1104024132006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAV SORULARI

12.11.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Toplam
20
20
20
15
20
20
20
20
100
Alnan Puan
1104024132006.1 CEBRSEL TOPOLOJ ARASINAV SORULARI
(KNC ևRETM)
Not: Süre
90
Dakika. stedi§iniz
soruyu cevaplaynz.
A = [0, 1] ∪ (2, 3] ⊂ R
1.
R
üzerinde standart topoloji tanml,
ve
B
üzerinde alt uzay topolojisi tanml olsun.
f : A → B,
7
f (x) =
ve
B = [0, 2] ⊂ R


x,
0≤x≤1

x − 1,
2<x≤3
dönü³ümünü ele alalm.
a)
(2, 3] ⊂ A
b)
f
nin kapal oldu§unu gösteriniz ve
f (A)
görüntü kümesini bulunuz.
fonksiyonunun homemorzma olmad§n açklaynz.
Cevap :
olmak üzere
A
2. Konveks küme tanmn veriniz. Konveks olma özelli§inin topolojik uzay olup olmad§n açklaynz.
Cevap :
3.
a)
p:X→Y
sürekli dönü³üm olsun. E§er
varsa bu takdirde
b)
R
p
p◦f = 1Y
olacak ³ekilde
identikasyon dönü³ümdür. spatlaynz.
üzerinde standart topoloji ve
R2
üzerinde çarpm topolojisi mevcut iken
g : R2 → R,
(x, y) 7→ g(x, y) = x2 + y
dönü³ümünün identikasyon dönü³ümü oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
f :Y →X
sürekli dönü³ümü
4.
R
üzerinde alt limit topoloji tanml ve
Y =Z
f : R → Y,
tam
de§er
fonksiyonu
verilsin.
Bu
tamsaylar kümesi olmak üzere
x 7→ f (x) = [|x|]
durumda
Y
üzerindeki
identikasyon
topolojisinin
ay-
rk(diskret) oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
5. A³a§da ³ekilde verilen kahve ncan ve altl§nn bir ekli uzay yapsna sahip oldu§unu açklaynz.
Cevap :
6.
X
x1
den
bir topolojik uzay,
x2
x0 , x1 , x2 ∈ X
olmak üzere
ye bir yol olsun. Bu durumda
f : I → X x0
f ∗g =g∗f
dan
x1
e bir yol ve
g:I→Y
oldu§unu ispatlaynz.
Cevap :
7.
X
ve
Y
uzaylar verildi§inde
[X, Y ]
notasyonu
X
den
homotopi snarnn kümesini göstersin. Bu takdirde
a)
X
den
I
uzayna giden herhangi iki
Y
uzayna giden sürekli dönü³ümlerin
I = [0, 1] ⊂ R
f, g : X → I
birim aralk olmak üzere
sürekli dönü³ümünün birbirine homotop
oldu§unu gösteriniz.
b)
a)
³kkndan hareketle
Cevap :
[X, I]
kümesinin tek elemanl oldu§unu gösteriniz.
8.
X
bir topolojik uzay olsun. E§er
bu takdirde key bir
Y
f :X→X
topolojik uzay için
birim dönü³ümü sabit bir dönü³üme homotop ise
g:Y →X
sürekli dönü³ümü de sabit bir dönü³üme
homotop olur. spatlaynz.
Cevap :
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA