1.3 Topolojik Altuzay

6
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Üretmek
1.3
Topolojik Altuzay
Kümenin altkümesi, grupun altgrupu, halkanın althalkası, vektör uzayın altvektör
uzayı olduğu gibi, topolojik uzayında topolojik altuzayı vardır.
Tanım 1.4. (X, τ ) bir topolojik uzay ve ∅ =
6 Y ⊂ X olsun.
i : Y → X, i(x) = x
olmak üzere, Y üzerinde
{i−1 (U ) : U ∈ τ }
tarafından topolojiye τY , altuzay topolojisi (indirgenmis topoloji) ve
(Y, τY ) topolojik uzayına topolojik altuzay (indirgemis altuzay) denir.
Bir karmaşa durum sözkonusu olmadığı sürece topolojik altuzay yerine
sadece alt uzay diyebiliriz.
Teorem 1.4. (X, τ ) bir topolojik uzay ve ∅ =
6 Y ⊂ X verilsin. Y üzerindeki
indirgenmiş topoloji
τY = {Y ∩ U : U ∈ τ }
dir.
Kanıt: U ∈ τY verilsin.
U = i−1 (V ) = X ∩ V
olacak biçimde V ∈ τ vardır. Böylece
τY = {Y ∩ V : V ∈ τ }
olduğu gösterilmiş olur.
Z, Y ’nin altuzayı ve Y ’de X’nin altuzayı ise, Z, X’nin altuzayıdır. Ayrıca,
Y , X’nin altuzayı olmak üzere, K ⊂ Y ’nin Y ’de kapalı olması için gerekli ve
yeterli koşulun, K = Y ∩ F olacak biçimde X’de kapalı F ’nin olması gerektiği
açıktır. Bu gözlemle aşağıdaki teoremin kanıtı kolaylıkla verilebilir.
Teorem 1.5. X bir topolojik uzay, Y , X’nin alt uzayı ve A ⊂ Y verilsin. Ao ,
A’nın Y altuzayındaki içi olmak üzere,
Y
X
(i) A = Y ∩ A .
X
(i) Ao = Y \ Y \ A .
1.3. Topolojik Altuzay
7
Aşağıdaki teoremin kanıtı Ti -uzayların tanımı ve yukarıdaki teorem ve
gözlemlerin sonucu hemen elde edilir.
Teorem 1.6. X topolojik uzay ve Y , X’nin alt uzayı olsun. 0 ≤ i ≤ 5 olmak
üzere, X, Ti -uzay ise, Y ’de Ti -uzaydır. Bunun sonucu olarak düzenli, normal
ve tümüyle normal özellikleri altuzaya geçen özelliklerdir.
Alıştırmalar
1.14. (0, 1), R Eucliden uzayının altuzayı olmasına karşın homeomorphic uzaylar olduğunu
gösteriniz.
1.15. Y , X’nin bir alt uzayı, Z bir topolojik uzay ve f : Z → Y bir fonksiyon olsun. f ’nin
sürekli olması için gerekli ve yeterli koşulun, i : Y → X, i(x) = x olmak üzere, i ◦ f ’nin
sürekli olması gerektiğini gösteriniz.
1.16. X topolojik uzay ve A ⊂ X için intX (A), A’nın içini göstersin. Y , X’nin altuzayı
ve A ⊂ Y için intX (A) ⊂ intY (A) olduğunu gösteriniz. Bu eşitliğin genelde doğru
olmadığını gösteriniz.
1.17. Y , X uzayının altuzayı olsun. B, X’nin tabanı ise, {Y ∩ B : B ∈ B}’nin, Y uzayının bir
tabanı olduğunu gösteriniz.
1.18. Y bir topolojik uzay ve X, F ⊂ Y X tarafından üretilen topolojik uzay olsun. A, X’nin
altuzayı ise, A’nın {f |A : f ∈ F } tarafından üretilen topolojik uzay olduğunu gösteriniz.