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 -uzay değildir.
2.3.3.5.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)softkotopolojik uzay olmak üzere her𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft
noktası ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasını içermeyen her soft kapalı𝐾𝐾𝐴𝐴 ≠ Φ𝐴𝐴 soft kümesi için𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasının ve 𝐾𝐾𝐴𝐴 soft kümesinin𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ olacak şekilde sırasıyla 𝑀𝑀𝐴𝐴 ve 𝑁𝑁𝐴𝐴
strong soft remote komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayına𝜿𝜿-soft regüler uzay denir.
2.3.3.6.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)soft kotopolojik uzayı hem 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 hemde 𝜅𝜅-soft
regüler uzay ise 𝜿𝜿-soft𝑻𝑻𝟑𝟑 -𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖olarak adlandırılır.
2.3.3.5.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı𝜅𝜅-soft regüleruzay ise 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft noktasının her
𝑀𝑀𝐴𝐴 soft remote komşuluğu için 𝑀𝑀𝐴𝐴 ⊆~ 𝐿𝐿𝐴𝐴 olacak şekilde bir 𝐿𝐿𝐴𝐴 ∈ ℜℵ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )vardır.
İspat.𝑀𝑀𝐴𝐴 ∈ ℜℵ (𝑥𝑥𝐴𝐴 )olsun. O halde 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊇∼ 𝑀𝑀𝐴𝐴 olacak şekilde bir 𝐾𝐾𝐴𝐴 soft
kapalı kümesi vardır. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı𝜅𝜅-soft regüler olduğundan 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının ve 𝐾𝐾𝐴𝐴
soft kümesinin𝐿𝐿𝐴𝐴 ∪~ 𝑆𝑆𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ olacak şekilde sırasıyla 𝐿𝐿𝐴𝐴 ve 𝑆𝑆𝐴𝐴 strong soft remote
komşulukları vardır. Buradan 𝑀𝑀𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⊆∼ 𝐿𝐿𝐴𝐴 olur ve ispat tamamlanır.
29
2.3.3.6.Teorem (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)soft kotopolojik uzayı𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇3 ise 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 -uzayıdır.
soft
İspat.𝑥𝑥𝐴𝐴 ≠ 𝑦𝑦𝐴𝐴 iki farklı soft nokta olsun. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 olduğundan 𝑦𝑦𝐴𝐴
kapalı
bir
kümedir
ve
𝑥𝑥𝐴𝐴 ∉ 𝑦𝑦𝐴𝐴 −dır.
Diğer
taraftan(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)uzayı𝜅𝜅-soft
regülerolduğundan 𝑥𝑥𝐴𝐴 ve𝑦𝑦𝐴𝐴 soft noktalarının𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ olacak şekilde sırasıyla 𝑀𝑀𝐴𝐴
ve 𝑁𝑁𝐴𝐴 strong soft remote komşulukları vardır. Bu da bize (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)softkotopolojik
uzayının𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇2 olduğunu gösterir.
2.3.3.7.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)birsoft kotopolojik uzay olsun. 𝐾𝐾1 𝐴𝐴 ∩∼ 𝐾𝐾2 𝐴𝐴 ≠ Φ𝐴𝐴 olacak
şekilde her𝐾𝐾1 𝐴𝐴 , 𝐾𝐾2 𝐴𝐴 soft kapalı altkümesi için 𝑀𝑀𝐴𝐴 ∪~ 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝐴𝐴~ olacak şekilde sırasıyla
𝑀𝑀𝐴𝐴 ve 𝑁𝑁𝐴𝐴 strong soft remote komşulukları varsa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)soft kotopolojik uzayına𝜿𝜿-soft
normal uzaydenir.
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)soft kotopolojik uzayı hem 𝜅𝜅-soft 𝑇𝑇1 hem de 𝜅𝜅-soft normal uzay ise 𝜿𝜿-
soft 𝑻𝑻𝟒𝟒 -uzayolarak adlandırılır.
2.4. Soft Ditopolojik Uzaylar
Bu kesimde soft ditopolojik uzayları tanımlayacağız. Soft ditopolojik uzaylar 2.2
ve 2.3kesimlerinde verdiğimiz birbirinden bağımsız olan soft topolojik uzaylar ve soft
kotopolojik uzayların bir kombinasyonu olarak düşünülebilir.
2.4.1.Tanım.𝜏𝜏ailesi𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde bir soft topoloji ve 𝜅𝜅 ailesi𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde bir soft
kotopoloji ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅)üçlüsüne 𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde bir soft ditopolojik uzay denir.𝛿𝛿 =
(𝜏𝜏, 𝜅𝜅)çifti ise 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesi üzerinde bir soft ditopoloji olarak adlandırılır.
2.4.2.Tanım.𝑈𝑈𝐸𝐸~ üzerinde iki soft ditopoloji 𝛿𝛿1 = (𝜏𝜏1 , 𝜅𝜅1 ) ve 𝛿𝛿2 = (𝜏𝜏2 , 𝜅𝜅2 )
verilsin. Eğer 𝜏𝜏2 ⊆ 𝜏𝜏1 ve 𝜅𝜅2 ⊆ 𝜅𝜅1 ise 𝛿𝛿1 soft ditopolojisi 𝛿𝛿2 soft ditopolojisinden
dahakabadırdenir ve 𝛿𝛿1 ⊆ 𝛿𝛿2 sembolü ile gösterilir.
2.4.3.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅)bir soft ditopolojik uzay, 𝐹𝐹𝐵𝐵 , 𝑀𝑀𝐶𝐶 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
olsun. Eğer 𝐹𝐹𝐵𝐵 soft kümesi𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft 𝜏𝜏-komşuluğu ve 𝑀𝑀𝐶𝐶 soft
kümesi𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft remote komşuluğu ise (𝐹𝐹𝐵𝐵 , 𝑀𝑀𝐶𝐶 ) ikilisine 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft
noktasının bir soft komşuluğu denir.
2.4.3.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅)soft ditopolojik uzayında herhangi bir 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸~
kümesinin içi ve kapanışı aşağıdaki gibi tanımlanır:
30
∼ ~
∼
𝐹𝐹𝐴𝐴 ° = ⋃~
𝑖𝑖∈𝐼𝐼 {𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑖𝑖 ⊆ 𝑈𝑈𝐸𝐸 : 𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∈ 𝜏𝜏, 𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑖𝑖 ⊆ 𝐹𝐹𝐴𝐴 } ,
∼ ~
∼
𝐹𝐹𝐴𝐴 − = ⋂~
𝑖𝑖∈𝐼𝐼 {𝐾𝐾𝐴𝐴 𝑖𝑖 ⊆ 𝑈𝑈𝐸𝐸 : 𝐾𝐾𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∈ 𝜅𝜅, 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆ 𝐾𝐾𝐴𝐴 𝑖𝑖 }.
2.4.4.Tanım. (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝛿𝛿1 )ve(𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝛿𝛿2 )iki soft ditopolojik uzay olsun.𝜑𝜑: 𝑈𝑈 → 𝑉𝑉ve
𝜓𝜓: 𝐸𝐸 → 𝑃𝑃softfonksiyonlar olmak üzere 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 , 𝜅𝜅2 )bir
soft fonksiyon olsun.
Eğer 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 )soft fonksiyonu𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında 𝜏𝜏-sürekli ve
𝜅𝜅-sürekli ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 , 𝜅𝜅2 ) fonksiyonu𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasında
soft sürekli olarak adlandırılır.
2.4.1.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 , 𝜅𝜅2 )softfonksiyonunun𝑥𝑥𝐴𝐴
soft noktasında soft sürekli fonksiyon olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝑥𝑥𝐴𝐴 ) soft
noktasının her soft komşuluğu (𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴) , 𝑀𝑀𝜓𝜓 (𝐴𝐴) ′ ) için (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝜓𝜓(𝐴𝐴) ), 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑀𝑀𝜓𝜓(𝐴𝐴) ′ )) soft
kümesinin𝑥𝑥𝐴𝐴 soft noktasının bir soft komşuluğu 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.2.2.2.1.Teorem ve 2.3.2.1.Teoremin sonucudur.
2.4.2.Teorem. 𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 , 𝜅𝜅2 )softfonksiyonunun soft
sürekli olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 her 𝑇𝑇𝜓𝜓(𝐴𝐴) ∈ 𝜏𝜏2 için 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑇𝑇𝜓𝜓(𝐴𝐴) ) ∈ 𝜏𝜏1 ve her
𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ′ ∈ 𝜅𝜅2 ′ için 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐾𝐾𝜓𝜓(𝐴𝐴) ′ ) ∈ 𝜅𝜅1 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat. 2.2.2.2. Teorem ve 2.3.2.2.Teoremin sonucudur.
2.4.3.Teorem.𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏1 , 𝜅𝜅1 ) ⟶ (𝑉𝑉𝑃𝑃~ , 𝜏𝜏2 , 𝜅𝜅2 )soft
fonksiyonunun
softsürekli olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐹𝐹𝐴𝐴 ⊆∼ 𝑉𝑉𝑃𝑃~ için,
−
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹𝐴𝐴 ) ⊆∼ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 )� 𝑣𝑣𝑣𝑣 (𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ ))− ⊆∼ 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝐹𝐹𝐴𝐴 ′ )
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.2.2.2.4.Teorem ve 2.3.2.3. Teoremin sonucudur.
2.4.5.Tanım.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏)soft
topolojik
soft𝑻𝑻𝟐𝟐 , 𝛕𝛕-𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ü𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍, 𝛕𝛕-soft𝑻𝑻𝟑𝟑 ,𝛕𝛕-soft
soft𝑻𝑻𝟎𝟎 (sırasıyla𝜿𝜿-soft𝑻𝑻𝟏𝟏 ,𝜿𝜿-soft𝑻𝑻𝟐𝟐 ,𝜿𝜿-soft
uzayı
𝛕𝛕-soft
𝑻𝑻𝟎𝟎 (sırasıyla𝛕𝛕-soft𝑻𝑻𝟏𝟏 , 𝛕𝛕-
normal,𝛕𝛕-soft𝑻𝑻𝟒𝟒 )
regüler,𝜿𝜿-soft
ve
(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜅𝜅)𝜿𝜿-
𝑻𝑻𝟑𝟑 ,𝜿𝜿-softnormal,
𝜿𝜿-
soft𝑻𝑻𝟒𝟒 ) ise (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅) soft ditopolojik uzayına soft 𝑻𝑻𝟎𝟎 (sırasıylasoft 𝑻𝑻𝟏𝟏 , soft 𝑻𝑻𝟐𝟐 , soft
regüler, soft 𝑻𝑻𝟑𝟑 , soft normal, soft 𝑻𝑻𝟒𝟒 ) denir.
31
2.4.4.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅)soft ditopolojik uzay ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 ∈~ 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olsun. Eğer 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝑐𝑐 soft
kümesi soft açık ve 𝑥𝑥𝐴𝐴 soft kümesi soft kapalıysa (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅)soft ditopolojik uzayı soft 𝑇𝑇1 -
uzayıdır.
İspat.2.2.3.1.Teorem ve 2.3.3.2.Teoremin sonucudur.
2.4.1.Uyarı. Her soft 𝑇𝑇1 ditopolojik uzay bir soft 𝑇𝑇0 ditopolojik uzaydır. Karşıtı
aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi genelde doğru değildir:
2.4.1.Örnek. 𝑈𝑈 = ℝ evren kümesi, 𝐸𝐸 = ℕ, 𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸 parametre kümeleri, ve
𝐹𝐹𝐸𝐸𝜆𝜆 = {(𝑒𝑒, ] − ∞, 𝑒𝑒 + 𝜆𝜆[ ): 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸𝜆𝜆 , 𝜆𝜆 ∈ ℕ} 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝜏𝜏 = {(𝐹𝐹𝐸𝐸 )𝜆𝜆 ⊂∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸∼ }⋃{Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸∼ },
𝐾𝐾𝐸𝐸𝜆𝜆 = {𝑒𝑒, [𝑒𝑒 + 𝜆𝜆, ∞[ ) ∶ 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸𝜆𝜆 , 𝜆𝜆 ∈ ℕ}𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 = {(𝐾𝐾𝐸𝐸 )𝜆𝜆 ⊂∼ 𝑈𝑈𝐸𝐸∼ }⋃{Φ𝐴𝐴 , 𝑈𝑈𝐸𝐸∼ }olsun. O halde
(𝑈𝑈𝐸𝐸∼ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅) bir soft 𝑇𝑇0 ditopolojik uzaydır ancak soft 𝑇𝑇1 ditopolojik uzay değildir.
32
3.FUZZYSOFT TOPOLOJİK UZAYLAR
Bu bölümde Tanay ve Kandemir (2011)tarafından 1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 tam fuzzy soft kümesi
üzerinde tanımlanmış olan fuzzy soft topoloji kavramından yararlanarak, herhangi bir 𝑓𝑓𝐴𝐴
fuzzy soft kümesi üzerinde fuzzy soft topoloji tanımladık. Bu uzayda fuzzy soft açık,
fuzzy soft kapalı, fuzzy soft nokta, fuzzy soft komşuluk, fuzzy soft Q-komşuluk vb. gibi
temel kavramları verdik ve bu özelliklerle ilgili teorem ve sonuçları elde ettik.
3.1.Fuzzy Soft Topolojik Uzayın Temel Kavramları
3.1.1.Tanım.𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸),𝒫𝒫(𝑓𝑓𝐴𝐴 ), 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin tüm fuzzysoft
altkümelerinin ailesi ve 𝜏𝜏𝑓𝑓 ,𝒫𝒫(𝑓𝑓𝐴𝐴 )ailesinin bir alt ailesi olsun. 𝜏𝜏𝑓𝑓 ailesiaşağıdaki koşulları
sağlayan bir aile ise 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi üzerinde fuzzysoft topoloji ve (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) ikilisi
defuzzysoft topolojik uzay olarak adlandırılır:
𝑖𝑖) 0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 ,
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 ⇒ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 ,
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼,
𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 ⇒ ⨆𝑖𝑖∈𝐼𝐼 (𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐴𝐴 ) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 .
𝜏𝜏𝑓𝑓 ailesinin her elemanına fuzzy soft açık küme denir.Fuzzysoft açık kümenin
tümleyenine fuzzy soft kapalı küme denir.
3.1.1.Uyarı.𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi tam soft küme olan 1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 olarak alınırsa
(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )uzayı için elde edilen bütün sonuçlar (1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )uzayı için de geçerli olur.
3.1.1.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) uzayı𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi üzerinde bir fuzzysoft
topolojik uzay olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
𝑐𝑐
𝑖𝑖) 1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzysoft kapalı kümelerdir,
𝑖𝑖𝑖𝑖)Fuzzysoft kapalı kümelerin keyfikesişimleri de fuzzysoft kapalıdır.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) İki fuzzysoft kapalı kümeninbirleşimi de fuzzysoft kapalıdır.
İspat. 3.1.1. Tanım gereği ispat açıktır.
3.1.1.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑒𝑒}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 , 𝑒𝑒4 }, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 }ve
𝑓𝑓𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.3 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.5 , 𝑑𝑑0.6 , 𝑒𝑒0.7 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.8 , 𝑏𝑏0.5 , 𝑐𝑐0.9 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒1 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.6 , 𝑏𝑏0.7 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒0.8 }},
𝑓𝑓1𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.2 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.1 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.7 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.8 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.9 },
33
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.6 , 𝑐𝑐0.1 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.8 }},
𝑓𝑓2𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.3 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.2 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒0.6 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.8 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.7 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.8 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.4 , 𝑏𝑏0.7 , 𝑐𝑐0.2 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.6 }},
𝑓𝑓3𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.2 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.1 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.7 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.7 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.8 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.4 , 𝑏𝑏0.6 , 𝑐𝑐0.1 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.6 }},
𝑓𝑓4𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.3 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.2 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒0.6 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.8 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.8 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.7 , 𝑐𝑐0.2 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.8 }},
𝑓𝑓5𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.1 , 𝑏𝑏0.2 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.4 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.1 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.1 },
olsun. O halde,
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.2 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.1 , 𝑑𝑑0.1 , 𝑒𝑒0.4 }}
𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑓𝑓1𝐴𝐴 , 𝑓𝑓2𝐴𝐴 , 𝑓𝑓3𝐴𝐴 , 𝑓𝑓4𝐴𝐴 , 𝑓𝑓5𝐴𝐴 }
ailesi𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi üzerinde bir fuzzysoft topolojidir.Fuzzysoft kapalı kümeler
ailesini de tümleme işlemi yardımıyla elde edebiliriz.
𝐸𝐸için
3.1.2.Teorem.(1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft topolojik uzay olsun. O halde her 𝑒𝑒 ∈
bir fuzzy topolojidir.
𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 = {𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒): 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 }
~
İspat𝑖𝑖)0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 1𝑈𝑈𝐸𝐸 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için 0𝑈𝑈, 1𝑈𝑈 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 dir.
𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 dir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olsun. 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ∩ ℎ𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ∈
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Her 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 için𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olsun. ⨆𝑖𝑖∈𝐼𝐼 (𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐴𝐴 ) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için
⋃𝑖𝑖∈𝐼𝐼 (𝑓𝑓𝑖𝑖 𝐴𝐴 (𝑒𝑒)) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 olur.
3.1.2.Uyarı.3.1.2.Teoremin karşıtı aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi genellikle
doğru değildir.
3.1.2.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 }olsun.
𝑓𝑓1𝐸𝐸 (𝑒𝑒1 ) = {𝑥𝑥0.3 , 𝑦𝑦0.5 , 𝑧𝑧0.8 }, 𝑓𝑓1𝐸𝐸 (𝑒𝑒2 ) = {𝑥𝑥0.1 , 𝑦𝑦0.6 , 𝑧𝑧0.3 },
𝑓𝑓2𝐸𝐸 (𝑒𝑒1 ) = {𝑥𝑥0.2 , 𝑦𝑦0.8 , 𝑧𝑧0.5 }, 𝑓𝑓2𝐸𝐸 (𝑒𝑒2 ) = {𝑥𝑥0.2 , 𝑦𝑦0.4 , 𝑧𝑧0.5 },
𝑓𝑓3𝐸𝐸 (𝑒𝑒1 ) = {𝑥𝑥0.3 , 𝑦𝑦0.8 , 𝑧𝑧0.8 }, 𝑓𝑓3𝐸𝐸 (𝑒𝑒2 ) = {𝑥𝑥0.1 , 𝑦𝑦0.4 , 𝑧𝑧0.3 },
olmak üzere
𝑓𝑓4𝐸𝐸 (𝑒𝑒1 ) = {𝑥𝑥0.2 , 𝑦𝑦0.5 , 𝑧𝑧0.5 }, 𝑓𝑓4𝐸𝐸 (𝑒𝑒2 ) = {𝑥𝑥0.2 , 𝑦𝑦0.6 , 𝑧𝑧0.5 }.
34
~
𝜏𝜏𝑓𝑓 = �0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 1𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑓𝑓1𝐸𝐸 , 𝑓𝑓2𝐸𝐸 , 𝑓𝑓3𝐸𝐸 , 𝑓𝑓4𝐸𝐸 , 𝑓𝑓5𝐸𝐸 �
olsun.𝑓𝑓1𝐴𝐴 ⊔ 𝑓𝑓2𝐴𝐴 ∉ 𝜏𝜏𝑓𝑓 olduğundan𝜏𝜏𝑓𝑓 fuzzy soft topoloji değildir. Ancak𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 1 ve 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 2 fuzzy
topolojidir.
3.1.2.Tanım. 𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)bir fuzzy soft küme ve 𝑉𝑉 ⊆ 𝑈𝑈 olsun.𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft
kümesinin(𝑉𝑉, 𝐸𝐸)ikilisi üzerindekialt fuzzy soft kümesi
𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑉𝑉 (𝑒𝑒) = 𝑉𝑉 ∩ 𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸.
şeklinde tanımlanır ve 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑉𝑉 simgesi ile gösterilir.
3.1.3.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) bir fuzzy soft topolojik uzay ve 𝑉𝑉 ⊆ 𝑈𝑈 olsun.
𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 = {𝑔𝑔𝐴𝐴 𝑉𝑉 : 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 }
fuzzy soft topolojisine 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑉𝑉 üzerinde fuzzysoft relative topoloji ve (𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑉𝑉 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) ikilisine
de(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) uzayınınfuzzy soft alt uzayı denir.
3.1.4.Tanım.𝑥𝑥𝜆𝜆 (𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝜆𝜆 ∈ (0,1]), fuzzy nokta olsun.𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸olmak üzere
∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈, ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇𝐴𝐴𝑒𝑒 𝜆𝜆 (𝑢𝑢) = �
𝑥𝑥
𝜆𝜆; 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
0, 𝑢𝑢 ≠ 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
şeklinde tanımlanan fuzzysoft kümeye fuzzysoft nokta denir ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 şeklinde gösterilir.
3.1.1.Sonuç.𝑓𝑓𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)bir fuzzy soft küme ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 (𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈, 𝜆𝜆 ∈ (0,1]) bir
fuzzysoftnokta olsun. Buradan,
𝑖𝑖) 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
𝜆𝜆 ~
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ⊓ 𝑓𝑓𝐴𝐴 = 0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑥𝑥 ∉ 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜.
3.1.5.Tanım. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )birfuzzysoft topolojik uzay, 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 ve 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzysoft
nokta olsun. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 olacak şekilde bir ℎ𝐴𝐴 fuzzysoft açık kümesi varsa 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy
soft kümesine𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasınınfuzzysoft komşuluğu denir.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft
noktasının tüm fuzzy soft komşuluklarının ailesi ℵ(𝐴𝐴𝜆𝜆𝑥𝑥 ) simgesi ile gösterilir.
3.1.3.Örnek.3.1.1. Örnekte verilmiş(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzysoft topolojisini göz önüne
0.2
alalım. 𝐴𝐴0.2
𝑐𝑐 birfuzzysoft nokta olsun. O halde 𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑓𝑓2𝐴𝐴 ve 𝑓𝑓4𝐴𝐴 fuzzysoft kümeleri 𝐴𝐴𝑐𝑐 fuzzy
soft noktasınınfuzzysoft komşularıdır.
3.1.3.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzysoft topolojik uzay, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft nokta ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ⊑
𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
35
𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝜆𝜆𝑥𝑥 ) ise 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ 𝑔𝑔𝐴𝐴 dır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝜆𝜆𝑥𝑥 ) ise 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝜆𝜆𝑥𝑥 ) dır.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝜆𝜆𝑥𝑥 ) , 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 ise ℎ𝐴𝐴 ∈ ℵ(𝐴𝐴𝜆𝜆𝑥𝑥 ) dır.
İspat. 3.1.5.Tanım gereğince ispat açıktır.
3.1.6.Tanım. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzay, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve
𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olacak şekilde bir 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft açığı varsa 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy
soft
noktasınaℎ𝐴𝐴
fuzzy
soft
kümesinin
fuzzy soft iç noktası
denir
ve
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ (ℎ𝐴𝐴 )∘simgesi ile gösterilir.
3.1.4.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzay ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. Aşağıdakiler
sağlanır:
𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° fuzzy soft kümesi𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin kapsadığı tüm fuzzy soft
açık kümelerin birleşimine eşittir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 .
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )°bir fuzzy soft açık kümedir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° , 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin kapsadığı en büyük fuzzy soft açık kümedir.
𝑣𝑣) 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy
soft
kümesinin
fuzzy
soft
açık
küme
olması
için𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝑔𝑔𝐴𝐴 = (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat. 𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° =⨆{ℎ𝐴𝐴 : ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 }olduğunu göstermeliyiz.
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )°olsun. 3.1.6.Tanım gereği𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 olacak şekilde bir ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓
vardır. Böylece
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ ⨆�ℎ𝐴𝐴 : ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 �
olur.
(1)
Varsayalım ki 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ ⨆{ℎ𝐴𝐴 : ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 } olsun. O halde 3.1.6.Tanım gereği
olur. (1) ve (2) gereği
elde edilir.
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )°
(𝑔𝑔𝐴𝐴 )° = ⨆{ℎ𝐴𝐴 : ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 }
𝑖𝑖𝑖𝑖), 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖), 𝑖𝑖𝑖𝑖)ve𝑣𝑣) şıklarının ispatları 𝑖𝑖) den açıktır.
(2)
36
3.1.5.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzay ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun.
Aşağıdakiler sağlanır:
°
~
°
𝑖𝑖) 0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 = 0𝑈𝑈𝐸𝐸 , (𝑓𝑓𝐴𝐴 ) = 𝑓𝑓𝐴𝐴 .
𝑖𝑖𝑖𝑖) ((𝑔𝑔𝐴𝐴 )° )° = (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° .
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊑ (ℎ𝐴𝐴 )° dir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )° = (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )°.
𝑣𝑣) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )° .
İspat. 𝑖𝑖), 𝑖𝑖𝑖𝑖)ve𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)3.1.1.Tanımdan açıktır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ve(ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ ℎ𝐴𝐴 olduğundan ve 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) gereği
(𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴
olur. 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin içindeki en büyük fuzzy soft açık küme (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )∘
fuzzy soft kümesi olduğundan
(𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )∘
olur.
(1)
Diğer taraftan (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )∘ ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ve (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )∘ ⊑ (ℎ𝐴𝐴 )° olduğundan
(𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )∘ ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )°
(2)
olur. (1)ve(2) den (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )° = (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )° olduğu görülür.
𝑣𝑣)(𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ve(ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ ℎ𝐴𝐴 olduğundan (𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 olur. 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔
ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinde kapsanan en büyük fuzzy soft açık küme (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )° fuzzy soft
kümesi olduğundan
(𝑔𝑔𝐴𝐴 )° ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )° ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )°
olur.
3.1.3.Uyarı.3.1.5.Teoremin 𝑣𝑣)şıkkının karşıtı aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi
genellikle doğru değildir.
3.1.3.Örnek. 3.1.1.Örnekte verilmiş fuzzy soft topolojik uzayı göz önüne
alalım.𝑔𝑔𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.2 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.5 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.2 , 𝑐𝑐0.8 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.3 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.4 , 𝑏𝑏0.5 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.5 }}ve
ℎ𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.3 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.6 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.8 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.7 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.7 , 𝑐𝑐0.3 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 }}
37
iki fuzzy soft küme olsun. Bu durumda 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∘ = 𝑓𝑓5𝐴𝐴 ve ℎ𝐴𝐴 ∘ = 𝑓𝑓3𝐴𝐴 olup 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∘ ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )° =
𝑓𝑓3𝐴𝐴 dır. Diğer taraftan,
𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.3 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.5 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒0.6 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.8 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.8 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 }, 𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.5 ,
𝑏𝑏0.7 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 }}
olup (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )° = 𝑓𝑓4𝐴𝐴 dır.
3.1.7.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzayı ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft
kümesini içeren tüm fuzzy soft kapalı kümelerin kesişimine 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft
kümesininkapanışıdenir ve
𝑔𝑔𝐴𝐴 −simgesi ile gösterilir.
𝑔𝑔𝐴𝐴 − = ⨅{ℎ𝐴𝐴 : 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑐𝑐 }
3.1.6.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzayı ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun.
Aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 −bir fuzzy soft kapalı kümedir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 −.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 −fuzzy soft kümesi𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini içeren en küçük fuzzy soft
kapalı kümedir.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊑ (ℎ𝐴𝐴 )−dır.
𝑣𝑣) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )− ⊒ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )−.
𝑣𝑣𝑣𝑣) (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )− = (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )−.
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣) ((𝑔𝑔𝐴𝐴 )−)− = (𝑔𝑔𝐴𝐴 )−.
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣) 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin fuzzy soft kapalı olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑔𝑔𝐴𝐴 = (𝑔𝑔𝐴𝐴 )−𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.𝑣𝑣)(𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )− ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )−ve(𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )− ⊑ (ℎ𝐴𝐴 )− olduğundan
(𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 )− ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊓ (ℎ𝐴𝐴 )−
dır. 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini kapsayan en küçük fuzzy soft kapalı küme (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔
ℎ𝐴𝐴)−dır. Buradan (𝑔𝑔𝐴𝐴)−⊓(ℎ𝐴𝐴)−⊒(𝑔𝑔𝐴𝐴⊓ℎ𝐴𝐴)− olur.
𝑣𝑣𝑣𝑣)(𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )−, (ℎ𝐴𝐴 )− ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )− olduğundan
(𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )− ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )−(1)
olur. Diğer taraftan 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )− ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )−dır. 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔
ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini kapsayan en küçük fuzzy soft kapalı küme (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )−
olduğundan
38
(𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )− ⊑ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )−(2)
dır. (1) ve (2) ifadelerinden (𝑔𝑔𝐴𝐴 )− ⊔ (ℎ𝐴𝐴 )− = (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊔ ℎ𝐴𝐴 )− olduğu görülür.
3.1.4. Uyarı. 3.1.6.Teoremin 𝑣𝑣) şıkkının karşıtı genellikle doğru değildir.
3.1.4.Örnek.3.1.1.Örnekte verilmiş fuzzy soft topolojik uzayı göz önüne alalım.
𝑔𝑔𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.2 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.5 , 𝑑𝑑0.5 , 𝑒𝑒0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.2 , 𝑐𝑐0.8 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.3 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.4 ,𝑏𝑏0.5 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.5 }}ve
𝑠𝑠𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.3 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.6 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.8 , 𝑏𝑏0.4 , 𝑐𝑐0.6 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.7 , 𝑐𝑐0.3 , 𝑑𝑑0.4 , 𝑒𝑒0.9 }}
fuzzy soft kümeleri için
𝑔𝑔𝐴𝐴 − = 𝑈𝑈𝐸𝐸~ ve𝑠𝑠𝐴𝐴 − = 𝑈𝑈𝐸𝐸~ olduğundan 𝑔𝑔𝐴𝐴 − ⊓ 𝑠𝑠𝐴𝐴 − = 𝑈𝑈𝐸𝐸~ dir.
Diğer taraftan,
𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ 𝑠𝑠𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 = {𝑎𝑎0.2 , 𝑏𝑏0.3 , 𝑐𝑐0.4 , 𝑑𝑑0.3 , 𝑒𝑒0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑎𝑎0.5 , 𝑏𝑏0.2 , 𝑐𝑐0.6 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.3 },
𝑒𝑒3 = {𝑎𝑎0.4 , 𝑏𝑏0.5 , 𝑐𝑐0.3 , 𝑑𝑑0.2 , 𝑒𝑒0.5 }} 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 (𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ 𝑠𝑠𝐴𝐴 )− = 𝑓𝑓5𝑐𝑐𝐴𝐴 dir.
3.1.8.Tanım. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve 𝑓𝑓𝐴𝐴 bir fuzzy soft küme olsun.
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) > 1
ise𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktası, 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesiyle quasi çakışıktır denir ve
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑓𝑓𝐴𝐴 simgesi ile gösterilir.
3.1.9.Tanım. 𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸) olsun.
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢) + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢) > 1
olacak şekilde bir 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 varsa 𝑓𝑓𝐴𝐴 fuzzy soft kümesiyle𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi quasi
çakışıktırdenir ve 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 simgesi ile gösterilir.
3.1.10.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzay, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve
𝑣𝑣𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴 olsun. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑤𝑤𝐴𝐴 ⊑ 𝑣𝑣𝐴𝐴 olacak şekilde bir 𝑤𝑤𝐴𝐴 fuzzy soft açığı varsa 𝑣𝑣𝐴𝐴 fuzzy soft
kümesine𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasınınQ-fuzzy soft komşuluğu denir.
3.1.7.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzayında aşağıdakiler sağlanır:
𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ise 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆
fuzzy soft noktası 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesiyle quasi çakışıktır.
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 ,ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümeleri 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu
ise𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊓ ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi de𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğudur.
39
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ve
𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 iseℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğudur.
İspat.𝑖𝑖) 3.1.10.Tanımdan açıktır.
𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑔𝑔𝐴𝐴 ,ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümeleri𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu
olduğundan
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) > 1 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) > 1
olur. Buradan her𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 için𝜆𝜆 + min⁡
{𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥), 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥)} > 1 olduğu görülür.
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu
olduğundan her 𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) > 1 ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olduğundan her𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖,
𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) ≤ 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) olur. Böylece her𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) > 1 olduğu görülür.
3.1.2.Sonuç.𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑈𝑈, 𝐸𝐸)olsun.
𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olması
için
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin(ℎ𝐴𝐴 )𝑐𝑐 fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸, ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢) ≤ 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢)
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟. Başka bir deyişle 𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ ℎ𝐴𝐴 olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸, ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢) + (1 − 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢)) ≤ 1
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.Buradan,
𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑢𝑢) + 𝜇𝜇ℎ𝑒𝑒 𝐴𝐴 𝑐𝑐 (𝑢𝑢) ≤ 1
olur. Sonuç olarak𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesi(ℎ𝐴𝐴 )𝑐𝑐 fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık
değildir.
3.1.8.Teorem. (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy soft topolojik uzay olsun, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta
ve𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ 𝑓𝑓𝐴𝐴
olsun. 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔𝐴𝐴 −olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑜𝑜ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆
fuzzy soft
noktasının her Q-fuzzy soft komşuluğunun 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesiylex noktasında quasi
çakışık 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ı𝑑𝑑ı𝑟𝑟.
İspat.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔𝐴𝐴 −olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kümesini
kapsayan her 𝑣𝑣𝐴𝐴 fuzzy soft kapalı kümesi için𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑣𝑣𝐴𝐴 olmasıdır, yani
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆 ≤ 𝜇𝜇𝑣𝑣𝑒𝑒𝐴𝐴 (𝑥𝑥)
olmasıdır. O halde 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∈~ 𝑔𝑔𝐴𝐴 − olması için 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑘𝑘ş𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐 fuzzy soft
kümesinde kapsanan her 𝑘𝑘𝐴𝐴 fuzzy soft açık kümesi için
40
1 − 𝜆𝜆 ≥ 𝜇𝜇𝑘𝑘𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥), ∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴,
olmasıdır. Böylece 1 − 𝜆𝜆 < 𝜇𝜇𝑘𝑘𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥)koşulunu sağlayan her 𝑘𝑘𝐴𝐴 fuzzy soft açık kümesi 𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐
fuzzy soft kümesinde kapsanmaz. 3.1.2.Sonuçtan𝑘𝑘𝐴𝐴 fuzzy soft kümesinin𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft
kümesiyle quasi çakışık olmadığı görülür.
3.2.Fuzzy Soft Quasi Ayırma Aksiyomları
μ
3.2.1.Tanım.�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 �fuzzy soft topolojik uzay olsun.Her 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈,
𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)farklıfuzzy soft nokta çifti için.
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 fuzzy soft açık kümeleri varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )uzayınafuzzy soft
quasi𝑻𝑻𝟎𝟎 denir.
3.2.1.Lemma.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )𝑐𝑐 dir.
İspat.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 olsun. O halde
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐴𝐴 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥) > 1
olur ve buradan𝜆𝜆 > 1 − 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 (𝑥𝑥)=𝜇𝜇𝑔𝑔𝑒𝑒 𝐴𝐴 𝑐𝑐 (𝑥𝑥) elde edilir. Sonuç olarak𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )𝑐𝑐 olduğu
görülür.
𝜇𝜇
3.2.1.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇0 -uzay ise 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)
farklı fuzzy soft noktaları için
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )− 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑦𝑦 ∉ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )−
dır.
μ
İspat.Her𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktası için�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 � fuzzy
soft quasi 𝑇𝑇0 -uzay olduğundan
olacak
şekilde
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓
vardır.
𝜇𝜇
İlk
durumu
göz
önüne
alalım.
3.2.1.Lemmadan𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ (𝑔𝑔𝐴𝐴 )𝑐𝑐 ve 𝐴𝐴𝑦𝑦 ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 𝑐𝑐 dir. 𝑔𝑔𝐴𝐴 𝑐𝑐 fuzzy soft kümesi fuzzy soft kapalı
𝜇𝜇
𝜇𝜇
olduğundan (𝐴𝐴𝑦𝑦 )− ⊑ 𝑔𝑔𝐴𝐴 𝑐𝑐 olur. Böylece 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ∉~ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )−dır. Benzer işlem ikinci durum
için de yapılabilir ve ispat tamamlanır.
3.2.2.Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(𝑋𝑋, 𝜏𝜏)bir fuzzy topolojik uzay olsun.
Her𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝑦𝑦𝜇𝜇 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy nokta çifti için eğer
41
𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑞𝑞 ≤ (𝑦𝑦𝜇𝜇 )𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦𝜇𝜇 𝑞𝑞𝑞𝑞 ≤ (𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑈𝑈, 𝑉𝑉fuzzy açık kümeleri varsa (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) fuzzy topolojik uzayına quasi𝑻𝑻𝟎𝟎 uzay denir.
3.2.2.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )fuzzy
soft
quasi
için(𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒), 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 )fuzzy quasi 𝑇𝑇0 -uzaydır.
T0-uzay
ise
her
𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸
𝜇𝜇
İspat.Her 𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝑦𝑦𝜇𝜇 farklı fuzzy noktaları için𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ve 𝐴𝐴𝑦𝑦 iki farklı fuzzy soft noktadır.
(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi T0-uzay olduğundan,
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. Buradan
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ⊑ (𝑦𝑦𝜇𝜇 )𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦𝜇𝜇 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ⊑ (𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒), ℎ𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 vardır. O halde (𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒), 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 ) bir fuzzy quasi T0 -
uzaydır.
~𝑉𝑉
3.2.3.Teorem.(1~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi T0 -uzay ise(1𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) de bir fuzzy
soft quasi T0 -uzaydır.
μ
İspat.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi T0 -uzay olsun. Her 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)
farklı fuzzy soft noktası için
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. İlk durumu göz önüne alalım. 𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉olduğundan
𝜇𝜇
~𝑉𝑉
𝑐𝑐
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞(1~𝑉𝑉
𝐸𝐸 ⊓ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ) ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 ) 𝑣𝑣𝑣𝑣 1𝐸𝐸 ⊓ 𝑔𝑔𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉
sağlanır. İkinci durum için de ispat benzer şekilde yapılır. Sonuç olarak (1~𝑉𝑉
𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) de bir
fuzzy soft quasi T0 -uzaydır.
μ
3.2.3.Tanım.�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 �birfuzzy soft topolojik uzay olsun. Her𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈,
𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)farklı fuzzy soft nokta çifti için
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) uzayınafuzzy soft quasi𝑻𝑻𝟏𝟏 –uzayı𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑.
3.2.4.Teorem.Her 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈 için 𝐴𝐴1𝑥𝑥 fuzzy soft kapalı küme ise(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) bir fuzzy soft
quasiT1 –uzayıdır.
42
μ
İspat. Her𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktası için.𝐴𝐴1𝑥𝑥 , 𝐴𝐴1𝑦𝑦 fuzzy soft
kümeleri fuzzy soft kapalı olduğundan,(𝐴𝐴1𝑥𝑥 )𝑐𝑐 , (𝐴𝐴1𝑦𝑦 )𝑐𝑐 fuzzy soft kümeleri fuzzy soft
açıktır. Kolayca görülebilir ki,
𝜇𝜇
μ
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞(𝐴𝐴1𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞(𝐴𝐴1𝑥𝑥 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣(𝐴𝐴1𝑦𝑦 )𝑐𝑐 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 (𝐴𝐴1𝑥𝑥 )𝑐𝑐 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
dir. Böylece (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )uzayı fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 –uzayıdır.
3.2.1.Uyarı. 3.2.4.Teoreminin karşıtı genelde aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi
sağlanmaz.
3.2.1.Örnek. 𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 } ve 𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝑓𝑓1𝐴𝐴 , 𝑓𝑓2𝐴𝐴 , 𝑓𝑓3𝐴𝐴 , 𝑓𝑓4𝐴𝐴 } bir
fuzzy soft topoloji olsun öyle ki,
𝑓𝑓𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.9 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.7 , 𝑦𝑦0.3 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.4 }�,
𝑓𝑓2𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.5 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.4 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓3𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.5 , 𝑦𝑦0.3 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.4 , 𝑦𝑦0.4 }�,
𝑓𝑓4𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.7 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.8 }�.
Sonuç olarak�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 � fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 –uzayıdır ancak𝐴𝐴1𝑥𝑥 ve 𝐴𝐴1𝑦𝑦 fuzzy soft
kümeleri fuzzy soft kapalı değildir.
3.2.4. Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(𝑋𝑋, 𝜏𝜏)bir fuzzy topolojik uzay olsun.
Her𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝑦𝑦𝜇𝜇 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy nokta çifti için eğer
𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑞𝑞 ≤ (𝑦𝑦𝜇𝜇 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝜇𝜇 𝑞𝑞𝑞𝑞 ≤ (𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑈𝑈, 𝑉𝑉fuzzy açık kümeleri varsa (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) fuzzy topolojik uzayına quasi𝑻𝑻𝟏𝟏 -
uzaydenir.
3.2.5.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 -uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için(𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒), 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 )
fuzzy quasi 𝑇𝑇1 -uzaydır.
𝜇𝜇
İspat.𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝑦𝑦𝜇𝜇 fuzzy noktaları için 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ve 𝐴𝐴𝑦𝑦 iki farklı fuzzy soft noktadır.
(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )uzayıbir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 -uzay olduğundan
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 vardır. Buradan
∀𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ⊑ (𝑦𝑦𝜇𝜇 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑦𝑦𝜇𝜇 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ⊑ (𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 (𝑒𝑒), ℎ𝐴𝐴 (𝑒𝑒) ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 vardır. O halde (𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒), 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 ) bir fuzzy quasi 𝑇𝑇1 -uzaydır.
43
3.2.6.Teorem.(𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 -uzay ise (1~𝑉𝑉
𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) de bir fuzzy
soft quasi 𝑇𝑇1 -uzaydır.
İspat.3.2.3.Teoremin ispatına benzer olarak yapılır.
3.2.2.Uyarı.Her fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 -uzay fuzzy soft quasi 𝑇𝑇0 -uzaydır. Karşıtı
aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi her zaman doğru değildir.
3.2.2.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 } ve
𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0. }�
~
olmak üzere 𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0~
𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑈𝑈𝐸𝐸 , 𝑓𝑓1𝐴𝐴 } bir fuzzy soft topolojidir ve�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 � fuzzy soft quasi
𝑇𝑇0 –uzayıdır ancak fuzzy soft quasi 𝑇𝑇1 –uzayı değildir.
μ
3.2.5.Tanım.�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 �fuzzy soft topolojik uzay olsun.Her 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈,
𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦)farklıfuzzy soft nokta çifti için
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑦𝑦 )𝑐𝑐 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑞𝑞ℎ𝐴𝐴 ⊑ (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑔𝑔𝐴𝐴 ç𝑎𝑎𝑎𝑎ışı𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑ğ𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ𝐴𝐴
olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 , ℎ𝐴𝐴 ∈ 𝜏𝜏𝑓𝑓 varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) uzayına fuzzy soft quasi𝐓𝐓𝟐𝟐 –uzayıdenir.
3.2.6.Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(𝑋𝑋, 𝜏𝜏)bir fuzzy topolojik uzay olsun. Her
𝑥𝑥𝜆𝜆 , 𝑦𝑦𝜇𝜇 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy nokta çifti için
𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑞𝑞 ≤ (𝑦𝑦𝜇𝜇 )𝑐𝑐 ,𝑦𝑦𝜇𝜇 𝑞𝑞𝑞𝑞 ≤ (𝑥𝑥𝜆𝜆 )𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑈𝑈 ç𝑎𝑎𝑎𝑎ışı𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑ğ𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑉𝑉
olacak şekilde 𝑈𝑈, 𝑉𝑉fuzzy açık kümeleri varsa (𝑋𝑋, 𝜏𝜏) fuzzy topolojik uzayına
fuzzyquasi𝑻𝑻𝟐𝟐 -uzay denir.
3.2.7.Teorem.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft quasi T2 -uzay ise her 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 için (𝑓𝑓𝐴𝐴 (𝑒𝑒), 𝜏𝜏𝑓𝑓𝑒𝑒 )
fuzzy quasi T2 -uzaydır.
İspat.3.2.2.Teoremin ispatına benzer olarak yapılır.
3.2.8.Teorem.(1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 )bir fuzzy soft quasi T2 -uzay ise (1~𝑉𝑉
𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) de bir fuzzy
𝐸𝐸 𝑓𝑓
soft quasi T2 -uzaydır.
İspat. 3.2.3.Teoremin ispatına benzer olarak yapılır.
3.2.7.Tanım.(1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 )ve(1𝑉𝑉 ~
, 𝜏𝜏 ∗ )iki fuzzy soft topolojik uzay olsun.
𝐸𝐸 𝑓𝑓
𝑃𝑃 𝑓𝑓
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): �1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 � → �1𝑉𝑉 ~
, 𝜏𝜏 ∗ �
𝐸𝐸 𝑓𝑓
𝑃𝑃 𝑓𝑓
44
bir fuzzy soft dönüşümolsun.𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 )fuzzy soft noktasının her Q-fuzzy soft
komşuluğunun ters görüntüsü 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının bir Q-fuzzy soft komşuluğu ise
𝜑𝜑𝜓𝜓 dönüşümünefuzzy soft Q-sürekli denir.
3.2.2.Lemma.𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 ) → (1𝑉𝑉 ~
, 𝜏𝜏 ∗ )bire-bir
𝐸𝐸 𝑓𝑓
𝑃𝑃 𝑓𝑓
bir
fuzzy
soft
dönüşüm olsun. Eğer 𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 ise 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑓𝑓𝐴𝐴 )𝑞𝑞𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑔𝑔𝐴𝐴 )dır.
İspat.𝑓𝑓𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴 olsun. O halde
∀𝑝𝑝 ∈ 𝑃𝑃 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑝𝑝𝐴𝐴 (𝑣𝑣) + 𝜇𝜇𝑔𝑔𝑝𝑝 𝐴𝐴 (𝑣𝑣) > 1
olacak şekilde bir 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 vardır. Buradan
∀𝑒𝑒 ∈ 𝜓𝜓 −1 (𝑃𝑃) 𝑖𝑖ç𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜓𝜓(𝑒𝑒)
𝜓𝜓(𝑒𝑒)
𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑓𝑓𝐴𝐴 )(𝑒𝑒)(𝑢𝑢) + 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑔𝑔𝐴𝐴 )(𝑒𝑒)(𝑢𝑢) = 𝜇𝜇𝑓𝑓 𝐴𝐴 �𝜑𝜑(𝑢𝑢)� + 𝜇𝜇𝑔𝑔 𝐴𝐴 �𝜑𝜑(𝑢𝑢)�
𝑝𝑝
𝑝𝑝
= 𝜇𝜇𝑓𝑓 𝐴𝐴 (𝑣𝑣) + 𝜇𝜇𝑔𝑔 𝐴𝐴 (𝑣𝑣) > 1
olacak şekilde bir 𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 vardır. O halde 𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑓𝑓𝐴𝐴 )𝑞𝑞𝜑𝜑𝜓𝜓 −1 (𝑔𝑔𝐴𝐴 )dır.
3.2.9.Teorem.(1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 )ve(1𝑉𝑉 ~
, 𝜏𝜏 ∗ )iki fuzzy soft topolojik uzay ve
𝐸𝐸 𝑓𝑓
𝑃𝑃 𝑓𝑓
𝜑𝜑𝜓𝜓 = (𝜑𝜑, 𝜓𝜓): (1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 ) → (1𝑉𝑉 ~
, 𝜏𝜏 ∗ )
𝐸𝐸 𝑓𝑓
𝑃𝑃 𝑓𝑓
, 𝜏𝜏 ∗ )uzayı fuzzy soft
bire-bir ve Q-sürekli bir fuzzy soft dönüşüm olsun. Eğer (1𝑉𝑉 ~
𝑃𝑃 𝑓𝑓
quasi 𝑇𝑇2 ise (1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 ) uzayı da fuzzy soft quasi 𝑇𝑇2 dir..
𝐸𝐸 𝑓𝑓
𝜇𝜇
İspat.𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ve𝐴𝐴𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑈𝑈, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦) farklı fuzzy soft noktalar olsun. O halde
𝜇𝜇
𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ) ≠ 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐴𝐴𝑦𝑦 )
dır. (1𝑉𝑉 ~
, 𝜏𝜏 ∗ )fuzzy soft quasi 𝑇𝑇2 -uzay olduğundan
𝑃𝑃 𝑓𝑓
𝜇𝜇
𝑣𝑣𝐴𝐴 ⊑ (𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐴𝐴𝑦𝑦 ))𝑐𝑐 , 𝑤𝑤𝐴𝐴 ⊑ (𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 ))𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑣𝑣𝐴𝐴 ç𝑎𝑎𝑎𝑎ışı𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑ğ𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑤𝑤𝐴𝐴
𝜇𝜇
olacak şekilde 𝜑𝜑𝜓𝜓 �𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 �, 𝜑𝜑𝜓𝜓 (𝐴𝐴𝑦𝑦 ) fuzzy soft noktalarının sırasıyla 𝑣𝑣𝐴𝐴 , 𝑤𝑤𝐴𝐴 Q-fuzzy soft
komşulukları vardır. Sonuç olarak (1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 ) uzayı fuzzy soft quasi 𝑇𝑇2 -uzayıdır.
𝐸𝐸 𝑓𝑓
3.2.8.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 )bir fuzzy soft topolojik uzay, 𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 bir fuzzy soft nokta ve
𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 𝑞𝑞𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak şekilde 𝑔𝑔𝐴𝐴 bir fuzzy soft kapalı küme olsun. Eğer 𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑡𝑡𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak
şekilde𝐴𝐴𝑥𝑥𝜆𝜆 fuzzy soft noktasının ve 𝑔𝑔𝐴𝐴 fuzzy soft kapalı kümesinin sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴 ,𝑡𝑡𝐴𝐴 Q-fuzzy
soft komşulukları varsa (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) uzayına fuzzy soft quasi regüler uzay denir.
3.2.3.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 }, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 }olsun.
𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6 , 𝑦𝑦0.7 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.6 , 𝑦𝑦0.8 }�,
45
𝑓𝑓2𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓3𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 }�,
𝑓𝑓4𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.9 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓5𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.6 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓6𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑦𝑦0.7 }, 𝑒𝑒2 = {𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓7𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.7 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓8𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.6 }�,
𝑓𝑓9𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓10 𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓11 𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.9 , 𝑦𝑦0.1 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦1 }�
olmak üzere 𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0𝑈𝑈 ~
, 1 ~ , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 } fuzzy soft
𝐸𝐸 𝑈𝑈 𝐸𝐸 1𝐴𝐴 2𝐴𝐴 3𝐴𝐴 4𝐴𝐴 5𝐴𝐴 6𝐴𝐴 7𝐴𝐴 8𝐴𝐴 9𝐴𝐴 10 𝐴𝐴 11 𝐴𝐴
, 𝜏𝜏 ) uzayı fuzzy soft quasi regüler uzaydır.
topolojidir ve (1𝑈𝑈 ~
𝐸𝐸 𝑓𝑓
3.2.9.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) hem fuzzy soft quasi regüler hemde fuzzy soft quasi T1 -
uzayı ise (𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) uzayına fuzzy soft quasi𝑻𝑻𝟑𝟑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑.
3.2.3.Uyarı.Fuzzy soft quasi regüler olma özelliği aşağıdaki örnekte de
görülebileceği gibi kalıtımsal bir özellik değildir.
, 𝜏𝜏 ) uzayı fuzzy soft quasi
3.2.4.Örnek.3.2.3.Örneği göz önüne alalım. (1𝑈𝑈 ~
𝐸𝐸 𝑓𝑓
regüler olmasına rağmen𝑉𝑉 = {𝑥𝑥} olmak üzere (1~𝑉𝑉
𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) alt uzayı fuzzy soft quasi
𝑐𝑐
regüler değildir. Çünkü 𝐴𝐴0.3
𝑥𝑥 fuzzy soft noktası ve𝑓𝑓10 𝐴𝐴 fuzzy soft kapalı kümesi için
𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑡𝑡𝐴𝐴 𝑐𝑐 olacak şekilde sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴 , 𝑡𝑡𝐴𝐴 Q-fuzzy soft komşulukları yoktur.
3.2.10.Tanım.�𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 �bir fuzzy soft topolojik uzay, 𝑔𝑔𝐴𝐴 veℎ𝐴𝐴 , 𝑔𝑔𝐴𝐴 𝑞𝑞 ℎ𝐴𝐴 𝑐𝑐 olacak
şekilde iki fuzzy soft kapalı küme olsun. 𝑔𝑔𝐴𝐴 veℎ𝐴𝐴 fuzzy soft kümelerinin, 𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑡𝑡𝐴𝐴𝑐𝑐 olacak
şekilde sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴 ve 𝑡𝑡𝐴𝐴 Q-fuzzy soft komşulukları varsa �𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 �uzayınafuzzy
softquasi normal uzaydenir.
3.2.5.Örnek.𝑈𝑈 = {𝑥𝑥, 𝑦𝑦}, 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 }, 𝐴𝐴 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 }olsun.
𝑓𝑓1𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.3 , 𝑦𝑦0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.5 , 𝑦𝑦0.4 }�,
𝑓𝑓2𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6 , 𝑦𝑦0.4 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.2 , 𝑦𝑦0.7 }�,
𝑓𝑓3𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.6 , 𝑦𝑦0.5 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.5 , 𝑦𝑦0.7 }�,
46
𝑓𝑓4𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.3 , 𝑦𝑦0.4 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.2 , 𝑦𝑦0.4 }�,
𝑓𝑓5𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥0.9 , 𝑦𝑦0.9 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥0.8 , 𝑦𝑦0.8 }�,
𝑓𝑓6𝐴𝐴 = �𝑒𝑒1 = {𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0.4 }, 𝑒𝑒2 = {𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦0.5 }�
fuzzy soft kümeleri ile kurulan𝜏𝜏𝑓𝑓 = {0𝑈𝑈 ~
, 1 ~ , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 } bir fuzzy soft
𝐸𝐸 𝑈𝑈 𝐸𝐸 1𝐴𝐴 2𝐴𝐴 3𝐴𝐴 4𝐴𝐴 5𝐴𝐴 6𝐴𝐴
topolojidirve (1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 ) uzayı bir fuzzy soft quasi normal uzaydır.
𝐸𝐸 𝑓𝑓
3.2.11.Tanım.(𝑓𝑓𝐴𝐴 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 ) hem fuzzy soft quasi normal hem de fuzzy soft quasi T1 -
uzayı isefuzzy soft quasi𝑻𝑻𝟒𝟒 -uzay olarak adlandırılır.
3.2.4.Uyarı. Fuzzy soft quasi normal olma özelliği aşağıdaki örnekte de
gösterildiği gibi kalıtımsal bir özellik değildir.
3.2.6.Örnek.3.2.5.Örneği göz önüne alalım. (1𝑈𝑈 ~
, 𝜏𝜏 ) bir fuzzy soft quasi
𝐸𝐸 𝑓𝑓
normal uzay olmasına rağmen 𝑉𝑉 = {𝑥𝑥} olmak üzere (1∼𝑉𝑉
𝐸𝐸 , 𝜏𝜏𝑓𝑓 𝑉𝑉 ) alt uzayı fuzzy soft quasi
normal değildir. Çünkü 𝑓𝑓1𝑐𝑐𝐴𝐴 ve 𝑓𝑓5𝑐𝑐𝐴𝐴 (öyle ki 𝑓𝑓1𝑐𝑐𝐴𝐴 q𝑓𝑓5𝐴𝐴 ) fuzzy soft kapalı kümelerinin
𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑐𝑐 q𝑡𝑡𝐴𝐴 olacak şekilde sırasıyla 𝑠𝑠𝐴𝐴 ve 𝑡𝑡𝐴𝐴 Q-fuzzy soft komşulukları yoktur.
47
4. SOFT KÜMELERİN PROSTAT KANSERİ TEŞHİSİNDE BİR
UYGULAMASI
Endüstriyel ülkelerde prostat kanseri erkeklerde ölüme neden olan en yaygın
ikinci kanser tipidir. Prostat kanserinin nedenleri arasında 𝑦𝑦𝑦𝑦ş, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔𝑔𝑔ç𝑚𝑚𝑚𝑚ş,𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎ığ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎ı𝑛𝑛𝑛𝑛ığıgibi
farklı
faktörler vardır. Kandaki PSA seviyesi hastalığın teşhisi için kullanılan önemli
yöntemlerden biridir (Catolana ve ark. (1998), Egawa ve ark. (1997), Van Cagh ve ark.
(1996)). Ne varki, kandaki PSA seviyesi prostatın iltihaplanması ve prostatta iyi huylu
büyümenin(BPH) sonucu olarak ta artabilir. Bu yüzden kandaki PSA seviyesine
bakarak kesin teşhis koymak mümkün olmayabilir. Bunun yanı sıra rektal muayene ve
transrektal bulgular da doktora hastalığın teşhisi açısından bilgi verir (Nguyen ve ark.
(2001), Metlin ve ark. (1991), Şeker ve ark. (2003)). Prostat kanserinin kesin teşhisi ise
ancak 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ile mümkündür. Ne var ki, 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 işleminin bazı zorlukları vardır,
hastada bazı zaralara neden olabilir ve maliyeti yüksektir. Bu yüzden hastalara biyopsi
işlemini uygulamak önemli bir karadır ve düşük risk altındaki hastalara uygulamaktan
kaçınılmalıdır.
Biyopsinin gerekli olup olmadığına karar vermek için pek çok yöntem
geliştirilmiştir. Bunlardan birisi hastaların PSA, prostat hacmi (PV) ve yaş verilerini
kullanarak oluşturulmuş kural tabanlı 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (FES) dir ve bu sistem
uzman doktora 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 yapıp yapmaması hakkında fikir vermeyi amaçlar (Sarıtaş ve
ark. (2003)). Benecchi (2006) hastaların kandaki total prostat spesifik antijen, free
prostat spesifik antijen seviyeleri ve yaş faktörlerini kullanarak bir 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛-
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 geliştirdi ve kandaki total prostat spesifik antijen seviyesinin prostat
kanserini teşhis etmede ne ölçüde etkili olduğunu göstermeyi amaçladı. Keleş ve
ark.(2007), prostat kanseri ve prostattaki iyi huylu büyümeyi ayırt etmek için bir
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛-𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑦𝑦 𝑠𝑠ı𝑛𝑛ı𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ı𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 tasarladılar. Bu iki hastalığın belirtileri çok
benzer olduğundan birbirinden ayırt etmek son derece önemlidir. Sarıtaş ve ark. (2010),
hastanın total prostat spesifik antijen, free prostat spesifik antijenve yaş verilerini
kullanarak kanserin teşhisine yardımcı olmayı amaçlayan 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎ğı tasarladılar.
Bu bölümde bizim amacımız PSA, PV ve yaş faktörlerini kullanarak kanser
yüzdesini hesaplayan soft küme tabanlı bir tahmin sistemi tasarlamaktır. Tasarladığımız
sistem kural tabanlıdır. Amacımız uzman doktora biyopsinin gerekli olup olmadığı
konusunda yardımcı olmaktır.
48
4.1.Soft Uzman Sistemleri
Tasarladığımız sistemde kullandığımız veriler Necmettin Erbakan Üniversitesi,
Meram Tıp Fakültesi, Üroloji bölümünden alınmıştır. Veri kümesi 78 hastanın PSA, PV
ve yaş değerlerinden oluşmaktadır (Bkz. Tablo 4.1.). Tasarladığımız sistemdegiriş
değerleri olarak PSA, PV ve yaş kullanılarak çıkış değeri olarak prostat kanser riskinin
yüzdesi elde edilmiştir. Soft uzman sistemini tasarlarken kullandığımız yöntemin
adımları Şekil.4.1.de gösterilmiştir.
PSA
PV
Yaş
u3
100
44
58
u19
20
37
69
u25
38
36
72
u42
25
48
60
u46
4,03
60
63
u55
10
62
71
u60
31
72
79
u68
20,6
78
67
u72
8,5
82
60
u75
41
79
80
U=Hastalar
Tablo.4.1. Bazı hastaların giriş değerleri
Şekil.4.1. Soft uzman sistemi için adımlar
1. Adım: Veri Kümesini Bulanıklaştırma
Veri kümesindeki değerler 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ü𝑚𝑚𝑚𝑚olarak gösterime uygun olmadığından
değerler için öncelikle bulanıklaştırma işlemini yaptık. Değerleri bulanıklaştırırken
49
PSA için çok yüksek (ÇY), yüksek (Y), orta (O), düşük (D) ve çok düşük (ÇD)
değişkenleri,
PV için çok küçük (ÇK), küçük (K), orta (O), büyük (B) ve çok büyük (ÇB)
değişkenleri,
Yaş için ise genç (G), orta yaş (OY), ve yaşlı (Y) değişkenleri kullanılmıştır.
Veri kümesindeki değerlerin bulanıklaştırma işlemi yapılırken(1), (2) ve (3)
üyelik fonksiyonlarını kullandık. Bu fonksiyonlar uzman doktor ve literatür yardımıyla
belirlenmiştir:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑎𝑎) = �
𝜇𝜇𝑎𝑎 ; 0 ≤ 𝑎𝑎 < 100,
1;
100 ≤ 𝑎𝑎
𝜇𝜇 ;
𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑏𝑏) = � 𝑏𝑏
1;
0;
𝑌𝑌𝑌𝑌ş(𝑐𝑐) = �𝜇𝜇𝑐𝑐 ;
1;
30 < 𝑏𝑏 < 120
𝑏𝑏 ≥ 120
𝑐𝑐 ≤ 20,
20 < 𝑐𝑐 < 65,
𝑐𝑐 ≥ 65
(1)
(2)
(3)
(1), (2) ve (3) formüllerinden giriş değerlerinin üyelik fonksiyonları
Şekil.4.2.,Şekil.4.3.,Şekil.4.4., te verilmiştir:
Şekil.4.2. PSA için üyelik fonksiyonu
Şekil.4.3. PV için üyelik fonksiyonu
50
Şekil.4.4. Yaş için üyelik fonksiyonu
Tüm hastaların giriş değerlerini yukarıdaki üyelik fonksiyonları yardımıyla
bulanıklaştırdık. Bazı hastaların üyelik fonksiyonları Tablo 4.2. de gösterilmiştir.
U=Hastalar
PSA
u3
1 ÇY
Yaş
PV
0.53 K, 0.47 O
0.47 O, 0.53 Y
u19
0.2 ÇD, 0.8 D
0.77 K, 0.23 O
1Y
u25
0.48 D, 0.52 O
0.8 K, 0.2 O
1Y
u42
0.28 ÇD, 0.72 D
0.4 K, 0.6 O
u46
0.84 ÇD, 0.16 D
u55
0.6 ÇD, 0.4 D
0.93 O, 0.07 B
1Y
u60
0.41 D, 0.59 O
0.6 O, 0.4 B
1Y
u68
0.18 ÇD, 0.82 D
0.4 O, 0.6 B
1Y
u72
0.66 ÇD, 0.34 D
0.27 O, 0.73 B
u75
0.36 D, 0.64 O
0.37 O, 0.63 B
1O
0.33 O, 0.67 Y
0.13 O, 0.87 Y
0.33 O, 0.67 Y
1Y
Tablo.4.2. Bazı hastaların giriş değerleri
2. Adım. Fuzzy Kümeleri Soft Kümelere Dönüştürme
1.1.1.1.Teorem gereği her fuzzy küme bir soft küme olarak ifade edilebilir.
Öncelikle üyelik fonksiyonlarını kullanarak parametre kümesini seçelim. Parametre
kümesinin seçiminin belli bir kuralı yoktur. Biz parametre kümelerini belirlerken
hastaların o verideki en düşük ve en yüksek üyelik değerlerini göz önüne alarak bu
değerler arasından seçtik. Böylece parametre kümesi için nümerik değerler elde ettik.
Fuzzy kümelerden elde ettiğimiz soft kümelerin bazıları aşağıdaki gibidir:
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 , … , 𝑢𝑢77 , 𝑢𝑢78 },
𝐸𝐸 = {0, 0.25, 0.5, 0.75, 1},
51
(𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 , 𝐸𝐸) = {0 = {𝑢𝑢4 , 𝑢𝑢5 , 𝑢𝑢6 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢25 , 𝑢𝑢30 , 𝑢𝑢32 , 𝑢𝑢34 , 𝑢𝑢38 , 𝑢𝑢41
𝑢𝑢42 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢53 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢64 , 𝑢𝑢73 , 𝑢𝑢75 },0.25 = {𝑢𝑢4 , 𝑢𝑢6 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢25 ,
𝑢𝑢34 , 𝑢𝑢38 , 𝑢𝑢41 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢64 , 𝑢𝑢75 }, 0.5 = {𝑢𝑢4 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢25 , 𝑢𝑢38 ,
𝑢𝑢41 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢64 , 𝑢𝑢75 },
0.75 = {𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢38 , 𝑢𝑢41 }, 1 = {𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢38 }}.
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 , … , 𝑢𝑢77 , 𝑢𝑢78 },
𝐸𝐸 = {0, 0.185, 0.37, 0.555, 0.74},
(𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑃𝑃𝑃𝑃 , 𝐸𝐸) = {0 = {𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢17 , 𝑢𝑢35 , 𝑢𝑢36 , 𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢46 , 𝑢𝑢49 , 𝑢𝑢53 , 𝑢𝑢55 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢65 , 𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢73 , 𝑢𝑢75 },
0.185 = {𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢17 , 𝑢𝑢36 , 𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢73 , 𝑢𝑢75 }, 0.37 = {𝑢𝑢36 , 𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢73 ,
𝑢𝑢75 },0.555 = {𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢75 }, 0.74 = ∅}.
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 , … , 𝑢𝑢77 , 𝑢𝑢78 },
𝐸𝐸 = {0.06, 0.31, 0.56, 0.81,0.94},
�𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑌𝑌𝑌𝑌Ş , 𝐸𝐸� = {0 = {𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢8 , 𝑢𝑢9 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢32 , 𝑢𝑢33 , 𝑢𝑢35 , 𝑢𝑢42 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢46 , 𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢49 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢56 ,
𝑢𝑢58 , 𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢66 , 𝑢𝑢67 , 𝑢𝑢69 , 𝑢𝑢70 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢74 , 𝑢𝑢76 , 𝑢𝑢78 }, 0.31 = {𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢33 , 𝑢𝑢35 , 𝑢𝑢42 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 ,
𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢58 , 𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢66 , 𝑢𝑢69 , 𝑢𝑢70 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢74 , 𝑢𝑢76 , 𝑢𝑢78 }, 0.56 = {𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢58 , 𝑢𝑢63 ,
𝑢𝑢70 , 𝑢𝑢74 , 𝑢𝑢78 },0.81 = {𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢70 }, 0.94 = ∅}.
3. Adım. Soft Kümelerin Parametre Azaltma
𝑈𝑈 = {ℎ1 , ℎ2 , … , ℎ𝑛𝑛 } nesneler kümesi 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , … , 𝑒𝑒𝑚𝑚 }parametre kümesi
olmak üzere (𝐹𝐹, 𝐸𝐸) soft kümesi tablosal gösterimiyle verilmiş olsun (Bkz. Tablo
1.1.1.1.) ve ℎ𝑖𝑖𝑗𝑗 sembolü (𝐹𝐹, 𝐸𝐸) soft kümesinin tablodaki girdilerini göstersin.
4.1.1.Tanım (Ma ve ark, 2011).(𝐹𝐹, 𝐸𝐸)soft kümesi için 𝑆𝑆�𝑒𝑒𝑗𝑗 � = ∑𝑖𝑖 ℎ𝑖𝑖𝑗𝑗 yönlü-
parametre toplamı olarak adlandırılır.
4.1.2.Tanım (Ma ve ark, 2011).(𝐹𝐹, 𝐸𝐸)soft kümesi için 𝐴𝐴 ⊆ 𝐸𝐸 olmak üzere
𝑆𝑆𝐴𝐴 = ∑𝑗𝑗 𝑆𝑆�𝑒𝑒𝑗𝑗 � 𝐴𝐴 parametre kümesinintüm toplamı olarak adlandırılır.
4.1.3.Tanım (Ma ve ark, 2011).(𝐹𝐹, 𝐸𝐸)soft kümesi ve 𝑒𝑒𝑗𝑗 ∈ 𝐸𝐸 için eğer
ℎ1𝑗𝑗 = ℎ2𝑗𝑗 = ⋯ = ℎ𝑛𝑛 𝑗𝑗 = 1
ise𝑒𝑒𝑗𝑗 parametresi 𝑒𝑒𝑗𝑗1 olarak gösterilir.
4.1.4.Tanım (Ma ve ark, 2011).(𝐹𝐹, 𝐸𝐸)soft kümesi ve 𝑒𝑒𝑗𝑗 ∈ 𝐸𝐸 için eğer
ℎ1𝑗𝑗 = ℎ2𝑗𝑗 = ⋯ = ℎ𝑛𝑛 𝑗𝑗 = 0
52
ise𝑒𝑒𝑗𝑗 parametresi 𝑒𝑒𝑗𝑗0 olarak gösterilir.
4.1.1.Sonuç.Ma ve arkadaşları (2011), soft kümelerde parametre azaltma
yapmak için aşağıdaki algoritmayı verdiler:
𝑖𝑖) (𝐹𝐹, 𝐸𝐸)soft kümesini ve 𝐸𝐸 parametre kümesini gir,
𝑖𝑖𝑖𝑖) Eğer 𝑒𝑒𝑗𝑗1 ve 𝑒𝑒𝑗𝑗0 varsa bu parametreleri𝐶𝐶 ile gösterilen indirgenmiş parametre
kümesine koy ve 𝑈𝑈 = {ℎ1 , ℎ2 , … , ℎ𝑛𝑛 }, 𝐸𝐸′ = {𝑒𝑒1′ , 𝑒𝑒2′ , … , 𝑒𝑒𝑚𝑚 ′ } olmak üzere parametre
kümesinde 𝑒𝑒𝑗𝑗1 ve 𝑒𝑒𝑗𝑗0 olmadan yeni (𝐹𝐹, 𝐸𝐸 ′ ) soft kümesini oluştur,
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) (𝐹𝐹, 𝐸𝐸 ′ )soft küme olmak üzere𝑗𝑗 ′ = 1′ , 2′ , ⋯ , 𝑡𝑡 ′ için𝑒𝑒𝑗𝑗
parametresi için
4.1.1.Tanımdan𝑆𝑆(𝑒𝑒𝑗𝑗 ) yönlü-parametre toplamını hesapla,
𝑖𝑖𝑖𝑖) 4.1.2.Tanımdan 𝐴𝐴 parametre kümesinin tüm toplamını olan 𝑆𝑆𝐴𝐴 kümesini
bul, 𝑆𝑆𝐴𝐴 tüm toplam kümesi |𝑈𝑈| kardinalitisinin katı olacak şekilde 𝐴𝐴 ⊂ 𝐸𝐸 ′ alt kümesini
bul ve 𝐴𝐴 aday indirgenmiş parametre kümesinin içine koy,
𝑣𝑣) Her aday indirgenmiş parametre kümesi 𝐴𝐴 için
𝑓𝑓𝐴𝐴 (ℎ1 ) = 𝑓𝑓𝐴𝐴 (ℎ2 ) = ⋯ = 𝑓𝑓𝐴𝐴 (ℎ𝑛𝑛 )
durumunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol et, eğer bu durum sağlanıyorsa 𝐴𝐴
kümesiaday indirgenmiş parametre kümesi olarak kalsın, aksi durumda𝐴𝐴 kümesini aday
indirgenmiş parametre kümesi olmaktan çıkar,
𝑣𝑣𝑣𝑣) Aday indirgenmiş parametre kümesinde 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 sahip
olan 𝐴𝐴 kümesini bul, 𝐸𝐸 − (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) kümesioptimal normal parametre indirgeme
kümesidir.
4.1.1.Uyarı. İkinci adımda her fuzzy kümeye karşılık gelen soft kümeyi elde
ettik. Üçüncü adımda ise Ma ve ark. (2011),tarafından verilen soft kümelerde parametre
azaltma işleminin yöntemini verdik. Böylece yeni parametre kümeleri ve yeni soft
kümeler elde ettik. Bu soft kümelerden bazıları aşağıdaki gibidir:
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , … , 𝑢𝑢78 },
𝐸𝐸 = {0.25,0.5,0.75,1}(𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 , 𝐸𝐸) = {0.25
= {𝑢𝑢4 , 𝑢𝑢6 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢25 , 𝑢𝑢34 , 𝑢𝑢38 , 𝑢𝑢41 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 ,
𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢64 , 𝑢𝑢75 },0.5 = {𝑢𝑢4 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢25 , 𝑢𝑢38 , 𝑢𝑢41 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢64 , 𝑢𝑢75 },
0.75 = {𝑢𝑢13 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢23 , 𝑢𝑢38 , 𝑢𝑢41 }, 1 = {𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢38 }}.
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 , … , 𝑢𝑢77 , 𝑢𝑢78 },
𝐸𝐸 = {0.185, 0.37, 0.555},
(𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑃𝑃𝑃𝑃 , 𝐸𝐸) = {0.185 = {𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢17 , 𝑢𝑢36 , 𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢73 , 𝑢𝑢75 },0.37 = {𝑢𝑢36 , 𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢60 ,
53
𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢73 , 𝑢𝑢75 } , 0.555 = {𝑢𝑢45 , 𝑢𝑢68 , 𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢75 }}.
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , 𝑢𝑢3 , … , 𝑢𝑢77 , 𝑢𝑢78 },
𝐸𝐸 = {0.31, 0.56, 0.81},
�𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑌𝑌𝑌𝑌Ş , 𝐸𝐸� = {0.31 = {𝑢𝑢3 , 𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢33 , 𝑢𝑢35 , 𝑢𝑢42 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢58 , 𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢66 , 𝑢𝑢69 , 𝑢𝑢70 ,
𝑢𝑢72 , 𝑢𝑢74 , 𝑢𝑢76 , 𝑢𝑢78 },0.56 = {𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢58 , 𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢70 , 𝑢𝑢74 , 𝑢𝑢78 }, 0.81 = {𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢70 }.
4. Adım. Soft Kuralları Elde Etme
Bu adımda üçüncü adımda elde edilensoft kümelerle "𝑉𝑉𝑉𝑉" işleminden
yararlanarak kurallar elde ettik ve hangi hastanın hangi kurala uyduğunu tespit ettik.
Elde ettiğimiz bazı kurallar aşağıdaki gibidir:
𝐹𝐹Ç𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.35) ∧ 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) = {𝑢𝑢7 , 𝑢𝑢10 , 𝑢𝑢14 , 𝑢𝑢16 , 𝑢𝑢27 , 𝑢𝑢31 , 𝑢𝑢33 , 𝑢𝑢39 , 𝑢𝑢46 ,
𝑢𝑢49 , 𝑢𝑢50 , 𝑢𝑢51 , 𝑢𝑢54 , 𝑢𝑢55 , 𝑢𝑢56 , 𝑢𝑢57 , 𝑢𝑢61 , 𝑢𝑢62 , 𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢65 , 𝑢𝑢67 , 𝑢𝑢71 , 𝑢𝑢72 }
𝐹𝐹𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.2875) ∧ 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.275) ∧ 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.31) = {𝑢𝑢22 , 𝑢𝑢33 , 𝑢𝑢42 , 𝑢𝑢43 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢48 , 𝑢𝑢52 , 𝑢𝑢58 ,
𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢70 , 𝑢𝑢74 , 𝑢𝑢78 }
𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐴𝐴 (0.25) ∧ 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.325) = {𝑢𝑢6 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢20 , 𝑢𝑢34 , 𝑢𝑢41 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢60 , 𝑢𝑢75 }.
𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ∧ 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.5) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.325) = {𝑢𝑢6 , 𝑢𝑢11 , 𝑢𝑢15 , 𝑢𝑢34 , 𝑢𝑢41 , 𝑢𝑢44 , 𝑢𝑢60 }.
𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.2225) ∧ 𝐹𝐹𝑆𝑆 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.785) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) = {𝑢𝑢8 }.
𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.2225) ∧ 𝐹𝐹𝑆𝑆 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.53) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.325) = {𝑢𝑢5 , 𝑢𝑢8 }.
𝐹𝐹Ç𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.6875) ∧ 𝐹𝐹𝑆𝑆 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.785) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) = {𝑢𝑢8 }.
𝐹𝐹Ç𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (1) ∧ 𝐹𝐹𝑆𝑆 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.275) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) = {𝑢𝑢5 , 𝑢𝑢8 , 𝑢𝑢34 } .
Bu şekilde 400 kural elde ettik. Bu kurallardan aynı çıktıyı (aynı hasta) verenleri
eledik ve böylece 285 kurala indirgedik.
5. Adım. Soft KurallarınAnalizi
Bu adımda soft kuralları analiz ettik ve prostat kanseri yüzdesini hesapladık.
Dördüncü adımda her kurala karşılık gelen hasta kümesini elde etmiştik. Bu adımda
elde ettiğimiz bu kümeleri göz önüne alarak her kurala karşılık gelen kümedeki
hastaların kaç tanesinin prostat kanseri olduğunu gözlemledik ve her bir kümedeki
prostat kanseri olan hasta sayısını tüm hasta sayısına böldük. Böylece her kural için
prostat kanser riskini elde ettik. Eğer bir hastanın verileri birden fazla kurala ve böylece
54
birden fazla yüzdeye uygunsa o zaman en yüksek yüzdeyi hastanın prostat kanseri olma
riski yüzdesi olarak kabul ettik.
Aşağıda kurallara karşılık gelen yüzdelerin bazıları verilmiştir:
Kural 1.
𝐹𝐹Ç𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.35) ∧ 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ∧ 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) = {𝑢𝑢7 , 𝑢𝑢10 , 𝑢𝑢14 , 𝑢𝑢16 , 𝑢𝑢27 , 𝑢𝑢31 , 𝑢𝑢33 , 𝑢𝑢39 , 𝑢𝑢46 ,
𝑢𝑢49 , 𝑢𝑢50 , 𝑢𝑢51 , 𝑢𝑢54 , 𝑢𝑢55 , 𝑢𝑢56 , 𝑢𝑢57 , 𝑢𝑢61 , 𝑢𝑢62 , 𝑢𝑢63 , 𝑢𝑢65 , 𝑢𝑢67 , 𝑢𝑢71 , 𝑢𝑢72 }
Kural 1’e uyan 23 hasta var ve bu hastaların 8 tanesinin prostat kanseri olduğunu
biliyoruz. Böylece Kural 1’in risk yüzdesi (8 ÷ 23) × 100 = 34.78 dir. PSA, PV ve
yaş verileri Kural 1’e uyan hastaların kanser olma riskinin %34.78 olduğunu
söyleyebiliriz.
Aşağıda bazı kuralların risk yüzdesi verilmiştir:
Kural 1: Bir hasta 𝐹𝐹Ç𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.35) ve 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) verilerine
sahipse kanser olma riski % 34’tür.
Kural 2: Bir hasta 𝐹𝐹𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.2875) ve 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.275) ve 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.31) verilerine
sahipse kanser olma riski % 34’tür.
Kural 3: Bir hasta 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ve 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.325) verilerine
sahipse kanser olma riski % 74’tür.
Kural 4: Bir hasta 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.25) ve 𝐹𝐹𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.5) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.325) verilerine
sahipse kanser olma riski % 83’tür.
Kural 5: Bir hasta 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.2225) ve 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.785) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) verilerine
sahipse kanser olma riski % 100’dür.
Kural 6: Bir hasta 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.2225) ve 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.53) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.325) verilerine
sahipse kanser olma riski % 100’dür.
Kural 7: Bir hasta 𝐹𝐹Ç𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.6875) ve 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.785) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) verilerine
sahipse kanser olma riski % 100’dür.
Kural 8: Bir hasta 𝐹𝐹Ç𝑌𝑌 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (1) ve 𝐹𝐹𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑃𝑃 (0.275) ve 𝐹𝐹𝑌𝑌 𝑌𝑌𝑌𝑌ş (0.59) verilerine
sahipse kanser olma riski % 100’dür.
Sonuç olarak PSA, PV ve yaş verilerini girerek kanser olma riskini hesaplayan
soft uzman sistemini yazarız.
Soft uzman sistemin tüm adımlarını tasarlarken Microsoft Visual Studio 2008
55
ve C+ programlama dili kullanılmıştır. Şekil 4.5’te hesaplama sonuçlarından iki tanesi
verilmiştir.
Şekil.4.5.
4.2. Sonuç
Bu bölümde, soft kümeleri kullanarak soft uzman sistemi elde edilmiştir ve bu
sistem yardımıyla soft kümeler tıpta teşhis yapmak için kullanılmıştır. Bu bağlamda,
çalışma soft kümelerin tıpta kullanımını içeren ilk çalışmalardan biri olma niteliğini
taşımaktadır.Sistem tasarlanırken;
•
Birinci
adımda
fuzzy
üyelik
fonksiyonları
kullanılarak
girdiler
bulanıklaştırılmıştır.
•
İkinci adımda veri kümeleri soft kümeler şeklinde ifade edilmiştir.
Girdikümeleri olan PSA, PV ve yaş faktörleri, gösterilendilsel ifadelerle
sınıflandırılmış ve parametre kümeleri en düşük ve en yüksek üyelik
dereceleri göz önüne alınarak seçilmiştir.
•
Üçüncüadımda Ma ve ark. (2011) tarafından verilen soft kümelerde
parametre azaltma işlemi uygulanarak indirgenmiş yeni parametre
kümeleri ve dolayısıyla yeni soft kümeler elde edilmiştir.
•
Dördüncüadımda kural çıkarımı yapılmıştır.
•
Beşinci adımda tüm bu kurallara göre kanser olma riski hesaplanmıştır.
Tasarlanan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠sayesindeprostat şikâyetiyle gelen hastanın
PSA, PV ve yaş verileri yardımıyla prostat kanseri olma riskinin yüzdesi elde edilmiştir.
Elde edilen bu bilgiler ışığında uzman doktor, prostat şikâyetiyle gelen herhangi bir
hastanın kanser olma riskini hesaplayarak, biyopsi işlemine ilişkin karar verebilir ve
dolayısıylayapılması gerekli olmayan biyopsi işlemlerinin önüne geçilmiş olur.
56
Tasarlanan sisteme göre risk yüzdesi % 50’den büyükse biyopsi gereklidir, aksi takdirde
biyopsi işlemi gerekmemektedir.
Çalışmanın örneklemiyetmiş sekiz hastadan oluşmaktadır. Uzman doktora
prostat şikâyeti ile gelen hastalardan 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦ş 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧PSA, PV ve yaş değerleri
yüksek olduğundan kanser olma risklerinin yüksek olduğu belirlenmiştir.Bu sebeple de
bu hastalara biyopsi uygulanmıştır. Biyopsi sonuçlarına göre ise bu hastalardan
𝑘𝑘ı𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑ö𝑟𝑟𝑟𝑟ü𝑛𝑛ü𝑛𝑛
prostat
kanseri
olduğu
görülmüştür.
Aynı
hastaların
verileri 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 göreanaliz edildiğinde ise 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦ş 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 hastadan
yalnızca𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 tanesine biyopsi uygulanması gerektiği sonucu elde edilmiştir. Buna
göre, eğer hastalara ait veriler ilk anda soft uzman sistemine göre değerlendirilmiş
olsaydı
düşük
risk
grubunda
yer
alan𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 hastaya
gereksiz
biyopsi
uygulanmasından kaçınılmış olacaktı.Sistemin tasarlanmasında, kanser riski görülen bir
hastaya biyopsi işlemiuygulanıp uygulanmaması konusunda uzman doktora fikir
vermek ve dolayısıyla gereksiz olabilecek biyopsi uygulamalarından kaçınmak
amaçlanmıştır. Yapılan bu çalışmada ise soft uzman sistemin bu amaca hizmet edecek
nitelikte olduğu sonucu elde edilmiştir.
57
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
5.1. Sonuçlar
Bu çalışmada üç ayrı problem ele alınmıştır.
Çalışmamızın ikinci bölümünde soft kümeler potansiyel ve asıl parametre
kümelerinin yorumlanışı açısından bu konuda yapılan diğer çalışmalardan farklı bir
bakış açısıyla ele alınmıştır. Bu yeni tanımla soft topolojik uzaylar yeniden incelenmiş,
soft açıklar ve soft komşuluklar kullanılarak 𝜏𝜏-soft süreklilik ve 𝜏𝜏-soft ayırma
aksiyomları incelenmiş ve yeni sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra soft topolojik
uzaylardan bağımsız olan soft kotopolojik uzaylar tanımlanmış, soft kapalılarla ilgili
özellikler incelenmiştir. Soft remote komşuluk tanımından faydalanılarak 𝜅𝜅-soft
süreklilik ve 𝜅𝜅-soft ayırma aksiyomları çalışılmıştır. Bir 𝑈𝑈𝐸𝐸~ soft kümesi üzerine
kurulmuş soft topolojik ve soft kotopolojik uzay göz önüne alınarak (𝑈𝑈𝐸𝐸~ , 𝜏𝜏, 𝜅𝜅) soft
ditopolojik uzayı elde edilmiştir. Soft ditopolojik uzaylarda soft süreklilik ve soft
ayırma aksiyomları tanımlanmış ve incelenmiştir.
Çalışmamızın üçüncü bölümünde Tanay ve Kandemir (2011) tarafından
tanımlanmış fuzzy soft topolojik uzaylar geliştirilmiştir.Fuzzy soft topolojik uzaylarda
Q-komşuluk ailesi tanımlanmış ve bu aileden faydalanılarak fuzzy soft quasi ayırma
aksiyomları incelenmiştir.
Çalışmamızın dördüncü bölümünde soft kümeler kullanılarak bir sistem
tasarlanmıştır. Soft uzman sistemler adını verdiğimiz bu sistemin oluşturulmasında
prostat şikayetiyle Meram Tıp Fakültesine başvuran hastaların prostat spesifik antijen,
yaş ve prostat hacmi verileri girdi olarak kullanılmıştır. Sistem tasarlanırken veri
kümesini bulanıklaştırma, elde edilen fuzzy kümeleri soft kümelere çevirme, soft
kümelerde parametre azaltma, kural çıkarma ve kural analizi işlemlerinden sonra prostat
kanser riski yüzdesini hesaplayan program elde edilmiştir. Bu sistem doktora yardımcı
olmak amacıyla tasarlanmıştır. Doktor, soft uzman sistemine hastanın prostat spesifik
antijen, yaş ve prostat hacmi verilerini girerek kanser olma riskini hesaplayabilir.
Böylece doktor, düşük kanser riski olan hastalara, çok pahalı ve bazen hastalarda
zararlara neden olabilen bir uygulama olan biyopsi işlemini gereksiz yere yapmaktan
kaçınmış olacaktır.
58
5.2. Öneriler
Soft ditopolojik ve fuzzy soft topolojik uzaylarda elde edilen sonuçlar
geliştirilebilir.
Bağlantılılık,
kompaktlık
gibi
topolojik
yapılar
bu
uzaylarda
araştırılabilir. Ayrıca bu uzaylar kategori açıdan incelenebilir. Prostat kanserinin teşhisi
için tasarlanan soft uzman sistemler farlı hastalıkların teşhisi için geliştirilebilir.
59
KAYNAKLAR
Ahmad, B., ve Kharal, A., 2009, On fuzzy soft sets, Advances in Fuzzy Systems,
doi:10.1155/2009/586507, 1-7.
Ahmad, B., ve Hussain, S., 2012, On some structures of soft topology,
MathematicalSciences, 6 (64), 2-7.
Aktaş, H., ve Cağman N., 2007, Soft sets and soft groups, Information Sciences, 1 (77),
2726-2735.
Ali, M.I., Feng, F., Liu, X., Min, W.K., Shabir, M., 2009, On some new operations in
soft set theory, Computers and Mathematics with Applications, 57, 1547-1553.
Aygünoğlu, A., ve Aygün, H., 2011, Some notes on soft topological spaces, Neural
Computing and Applications, 21(1), 113-119.
Benecchi, L., Neuro-fuzzy system for prostate cancer diagnosis, 2006 Urology, 68(2),
357-36.
Brown, L.M., Diker, M.,1998, Ditopological texture spaces and intuitionistic sets, Fuzzy
Sets and Systems, 98,217-224.
Catolona, W.J., Partin, A.W., Slawin, K.M., Brawer, M.K., Flanigan, R.C., Patel, A. et
al., 1998, Use of the percentage of free prostate-specific antigen to enhance
differentiation of prostate cancer from benign prostatic disease: A prospective
multicenter clinical trial, Journal of American Medical Association (JAMA), 279,
1542-1547.
Chen, D., 2005, The parametrization reduction of soft sets and its applications,
Computers and Mathematics with Applications,, 49(5-6), 757-763.
Çağman, N., Karataş S., ve Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Computers and
Mathematics with Applications, 62, 351-358.
Egawa, S., Soh, S., Ohori, M., Uchida, T., Gohji, K., Fujii, A., ve ark., 1997, The ratio
of free to total serum prostate specific antigenand its use in differential diagnosis of
prostate carcinoma,Japan. Cancer (Online), 79, 90-98.
Feng, F., Jun, Y.B., Zhao, X.Z., 2008, Soft semirings, Computers and Mathematics with
Applications, 56, 2621-2628.
Feng, F., Jun Y.B., Liu, X.Y., Li, L.F., 2010, An adjustable approach to fuzzy soft set
based decision making, Journal of Computational and Applied Mathematics, 234,
10-20.
Feng, F., Changxing, L., Davvaz, B., ve Irfan Ali, M., 2010, Soft Sets combined with
fuzzy sets and rough sets: a tentative approach, Soft Computing, 14(9) 889-911.
60
Ghanim, M.H., Tantawy, O.A., Selim Fawzia, M., 1997, On Lower Seperation Axioms,
Fuzzy Sets and Systems, 85, 385-389.
Hussain, S., ve Ahmad, B., 2011, Some properties of soft topological spaces,
Computers and Mathematics with Applications, 62 (11), 4058-4067.
Jun, Y.B., ve Park, C.H., 2008, Soft BCK/BCI-algebras, Computers and Mathematics
with Applications, 56, 1408-1413.
Keleş, A., Hasıloğlu, A.S., Keleş, A. ve Aksoy, Y., 2007, Neuro-fuzzy classification of
prostate cancer using NEFCLASS-J, Computers in Biology and Medicine, 37,
1617-1628.
Kelly, J.L., 1963, Bitopological spaces, Proc. Lond. Math.Soc., III Ser. 13, 71-89.
Kharal, A., ve Ahmad, B., 2009, Mappings on fuzzy soft classes, Advances in Fuzzy
Systems, doi: 10.1155/2009/4078, 1-7.
Kharal, A., ve Ahmad, B., 2011, Mappings on soft classes, New Mathematics and
Natural Computation, 7(3), 471-481.
Kong, Z., Gao, L., Wang, L., Li, S., 2008, The normal parameter reduction of soft sets
and its algorithm, Computers and Mathematics with Applications, 56(12), 30293037.
Ma, X., Sulaiman, N., Qin, H., Herewan, T., Zain, J.M., 2011, A new efficient normal
parameter reduction algorithm of soft set, Computers and Mathematics with
Applications, 62, 588-598.
Maji, P. K., Roy, A. R., Biswas, R., 2001, Fuzzy soft sets, Journal of Fuzzy
Mathematics, 9(3), 589-602.
Maji, P. K., ve Roy, A. R., 2002, An application of soft sets in a decision making
problem,Computers and Mathematics with Applications, 44(8-9), 1077-1083.
Maji, P.K., Biswas, R., ve Roy, A.R, 2003, Soft set theory, Computers and Mathematics
with Applications, 45, 555-562.
Metlin, C., Lee, F. ve Drago, J., 1991, The American Cancer Society National prostate
cancer detection, project: Findings on the detection of early prostate cancer in
2425 men, Cancer, 67, 2949-2958.
Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-First results, Computers and Mathematics with
Applications, 37(4-5), 19-31.
Nguyen, H.P. ve Kreinovich, V., 2001, Fuzzy logic and its applications in medicine,
International Journal of Medical Informatics, 62, 165-173.
61
Pei, D., Miao D., 2005,From soft sets to information systems, Granular Computing
2005 IEEE International Conference, 2, 617-621.
Roy, A.R., Maji, P.K., 2007, A fuzzy soft set theoric approach to decision making
problems, Journal ofComputational and Applied Mathematics with Applications,
203, 412-418.
Roy, S., ve Samanta, T. K., 2011, A note on fuzzy soft topological spaces, Annals of
Fuzzy Mathematics and Informatics, 3(2), 305-311.
Sarıtaş, I., Allahverdi, N. ve Sert, 2003, U., A fuzzy expert system design for diagnosis
of prostate cancer, International Conference on Computer Systems and
Technologies-CompSysTech.
Sarıtaş, I.,Özkan, I.A., Sert, U., 2010, Prognasis of prostate cancer by artificial neural
Networks, Expert Systems with Applications, 37, 6646-6650.
Shabir, M., Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics
with Applications, 61, 1786-1799.
Şeker, H., Odetayo, M., Petrovic, D. ve Naguib, R.N.G., 2003, A fuzzy logic based
method for prognostic decision making in breast and prostate cancers, IEEE
Transactions on Information Technology in Biomedicine, 7, 114-122.
Tanay, B., Kandemir, M.B., 2011, Topological structure of fuzzy soft sets, Computers
and Mathematics with Applications, 61, 2952-2957.
Van Cangh, P.J., De Nayer, P., De Vischer, L., Sauvage, P., Tombal, B., Lorge, F. et al.,
1996, Free to total prostate-specific antiden (PSA) ratio is superior to total PSA in
differentiating benign prostate hypertrophy from prostate cancer, The prostate, 29,
30-34.
Wang, G., 1983, Generalized topological molecular lattices, Sci. Sinica, Ser. A 12,
1063-1072.
Zadeh, L. A., 1965, Fuzzy sets, Information and Control, 8, 338-353.
Zahiri O., 2013, Category of Soft Sets, Annals of the University of Craiova
Mathematics and Computer Science Series, 40(2), 154-166.
Zorlutuna, I., Akdag, M., Min, W.K., ve Atmaca, S., 2012, Remarks on soft topological
spaces, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 3(2), 171-185.
62
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve
Tarihi
Telefon
Faks
e-mail
Tuğba Han DİZMAN
T.C
:
:
Kars-1985
:
:
:
:
0332 223 3960
[email protected]
EĞİTİM
Derece
Lise
:
Üniversite
:
Yüksek Lisans :
Doktora
:
Adı, İlçe, İl
Kars Anadolu Lisesi, Merkez, Kars
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Bitirme Yılı
2003
2007
2009
2014
İŞ DENEYİMLERİ
Yıl
2008-2010
2010-2014
Kurum
Kafkas Üniversitesi
Selçuk Üniversitesi
Görevi
Araştırma Görevlisi
Araştırma Görevlisi
UZMANLIK ALANI
Topoloji
YABANCI DİLLER
İngilizce
BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER
YAYINLAR
1. Şaziye Yüksel, Tuğba Han Şimşekler, Zehra G. Ergül, T. Noiri, Strongly θ-preI-continuous functions, ‘’Vasile Alecsandri’’ University of Bacau Faculty of
Sciences Scientific Studies and Research Series Mathematics and Informatics,
20(2), 111-126, 2010. (Yüksek Lisans tezinden yapılmıştır.)
2. Şaziye Yüksel, Tuğba Han Şimşekler, B. Kut, Upper and Lower Na Continuous
Multifunctions, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40 (2), 341348, 2011.
3. Şaziye Yüksel, Tuğba Han Şimşekler, B. Bilik, Upper and Lower Pre Strong Na
Continuous Multifunctions, Applied Mathematics and Computation, 218, 11421146, 2011.
4. Şaziye Yüksel, Tuğba Han Şimşekler, Strongly θ-I-continuous functions, Far
East Journal of Mathematical Sciences, 58 (2), 223-233, 2011.
63
5.
6.
7.
8.
9.
Şaziye Yüksel, Zehra G. Ergül, Tuğba Han Şimşekler, On Weakly θ-pre-I
continuous functions, ‘’Vasile Alecsandri’’ University of Bacau Faculty of
Sciences Scientific Studies and Research Series Mathematics and Informatics,
21(2), 157-172, 2011.
Tuğba Han Şimşekler, Şaziye Yüksel, Fuzzy Soft Topological Space, Annals of
Fuzzy Mathematics and Informatics, 5(1) 87-96, 2012.(Doktora tezinden
yapılmıştır.)
Şaziye Yüksel, Tuğba Han Dizman (Şimşekler), Gülnur Yıldızdan,I. Unal Sert,
Applications of Soft Sets to Diagnose the pProstate Cancer Risk, Journal of
Inequalities and its Applications,doi:10.1186/1029-242X-2013-229, 2013.
(Doktora tezinden yapılmıştır. )
Tuğba Han Dizman, Şaziye Yüksel, Fuzzy Soft Quasi Seperation Axioms, 2013,
gönderildi. (Doktora tezinden yapılmıştır).
Tuğba Han Dizman, Alexander Sostak, Şaziye Yüksel, Soft Ditopological
Spaces, 2014, (gönderildi). (Doktora Tezinden yapılmıştır)
ULUSLARARASI KONFERANSLAR
1. .Şaziye Yüksel, Tuğba Han Şimşekler, Berrak Bilik, " Pre Strong Na Continuous
Multifunctions, International Congress in Honour of Professor H.M. Srivastava
on His 70 th Birth Anniversary, 18-21 Ağustos, 2010, Bursa.
2. Tuğba Han Şimşekler, Şaziye Yüksel, " Upper and Lower Semi Strong Na
Continuous Multifunctions, International Conference on Topology and its
Applications, 4-10 Temmuz 2011, Islamabad- Pakistan.
3. Şaziye Yüksel, Tuğba Han Şimşekler , " Beta Baire Spaces, International
Conference on Topology and its Applications, 4-10 Temmuz 2011, IslamabadPakistan.
4. Tuğba Han Dizman, Şaziye Yüksel, Gülnur Yıldızdan, Ünal Sert, " An
Application of Soft Sets to Diagnose the Prostate Cancer Risk, International
Congress in Honour of Professor H. M. Srivastava, 23-26 Ağustos 2012, Uludağ
Üniversitesi, Bursa.
5. Tuğba Han Dizman, Şaziye Yüksel, "Fuzzy Soft Quasi Seperation Axioms,
Third International Conference on Topology and its Applications, 2-7 Eylül
2012, Üsküp-Makedonya (Doktora tezinden yapılmıştır).
6. Tugba Han Dizman(Simsekler), Saziye Yuksel, ‘’On Fuzzy Soft Topological
Spaces’’ 2nd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and
Applications, 26-29 August 2013, Sarajevo- Bosnia and Herzegovina(Doktora
tezinden yapılmıştır).