No: Ad-Soyad: mza: 1104023082006 GENEL TOPOLOJ

16.06.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
1104023082006 GENEL TOPOLOJ-II FNAL SORULARI CEVAP ANAHTARI
(.Ö.)
Not: Süre
1.
X
ve
Y
90
Dakika. stedi§iniz
topolojik uzaylar olsun. E§er
f : X −→ Y
7
soruyu cevaplaynz.
örten dönü³ümü sürekli ve kapal ise
f
nin
identikasyon dönü³üm oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
f
f : X −→ Y
identikasyon dönü³üm
(⇒:) f
dan
:⇔ (∀V ⊂ Y, Y
de açk
⇔ f −1 (V ), X
de açktr.)
sürekli oldu§undan a³ikardr.
(⇐:) f −1 (V ), X
de açk olsun. Bu durumda
f (f −1 (V )c ) = (f f −1 (V ))c , Y
dir. O halde
2.
örten, sürekli ve kapal dönü³üm olsun.
τs , R
V, Y
f −1 (V )c , X
de kapaldr.
p
de kapaldr.
f
kapal dönü³üm oldu§un-
örten dönü³üm oldu§undan
(f f −1 (V ))c = V c
de açktr.
üzerinde standart topoloji olmak üzere
R
üzerinde yeni bir
τ = {U ⊆ R : U ∈ τs
ya
da
topolojisi tanmlansn. Bu durumda yeni topolojiye göre
U ⊂ Q}
R
uzaynn
T2 -uzay
oldu§unu gösteri-
niz.
Cevap :
τ
topolojisi,
R
üzerinde standart topolojideki tüm açk kümeleri içerece§inden standart
topolojide sa§lanan tüm ayrma aksiyomlar bu topoloji için de sa§lanacaktr. Buna göre standart topolojiye göre
R
uzay
T2 -uzay
oldu§undan
τ
topolojisine göre
R
yine
T2 -uzay
olacaktr.
3.
Z+
pozitif tamsaylar kümesi üzerinde
A ⊂ Z+
açk
⇐⇒ p
tek say iken
Z+
ile tanml Hjalmar-Ekdal topolojik uzayna göre
p∈A
uzaynn
ise
p+1∈A
T1 -uzay
olup olmad§n belirle-
yiniz.
Cevap : Bu uzaya göre
1 ∈ Z+
noktasn içeren en küçük
noktasn içermeyen açk bulunamaz. Bu nedenle uzay
4. Sol topolojiye göre
Cevap :
R
{1, 2}
T1 -uzay
olaca§ndan
1
noktasn içerip
2
de§ildir.
nin regüler uzay olmad§n ispatlaynz.
τsol = {∅, R, (−∞, a) : a ∈ R}
topolojisinin kapallar snf
Ksol = {∅, R, [a, ∞) : a ∈ R}
K = [a, ∞)
³eklindedir. Bu durumda uzaydan alnacak her
açk küme
5.
R
olaca§ndan sol topolojiye göre
R
kapal kümesi için
K
y içeren tek
regüler uzay olamaz.
R üzerinde sonlu tümleyenler topolojisi tanml iken R uzaynn Lindelöf uzay olup olmad§n
belirleyiniz.
Cevap : Sonlu tümeleyenler topolojisine göre
R
nin Lindelöf uzay oldu§unu gösterelim. Sonlu
tümleyenler topolojisinin açklar
τsonlu = {A ⊆ R : Ac
sonlu
} ∪ {∅}
³eklindedir.
R=
[
Gα
α∈I
olacak ³ekilde key
U = {Gα : Gα ⊂ R
}
açk
açk örtüsünü alalm. Buna göre
R = Gα0 ∪ Gcα0
³eklinde yazlabilir.
G α0
açk oldu§undan
Gcα0
sonlu bir kümedir.
