İNTEGRAL

İNTEGRAL
Türevi verilen bir fonksiyonun, türevi alınmadan önceki asıl fonksiyonu bulma işlemine "belirsiz integral" denir. Asıl fonksiyonu
bulmak için türevinin hangi değişkene göre alındığını bilmemiz gerekir. Bu da diferansiyel kavramı yardımı ile olur.
Örneğin; y=f(x) gibi bir fonksiyonda x bağımsız değişken, y ise bağıl değişkendir (x'e bağlı).
Bu ifadenin x değişkenine göre türevi;
y=f(x) fonksiyonunun türevi
dy df(x) d
,
,
f(x) biçiminde gösterilebilir.
dx dx dx
dy
= f '(x) olduğundan dy=f '(x).dx olur. Burada "dy" ifadesi y=f(x) fonksiyonunun diferansiyelidir.
dx
çözüm
kavrama sorusu
y=x2 ifadesinde y nin diferansiyeli olan dy yi bulunuz.
y=x2 ifadesinin türevini alalım,
dy
2
= (x
=
)' 2x ise dy=2x dx
dx
ifadenin
türevi
türevin
değişkeni
Buna göre, 2xdx ifadesi y nin diferansiyelidir.
Cevap: 2xdx
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=x3 ifadesinde f(x) in diferansiyeli olan df(x) i bulunuz.
f(x)=x3 ifadesinin türevini alalım,
df(x)
3
= (x
=
)' 3x 2 ise df(x)=3x2dx
dx
fonksiyonun türevi
türevin
değişkeni
df(x) ifadesi f(x) in diferansiyelidir.
Cevap: 3x2dx
çözüm
kavrama sorusu
df(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
df(x) ifadesi türevin başka bir gösterilişidir ve
d(f(x))=f '(x)dx e eşittir.
fonksiyonun
türevi
türevin
değişkeni
Cevap: f '(x)dx
çözüm
kavrama sorusu
d(x3+x2)=(x3+x2)'dx
d(x3+x2)=(3x2+2x)dx ifadesi, (x3+x2) nin diferansiyelidir.
Cevap: (3x2+2x)dx
d(x3+x2) ifadesinde (x3+x2) nin diferansiyelini bulunuz.
Not
Özet olarak fonksiyonun diferansiyeli, fonksiyonun türevi ile türevin değişkeninin çarpımına eşittir.
4
İntegral
soru 1
soru 5
y=x2+3x
d(x5)
ifadesinin diferansiyeli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) dy=2xdx
A) x 5 dx
B) dy=3dx
D) dy=(2x+3)dx
C) dy=xdx
E) dy=(2x+3)
D) x3dx
soru 2
C) x 4 dx
E) 5x3dx
soru 6
y=3x3+1
B) 5x 4 dx
d(cosx)
ifadesinin diferansiyeli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) dy=9x2dx
A) –sinxdx
B) dy=9x2
soru 3
f(x)=2x2+x–5
B) sinxdx
C) cosxdx
D) –cosxdx
E) dy=9dx
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) dy=9xdx
C) dy=3x2dx
E) cosx
soru 7
d(e2x)
ifadesinin diferansiyeli aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) df(x)=4xdx
B) df(x)=(2x+1)dx
A) e x dx
C) df(x)=(4x+1)dx
D) df(x)=(4x+1)
B) e 2x dx
D) 4.e2xdx
C) 2.e 2x dx
E) 8.e2xdx
E) df(x)=(2x2+x)dx
soru 4
soru 8
f(x)=sinx
ifadesinin diferansiyeli aşağıdakilerden hangisidir?
A) df(x)=sinx
B) df(x)=cosx
C) df(x)=sinxdx
D) df(x)=cosxdx
d(lnx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x
D)
E) df(x)=(sinx.cosx)dx
1 – D
2 – A
3 – C
4 – D
5 – B
5
C) x 2dx
B) xdx
1
x
E)
6 – A
1
dx
x
7 – C
8 – E
İntegral
İntegral alma işlemi türevi alınan bir fonksiyonun asıl fonksiyonunu bulma işlemidir. f(x) fonksiyonu F(x) in türevi olsun yani
F '(x)=f(x) ise ∫f(x)dx=F(x)+c dir.
Burada,
∫: integral sembolü
f(x)dx: diferansiyel
c: integral sabiti
dx: diferansiyel çarpanı
f(x) x 3 ise =
f '(x)
Örneğin;=
df(x)
= 3x 2 dir.
dx
F(x): f(x) in ilkeli (asıl fonksiyonu)
∫3x2dx=x3+c dir.
Bu ifade 3x2 hangi fonksiyonun
türevidir demektir.
Dikkat edilirse x3 ün yanına herhangi bir sabiti temsil eden "c" sabitini ekledik. Bunun nedeni sabit sayıların türevinin sıfır olmasından dolayı x3 ün yanında sabit bir sayı olma ihtimalidir.
Örneğin, x3 ün türevi 3x2, (x3+1) in türevi 3x2, (x3–7) nin türevi de 3x2 dir.
çözüm
kavrama sorusu
( ∫3x2dx)' ifadesinin eşitini bulunuz.
( ∫3x2dx)'=(x3+c)'=3x2
∫3x2dx integrali 3x2 neyin türevidir sorusunun cevabıdır. 3x2 ifadesi (x3+c)
Buradan genel olarak, ( ∫f(x)dx)'=f(x) diyebiliriz.
gibi bir fonksiyonun türevidir.
Cevap: 3x2
çözüm
kavrama sorusu
d( ∫3x2dx) ifadesinin eşitini bulunuz.
d( ∫3x2dx)=d(x3+c)=(x3+c)'dx=3x2 dx
Buradan genel olarak,
d( ∫f(x)dx)=f(x)dx diyebiliriz.
Cevap: 3x2dx
çözüm
kavrama sorusu
∫d(x3) ifadesinin eşitini bulunuz.
d(x3)=(x3)'dx=3x2dx. Bu durumda,
∫d(x3)= ∫3x2dx=x3+c
Buradan genel olarak,
∫d(f(x))=f(x)+c
( ∫ 3x 2dx )
Cevap: x3+c
çözüm
kavrama sorusu
d
dx
diyebiliriz.
d
dx
ifadesinin eşitini bulunuz.
2
dx )
( ∫ 3x=
d 3
(x + c) =(x3+c)'=3x2
dx
Buradan genel olarak,
d
f(x)dx = f(x) diyebiliriz.
dx ∫
(
6
)
Cevap: 3x2
İntegral
soru 1
soru 5
( ∫x2dx)'
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) x 2 dx
A) 2x
C) x
D) xdx
E)
D)
C) 2x+c
x2
E)
x2+c
soru 6
( ∫sinxdx)'
A) –cosxdx
∫d(tanx)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) cosxdx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) cosx
A) tanx+c
E) sinx
B) tanxdx
D) cotx
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) sinxdx
soru 3
d( ∫x4dx)
B) 2xdx
x3dx
soru 2
∫d(2x)
C) tanx
E) cotx+c
soru 7
d
dx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
( ∫ x 5dx )
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x4
B) x4dx
D) 4x3dx
C) 4x3
A) 5x4
E) x3dx
D) x5
soru 4
C) 5x4dx
E) x5+c
soru 8
d( ∫exdx)
A) lnx
2 – E
A) 3x
E) x.exdx
3 – B
( ∫ 3x dx )
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) exdx
B) lnxdx
D) ex
d
dx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 – A
B) 5x4+c
B) 3xdx
D) 3x.ln3
4 – C
5 – C
7
6 – A
C) 3x+c
E) 3x.ln3+c
7 – D
8 – A
İntegral
İntegral içindeki sabit çarpan, integral dışına çarpım olarak alınabilir,
k∈R için
∫k.f(x)dx=k. ∫f(x)dx
dir. Yani, ∫3.xdx=3 ∫xdx veya
∫5x2dx=5 ∫x2dx
dir.
İki fonksiyonun toplamının veya farkının integrali, fonksiyonların integrallerinin toplamına veya farkına eşittir,
∫[f(x)+g(x)]dx= ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx
∫[f(x)–g(x)]dx= ∫f(x)dx– ∫g(x)dx
dir. Yani; ∫(x3+x2)dx= ∫x3dx+ ∫x2dx ve
∫7x6dx ifadesinin eşitini bulunuz.
∫7.x6dx ifadesindeki 7 çarpanı başa çarpım olarak atılabilir.
∫7.x6=7. ∫x6dx
Cevap: 7 ∫x6dx
çözüm
kavrama sorusu
x5
dir.
çözüm
kavrama sorusu
∫ 10 dx
∫(x3–x2)dx= ∫x3dx– ∫x2dx
x5
∫ 10 dx
ifadesinin eşitini bulunuz.
ifadesindeki
x
∫ 10 dx=
1
çarpanı başa çarpım olarak atılabilir.
10
1
. x dx
10 ∫
Cevap:
1
∫x5dx
10
çözüm
kavrama sorusu
∫(x7+x2)dx
∫(x7+x2)dx ifadesinin eşitini bulunuz.
ifadesi iki fonksiyonun toplamı olduğundan, fonksiyonların integrallerinin toplamı şeklinde yazılabilir.
∫(x7+x2)dx= ∫x7dx+ ∫x2dx
Cevap: ∫x7dx+ ∫x2dx
çözüm
kavrama sorusu
∫(2x3–5x2+1)dx= ∫2x3dx– ∫5x2dx+ ∫1dx
2. ∫x3dx – 5. ∫x2dx+ ∫dx olur.
∫(2x3–5x2+1)dx ifadesinin eşitini bulunuz.
Cevap: 2 ∫x3dx–5 ∫x2dx+ ∫dx
8
İntegral
soru 1
soru 5
∫2x10dx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∫ x10 dx
B)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 10
x dx
2∫
D) 2∫ x 5dx
C) ∫ x 5dx
E) 2∫ x10 dx
A) 5 ∫xdx+3 ∫x2dx
B) 5 ∫x2dx+ ∫xdx
C) 5 ∫x2dx+3 ∫xdx
D) 5 ∫x2dx–3 ∫xdx
E) 5 ∫x3dx+3 ∫x2dx
soru 2
soru 6
∫
x3
3
dx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫x
3
3
dx
D)
B)
3 ∫ x 3dx
3 ∫ x 2dx
E)
C) ∫ x 3dx
3 ∫ xdx
∫(x2+x)dx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫x2dx+ ∫xdx
B) ∫x2dx– ∫xdx
C) ∫2xdx+ ∫xdx
D) ∫2xdx– ∫xdx
A)
E)
A) 2 ∫x3dx–2 ∫x2dx
B) 2 ∫x3dx+2 ∫x2dx
C) ∫x3dx– ∫x2dx
D) ∫x3dx+
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ñ2 ∫x2dx– ∫dx
B) ñ2 ∫x2–5 ∫dx
C) ñ2 ∫x2dx–5 ∫dx
D) ñ2 ∫x2dx–5 ∫xdx
E) ñ2 ∫x2–5 ∫x
soru 8
∫
∫xdx
C) ∫3x2dx– ∫xdx
E)
1 – E
2 – A

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 3
1
∫x dx– 2 ∫x2dx
2
∫(ñ2x2–5)dx
∫x2dx+ ∫dx
∫(x3–x)dx
x3dx+
1 2
∫x dx
2
soru 7
soru 4
(x 3 − x 2 )
dx
2
E)
soru 3
∫
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
1
A)
∫(5x2+3x)dx
∫
x3dx–
B)
∫
x3dx–
8
5x 4 +
−
1
 dx
2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫xdx
A) 2 ∫x8dx–ñ5 ∫x4dx+
D) ∫3x2dx+ ∫xdx
1
∫dx
2
1
∫dx
2
1
C) 2 ∫x8dx–ñ5 ∫x4+ ∫dx
2
1
D) 2 ∫x8dx–ñ5 ∫x4dx+ ∫
2
1
E) 2 ∫x8–ñ5 ∫x4+ ∫
2
B) 2 ∫x8–ñ5 ∫x4+
∫dx
3 – A
∫  2x
4 – B
5 – C
9
6 – E
7 – C
8 – A
İntegral
∫k.dx ve ∫xndx ifadelerinin integralleri
k bir reel sayı olmak üzere,
∫kdx=kx+c
Burada, kx+c nin türevinin (kx+c)'=k ve
ve n ≠ –1 bir reel sayı olmak üzere
n
dx
∫ x=
x n+1
+c
n +1
ý
 x n +1

x n +1
x n olduğuna dikkat ediniz.
+c =
+ c nin türevinin 
 n+1

n+1


çözüm
kavrama sorusu
∫dx integralinin eşitini bulunuz.
∫dx= ∫1dx
∫kdx=kx+c bağıntısından
∫dx= ∫1dx=1.x+c=x+c
((x+c)'=1 olduğuna dikkat ediniz.)
Cevap: x+c
çözüm
kavrama sorusu
∫x2dx integralinin eşitini bulunuz.
n
dx
∫ x=
∫x
2
dx=
x n+1
+ c bağıntısından
n +1
x 2 +1
x3
+ c=
+c
2 +1
3
'
 3


x2
 x
2 olduğuna dikkat ediniz. 
  3 + c = 3. 3= x






Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫(x3+3)dx
x3
+c
3
∫(x3+3)dx= ∫x3dx+3 ∫dx
integralinin eşitini bulunuz.
=
x3+1
3+1
+3.x+c=
x4
+3x+c dir.
4
Cevap:
x4
+3x+c
4
çözüm
kavrama sorusu
∫(4x3–x2)dx=4 ∫x3dx– ∫x2dx
∫(4x3–x2)dx integralinin eşitini bulunuz.
3+1
=4. x
3+1
–
x2+1
x3
+c
+c= x4–
2+1
3
Cevap: x 4 −
10
x3
+c
3
İntegral
soru 1
soru 5
∫2dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
+c
x
C) 2x 2 + c
B) 2x + c
D) 2x 3 + c
A) x7+c
E) 2x 4 + c
B) 6x7+c
C) 6x6+c
D) x6+c
soru 2
E) 6x5+c
soru 6
Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır?
D)
B) ∫
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
dx = x + c
3
3
3

C) ∫ ( −5)dx =
−5x + c
3
− x+c
∫  − 2  dx =
2
E)
c
∫ dx =
soru 3
∫x3dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 3 + c
∫(3x2+2x)dx
B) x 4 + c
E)
B) x3+x2+c
C) x3+2x2+c
D) x3+2x+c
soru 7
∫(4x3+1)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C)
D) x 5 + c
A) 3x3+x2+c
E) x3+x+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) ∫ 3dx =
3x + c
x4
+c
4
A) 4x3+x+c
B) 4x3+x2+c
C) x4+x+c
D) x4+x2+c
6
x
+c
6
E) x5+x2+c
soru 4
soru 8
∫(x2+3)dx
A) x 2 + 3 + c
D)
B) x 2 + 3x + c
3
x
+ 3x + c
3
2 – E
∫(6x5+3x2+1)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 – B
∫7.x6dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x5+x2+x+c
C) x 3 + 3x 2 + c
E)
C)
x6+x3+x+c
3
x
+ 3x 2 + c
3
3 – C
B) x5+x3+x+c
D) x6+x3+x2+c
E) x6+x4+x2+c
4 – D
5 – A
11
6 – B
7 – C
8 – C
İntegral
İntegrali alınacak ifade n ≠ 1 olmak üzere
1
x
n
= x −n şeklinde ise yine
∫x – 2dx integralinin eşitini bulunuz.
∫x
−2
x −2+1
x −1
1
dx =
+c= +c=
− +c
−2 + 1
−1
x
Cevap: −
dx
∫ x3 = ∫ x
integralinin eşitini bulunuz.
∫x
3
−3
dx biçiminde yazılabilir.
x −3+1
x −2
1
+c= +c=
− 2 +c
dx =
−3 + 1
−2
2x
Cevap: −
x −3 +1
∫5x – 3dx integralinin eşitini bulunuz.
5x −2
∫5x–3dx=5 ∫x–3dx= 5. −3 + 1 + c = −2
+ c =−
5
2x 2
1
+c
5
2x 2
+c
çözüm
kavrama sorusu
7
2x 2
+c
Cevap: −
 4
1
çözüm
kavrama sorusu
∫  x 2 − x 5 + 3  dx
1
+c
x
çözüm
kavrama sorusu
dx
x n+1
+ c kuralına göre integral alınabilir.
n +1
çözüm
kavrama sorusu
∫ x3
n
dx
∫ x=
 4
7
1

−2
=
4 ∫ x −2dx − 7 ∫ x −5dx + ∫
1
dx
3
∫  x 2 − x 5 + 3  dx= ∫  4x
integralinin eşitini bulunuz.
=
4⋅
x −2+1
x −5+1 1
− 7⋅
+ x+c
−2+1
−5 + 1 3
=
4⋅
x −1
x −4 1
− 7⋅
+ x+c
−1
−4 3
= −
− 7x −5 +
1
 dx
3
4
7
1
+
+ x+c
x 4x 4 3
Cevap: −
12
4
7
1
+
+ x+c
x 4x 4 3
İntegral
soru 1
soru 5
∫x–5dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
1
+c
x4
1
B) −
D) −
1
5x 4
+c
x2
C) −
+c
E) −
1
6x 4

1
4x 4
∫  2
−3
+
1 
 dx
x2 
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
+c
1
A) − 2 −2 −
+c
C) 2 −2 x +
1
+c
x
1
3
+c
x
B) −
D) −
3
+c
x2
C) −
1
+c
x
E) −
1
x
3
3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
dx
∫ x4
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3x
3
+c
B) −
D) −
1
2x
2
+c
C) −
1
1
x +c
1
1
+
x3
1
+c
x6
5
−
x4
+c
x6
5x 4
+c
+c
1
x2
1
x4
−
−
1
x3
1
x5
−
−
1
x4
1
x6
1
+c
B)
+c
D)
2
x4
+
3
x5
+
4
x6
x2
1
x4
+
+
1
x3
1
x5
+
+
1
x4
1
x6
+c
+c
+c
soru 8
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
+c
B) −
D) −
1
x5
+c
5
x5
+c
E)
x5
12
2 –A
3 – A
18 
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) −
1
 11
∫  x12 − x13 + x19  dx
1
x7
+c
A)
+c
C)
1
x11
1
x13
−
−
1
x12
1
x14
+
+
18
x18
18
x 20
+c
B) −
+c
D) −
E)
1 – C
1
20x 4
4
−
x2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) −
5
5
−
1
+c
∫(2x–3+3x–4+4x–5)dx
x +c
∫ x 6 dx
x7
2
x2
1
x4
soru 7
soru 4
A) −
−
x2
D) −
E)
1
B)
E) −
A) −
3
E) − x 3 + c
2
1 
∫  x 3 + 5x 5  dx
A)
+c
soru 3
1
+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
+c
x3
 4
C)
A) −
x3
+c
x3
soru 6
∫3x–2dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
2 −3
D)
E) − 2 −3 −
soru 2
1
+c
x
B) 2 −3 x −
+c
x2
4 – D
5 –B
13
11
x13
6 – E
−
12
x14
+
4
x 20
1
x11
1
x13
+
+
1
x12
1
x14
−
−
1
x18
18
x 20
+c
+c
+c
7 – A
8 – B
İntegral
Köklü İfadelerin İntegrali
m
x n biçimindeki köklü ifadelerin integralini alırken,
n
dx
∫ x=
m
n
x n+1
+ c bağıntısını kullanarak integralini alırız.
n +1
çözüm
kavrama sorusu
∫ñxdx
n
m
x n = x m eşitliğinden faydalanırız. İfadeyi
x n = x m şeklinde yazdıktan sonra
integralinin eşitini bulunuz.
1
∫
∫
x dx = ∫ x 2 dx biçiminde yazılabilir.
1
x 2 dx=
1
+1
3
x2
x2
2 x3
+ c= =
+c
+c
1
3
3
+1
2
2
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫
4
x 3 dx integralinin eşitini bulunuz.
∫
∫
3
4
x 3 = ∫ x 4 dx biçiminde yazılabilir.
3
x 4 dx=
3
+1
7
4
x4
x4
4 x7
+ c=
+ c=
+c
3
7
7
+1
4
4
Cevap:
1
x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1
∫3
∫x
x
−
−
=∫x
1
3 dx=
1
3 dx
x2 −
x7
+c
7
1
− +1
3
2
2
3
x2
+c
2
3
x3
3x 3
3 x2
+ c=
+ c=
+ c=
+c
2
1
2
2
− +1
3
3
x
3
çözüm
kavrama sorusu
3
4
biçiminde yazılabilir.
Cevap:
∫ 
4
çözüm
kavrama sorusu
∫3
2 x3
+c
3
1 
 dx integralinin eşitini bulunuz.
x 
3
∫ 
2
2
+1
1
−
1 
 dx =∫ x 3 dx − ∫ x 2 dx biçiminde gösterilebilir.
x 
x2 −
−
1
+1
5
1
3
x3
x 2
x3 x2
3 x5
−
+ c=
−
+ c=
−2 x +c
1
2
1
5
5
+1 − +1
3
2
3
2
Cevap:
14
3
3
x5
− 2 x +c
5
İntegral
soru 1
soru 5
∫
3
x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
4
3
3.x 3
+c
B)
4
3
3x 4
E)
4
A) x + c
x4
+c
C)
4
3
4x 4
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
4
x3
+c
A)
4
D)
dx
∫2
x +c
B)
3
D)
C) 2 x + c
x +c
E)
4
x +c
+c
3
soru 2
soru 6
1
∫

dx
x
∫  3

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
x
4
1
+
4
x
3

+ 5  dx


integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 x + c
B)
x +c
C) − x + c
D) − 2 x + c
A)
E) − 3 x + c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
C)
soru 3
∫(
3
)
x − x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
4
4
3
3x 3 2x 2
A)
+
+c
4
3
C)
3
3x 4
4
+
2
2x 3
3
3
+c
D)
4
4x 3
E)
3
+
2
2x 3
3
3
x
+
4
4
x + 5x + c
D) −
3
3
B) −
x + 5x + c

x−
1
4
x
3
x
3
3
x
+4
4
x + 5x + c
+4
4
x +c
+ 5x + c
∫  3
6 
 dx
x4 
x+
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x3 −
1
x3
C) 2 x 3 −
2x
+c
3
B) 2 x 3 −
+c
2
x3
D) 3 x 3 −
+c
E) 3 x 3 −
3
x3
1
+c
x3
2
x3
+c
+c
+c
soru 4
1
3
−4
soru 7
3
2
+
x
E)
x 3 2x 2
B)
+
+c
4
3
4
4x 3
3
3
soru 8
∫
3
5 x2
dx
3
B)
D)
3
4
∫ 

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + c
 1
x +c
x +c
E)
+
1
3
2 x
2
−
1 
 dx
x 2 
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C)
3
x
3
x +c
A)
x+
3
x−
5
x +c
3
C) 2 x +
1
+c
x
B)
x 1
+ +c
2
x
x−
3
x+
3
1
+c
x
D) 2 x + 3 x +
1
+c
x
3
E) 2 x +
1 – B
2 – A
3 – A
4 – E
5 – B
15
6 – B
3 x 1
+ +c
2
x
7 – C
8 – E
İntegral
İntegral almada değişken değiştirme yöntemi
İntegral alma işleminde bazen ifadeler bize karışık gelebilir. Bu tip ifadeleri basitleştirip integral alma kurallarına daha uyumlu
hale getirmek için değişken değiştirme yöntemini kullanabiliriz.
Örneğin; ∫(x3+1).3x2dx integralinde x3+1=u ise (x3+1)'=(u)' ⇒ 3x2dx=du olur. ∫(x3+1).3x2dx
u2
+c
∫ u.du =
2
u
dir. u =
x 3 + 1 sonuçta yerine yazıldığında,
du
u2
(x 3 + 1)2
+ c=
+ c bulunur.
2
2
Burada hangi ifadeyi u ya eşitleyeceğimizi belirlerken dikkat edilecek durum, u ya eşitlediğimiz ifadenin türevinin integral ifadesi
içinde bulunmasıdır.
∫(x
3
)
+ 1 .3x 2dx=
∫ u.du=
Değişken değiştirme yöntemi bundan sonra verilecek tüm integral alma kuralları içinde kullanılabilir.
çözüm
kavrama sorusu
∫(3x2–1)3.6xdx integralinin eşitini bulunuz.
(3x2 –1)=u ise (3x2–1)'=6xdx=du
n
dx
∫(3x2–1)3.6xdx= ∫u3.du , ∫ x=
(3x2–1)'=6x
olduğu için değişken değiştirme uyguladığımıza dikkat ediniz.
u
∫u
3
.du
=
x n+1
+ c bağıntısından
n +1
du
u4
+ c ise
4
∫ (3x
2
− 1)3 6xdx=
(3x 2 − 1)4
+c
4
Cevap:
(3x 2 − 1)4
+c
4
çözüm
kavrama sorusu
∫(x3–x2)2.(3x2–2x)dx integralinin eşitini bulunuz.
x3–x2=u ise (x3 –x2)'=(3x2 –2x)dx=du
n
dx
∫(x3–x2)2 . (3x2–2x)dx= ∫u2du , ∫ x=
(x3 –x2)'=3x2 –2x
olduğu için değişken değiştirme yöntemini uyguladığımıza dikkat ediniz.
u
x n+1
+ c bağıntısından
n +1
du
u3
=
+ c ise
∫ u .du
3
2
∫ (x
3
− x 2 )2 .(3x 2 − 2x)dx
=
Cevap:
(x 3 − x 2 )3
+c
3
(x 3 − x 2 )3
+c
3
çözüm
kavrama sorusu
∫(x4+x2)3.(2x3+x)dx integralinin eşitini bulunuz.
x4–x2=u ise (4x3+2x)dx=du
du
Buna göre, (2x 3 + x)dx =
dir.
2
(x4 +x2)'=4x3 +2x=2(2x3+x) olduğu için değişken değiştirme yöntemini uyguladığımıza dikkat ediniz.
∫(x4+x2)3 . (2x3+x)dx=∫
u
u3 .du 1 3
= ∫ u du
2
2
du
2
1 3
1 u4
u4
+c =
+ c olduğuna göre,
u .du = ⋅
∫
2
2 4
8
u=x4+x2 yerine yazıldığında
∫ (x
4
+ x 2 )3 .(2x 3 + x)dx
=
(x 4 + x 2 )4
+c
8
Cevap:
16
(x 4 + x 2 )4
+c
8
İntegral
soru 1
soru 5
∫(x4+1)2.4x3dx
∫(x3+x)2.(6x2+2)dx
integralinde u=x4+1 dönüşümü yapıldığında aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
integralinde u=x3+x dönüşümü yapıldığında aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
A) ∫ u.du
A)
B) ∫ u2.du
D) 4 ∫
C) ∫ u3.du
u3.du
E)
∫
u4.du
A) (x 2 + 7) + c
B) (x 2 + 7)3 + c
C) (x 2 + 7)4 + c
D)
(x 2 + 7)4
+c
4
A)
2
.du
E) 4 ∫ u2 .du
1 4
u .du
4∫
∫(x3–5x2)2.(3x2–10x)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
(x 3 − 5x 2 )3
+c
3
B)
2
(x 3 − 5x 2 )2
+c
2
3
C) (x − 5x ) + c
2 2
D) 2(x − 5x ) + c
3
B)
1 4
u .du
2∫
D) 2∫ u4 .du
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
C)
∫u
4
.du
E) 4 ∫ u4 .du
soru 7
∫(x2–3)3.8xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4(x 2 − 3)4 + c
B) 2(x 2 − 3)4 + c
C) (x 2 − 3)4 + c
D)
2 3
E) 3.(x − 5x ) + c
E)
soru 4
(x 2 − 3)4
+c
2
(x 2 − 3)4
+c
4
soru 8
4
 x4 x3 
+
 ⋅ (x 3 + x 2 )dx

4
3


∫u
integralinde u=x6+x2 dönüşümü yapıldığında aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
E) 4.(x 2 + 7)4 + c
3
C)
∫(x6+x2)4.(3x5+x)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 2
u .du
2∫
soru 6
∫(x2+7)3.2xdx
B)
D) 2∫ u2 .du
soru 2
1 2
u .du
4∫
∫(x4+x2)2.(2x3+x)dx
∫ 
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
5
A)
(x 4 + x 2 )3
+c
6
B)
C)
(x 4 + x 2 )3
+c
2
D) (x 4 + x 2 )3 + c
4
A)
1  x4 x3 

 +c
+
5  4
3 
B)
1  x4 x3 

 +c
+
4  4
3 
C)
3
1  x4 x3 

 +c
+
3  4
3 
D)
2
1  x4 x3 

 +c
+
2  4
3 
E)
(x 4 + x 2 )3
+c
3
2(x 4 + x 2 )3
+c
3
 x4 x3 
+c
E) 
+
 4
3 

1 – B
2 – D
3 – A
4 – A
5 – D
17
6 – B
7 – C
8 – A
İntegral
∫
dx ifadesinin integrali
x
∫
dx
x
integralini
∫x–1dx
şeklinde yazıp
n
dx
∫ x=
x n+1
+ c kuralını uygulayarak çözüm yapmamız mümkün değildir. Çünkü,
n +1
1
1
x −1+1 x 0
olduğundan tanımsız bir ifade ile karşılaşırız. Ancak, lnx ifadesinin türevi
olduğuna göre,
in integrali de bize lnx i
=
x
x
( −1+ 1) 0
vermelidir.
Buna göre,
dx
∫=
x
ln x + c
dir.
çözüm
kavrama sorusu
dx
∫ 2x
dx
1 1
1
∫ 2x = 2 ∫ x dx = 2 ln x + c
integralinin eşitini bulunuz.
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫
5dx
integralinin eşitini bulunuz.
x
∫
dx
dx
Cevap: 5ln x +c
x+1=u ise (x+1)'=u' ve 1dx=du
integralinin eşitini bulunuz.
dx
∫ (x + 1)= ∫
du
= ln u + c= ln x + 1 + c
u
Cevap: ln x+1 +c
çözüm
kavrama sorusu
∫ (5x+1)
5dx
1
= 5∫ dx = 5ln x + c
x
x
çözüm
kavrama sorusu
∫ (x+1)
1
ln x +c
2
5x+1=u ise (5x+1)'=u' ve
du
dx
5 =
Buradan, ∫
(5x + 1)
u
u=5x+1 yerine yazıldığında
integralinin eşitini bulunuz.
dx
∫ (5x=
+ 1)
18
5dx=du, dx =
du
5
11 du
du 1
=
ln u + c bulunup
55 ∫ uu 5
1
ln 5x + 1 + c elde ederiz.
5
Cevap:
1
ln 5x+1 +c
5
İntegral
soru 1
soru 5
dx
∫ 3x
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln 3x + c
B) 3ln x + c
D) ln
x
+c
3
C)
E) 3ln
∫ (3x + 1)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
ln x + c
3
x
+c
3
1
ln 3x + 1 + c
3
A) ln 3x + 1 + c
B)
C) 3ln 3x + 1 + c
D) ln
3x + 1
+c
3
E) ln 3x + ln x + c
soru 2
soru 6
∫
8dx
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 8ln x + c
x
+c
8
C)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
ln x + c
8
E) 8ln 8x + c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) ln 8x + c
D) ln
soru 3
dx
∫ (x + 7)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 7ln x + 7 + c
C)
dx
∫ (2x + 7)
B) ln
1
ln x + 7 + c
7
B) ln
C) ln 2x + c
D) 2ln 2x + 7 + c
E)
3dx
∫ (2x + 1)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln 2x + 1 + c
C)
B) 3ln 2x + 1 + c
1
ln 2x + 1 + c
3
D)
E)
E) ln x − 7 + c
soru 4
1
ln 2x + 7 + c
2
soru 7
x+7
+c
7
D) ln x + 7 + c
2x + 7
+c
2
A) ln 2x + 7 + c
2
ln 2x + 1 + c
3
3
ln 2x + 1 + c
2
soru 8
dx
dx
∫ (x − 10)
∫x

 2 + 1


integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln x − 10 + c
B) ln x + 10 + c
C) ln x − ln10 + c
D) ln x + ln10 + c
E)
A) 2ln
1
ln x − 10 + c
10
C)
x
+1 + c
2
B) ln
1 x
ln + 1 + c
2 2
D)
E) ln
1 – C
2 – B
3 – D
4 – A
5 – B
19
6 – E
x
+1 + c
2
1 x
ln + 1 + c
4
2
x x
+ +c
2 2
7 – E
8 – A
İntegral
∫sinx.dx
ve ∫cosx.dx biçimindeki integraller
sinx ifadesinin türevinin cosx ve cosx ifadesinin türevinin –sinx olduğunu biliyoruz. Buradan,
(sinx)'=cosx
ise
(cosx)'=–sinx ise
∫cosxdx=sinx+c
∫sinxdx=–cosx+c
İçinde sin ve cos fonksiyonları bulunan ancak tam olarak ∫sinxdx veya ∫cosxdx ifadelerine uymayan integralleri değişken dönüşümü yaparak bu formata benzetmeye çalışırız.
çözüm
kavrama sorusu
∫sin2xdx integralinin eşitini bulunuz.
2x=u ise (2x)'=2dx=du ve du =
1
dx
2
∫ sin2x dx = 2 ∫ sinu.du
Uyarı
sinu
du
2
1
1
− cosu + c (u=2x yerine yazıldığında)
sinu.du =
2∫
2
1
− cos 2x + c
∫ sin2xdx =
2
1
Cevap: − cos2x+c
2
∫sin2xdx integrali tam olarak ∫sinxdx integraline uymadığı
için, 2x=u dönüşümü yapılır.
çözüm
kavrama sorusu
∫sin(x2+x).(2x+1)dx integralinin eşitini bulunuz.
u=x2+x ise du=(2x+1)dx tir.
∫sin(x2+x).(2x+1)dx= ∫sinu.du
sinu
olur ve
du
∫sinu.du=–cosu+c (u=x2+x yerine yazıldığında)
∫sin(x2+x).(2x+1)dx=– cos(x2+x)+c
Cevap: – cos(x2+x)+c
çözüm
kavrama sorusu
∫cos3xdx integralinin eşitini bulunuz.
u=3x ise du=3dx ve dx =
1
=
∫ cos 3x dx = 3 ∫ cosu.du
cosu
du
3
1
sinu + c
3
du
3
u=3x yerine yazıldığında,
3xdx
∫ cos=
1
sin 3x + c bulunur.
3
Cevap:
1
sin3x+c
3
çözüm
kavrama sorusu
 x+1 
 dx integralinin eşitini bulunuz.
3 
∫ cos 
u=
x +1
dx
ise du =
ve dx=3.du
3
3
 x +1 
 dx = 3∫ cosudu = 3sinu+c
3 
∫ cos 
cosu
3.du
x +1
u=
yerine yazıldığında,
3
 x +1 
 x +1 

 dx 3 sin 
+c
∫ cos=
3


 3 
20
 x+1 
Cevap: 3sin 
+c
 3 
İntegral
soru 1
soru 5
∫sin5xdx
 x −1 
 dx
2 
∫ sin 
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) −
cos 5x
25
1
B) − cos 5x + c
5
C) − cos 5x + c
 x −1 
A) − 2 cos 
+c
 2 
1
E) cos 5x + c
5
D) cos 5x + c
C) −
 x −1 
B) − cos 
+c
 2 
1
 x −1 
cos 
+c
2
 2 
D) −
E) −
soru 2
1
 x −1 
cos 
+c
4
 2 
1
 x −1 
cos 
+c
8
 2 
soru 6
∫cos(x+1)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) − sin(x + 1) + c
D) cos(x + 1) + c
E)
C) −
1
sin(x + 1) + c
2
1
cos(x + 1) + c
2
soru 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) sin(x + 1) + c
∫(cos3x–sin2x)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
1
cos 3x − sin2x + c
3
2
B) −
C)
1
1
cos 2x − sin 3x + c
2
3
D)
E)
1
1
sin 3x − cos 2x + c
3
2
1
1
sin 3x − cos 2x + c
3
2
1
1
sin 3x + cos 2x + c
3
2
soru 7
∫(sinx+cosx)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫cos(x3–1).3x2dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cosx+sinx+c
A) 9.sin(x 3 + 1) + c
B) cosx–sinx+c
D) –sinx–cosx+c
C) sinx–cosx+c
E) 2sinx+c
C)
B) 3.sin(x 3 + 1) + c
1
sin(x 3 − 1) + c
3
D) sin(x 3 − 1) + c
E) sin x 3 + c
soru 4
soru 8
∫cos7xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) − sin7x + c
B) −
D) sin7x + c
1 – B
2 – A
1
sin7x + c
7
C)
∫sin(x5+x).(5x4+1)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
sin7x + c
7
A) 5 cos(x 5 + x)
E) 7 sin7x + c
3 – C
B) cos(x 5 + x) + c
D) − cos(x 5 + x) + c
4 – C
5 – A
21
6 – E
E) −
C)
1
cos(x 5 + x) + c
5
1
cos(x 5 + x) + c
5
7 – D
8 – D
İntegral
∫ax.dx
ve ∫ex.dx biçimindeki integraller
x
ax
+c
lna
(ax)'=ax.lna
ise
dx
∫a =
(ex)'=ex
ise
∫exdx=ex+c
İçerisinde ax ve ex gibi ifadeler bulunan ancak tam olarak ∫axdx ve ∫exdx ifadelerine uymayan integrallerde değişken dönüşümü
yapılarak bu formata benzetmeye çalışırız.
çözüm
kavrama sorusu
∫3xdx integralinin eşitini bulunuz.
∫a
x
ax
+ c bağıntısından
lna
.dx
=
x
=
∫ 3 .dx
3x
+c
ln 3
3x
+c
ln3
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫2xdx+ ∫exdx integralleri toplamını bulunuz.
x
dx
∫a =
ax
+ c bağıntısından
lna
∫exdx=ex+c
bağıntısından
Buna göre, ∫2xdx+ ∫exdx=
x
dx
∫2 =
2x
+c
ln2
∫exdx=ex+c
2x
+ex+c
ln2
Cevap:
ln2
+e +c
çözüm
kavrama sorusu
∫e(3x+1)dx integralinin eşitini bulunuz.
u=3x+1 ise du=3.dx ve dx =
(3x +1)
∫e
. dx =
eu
1
1 u
eu=
.du
e +c
3 ∫
3
du
3
du
3
u=3x+1 yerine yazıldığında,
(3x +1)
∫e
=
.dx
1 3x+1
+c
e
3
Cevap:
1 3x+1
e
+c
3
Cevap:
5 x +3x
+c
ln5
çözüm
kavrama sorusu
u=x2+3x ise du=(2x+3)dx
∫5(x +3x).(2x+3)dx integralinin eşitini bulunuz.
2
5u
∫5(x +3x) . (2x+3).dx = ∫5u.du= ln 5 + c
2
5u
du
u=x2+3x yerine yazıldığında,
(x 2 +3x)
∫5
22
2
. (2x + 3).dx=
5 x +3x
+c
ln 5
2
İntegral
soru 1
soru 5
∫10xdx
x
∫ e 2 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
10
+c
ln10
B) 10 x + c
D)
C) 10 x + ln10 + c
10 x
+c
loge
E)
x
A)
10 x
+c
10
(ln 5)
+c
B)
5x
+c
ln 5
D) 5 x.ln 5 + c
∫e5xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) e 5x + c
C) 5 x + c
E) 5 x.(ln 5)2 + c
soru 3
∫2(x–1)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2x
+c
2.ln2
B)
2x
+c
ln2
D) 2 x −1 + c
1 5x
e +c
5
D) 5e 5x + c
C)
1 5x
e +c
25
E) 25.e 5x + c
soru 7
2
C)
2
2 x.2 + c
ln2
2
A) 2.e x + c
B) e x + c
D) e2x + c
E) 2 x + c
C)
1 x2
e +c
2
E) 2e2x + c
soru 8
∫(e(x+1)+e(x–1))dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) e x − e − x + c
B)
∫ex .2xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
soru 4
B) e x + e − x + c
D) e(x +1) + e(x −1) + c
1 – A
x
E) 8e 2 + c
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
2
C) 2e 2 + c
x
∫5x.ln5dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
5x
x
B) e 2 + c
D) 4e 2 + c
soru 2
A)
x
1 2
e +c
2
2 – C
E)
∫e(x3+1).x2dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
3
A) 9e x +1 + c
C) e(x +1) − e(x −1) + c
1 x +1 x −1
+ e )+ c
(e
2
3 – A
D)
4 – D
5 – C
23
3
B) 3e x +1 + c
1 x 3 +1
+c
e
3
6 – B
E)
3
C) e x +1 + c
1 x 3 +1
+c
e
9
7 – B
8 – D
İntegral
dx
dx
∫ cos2 x ve ∫ sin2 x
tanx ifadesinin türevinin
(tan x)' =
İçerisinde
1
cos 2 x
1
cos 2 x
ise
ve
biçimindeki integraller
1
cos 2 x
ve cotx ifadesinin türevinin −
dx
∫ cos=
2
x
1
sin2 x
tan x + c
(cot x)' = −
1
sin2 x
1
olduğunu biliyoruz. Buradan,
ise
sin2 x
gibi ifadeler bulunan ancak tam olarak
dx
− cot x + c
∫ sin2 x =
dx
∫ cos2 x
ve ∫
dx
sin2 x
integrallerine uymayan integrallerde
değişken dönüşümü yapılarak bu integrale dönüştürülür.
çözüm
kavrama sorusu
1
∫(1+tan2x)dx integralinin eşitini bulunuz.
2
sin x cos x + sin2 x
1
1+ tan2 x =
1+
=
=
olduğundan,
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
∫ (1+ tan
dx
dx
1
x)dx =
∫ cos2 x dx=tanx+c
Cevap: tanx+c
çözüm
kavrama sorusu
∫ sin2 (x+3)
2
2
u=x+3 ise du=dx
integralinin eşitini bulunuz.
du
dx
∫ sin2(x+3)
integrali tam olarak
dx
∫ sin2 x
du
− cot u + c
∫ sin2(x + 3) =
∫ sin2 u =
integraline uy-
sin2u
madığı için u=x+3 dönüşümü yapılır.
=–cot(x+3)+c
Cevap: –cot(x+3)+c
çözüm
kavrama sorusu
dx
∫ cos 2 (2x)
u=2x ise du=2.dx ve dx =
integralinin eşitini bulunuz.
du
du
2
2
dx
∫ cos2 2x
integrali tam olarak
dx
dx
∫ cos2 x integraline uyma-
∫ cos2(2x)
dığı için u=2x dönüşümü yapılır.
1
du
=
∫ cos
2
u
1
tanu + c
2
cos2u
u=2x yerine yazıldığında,
dx
=
∫ cos
2
2x
24
1
tan2x + c
2
Cevap:
1
tan2x+c
2
İntegral
soru 1
soru 5
∫(5+5tan2x)dx
dx
∫ sin2(x + 5)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5tanx+c
C) 5tan2x+c
B) 5cotx+c
D) 5cot2x+c
A) cot(x+5)+c
E) tanx+c
B) –cot(x+5)+c
D) –tan(x+5)+c
soru 2
E) tan5x+c
soru 6
 cos 2 x
∫  1+ sin2 x


 dx


(sin2x+cos2x=1)
A) 4 tan 4x + c
A) cosx+c
B) sinx+c
C) tanx+c
E) –cotx+c
soru 3
1
∫  cos2 x + cot
2

x + 1 dx

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tanx+cotx+c
B) tanx–cotx+c
D) –cotx–tanx+c
B) tan 4x + c
soru 7
∫
dx
x
sin  
3
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) cotx–tanx+c
x
A) − 3 cot   + c
3
E) 2tanx+c
soru 4
x
B) − cot   + c
3
C) −
1
x
cot   + c
3
3
x
E) 3 tan   + c
3
soru 8
dx
∫ cos2(x − 3)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cotx+c
B) –cot3x+c
D) tan(x–3)+c
1 – A
1
tan 4x + c
4
E) − tan x + c
x
D) tan   + c
3
C)
D) tan x + c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) cotx+c

dx
∫ cos2(4x)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) tan(x+5)+c
2 – E
2.dx
∫ cos2 x −∫ (1+ tan
x)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) tan3x+c
A) tanx–cotx+c
E) cot(x–3)+c
3 – B
2
B) tanx+cotx+c
D) 2tanx+c
4 – D
5 – B
25
6 – C
C) cotx–tanx+c
E) tanx+c
7 – A
8 – E
İntegral
dx
∫ 1+x2
biçimindeki integraller
arctanx ifadesinin türevinin
(arc tan x)' =
İçerisinde
1
1+ x 2
1
1+ x
2
1
1+ x 2
1
1
1
ve arccotx
−
ve −
ifadesinin türevinin
olduğunu biliyoruz. Buradan,
1+ x 2
1+ x 2
1+ x 2
ve (arc cot x)' = −
1
1+ x 2
ise
dx
∫ 1+ x 2 =arc tan x + c =−arc cot x + c
gibi ifadeler bulunan ancak tam olarak
dx
∫ 1+ x 2
dir.
integraline uymayan integrallerde değişken dönüşümü yapıla-
rak kurala uygun hale getirilir.
çözüm
kavrama sorusu
3dx
∫ 1+x 2
3dx
dx
Cevap: 3arctanx+c
çözüm
kavrama sorusu
∫ 1+4x 2
dx
∫ 1+x 2 = 3.∫ 1+x 2 =3arctanx+c
integralinin eşitini bulunuz.
dx
dx
∫ 1+4x 2 = ∫ 1+(2x)2
integralinin eşitini bulunuz.
dx
∫ 1+x 2
İfadeyi
biçiminde yazılabilir
ye benzetmek için u=2x dönüşümü yapılır,
u=2x ise du=2.dx ve dx =
du
2
du
2
dx
1
du
∫ 1+ (2x)2 = 2=
∫ 1+ u2
1
arctanu + c
2
1+u2
u=2x yerine yazıldığında,
dx
1
=
∫ 1+ 4x 2 2 arctan2x + c
dx
integralinin eşitini bulunuz.
1
arctan2x+c
2
çözüm
kavrama sorusu
∫ 9+x 2
Cevap:
dx
1
dx
= ∫
2

x2  9
x
9  1+
1+ 


9 
3

x
dx
=
u =
ise du
=
ve dx 3du
3
3
∫
3du
=
1
dx
3
du
1
= =
arctanu + c
9 ∫  x  2 9 ∫ 1+ u2 3
1+  
3
1+u2
x
u=
yerine yazıldığında,
3
dx
1
x
=
∫ 9 + x 2 3 arctan 3 + c
26
Cevap:
1
x
arctan +c
3
3
İntegral
soru 1
soru 5
2dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
arctanx + c
2
B) arctan x + c
D) arctan2x + c
A) 5 arctan 5x + c
C) 2 arctan x + c
E) arctan
x
+c
2
D) arctan
−3dx
∫ 2 + 2x 2
3
arctan x + c
2
B)
2
arctan x + c
3
D)
E) −
C)
2
arc cot x + c
3
2
arc cot x + c
3
soru 3
dx
∫ 7 + 7x 2
E)
1
x
arctan + c
5
5
1
arctanx+c
7
B)
1
arccotx+c
7
D) 7arccotx+c
6dx
x
+c
6
B) arctan
D) 6 arctan6x + c
x
+c
6
C)
1
x
arctan + c
6
6
E) arctan6x + c
soru 7
dx
∫ 16 + x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 arctan 4x + c
C) 7arctanx+c
x
E) arctan +c
7
D)
soru 4
B) arctan 4x + c
1
x
arctan + c
4
4
C)
E) arctan
1
arctan 4x + c
4
x
+c
4
soru 8
dx
∫ 1+ 9x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 arctan x + c
D)
1 – C
x
+c
5
C) arctan 5x + c
∫ 1+ 36x 2
A) 6 arctan
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
3
arc cot x + c
2
1
arctan 5x + c
5
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
soru 6
∫ 1+ 25x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
soru 2
A)
dx
∫ 1+ x 2
B) arctan x + c
1
arctan x + c
3
2 – A
C)
7dx
∫ 49 + x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
arctan 3x + c
3
A) 7 arctan7x + c
E) arctan 3x + c
3 – A
D) arctan
4 – C
5 – B
27
B) arctan7x + c
x
+c
7
6 – E
E)
C)
1
arctan7x + c
7
1
x
arctan + c
7
7
7 – D
8 – D
İntegral
∫
dx
biçimindeki integraller
1-x 2
1
(arcsin x)ý =
İçerisinde
1− x 2
dx
∫
2
ve (arccos x)ý = −
1
1− x 2
ise
∫
dx
1− x 2
=arcsinx+c=–arccosx+c
gibi ifadeler bulunduran ancak tam olarak
1− x
mü yapılarak kurala uygun hale getirilir.
dx
∫
çözüm
kavrama sorusu
∫
dx
∫
2 1− x 2
integralinin eşitini bulunuz.
∫
dx
2 1− x
=
2
1
dx
1
=
arcsin x + c
2 ∫ 1− x 2 2
Cevap:
1
arcsinx+c
2
çözüm
kavrama sorusu
integraline uymayan integrallerde değişken dönüşü-
1− x 2
dx
dx
∫
1− 4x 2
integralinin eşitini bulunuz.
dx
=∫
1− 4x 2
biçiminde yazılır.
1− (2x)2
u=2x ise du=2.dx ⇒ dx=
du
2
du
2
dx
∫
2
1− (2x)
=
1
2∫
du
1− u2
1–u2
1
=
arcsinu + c
2
u=2x yerine yazıldığında
dx
∫=
2
1− 4x
dx
4 − x2
Cevap:
1
arcsin2x+c
2
çözüm
kavrama sorusu
∫
1
arcsin2x + c
2
dx
∫
integralinin eşitini bulunuz.
 x 
4  1−


4 

2
u=
=
1
2∫
dx
x
1−  
2
2
x
dx
ise du =
⇒ 2du =dx
2
2
2du
1
2∫
dx
2
=
2
2
x
1−  
2
∫
du
= arcsinu + c
1− u2
1–u2
x
yerine yazıldığında,
u=
2
∫
28
dx
x
= arcsin + c
2
2
4−x
Cevap: arcsin
x
+c
2
İntegral
soru 1
soru 5
8dx
∫
dx
∫
1− x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1− 9x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8 arcsin x + c
A) 3 arcsin 3x + C
B) 4 arcsin x + c
D) arcsin x + c
E)
C) 2 arcsin x + c
1
arcsin x + c
2
D)
soru 2
dx
4 − 4x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
D) 2 arcsin x + c
1
arcsin x + c
2
E) 4 arcsin x + c
4dx
∫
D)
A) 4 arcsin x + c
B) 2 arcsin x + c
1
arcsin x + c
2
C)
dx
B) arcsin 5x + c
1
arcsin 5x + c
5
E)
C) arcsin
x
+c
5
1
x
arcsin + c
5
5
∫
dx
64 − x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
arcsin x + c
4
A) 8 arcsin8x + c
E) arcsin x + c
D)
soru 4
B) arcsin8x + c
1
x
arcsin + c
8
8
C)
1
arcsin8x + c
8
x
+c
8
E) arcsin
soru 8
∫
−3dx
1− x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) arccosx+c
B) – arccosx+c
D) arccos3x+c
1 – A
x
+c
3
E) arcsin
soru 7
16 − 16x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫
A) 5 arcsin 5x + c
C) arcsin x + c
soru 3
D)
1
arcsin 3x + c
3
1− 25x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
1
arcsin x + c
4
1
x
arcsin + c
3
3
C)
soru 6
∫
A)
B) arcsin 3x + c
2 – B
3 – E
6dx
36 − x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 3arccosx+c
E) arccos
∫
A) 6 arcsin
x
+c
3
x
+c
6
B) arcsin
D) 6 arcsin6x + c
4 – C
5 – C
29
6 – D
x
+c
6
C)
1
x
arcsin + c
6
6
E) arcsin6x + c
7 – E
8 – A
İntegral
İntegral Alma Kuralları
Bu bölüme kadar türev alma kuralları ile belirlediğimiz integral alma kurallarının özeti aşağıdadır.
1)
∫ a.dx=ax+c,
n
2) =
∫ x .dx
(a ∈ R)
x n+1
, (n ≠ −1) n +1
3)
∫ cosx.dx=sinx+c
4)
∫ sinx.dx=– cosx+c
5)
∫a
6)
∫ ex.dx=ex+c
x
ax
.dx = + c, (a ∈R + ) lna
∫=
x
8)
∫ cos2 x =
∫ (1+ tan
9)
∫ sin2 x =
∫ (1+ cot
dx
dx
2
2
x).dx =
tan x + c
− cot x + c
x)dx =
dx
∫ 1+ x 2 =arctan x + c =−arc cot x + c
11)
∫
dx
1− x 2
=
arcsin x + c =
−arc cos x + c
çözüm
∫ (x2+5cosx)dx
∫ (x2+5cosx)dx= ∫ x2dx+5 ∫ cosxdx
biçiminde yazılır.
İntegral alma kuralları uygulandığında,
integralinin eşitini bulunuz.
∫x
2
x 2+1
x3
dx + 5∫ cos dx = + 5=
sin x + c
+ 5 sin x + c
2 +1
3
x3
+5sinx+c
Cevap:
3
çözüm
kavrama sorusu
ln|x|+c
10)
kavrama sorusu
dx
7)
∫ (3ex – sinx)dx
∫ (3ex – sinx)dx=3 ∫ exdx – ∫ sinxdx
biçiminde yazılır.
İntegral alma kuralları uygulandığında,
integralinin eşitini bulunuz.
3 ∫ exdx – ∫ sinxdx=3ex+cosx+c
Cevap: 3ex+cosx+c
çözüm
kavrama sorusu
5

 dx

integralinin eşitini bulunuz.
∫  x − 2
5
x
∫  x − 2
x
dx

− 2 x dx biçiminde yazılır.
 dx =5∫
x ∫

İntegral alma kuralları uygulandığında,
5∫
dx
2x
− 2 x dx = 5ln x −
+c
x ∫
ln2
Cevap: 5lnx −
çözüm
kavrama sorusu

2x
+c
ln2
1


∫  cos x − cos2 x  dx
1

dx
∫  cos x − cos2 x  dx =
∫ cos xdx −∫ cos2 x
integralinin eşitini bulunuz.
biçiminde yazılır.
İntegral alma kuralları uygulandığında,
dx
∫ cos xdx −∫ cos2 x =sin x − tan x + c
Cevap: sinx–tanx+c
30
İntegral
soru 1
soru 5
∫ (3x
2
+ 2x + 1) dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 3+x+c
B) x 2+x+c
D) x3+x2+x

1
∫  x − x  dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) x 3+x 2+c
A)
E) x3+x2+x+c
x2
+x+c
2
D)
soru 2
x2 x
+ +c
2 2
B)
x2
− ln|x|+c
2
E)
C) x 2 − ln|x|+c
x2
+ ln|x|+c
2
soru 6
∫ (e
x
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) ex+
5x
+c
ln5
D) ex5xln5+c
C) ex+5xln5+c
E) ex+5x+ln5+c
soru 3

1
2
)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)

x3
+ sin x + c
3
x3
− sin x + c
3
C) x 3 − sin x + c
E) sin x − x 3 + c
soru 7

∫  sin2 x − sin x  dx
B)
D) sin x + x 3 + c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) ex+5x+c
∫ (cos x − 3x
+ 5 )dx
1
1

∫  1+ x 2 + cos2 x  dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cosx – cotx+c
A) arctanx – tanx+c
B) arctanx+tanx+c
C) arctanx – cotx+c
D) arctanx+cotx+c
B) cotx – cosx+c
D) cosx+cotx+c
C) – cosx – cotx+c
E) – cotx+c
E) arccotx – cotx+c
soru 4
soru 8

∫  3x
2
+
1

 dx
1+ x 
2
∫
dx
1− x
2
+∫
dx
1+ x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x3+arctanx+c
A) arctanx+arccotx+c
B) arctanx – arccotx+c
C) arctanx – arcsinx+c
D) arcsinx+arctanx+c
D)
B) x3– arctanx+c
x3+arcsinx+c
E)
C) x3+arccotx+c
x3 – arccosx+c
E) arcsinx – arctanx+c
1 – E
2 – B
3 – A
4 – A
5 – D
31
6 – E
7 – B
8 – D
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
 10
∫  1+ x 2 + 5.2
x
−
4
1− x

integralinin eşitini bulunuz.
2

 dx

Verilen ifadeyi yeniden düzenlersek,
dx
1
10 ∫
+ 5 ∫ 2 x dx − 4 ∫
dx
1+ x 2
1− x 2
= 10 arctan x +
5.2 x
− 4 arcsin x + c
ln2
Cevap: 10arctanx +
çözüm
kavrama sorusu
 2

+ 5  dx

integralinin eşitini bulunuz.
∫  x 3 + 4.x
Verilen ifadeyi tekrar düzenlersek,
−5
2∫
= 2
dx
x3
+ 4 ∫ x −5dx + 5∫ dx = 2∫ x −3dx + 4 ∫ x −5dx + 5∫ dx
x −3+1
x −5+1
x −2
x −4
+4
+ 5x +=
+4
+ 5x + c
c 2
−3 + 1
−5 + 1
−2
−4
=
− x −2 − x −4 + 5x + c
∫(3
Cevap: – x – 2 – x – 4 +5x+c
çözüm
kavrama sorusu
5.2 x
− 4arcsinx +c
ln2
x + 2 3 x ) dx
Verilen ifadeyi tekrar düzenlersek,
1
1
integralinin eşitini bulunuz.
3∫ x dx + 2∫ 3 x dx =3∫ x 2 dx + 2∫ x 3 dx
1
1
+1
4
3
+1
x2
x3
x2
x3
= 3
+2
+=
+2
+c
c 3
3
4
1
1
+1
+1
2
3
2
3
3
=2x 2 +
4
3 3
x +c
2
= 2 x3 +
3
2
3
x4 + c
Cevap: 2 x 3 +

∫  5 sec

2
x+
15 
dx

x2 
sec x =
1
cos 2 x
x 4 +c
Verilen ifadeyi tekrar düzenlersek,
5
∫
5 sec 2 xdx + 15
integralinin eşitini bulunuz.
2
3
çözüm
kavrama sorusu
3
2
olduğunu hatırlayınız.
dx
∫ 5 x2
= 5
dx
∫ cos2 x + 15∫ x
2
− +1
5
−
2
5 dx
3
x5
= 5.tan x + 15.
=
+ c 5 tan x + 15
+c
3
2
− +1
5
5
x
3
5
= 5 tan x + 25x 5 =
+ c 5 tan x + 25 x 3 + c
5
Cevap: 5tanx+25 x 3 +c
32
İntegral
soru 1
soru 5
∫ (x +
1
 dx
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x +
3
x
+c
2
D)
B)
x2
+
2
x2 2 x
+
+c
2
3
x3
+c
2
E)
C)
x2 2 x3
+
+c
2
3
−
x4
− ln x + c
4
x2 3 x3
+
+c
2
2
D)
1
1 
∫  x + x 2  dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
x4
+ ln x + c
4
C)
E)
x5
+x+c
5
x5
−x+c
5
x5
− ln x + c
5
B) ln x −
1
x2
−
1
x3
+c
1
+c
2x
E)
C) ln x −
2
x2
−
3
x3
2
+c
3x
3
1
x2 −
A)
33 x 5
− tan x + c
5
C)
2 x3
+ tan x + c
5
B)
D)

E) e .e x −
2.2 x
+c
ln2
2x
+c
ln2
5
∫  2 + 2x 2 + 1+ tan
2

x  dx

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
23 x 4
− tan x + c
5
A)
x3
+ tan x + c
5
C)
5
2
5
2
arctanx+tanx+c
B)
arctanx+cotx+c
D)
5
2
5
2
arctanx + tanx–x+c
arctanx – cotx+c
E) arctanx+x+tanx+c
soru 4
soru 8

∫  x
1 
 dx
x 
x−
6

2
x+
 dx
1− x 2 

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x3
1
−
+c
3
2 x
2 x
5
5
B)

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D)
2x
+c
ln2
C) e .e x +
soru 7
2 x
+ cot x + c
5
E)
B) e x + 2 x.ln2 + c
D) e .e x +

 dx
cos 2 x 
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
∫ 
e .e x + 2.2 x ) dx
A) e x + 2 x + c
+c
soru 3
∫(
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
1
+c
x
D)
1 – C
3
soru 6
A)
∫ x  x
A)
soru 2
A) ln x −

x )dx
x3
2
+
+c
3
x
C)
3
2 x
5
−2 x +c
E)
2 – A
3 – A
4
2 x3
− x +c
5
∫  3 + 3 tan
A) 3x+tanx+6arcsinx+c
B) 3x+6arcsinx+c
C) 3tanx+6arcsinx+c
D) tanx+arctanx+c
E) 3tanx+6arctanx+c
−2 x +c
4 – D
5 – D
33
6 – C
7 – A
8 – C
İntegral
Değişken değiştirme yöntemini integral alma kuralları örnekleri içerisinde uygulamıştık. Değişken değiştirmede, integrali alınacak
ifade içerisinde hangi dönüşümleri yaptığımız çok önemlidir. Aşağıdaki tabloda bunu içeren örnekler görebilirsiniz.
kavrama çalışması
İntegral İfadesi
"u" ya atanacak
ifade
"u" nun
diferansiyeli "du"
Dönüşmüş
İntegral
Sonuç
∫ (x3+2x)4.(3x2+2)dx
x3+2x
(3x2+2)dx
∫ u4du
1 5
1 3
u +=
c
(x + 2x)5 + c
5
5
∫ x 3 + 4 dx
x3+4
3x2 dx
du
u
ln|u|+c=ln|x3+4|+c
∫ esinx.cosx dx
sinx
cosx dx
∫ eu.du
eu+c=esinx+c
ln3 x
dx
x
lnx
1
dx
x
∫ u3du
1 4
1 4
u=
+c
ln x + c
4
4
x3
+1
3
x2 dx
∫ sinudu
 x3

− cosu + c =
− cos 
+ 1 + c
 3

sinx
cosx dx
∫ 1+ u2 du
3x 2
∫
∫x
2
 x3

+ 1 dx
.sin 
 3

cos x
∫ 1+ sin2 x dx
∫
(arctan x)6
1+ x
2
dx
∫ 3x2cos(x3)dx
∫
arcsin x
1− x
2
dx
∫ 3x +x (2x+1)dx
2
e tan x
∫ cos2 x dx
2x
arctanx
x3
arcsinx
x2+x
tanx
∫ (x 2 + 1)ln(x 2 + 1) dx
ln(x2+1)
∫ 5xsin5x ln5dx
5x
1
1+ x
2
dx
3x2 dx
1
∫
1
∫ u6du
∫ cosudu
arctanu+c=arctan(sinx)+c
1 7
1
=
u +c
(arctan x)7 + c
7
7
sinu+c=sinx3+c
u2
1
=
+c
(arcsin x)2 + c
2
2
dx
∫ udu
(2x+1)dx
∫ 3udu
3u
3x + x
=
+c
+c
ln 3
ln 3
dx
∫ eudu
eu+c=etanx+c
dx
∫
du
u
ln u=
+ c ln ln x 2 + 1 + c
∫ sinudu
–cosu+c=–cos5x+c
1− x
2
1
cos 2 x
2x
2
x +1
5xln5dx
34
2
İntegral
soru 1
∫ (x
soru 5
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
(x 2 + x)2
+c
2
D)
B)
(x 2 + x)
+c
2
C)
E)
(2x + 1)2
+c
3
(2x + 1)2
+c
2
(2x + 1)
+c
2
A) f ý(x) + c
B) x 2 − x + c
D) ln 2x − 1 + c
E)
1
ln 2x − 1 + c
2
soru 3
2x
∫ x 2 + 1 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln 2x + c
D)
1
ln x 2 + 1 + c
2
E)
(x
C) ln x + c
1
ln(x+3)+c
2
1 2
ln (x+3)+c
2
C) ln(x+3)+c
1 3
ln (x+3)+c
3
E)
3x 2dx
∫ (x 3 − 1)ln x 3 − 1
A) x 3 – 1+c
1
ln x 2 + 1 + c
4
B) 3x 2 +c
D) ln|x3 – 1|+c
C) ln|3x 2 |+c
E) lnlnx3 – 1)+c
soru 8
3
+1)
.3x 2dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) e 3x + c
B) 3x 2 .e x
1 3
D) e x +1 + c
2
1 – A
B)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
B) ln x + 1 + c
1
ln(x+3)+c
3
soru 7
soru 4
2
f 4 (x)
+c
4
ln(x + 3)
dx
x+3
D)
2
∫
A)
C) ln x 2 − x + c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
x2 x2
−
+c
3
2
∫e
E)
[f '(x)]2
+c
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
[f '(x)]3
+c
3
C)
soru 6
2x − 1
B) f(x) + c
D)
∫ x 2 − x dx
A)
ýý
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
soru 2
ý
∫ f (x).f (x) dx
+ x).(2x + 1) dx
2 – C
3
+1
+c
arcsin x
1− x 2
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) e x
3
+1
+c
A) arcsin x + c
1 3
E) e x +1 + c
3
3 – B
∫
D)
4 – C
5 – C
35
B)
1
(arcsin x)2 + c
2
1
(arccos x) + c
2
6 – D
E)
C)
1
arcsin x + c
2
1
(arcsin x)3 + c
3
7 – E
8 – B
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
∫e
x 2 +2
u=x2+2 dönüşümü yapalım.
.xdx
integralinin eşitini bulunuz.
u=x2+2 ise du=2x.dx ve x.dx=
∫e
x 2 +2
=
.xdx
u du
∫ e ⋅=
2
du
olur.
2
1 u
1 u
e=
.du
e +c
2∫
2
u=x2+2 yerine yazıldığında,
∫e
x 2 +2
=
.xdx
1 x 2 +2
+c
e
2
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫ cos(x
3
1 x 2+2
e
+c
2
+ 1).x 2dx
u=x3+1 dönüşümü yapalım.
u=x3+1 ise du=3x2.dx ve x2.dx=
integralinin eşitini bulunuz.
∫ cos( x
du 1
1
= ∫ cosu.du = sinu + c
3
3
3
+ 1). x 2 dx =∫ cosu
3
du
3
u=x2+1 yerine yazıldığında,
∫ cos(x
3
2
+ 1).x
=
dx
1
sin(x 3 + 1) + c
3
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
5 x2
∫ x3
+5
u=x3+5 dönüşümü yapalım.
dx
u=x3+5 ise du=3x2dx ve x2.dx=
integralinin eşitini bulunuz.
5 x2
5 du 5 du
=
dx ∫ =
=
⋅
u 3
3∫ u
+5
u=x3+5 yerine yazıldığında,
∫ x3
5 x2
∫ x3
=
dx
+5
du
3
5
ln|u| + c
3
5
ln x 3 + 5 + c
3
Cevap:
5
ln x 3 + 5 + c
3
çözüm
kavrama sorusu
1
sin(x 3 +1)+c
3
sin x
∫ tan xdx
∫ tan xdx = ∫ cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
ifadesinde, cosx=u dönüşümü yapalım.
cosx=u ise – sinxdx=du ve sinxdx=– du
sin x
du
−∫
∫ tan xdx =
∫ cos x dx =
u
=
− ln|u|+ c
u=cosx yerine yazıldığında,
− ln|cos x | + c
∫ tan xdx =
36
Cevap: – ln|cosx|+c
İntegral
soru 1
soru 5
∫ 4e
2x
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) e 2x +c
B) 2e 2x +c
D)
E)
2
8e2x+c
B)
C) 2 sin(3x 2 − 4x) + c
D) sin(3x 2 − 4x) + c
soru 2
1
sin(3x 2 − 4x) + c
2
soru 6
6x + 3
∫ x 2 + x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln|x2+x|+c
B) 2ln|x2+x|+c
D) 4ln|x2+x|+c
∫ sin(e
C) 3ln|x2+x|+c
A) −
E) 6ln|x2+x|+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
∫3
2
x +5
.xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
+5
B) 3 x
+c
2
+5
.x 2 + c
2
D)
C) 3 x
E)
)e 3x dx
1
cos ( e 3x ) + c
3
2
+5
.ln 3 + c
3 x +5
+c
2ln 3
B)
1
sin ( e 3x ) + c
3
∫
1
∫ x.ln x 2
dx
1
ln|x|+ c
2
D)
1 – A
1 – B
1
sin ( e 3x ) + c
3
E) − 3.cos ( e 3x ) + c
dx
1+ 4x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
(arctan2 x )2 + c
2
B)
1
arctan2 x 2 + c
2
C)
1
arctan4 x 2 + c
2
D)
1
(arctan2 x )2 + c
4
1
arctan4 x + c
4
soru 8
B)
1
ln x 2 + c
2
1
ln ln|x 2| + c
2
2 – C
2 – B
cos 3x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
arctan2x
E)
soru 4
1
cos ( e 3x ) + c
3
soru 7
2
3 x +5
+c
ln 3
3x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D) −
2
1
cos(3x 2 − 4x) + c
2
A) cos(3x 2 − 4x) + c
E)
A) 3 x
− 4x)(3x − 2)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 4e 2x +c
6e2x+c
∫ cos(3x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 2.ln x 2 + c
A) 3arctan(sin3x)+c
B)
1
arctan(sin3x)+c
3
1
1
D)
arctan(cos3x)+c
C) – arctan(sin3x)+c
3
3
E) 3arctan(cos3x)+c
E) ln ln|x 2| + c
3 – C
3 – E
∫ 1+ sin2(3x) dx
4 – D
5 – A
5 – E
37
6 – A
6 – B
7 – C
7 – D
8 – D
8 – B
İntegral
Türevi verilen fonksiyonun asıl fonksiyonunu bulma işleminin integral olduğunu öğrenmiştik. İkinci, üçüncü vs.
türevleri verilen fonksiyonların asıl fonksiyonlarınıda arka arkaya integral olarak bulabiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
ı
ı
f (x)=2x+4 ise f(x)= ∫ (2x+4)dx=x2+4x+c
f (x)=2x+4 ve f(1)=8
f(1)=8 ise f(1)=12+4.1+c=8 ve c=3 bulunur.
olduğuna göre, f(2) kaçtır bulunuz.
Buna göre, f(x)=x2+4x+3 ve f(2)=22+4.2+3=15
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
ı
ı
f (x)=cosx+4 ise f(x)= ∫ (cosx+4)dx=sinx+4x+c
f (x)=cosx+4 ve f(0)=3
π
olduğuna göre, f   kaçtır bulunuz.
2
f(0)=3 ise f(0)=sin0+4.0+c=3 ve c=3 bulunur.
π
π
π
f(x)=sinx+4x+3 ise f   = sin + 4 ⋅ + 3 = 4 + 2 π
2
2
2
Cevap: 4+2p
çözüm
kavrama sorusu
ıı
ı
ıı
ı
f (x)=6x+2 ise f (x)= ∫ (6x+2)dx=3x2+2x+c1
f (x)=6x+2 ve f(0)=f (0)=2
ı
ı
f (0)=2 ise f (0)=3.02+2.0+c1=2 ve c1=2
olduğuna göre, f(1) kaçtır bulunuz.
ı
c1=2 ise f (x)=3x2+2x+2 dir.
ı
Buna göre, f (x)=3x2+2x+2 ise
f(x)= ∫ (3x2+2x+2)dx=x3+x2+2x+c2
f(0)=2 ⇒ f(0)=03+02+2.0+c2=2 ve c2=2
c2=2 ise f(x)=x3+x2+2x+2 ve f(1)=13+12+2.1+2=6
Cevap: 6
çözüm
kavrama sorusu
ıı
ı
ıı
ı
f (x)=12x2 – 12x+4 ise f (x)= ∫ (12x2–12x+4)dx=4x3 – 6x2+4x+c1
f (x)=12x2 – 12x+4, f(1)=2 ve f (0)=3
ı
ı
f (0)=3 ise f (0)=4.03 – 6.02+4.0+c1=3 ve c1=3
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
ı
c1=3 ve f (x)=4x3 – 6x2+4x+3
Buna göre,
ı
f(x)= ∫ f (x)dx= ∫ (4x3 – 6x2+4x+3)dx=x4 – 2x3+2x2+3x+c2
f(1)=2 ise 14 – 2.13+2.12+3.1+c2=2 ve c2= – 2
c2=– 2 ise f(x)=x4 – 2x3+2x2+3x – 2
Cevap: x4 – 2x3+2x2+3x – 2
38
İntegral
soru 1
soru 5
1
=
ve f(1) 5
x
olduğuna göre, f(e2) kaçtır?
f ý(x) =
3x 2 − 1 ve f(1) =
5
olduğuna göre, f( – 1) kaçtır?
A ) 3
B ) 4
=
f ý(x)
C ) 5
D ) 6
E ) 7
A ) 8
soru 2
C ) 6
D ) 5
E ) 4
soru 6
ı
f (x)=x3+2x
B ) 7
ve f( – 2)=1
y=f(x) fonksiyonunun eğrisi x=1 noktasında x eksenine teğettir.
ı
f (x)=x – m olduğuna göre, f(3) kaçtır?
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A ) 1
B ) 2
C ) 3
D ) 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
A ) 1
E ) 9
B ) 2
C ) 3
D ) 4
E ) 5
soru 7
ıı
ı
f (x)=6x+18 olmak üzere, f(1)=3 ve f (1)=1 dir.
Buna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x)=x3+3x2+7x+9
B) f(x)=x3+6x2+9x+18
C) f(x)=x3+9x2 – 20x+13
D) f(x)=x3+9x2+20x+9
E)
f(x)=x3 – 9x2 – 18x – 27
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun türevi
ı
f (x)=2x2+1 olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) −
55
3
B) −
40
3
C) −
20
3
D) −
17
3
E) −
11
3
soru 4
soru 8
d2 f(x)
= 24x 2 − 2x olmak üzere,
dx 2
ı
f (x)=1 – sinx ve f(0)=0
olduğuna göre, f(p) kaçtır?
A) p+2
B) p+1
C) p
D) p – 1
E) p – 2
df(x)
ve f(1) 2
= 1=
dx
x=
1
2
Buna göre, f( – 1) kaçtır?
A)
1 – A
1 – C
2 – A
2 – B
3 – C
3 – A
4 – D
4 – E
5
3
5 – A
5 – B
39
B)
8
3
C)
6 – B
11
6
D)
13
6
7 – C
E)
17
6
8 – D
İntegral
Kısmi İntegral Alma Yöntemi
Çarpım şeklinde olup, değişken değiştirme yöntemi ile çözülemeyen integrallerde kısmi integral alma yöntemi uygulanır.
∫ u.dv=u.v – ∫ v.du
formülü ile integrallerin basitleştirilmesine dayalı bir yöntemdir.
Uyarı
Kısmi integrasyon yöntemi uygulanırken, integral içindeki hangi ifadeye "u" dönüşümü yapılacağı genellikle,
L
Logaritmik
fonksiyonlar
sıralaması gözetilerek yapılır.
A
P
T
Ü
üstel
fonksiyonlar
trigonometrik
arc'li yani ters
trigonometrik
polinom
fonksiyonlar
fonksiyonlar
fonksiyonlar
İntegrali Alınacak
İfade
"u" ya atanacak
ifade
"dv" ye atanacak
ifade
du
v
u.v – ∫v.du
∫x.exdx
x
exdx
dx=du
∫xdx=ex
x.ex – ∫exdx
∫x.cosxdx
x
cosxdx
dx=du
∫cosxdx=sinx
x.sinx – ∫sinxdx
∫x.arctanxdx
arctanx
xdx
x
∫ cos 2 x dx
x
∫x.sinxdx
x
1
1+ x
dx
cos 2 x
sinxdx
2
dx = du
∫ xdx =
x2
2
arctan x.
dx
x2
x 2dx
−∫
2
2(1+ x 2 )
dx=du
∫ cos 2 x = tan x
x.tanx – ∫tanxdx
dx=du
∫sinxdx=– cosx
– x.cosx+ ∫cosxdx
çözüm
kavrama sorusu
∫ x ln xdx
integralinin eşitini bulunuz.
x xdx

∫ x ln xdx = ∫ ln
u dv
(u=lnx dönüşümünü LAPTÜ sıralama-
sında logaritma polinomdan önce geldiği için yapıldı.)
1
x2
=v
u=lnx ⇒ du= dx ve xdx=dv ⇒
x
2
∫ u.dv=u.v – ∫ v.du bağıntısından,
ln xdx
∫ x=
= ln x ⋅
ln x ⋅
x2
x2
−∫
2
2
⋅
1
dx
x
x2 1
x2 x2
− ∫ xdx
= ln x ⋅
−
+c
2 2
2
4
Cevap:
40
1 2
1
x lnx − x 2 +c
2
4
İntegral
soru 1
soru 5
∫ x sin xdx
∫ (x + 1).cos xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x.sinx+cosx+c
A) (x+1).sinx+cosx+c
B) (x+1).cosx+sinx+c
C) (x+1).sinx – cosx+c
D) (x+1).cosx – sinx+c
B) x.sinx+sinx+c
D) – x.cosx+sinx+c
C) x.cosx+sinx+c
E) – x.cosx – sinx+c
E) (x+1).sinx – sinx+c
soru 2
soru 6
∫x
2
.ln xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1 3
1
x ln x − x 3 + c
3
9
B)
1
1
C) x 3 ln x − x 3 + c
9
9
E)
∫ x.e
5x
dx
B) x.e 5x + e 5x + c
1 5x
e +c
5
D)
E)
1
x.e 5x − e 5x + c
5
xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tanx – ln|cosx|+c
B) tanx+ln|cosx|+c
C) tanx+(x+1).ln|cosx|+c
D) (x+1).tanx – ln|cosx|+c
1
1 5x
x.e 5x −
e +c
5
25
x
dx
x.3 x
3x
−
+c
ln 3 (ln 3)2
B)
x
x.3
3
−
+c
ln 3 ln 3
D)
∫ x.sin 3xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x.3 x
2
(ln 3)
−
3x
+c
ln 3
A) x.cos 3x + sin 3x + c
C) −
x.3 x
− 3x + c
ln 3
1
1
x.cos 3x + sin 3x + c
3
9
E) −
E) x.3 x − 3 x + c
1 – A
1 – D
2
E) (x+1).tanx+ln|cosx|+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C)
∫ (x + 1).sec
soru 8
∫ x.3
x
E) x2.e–x+e–x+c
soru 7
soru 4
A)
C) – x.e–x+e–x+c
1 3
1 3
x ln x −
x +c
27
9
A) x.e 5x − e 5x + c
B) x.e–x – e–x+c
D) – x.e–x – e–x+c
1
1 3
D) x 3 ln x −
x +c
3
27
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) x.e 5x −
dx
A) x.e–x+e–x+c
1 3
1
x ln x − x 3 + c
3
3
soru 3
−x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
∫ x.e
2 – B
2 – A
3 – C
3 – E
4 – D
4 – A
5 – A
41
B)
1
1
x.cos x + sin 3x + c
3
9
D) −
1
1
x.cos x − sin 3x + c
9
9
1
1
x.cos x −
sin 3x + c
27
27
6 – B
6 – D
7 – C
7 – E
8 – D
8 – C
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
∫ ln xdx
integralinin eşitini bulunuz.
x dx

∫ ln
u
dönüşümlerini yapalım,
dv
=
u ln x=
ise du
1
dx
=
ve dv dx
=
ise x v
x
∫ u.dv=u.v – ∫ v.du
bağıntısından,
xdx
∫ ln=
1
⋅ dx
= x.ln x − ∫ dx
= x.ln x − x + c
x
ln x.x − ∫ x ⋅
Cevap: x.lnx – x+c
çözüm
kavrama sorusu
∫ arctan xdx
integralinin eşitini bulunuz.



x dx
∫ arctan
dönüşümlerini yapalım,
dv
u
=
u arctan x=
ise du
∫ u.dv=u.v – ∫ v.du
xdx
=
∫ arctan
1
1+ x 2
dx
=
ve dv dx
=
ise x v
bağıntısından,
x.arctan x − ∫
x
1+ x 2
dx
(I) ifadesi elde edilir.
Şimdi de u=1+x2 dönüşümü kullanarak
ni çözelim.
du
u=1+x2 ise du=2x.dx ve xdx=
2
x
∫ 1+ x 2 dx
integrali-
x
1 du 1
1
=
+c
ln|u|=
ln|1+ x 2|+c
2∫ u 2
2
elde ettiğimiz sonucu (I) integralinde yerine yazdığımızda,
1
xdx x.arctan x − ln|1+ x 2|+c
∫ arctan=
2
1
Cevap: x.arctanx − ln|1+ x 2 |+c
2
dx
∫ 1+ x 2 =
çözüm
kavrama sorusu
2
2x
dx
∫ xu .e
2
∫ x .e dx
integralinin eşitini bulunuz.
x
dönüşümlerini yapalım,
dv
u=x2 ise du=2xdx ve dv=exdx ise v=ex
∫ u.dv=u.v – ∫ v.du bağıntısından,
∫ x2.exdx=x2.ex – ∫ ex.2xdx (I) ifadesi elde edilir.
∫ x2.2xdx integraline tekrar kısmi integrasyon uygulayalım.
x
2∫ x .e
dx dönüşümlerini yapalım,
u
dv
u=x ise du=dx ve exdx=dv ise ex=v
(
)
2∫ x.e x dx
= 2 x.e x − ∫ e x dx= 2(x.e x − e x ) + c
elde ettiğimiz sonucu (I) integralinde yerine yazdığımızda,
∫x
2
.e x dx
= x 2 .e x − 2(x.e x − e x ) +=
c x 2e x − 2xe x + 2e x + c
Cevap: x2ex – 2xex+2ex+c
42
İntegral
soru 1
soru 5
∫ log xdx
∫ arctan2xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x.logx+x+c
A) x2.arctan2x – ln|1+4x2|+c B) 2x.arctan2x – ln|1+4x2|+c
B) x.logx – x+c
C) x.logx – x.loge+c
E) x.logx – x2+c
D) x.logx – x.loge+c
C) x.arctan2x – ln|1+4x2|+c D) x.arctan2x – E) x.arctan2x – soru 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x
+c
2
B) x.ln|2x|− x + c
∫ ln|x
4
.ln xdx
A) x 5 .ln x − x 5 + c
C) x.ln|2x|−2x + c
E) ln|2x|−2x + c
soru 3
2
∫x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) x.ln|2x|− x 2 + c
1
ln|1+4x2|+c
4
soru 6
∫ ln|2x|dx
A) x.ln|2x|−
1
ln|1+4x2|+c
2
x 5 .ln x x 5
−
+c
5
25
E)
C) x 5 .ln x +
x 5 .ln x x 5
−
+c
25
25
∫x
2
.sin xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln|x2| – x+c
A) x2.cosx +x.sinx +cosx+c
B) ln|x2|+x+c
D) x.ln|x2| – 2x+c
C) ln|x2|+2x+c
x5
+c
25
soru 7
|dx
B) x 5 .ln x + x 5 + c
B) – x2.cosx+2x.sinx +2cosx+c
E) 2.ln|x2| – x+c
C) – x2.cosx– x.sinx +cosx+c
D) – x2.cosx– 2x.sinx +2cosx+c
E) – x2.cosx– 2x.cosx+2sinx+c
soru 4
soru 8
∫ arcsin xdx
∫ arc cot xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x.arcsin x + 2 1− x 2 + c
B) x.arcsin x − 2 1− x 2 + c
C) x.arcsin x + 1 1− x 2 + c
D) arcsin x − ln 1− x 2 + c
1.
ln(1+x2)+c
2
B) xarccotx+ln(1+x2) +c
A) xarccotx+
C) xarccotx+2.ln(1+x2) +c
1− x 2
E) arcsin x + ln
+c
2
1 – A
1 – C
2 – B
3 – C
3 – D
D) xarccotx+x.ln(1+x2) +c
E) xarccotx+x2.ln(1+x2) +c
4 – D
4 – A
5 – A
5 – E
43
6 – D
6 – B
7 – C
7 – B
8 – D
8 – A
İntegral
∫ f(x).g(x)dx integralinde f(x) polinom fonksiyon ve g(x) integrali kolay alınabilen bir fonksiyon ise
Örneğin; ∫ x.cosxdx integralinde
Türev
İntegral
(+) x
cosx
(–) 1
sinx
(+) 0
– cosx
∫ x.cosxdx=x.sinx+(– 1).(– cosx)+c=x.sinx+cosx+c bulunabilir. Polinom fonksiyonun sıfır olana kadar başına sırasıyla +, –, +, ... işaretleri konularak türevi alınır. Diğer fonksiyonunda sırayla integrali alınır. Türev ve integraller
ok yönünde çarpılarak sonuçlar toplanır.
çözüm
kavrama sorusu
2 2x
∫ x .e dx
integralinin eşitini bulunuz.
Türev
(+)
İntegral
x2
e2x
(–) 2x
e2x / 2
(+) 2
e2x / 4
(–) 0
e2x / 8
Türevler ve integraller ok yönünde çarpılıp sonuçları topladığımızda,
x 2 .e 2x 2x.e 2x 2e 2x
2 2x
∫ x .e dx= 2 − 4 + 8 + c
çözüm
kavrama sorusu
∫ (1+ x ).sin5xdx
integralinin eşitini bulunuz.
2
Türev
İntegral
(+) 1+x2
sin5x
(–) 2x
−
cos 5x
5
(+) 2
−
sin5x
25
cos 5x
125
(–) 0
Ok yönünde çarpılıp, sonuçlar toplandığında,
∫ (1+ x
2
(x 2 + 1).cos 5x 2x.sin5x 2 cos 5x
−
+
+
+c
).sin5xdx =
5
25
125
çözüm
kavrama sorusu
x
∫ e .cos xdx
integralinin eşitini bulunuz.
u=cosx ise du=– sinxdx ve dv=exdx ise v=ex
∫ u.dv=u.v – ∫ v.du bağıntısından,
∫ ex.cosxdx=ex.cosx+ ∫ ex.sinxdx (I) bulunur.
∫ ex.sinxdx integraline tekrar kısmi integrasyon uygulanır.
Uyarı
Bazı integral sorularında çözüm adımlarını uygularken
u=sinx ise du=cosxdx ve dv=exdx ise v=ex
=sinx.ex – ∫ ex.cosxdx sonucu (I) de yerine yazıldığında,
başlangıçta sorulan integral tekrar karşınıza çıkabilir. Bu
∫e
durumla ilgili verdiğimiz bu kavrama sorusunu dikkatle in-
x
x
.cos xdx = e x .cos x + sin x.e x − ∫ e
.cos xdx

sorulan int egral
2.∫ e .cos
=
xdx e .cos x + sin x.e
x
celeyiniz.
∫e
44
x
.cos xdx =
x
x
ex
(cos x + sin x.e x ) + c
2
İntegral
soru 1
soru 5
∫ x.e
2x
x.e 2x e 2x
A)
−
+c
2
4
D)
B) x3.cosx – 3x2.sinx –6x.cosx– 6sinx+c
C) – x3.cosx+3x2.sinx –6x.cosx– 6sinx+c
x.e 2x
− e 2x + c
5
D) x3.cosx +3x2.sinx+6x.cosx– 6sinx+c
E) – x3.cosx+3x2.sinx+6x.cosx– 6sinx+c
E) x.e 2x − e 2x + c
soru 2
soru 6
∫ (x
2
+ 2x).e x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ex.x2 – x.ex+c
B) ex.x2 – 2.ex+c
ex.x2+ex+c
E)
A)
ex.x2+c
2
x 2 .2 x 2x.2 x
2.2 x
−
+
+c
2
ln2
(ln2)
(ln2)3
C) x.2 x −
B)
x 2 .2 x
2x
2x
−
+
+c
2
ln2
(ln2)
(ln2)3
2 x.x
2x
+
+c
ln2 (ln2)2
D) x.2 x +
E) x.2 x −
2x
2.2 x
+
+c
ln2 (ln2)2
2x
2x
−
+c
ln2 (ln2)2
f(x)= ∫ 2x2.exdx olmak üzere, f(0)=0 dır.
+ x + 1).e x dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ex(x2+x)+c
B) ex(x2+x – 1)+c
D) ex(x2+x+2)+c
Buna göre, f(1) kaçtır?
C) ex(x2+x+1)+c
A) – e
B) – 2e
C) 3e – 4
D) 2e – 4
E) 5e – 4
E) ex(x2 – x+2)+c
soru 4
soru 8
∫ 5x
2
.cos xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
– 5x2.sinx+5x.cosx
C) – 5x2.sinx+x.cosx
∫e
+10sinx+c
+sinx+c
D) 5x2.sinx +5.cosx +10sinx+c
3 – C
3 – E
.sin xdx
A)
1 x
e (sin x + cos x) + c
2
B)
C)
1 x
e (cos x − sin x) + c
2
D) e x (sin x + cos x) + c
E) 5x2.sinx –5.cosx +10sinx+c
2 – B
2 – E
x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 5x2.sinx +10x.cosx –10sinx+c
1 – A
.2 x.dx
soru 7
∫ (x
A)
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
soru 3
∫x
C) ex.x2 – ex+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D)
.sin xdx
A) – x3.cosx+3x2.sinx+6x.cosx– 6sinx+c
x.e 2x e 2x
B)
−
+c
2
2
e 2x
+c
2
3
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) x.e 2x −
∫x
dx
1 x
e (sin x − cos x) + c
2
E) e x (sin x − cos x) + c
4 – B
4 – D
5 – A
5 – A
45
6 – A
6 – B
7 – C
7 – D
8 – D
8 – B
İntegral
Rasyonel (Kesirli) fonksiyonların integralini alma
P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere,
P(x)
biçimindeki fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonQ(x)
larda payın derecesi paydanın derecesinden büyük veya eşit ise paydaki fonksiyon, paydaya bölünerek integral alınır.
P(x)
–
Q(x)
= B(x) +
B(x) ⇒ P(x)
K(x)
K(x)
şeklinde yazılıp integral alınır.
Q(x)
çözüm
kavrama sorusu
x+1
∫ x − 1 dx
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan pay, paydaya
bölünür.
x+1 x–1
x +1
2
= 1+
⇒
– x–1 1
x −1
x −1
2
integralinin eşitini bulunuz.
x+1
2 

dx
∫ x − 1 dx =∫  1+ x + 1 dx = ∫ dx + 2 ∫ x + 1 = x + 2ln x + 1 + c
değişken dönüşümü
ile hesaplanır.
Cevap: x+2ln|x+1|+c
çözüm
kavrama sorusu
∫
2x − 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x+1
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan pay, paydaya
bölünür.
2x–1 x+1
2x − 1
3
= 2−
⇒
– 2x+2 2
x +1
x +1
– 3
∫
2x − 1
dx =
x +1
3 

dx
∫  2 − x + 1  dx = 2∫ dx − 3 ∫ x + 1 =
2x − 3ln x + 1 + c
değişken dönüşümü
ile hesaplanır.
Cevap: 2x – 3ln|x+1|+c
çözüm
kavrama sorusu
∫
2
x +1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x −1
Payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğu için
pay, paydaya bölünür.
x2+1 x–1
– x2–x x+1
x+1
– x–1
⇒
x2 +1
2
= x + 1+
x −1
x −1
2
∫
=
2
x +1
=
dx
x −1
2 

∫  x + 1+ x − 1  dx
∫ x dx + ∫ 1dx
+ 2∫
dx 1 2
=
x + x + 2ln x − 1 + c
x −1 2
değişken dönüşümü
ile hesaplanır.
Cevap:
46
1 2
x + x+2ln x − 1 +c
2
İntegral
soru 1
soru 5
x −1
x2 −1
∫ x + 1 dx
∫ x 2 + 1 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x+lnx+1+c
B) x–lnx+1+c
A) x+arctanx+c
B) x–arctanx+c
C) x–2lnx+1+c
D) x+2lnx+1+c
C) 2x–arctanx+c
D) 2x+arctanx+c
x2 – 2lnx+1+c
E)
E) x–2arctanx+c
soru 2
soru 6
∫
3x + 1
dx
x +1
x2 + 4
∫ x 2 + 1 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x–2lnx+1+c
B) 3x+2lnx+1+c
A) 3x–arctanx+c
B) x+arctanx+c
C) 3x–lnx+1+c
D) 3x+lnx+1+c
C) x–arctanx+c
D) x–3arctanx+c
E) x+3arctanx+c
soru 3
∫
5x − 1
dx
x+2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x–lnx+2+c
B) x+lnx+2+c
C) 5x–lnx+2+c
D) 5x–11lnx+2+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
E) x – 2lnx+1+c
E) 5x + 11lnx+2+c
soru 7
∫
2x 3 + 1
dx
x +1
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 3 − x 2 + 2x − ln x + 1 + c
C)
2x 3
− 2x 2 + 2x + ln x + 1 + c
3
E)
soru 4
∫
x2 +1
dx
x +1
x2
− x + 2ln x + 1 + c
2
D)
x3
− x 2 + x − ln x + 1 + c
3
x3
+ 2x 2 − x − ln x + 1 + c
3
D)
E)
x2
− 2ln x + 1 + c
2
2 – B
2 – A
3 – C
3 – D
∫
x 4 + 2x − 1
x2 +1
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) x 2 + x + 2ln x + 1 + c
C) x 2 + x + ln x + 1 + c
1 – A
1 – C
2x 3
− x 2 + 2x − ln x + 1 + c
3
soru 8
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
x2
+ 2ln x + 1 + c
2
A)
x3
− 2ln x 2 + 1 + c
3
B)
x3
− ln x 2 + 1 + c
3
C)
x3
− x + ln x 2 + 1 + c
3
D)
x3
− x + 2ln x 2 + 1 + c
3
E)
4 – D
4 – A
5 – A
5 – E
47
x3
+ 3ln x 2 + 1 + c
3
6 – B
6 – E
7 – C
7 – B
8 – D
8 – C
İntegral
Rasyonel fonksiyonlarda payın derecesinin, paydanın derecesinden küçük olduğu durumlarda eğer değişken değiştirme işlemi
yapılabiliyorsa değişken değiştirme ile çözüme gidilir.
çözüm
kavrama sorusu
2x
∫ x 2 + 10 dx
u=x2+10 ise du=2xdx
2x
du
dx ∫ = ln u + c ve u=x2+10 yerine yazıldığında,
∫ x 2 +10=
u
2x
2
∫ x 2 +10 dx= ln x + 10 + c
Cevap: ln|x2+10|+c
integralinin eşitini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
x2 +1
du
= (x 2 + 1)dx
3
x +1
1 du 1
=
dx =
ln u + c ve u=x2+3x yerine yazıldı∫ x 3 +3x
∫
3 u 3
ğında,
x 2 +1
1
=
ln x 2 + 3x + c
∫ x 3 +3x dx
3
1
ln x 2 +3x +c
Cevap:
3
Paydanın derecesi payın derecesinden büyük olan rasyonel fonksiyonlarda değişken değiştirme metodu uygulanamıyor ve
payda çarpanlarına ayrılabiliyorsa "basit kesirlere ayırma" yöntemi ile integral alınır. Basit kesirlere ayırma işlemi rasyonel ifadeyi iki
x +1
ifadenin toplamı veya farkı biçimine dönüştürmektir. Örneğin; 2
ifadesini basit kesirlerine ayıralım,
x −4
3
1
x +1
x +1
A
B
=
A =
ve B
=
=
+
⇒ x +=
1 A(x + 2) + B(x − 2) polinom eşitliğinden
bulunur.
4
4
x 2 − 4 (x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2
∫ x 3 +3x
u=x3+3x ise du=(3x2+3)dx ve
dx integralinin eşitini bulunuz.
2
(x + 2) (x − 2)
x +1
3
1
=
+
biçiminde yazılabilir.
x 2 − 4 4(x − 2) 4(x + 2)
çözüm
kavrama sorusu
dx
∫ x2 −1
1
integralinin eşitini bulunuz.
2
x −1
ifadesini basit kesirlere ayıralım,
1
A
B
=
+
⇒1
= A(x + 1) + B(x − 1)
x2 −1 x −1 x +1
(x + 1) (x − 1)
1
1
1
A=
ve B = − bulunur. Buna göre, =
2
2
x2 −1
 1
 1
  dx
 −  dx 1 dx
dx
1
2
2
−
∫ x2 −1 =
∫ x − 1 +∫ x + 1 =
2 ∫ x −1 2 ∫
1
1
1 x −1
ln x − 1 − ln x + 1 =
+c
ln
+c
2
2
2
x +1
=
Cevap:
x+4
 1
 − 
2
x +1
dx
x +1
1
x−1
ln
+c
2
x+1
çözüm
kavrama sorusu
∫ x 2 +5x+6 dx
 1
 
2
+
x −1
x+4
ifadesini basit kesirlerine ayıralım,
x 2 + 5x + 6
x+4
A
B
=
+
⇒ x + 4= A(x + 3) + B(x + 2)
(x + 2).(x + 3) x + 2 x + 3
integralinin eşitini bulunuz.
(x + 3) (x + 2)
x+4
2
−1
=
+
x
+
2
x
+3
x + 5x + 6
−1
x+4
2
1
1
dx = ∫
dx + ∫
dx = 2∫
dx − ∫
dx
x+2
x+3
x+2
x+3
x 2 +5x+6
A=2 ve B=–1 bulunur. Buna göre,
∫
2
=2.lnx+2–lnx+3+c
Cevap: 2.lnx+2– lnx+3+c
48
İntegral
soru 1
soru 5
4x
dx
∫ 2x 2 + 1 dx
∫ x.(x + 1)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4ln2x2+1+c
B) 2ln2x2+1+c
A) lnx+lnx+1+c
B) lnx–lnx+1+c
C) ln2x2+1+c
D)
C) lnx+1–lnx+c
D)
E)
1
ln2x2+1+c
2
1
ln2x2+1+c
4
1
lnx.(x+1)+c
2
E)
soru 2
1
1
lnx– lnx+1+c
2
2
soru 6
6x − 1
∫ 3x 2 − x + 1 dx
dx
∫ x 2 + 9x + 20
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln3x–1+c
A) lnx+4–2lnx+5+c
B) 2lnx+4+lnx+5+c
C) ln(x+5).(x+4)+c
D) ln
C) ln6x–1+c
B) ln3x+1+c
D)
ln3x2 – x+1+c
E) ln3x2 –x+1– ln6x–1+c
soru 3
2x + 3
∫ 2x 2 + 6x + 10 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
ln2x2+6x+10+c
2
C) 2ln2x2+6x+10+c
E)
B) ln2x2+6x+10+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
E) ln
x+4
+c
x+5
soru 7
dx
∫ x 2 − 7x + 12
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) lnx– 4+c
C) ln
D) ln2x+3+c
x+5
+c
x+4
B) lnx – 3+c
x−4
+c
x−3
1
ln2x+3+c
2
D)ln
x−3
+c
x−4
E) lnx2–7x+12+c
soru 8
soru 4
x2
∫ x 3 + 7 dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3lnx3+7+c
B) 2lnx3+7+c
C) lnx3+7+c
D)
E)
1 – A
1 – C
2 – D
2 – B
dx
∫ x 2 − 8x + 15
A)
1 x−3
ln
+c
4
x −5
B)
1 x−3
ln
+c
2
x −5
x−3
+c
x −5
D)
1 x −5
ln
+c
2
x−3
C) ln
1
lnx3+7+c
3
1
lnx3+7+c
9
3 – C
3 – A
E)
4 – D
4 – D
5 – A
5 – B
49
6 – B
6 – E
1 x −5
ln
+c
4
x−3
7 – C
8 – D
İntegral
Rasyonel fonksiyonların integralinde paydanın derecesi payın derecesinden daha büyük ve paydanın kökleri yok ise, paydanın
dx
bir kısmı tam kare yapılarak, ∫
integraline dönüştürülüp çözüme ulaşılır.
1+x 2
çözüm
kavrama sorusu
dx
∫ x 2 − 2x+2
x2–2x+2 ifadesinde ∆<0 dır. Yani paydanın kökleri yoktur.
integralinin eşitini bulunuz.
x2–2x+2=(x2–2x+1)+1=(x–1)2+1
dx
dx
= ∫
=
∫ x 2 − 2x
+2
1+(x − 1)2
arctan(x − 1) + c bulunur.
değişken dönüşümü
yapılarak
Cevap: arctan(x – 1)+c
çözüm
kavrama sorusu
dx
∫ x 2 + 4x+5
x2+4x+5 ifadesinde ∆<0 dır. Yani paydanın kökleri yoktur.
integralinin eşitini bulunuz.
x2+4x+5=(x2+4x+4)+1=(x+2)2+1
dx
dx
∫ x 2 + 4x=
∫ 1+(x +=
+5
2)2
arctan(x + 2) + c bulunur.
değişken dönüşümü
yapılarak
Cevap: arctan(x+2)+c
çözüm
kavrama sorusu
dx
∫ 4x 2 − 4x+2
4x2– 4x+2 ifadesinde ∆<0 dır. Yani paydanın kökleri yoktur.
integralinin eşitini bulunuz.
4x2 – 4x+2=(4x2 – 4x+1)+1=(2x–1)2+1
dx
∫ 1+(2x − 1)2
integralinde u=2x–1 ise du=2dx
dx
1
du
1
1
=
arctanu
=
+c
arctan(2x − 1) + c
2 ∫ 1+u2 2
2
∫ 1+(2x=
− 1)2
Buna göre,
dx
1
arctan(2x − 1) + c bulunur.
2
1
arctan(2x − 1)+c
Cevap:
2
çözüm
kavrama sorusu
∫ 25x 2 − 10x+10
dx
∫ 4x 2=
− 4x + 2
25x2– 10x+10 ifadesinde ∆<0 dır. Yani paydanın kökleri yoktur.
integralinin eşitini bulunuz.
25x2 – 10x+10=(25x2 – 10x+1)+9=(5x–1)2+9
dx
=
∫ 9+(5x − 1)2
dx
∫=
 (5x − 1)2 
1
9∫
9  1+


9


5x − 1
5
3
=
u
⇒ du
=
dx ise dx
=
du
3
3
5
1
9∫
=
dx
 5x − 1
1+
 3 
2
dx
 5x − 1 
1+

 3 
2
1 3
du
1
arctanu + c
=
⋅
=
9 5 ∫ 1+u2 15
1
 5x − 1
arctan 
+c
 3 
15
dx
1
 5x − 1 
Buna göre, =
∫ 25x 2 − 10x + 10 15 arctan  3  + c bulunur.
1
 5x − 1 
arctan 
+c
Cevap:
 3 
15
50
İntegral
soru 1
soru 5
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) arctan(x+1)+c
C) 2arctan(x+1)+c
D)
E) arctan(x–1)+c
1
(3x − 1)
arctan
+c
9
3
(3x − 1)
C) arctan
+c
3
1
(3x − 1)
arctan
+c
3
3
(3x − 1)
D) 3.arctan
+c
3
(3x − 1)
E) 9.arctan
+c
3
A)
1
arctan(x+1)+c
2
soru 2
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) arctan(x+4)+c
C) 4arctan(x–4)+c
D) 2arctan(x–4)+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
E) arctan(x– 4)+c
soru 3
dx
∫ x 2 + 10x + 26
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) arctan(x+5)+c
∫
dx
x2
−x+2
4
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2arctan(x+4)+c
B) 5arctan(x+5)+c
x 
A) 4 arctan  − 1 + c
2 
x 
B) 2 arctan  − 1 + c
2 
x 
C) arctan  − 1 + c
2 
D)
E)
1
x 
arctan  − 1 + c
2
2 
1
x 
arctan  − 1 + c
4
2 
soru 7
dx
∫ x 2 + 6x + 13
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
 x+3 
B) arctan 
+c
 2 
A) arctan(x + 3) + c
1
D) arctan(x–5)+c
C) arctan(x+5)+c
5
E) 5arctan(x–5)+c
C)
1
arctan(x + 3) + c
3
soru 4
1
 x+3 
arctan 
+c
2
 2 
D)
1
 x+3 
arctan 
+c
3
 3 
E)
B)
soru 6
∫ x 2 − 8x + 17
∫ 9x 2 − 6x + 10
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) arctan(x+2)+c
dx
∫ x 2 + 2x + 2
soru 8
∫ 4x
dx
dx
∫ 16x 2 − 4x + 26
+ 4x + 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4arctan(2x+1)+c
 4x − 1 
A) arctan 
+c
 5 
C)
1
arctan(2x+1)+c
2
E)
B) 2arctan(2x+1)+c
D)
1
arctan(2x+1)+c
4
C)
1
arctan(2x+1)+c
8
1
 4x − 1 
arctan 
+c
4
 5 
E)
1 – A
1 – B
2 – E
2 – B
3 – A
3 – C
4 – D
4 – C
5 – A
51
B)
1
 4x − 1 
arctan 
+c
2
 5 
D)
1
 4x − 1 
arctan 
+c
5
 5 
1
 4x − 1 
arctan 
+c
20
 5 
6 – B
7 – C
7 – D
8 – D
8 – E
İntegral
Trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak integral alma
İntegrali alınacak ifade içerisinde trigonometrik fonksiyonlar bulunan integralleri, trigonometrik özdeşlikler kullanarak çözebiliriz.
Bu özdeşliklerden bazıları;
sin x
1
• tanx=
• secx=
• sin2x+cos2x=1
• cos2x=1–2sin2x • cos2x=2cos2x–1
cos x
cos x
• cotx=
cos x
sin x
• cosecx=
1
sin x
• cos2x=cos2x–sin2x
• tanx.cotx=1
çözüm
kavrama sorusu
∫(sin24x+cos24x)dx
• sin2x=2sinx.cosx
sin24x+cos24x=1 olduğundan,
integralinin eşitini bulunuz.
∫(sin24x+cos24x)dx= ∫1.dx=x+c
dir.
Cevap: x+c
çözüm
kavrama sorusu
∫2tanx.cotxdx
integralinin eşitini bulunuz.
tanx.cotx=1 olduğundan,
∫2tanx.cotxdx= ∫2.dx=2x+c
dir.
Cevap: 2x+c
çözüm
kavrama sorusu
∫
sin2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
sinx
sin2x=2.sinx.cosx olduğundan,
sin2x
dx
x∫ sinx=
2.sinx.cosx
=
dx 2 ∫ cosxdx
= 2 sin x + c dir.
sinx
Cevap: 2sinx+c
çözüm
kavrama sorusu
∫sinx.cosxdx
∫
integralinin eşitini bulunuz.
sin2x=2sinxcosx ise sin x.cos x =
1
1
sin2x
2
1
dir.

sin2xdx =
 − .cos 2x  + c
∫ sin x cos xdx =
2∫
2 2
1
=
− cos 2x + c dir.
4
Cevap: −
52
1
cos2x + c
4
İntegral
soru 1
soru 5
∫(2sin2x+2cos2x)dx
B) x 2+c
A) 2x+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 2x 2+c
D) sin2x+c
A) 2cos2x+c
E) –4cos2x+c
A) x 4+c
B) 2x 2+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) x 2+c
A) sinx+c
soru 3
tan x.cos x
dx
sin x
B) x+c
D) cosx+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
cos 2x + c
2
C) −
E) tanx+c
E) 2cosx+c
∫sin2x.cos2x.dx
A)
C) sinx+c
C) –cosx+c
soru 7
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2+c
B) cosx+c
D) 2sinx+c
E) 4x+c
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) 2x+c
∫
∫sin2x.cosecx.dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B)
1
cos 2x + c
2
soru 4
1
cos 2x + c
4
D) −
E) −
C) –cos2x+c
soru 6
∫(3+sin2x+cos2x)dx
B) cos2x+c
D) –2cos2x+c
E) cos2x+c
soru 2
∫4sinx.cosx.dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
cos 4x + c
8
soru 8
∫(sec2x – 1).(cosec2x – 1)dx
∫cotx.sinx.dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
(secx=
cos x
A) sinx+c
1
ve cosecx=
)
sin x
A) sec2x+c
B) cosec2x+c
D) x+cosx+c
1 – A
1
cos 4x + c
4
2 – B
2 – E
D) sin2x+c
C) sinx+c
C) sin2x+c
B) cosx+c
E) cos2x+c
E) x+c
3 – C
3 – B
4 – D
4 – E
5 – C
5 – A
53
6 – D
6 – B
7 – C
7 – E
8 – D
8 – A
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
∫
cos2x+1
dx integralinin eşitini bulunuz.
cosx
cos2x=2cos2x–1 eşitliğini kullanalım.
cos 2x + 1
dx ∫
∫=
cos x
2 cos 2 x − 1+ 1
=
dx
cos x
2 cos 2 x
dx
∫=
cos x
2. ∫ cos xdx
=2sinx+c bulunur.
Cevap: 2sinx+c
çözüm
kavrama sorusu
cos2x
∫ cosx+sinx dx
cos2x=cos2x–sin2x eşitliğini kullanalım.
integralinin eşitini bulunuz.
cos 2x
∫ cos x + sin x dx = ∫
=
∫
cos 2 x − sin2 x
dx
cos x + sin x
(cos x − sin x).(cos x + sin x)
dx
cos x + sin x
= ∫(cosx–sinx)dx=sinx+cosx+c bulunur.
Cevap: sinx+cosx+c
çözüm
kavrama sorusu
∫sin2xdx integralinin eşitini bulunuz.
1 − cos 2x
2
(1− cos 2x)
1
1
dx =∫ (1− cos 2x)dx =∫ 1dx − ∫ cos 2xdx
∫
2
2
2
2
cos2x=1–2sin2x ise sin x =
(
=
) (
)
1
1
1
1

x − sin2x + c
 x − sin2x  + c=
2
2
2
4
Cevap:
1
1
x − sin2x+c
2
4
çözüm
kavrama sorusu
∫cos2xdx integralinin eşitini bulunuz.
cos2x=2cos2x–1 ise cos 2 x =
cos x dx ∫
∫=
2
=
cos 2x + 1
2
(cos 2x + 1)
1
=
dx
(cos 2x + 1)dx
2
2 ∫
1 1
1
1

sin2x + x + c
 sin2x + x=
 + c
22
4
2
Cevap:
54
1
1
sin2x+ x+c
4
2
İntegral
soru 1
soru 5
∫
1− cos2x
dx
sin x
∫(1–cos2x)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2cosx+c
B) –2sinx+c
D) 2cosx+c
C) 2sinx+c
E) sin2x+c
A)
x sin2x
+
+c
2
4
B)
x sin2x
−
+c
2
4
C)
x sin2x
−
+c
4
4
D)
x sin2x
−
+c
4
2
E) x −
soru 2
soru 6
∫(sin2x–cos2x)dx
A) cos 2x + c
B) sin2x + c
cos 2x
+c
2
E) −
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) − cos 2x + c
sin2x
+c
2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) −
soru 3
sin 4x
∫ 1− 2 sin2 x dx
A)
sin4x
+x+c
8
B)
sin4x x
+ +c
16
4
C)
sin4x
+x+c
4
D)
cos 4x x
+ +c
8
2
E)
dx
∫ 1+ cos 2x
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) –cos2x+c
D) –sin2x+c
cos 4x x
+ +c
4
2
soru 7
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
cos 2x
+c
2
∫(1+cos4x)dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
C) cos2x+c
A)
1
cot x + c
2
E) sin2x+c
D)
soru 4
B) cot x + c
1
tan x + c
2
C) tan x + c
E)
1
tan x + c
4
soru 8
∫(4–8sin2x)dx
∫
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin2x+c
B) cos2x+c
D) 4sin2x+c
cos x
2 cos 2 x − cos 2x
2 – B
2 – E
A) cosx+c
E) 4cos2x+c
3 – C
3 – B
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) 2sin2x+c
B) sinx+c
D) cos2x+c
1 – A
sin2x
+c
4
4 – D
4 – C
5 – B
5 – A
55
6 – C
6 – B
C) sin2x+c
E) sin4x+c
7 – C
7 – D
8 – D
8 – B
İntegral
∫sinmx.cosnx.dx (m,n∈N) biçimindeki integraller
Sinüs ve Kosinüs fonksiyonlarının kuvvetlerinin çarpımının integralleri alınırken, izlenecek genel yöntem kuvveti çift olana u ataması yaparak değişken değiştirme yöntemini kullanmaktır. Kuvvetlerin her ikisinin de tek olduğu durumda kuvveti küçük olan
parçalanarak integral alınır.
1 − cos 2x
1 + cos 2x
=
veya cos 2 x
Kuvvetlerin her ikisinin de çift olduğu
durumlarda sin2 x =
eşitlikleri kullanılır.
2
2
çözüm
kavrama sorusu
∫sin3x.cosx.dx integralinin eşitini bulunuz.
u=sinx ⇒ du=cosx.dx dönüşümü yapılır.
∫u
3
u4
.du = + c , u =
sin x yerine yazıldığında
4
∫ sin
3
sin4 x
+ c dir.
4
x.cos=
x.dx
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫sin4x.cos3x.dx integralinin eşitini bulunuz.
sin 4 x
+c
4
Kuvveti çift olan sinx olduğu için, u=sinx ise du=cosxdx
∫sin4x.cos2x.cosx.dx= ∫sin4x(1–sin2x)cosxdx
= ∫(sin4x–sin6x).cosx.dx= ∫(u4 – u6)du
u5 u7
sin5 x sin7 x
−
+ c=
−
+ c dir.
5
7
5
7
sin 5 x sin7 x
+c
−
Cevap:
5
7
=
çözüm
kavrama sorusu
∫sin5x.cos3x.dx integralinin eşitini bulunuz.
Kuvvetlerin ikisi de tek olduğundan derecesi küçük olan cos3x
parçalayalım,
∫sin5xcos2xcosxdx= ∫sin5x(1–sin2x)cosxdx
= ∫(sin5x–sin7x)cosxdx
u=sinx ise du=cosxdx
∫ (u
=
5
− u7 ).du =
u6 u8
−
+c
6
8
sin6 x sin8 x
−
+ c dir.
6
8
Cevap:
sin6 x sin8 x
+c
−
6
8
çözüm
kavrama sorusu
∫cos4x.dx integralinin eşitini bulunuz.
cos 2 x =
∫ (cos
2
1 + cos 2x
2
2
x)=
dx
2
1
 1 + cos 2x 
dx
(1 + cos 2x)2 dx
 =
2
4∫
∫ 
1
=∫ (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x)dx
4
1 
1 + cos 4x 
= ∫  1 + 2 cos 2x +
 dx
4 
2
1
1

 dx + 2∫ cos 2x.dx + ∫ (1 + cos 4x).dx 
4 ∫
2
=
=
=
56
1
1
sin4x  
x + sin2x +  x +
 +c
4 
2
4  
x sin2x x sin4x
+
+ +
+c
4
4
8
16
x sin2x
x sin4x
+
+ +
+c
Cevap:
4
4
8
16
İntegral
soru 1
soru 5
∫sin2x.cosxdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin3 x + c
B)
D)
∫sin3xdx
sin3 x
+c
3
3
cos x
+c
3
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos x + cos 3 x + c
C) cos 3 x + c
E)
C) cos x +
3
cos x
+c
9
B) cos x − cos 3 x + c
cos 3 x
+c
3
D) − cos x +
E) − cos x −
soru 2
D) −
B)
cos 4 x
+c
4
C)
sin4 x
+c
4
E)
cos 3 x
+c
3
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
sin4 x
+c
4
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
cos 4 x
+c
4
soru 3
∫sin5x.cosxdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos 6 x + c
D) −
B) −
sin6 x
+c
6
∫sin3x.cos5xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
cos 6 x
6
C)
E)
cos 6 x
+c
6
sin6 x
+c
6
A)
cos 8 x cos 6 x
−
+c
8
6
B)
cos 8 x cos 6 x
+
+c
8
6
C)
cos 6 x cos 4 x
−
+c
6
4
D)
cos 6 x cos 4 x
+
+c
6
4
E)
cos 8 x cos 4 x
−
+c
8
4
soru 7
∫sin2x.cos2xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x sin4x
−
+c
8
8
B)
x sin4x
+
+c
8
16
C)
x sin4x
−
+c
8
16
D)
x sin4 x
−
+c
8
32
E)
x sin4x
−
+c
8
32
soru 8
soru 4
∫sin2x.cos3xdx
cos 3 x
+c
3
soru 6
∫cos3x.sinxdx
cos 3 x
+c
3
∫cos25x.sin5xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
sin3 x sin4 x
−
+c
3
4
B)
sin2 x sin3 x
−
+c
2
3
A)
cos 3 5x
+c
15
B) −
cos 3 5x
+c
15
C)
sin4 x sin5 x
−
+c
4
5
D)
sin3 x sin5 x
−
+c
3
5
C)
sin3 5x
+c
15
D) −
sin3 5x
+c
15
E)
1 – A
1 – B
2 – A
2 – B
sin3 x sin6 x
−
+c
3
6
3 – C
3 – E
E)
4 – D
5 – A
5 – D
57
cos 3 5x
+c
5
6 – B
6 – A
7 – C
7 – E
8 – D
8 – B
İntegral
∫sinax.cosbx.dx, ∫sinax.sinbx.dx, ∫cosax.cosbx.dx biçimindeki integraller
Bu tip integrallerin çözümü aşağıdaki ters dönüşüm formülleri kullanılarak yapılır.
1
[cos(a–b)–cos(a+b)]
2
1
• sina.cosb = [sin(a–b)+sin(a+b)]
2
1
• cosa.cosb= [cos(a–b)+cos(a+b)]
2
• sina.sinb =
çözüm
kavrama sorusu
∫sin2x.sin4x.dx integralinin eşitini bulunuz.
1
[cos2x– cos6x] (Ters dönüşüm formülünden)
2
1
1
∫[cos2x–cos6x]dx= 2  ∫ cos 2x.dx −∫ cos 6x.dx 
2
u=2x ve u=6x dönüşümleri yapıldığında,
sin2x.sin4x=
=
1  sin2x sin6x 
sin2x sin6x
−
+c
−
+c

=
2 2
6 
4
12
sin2x sin6x
+c
−
Cevap:
4
12
çözüm
kavrama sorusu
∫sin3x.cosx.dx integralinin eşitini bulunuz.
1
[sin2x+sin4x] (Ters dönüşüm formülünden)
2
1
1
∫[sin2x+sin4x]dx= 2  ∫ sin2x.dx + ∫ sin 4x.dx 
2
u=2x ve u=4x dönüşümleri yapıldığında,
sin3x.cosx=
1  cos 2x cos 4x 
cos 2x cos 4x
=
−
−
−
+c
−
+c=
2
2
4 
4
8
cos2x cos4x
+c
−
Cevap: −
4
8
çözüm
kavrama sorusu
∫cos2x.cosx.dx integralinin eşitini bulunuz.
1
[cosx+cos3x] (Ters dönüşüm formülünden)
2
1
1
∫[cosx+cos3x]dx= 2  ∫ cos x.dx + ∫ cos 3x.dx 
2
u=3x dönüşümü yapıldığında,
cos2x.cosx=
=
1
sin 3x 
sin x sin 3x
c
+
+c
 sin x +
 +=
2
3 
2
6
Cevap:
sinx sin3x
+c
−
2
6
çözüm
kavrama sorusu
∫sin4x.cos3x.dx integralinin eşitini bulunuz.
1
[sin7x+sinx] (Ters dönüşüm formülünden)
2
1
1
∫[sin7x–sinx]dx= 2  ∫ sin7x.dx + ∫ sin x.dx 
2
u=7x dönüşümü yapıldığında,
sin4x.cos3x=
1  cos 7x
cos 7x cos x

=
− cos x  + c =
−
−
+c
−
2
7
14
2

cos7x cosx
+c
−
Cevap: −
14
2
58
İntegral
soru 1
soru 5
∫cos2x.cos4xdx
∫cos5x.sin2xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
sin6x sin2x
+
+c
6
2
B)
sin6x sin2x
+
+c
6
4
A) −
C)
sin6x sin2x
+
+c
12
2
D)
sin6x sin2x
+
+c
12
4
C)
E)
cos 7x cos 3x
−
+c
14
6
sin6x sin2x
+
+c
12
8
E)
soru 2
sin9x sin 3x
+
+c
9
3
B)
sin9x sin 3x
+
+c
12
6
A)
C)
sin9x sin 3x
+
+c
18
6
D)
sin9x sin 3x
+
+c
18
9
C) −
sin9x sin 3x
+
+c
18
18
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
E)
soru 3
∫sin2x.cos8xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
cos10x cos 6x
−
+c
10
6
C) −
cos10x cos 6x
+
+c
10
6
E) −
B)
cos10x cos 6x
+
+c
10
6
D) −
cos10x cos 6x
+
+c
20
6
C)
sin 5x sin 3x
−
+c
10
6
D)
sin 5x sin 3x
+
+c
10
6
soru 7
∫sin2x.cos4xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
cos 2x cos 6x
−
+c
2
6
B)
cos 2x cos 6x
+
+c
2
6
C)
cos 2x cos 6x
−
+c
4
12
D)
cos 2x cos 6x
+
+c
4
12
E)
cos 2x cos 6x
+
+c
12
24
soru 8
∫sin4x.sin5xdx
sin9x sin x
+
+c
18
2
sin9x sin x
−
+c
18
2
E)
1 – A
1 – D
sin 5x sin 3x
−
+c
5
3
B)
sin 5x sin 3x
−
+c
10
6
cos10x cos 6x
+
+c
20
12
2 – B
2 – C
∫sin5x.sin3xdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) −
cos 7x cos 3x
−
+c
7
6
sin 5x sin 3x
+
+c
5
3
E)
soru 4
cos 7x cos 3x
+
+c
14
6
D)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A)
cos 7x cos 3x
−
+c
14
6
∫cos4x.cosxdx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) −
soru 6
∫cos6x.cos3xdx
cos 7x cos 3x
+
+c
14
6
B) −
D)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
sin9x sin x
+
+c
18
4
sin9x sin x
−
+c
18
4
A)
sin2x sin8x
+
+c
4
16
C)
sin2x sin8x
+
+c
4
8
sin9x sin x
+
+c
9
2
3 – C
3 – E
E)
4 – D
4 – A
5 – A
59
B)
sin2x sin8x
−
+c
4
16
D)
sin2x sin8x
+
+c
2
8
sin2x sin8x
−
+c
2
8
6 – B
6 – E
7 – C
7 – C
8 – D
8 – B
İntegral
Belirli İntegral
f, [a, b] aralığında tanımlı ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. ∫f(x)dx=F(x)+c olacak şekilde bir F fonksiyonu varsa,
b
=
∫ f(x)dx
F(b) − F(a) dır. Burada "b" integralin üst sınırı, "a" integralin alt sınırıdır.
a
Belirli integral alma işleminin belirsizden farklı olarak çözümünde şu adımlar izlenir.
1. adım: Verilen fonksiyonun integrali bulunur.
2. adım: Üst sınır ve alt sınır için integralin değerleri hesaplanır.
3. adım: Üst sınırın değerinden alt sınırın değeri çıkartılarak sonuç elde edilir.
çözüm
kavrama sorusu
3
3
2
2
∫ xdx integralinin değerini bulunuz.
∫ xdx =
x2
2
2
2
3
üst sınır
2
alt sınır
3
2
9 4 5
−
= − =
2
2 2 2 2
=
Cevap:
5
2
çözüm
kavrama sorusu
3
3
∫ 3x2dx integralinin değerini bulunuz.
∫ 3x
−1
2
dx = 3 ⋅
−1
x3
3
3
=x3
– 1
3
– 1
=(3)3 – (– 1)3=27+1=28
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
−1
∫
−1
∫
x3dx integralinin değerini bulunuz.
−3
– 1
x4
( −1)4 ( −3)4
=
−
4 – 3
4
4
3
x=
dx
−3
1 81
80
=− =
−
=
−20
4 4
4
Cevap: – 20
çözüm
kavrama sorusu
2
2
∫ x4dx integralinin değerini bulunuz.
∫x
0
0
4
2
dx=
x5
25 0 5 32
32
=
− =
− 0=
5 0 5
5
5
5
Cevap:
60
32
5
İntegral
soru 1
soru 5
4
1
∫ xdx
∫ x6dx
3
0
integralinin değeri kaçtır?
A)
3
2
B)
5
2
integralinin değeri kaçtır?
C)
7
2
D)
9
2
E)
11
2
A) 1
soru 2
C)
1
5
D)
1
6
E)
1
7
0
∫ x2dx
∫ 5x4dx
−1
1
integralinin değeri kaçtır?
1
3
B)
2
3
integralinin değeri kaçtır?
C)
4
3
D)
5
3
E)
A ) – 2
7
3
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
E ) 2
D ) 3
E ) 4
D) 18
E) 27
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
1
3
soru 6
2
B)
soru 3
soru 7
2
1
∫ 2x2dx
x
∫ 2 dx
−1
−1
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A ) 2
B ) 3
C ) 4
D ) 5
A ) 0
E ) 6
soru 4
C ) 2
soru 8
−1
B ) 1
∫
3
4x3dx
∫
x2
dx
4
−2
−3
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A) –15
1 – A
1 – C
B) –14
2 – B
2 – E
C) –13
D) –12
3 – C
3 – E
E) –11
A)
4 – A
4 – D
9
4
5 – E
5 – A
61
B)
9
2
C) 9
6 – D
6 – B
7 – C
7 – A
8 – D
8 – B
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
3
e
e
dx
integralinin değerini bulunuz.
x
1
dx
= ln x= lne − ln1
x
1
1
∫
∫
=1 – 0=1
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
π
2
π
2
∫ cosxdx integralinin değerini bulunuz.
xdx
∫ cos=
0
p
2
sin=
x
sin
0
0
π
− sin0
2
=1 – 0=1
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
π
3
dx
∫ cos 2 x
π
3
∫
integralinin değerini bulunuz.
π
4
π
4
p
3
dx
π
π
=
=
tan
x tan − tan
2
3
4
cos x
p
4
=ñ3 – 1
Cevap: ñ3 – 1
kavrama sorusu
çözüm
3
3
∫
1
dx
1+x 2
ñ3
dx
=
=
x
arctan 3 − arctan1
∫ 1+ x 2 arctan
1
1
integralinin değerini bulunuz.
=
π π π
− =
3 4 12
Cevap:
62
32
5
İntegral
soru 1
soru 5
e
2
∫
e
π
4
1
dx
x
0
integralinin değeri kaçtır?
A ) 0
B ) 1
integralinin değeri kaçtır?
C ) 2
D ) 3
E ) 4
A ) – 2
soru 2
2
∫
1
e
π
2
1
dx
x
B ) 5
C ) 6
D ) 7
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
∫ sinxdx
3
D) 2 3
E) 3 3
3
∫
0
dx
1+ x 2
integralinin değeri kaçtır?
C ) 1
D ) 2
E ) 3
A)
soru 4
π
6
B)
π
4
C)
π
3
D)
π
2
E) π
soru 8
3π
2
3
2
∫ cosxdx
B ) 1
2 – A
2 – B
∫
π
2
1
2
integralinin değeri kaçtır?
1 – A
1 – B
C)
1
π
B ) 0
3
2
B)
soru 7
integralinin değeri kaçtır?
A ) – 1
dx
E ) 8
3π
2
A ) 2
E ) 2
integralinin değeri kaçtır?
soru 3
D ) 1
π
6
A) 1
C ) 0
∫ sin2 x
integralinin değeri kaçtır?
A ) 4
B ) – 1
soru 6
e
1
∫ cos 2 x dx
dx
1− x 2
integralinin değeri kaçtır?
C ) 0
D ) – 1
3 – A
3 – C
E ) – 2
A) 2π
4 – D
4 – E
5 – D
5 – A
63
B) π
C)
6 – C
6 – B
π
3
D)
7 – A
7 – C
π
6
E)
π
12
8 – D
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
ln3
ln3
0
∫ exdx integralinin değerini bulunuz.
∫ exdx=ex 0 =eln3 – e0
0
−1
=3 – 1=2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
0
∫ ex+1dx integralinin değerini bulunuz.
0
0
−1
– 1
∫ ex+1dx=ex+1 =e0+1 – e– 1+1=e1 – e0= e – 1
−1
Cevap: e – 1
çözüm
kavrama sorusu
1
1
∫ 2xdx integralinin değerini bulunuz.
∫2
0
x
1
dx =
0
2x
21 20
1
=
−
=
= log2 e
ln2 0 ln2 ln2 ln2
Cevap: log2e
çözüm
kavrama sorusu
2
2
∫ 3x+1dx integralinin değerini bulunuz.
∫3
−1
−1
x +1
=
dx
2
3 x +1
3 2+1 3 −1+1
=
−
ln 3 – 1 ln 3
ln 3
=
33
1
26
−
=
ln 3 ln 3 ln 3
Cevap:
64
26
ln3
İntegral
soru 1
soru 5
lo 5 2
lo 5 2
∫ exdx
0
B ) 2
integralinin değeri kaçtır?
C ) 3
D ) 4
A) log5e
E ) 5
soru 2
B) log3(2e)
∫
ln6
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
soru 3
A) loge
B) log5e
C) – loge
E) – 5loge
3
∫ ex – 1dx
∫ 2x – 2dx
1
2
integralinin değeri kaçtır?
B) e 3 –1
integralinin değeri kaçtır?
C) e 3 –e
D) e 2 –e
E) e 2
A) loge
soru 4
B) log2e
C) log2e
D) 2log2e
E) ln2
soru 8
0
−6
∫ ex+3dx
∫ 7x+7dx
−3
−7
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
1 – A
1 – B
D) – 2loge
soru 7
3
A) e 2 –1
10xdx
integralinin değeri kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) –1
A) e 3
E) 2ln5
1
integralinin değeri kaçtır?
D) ln5
log5
∫ exdx
C) log5(3e)
soru 6
0
5xdx
0
integralinin değeri kaçtır?
A ) 1
∫
B) e 3 +1
2 – E
2 – B
C) e 3 +2
D) e 3 –2
3 – C
3 – A
E) e 3 –1
A) log7e
4 – D
4 – E
5 – A
65
B) 7log7e
C) 6log7e
6 – B
6 – E
D) log6e
7 – C
7 – B
E) log77e
8 – D
8 – C
İntegral
Belirli İntegral İşleminin Özellikleri
1)
2)
b
b
a
a
∫ k.f(x)dx=k ∫ f(x)dx
(k ∈ R)
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
∫ [f(x)+g(x)]dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx
∫ [f(x) – g(x)]dx= ∫ f(x)dx – ∫ g(x)dx
3)
b
c
b
a
a
c
∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx
Sabit çarpım integralin başına alınabilir.
Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerinin toplamına eşittir.
Fonksiyonların farkının integrali, integrallerinin farkına eşittir.
İntegralin sınırlarını parçalayıp, ayrı ayrı integrallerin toplamı biçiminde yazabiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
2
2
2
2
2
5x dx 5=
∫=
∫ x dx
∫ 5x2dx integralinin değerini bulunuz.
1
1
1
5
x3
3
2
1
2
1 
7 35
= 5 ⋅
−  = 5⋅ =
 3

