tc selçuk ünġversġtesġ fen bġlġmlerġ enstġtüsü soft topolojġk

T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
SOFT TOPOLOJĠK UZAYLARDA SOFT AÇIK
KÜMELERĠN BĠR MODĠFĠKASYONU
ÜZERĠNE
Yunus YUMAK
YÜKSEK LĠSANS
Matematik Ana Bilim Dalı
Ocak-2014
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
TEZ BĠLDĠRĠMĠ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait
olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and
presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as
required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and
results that are not original to this work.
Yunus YUMAK
Tarih: 22.01.2014
ÖZET
YÜKSEK LĠSANS
SOFT TOPOLOJĠK UZAYLARDA SOFT AÇIK KÜMELERĠN BĠR
MODĠFĠKASYONU ÜZERĠNE
Yunus YUMAK
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI
2014, 50 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI
Prof. Dr. EĢref HATIR
Doç. Dr. AyĢe Dilek MADEN
Bu tezin ilk bölümünde; soft küme ve soft topoloji hakkında literatürde yer alan ve özellikle
bizim çalışmalarımızda faydalı olacak kavramlar ele alındı ve bunların daha iyi anlaşılması için çeşitli
örnekler verildi. Daha sonra tezimizin temel konusu olan soft beta açık kümeler kavramı verilip, bu
kavramla diğer soft küme türleri arasındaki ilişkiler incelendi.
İkinci bölümde ise; soft beta-sürekli fonksiyonlar ve soft beta-irresolute fonksiyonlar kavramları
tanıtıldı ve soft beta-sürekli fonksiyonun, diğer soft süreklilik çeşitleriyle olan ilişkileri verildi. Ayrıca;
soft beta-homeomorfizm ve soft beta irresolute-homeomorfizm kavramları tanımlanıp, aynı soft topolojik
uzaylar arasında tanımlanan, tüm soft beta irresolute-homeomorfizmlerin kümesinin, fonksiyonların
bileşke işlemi altında bir grup oluşturduğu elde edildi.
Anahtar Kelimeler: Soft Beta Açık Küme, Soft Beta İç, Soft Beta Kapanış, Soft Beta
Süreklilik, Soft Küme.
iv
ABSTRACT
MS THESIS
ON A MODIFICATION OF SOFT OPEN SETS IN SOFT TOPOLOGICAL
SPACES
Yunus YUMAK
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF
SELÇUK UNIVERSITY
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Advisor: Assoc. Prof. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI
2014, 50 Pages
Jury
Advisor Assoc. Prof. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI
Prof. Dr. EĢref HATIR
Assoc. Prof. Dr. AyĢe Dilek MADEN
In the first part of this thesis, the concepts that will help us on soft sets and soft topology which
are given in the literature were shown and especially the concepts that will be useful in our studies were
shown and also several examples are given for better understanding. Then the concept of soft beta open
sets which is the basis subject of our thesis was given and the relationship between this concept and the
other types of soft set were examined.
In the second part, the concepts of soft beta-continuous functions and soft beta- irresolute
functions were introduced and the relationships of soft beta-continuous functions with other types of soft
continuity were given. Also the concepts of soft beta-homeomorphisms and soft beta irresolutehomeomorphisms were defined and it was obtained that the set of all the soft beta irresolutehomeomorphisms which is defined between the same soft topological spaces construct a group under the
operation of the combinations of functions.
Keywords: Soft Beta Closure, Soft Beta Countinuity, Soft Beta Interior, Soft Beta Open Set,
Soft Set.
v
ÖNSÖZ
"Soft Topolojik Uzaylarda Soft Açık Kümelerin Bir Modifikasyonu Üzerine"
isimli bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı öğretim
üyesi Doç. Dr. Aynur KESKİN KAYMAKCI yönetiminde hazırlanmış ve Selçuk
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne yüksek lisans tezi olarak hazırlanmıştır.
Yapılan tüm çalışmalarda, bilgi ve tecrübelerini esirgemeyen sayın hocam
Doç. Dr. Aynur KESKİN KAYMAKCI’ya saygı ve şükranlarımı sunarım. Hayatımın
her devresinde emeklerini benden esirgemeyen aileme ve çalışmalarım esnasında
göstermiş oldukları sabırdan dolayı da, çocuklarıma ve eşim Neslihan YUMAK’a
sevgilerimi sunarım.
Yüksek Lisans öğrenimim boyunca; gerek sarf malzeme, gerekse seyahat
harcamaları konusunda resmi süreçleri titizlikle takip eden ve her türlü maddi desteği
sağlayan Selçuk Üniversitesi ÖYP Kurum Koordinatörlüğü personeline teşekkür
ederim.
Yunus YUMAK
KONYA-2014
vi
ĠÇĠNDEKĠLER
ÖZET .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT..................................................................................................................... v
ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi
ĠÇĠNDEKĠLER ............................................................................................................. vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ viii
1. GĠRĠġ ........................................................................................................................... 1
1.1. Amaç ve Kapsam ................................................................................................... 2
1.2. Kaynak Araştırması ............................................................................................... 2
2. SOFT KÜME TEORĠSĠ ............................................................................................. 7
2.1. Soft Kümeler .......................................................................................................... 7
2.2. Soft Topoloji ve Soft Topolojik Uzaylar ............................................................. 17
3. SOFT 𝛽-KÜMELER................................................................................................. 26
3.1. Soft 𝛽-Açık Kümeler ve Soft 𝛽-Kapalı Kümeler ................................................ 26
4. SOFT 𝛽-SÜREKLĠ DÖNÜġÜMLER ..................................................................... 32
4.1. Soft 𝛽-Süreklilik .................................................................................................. 32
5. SONUÇ VE ÖNERĠLER.......................................................................................... 39
5.1. Sonuçlar ............................................................................................................... 39
5.2. Öneriler ................................................................................................................ 39
KAYNAKLAR .............................................................................................................. 40
ÖZGEÇMĠġ .................................................................................................................. 42
vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler
P(U)


: U'nun güç kümesi,
: Soft alt küme,




: Soft birleşim,
: Soft kesişim,
 F, A 

V
c
F, E 
 F, E  ' =  F', E 

Ã


:  F, A  soft kümesinin tümleyeni,
:  F, E  nin V üzerindeki bir soft alt kümesi,
:  F, E  nin rölatif tümleyeni,
: Null soft küme,
: Absolute soft küme,
: "veya" işlemi,
: "ve" işlemi,
: Soft kümenin değili,
 F, E 
–
 F, E 
o
:  F, E  nin soft içi,
:  F, E  nin soft kapanışı,
Kısaltmalar
S.O  X 
S.C  X 
SS -O  X 
SS -C  X 
Sα -O  X 
Sα -C  X 
SP -O  X 
SP -C  X 
Sβ -O  X 
Sβ -C  X 
S-h  X,τ, E 
Sβ -h(X,τ, E)
Sβr -h  X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
: X,τ, E 
deki tüm soft açık kümelerin kümesi,
deki tüm soft kapalı kümelerin kümesi,
deki tüm soft semi-açık kümelerin kümesi,
deki tüm soft semi-kapalı kümelerin kümesi,
deki tüm soft alfa-açık kümelerin kümesi,
deki tüm soft alfa-kapalı kümelerin kümesi,
deki tüm soft pre-açık kümelerin kümesi,
deki tüm soft pre-kapalı kümelerin kümesi,
deki tüm soft beta-açık kümelerin kümesi,
deki tüm soft beta-kapalı kümelerin kümesi,
deki tüm soft homeomorfizmaların kümesi,
deki tüm soft beta-homeomorfizmaların kümesi,
deki tüm soft beta irresolute-homeomorfizmaların kümesi,
viii
1
1. GĠRĠġ
Gerçek dünya, bizim çabuk ve doğrudan anlayacağımız kadar basit değildir. Bu
yüzden biz, gerçek dünyanın bu karmaşasını basitleştirmek için bazı matematiksel
modeller yapıyoruz. Ancak, böylesi matematiksel modeller de tam olarak çözümleri
bulmada yeterli olmamaktadır. Mühendislik, fizik, bilgisayar bilimleri, ekonomi, sosyal
bilimler, sağlık bilimleri ve diğer farklı alanlarda modeller yaparken, verilerin
belirsizliği geleneksel metotlarla sonuca ulaşmamızı engelliyor. Bu, çevresel olguların
belirsizliği, gerçek dünya hakkında insanoğlunun sahip olduğu bilgilerin yetersizliği
veya nesneleri ölçmek için kullanılan araçların sınırlı olmasından kaynaklanabilir.
Örneğin; ülkeler arasındaki sınır belirsizliklerinde ya da bir ülkenin kırsal
bölgelerindeki nüfusun gerçek büyüme oranlarındaki belirsizliklerde, kesin durumlar
için kullanışlı olan klasik küme teorisini kullanmak uygun olmayabilir.
Matematikte; olasılık teorisi, rough küme teorisi, vague küme teorisi ve fuzzy
küme teorisi gibi, belirsizliklerle ilgilenen teoriler mevcuttur. Fakat bu teoriler de, bazı
zorluklara sahiptirler. Molodtsov, mevcut zorluklardan kurtulmak için soft küme
teorisini, belirsizliklerle uğraşan yeni bir matematiksel araç olarak ortaya çıkarmıştır.
Ayrıca; Molodsov, bu konuyla ilgili ilk çalışmalarında bu yeni teorinin temel
sonuçlarını sunmuş ve soft küme teorinin, olasılık teorisi, Perron-integrali, Riemannintegrali ve Game teori gibi bazı teorilerdeki uygulamalar için zengin bir potansiyele
sahip olduğunu göstermiştir. Soft sistemler, parametrelerle ilişkisi olan çok yeni bir yapı
taşı özelliği sunmaktadır. Bu yüzden çeşitli sahalarda soft küme teori çalışmaları ve
onun uygulamaları hızlı bir şekilde artmaktadır.
Maji ve arkadaşları (Maji ve ark., 2003) karar verme problemlerinde soft
kümelerin bir uygulamasını sundular. Pei ve Miao (Pie, Miao, 2005) soft kümelerin özel
bilgi sistemlerinin bir sınıfı olduğunu gösterdiler. Zou ve Xiao (Zou, Xiao, 2008) soft
veri analizi yaklaşımını tartıştılar. Cebirsel yapılarda soft küme teorisinin uygulamaları
Aktaş ve Çağman (Aktaş, Çağman, 2007) tarafından sunuldu. Onlar soft grup kavramını
tartıştılar ve bazı temel özelliklerini ortaya koydular. Feng ve arkadaşları
(Feng ve ark., 2008) soft semihalka, soft idealler ve ideal soft semihalkalar üzerine
çalıştılar. Ali ve arkadaşları (Ali ve ark., 2009) ve Shabir ve İrfan Ali
(Shabir, Ali, 2009) bir semigrup üzerindeki soft semigrupları ve soft idealleri çalıştılar.
2
Shabir ve Naz (Shabir, Naz, 2011) bir başlangıç kümesi ile bir sabit parametre kümesi
üzerinde tanımlı olan soft topoloji kavramını sundular ve bu soft topolojik uzayın bazı
temel özelliklerini çalıştılar.
1.1. Amaç ve Kapsam
Genel topolojik uzaylardan daha genel olan soft topolojik uzaylar incelenip, bu
uzaylarda tanımlanan soft açık küme kavramından daha zayıf olan yeni bir soft açık
küme kavramı tanıtılarak bazı özellikleri incelenecektir. Ayrıca; bu küme çeşidi
kullanılarak, soft topolojik uzaylar için bir süreklilik çeşidi tanıtılacak ve özellikleri ele
alınacaktır. Amaç, kabaca genelleştirme olarak ifade edilebilir.
Literatürdeki beta-açık küme kavramının genelleştirilmiş çeşidi olan soft
beta-açık küme kavramı tanıtılarak, bu kavram ve ilgili kavramı esas alan süreklilik
çeşitleri ile homeomorfizmler ele alınacaktır.
1.2. Kaynak AraĢtırması
Çalışmanın bu kısmında, birçok matematikçi tarafından çalışılan, soft küme
teorisi ve soft topolojik uzaylar hakkında literatürde yapılmış olan çalışmalardan
bahsedilecektir.
(Mashhour ve ark., 1982), “On precontinuous and weak precontinuous” isimli
çalışmada; topolojik uzaylarda pre-süreklilik, zayıf pre-süreklilik, pre-açık ve zayıf
pre-açık fonksiyon kavramları tanıtılmıştır. Bunların, Hussain anlamında hemen hemen
süreklilik, Singal anlamında hemen hemen süreklilik ve Wilansky anlamında hemen
hemen açık gibi, diğer var olan kavramlarla bağlantıları araştırılmıştır.
(El-Deeb ve ark., 1983), “On p-regular spaces” isimli çalışmada; p-regüler
olarak adlandırılan regülerliğin zayıf bir çeşidi tanıtılmış ve aşağıdaki 3 özellik elde
edilmiştir.
1-) Bir p-regüler uzayın her α-kümesi, bir alt uzay olarak p-regülerdir.
2-) p-regüler uzayların çarpım uzayları, p-regülerdir.
3-) f : X → Y kompakt nokta tersleri ile sürekli pre-kapalı örten bir fonksiyon
olsun. Eğer X, regüler uzay ise Y, p-regülerdir.
3
(Mashhour ve ark., 1984), “On pretopological spaces” isimli çalışmada;
pre-açıklık üzerine M. Katetov tarafından başlatılan bazı noktalar çalışılmıştır. Ayrıca
pre-homeomorfizm ve pre-topolojik özellikler tanımlanmıştır.
(Andrijević, Ganster, 1987), “A note on the topology generated by preopen
sets” isimli çalışmada; verilen (X, τ) topolojik uzayı üzerindeki pre-açık kümelerin
ailesi aracılığıyla tanımlanan τγ topolojisi çalışılmaya devam edilmiş, τα ve τγ
topolojileri arasındaki ilişkiler ortaya çıkarılarak τγ topolojisi ile ilgili pre-açık
kümelerin ailesi hakkında sonuçlar elde edilmiştir.
(Andrijević, 1987), “On the topology generated by preopen sets” isimli
çalışmada; pre-açık kümlerin sınıfı tarafından üretilen yeni bir topoloji göz önüne
alınmıştır. Esas vurgu ise onun kapanış operatörünün özellikleri ile ilgilidir.
(Navalagi, 1998), “Pre-neighbourhoods” isimli çalışmada; pre-iç, pre-yığılma,
pre-sınır kavramları tanıtılarak bu kavramların özellikleri incelenmiştir. Pre-kapalı
kümenin pre-limit noktaları yardımıyla bir karakterizasyonu elde edilmiştir. Pre-regüler
küme isimli yeni bir küme tanıtılarak bu kümenin pre-sınır ile bir karakterizasyonu
verilmiştir.
(Molodtsov, 1999), “Soft set theory-First results” isimli çalışmada; soft küme
teorinin temel kavramları ve teorinin ilk sonuçları sunulmuş ve gelecekteki bazı
problemler tartışılmıştır.
(Maji ve ark., 2003), “Soft set theory” isimli çalışmada; yazarlar Molodtsov
tarafından başlatılan soft küme teorisini çalışmışlar, iki soft kümenin eşitliği, bir soft
kümenin üst ve alt kümeleri, bir soft kümenin tümleyeni, null soft küme ve absolute soft
küme kavramlarını tanımlamışlardır. AND ve OR gibi soft ikili operasyonları ve ayrıca
birleşim ve kesişim operasyonlarını tanımlamışlardır. Ayrıca soft küme teoride
De Morgan kuralları ve daha birçok sonuç doğrulanmıştır.
(Pie, Miao, 2005), “From soft sets to information systems” isimli çalışmada;
soft kümeler ile bilgi sistemleri arasındaki ilişkiler tartışılmış, sonra soft kümeler bazı
sınıfların genel durumlarına genişletilmiştir.
(AktaĢ, Çağman, 2007), “Soft sets and soft group” isimli çalışmada; soft grup
teorinin temel bir versiyonu sunulmuştur. Bu tanım, rough grup kavramıyla benzerlik
gösterse de, yapısal olarak farklı bir metotla tanımlanmıştır. Ayrıca, çalışmada fuzzy
grupların soft grupların özel bir durumu olduğu gösterilmiştir.
4
(Stine, Mielke, 2008), “Pre-hausdorff spaces” isimli çalışmada; T0,1, T0,2
(pre-Hausdorff) ve T1,2 olarak adlandırılan topolojik uzaylar için 3 ayırma şartı
tanımlanmıştır. Bu şartlar, klasik T1 ve T2 aksiyomlarına genelleştirilmesidir ve bunların
topolojilerinden daha avantajlı oldukları tartışılmıştır. Pre-Hausdorff uzayların birkaç
farklı karakterizasyonu ve pre-Hausdorff yardımıyla, Hausdorff uzayların bir
karakterizasyonu elde edilmiştir. Ayrıca, pre-Hausdorff kavramını, Hausdorff
kavramıyla yer değiştirmek suretiyle, genelleştirme yapılıp yapılamayacağı, genel
topolojinin bazı klasik teoremleri üzerinden tartışılmıştır.
(Zou, Xiao, 2008), “Data analysis approaches of soft sets under incomplete
information” isimli çalışmada; soft kümeler ve bilgi sistemlerinin bağlantılı kavramları,
ilk kez verilmiştir. Yetersiz bilgiler altında, soft kümelerle uğraşan bazı yaklaşımlar
geliştirilmiş ve bu yaklaşımları somutlaştırmak için bir pratik örnek verilmiştir.
(Feng ve ark., 2008), “Soft semirings” isimli çalışmada; soft set teoriyi
kullanarak soft semihalkalar çalışılmıştır. Soft semihalka, soft alt semihalka, soft ideal,
ideal soft semihalkalar ve soft semihalka homomorfizimler sunulmuş ve bunlarla ilgili
birkaç özellik araştırılmıştır.
(Ali ve ark., 2009), “On some new operations in soft set theory” isimli
çalışmada; bir soft kümenin kısıtlanmış kesişim, kısıtlanmış birleşim, kısıtlanmış fark
ve genişletilmiş kesişim kavramlarını tanımlamışlar ve bir soft kümenin tümleyeni
kavramını geliştirmişlerdir.
(Çağman ve ark., 2011), “Soft topology” isimli çalışmada; bir soft küme
üzerinde bir soft topoloji tanımlanmış ve onunla ilişkili özellikler sunulmuştur. Daha
sonra da soft topoloji teorisi ile ilişkili bulgular sunulmuştur.
(Shabir, Naz, 2011), “On soft topological spaces” isimli çalışmada; soft-açık
küme, soft-kapalı küme, soft-kapanış, soft-iç nokta, bir noktanın soft-komşuluğu ve
soft-ayırma aksiyomları tanıtılmış ve onların temel özellikleri araştırılmıştır. Bir soft
topolojik uzayın, soft alt uzayları tanımlanarak, kalıtsallık kavramının yanı sıra, soft alt
uzaylarda soft-açık ve soft-kapalı kümelerin karakterizasyonu da araştırılmıştır. Son
olarak ta; Ti-uzayları ile soft-normal ve soft-regüler uzay kavramları detaylı olarak
tartışılmıştır. Ayrıca; bir soft topolojik uzayın bir soft T1-uzay olması için bir yeter şart
sunulmuştur.
(Sabir, Bashir, 2011), “Some properties of soft topological spaces” isimli
çalışmada; soft topolojik uzayların temellerini güçlendirmek amacıyla soft topoloji
üzerindeki soft iç, soft dış, soft sınır kavramlarının özellikleri çalışılmış ve tartışılmıştır.
5
(Bashir, Sabir, 2012), “On some structures of soft topology” isimli çalışmada;
soft dış kavramını tanımlayıp bu ifadenin temel özellikleri çalışılmıştır. Soft topolojik
uzaylarda soft iç, soft dış, soft kapanış ve soft sınır ile ilişkili birkaç sonuç sunulmuştur.
Diğer taraftan; soft açık kümeler, soft kapalı kümeler ve soft cl-açık kümeler soft sınır
yardımıyla karakterize edilmişlerdir.
(Kannan, 2012), “Soft generalized closed sets in soft topological spaces” isimli
çalışmada; soft topolojik uzaylarda, soft genelleştirilmiş kapalı kümeler tanıtılıp bir
soft g-kapalı kümenin soft-kapalı olması için bir yeter şart verilmiştir. Ayrıca; iki
soft g-kapalı kümenin birleşimi ve kesişimi tartışılmış, son olarak ta; yeni bir soft
ayırma aksiyomu yani; T1-uzayı sunulup, onun temel özellikleri tartışılmıştır.
(Mahanta, Das, 2012), “On soft topological via semiopen and semiclosed soft
sets” isimli çalışmada; bir soft topolojik uzay üzerinde bir soft kümenin semi-iç ve
semi-kapanışı detaylı bir şekilde çalışılmıştır. Soft semi-açık fonksiyonlar, soft
irresolute, soft semi-süreklilik gibi fonksiyon çeşitleri sunulmuş ve karakterize
edilmiştir. Ayrıca; soft semi-kompaktlık, soft semi-bağlantılılık ve soft semi-ayırma
aksiyomları tanıtılmış ve üzerinde çalışılmıştır.
(Chen, 2013), “Soft semi-Open sets and related properties in soft topological
spaces” isimli çalışmada; soft topolojik uzaylar üzerine çalışmalar sürdürülmüş ve soft
semi-açık kümeler, soft semi-kapalı kümeler, soft semi-iç ve soft semi-kapanış
özellikleri araştırılmıştır. Daha sonra, soft semi-açık(semi-kapalı) kümeler, soft semiiç(semi-kapanış) kavramları ile soft açık(kapalı) kümeler ve soft iç(kapanış) arasındaki
ilişkiler tartışılmıştır. Ayrıca; soft topoloji üzerinde ileri araştırmalar için önemli bir
kavram olan soft semi-ayırma aksiyomlarının özellikleri tanıtılmış ve tartışılmıştır.
(Chen, 2013), “Some local properties of soft semi-open sets” isimli çalışmada;
soft semi-açık kümeler yardımıyla bazı lokal özellikler sunulmuştur. Örneğin bir soft
noktanın soft semi-komşulukları, soft semi- birinci sayılabilir uzaylar ve bir soft
noktada soft semi-pu-süreklilik kavramları verilmiştir. Ayrıca soft semi-bağlantılılık
kavramı tanımlanmış ve “ bir soft topolojik uzayın soft semi-bağlantılı olması için gerek
 olmasıdır”
ve yeter şart soft semi-açık ve soft semi-kapalı kümelerin sadece Φ ve Χ
ifadesi kanıtlanmıştır.
(Arockiarani,
Lancy,
2013),
“Generalized
soft
gβ-closed
sets
and
soft gsβ-closed sets in soft topological spaces” isimli çalışmada; sabit bir parametre ve
bir başlangıç kümesi üzerinde tanımlı soft topolojik uzaylarda, soft gβ-kapalı kümeler
ve soft gsβ-kapalı kümeler tanıtılmış ve bunların bazı özellikleri araştırılmıştır.
6
(Yumak, Kaymakcı, 2013), “Soft beta open sets and their applications” isimli
çalışmada; daha önce literatüre kazandırılmış olan soft beta açık küme kavramı üzerinde
çalışılmış, bu kümelere ait yeni bazı karakterizasyonlar gösterilmiştir. Daha sonra, soft
beta açıklar ile elde edilen bazı dönüşümlerin cebirsel yapıları incelenmiştir.
7
2. SOFT KÜME TEORĠSĠ
2.1. Soft Kümeler
Tanım 2.1.1 (Molodtsov, 1999) U bir evrensel küme, E parametrelerin kümesi ve
∅ ≠ A ⊂ E olsun. Ayrıca 𝒫(U) ile U kümesinin güç kümesini gösterelim. Eğer
F: A → 𝒫(U) şeklinde bir dönüşüm varsa bu durumda (F, A) ikilisi, U üzerinde bir
soft küme olarak isimlendirilir.
Diğer bir ifadeyle, U üzerindeki bir soft küme, U kümesinin alt kümelerinin
parametrelenmiş bir ailesidir. e ϵ A için, F(e), (F, A) soft kümesinin e–yaklaşım
elemanlarının bir kümesi olarak düşünülebilir.
Örnek 2.1.1 U bir klinikteki altı(6) hastanın ve E de bazı hastalık isimlerinin kümesi
olmak üzere,
U = {h1, h2, h3, h4, h5, h6}
E = {e1(diyabet), e2(hemodiyaliz), e3(alzheimer)}
şeklinde verilsin. Farz edelim ki,
F(e1) = {h1, h3}
F(e2) = {h2, h5}
F(e3) = {h3, h4, h5}
olsun. Bu durumda,
(F, E) = {F(ei): i = 1,2,3}
= {{h1, h3}, {h2, h5}, {h3, h4, h5}}
olarak elde edilir.
Tanım 2.1.2 (Maji ve ark., 2003) (F, A) ve (G, B) ortak bir U evrensel kümesi üzerinde
iki soft küme olsun. Eğer,
(i) A ⊂ B
(ii) ∀ e  A, F(e) ⊂ G(e)
 (G, B) şeklinde
ise (F, A), (G, B) nin bir soft alt kümesidir denir ve (F, A) 
gösterilir.
8
Örnek 2.1.2 A = {e1, e2, e3} ⊂ E ve B = {e1, e2, e3, e4, e5}⊂ E olsun. Açıktır ki A ⊂ B
dir. (F, A) ve (G, B)
F(e1) = {h1, h3},
F(e2) = {h2, h5},
F(e3) = {h3, h4, h5},
G(e1) = {h1, h2, h3},
G(e2) = {h1, h2, h5},
G(e3) = {h3, h4, h5},
G(e4) = {h5},
G(e5) = ∅
olacak şekilde ortak U = {h1, h2, h3, h4, h5} evrensel kümesi üzerinde iki soft küme
 (G, B) dir.
olsun. Bu durumda (F, A) 
Tanım 2.1.3 (Maji ve ark. 2003) (F, A) ve (G, B) ortak bir U evrensel kümesi üzerinde
 (G, B) ve (G, B) 
 (F, A) ise (F, A) ve (G, B) soft
iki soft küme olsun. Eğer, (F, A) 
kümeleri soft eĢit olarak isimlendirilir.
Tanım 2.1.4 (Maji ve ark. 2003) E = {e1, e2, e3, e4,……en} paremetrelerin kümesi
olsun. Buna durumda, her i için, “ei nin değili” ˥ei ile gösterilmek üzere “E nin değili”
˥E = {˥e1, ˥e2, ˥e3, ˥e4,………….,˥en} şeklindedir. Dikkat edilmeli ki; burada, ˥ ve
˥
operasyonları birbirinden farklıdır.
Aşağıda verilen sonuçlar açıktır.
Önerme 2.1.1 (Maji ve ark. 2003)
(i) ˥(˥A) = A
(ii) ˥(A ∪ B) = ˥A ∪ ˥B
(iii) ˥(A ∩ B) = ˥A ∩ ˥B
Örnek 2.1.3 (Örnek 2.1.1) deki E = {diyabet, hemodiyaliz, alzheimer} parametreler
kümesini göz önüne alalım. Buna göre;
˥E = {diyabet olmayan, hemodiyaliz olmayan, alzheimer olmayan}
şeklindedir.
9
Tanım 2.1.5 (Maji ve ark. 2003) (F, A), U üzerinde bir soft küme olsun. (F, A) nın
soft tümleyen kümesi (F, A)c = (Fc, ˥A) şeklinde gösterilir ki burada Fc : ˥A → 𝒫(U),
∀ e ϵ ˥A için, Fc(e) = U – F(˥e) şeklinde verilen bir dönüşümdür.
F nin soft tümleyen fonksiyonu Fc olmak üzere, (Fc)c = F ve ((F, A)c)c = (F, A)
dir.
Örnek 2.1.4 (Örnek 2.1.1) için,
(F, E)c = (Fc, ˥E) = {diyabet olmayan = {h2, h4, h5, h6}, hemodiyaliz olmayan = {h1, h3,
h4, h6}, alzheimer olmayan = {h1, h2, h6}}olarak elde edilir.
Tanım 2.1.6 (Maji ve ark., 2003) (F, A) , U üzerinde bir soft küme olsun. Eğer ∀ e  A
için F(e) = ∅ ise (F, A), NULL soft küme olarak isimlendirilir ve Φ ile gösterilir.
Örnek 2.1.5 U = {k1, k2, k3, k4} evrensel kümesi, pamuktan imal edilmiş dört farklı
kumaş markasının kümesi olsun. A parametreler kümesi ise,
A = {ipek, polyester, yün, keten} şeklinde çeşitli kumaş imalat ürünlerinin kümesi
olsun. Bir (F, A) soft kümesi “kumaşların yapıldığı malzeme” şeklinde tanımlansın.
F(ipek), ipekten yapılmış kumaşlar,
F(polyester), polyesterden yapılmış kumaşlar,
F(yün), yünden yapılmış kumaşlar,
F(keten), ketenden yapılmış kumaşlar,
anlamındadır. Buna göre,
(F, A) = { F(ipek) = ∅, F(polyester) = ∅, F(yün) = ∅, F(keten) = ∅ }
olduğundan, (F, A) bir NULL soft kümedir.
Tanım 2.1.7 (Maji ve ark. 2003) (F, A), U üzerinde bir soft küme olsun. Eğer, ∀ e  A
için F(e) = U ise (F, A) soft kümesine Absolute soft küme denir ve à ile gösterilir.
Açıktır ki, Ãc = Φ ve Φc = Ã dir.
Örnek 2.1.6. (Örnek 2.1.5) teki U = {k1, k2, k3, k4} evrensel kümesini ve
B = {ipek olmayan, polyester olmayan, yün olmayan, keten olmayan} şeklinde tanımlı
yeni bir parametreler kümesini göz önüne alalım. Ayrıca (G, B) soft kümesi
“kumaşların yapıldığı malzeme” şeklinde tanımlansın. Bu durumda,
10
(G, B) = {G(ipek olmayan ) = {k1, k2, k3, k4}, G(polyester olmayan) = {k1, k2, k3, k4},
G(yün olmayan) = {k1, k2, k3, k4}, G(keten olmayan) = {k1, k2, k3, k4}} şeklinde
olduğundan, (G, B) soft kümesi, bir absolute soft kümedir.
Tanım 2.1.8 (Molodtsov, 1999) (F, A) ve (G, B) ortak bir U kümesi üzerinde iki soft
küme olsun. “(F, A) VE (G, B)” operasyonu (F, A) ∧ (G, B) şeklinde gösterilir. Burada,
(F, A) ∧ (G, B) ifadesi, ∀ (α, β) ϵ A x B için H(α, β) = F(α) ∩ G(β) olmak üzere
(F, A) ∧ (G, B) = (H, A x B) şeklinde tanımlıdır.
Tanım 2.1.9 (Molodtsov, 1999) (F, A) ve (G, B) ortak bir U kümesi üzerinde iki soft
küme olsun. “(F, A) VEYA (G, B)” operasyonu (F, A) ∨ (G, B) şeklinde gösterilir.
Burada, (F, A) ∨ (G, B) ifadesi, ∀ (α, β)  A x B için O(α, β) = F(α) ∪ G(β) olmak üzere
(F, A) ∨ (G, B) = (O, A x B) şeklinde tanımlıdır.
Önerme 2.1.2 (Maji ve ark. 2003)
(i) ((F, A) ∨ (G, B))c = (F, A)c ∧ (G, B)c
(ii) ((F, A) ∧ (G, B))c = (F, A)c ∨ (G, B)c
Ġspat.
(i) Kabul edelim ki, (F, A) ∨ (G, B) = (O, A x B) olsun. Bu durumda
((F, A) ∨ (G, B))c = (O, A x B)c = (Oc, ˥( A x B))
yazılabilir. Şimdi,
(F, A)c ∧ (G, B)c = (Fc, ˥A) ∧ (Gc, ˥B)
= ( J, ˥A x ˥B)
( J(x, y) = Fc(x) ∩ Gc(y) )
= ( J, ˥(A x B) )
elde edilir. Ayrıca (˥α, ˥β) ϵ ˥(A x B) alalım. Bu durumda,
Oc (˥α, ˥β) = U - O (α, β)
= U – ( F(α) ∪ G(β))
= [U – F(α)] ∩ [U – G(β)]
= Fc(˥α) ∩ Gc(˥β)
= J (˥α, ˥β)
elde edilir. O halde Oc ve J aynıdır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
11
(ii) Kabul edelim ki, (F, A) ∧ (G, B) = (H, A x B) olsun. Bu durumda
((F, A) ∧ (G, B))c = (H, A x B)c = (Hc, ˥( A x B))
yazılabilir. Şimdi,
(F, A)c ∨ (G, B)c = ( Fc, ˥A ) ∨ ( Gc, ˥B )
= ( K, ˥A x ˥B )
( K(x, y) = Fc(x) ∪ Gc(y) )
= ( K, ˥(A x B) )
elde edilir. Ayrıca (˥α, ˥β) ϵ ˥(A x B) alalım. Bu durumda,
Hc (˥α, ˥β) = U – H (α, β)
= U – [ F(α) ∩ G(β) ]
= [U – F(α)] ∪ [U – G(β)]
= Fc(˥α) ∪ Gc(˥β)
= K (˥α, ˥β)
elde edilir. O halde Hc ve K aynıdır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Tanım 2.1.10 (Maji ve ark. 2003) (F, A) ve (G, B) ortak bir U kümesi üzerinde iki soft
küme ve bu kümelerin birleşimi (H, C) soft kümesi olsun. Buna göre;
C = A ∪ B ve ∀ e  C için
eA - B
F(e),

H(e) = G(e),
eB - A
F(e)  G(e), e  A  B

 (G, B) = (H, C) yazılabilir.
olmak üzere, (F, A) 
Tanım 2.1.11 (Maji ve ark. 2003) (F, A) ve (G, B) ortak bir U kümesi üzerinde iki soft
küme ve bu kümelerin kesişimi (H, C) soft kümesi olsun. Buna göre;
 (G, B) = (H, C)
C = A ∩ B ve ∀ e  C için, H(e) = F(e) ∩ G(e) olmak üzere, (F, A) 
şeklinde yazılabilir.
Örnek 2.1.7. U = {c1, c2, c3, c4, c5}, bir ülkeye ait beş farklı şehri,
E ={e1, e2, e3, e4, e5, e6} kümesi de şehirlerin sahip olduğu bazı özellik parametrelerinin
kümesi olsun. Burada,
e1 = pahalı, e2 = kalabalık, e3 = kirli hava, e4 = ucuz,
e5 = başkent, e6 = modern
12
şeklindedir. Ayrıca A, B ⊂ E olmak üzere A = {e1, e2, e3, e4} ve B = {e4, e5, e6} ve
(F, A) soft kümesi “şehirlerin sahip olduğu özellikler” olarak ve (G, B) soft kümesi de
“şehirlerin cazibesi” olarak tanımlansın. Kabul edelim ki;
F(e1) = {c2, c3, c5},
F(e2) = {c2, c4},
F(e3) = {c1, c4, c5},
G(e4) = {c1, c4},
G(e5) = { c4 },
G(e6) = { c4, c5}
F(e4) = {c1, c4}
şeklinde olsun. O halde,
 (G, B) = (H, C)
(F, A) 
= {H(e1), H(e2), H(e3), H(e4), H(e5), H(e6)}
= {{c2, c3, c5}, {c2, c4}, {c1, c4, c5}, {c1, c4}, {c4}, {c4, c5}}
 (G, B) = (K, T) ={ K(e4) } ={{ c1, c4 }}
(F, A) 
olarak bulunur.
Aşağıda soft birleşim ve soft kesişim ile ilgili bazı önermeler ispatsız olarak
verilecektir.
Önerme 2.1.3 (Maji ve ark. 2003)
 (F, A) = (F, A)
(i) (F, A) 
 (F, A) = (F, A)
(ii) (F, A) 
 Φ = (F, A)
(iii) (F, A) 
 Φ=Φ
(iv) (F, A) 
 Ã=Ã
(v) (F, A) 
 Ã = (F, A)
(vi) (F, A) 
Önerme 2.1.4 (Maji ve ark. 2003)




 (G, B)
(i) (F, A) 
 (G, B)
(ii) (F, A) 
c
c
 (G, B)c
= (F, A)c 
 (G, B)c
= (F, A)c 
13
Ġspat.
 (G, B) = (H, A∪B) olsun. Burada
(i) Kabul edelim ki (F, A) 
αA - B
αB - A
αA B
F(α),

H( α ) = G(α),
F(α)  G(α),

şeklindedir. Ayrıca
 (F, A)  (G, B) 
c
= (H, A∪B)c
= (Hc, ˥A ∪ ˥B)
yazılabilir. ∀ ˥ α ϵ (˥A∪˥B) için Hc (˥ α ) = U - H( α ) olduğu biliniyor. O halde
Fc(˥ α ),
Hc(˥ α ) =
Gc(˥ α ),
c
c
F (˥ α ) ∪ G (˥ α ),
˥ α  ˥A
- ˥B
˥ α  ˥B
- ˥A
˥ α  ˥A
∩ ˥B
yazılabilir. Aynı şekilde kabul edelim ki
 (G, B)c = (Fc, ˥A) 
 (Gc, ˥B)
(F, A)c 
= ( K, ˥A ∪ ˥B)
olsun, burada
K(˥ α ) =
Fc(˥ α ),
˥ α  ˥A
- ˥B
Gc(˥ α ),
˥ α  ˥B
- ˥A
Fc(˥ α ) ∪ Gc(˥ α ),
˥ α  ˥A
∩ ˥B
olur. O halde; Hc ve K aynıdır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
 (G, B) = (H, A∩B) olsun. O halde
(ii) Kabul edelim ki (F, A) 
 (F, A)  (G, B) 
yazılabilir.
c
= (Hc, ˥A ∩ ˥B)
14
Ayrıca,
 (G, B)c = (Fc, ˥A) 
 (Gc, ˥B)
(F, A)c 
= (K, ˥A ∩ ˥B)
olur ki, burada ∀ ˥ α  (˥A ∪ ˥B) için
K(˥ α ) = Fc(˥ α ) ya da Gc(˥ α )
= F( α ) ya da G( α )
( α  A∩B)
= H( α )
= H c (˥ α )
elde edilir. O halde; K ve Hc aynı fonksiyonlardır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
U, evrensel küme ve E de, parametrelerin boş olmayan bir kümesi olsun.
Tanım 2.1.12 (Shabir, Naz, 2011) (F, E) ve (G, E), U üzerinde iki soft küme olsun.
(H, E) = (F, E) \ (G, E) ifadesine (F, E) ve (G, E) farkı denir ve ∀ e  E için
H(e) = F(e) \ G(e) olarak tanımlanır.
Tanım 2.1.13 (Shabir, Naz, 2011) (F, E), U üzerinde bir soft küme ve u  U olsun. Eğer,
∀ e  E için u  F(e) ise bu durum u  (F, E) şeklinde gösterilir ve “u, (F, E) soft
kümesine aittir” şeklinde söylenir.
Açıktır ki; herhangi bir u  U için,
u  (F, E) ⟺ ∃ e  E ∋ u  F(e)
dir.
Tanım 2.1.14 (Shabir, Naz, 2011) V, U evrensel kümesinin boş olmayan bir alt kümesi
olsun. Bu durumda (V, E) ifadesi U üzerinde, ∀ e  E için V(e) = V şartını sağlayan ve
 ile gösterilen bir soft kümedir. Özel olarak (U, E) soft kümesi U
 ile gösterilir.
V
Tanım 2.1.15 (Shabir, Naz, 2011) u  U olsun. Bu durumda (u, E) ifadesi U üzerinde,
∀ e  E için u(e) = {u} şeklinde tanımlı olan bir soft küme belirtir.
15
Tanım 2.1.16 (Shabir, Naz, 2011) (F, E), U üzerinde bir soft küme ve V de U nun boş
olmayan bir alt kümesi olsun. Bu durumda, (F, E) nin V üzerinde ki bir soft alt kümesi
(VF, E) ile gösterilir ve
∀ e  E için, VF(e) = V ∩ F(e)
 ∩ (F, E) şeklindedir.
şeklinde tanımlanır. Diğer bir ifadeyle, (VF, E) = V
Tanım 2.1.17 (Shabir, Naz, 2011) (F, E), U üzerinde bir soft küme olsun. (F, E) nin
rölatif tümleyeni (F, E) = (F, E) şeklinde gösterilir ve
∀ e  E için, F(e) = U - F(e)
şeklinde tanımlanır.
Örnek 2.1.8. (Örnek 2.1.7) göz önüne alınırsa;
U = {c1, c2, c3, c4, c5}, A = {e1, e2, e3, e4} ve
F(e1) = {c2, c3, c5},
F(e2) = {c2, c4},
F(e3) = {c1, c4, c5},
F(e4) = {c1, c4}
şeklindeydi. O halde,
(F, A) = {{c2, c3, c5}, {c2, c4}, {c1, c4, c5}, {c1, c4}}
ve dolayısıyla da
(F, E) = (F, E) ={{c1, c4}, {c1, c3, c5}, {c2, c3}, {c2, c3, c5}}
elde edilir.
Aşağıdaki önerme, rölatif tümleyenle ilgili De Morgan kurallarıdır.
Önerme 2.1.5 (Shabir, Naz, 2011) (F, E) ve (G, E), U üzerinde iki soft küme olsun. Bu
durumda;




 (G, E)
 (G, E)  = (F, E) 
(i) (F, E) 
 (G, E)
 (G, E)  = (F, E) 
(ii) (F, E) 
16
Ġspat.
 (G, E) = (H, E) olsun. 2.1.10. Tanım gereği ∀ e  E için
(i) (F, E) 
H(e) = F(e) ∪ G(e) dir. Buna göre;
(F, E)  (G, E) = (H, E) = (H, E) ve 2.1.17. Tanım gereği ∀ e E için
H(e) = U – H(e)
= U – ( F(e) ∪ G(e) )
= ( U – F(e) ) ∩ ( U – G(e) )
= F(e) ∩ G(e)
olduğundan
(F, E)  (G, E) = (H, E) = (H, E) = (F, E)
 (G, E)

yazılabilir. Bu da ispatımızı bitirir.
 (G, E) = (K, E) olsun. 2.1.11. Tanım gereği ∀ e  E için
(ii) (F, E) 
K(e) = F(e) ∩ G(e) dir. Buna göre;
(F, E)  (G, E) = (K, E) = (K, E) ve 2.1.17. Tanım gereği ∀ e E için
K(e) = U – K(e)
= U – (F(e) ∩ G(e))
= (U – F(e)) ∪ (U – G(e))
= F(e) ∪ G(e)
olduğundan
(F, E)  (G, E) = (K, E) = (K, E) = (F, E)
yazılabilir. Bu da ispatımızı bitirir.
 (G, E)

17
2.2. Soft Topoloji ve Soft Topolojik Uzaylar
X, evrensel küme ve E de, parametrelerin boş olmayan bir kümesi olsun.
Tanım 2.2.1 (Shabir, Naz, 2011) X üzerindeki soft kümelerin bir ailesi τ olsun. Eğer τ,
aşağıdaki özellikleri sağlarsa; τ ya, X üzerinde bir soft topoloji, (X, τ, E) üçlüsüne de,
X üzerinde bir soft topolojik uzay denir.
 soft kümeleri τ ya aittir.
(i) Φ, Χ
(ii) τ ya ait kümelerin herhangi sayıdaki birleşimi, τ ya aittir.
(iii) τ ya ait herhangi iki kümenin kesişimi, τ ya aittir.
Tanım 2.2.2 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun. Bu
durumda τ ya ait soft kümelerin her birine, X üzerinde bir soft açık küme denir.
Tanım 2.2.3 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun. X
üzerinde bir (F, E) soft kümesinin rölatif tümleyeni olan (F, E) kümesi τ ya aitse;
(F, E) ye, X üzerinde bir soft kapalı küme denir.
Önerme 2.2.1 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun.
Bu durumda;
 soft kümeleri, X üzerinde soft kapalı kümelerdir.
(i) Φ, Χ
(ii) Soft kapalı kümelerin herhangi sayıdaki kesişimleri de, X üzerinde soft
kapalı kümedir.
(iii) Herhangi iki soft kapalı kümenin birleşimi de X üzerinde soft kapalıdır.
Ġspat.
  τ ve ( Χ
 )  = Φ  τ olduğundan Φ ve Χ
 , X üzerinde soft kapalı
(i) Φ' = Χ
kümelerdir.
(ii) I = {1,2,3,…..} olmak üzere, ∀ i  I için (Ki, E), X üzerinde soft kapalı
kümeleri göstersin. (Ki, E) soft kapalı olduğundan ∀ i  I için (Ki, E)   τ yazılabilir.
2.2.1. Tanım (ii) ye göre, (F, E) =  (Ki, E)   τ dir. Buradan;
iI
18
 - (Ki, E)) = Χ
 -  (Ki, E) = (  (Ki, E))   τ
(F, E) =  (Ki, E)  =  ( Χ
iI
iI
iI
iI
elde edilir ki, bu  (Ki, E) nin soft kapalı bir küme olduğunu gösterir.
iI
(iii) Sonlu sayıda (K1, E), (K2, E), (K3, E),…… (Kp, E) soft kapalı kümelerini
göz önüne alalım. 2.2.3. Tanım gereğince;
 - (K1, E), (F2, E) = Χ
 - (K2, E),…………(Fp, E) = Χ
 - (Kp, E)
(F1, E) = Χ
p
kümeleri X üzerinde soft açık kümelerdir. 2.2.1. Tanım (iii) gereği,  (Fi, E) kümesi
i1
soft açıktır. Bu durumda,
p
p
p
p
i1
i1
i1
i1
 - (Ki, E)) = Χ
 -  (Ki, E) = (  (Ki, E) ) 
 (Fi, E) =  ( Χ
p
elde edilir ki, bu  (Ki, E) kümesinin soft kapalı olduğunu gösterir.
i1
Tanım 2.2.4 (Shabir, Naz, 2011) X evrensel küme, E parametrelerin kümesi ve
 } olsun. Bu durumda τ, X üzerinde soft ayrık olmayan topoloji olarak ve
τ = {Φ, Χ
(X, τ, E) uzayı da, soft ayrık olmayan uzay olarak isimlendirilir.
Tanım 2.2.5 (Shabir, Naz, 2011) X evrensel küme, E parametrelerin kümesi ve τ, X
üzerinde tanımlanan tüm soft kümelerin ailesi olsun. Bu durumda τ, X üzerinde soft
ayrık topoloji olarak ve (X, τ, E) uzayı da, soft ayrık uzay olarak isimlendirilir.
Önerme 2.2.2 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft uzay olsun. Bu
durumda ∀ e  E için, τe = {F(e) : (F, E)  τ} ailesi X üzerinde bir topoloji oluşturur.
Ġspat. Tanımdan herhangi bir e ϵ E için, τe = {F(e) : (F, E)  τ} ailesine sahibiz. Şimdi,
  τ olduğundan ∅, X  τe dir.
(i) Φ, Χ
(ii) τe deki kümelerin bir ailesi {Fi(e): i  I} olsun. (Fi, E)  τ olduğundan, ∀ i  I
için  (Fi, E)  τ dur. Böylece  Fi(e)  τe elde edilir.
iI
iI
 (G, E)  τ
(iii) Bazı (F, E), (G, E)  τ için, F(e), G(e)  τe olsun. (F, E) 
olduğundan F(e) ∩ G(e)  τe dir.
Böylece ∀ e  E için τe, X üzerinde bir topoloji tanımlar.
19
(Önerme 2.2.2) gösteriyor ki; her bir e  E için, τe , X üzerinde bir topoloji
oluşturur. O halde; X üzerindeki bir soft topoloji için, X üzerindeki topolojilerin
parametrelenmiş bir ailesidir denebilir.
Örnek 2.2.1(Shabir, Naz, 2011) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E) ve (F4, E), X üzerinde soft kümeler olmak üzere,
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E)} ailesi X üzerinde bir soft topoloji oluşturur.
τ = {Φ, Χ
F1(e1) = {x2}
F1(e2) = {x1}
F2(e1) = {x2, x3}
F2(e2) = {x1, x2}
F3(e1) = {x1, x2}
F3(e2) = X
F4(e1) = {x1, x2}
F4(e2) = {x1, x3}
O açıkça görülebilir ki,
τe1 = {∅, X, {x2}, {x2, x3}, {x1, x2 }}
τ e2 = {∅, X, {x1}, {x1, x2}, {x1, x3}}
aileleri, X üzerinde bir topolojidir.
Şimdi 2.2.2. Önermesinin tersinin doğru olmadığını göstermek için bir örnek
verelim.
Örnek 2.2.2(Shabir, Naz, 2011) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E) ve (F4, E) soft kümeleri ve
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E)} ailesi verilsin.
τ = {Φ, Χ
F1(e1) = {x2}
F1(e2) = {x1}
F2(e1) = {x2, x3}
F2(e2) = {x1, x2}
F3(e1) = {x1, x2}
F3(e2) = {x1, x2}
F4(e1) = {x2}
F4(e2) = {x1, x3}
Açıkça görülür ki;
τe1 = {∅, X, {x2}, {x2, x3}, {x1, x2}}
τ e2 = {∅, X, {x1}, {x1, x2}, {x1, x3}}
aileleri, X üzerinde bir topoloji oluştururken,
 (F3, E) = (G, E) = {G(e1) = X, G(e2) = {x1, x2}}
(F2, E) 
olup, (G, E)  τ dur. Yani τ, X üzerinde bir soft topoloji değildir.
20
Verilen bu örnekten görülüyor ki, her bir parametre ile oluşturulan aileler, X
üzerinde bir topoloji oluştursa bile, soft kümelerin herhangi bir ailesinin, X üzerinde bir
soft topoloji olması gerekmez.
Önerme 2.2.3 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ1, E) ve (X, τ2, E), X üzerinde iki soft topolojik
uzay olsunlar. Bu durumda; (X, τ1∩τ2, E) de, X üzerinde bir soft topolojik uzaydır.
Ġspat.
  τ1 ve Φ, Χ
  τ2 olduğundan Φ, Χ
  τ1∩τ2 dir.
(i) Φ, Χ
(ii) τ1∩τ2 deki soft kümelerin bir ailesi {(Fi, E) : i  I } olsun. Bu durumda ∀ i  I
 (Fi, E)  τ1 ve 
 (Fi, E)  τ2 şeklindedir.
için (Fi, E)  τ1 ve (Fi, E)  τ2 olduğundan 
iI
iI
 (Fi, E)  τ1∩τ2 dir.
O halde; 
iI
(iii) (F, E), (G, E)  τ1∩τ2 olsun. Bu durumda (F, E), (G, E)  τ1 ve
(F, E), (G, E)  τ2 dir. (F, E) ∩ (G, E)  τ1 ve (F, E) ∩ (G, E)  τ2 olduğundan
(F, E) ∩ (G, E) ϵ τ1∩τ2 kolaylıkla yazılır.
Böylece; τ1∩τ2 ailesi, X üzerinde bir topoloji belirtir. O halde (X, τ1∩τ2, E) de,
X üzerinde bir soft topolojik uzaydır.
Dikkat edilmeli ki; X üzerindeki iki soft topolojinin birleşimi, X üzerinde bir
soft topoloji belirtmeyebilir.
Örnek 2.2.3 (Shabir, Naz, 2011) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E) ve (F4, E), (G1, E), (G2, E), (G3, E) ve (G4, E),
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E)} ve
X üzerinde soft kümeler olmak üzere, τ1 = {Φ, Χ
 , (G1, E), (G2, E), (G3, E), (G4, E)} aileleri de, X üzerinde bir soft topoloji
τ2 = {Φ, Χ
olsunlar.
F1(e1) = {x2}
F1(e2) = {x1}
G1(e1) = {x2}
G1(e2) = {x1}
F2(e1) = {x2, x3}
F2(e2) = {x1, x2}
G2(e1) = {x2, x3}
G2(e2) = {x1, x2}
F3(e1) = {x1, x2}
F3(e2) = X
G3(e1) = {x1, x2}
G3(e2) = {x1, x2}
F4(e1) = {x1, x2}
F4(e2) = {x1, x3}
G4(e1) = {x2}
G4(e2) = {x1, x3}
21
Şimdi,
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E), (G3, E), (G4, E) }
τ = τ1 ∪ τ2 = { Φ, Χ
 (G3, E) = (H, E) alırsak bu durumda;
şeklinde yeni bir aile tanımlayalım. Eğer (F2, E) 
H(e1) = F2(e1) ∪ G3(e1)
={x2, x3} ∪ {x1, x2}
= X
ve
H(e2) = F2(e2) ∪ G3(e2)
= {x1, x2} ∪ {x1, x2}
= {x1, x2}
elde edilir ki, bu durumda (H, E)  τ olur yani; τ, X üzerinde bir soft topoloji değildir.
Tanım 2.2.6 (Sabir, Bashir, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve (F, E)
de, X üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda; (F, E) nin soft içi, (F, E) nin kapsadığı
tüm soft açıkların birleşimi olarak tanımlanır ve (F, E)o ile gösterilir. O açıktır ki, (F, E)o
soft kümesi, (F, E) nin kapsadığı en büyük soft açıktır.
Örnek 2.2.4. (Örnek 2.2.2) göz önüne alınırsa; X üzerinde verilen
(F, E) = {{x1, x2, x3}, {x1}} soft kümesi için, (F, E)o = (F1, E) = {{x2}, {x1}} dir.
Teorem 2.2.1 (Çağman ve ark., 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve
(F, E) ve (G, E) de, X üzerinde soft kümeler olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler
sağlanır.
 )o = Χ

(1) Φo = Φ, ( Χ
 (F, E)
(2) (F, E)o 
(3) [(F, E)o]o = (F, E)o
(4) (F, E) nin soft açık olması için gerek ve yeter şart (F, E)o = (F, E)
 (G, E) ise (F, E)o 
 (G, E)o
(5) (F, E) 
 (G, E)o = [(F, E) 
 (G, E)]o
(6) (F, E)o 
 (G, E)o 
 [(F, E) 
 (G, E)]o
(7) (F, E)o 
22
Ġspat.
(1) ve (2) nin ispatı açıktır.
(3) (F, E)o, açık bir kümedir. [(F, E)o]o ise, (F, E)o nin içerdiği, X deki tüm soft
 [(F, E)o]o yazılır. Ayrıca; (2) ye göre
açıkların birleşimi olduğundan, (F, E)o 
 (F, E)o olduğundan, [(F, E)o]o = (F, E)o ifadesi kolaylıkla yazılabilir.
((F, E)o)o 
(4) Kabul edelim ki; (F, E), X üzerinde bir soft açık olsun. Bu durumda; (F, E)
nin içerdiği en büyük soft açık küme, (F, E) nin kendisidir. O halde; (F, E)o = (F, E)
yazılabilir.
Karşıt olarak, kabul edelim ki; (F, E)o = (F, E) olsun. (F, E)o, soft açık
olduğundan, (F, E) de bir soft açık kümedir.
 (G, E)
(5) (F, E) ve (G, E), X üzerinde iki soft küme olmak üzere; (F, E) 
 (F, E) 
 (G, E) olduğunu biliyoruz. O halde; (F, E)o, (G, E) nin
olsun. (2) den (F, E)o 
içerdiği herhangi bir soft açık kümedir. Fakat, (G, E) nin içerdiği en büyük soft açık
 (G, E)o ifadesi kolaylıkla görülür.
küme (G, E)o olduğundan; (F, E)o 
 (G, E) 
 (F, E) ve (F, E) 
 (G, E) = (G, E) olduğunu biliyoruz.
(6) (F, E) 
Ayrıca (5) den,
 (G, E)]o 
 (F, E)o ve [(F, E) 
 (G, E)]o 
 (G, E)o
[(F, E) 
yazarız. O halde;
 (G, E)]o 
 (F, E)o 
 (G, E)o…………………(I)
[(F, E) 
 (F, E) ve (G, E)o 
 (G, E) olduğunu biliyoruz.
elde edilir. Ayrıca; (2) den, (F, E)o 
 (G, E)o 
 (F, E) 
 (G, E) yazılabilir. (F, E)o 
 (G, E)o soft açık
Buradan, (F, E)o 
 (G, E) nin içerdiği herhangi bir soft açıktır. Fakat, (F, E) 
 (G, E) nin
kümesi, (F, E) 
 (G, E)]o olduğundan;
içerdiği en büyük soft açık küme, [(F, E) 
 (G, E)o 
 [(F, E) 
 (G, E)]o……………......(II)
(F, E)o 
yazılabilir. (I) ve (II) den
 (G, E)o = [(F, E) 
 (G, E)]o
(F, E)o 
ifadesi kolaylıkla yazılır.
23
 (F, E) ve (G, E)o 
 (G, E) dir. O halde;
(7) (2) den; (F, E)o 
 (G, E)o 
 (F, E) 
 (G, E) yazılabilir. (F, E)o 
 (G, E)o soft açık kümesi
(F, E)o 
 (G, E) nin içerdiği herhangi bir soft açıktır. Fakat, (F, E) 
 (G, E) nin içerdiği
(F, E) 
 (G, E)]o olduğundan,
en büyük soft açık küme [(F, E) 
 (G, E)o 
 [(F, E) 
 (G, E)]o
(F, E)o 
ifadesi elde edilmiş olur.
Aşağıdaki örnekle Teorem 2.2.1 (7) için eşitliğin sağlanmadığı gösterilmiştir.
Örnek 2.2.5 (Çağman ve ark., 2011) (Örnek 2.2.2) için (F, E) = {{x1, x2}, {x1, x3}} ve
(G, E) = {{x1, x2, x3}, {x2, x3}} olsun. Bu durumda (F, E)o = {{x2}, {x1, x3}} ve
(G, E)o = Φ şeklindedir. O halde;
 (G, E)o = {{x2}, {x1, x3}}
(F, E)o 
ve
 (G, E)]o = Χ

[(F, E) 
 (G, E)o 
 [(F, E) 
 (G, E)]o dir. Fakat,
olarak elde edilir. Buradan (F, E)o 
 (G, E)]o 
 (G, E)o dir.
 (F, E)o 
[(F, E) 
Tanım 2.2.7 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve (F, E)
de, X üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda; (F, E) nin soft kapanıĢı, (F, E) yi
kapsayan tüm soft kapalı kümelerin kesişimi olarak tanımlanır ve (F, E) – ile gösterilir.
(F, E) – soft kümesi, (F, E) yi kapsayan en küçük soft kapalı kümedir.
Örnek 2.2.6. (Shabir, Naz, 2011) (Örnek 2.2.2) göz önüne alınırsa; X üzerinde verilen
 dir.
(F, E) = {{x2, x3}, {x1, x2}} soft kümesi için, (F, E) – = Χ
24
Teorem 2.2.2 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve (F, E)
ve (G, E) de, X üzerinde soft kümeler olsun. Bu durumda, aşağıdaki özellikler
geçerlidir.

