Ders 121-07

Bölüm
7
Ders 07
7.1 Çözümler:
1. Prof.Dr.Haydar Eş
2. Prof.Dr.Timur Karaçay
167 / 1a Zincir kuralını kullanarak f 0 (x) türevlerini bulunuz:
a) f (x) = (2x + 5)3 =⇒ f 0 (x) = 3(2x + 5)2 (2)
b) f (x) = (3x 2 + 5)5 =⇒ f 0 (x) = 5(3x 2 + 5)4 (6x)
c) f (x) = (2x + 5)−3 =⇒ f 0 (x) = −3(2x + 5)−4 (2)
p
1
−2
1
3
ç) f (x) = 3x + 4 = (3x + 4) 3 =⇒ f 0 (x) = (3x + 4) 3 × 3 =
3
1
d ) f (x) = (l nx)3 =⇒ f 0 (x) = 3(l nx)2 ( )
x
µ
¶
1
x
2
0
x
x
e) f (x) = (e + l nx) =⇒ f (x) = 2(e + l nx) e +
x
ht
167 / 2 Aşağıdaki türevleri hesaplayınız:
57
58
BÖLÜM 7. DERS 07
¢
d ¡ 2
(x − 1)12 (2x + 3)21 =
dx
= (90x 2 + 72x − 42)(x 2 − 1)11 (2x + 3)20
a)
12(x 2 − 1)11 (2x)(2x + 3)21 + (x 2 − 1)12 (21)(2x + 3)20 (2)
µ
¶
4(x 3 + 2)3 (3x 2 )(2x + 7) − 2(x 3 + 2)4
d (x 3 + 2)4
=
b)
d x (2x + 7)
(2x + 7)2
167 / 3 Aşağıdaki türevleri bulunuz:
a) f (x) = 4e x + 5l nx =⇒ f 0 (x) = 4e x +
5
x
4e e
x + l n5 = 4ex e−1 + l n5
x
5
1
c) f (x) = l n(x 5 ) =⇒ f 0 (x) = 5x 4 5 =
x
x
5
5
0
41
ç) f (x) = (l nx) =⇒ f (x) = 5(l nx) = (l nx)4
x x
1
d ) f (x) = (x + 2)3 l nx =⇒ f 0 (x) = 3(x + 2)2 l nx + (x + 2)3
x
e) f (x) = x 2 e x − 2xe x + 2 =⇒ f 0 (x) = 2xe x + x 2 e x − 2e x − 2xe x
b) f (x) = 4x e + xl n5 =⇒ f 0 (x) =
f 0 (x) = e x (x 2 − 2)
f ) f (x) = l n(3x 2 − 1) =⇒ f 0 (x) =
g ) f (x) = l n
1
1
=⇒ f 0 (x) = −
x
x
6x
3x 2 − 1
167 / 4 Aşağıdaki türevleri bulunuz:
¢
d ¡
2x − 3
l n(x 2 − 3x + 4) = 2
dx
(x − 3x + 4)
2
2
d ³ 3x 2 −2x ´
b)
e
= (l ne)(6x − 2)e 3x −2x = (6x − 2)e 3x −2x
dx
µ
¶
d
e 2x
2e 2x (x 2 + 2) − e 2x (2x) 2e 2x (x 2 − x + 4)
c)
=
=
d x (x 2 + 2)
(x 2 + 2)2
(x 2 + 2)2
³
´
2x−4
µ
¶ 1.(l n(x 2 − 4x + 3) − x
2
d
x
(x −4x+3)
ç)
=
¡
¢2
2
d x l n(x 2 − 4x + 3)
l n(x − 4x + 3)
a)
7.1. ÇÖZÜMLER:
59
167 / 5 Aşağıdaki türevleri bulunuz:
µ
¶
¢
d ¡
d l n(x 2 − 3x + 4)
2
a)
l og 5 (x − 3x + 4) =
dx
dx
l n(5)
2x − 3
1
=
l n5 x 2 − 3x + 4
2
d ³ 3x 2 −2x ´
5
= (l n5)(6x − 2)53x −2x
b)
dx
¡
¢
µ
¶
d
102x
2(l n10)102x (x 2 + 2) − 102x (2x) 2 × 102x (l n10)(x 2 + 2) − x
c)
=
=
d x (x 2 + 2)
(x 2 + 2)2
(x 2 + 2)2
µ
¶
d
x
ç)
d x l og 5 (x 2 − 4x + 3)
x
2x − 4
1.(l og 5 (x 2 − 4x + 3)
.
=¡
¢2 −
¡
¢
l n5 (x 2 − 4x + 3) l 0g 5 (x 2 − 4x + 3) 2
l og 5 (x 2 − 4x + 3)
=
1
2x 2 − 4x
−
¡
¢
l og 5 (x 2 − 4x + 3) (l n5)(x 2 − 4x + 3) l og 5 (x 2 − 4x + 3) 2
167 / 6 f (x) = (x 2 + x + 1)e x olduğuna göre (0, 1) noktasında teğet olan doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
f 0 (x) = (2x + 1)e x + (x 2 + x + 1)e x
m = f 0 (0) = (2.0 + 1)e 0 + (02 + 0 + 1)e 0 = 2
f (0) = (02 + 0 + 1)e 0 = 10y 1
y = f 0 (0)x + f (1) =⇒ y = 2x + 1
p
167 / 7 Bir şirket t ayda S(t ) = 20 t + 10 adet otomobil satıyor.
a) S 0 (t ) türevini hesaplayınız.
b) S(t ) ve S 0 (15) değerlerini hesaplayınız ve bu değerleri yorumlayınız.
Çözüm:
60
BÖLÜM 7. DERS 07
10
1
=p
a)S 0 (t ) = 20 p
2 t + 20
t + 20
p
b)S(15) = 20 15 + 10 = 20(5) = 100
10
10
=2
S 0 (15) = p =
5
25
168 /8 Bir otomobilin fabrika çıkışından t yıl sonra ikinci el satış fiyatı p(t ) =
50000e −0.12t TL’dir. Bu otomobilin fabrikadan çıktıktan 2 yıl sonraki değer
kaybı oranını bulunuz.
İki yıl sonraki fiyatı: p(2) = 50000e −0.12×2 = 50000e −0.24 = 39331.4 TL
Değer kaybı oranı :
39331.4
50000
= 0.786628
168 /9 Bir şirketin ayda herbiri p TL olan x adet ürün satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumında fiyat-talep fonksiyonunun p(x) = 1000 −
5x, 0 < x < 200 ve x adet ürünün üretilesi için toplam gider M (x) = 30000+
50x TL olarak hesaplanıyor.
a) G(x),G(x),G 0 (x); K (x), K (x), K 0 (x) değerlerini bulunuz.
b) K (50) ve K 0 (50) değerlerini bulunuz. 51. ürünün üretimesi ortalama
kârı yükseltir mi, yoksa düşürür mü?
c) K (100) ve K 0 (100) değerlerini bulunuz. 101. ürünün üretimesi ortalama kârı yükseltir mi, yoksa düşürür mü?
ç) 101 ürün üretimesi durumunda ürün başına ortalama kârı yaklaşık
olarak belirleyiniz.
Çözüm:
9-a)
G(x) = xp(x) = x(1000 − 5x) = 1000x − 5x 2
G(x) 1000x − 5x 2
=
= 1000 − 5x
x
x
d
G 0 (x) =
(1000 − 5x) = −5
dx
K (x) = G(x) − M (x) = 1000x − 5x 2 − (30000 + 50x) = −30000 + 950x − 5x 2
G(x) =
(−30000 + 950x − 5x 2 )
x
30000
K 0 (x) =
−5
x2
K (x) =
7.1. ÇÖZÜMLER:
61
9-b)
−30000 + 950(50) − 5(50)2
= 100
50
30000
K 0 (50) = −5 +
= −5 + 12 = 7
50 × 50
K (50) =
9-c) K (x) =
=
K (x)
x
−30000+950x−5x 2
x
−30000
x
K (100) = −5 × 100 + 950 − 300 = 150
30000
K 0 (x) = −5 +
x2
30000
= −5 + 3 = −2 azalır
K 0 (100) = −5 +
100 × 100
= −5x + 950
9-ç)
ç)K (101) = K (100 + 1) ≈ K 0 (100)(1) + K (100) ≈ −2 + 150 = 148
168 /10 x adet çim biçme makinesi satılınca elde edilen kâr K (x) = 30x −
0.03x 2 − 750 TL olarak veriliyor.
a) Marjinal kâr fonksiyonunu bulunuz.
b) 50 makine satılması durumunda marjinal kâr ne olur?
c) 50 makine satılması durumunda makine başına ortalam kâr nedir? Ortalama kâr ile marjinal kârı karşılaştırınız. Bu karşılaştırmadan ne sonuç çıkardınız?
ç) 50 makinelık bir satış seviyesi için marjinal ortalama kârı belirleyiniz ve bunu yorumlayınız. 51. makine satılınca ortalama kâr
yükselir mi, yoksa düşer mi?
d) 51 makine satılması durumunda ortalama kârın ne olacağını tahmin ediniz.
Çözüm:
62
BÖLÜM 7. DERS 07
a)K 0 (x) = 30 − 2(0.03x) = 30 − 0.06x
b)K 0 (50) == 30 − 3 = 27
K (x)
750
= 30 − 0.03x −
x
x
750
=⇒ K (50) = 30 − 0.03 × 50 −
= 30 − 1.50 − 15 = 13.50
50
K 0 (50) > K (50) olduğundan kâr artar
c)K (x) =
K 0 (50) 27
=
= 0.54
50
50
13.5
= 0.27 ortalama kâr artar
ç)K (51) =
50
d )x = 158.114
K 0 (50) =
K (51) = K (50 + 1) ≈ K 0 (50)(1) + K (50) = 27 − 13.5 = 13.5
167 / 11 Aşağıdaki limitleri L’Hospital kuralını kullanarak hesaplayınız.
7.1. ÇÖZÜMLER:
63
6x 2
2x 3 − 16
=
lim
=6
x→2 2x
x→2 x 2 − 4
p
x −1
1
1
b) lim−
= lim− p =
x→1 x − 1
x→1 2 x
2
a) lim
x 5 + 32 −32 + 32 0
=
= belirsiz; L’Hospital kuralı
x→−2 x 3 + 8
−8 + 8
0
4
80
5x
=
≈ 6.666
==⇒ lim
x→−2 3x 2
12
x 15 − 1
15x 4
ç) lim
= lim
= 15
x→1 x − 1
x→1 1
µ x
¶
µ
¶
2 −1
(l n2)2x
l n2
d ) lim+
=1
= lim+
=
x→0
x→0
xl n2
l n2
l n2
µ 2x
¶
¶
µ 2x
e − 2x − 1
2e − 2
e) lim
= lim
x→0
x→0
x2
2x
µ 2x ¶
4e
=2
= lim
x→0
2
¶
¶
¶
µ
µ
µ
1
1
x − ex + 1
1 − ex
f ) lim x
−
= lim
=
lim
x→0 e − 1
x→0 x(e x − 1)
x→0 xe x + e x − 1
x
µ
¶
µ
¶
−e x
−e x
−1
= lim
=
lim
=
= −1
x→0 xe x + e x − 1
x→0+ xe x + 2e x − 1
1
¡
¢
g ) lim+ x 2 l nx)
x→0
Ã
!
à 1 !
l nx
x
= lim+ 1 = lim+ −2
=0
c) lim
x→0
x2
x→0
x3
167 / 12 Aşağıdaki limitleri L’Hospital kuralını kullanarak hesaplayınız.
2x 3 − 16 0
= =0
x→2 x 2 + 4
8
x 5 + 32 64
b) lim 3
=
=4
x→2 x + 8
16
l nx
l n1
0
c) lim
=
= =0
x→1 x + 1
1 + ¶1 µ2
µ
¶
1
1
2−e
ç) lim x
−
=
x→1 e − 1
x
e −1
a) lim
128
BÖLÜM 7. DERS 07