π σ α −

ELM617 Ödev 5
S. 1) Xi , i=1,2,....,n bağımsız aynen dağılmış (bad) Cauchy rastgele değişkenleri olmak üzere
1 n
Y rastgele değişkeni Y = ∑ X i denklemiyle ifade edilmektedir.
n i =1
a) Y’nin karakteristik fonksiyonunu bulunuz.
b) Y’nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
c) İlk iki şıkta bulduğunuz sonuçlara göre merkezi limit teoreminin geçerli olup
olmadığını ifade ediniz. Cevabınızı açıklayınız.
a /π
İpucu: X Cauchy RD ise f X ( x) = 2
ve φ X (ω ) = exp(− a ω ) , μ X = 0 , σ X2 = ∞ .
x + a2
S. 2) Ortak gauss dağılımlı iki rastgele değişkenin ortalama ve kovaryans matrisleri
⎡ 4 − 4⎤
μ=[1 2], C= ⎢
⎥ olarak verilmiştir. Bu rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk
⎣− 4 9 ⎦
fonksiyonunu bulunuz.
S. 3) X ve Y RD’lerinin (normalleştirilmiş) ilişki katsayısı ρ XY = −0,5 ve marjinal olasılık
yogunluk fonksiyonları fX(x)=fY(y)=N(1,1) olarak verilmiştir. Z=X+Y, W=X-Y ise
a) Z ve W RD’lerinin ilişki katsayısı ρ ZW ’yu bulunuz.
b) Z ve W RD’lerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
c) z=1 ise fZW(z,w)’yu maksimum yapan w değerini bulunuz.
S. 4) Xi, i=1,...,n bad Poisson RD’leridir. Z=X1+X2+.....+Xn ise Z RD’nin olasılık dağılım
fonksiyonunu bulunuz.
Not: Xi’nin olasılık dağılım fonksiyonu: PXi (k ) =
αk
k!
e −α , k=0,1,....