 –=Χ
(1)  – = Φ, (X)
 (F, E) –
(2) (F, E) 
(3) [(F, E) – ]– = (F, E)–
(4) (F, E) nin soft kapalı olması için gerek ve yeter şart (F, E) = (F, E) –
 (G, E) ise (F, E) – 
 (G, E) –
(5) (F, E) 
 (G, E) – = [(F, E)
 (G, E)] –
(6) (F, E) – 
 (F, E) – 
 (G, E) –
 (G, E)] – 
(7) [(F, E)
Ġspat.
(1) ve (2) nin ispatı açıktır.
(3) (F, E) – , kapalı bir kümedir. (F, E) – – ise, (F, E) – i içeren, X deki tüm soft
 (F, E) – yazılabilir. Ayrıca (2) ye
kapalı kümelerin kesişimi olduğundan; (F, E) – – 
 (F, E) – – olduğundan; (F, E) – – = (F, E)– ifadesi kolaylıkla yazılabilir.
göre, (F, E) – 
(4) Kabul edelim ki; (F, E), X üzerinde bir soft kapalı olsun. Bu durumda; (F, E)
yi içeren en küçük soft kapalı küme, (F, E) nin kendisidir. O halde; (F, E) – = (F, E)
yazılabilir.
Karşıt olarak; kabul edelim ki, (F, E) – = (F, E) olsun. (F, E) – , soft kapalı
olduğundan; (F, E) de bir soft kapalı kümedir.
 (G, E)
(5) (F, E) ve (G, E), X üzerinde iki soft küme olmak üzere; (F, E) 
 (G, E) 
 (G, E) – olduğunu biliyoruz. O halde; (G, E) – ,
olsun. (2) den, (F, E) 
(F, E) yi kapsayan herhangi bir soft kapalı kümedir. Fakat, (F, E) yi içeren en küçük soft
 (G, E) – ifadesi kolaylıkla görülür.
kapalı küme (F, E) – olduğundan; (F, E) – 
25
 (F, E) 
 (G, E) ve (G, E) 
 (F, E) 
 (G, E) olduğunu biliyoruz.
(6) (F, E) 
Ayrıca (5) den,
 [(F, E)
 [(F, E)
 (G, E)] – ve (G, E) – 
 (G, E)] –
(F, E) – 
yazarız. O halde
 (G, E) – 
 [(F, E)
 (G, E)] – …………………(I)
(F, E) – 
 (F, E) – ve (G, E) 
 (G, E) – olduğunu biliyoruz.
elde edilir. Ayrıca (2) den (F, E) 
 (G, E) 
 (F, E) – 
 (G, E) – yazılabilir. (F, E) – 
 (G, E) – soft kapalı
Buradan, (F, E) 
 (G, E) yi içeren herhangi bir soft kapalıdır. Fakat biz biliyoruz ki
kümesi, (F, E) 
 (G, E) yi içeren en küçük soft kapalı küme [(F, E)
 (G, E)] – olduğundan
(F, E) 
 (F, E) – 
 (G, E) – ……….……......(II)
 (G, E)] – 
[(F, E)
 (G, E) – = [(F, E)
 (G, E)] – ifadesi yazılır.
yazılabilir. (I) ve (II) den (F, E) – 
 (F, E) – ve (G, E) 
 (G, E) – dir. O halde;
(7) (2) den, (F, E) 
 (G, E) 
 (F, E) – 
 (G, E) – yazılabilir. (F, E) – 
 (G, E) – soft kapalı kümesi,
(F, E) 
 (G, E) yi içeren herhangi bir soft kapalıdır. Fakat, (F, E) 
 (G, E) içeren en
(F, E) 
 (G, E)] – olduğundan;
küçük soft kapalı küme [(F, E)
 (F, E) – 
 (G, E) –
 (G, E)] – 
[(F, E)
ifadesi elde edilmiş olur.
26
3. SOFT 𝛽-KÜMELER
3.1. Soft 𝛽-Açık Kümeler ve Soft 𝛽-Kapalı Kümeler
X, bir evrensel küme ve E, parametrelerin boştan farklı bir kümesi olmak üzere;
(X, τ, E) de, X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun.
Tanım 3.1.1 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen
bir (F, E) soft kümesinin, soft 𝛽-açık küme(kısaca S𝛽-O) olarak isimlendirilmesi için
 (F, E) –  – olmasıdır.
gerek ve yeter şart (F, E) 
Tanım 3.1.2 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen
bir (F, E) soft kümesinin, soft 𝛽-kapalı küme(kısaca S𝛽-C) olarak isimlendirilmesi için
gerek ve yeter şart (F, E) nin rölatif tümleyeninin soft 𝛽-açık küme olması yani;
 (F, E) olmasıdır.
(F, E) –  
Biz bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki tüm soft 𝛽-açık kümelerin
ailesini, S𝛽-O(X) ile, tüm soft 𝛽-kapalı kümelerin ailesini de, S𝛽-C(X) ile göstereceğiz.
Tanım 3.1.3 (Chen, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen bir (F, E) soft
kümesinin, soft semi-açık küme(kısaca SS-O) olarak isimlendirilmesi için gerek ve
 (F, E) – olmasıdır. (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki tüm soft
yeter şart (F, E) 
semi-açık kümelerin ailesi, SS-O(X) ile gösterilir.
Tanım 3.1.4 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen
bir (F, E) soft kümesinin soft pre-açık küme (kısaca SP-O) olarak isimlendirilmesi için
 (F, E) –  olmasıdır. (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki
gerek ve yeter şart (F, E) 
tüm soft pre-açık kümelerin ailesi, SP-O(X) ile gösterilir.
Tanım 3.1.5 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen
bir (F, E) soft kümesinin, soft α-açık küme (kısaca Sα-O) olarak isimlendirilmesi için
 (F, E) –  olmasıdır. (X, τ, E) soft topolojik uzayı
gerek ve yeter şart (F, E) 
üzerindeki tüm soft α-açık kümelerin ailesi, Sα-O(X) ile gösterilir.
27
S𝛽-O(X) ailesinin, Ss-O(X), Sp-O(X) ve Sα-O(X) ailelerini içerdiği açıktır. Bu
durum aşağıdaki diyagramla gösterilmiştir.
Soft açık


Soft α-açık
Soft semi-açık

Soft pre-açık
 (1)
(2) 
Soft 𝛽-açık
Aşağıdaki örneklerde, (1) ve (2) gerektirmelerinin terslerinin genelde doğru olmadığı
gösterilmiştir.
Örnek 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E), (F5, E) (F6, E) ve (F7, E), X üzerinde soft
kümeler olmak üzere,
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E), (F5, E), (F6, E), (F7, E)} ailesi, X üzerinde
τ = {Φ, Χ
bir soft topoloji oluşturur.
F1(e1) = {x1, x2}
F1(e2) = {x1, x2}
F2(e1) = {x2}
F2(e2) = {x1, x3}
F3(e1) = {x2, x3}
F3(e2) = {x1}
F4(e1) = {x2}
F4(e2) = {x1}
F5(e1) = {x1, x2}
F5(e2) = X
F6(e1) = X
F6(e2) = {x1, x2}
F7(e1) = {x2, x3}
F7(e2) = {x1, x3}
Şimdi, X de (F6, E) = { X, {x1, x2} } soft açık kümesini ve (G, E) = {{x2, x3}, {x1, x2}},
(H, E) = {Ø, {x1}} soft kümelerini göz önüne alalım. Bu durumda;
 olduğundan, (F6, E) 
 (F , E) –  olup (F6, E) soft α-açıktır.
(F6 , E) –  = Χ
6
 olduğundan, (F6, E) 
 (F, E) –  olup (F6, E) soft pre-açıktır.
(F6 , E)–  = Χ
 olduğundan, (F6, E) 
 (F, E) – olup (F6, E) soft semi-açıktır.
(F6 , E) – = Χ
 olduğundan, (F6, E) 
 (F, E) –  – olup (F6, E) soft 𝛽-açıktır.
(F6 , E) –  – = Χ
 olduğundan, (G, E) 
 (G, E) –  olup (G, E) soft α-açıktır.
(G, E) –  = Χ
 olduğundan, (G, E) 
 (G, E) –  olup (G, E) soft pre-açıktır.
(G, E) –  = Χ
 olduğundan, (G, E) 
 (G, E) –
(G, E) – = Χ
olup (G, E) soft semi-açıktır.
 olduğundan, (G, E) 
 (G, E) –  – olup (G, E) soft 𝛽-açıktır.
(G, E) –  – = Χ
28
 (H, E) –  olup (H, E) soft α-açık değildir.
(H, E) –  = Φ olduğundan, (H, E) 
 olduğundan, (H, E) 
 (H, E) –  olup, (H, E) soft pre-açıktır.
(H, E) –  = Χ
 (H, E) – olup, (H, E) soft semi-açık değildir.
(H, E) – = Φ olduğundan, (H, E) 
 olduğundan, (H, E) 
 (H, E) –  – olup, (H, E) soft 𝛽-açıktır.
(H, E) –  – = Χ
Tanım 3.1.6 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X, evrensel küme ve E de, parametrelerin
boştan farklı bir kümesi olsun. Buna göre; X üzerindeki soft kümelerin bir τ ailesi,
sadece,
 soft kümeleri τ ya aittir.
(i) Φ, Χ
(ii) τ ya ait kümelerin herhangi sayıdaki birleşimi τ ya aittir.
şartlarını sağlarsa, τ ailesine, X üzerinde bir suprasoft topoloji denir.
Önerme 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) S𝛽-O(X), X üzerinde bir suprasoft topoloji
oluşturur.
Ġspat.
  S𝛽-O(X) olduğu açıktır.
(i) Φ, Χ
(ii) ∀ i  I için( I ={1,2,3…..}), (Fi, E)  S𝛽-O(X) olsun. Bu durumda, ∀ i  I için
 (F, E)–  –
(Fi, E) 
i

 (F , E)

i
iІ


=


  (F , E) –  – 

i
iІ


  ((F , E) )
  (F , E)
 ((F , E) –  )

i
–
iІ
–
–
i
iІ
––
=
iІ
i
olup, ispat tamamlanmış olur.
Uyarı 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) İki soft 𝛽-açık kümenin kesişiminin soft 𝛽-açık
olması gerekmez.
29
Örnek 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = {x1, x2} ve E = {e1, e2} olmak üzere;
aşağıdaki gibi tanımlanan (F1, E), (F2, E) ve (F3, E), X üzerinde soft kümeler olsunlar.
F1(e1) = {x1}
F1(e2) = {x2}
F2(e1) = { x1, x2}
F2(e2) = {x2}
F3(e1) = {x1}
F3(e2) = { x1, x2}
Bu durumda;
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E)}
τ = {Φ, Χ
ailesi, X üzerinde bir topoloji oluşturur.
Şimdi, X üzerinde, (G, E) = {{x2}, {x2}} ve (H, E) = {{x1, x2}, { x1}} soft kümelerini
göz önüne alalım;
 olduğundan, (G, E) 
 (G, E) –  – olup, (G, E) soft 𝛽-açıktır.
(G, E) –  – = Χ
 olduğundan, (H, E) 
 (H, E) –  – olup, (H, E) soft 𝛽-açıktır.
(H, E) –  – = Χ
 (H, E) = {{x2}, Ø} = (K, E) olup, (K, E) –  – = Φ olur. Yani;
Fakat (G, E) 
 (K, E) –  – elde edilir ki, bu da bize, iki soft 𝛽-açık kümenin kesişiminin soft
(K, E) 
𝛽-açık olması gerekmediğini gösterir.
Önerme 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Soft 𝛽-kapalı kümeler ailesi, keyfi kesişime
göre kapalıdır.
Ġspat. Her i  I için( I ={1,2,3…..}), (Fi, E)  S𝛽-C(X) olsun. Bu durumda; ∀ i  I için,
 (F , E) – 
(Fi, E) 
i

 F , E

i
iI


=


  F , E  – 

i
iI


   F , E 
   F , E
  F , E  –

i

iI

iI
–
i
–
=
olup, ispat tamamlanmış olur.
iI
i
30
Aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi; iki soft 𝛽-kapalı kümenin birleşiminin
soft 𝛽-kapalı küme olması gerekmez.
Örnek 3.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = {x1, x2} ve E = {e1, e2} olmak üzere;
aşağıdaki gibi tanımlanan (F1, E), (F2, E) ve (F3, E), X üzerinde soft kümeler olsunlar.
F1(e1) = {x1}
F1(e2) = {x2}
F2(e1) = {x1, x2}
F2(e2) = {x2}
F3(e1) = {x1}
F3(e2) = {x1, x2}
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E)} ailesi, X üzerinde bir topoloji
Bu durumda; τ = {Φ, Χ
oluşturur. Şimdi, (X, τ, E) soft uzayı üzerinde, aşağıdaki gibi tanımlanan (G, E) ve
(H, E) soft kümelerini tanımlayalım.
G(e1) = {x1}
G(e2) = {x1}
H(e1) = ∅
H(e2) = {x2}
Bu durumda; (G, E) ve (H, E), X üzerinde iki soft 𝛽-kapalı kümedir. Fakat, bu soft
 (H, E) = {{x1},{x1, x2}} soft kümesi, X üzerinde bir
kümelerin birleşimi olan (G, E) 
soft 𝛽-kapalı küme değildir.
Teorem 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Soft semi-kapalı olan her soft 𝛽-açık küme,
soft semi-açıktır.
 (F, E) –  – ve
Ġspat. (F, E)  S𝛽-O(X)  (F, E) 
 (F, E) şeklindedir. Bu durumda,
(F, E)  Ss-C(X)  (F, E) –  
 (F, E) 
 (F, E) –  – yazılabilir. (F, E) –  = (U, E) bir soft açık küme
(F, E) –  
 (F, E) 
 (U, E) – yazabiliriz. O halde (F, E) bir soft semi-açık
olduğundan (U, E) 
kümedir.
Sonuç 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Eğer bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı
üzerindeki bir (F, E) soft kümesi, soft 𝛽-kapalı ve soft semi-açık ise; bu durumda (F, E),
soft semi-kapalıdır.
31
Önerme 3.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) ayrık olmayan soft topolojik
uzayındaki her soft 𝛽-açık küme, soft pre-açıktır.
Ġspat. Eğer (F, E) = Φ ise; bu durumda (F, E), bir soft 𝛽-açık ve soft pre-açık kümedir.
 (F, E) –  – = X
 = (F, E) –  olur ki, bu
(F, E)  Φ olsun, (F, E)  S𝛽-O(X)  (F, E) 
durumda (F, E), bir soft pre-açık kümedir.
Teorem 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki bir
(F, E) soft kümesinin soft 𝛽-kapalı olması için gerek ve yeter şart
 (F, E) –  (F, E)
  (F, E) – )–  (X
  (F, E) – ) 
(X
olmasıdır.
 (F, E) –  (F, E)
  (F, E) – )–  (X
  (F, E) – ) 
(X
Ġspat.
 (F, E) –  (F, E)
  (F, E) –  )  (X
  (F, E) – ) 
 (X
 (F, E) – 
 (F, E) –  (F, E)
  (F, E) –  ) 
 (X

 (F, E) –   (F, E)  –  
 (F, E) –  
 (F, E) –  (F, E)
  X



 (F, E) –  (F, E)
 (F, E) –  (F, E)  –  
 (F, E) – 
 (F, E) 
 (F, E) soft 𝛽-kapalıdır.
Teorem 3.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Her soft 𝛽-açık ve soft α -kapalı küme, soft
kapalıdır.
 (F, E) –  – dir.
Ġspat. (F, E)  S𝛽-O(X) olsun. Bu durumda, (F, E) 
 (F, E) dir. Buradan
(F, E)  Sα -C(X) olduğundan; (F, E) –  – 
 (F, E) 
 (F, E) –  – yazılır ki bu durumda, (F, E) = (F, E)–  – olduğundan;
(F, E) –  – 
(F, E), soft kapalı kümedir.
Sonuç 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Her soft 𝛽-kapalı ve soft α -açık küme, soft
açıktır.
32
4. SOFT 𝛽-SÜREKLĠ DÖNÜġÜMLER
4.1. Soft 𝛽-Süreklilik
Tanım 4.1.1 (Bayramov, Aras, 2013) (F, E), X üzerinde bir soft küme olsun. Eğer her
e  E için, F(e) = {x} ve her e '  E - {e} için, F( e ' ) = ∅ ise; (F, E) ye, soft nokta denir
ve (xe, E) şeklinde tanımlanır.
Şimdi soft 𝛽-açık kümeleri kullanarak soft 𝛽-süreklilik kavramını tanımlayalım.
Tanım 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) ve (Y, τ ' , E) iki soft topolojik uzay
olsunlar. Bir f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) fonksiyonu;
(i) (Mahanta, Das, 2012) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için,
f 1 (G, E), (X, τ, E) de bir soft semi-açık küme ise; soft semi-sürekli olarak,
(ii) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f 1 (G, E), (X, τ, E) de
bir soft pre-açık küme ise; soft pre-sürekli olarak,
(iii) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f 1 (G, E), (X, τ, E)
de bir soft α -açık küme ise; soft α -sürekli olarak,
(iv) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f 1 (G, E), (X, τ, E) de
bir soft 𝛽-açık küme ise; soft 𝛽-sürekli olarak,
(v) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft 𝛽-açık kümesi için, f 1 (G, E), (X, τ, E)
de bir soft 𝛽-açık küme ise; soft 𝛽-irresolute olarak, adlandırılır.
Soft 𝛽-sürekli fonksiyonların sınıfı, soft semi-sürekli ve soft pre-sürekli
fonksiyonların kümesini içerir.
33
Soft sürekliliğin diğer türleri ve bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki tabloda
verilmiştir.

Soft süreklilik

Soft α-süreklilik
Soft semi-süreklilik

 (1)
Soft pre-süreklilik
(2) 
Soft 𝛽-süreklilik
Aşağıdaki örneklerde, (1) ve (2) gerektirmelerinin terslerinin genelde doğru olmadığı
gösterilmiştir.
Örnek 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Y = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} olarak
verilsin. Ayrıca X üzerinde soft ayrık olmayan topoloji ve Y üzerinde de soft ayrık
topoloji tanımlansın. Eğer ,
f (x1) = x2,
f (x2) = x1,
f (x3) = x3
olacak şeklide f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) fonksiyonu tanımlanırsa; bu durumda, f bir
soft 𝛽-sürekli fonksiyon fakat, f bir soft semi-sürekli fonksiyon değildir.
Örnek 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Y = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} olarak
verilsin. Bu durumda
F1(e1) = {x1}
F1(e2) = {x1}
F2(e1) = {x2}
F2(e2) = {x2}
F3(e1) = {x1, x2}
F3(e2) = {x1, x2}
ve
G1(e1) = {x1}
G1(e2) = {x1}
G2(e1) = {x1, x2}
G2(e2) = {x1, x2}
şeklinde tanımlanan soft kümeler için,
 , (F1, E), (F2, E), (F3, E)} ve τ '  {Φ, Y
 , (G1, E), (G2, E)} aileleri, sırasıyla;
τ  {Φ, Χ
X ve Y üzerinde bir soft topoloji oluştururlar. Eğer,
f (x1)  x2,
f (x2)  x3,
f (x3)  x2
olacak şeklide f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) fonksiyonunu alırsak; bu durumda, f, bir
soft 𝛽-sürekli fonksiyondur, fakat; f bir soft pre-sürekli fonksiyon değildir. Çünkü
f 1 (G2, E) ={{x1, x3},{x1, x3}} soft kümesi, X üzerinde bir soft pre-açık küme değildir.
34
Şimdi soft 𝛽-sürekliliğin bazı karakterizasyonlarını verelim.
Teorem 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) bir soft fonksiyon
olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
(i) f, soft 𝛽-süreklidir.
(ii) X üzerindeki her bir (xe, E) soft noktası ve f (xe, E) = (f (xe), E) yi içeren Y
 (G, E) olacak şekilde X üzerinde
de ki her bir (G, E) soft açık kümesi için, f (F, E) 
(xe, E) yi içeren bir (F, E) soft 𝛽-açık kümesi vardır.
(iii) Y deki her bir soft kapalı kümenin ters görüntüsü, X de soft 𝛽-kapalıdır.
(iv) Y deki her bir (G, E) soft kümesi için,  f 1 (G, E) 
–
 f 1  (G, E) –  dir.

  f (F, E)  – dir.
(v) X deki her bir (F, E) soft kümesi için, f  (F, E) –   
Ġspat.
 Y soft açık küme olduğundan,
(i)  (ii) f (xe, E) = (f (xe), E) yi içeren (G, E) 
f 1 (G, E)  S𝛽-O(X) dir. f 1 (G, E) = (F, E) soft 𝛽-açık kümesi, (xe, E) yi içerir ve
 (G, E) dir.
böylece; f (F, E) 


  (G, E)  S.O(Y) dir.
(i)  (iii) (G, E)  S.C(Y) olsun. Bu durumda; Y


  (G, E)  S𝛽-O(X) dir. Böylece;
f , soft 𝛽- sürekli olduğundan; f 1 Y
 X  f
1

(G, E)  S𝛽-O(X) elde edilir. Bu durumda; f 1 (G, E)  S𝛽-C(X) yazılır.
(iii)  (iv) (G, E), Y üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda;
f 1  (G, E) –   S𝛽-C(X) dir. O halde;

f 1  (G, E) –  
 f  (G, E) 
1
–
–


f
1
(G, E) 
–
35
(iv)  (v) (F, E), X üzerinde bir soft küme ve f (F, E) = (G, E) olsun. Bu
durumda; (iv) e göre,
 f  f (F, E) 
–
1
 f 1

 f (F, E)   (F, E)
–
–
 f 1


 f  (F, E) –   
 f (F, E) 
–
 f (F, E) 
–
  (G, E) ve (F, E) = f 1 (H, E) olsun.
(v)  (i) (G, E)  S.O(Y), (H, E) = Y
(v) e göre; f
f
1
(H, E) 
 f
–
1
(H, E) 
–



ff
1
(H, E) 

–
 (H, E) – = (H, E) dir. Böylece,

 f 1 (H, E) dir. Bu durumda; f 1 (H, E)  S.𝛽.C(X) dir. O halde;

(iii) e göre, f soft 𝛽-sürekli fonksiyondur.
Uyarı 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) İki soft 𝛽-sürekli fonksiyonun bileşkesinin soft
𝛽-sürekli olması gerekmez. Bu durum aşağıdaki örnekle gösterilmiştir.
Örnek 4.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Z = {x1, x2, x3}, Y = {x1, x2, x3, x4} ve
E = {e1, e2} olarak verilsin. Bu durumda
F(e1) = {x1}
F(e2) = {x1}
G(e1) = {x1, x3}
G(e2) = {x1, x3}
H1(e1) = {x3}
H1(e2) = {x3}
H2(e1) = {x1, x2}
H2(e2) = {x1, x2}
ve
şeklinde tanımlanan soft kümeler için,
 , (H1, E), (H2, E)}aileleri,
 , (F, E)}, τ ' = {Φ, Y
 , (G, E)} ve τ '' = {Φ, Z
τ = {Φ, Χ
sırasıyla; X, Y ve Z üzerinde bir soft topoloji oluştururlar.
Şimdi, I : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) birim fonksiyonunu ve
f (x1) = x1,
f (x2) = f (x4) = x2,
f (x3) = x3
olacak şeklide f : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E) fonksiyonunu alalım. I ve f fonksiyonlarının
her biri, soft 𝛽-sürekli fonksiyondur fakat; f o I fonksiyonu, soft 𝛽-sürekli değildir.
Çünkü (f o I)-1(H1, E) ={{x3},{x3}} soft kümesi, X üzerinde soft 𝛽-açık küme değildir.
36
Tanım 4.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Eğer f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) fonksiyonu,
soft 𝛽-sürekli(soft 𝛽-irresolute) birebir, örten ve f -1: (Y, τ ' , E) ⟶ (X, τ, E) fonksiyonu
da, bir soft 𝛽-sürekli(soft 𝛽-irresolute) ise; f, soft 𝛽-homeomorfizm(soft 𝛽rhomeomorfizm) olarak isimlendirilir.
Şimdi biz (Y, τ ' , E) soft uzayı yerine, (X, τ, E) soft uzayını alarak aşağıdaki
tanımı verebiliriz.
Tanım 4.1.4 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için, aşağıdaki
iki fonksiyon kümesini tanımlayalım:
S𝛽-h(X, τ, E) = { f | f : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) soft 𝛽-sürekli birebir örten,
f -1: (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) fonksiyonu da bir soft 𝛽-sürekli}
S𝛽r-h(X, τ, E) = { f | f : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) soft 𝛽-irresolute birebir örten,
f -1: (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) fonksiyonu da bir soft 𝛽-irresolute}
Teorem 4.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için,
 S𝛽r-h(X, τ, E) 
 S𝛽-h(X, τ, E)
S-h(X, τ, E) 
dir. Burada
S-h(X, τ, E) ={ f | f : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) soft-homeomorfizm}
dır.
Ġspat. İlk olarak; her f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) soft homeomorfizminin
soft 𝛽r-homeomorfizm olduğunu gösterelim. (G, E)  S.𝛽.O(Y) olsun. Bu durumda;
 (G, E) –  – dir. Böylece; f 1 (G, E) 

(G, E) 
f 1  (G, E) –  –  =
f
1
(G, E) 
––
yazılabilir, bu durumda; f 1 (G, E)  S.𝛽.O(X) elde edilir. O halde; f , soft 𝛽-irresolute
fonksiyondur. Benzer yöntemle;
f 1 fonksiyonun da, soft 𝛽-irresolute olduğu
 S𝛽r-h(X, τ, E) olduğu gösterilmiş olur.
gösterilebilir. O halde; S-h(X, τ, E) 
 S𝛽-h(X, τ, E) dir çünkü; her soft 𝛽-irresolute
Son olarak, S𝛽r-h(X, τ, E) 
fonksiyon, soft 𝛽-sürekli fonksiyondur.
37
Teorem 4.1.4 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için,
S𝛽r-h(X, τ, E) kümesi fonksiyonların bileşkesi işlemi altında bir grup oluşturur.
Ġspat. Eğer f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) ve g : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E), iki
soft 𝛽r-homeomorfizm ise, bu durumda bunların bileşkesi olan
gof : (X, τ, E)⟶ (Z, τ '' , E) fonksiyonu da, soft 𝛽r-homeomorfizmdir. Açıktır ki;
f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) bir soft 𝛽r-homeomorfizmi için,
f
-1
: (Y, τ ' , E) ⟶ (X, τ, E) ve 1 : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) birim fonksiyonu da,
soft 𝛽r-homeomorfizmdir. g, h  S𝛽r-h(X, τ, E) ve (h o g) de, g ile h nin bileşke
fonksiyonu olmak üzere;
α : S𝛽r-h(X, τ, E)  S𝛽r-h(X, τ, E) → S𝛽r-h(X, τ, E), α ( g, h) = h o g
şeklindeki ikili işlem, iyi tanımlıdır. Yukarıdaki özellikler yardımıyla, S𝛽r-h(X, τ, E)
kümesinin, fonksiyonların bileşkesi işlemi altında bir grup oluşturduğu görülür.
Teorem 4.1.5 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki
tüm soft homeomorfizmlerin kümesi olan S-h(X, τ, E) grubu, S𝛽r-h(X, τ, E) grubunun
bir alt grubudur.
Ġspat. Herhangi g, h  S-h(X, τ, E) için, α (g, h-1) = h-1o g  S-h(X, τ, E) ve
1X  S-h(X, τ, E)  ∅ şeklindedir. Bu durumda 4.1.3 Teorem ve 4.1.4 Teorem
kullanılarak S-h(X, τ, E) nin, S𝛽r-h(X, τ, E) grubunun bir alt grubu olduğu kolaylıkla
görülebilir.
Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için, eğer (X, τ, E)  (Y, τ ' , E)
homeomorfizmi varsa; bu durumda, S𝛽r-h(X, τ, E)  S𝛽r-h(X, τ, E) grup izomorfizması
vardır.
Sonuç 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) ve
g : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E) şeklinde iki fonksiyon olsun.
(i) f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) bir soft 𝛽r-homeomorfizm olsun. Bu durumda;
herhangi bir g  S𝛽r-h(X, τ, E) için f (g) = f o g o f -1 şeklinde tanımlanan bir
f : S𝛽r-h(X, τ, E) ⟶ S𝛽r-h(X, τ, E) izomorfizması vardır.
38
(ii) f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) ve g : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E) iki
soft 𝛽r-homeomorfizmi için,
( gof ) = gof : S𝛽r-h(X, τ, E) ⟶
S𝛽r-(Z, τ '' , E)
fonksiyonu sağlanır.
(iii) 1X : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) birim fonksiyonu için,
(1X ) = 1 : S𝛽r-h(X, τ, E) ⟶ S𝛽r-h(X, τ, E) fonksiyonu sağlanır. Burada 1, birim
izomorfizmayı tanımlar.
Ġspat. Aşikardır.
39
5. SONUÇ VE ÖNERĠLER
5.1. Sonuçlar
Bu tez çalışmasında, ilk olarak; soft küme ve soft topoloji hakkında literatürde
yer alan ve özellikle bizim çalışmalarımızda yardımcı olacak kavramlar gösterilmiş ve
bunların daha iyi anlaşılması için çeşitli örnekler verilmiştir. Daha sonra, tezimizin
temel konusu olan soft beta açık küme kavramı verilip, bu kavramla diğer soft açık
küme çeşitleri arasındaki ilişkiler incelenmiştir.
Son bölümde ise, soft beta-sürekli fonksiyon ve soft beta-irresolute fonksiyon
kavramı verilmiş ve soft beta-sürekli fonksiyonun diğer soft süreklilik çeşitleriyle olan
ilişkileri gösterilmiştir. Ayrıca; soft beta-homeomorfizm ve soft beta irresolutehomeomorfizm kavramları tanımlanıp, aynı soft topolojik uzaylar arasında tanımlanan
tüm soft beta irresolute-homeomorfizma fonksiyonların kümesinin fonksiyonların
bileşke işlemi altında bir grup oluşturduğu gösterilmiştir.
5.2. Öneriler
Çalışmamızda; soft beta-açık kümelerle alakalı bazı yeni karakterizasyonlar ve
süreklilikle ilgili çalışmalar yapılmıştır. Yine aynı küme çeşidi kullanılarak genel
topolojide mevcut olan bağlantılılık, kompaktlık, ayırma aksiyomları gibi konular
üzerine çalışılabilir.
40
KAYNAKLAR
Andrijević, D., Ganster, M., 1987, A note on the topology generated by preopen sets,
Math. Vesnik, 39, 115-119.
Andrijević, D., 1987, On the topology generated by preopen sets, Math. Vesnik, 39,
367-376.
Aktaş, H., Çağman, N., 2007, Soft sets and soft group, Information Science, 177, 27262735.
Ali, M. I., Feng, X.Y., Liu, W.K., Shabir, M., 2009, On some new operations in soft set
theory, Computers and Mathematics with Applications,, 57, 1547-1553.
Arockiarani, I., Lancy, A. A., 2013, Generalized soft g β-closed sets and soft gsβ-closed
sets in soft topological spaces, International Journal of Math. Archive, 4, 1-7.
Bashir, A., Sabir, H., 2012, On some structures of soft topology, Ahmad and Hussain
Mathematical Sciences, 62, 64.
Bayramov, S., Aras, C. G, 2013, Soft locally compact and soft paracompact spaces,
Journal of Mathematics and System Science, 3, 122-130.
Chen, B., 2013, Some local properties of soft semi-open sets, Discrete Dynamics in
Nature and Society, Article ID 298032, 6.
Chen, B., 2013, Soft semi-open sets and related properties in soft topological spaces,
Applied Mathematics and Information Sciences, 7, 287-294.
Çağman, N., Karataş, S., Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Comput. and Math with
Appl, 62.1, 351-358.
El-Deeb, N., Hasanein, I.A., Mashhour, A.S, Noiri, T., 1983, On p-regular spaces, Bull.
Math. ,4, 311-315.
Feng, F., Jun, Y.B., Zhao, X.Z., 2008, Soft semirings, Computers and Mathematics with
Applications, 56, 2621-2628.
Kannan, K., 2012, Soft generalized closed sets in soft topological spaces, Journal of
Theoretical and Applied Information Tecnology, 37(1).
Mashhour, A.S., Abd El- Monsef, M.E., El-Deep, S.N., 1982, On precontinuous and
weak precontinuous, Proc. Math. Phys. Soc. Egypt. Vol. 53, 47-53.
Mashhour, A.S., Abd El- Monsef, M.E., Hasanein, I.A., 1984, On pretopological
spaces, Bull. Math., 76, 39-45.
Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-First results, Computers and Mathematics with
Applications, 37, 19-31.
41
Maji, P. K., Biswas, R., Roy, A. R., 2003, Soft set theory, Computers and Mathematics
with Applications, 45, 555-562.
Mahanta, J., Das, P. K., 2012, On soft topological space via semiopen and semiclosed
soft sets, arXiv: 1203.4133.
Navalagi, G.B., 1998, Pre-neighbourhoods, Mathematics Education-India, 32, 201-206.
Pie, D., Miao, D., 2005, From soft sets to information systems, Granular computing,
IEEE Inter. Conf., 2, 617-621.
Stine, J., Mielke, M.V., 2008, Pre-hausdorff spaces, arXiv preprint arXiv, 1175.
Shabir, M., Ali, M.I., 2009, Soft ideals and generalized fuzzy ideals in semigrups, New
Math. Nat. Comput., 5, 599-615.
Sabir, H., Bashir, A., 2011, Some properties of soft topological spaces, Computers and
Mathematics with Applications, 62, 4058-4067.
Shabir, M., Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics
with Applications, 61, 1786-1799.
Yumak, Y., Kaymakcı, A.K., 2013, Soft beta open sets and their applications,
arXiv:1312.6964v1.
Zou, Y., Xiao, Z., 2008, Data analysis approaches of soft sets under incomplete
information, Knowl.-Based Syst., 21, 941-945.
42
ÖZGEÇMĠġ
KĠġĠSEL BĠLGĠLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve Tarihi
Telefon
Faks
e-mail
:
:
:
:
:
:
Yunus YUMAK
T.C
Ereğli / 25.02.1981
05055679593
[email protected]
EĞĠTĠM
Derece
Lise
Üniversite
Tezsiz Yüksek
Lisans
Adı
Ereğli Lisesi
Atatürk
Ġlçe
Ereğli
Yakutiye
Ġl
Konya
Erzurum
Bitirme Yılı
1998
2003
Atatürk
Yakutiye
Erzurum
2005
Ġġ DENEYĠMLERĠ
Yıl
2010-2012
2012-
Kurum
Muş Alparslan Üniversitesi
Selçuk Üniversitesi
Görevi
Araştırma Görevlisi
Araştırma Görevlisi
UZMANLIK ALANI: Topoloji
YABANCI DĠLLER: Ġngilizce
ÇALIġMALAR
1. Y. Yumak, A. K. Kaymakcı, 2013, Soft beta open sets and their applications,
"The 2nd Abu Dhabi University Annual International Conference" Abu Dhabi,
UAE(Yüksek lisans tezinden)