PASİF FİLTRE DEVRELERİNİN s-DOMENİNDE ANALİZİ Prof. Dr

PASİF FİLTRE DEVRELERİNİN s-DOMENİNDE ANALİZİ
Prof. Dr. Herman Sedef, 26/05/2010
Aşağıda 2. dereceden (bikuadratik) pasif RLC filtre devreleri verilmiştir.
1. Bu devrelerin analizini yaparak açık devre gerilim transfer fonksiyonlarının
Hv(s)=Vout(s)/Vin(s)=G(s) olduğunu gösteriniz.
2. Bulduğunuz Hv(s) transfer fonksiyonlarının derecesini, kutup ve sıfırlarını belirleyiniz. Kutup-Sıfır
Haritasını (Pole-Zero Map) çiziniz.
3. Devrelerin Δ(s) karakteristik polinomlarını bulunuz ve kararlılığını inceleyiniz.
4. Devrelerin girişine sırasıyla birim basamak vin(t)=u(t), birim impuls vin(t)=δ(t) ve vin(t)=1cos(1t+0°)
sinüzoidal fonksiyonu uygulanması halinde vout(t) çıkış gerilimlerini sırasıyla bulunuz.
5. Sinüzoidal sürekli hal için (SSH, s→jω) gerilim transfer fonksiyonunun |Hv(jω)| genlik ve faz
∠Hv(jω) fonksiyonlarını bulunuz. Bode diyagramlarını çiziniz. Başka bir deyişle, devrelerin frekans
yanıtlarını (0≤ω≤∞) bulunuz.
6. Devrelerin girişine vin(t)=1cos(1t+0°) V sinüzoidal fonksiyon uygulanması halinde, SSH için
fazörlerden yararlanarak vout(t) çıkış gerilimlerini bulunuz.
NOTLAR:
1. Transfer fonksiyonlarını bulurken devredeki tüm dinamik elemanların (L ve C) başlangıç koşullarını
sıfırlamayı unutmayınız ( vC(0-)=0, iL(0-)=0)
2. Her bir devre iki tane seri eşdeğer empedanstan oluşmuş gerilim bölücü devre olarak düşünülebilir.
3. Sayısal uygulama için her bir devrenin eleman değerlerini R=1.5 Ω, L=2 H ve C=2F olarak alınız.
E(s)
Giriş
(Blok Gösterilim)
Lineer Dinamik
Sistem veya Devre
H(s)
Y(s)
Çıkış
E(s): Giriş Büyüklüğü, Y(s): Çıkış Büyüklüğü
H(s)=Y(s)/E(s) Sistemin Transfer Fonksiyonu
Y(s)=H(s)⋅E(s) Çıkış Büyüklüğü
Giriş e(t)=δ(t) birim impuls ise, E(s)=1 olacağından çıkış büyüklüğü transfer fonksiyonuna eşit olur
Y(s)=H(s)
Vin
Giriş
(2-Kapılı)
RLC Filtre
Devresi
Hv(s)=G(s)
+
Vout
-
Çıkış
Vin(s): Giriş Büyüklüğü, Vout(s): Çıkış Büyüklüğü
Hv(s)=Vout(s)/Vin(s) Devrenin Gerilim Transfer Fonksiyonu
Vout(s)= Hv(s)⋅Vin(s) Devrenin Çıkış Gerilimi
PARALEL TOPOLOJİ ALÇAK GEÇİREN RLC FİLTRENİN
MATHCAD İLE ANALİZİ
R :=
3
L := 2
2
C := 2
1
L⋅ C
Hv( s ) :=
1
2
s +
2
Δ ( s ) := s +
R⋅ C
1
R⋅ C
1
⋅s +
⋅s +
Hv( s ) →
Gerilim Transfer Fonksiyonu
1
2
4⋅ s +
L⋅ C
1
⎡⎢ 1 ⎛ 2 ⎞ ⎥⎤
− −⎜
⎟ ⋅j
6 ⎝ 3 ⎠ ⎥
⎢
Δ ( s ) solve , s →
⎢ 1 1
⎥
⎢ − 6 + 3 ⋅ 2⋅ j ⎥
⎣
⎦
3
2
+1
Δ ( s ) simplify → s +
Karakteristik Polinom
L⋅ C
4⋅ s
s
3
+
1
4
Karakteristik Denklemin Kökleri olup devre Asimptotik Kararlıdır.
Birim Basamak Yanıtı
u ( t) := Φ( t)
Birim Basamak Fonksiyonu
vin( t) := u ( t)
Vout( s ) := Hv( s ) ⋅ Vin( s )
Vout( s ) →
−
2⋅ e
s ⋅ ⎛⎜ 4⋅ s +
vout ( t) := Vout( s ) invlaplace → 1 −
2
⎝
t
6
Vin( s ) := vin( t) laplace →
1
4⋅ s
3
+ 1⎞⎟
⎠
⎛ 2⋅ t ⎞
t
⎟ −
⎝ 3 ⎠ − e 6 ⋅ cos ⎛ 2⋅ t ⎞
⎜
⎟
4
⎝ 3 ⎠
⋅ sin ⎜
Birim Basamak Yaniti
2
1.5
vout ( t ) 1
0.5
0
0
20
40
60
t
80
100
Birim Basamak Yanıtı
1
s
Birim İmpuls Yanıtı
δ( t) :=
d
u( t)
dt
Birim İmpuls Fonksiyonu
vin ( t) := δ( t)
Vin( s ) := vin( t) laplace → 1
Vout( s ) := Hv( s ) ⋅ Vin( s )
Vout( s ) →
1
2
4⋅ s +
−
3⋅ 2⋅ e
vout ( t) := Vout( s ) invlaplace →
4⋅ s
3
Vout(s)=Hv(s) dir
+1
t
6
⎛ 2⋅ t ⎞
⎟
⎝ 3 ⎠
⋅ sin ⎜
Birim İmpuls Yanıtı
8
Birim Impuls Yaniti vout(t)=h(t)
0.4
0.2
vout ( t )
0
− 0.2
− 0.4
0
20
40
60
80
100
t
NOT: Birim impuls yanıtının Laplace Dönüşümü, Transfer fonksiyonuna eşittir. Vout(s)=Hv(s) dir
Sinüzoidal Yanıtı
Vin( s ) := vin( t) laplace →
vin ( t) := 1⋅ cos ( 1⋅ t)
s
2
s +1
Vout( s ) →
Vout( s ) := Hv( s ) ⋅ Vin( s )
s
(s 2 + 1)⋅⎛⎜ 4⋅s 2 + 4⋅s + 1⎞⎟
⎝
3
−
vout ( t) := Vout( s ) invlaplace →
12⋅ sin ( t)
97
−
27⋅ cos ( t)
97
27⋅ e
⎠
t
6
+
⎛
⎟ 45⋅ 2⋅ e
⎝ 3 ⎠ −
⋅ cos ⎜
97
2⋅ t ⎞
Sinüzoidal GirisYaniti
0.4
0.2
vout ( t )
0
− 0.2
− 0.4
0
20
40
60
t
80
100
−
t
6
⎛ 2⋅ t ⎞
⎟
⎝ 3 ⎠
⋅ sin ⎜
388