Gcα0 = {x1 , x2 , ..., xn }
oldu§unu kabul edelim.
i = 1, 2, ..., n
için
xi ∈ R
oldu§undan
∃αi , xi ∈ Gαi ∈ U
α0 ∈ I
için
vardr. Buna göre
R = Gα0 ∪ Gα1 ∪ Gα2 ∪ ... ∪ Gαn
sonlu (saylabilir) sayda açklarn birle³imi ³eklinde yazlabilir. O halde
R uzay Lindelöf uzaydr.
6. kinci saylabilir uzaylarn sürekli fonksiyon altndaki görüntüsü de ikinci saylabilir uzay mdr? spatlaynz ya da çürütünüz.
Cevap :
§undan
τd
ve
(R, τd )
τs , R
üzerinde srasyla ayrk ve standart topoloji olsun.
R
uzay saylamaz oldu-
uzay ikinci saylabilir uzay de§ildir. Ayrca standart topolojiye göre
R
nin
B = {(p, q) : p ∈ Q}
saylabilir baz mevcut oldu§undan
(R, τs )
ikinci saylabilir uzaydr.
id : (R, τd ) −→ (R, τs ), id(x) = x
birim dönü³ümünü ele alalm. Bu dönü³üm örtendir ve tanm kümesi ayrk oldu§undan süreklidir. Bu da ikinci saylabilir uzay olma özelli§inin sürekli dönü³üm altnda korunmad§na bir
örnektir.
7.
I ⊂ R irasyonel saylar kümesi üzerinde ayrk topoloji tanml iken I
uzaynn ayrlabilir uzay
olma durumunu inceleyiniz.
Cevap :
I ⊂R
irasyonel saylar kümesi üzerinde ayrk topoloji tanml olsun. Ayrk topolojide
tüm alt kümeler hem açk hem de kapal olaca§ndan
I
da saylabilir bir
D⊂I
alt kümesinin
kapan³
D=D
olacaktr. O halde bu uzay ayrlabilir uzay de§ildir.
8.
X
ve
Y
topolojik uzaylar olsun.
X ×Y
çarpm uzay kompakt iken
X
ve
Y
uzaylarnn da
kompakt uzay oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
X
ve
Y
kompakt uzaylar oldu§undan
X ×Y
çarpm uzay da kompaktr.
π1 : X × Y −→ X, (x, y) 7→ x
birinci izdü³üm fonksyonunu ele alalm. zdü³üm fonksiyonlar sürekli ve örten oldu§undan ve
kompaktlk sürekli fonskiyonlar altnda korundu§undan
π1 (X × Y ) = X
de kompaktr. Benzer ³ekilde
π1 : X × Y −→ X, (x, y) 7→ y
ikinci izdü³üm fonksiyonu yardmyla
9. Bo³tan farkl bir
X
Y
kümesi üzerinde
nin de kompakt uzay oldu§u görülebilir.
p∈X
olmak üzere
τ = {X} ∪ {A ⊂ X : p ∈
/ A}
topolojisi tanml olsun. Bu durumda
Cevap :
durumda
bir
X =
p
α0 ∈ I
S
α∈I
Gα
X
olacak ³ekilde
uzaynn yerel kompakt uzay oldu§unu gösteriniz.
U = {Gα : Gα ⊂ X
noktasn içeren tek açk küme
X
}
açk
açk örtüsünü alalm. Bu
uzaynn kendisi olaca§ndan bu açk örtüde en az
için
G α0 = X
olmak zorundadr. Böylece
10.
N⊂R
N
uzay kompakt oldu§undan yerel kompaktr.
alt kümesi üzerinde
tanml olsun.
Cevap :
X
N
R
üzerindeki standart topolojiden indirgenen alt uzay topolojisi
nin limit nokta kompaktl§n inceleyiniz.
uzay üzerinde,
polojiyi verir. Buna göre
bo³ küme oldu§undan
N
N
R
deki standart topolojiden indirgenen alt uzay topolojisi ayrk to-
uzaynda her sonsuz
A⊆N
kümesinin y§lma noktalarnn kümesi
uzay limit nokta kompakt uzay de§ildir.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA