a≠ 0 için 𝑎−1 = 1 dır. 𝑎 1 22 1 4 = = 1 1 1 1 + 4𝑚 4+ 1 4+𝑚 4 𝑚 1 = . 4 4 1+4𝑚 = 1+4m=13, 2 0,2= 10 1 1+4𝑚 = 4m=12, 2.(0,2)3 + (0,4)3 = 2.( 1 13 m=3 a3 = a.a.a 4 0,4 = 10 , 1 4 2 3 4 3 ) + (10) 10 = 2. 8 64 16 + 64 80 + = = 1000 1000 1000 1000 = 0,08 İkinci kesrin paydasını karekökten kurtaralım. (Paydayı rasyonel yapalım)(Pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım)[(1-√𝑎)(1+√𝑎)=1-a] 1 + √𝑎 𝑎 1 + √𝑎 𝑎(1 + √𝑎) − = − 1−𝑎 1−𝑎 1 − √𝑎 (1 − √𝑎)(1 + √𝑎) = = 1 + √𝑎 𝑎 + 𝑎√𝑎 1 + √𝑎 − 𝑎 − 𝑎√𝑎 − = 1−𝑎 1−𝑎 1−𝑎 1−𝑎+√𝑎(1−𝑎) 1−𝑎 1+√𝑎 = 5 3 , = (1−𝑎)(1+√𝑎) 1−𝑎 5 2 = 1 + √𝑎 4 √𝑎 = 3 − 1 = 3 , a=9 Sayıları çözümleyelim: (100A+10B+D)-(100B+10B+C)=294 100(A-B)+D-C=294 D-C farkı 94 olamayacağından: A-B=3 VE D-C=-6 DIR. 10A+C-(10B+D)=10(A-B)+C-D = 10.3+6=36 a2 – a = b2- b a2 – b2 = a – b (a – b)(a + b) = a – b a+b=1 İki tarafın karesini alalım. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = 12 a2 + 2(-1) + b2 = 1 a2 + b2 = 3 2x = (2.3)x+y-1 = 2x+y-1.3x+y-1 2x = 2x.2y-1.3x.3y-1 3x.2y-1.3y-1 = 1 3x.(2.3)y-1 = 1 3x.6y-1 = 1 3x = 1 6𝑦−1 = 61-y x+y<0<x<y+z x+y<x ve eşitsizliğinde; y<0 x + y < y + z ve x < z 0<x dır. Bu üç eşitsizlik birleştirildiğinde; y<x<z a+b = bulunur. 𝑥 𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦)+𝑦(𝑥−𝑦) = 𝑥((𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦) 𝑥 2 +2𝑥𝑦−𝑦 2 = 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥𝑦−𝑦 2 a+b-1= 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥2 +2𝑥𝑦−𝑦2 −𝑥2 +𝑦2 𝑥2 −𝑦2 = = a.b= 2𝑥𝑦 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 𝑦 . = 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 𝑎+𝑏−1 𝑎.𝑏 = 2𝑥𝑦 𝑥2 −𝑦2 𝑥𝑦 𝑥2 −𝑦2 [(𝑛+1)!]2 +(𝑛!)2 [(𝑛+1)!]2 −(𝑛!)2 = 𝑥𝑦 𝑥 2 −𝑦 2 = 2𝑥𝑦 𝑥 2 −𝑦 . 2 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥𝑦 [(𝑛+1)𝑛!]2 +(𝑛!)2 = [(𝑛+1).𝑛!]2 −(𝑛!)2 (𝑛 + 1)2 (𝑛!)2 + (𝑛!)2 (𝑛 + 1)2 (𝑛!)2 − (𝑛!)2 = = (𝑛!)2 ((𝑛 + 1)2 + 1) (𝑛!)2 ((𝑛 + 1)2 − 1) 𝑛2 +2𝑛+2 𝑛2 +2𝑛 n2 + 2n -120 = 0 (n – 10)(n +12) = 0 n = 10 −1 = 61 60 =2 |x-y|=|y-x| Mutlak değer özelliği. y - |x-y| = y - |y-x| = y -|1| = y – 1 = 2 y=3 y–x=1 ⇒ 3–x=1 ⇒ x=2 x+y=2+3=5 OKEK(2,3,5) = 2.3.5 = 30 2x = 3y = 5z = 30k x = 15k, y = 10k, z = 6k x + y+ z = 15k + 10k + 6k = 31k < 100 k = 3 için; x+ y + z = 31.3 =93 A = 13+26+39+ … +169 = 13(1+2+3+ … + 13) 1+2+3+ … + 13 = 𝑛(𝑛+1) = A = 13.13.7 2 13.14 2 = 13(13+1) 2 = 13.7 0lur ki A’yı tam bölen asal sayılar 13 ve 7 dir. 13+7 = 20 Ardışık tek sayılar: 2x+1 , 2x+3 , 2x+5 , (2x-5)+(2x-3)+(2x-1)+(2x+1)+(2x+3) +(2x+5) = 12x 12x = 4.(2x+5) , 12x = 8x + 20, 2x =20, x = 10 2x + 5 = 2.10 + 5 = 25 √3 + √5 ≠ √8 p≡ 0, Yanlış √5 + √3 ≠ √2 q≡ 0, Yanlış √3. √5 = √15 r≡ 1, 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢 p⇒ (𝑞⋀𝑟) ≡ 0 ⇒ (0⋀1) ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1 p∧ (𝑟 ∨ 𝑞) = 0 ∧ (1 ∨ 0) = 0 ∧ 1 = 0 (p∨ 𝑞) ∧ 𝑟 = (0 ∨ 0) ∧ 1 = 0 ∧ 1 = 0 r⇒ (𝑝 ∧ 𝑞) = 1 ⇒ (0 ∧ 0) = 1 ⇒ 0 = 0 p∧ (𝑟 ⇒ 𝑞) = 0 ∧ (1 ⇒ 0) = 0 ∧ 0 = 0 Olabilecek sıralamalar: 2<6<a<9<b b = 10, …. 2<6<a<b<9 b=8 2<b<a<6<9 b = 3, 4 b<2<a<6<9 b=1 b , 5 olamaz. EBOB (a,b) = d a = d.x ve ise b = d.y dir. d, a ve d yi böler. a2 = d2.x2 ; d2 sayısı, a2 sayısını böler. a2+b=d2.x+d.y=d(d.x+y) ; d2 sayısı, a2+b sayısını bölmez. a2 + b2=d2.x+d2.y=d2(x2+y2) ; d2 sayısı a2 + b2 sayısını böler. I ve III her zaman doğrudur. Toplamın en büyük olması için; f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+4+5+6=18 (en büyük, farklı dört değer) Toplamın en büyük olması için; f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+4=10 (en küçük, farklı dört değer) 18 -10 = 8 4∆1 ≠ 1 △ 4 1 ∉ 𝑀(4) 4∆2 = 2 △ 4 = 4 2 ∈ 𝑀(4) 4∆3 ≠ 3∆4 3 ∉ 𝑀(4) 4∆4 = 4∆4 = 3 4 ∈ 𝑀(4) 4∆5 = 5∆4 = 2 5 ∈ 𝑀(4) M(a)={b∈A | a∆𝑏 = 𝑏∆𝑎} M(4) = {2, 4, 5} İki basamaklı en büyük doğal sayı: 99 x – y = 65 ⇒ x = 65 + y y’ nin en küçük değeri: 10 x = 65 + 10 =75 x’ in en küçük değeri: 75 75 ≤ 𝑥 ≤ 99 x’in alabileceği doğal sayı değerleri 99 – 75 + 1 = 25 tanedir. 37 + 2 = 39 = 3.13 59 + 2 = 61 67 + 2 = 69 = 3.23 73 + 2 = 75 = 3.25 83 + 2 = 85 = 5.17 73 Chen asalı değildir. I. f(a+b)=2(a+b)=2a+2b f(a)=2a, f(b)=2b, f(a).f(b)=2a.2b 2a + 2b ≠2a.2b II. f(a+b)=2a+b=2a.2b f(a)=2a, f(b)=2b , f(a).f(b)=2a.2b 2a+b = 2a.2b YALNIZ II III. f(a+b)=(a+b)2=a2+2ab+b2 f(a)=a2, f(b)=b2 , f(a).f(b)=a2.b2 a2+2ab+b2 ≠ a2.b2 𝐷 A+2 A+ 𝐷 2 𝐷 2 Ahmet’in zamlı maaşı + D = 2.A + D =2.A – A 3𝐷 =𝐴 2 2.A = 3.D 2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde ettiği karlar sırasıyla x, y ve z olsun. 25 2012 yılında: z + z.100 = İlk ortalama = 𝑥+𝑦+𝑧 3 5𝑧 4 =4 x+y+z=12 İkinci ortalama = 12+ 4 5𝑧 4 5𝑧 4 = 4,5 =6 𝑥+𝑦+𝑧+ 5𝑧 4 4 ⇒ 12 + 5𝑧 4 = 4,5 = 18 ⇒ z = 4,8 Erkek farelere günde: 24:12=2 adet, 2.0,5=1 gram ilaç, Dişi farelere günde: 24:8=3 adet, 3.1=3 gram ilaç verilmiş. x tane erkek fare ve y tane dişi fare; x.1 + y.3 = 85 x.2 + y.3 = 95 taraf tarafa çıkarırsak x = 10, 10 +3y = 85 , y =25 x + y = 10 + 25 = 35 fare. Sınıfa getirilen malzeme sayısı; 36+36+36=108 Sınıfta bulunan öğrenci sayısı = x olsun Dağıtılan malzeme sayısı; 3x+2x+x=6x 6x +42 = 108, x = 11 öğrenci var. 11.2=22 kalemtraş dağıtılmış. 36 – 22 = 14 kalemtraş artmış. 20-08-2008 den sonraki ilk simetrik gün 20-09-2009 dur. Bir yıl, bir ay sonraki tarih. 10.36 =360 gün =1 yıl 36 gün = 1 ay 360 +36 =396 gün sonra olur. Ali: A+B den B yi, B+D den D yi ve A+B+C den de C yi bulur. Banu: A+B den A yı, B+D den D yi ve A+B+C den de C yi bulur. Can; A+B+C den A+B yi bulur. Başka bir şey bulamaz. Doğa: B+D den B yi, A+B den A yı ve A+B+C den de C yi bulur. Paylaşım şu şekillerden biri ile olur. 1-1-3 :C(5,1).C(4,1).C(3;3)=5.4.1=20 1-2-2 :C(5,1).C(4,2).C(2,2)=5.6.1=30 1-3-1 :C(5,1).C(4,3).C(1,1)=5.4.1=20 20 + 30 + 20 = 70 Farklı şekilde. Olabileceklerin kümesi (Örnek uzayı) E ={(5,10),(6,9),(7,8),(8,7),(9,6),(10,5)} İstenenlerin kümesi (Olay) A ={(7,8),(8,7)} Olasılık: P(A) = 𝑠(𝐴) 𝑠(𝐸) 2 1 6 3 = = Çubuklara takılan toplam boncuk sayısı: 1+2+3+4+5+6+7+ … +n = n = 20 için; 20.(20+1) 2 𝑛(𝑛+1) 2 dir. = 210 olur. Çubuk sayısı 5 olduğundan, 20:5 = 4 tam turda 20 boncuk V. çubuğa takılır. 220 – 210 = 10 kalan boncuk sayısı. O boncuklar da I. çubuğa takılır. SORU İPTAL EDİLDİ… Her turda V. Çubuğa takılan boncuk sayısının bir fazlası I. çubuğa takılarak denmeli idi. YOL = HIZ x ZAMAN İkizkenar üçgenin dik kenar uzunluklarını birer birim alısak; Ayça: 1+1=2 br. Barış: √12 + 12 = √2 br. Cem: √2 .𝜋 2 br. yol alır. Ayça: 2/4 = 1/2 saatte, Barış: √2/2 saatte, Cem: √2 . 𝜋: 3 2 saatte yarışı bitirir. 1 √2 √2𝜋 < < 2 2 6 Olduğundan; Ayça, Barış, Cem varış sırasıdır. Ayşe ile Kemalin boylarına x dersek; Bora, Kemal’den 2 cm. kısa: x – 2 Mehmet, Ayşe’den 3 cm. uzun: x + 3 Elif, Mehmet’ten 6 cm. uzun: x+3 + 6 x + 9 = 174 Elif. x = 165 Ayşe ile Kemal. x + 3 = 168 Mehmet. x – 2 = 163 Bora. Ortalama = 163+165+165+168+174 = 5 167 ABCD yamuğunda: 70o+2y=180o Y = 55o BCDE paralelkenarında: 55o + x = 180o x = 125o 𝑥𝑥 Azalan kısım: A(EOF)= 2 = 18 br2 x = 6 br. Sondan başa gidelim: K3 karesinin bir kenar uzunluğu 27 br. ise, küçük karelerinden birinin boyu: 27:3 = 9 br. dir. 2. şekilde; K2 nin kenarı 4’e ayrıldığından, K2 nin kenarı: 4.9=36 br. olur. K2 de küçük karelerden birinin boyu: 36:3 = 12 br. dir. 1. şekilde; K1 in kenarı 4’e ayrıldığından, K1 in kenarı: 4.12 =48 br. olur. 48 :3 =16 br. küçük karelerin boyu. 16.4 = 64 = a VEYA: 𝑎 4 .3 = 27𝑎 64 3𝑎 4 = 27 , K1 için. 3𝑎 4 4 .3= 9𝑎 16 a = 64 br. bulunur. , K2 için ve 9𝑎 16 4 .3 = 27𝑎 64 K3 için. OT⊥PT Teğet, yarıçapa değme noktasında diktir. OTP dik üçgeninde Pisagordan; 42 + |TP|2 =62 |TP|2 =20 |TP| = 2√5 cm. Silindirin hacmi = 𝜋𝑟 2 ℎ 5 dakikada akan su miktarı = 𝜋32 . 2 1 dakikada akan su miktarı = 18𝜋/5 x dakikada: x.(18𝜋/5) = 𝜋.22.h x.(18𝜋/5) = 𝜋. 32.(h-2) Taraf tarafa eşitlersek; 4𝜋. ℎ = 9𝜋(ℎ − 2) 4h = 9h – 18, h = 18/5 Yerine yazılırsa; x.(18𝜋/5) = 4𝜋. (18/5) x = 4 dakika. BCD, 30o-120o-30o ikizkenar üçgeni: |BD|=4√3 = |PL| KPL dik üçgeninde pisagordan: x2 = 12 +(4√3)2 , x2 =49 , x = 7 cm. İki nokta arasındaki uzaklık: √(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 |OB|=√(8 − 0)2 + (4 − 0)2 = √64 + 16 = √80 = 4√5 |AC|=√(5 − 3)2 + (0 − 4)2 = √4 + 16 = √20 = 2√5 |OB|+|AC| = 4√5 + 2√5 = 6√5 TH⊥AB çizildiğinde; |TH|=|OC|=1 COA≅THA (AKA) |AH|=|OA|=2 ATB dik üçgeninde Öklid bağıntısından: |TH|2=|AH|.|HB| 12 = 2.|HB| |HB|=1/2 B noktasının apsisi= |OA|+|AH|+|HB| = 2 + 2 + ½ = 9/2 LYS’ DE BAŞARILAR…