3
3 3


3
3
Cevap:
35
3
Cevap:
14
3
çözüm
kavrama sorusu
3
3
1
1
∫ (x2+x)dx integralinin değerini bulunuz.
3
3
2
2
∫ (x + x)dx =∫ x dx + ∫ xdx =
1
1
3
x3
x2
+
3 1 2
3
1
3
1  3
1  26 8 14
= 
− +
− =
− =
 3
  2
3
2  3 2 3

 
3
3
2
2
çözüm
kavrama sorusu
2
2
1
1
∫ (x3 – x)dx integralinin değerini bulunuz.
∫ (x
3
2
2
− x)dx =∫ x 3 dx − ∫ xdx =
1
1
2
1  2
1 
=
− −
− =
 4
  2
4
2 

 
4
4
2
2
2
x4
x2
−
4 1 2
2
1
1 
1  15 3 9

− =
 4− − 2− =
4 
2 4 2 4

Cevap:
9
4
çözüm
kavrama sorusu
2
2
−1
−1
∫ xdx integralinin değerini bulunuz.
2
∫ xdx =
x2
2
22 ( −1) 4 1 3
−
= − =
veya,
2
2
2 2 2
– 1
2
0
2
−1
−1
0
∫ xdx = ∫ xdx + ∫ xdx =
Uyarı
0
2  2
x2
x2
0
( −1)2   22 0 2 
+
=
−
−
+

2 – 1 2 0  2
2   2
2 
1 4 3
=
− + = veya,
2 2 2
Belirli bir integralin sınırlarını parçalayıp, ayrı ayrı integralle-
2
rin toplamı biçiminde yazabiliriz demiştik. Verilen integralin
1
2
∫ xdx= ∫ xdx + ∫ dx=
x2
2
1
dx +
x2
2
2
sınırlarını farklı şekillerde parçalayarak aynı sonuca ulaşabi-
−1
liriz. Bu kavrama sorusunda integrali farklı şekillerde parça-
 12 ( −1)2   22 12  1 1 4 1 3
= −
− = − + − =
+
2   2
2  2 2 2 2 2
 2
layarak yapılan çözümleri dikkatle inceleyeniz.
−1
1
– 1
1
Görüldüğü gibi üç şekilde de aynı sonucu bulabiliyoruz.
Cevap:
66
3
2
İntegral
soru 1
soru 5
2
x
dx
2
1
4∫
integralinin değeri kaçtır?
A ) 1
B ) 2
3
3
3
3
1
1
1
1
4
∫x −3
3
2
∫ x + 2 ∫ x − 4 ∫ dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C ) 3
D ) 4
E ) 5
3
3
A) ∫ (x 4 − x 3 + 2x 2 − x)dx
B) ∫ (x 4 + 3x 3 + 2x 2 − 4x)dx
1
1
3
3
C) ∫ (x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 4x)dx
D) ∫ (x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 4)dx
1
1
3
E) ∫ (x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 4)dx
1
soru 2
soru 6
0
3
∫ 9x2dx
∫x
−2
0
B) 81
3
dx + ∫ x 2dx
0
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin değeri kaçtır?
A) 243
2
C) 27
D) 9
E) 3
3
3
A) ∫ x 2dx
B)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
0
2
∫ (5x3+x2 – 1)dx
−3
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) 5 ∫ x 3 dx +
2
∫x
2
2
−3
−3
−3
2
2
2
−3
−3
C) 5 ∫ x 3 dx −
∫x
2
2
B) 5 ∫ x 3 dx +
∫ dx
dx −
dx −
−3
2
∫ dx
D)
−3
2
E)
∫x
3
2
dx +
−3
∫x
3
−3
∫x
2
2
∫x
2
−3
2
2
−3
−3
dx + 5 ∫ x 2dx −
C)
∫x
2
dx
−2
−1
dx
∫x
E)
2
dx
−2
soru 7
5
∫x
3
1
5
dx + ∫ xdx
1
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
5
1
C) ∫ (x 3 + 2x)dx
2
3
1
5
D) ∫ (x 3 + 2x)dx
∫ dx
2
B) ∫ (x 3 + 2x)dx
E) ∫ (x 3 + 2x)dx
−1
1
2
dx −
−3
∫ dx
−3
soru 8
5
5
5
1
1
1
3∫ x 2 − 4
4
∫ x − ∫ dx
∫
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
5
4
B) ∫ (3x 2 − 4x − 1)dx
1
5
C) ∫ (3x 2 − 4x + 1)dx
A)
4
0
2
∫ (x
3
4
+ x 2 + x)dx
B)
−2
−2
5
4
4
C)
∫ (x
3
+ x 2 − 1)dx
D)
−2
1
4
E)
3 – A
3 – C
∫ (x
3
+ x + 1)dx
∫ (x
3
+ x − 1)dx
−2
1
2 – B
+ x 2 + 1)dx
−2
5
E) ∫ (3x 2 + 4x − 1)dx
3
∫ (x
1
D) ∫ (3x 2 + 4x + 1)dx
1
−2
2
x 3 dx + ∫ x 2dx + ∫ dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
5
A) ∫ (3x 2 − 4x)dx
1 – A
1 – C
3
dx
−2
soru 4
2
A) ∫ (x 3 + 2x)dx
∫ dx
−3
∫x
D)
5
2
dx +
2
−1
0
soru 3
∫x
4 – D
4 – B
5 – D
5 – A
67
6 – C
6 – B
7 – C
7 – A
8 – D
8 – A
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
1
1
∫ (x+ex)dx integralinin değerini bulunuz.
∫ (x + e
0
x
0
=
 x2
1  1
 0

)dx = 
+ e x  =  + e1  −  + e 0 
 2
0  2
 2

1
1
+ e − 1= e −
2
2
Cevap: e −
1
2
çözüm
kavrama sorusu
π
4
π
4
p
4
0
0
0
∫ (cosx – sinx)dx integralinin değerini bulunuz.
(sin x + cos x)
∫ (cos x − sin x)dx =
 2
π
π
2 

=  sin + cos  − (sin0 + cos 0)
= 
+
 − (0 + 1)
4
4
2 

 2
=
2 −1
Cevap: ñ2 – 1
çözüm
kavrama sorusu
e
e
1

∫  x − x  dx integralinin değerini bulunuz.
1
1


∫  x − x  dx = ln x −
1
e
x2 

2 1

e2  
12   e 2  
1
=
 lne −
 −  ln1−  =−
1
− 0 − 
2  
2  
2  
2

=−
1
e2 1 3 − e2
+ =
2 2
2
Cevap:
3− e2
2
Cevap:
π2
+1
32
çözüm
kavrama sorusu
π
4
π
4
1 

∫  x+ cos 2 x  dx integralinin değerini bulunuz.
0
p
1

∫  x + cos 2 x
0
 x2
4

+ tan x 

 dx =
 2
0

2
π
 

π  02
=  4  + tan − 
+ tan0 
2
4  2

=
68
π2
+1
32
İntegral
soru 1
soru 5
π
2
2
∫ (3x2 – 1)dx
A ) 2
∫ (1 – sinx)dx
1
0
integralinin değeri kaçtır?
B ) 3
integralinin değeri kaçtır?
C ) 4
D ) 5
E ) 6
A)
soru 2
2
−2
B)
19
3
C)
17
3
D)
14
3
E)
∫
A ) 6
13
3
1
(ex+ex – 1)dx
0
B ) 5
π
2
B)
e2 − 1
e
C)
C ) 4
D ) 3
E ) 2
1


∫  sin2 x − 1 dx
π
6
e2 + 1
2
D)
e2 + e
2
E)
integralinin değeri kaçtır?
e2 − e
2
A)
3 −π
B)
soru 4
3−
π
6
3
−π
3
D)
C)
E)
3−
π
3
E)
3
2
3 π
−
3
3
soru 8
ln2
∫ (2ex – 1)dx
integralinin değeri kaçtır?
B) ln2
C) 2 – ln2
1


∫  cos x − cos 2 x  dx
0
integralinin değeri kaçtır?
D) ln2–1
E) 4–ln2
A)
2 – A
2 – B
π
4
0
1 – A
1 – E
E) π + 1
soru 7
integralinin değeri kaçtır?
A) ln4
D) π − 1
integralinin değeri kaçtır?
soru 3
π
+1
2
0
−2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
20
3
A) e + 1
C)
∫ (sin2x+cos2x)dx
integralinin değeri kaçtır?
π
−1
2
2
0
∫ x dx – ∫ 2xdx
A)
B)
soru 6
0
π
2
3 – C
3 – B
4 – D
4 – C
2 −2
2
5 – A
5 – B
69
B)
2 +2
2
6 – E
6 – B
C)
2
2
D)
7 – C
3 −1
2
8 – D
8 – A
İntegral
ı
b
a
a
b
∫ f(x)dx=F(x)
F (x)=f(x) ise
=F(b) – F(a) olduğunu biliyoruz.
Eğer integralin sınırları birbirine eşit olursa,
a
∫ f(x)dx=F(x)
a
a
a
F(a) – F(a)=0 dır. Yani;
∫ f(x)dx=0
a
a
Eğer integralin sınırları yer değiştirilirse,
b
∫ f(x)dx=F(b) – F(a)
a
ve
a
b
a
a
b
∫ f(x)dx= – ∫ f(x)dx
∫ f(x)dx=F(a) – F(b)
olduğundan,
b
dir.
çözüm
kavrama sorusu
5
Sınırlar aynı olduğundan,
∫ (x3+7x)dx integralinin sonucu kaçtır bulunuz.
5
∫ (x3+7x)dx=0
5
5
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
4
Sınırlar aynı olduğundan, (2=ñ4)
∫ (xx+7x)dx integralinin sonucu kaçtır bulunuz.
4
∫ (ex+7x)dx=0
2
2
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
2
1
2
1
1
2
1
2
∫ (x2+1)dx+ ∫ (x2+1)dx integralinin sonucu kaçtır bulunuz.
∫ (x2+1)dx= – ∫ (x2+1)dx
olduğundan,
2
1
2
2
1
2
1
1
∫ (x2+1)dx+ ∫ (x2+1)dx= ∫ (x2+1)dx – ∫ (x2+1)dx=0
çözüm
kavrama sorusu
b
a
b
a
a
b
a
b
∫ arctanxdx – ∫ arctanxdx=4
olduğuna göre,
nuz.
Cevap: 0
∫ arctanxdx= – ∫ arctanxdx
b
b
a
a
∫ arctanxdx integralinin sonucu kaçtır bulu-
olduğundan,
a
b
b
b
a
a
∫ arctanxdx – ∫ arctanxdx= ∫ arctanxdx+ ∫ arctanxdx
b
=2 ∫ arctanxdx=4
a
b
⇒
∫ arctanxdx=2
a
70
Cevap: 2
İntegral
soru 1
soru 5
b
Aşağıdaki itegrallerden hangisinin sonucu sıfırdan farklıdır?
3
1
A) ∫ (t 2 + 1)dx
∫x
B)
2
lne
∫
D)
a
olduğuna göre,
C) ∫ (t − 3)dx
dx
A ) – 8
3
E)
1
∫
cosπ
(x + 3)2 dx
B)
D)
∫
∫
C)
π
sin
2
∫
3
cos 2 xdx
E)
8
∫
lne
integrali ile aşağıdaki integrallerden hangisinin toplamı
sıfırdır?
xdx
1
B) ∫ f(x)dx
2
x 3 dx
soru 3
2
∫ (x2 – x)dx
−1
−2
B)
∫ (x
2
−1
− x)dx
C)
−1
2
2
∫ (x
2
E)
soru 7
sin
∫
π
2
f(t)dt
π
2
− x)dx
−2
1
0
A) ∫ f(t)dx
B) ∫ f(t)dt
0
2
D) ∫ f(t)dt
E)
1
2
soru 4
3
2
∫
f(t)dt
0
3
2
∫
f(t)dt
1
2
soru 8
3
log1000
a
∫ (x+1)dx+ ∫ (x+1)dx=0
2
∫3
3
lne
olduğuna göre, a kaçtır?
1 – A
1 – B
C)
1
0
A ) 1
∫ f(x)dx
2e
integrali ile aşağıdaki integrallerden hangisinin toplamı
sıfırdır?
E) ∫ (x 2 − x)dx
1
∫
e
f(x)dx
e2
cos
1
D) ∫ (x 2 − x)dx
e
e
D)
∫ f(x)dx
C)
1
−1
integrali ile aşağıdaki integrallerden hangisinin toplamı
sıfırdır?
e2
2
A) ∫ f(x)dx
2
A) ∫ (x 2 − x)dx
∫ f(x)dx
1
2
0
E ) 8
lne 2
sin30
tan xdx
−1
2
D ) 6
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
∫
C ) 4
9
Aşağıdaki itegrallerden hangisinin sonucu sıfırdan farklıdır?
log100
B ) – 6
sin xdx
soru 2
A)
∫ f(x)dx integralinin sonucu kaçtır?
a
3
e x dx
b
b
3
−1
3
a
∫ f(x)dx – 2 ∫ f(x)dx=24
B ) 2
2 – D
2 – B
3
1
1
3
x2dx+ ∫ xdx+ ∫ xdx
toplamının sonucu kaçtır?
C ) 3
D ) 4
3 – C
3 – A
E ) 5
A ) 3
4 – D
4 – B
5 – A
71
B ) 2
C ) 1
6 – A
6 – B
D ) 0
7 – C
7 – B
E ) – 1
8 – D
İntegral
∫d(f(x))=f(x)+c
b
b
a
a
∫ d(f(x))=f(x)
olduğunu biliyoruz. Belirli integral içinde;
=f(b) – f(a) dır.
çözüm
kavrama sorusu
2
∫ d(x2)
2
2
1
1
∫ d(x2)=x2
integralinin değerini bulunuz.
1
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
1
∫ d(x2 – x)
=22 – 12=4 – 1=3
1
1
−1
– 1
∫ d(x2 – x)=(x2 – x) =(12 – 1) – ((– 1)2 – (– 1))
integralinin değerini bulunuz.
−1
=(1 – 1) – (1+1)=0 – 2= – 2
Cevap: – 2
çözüm
kavrama sorusu
π
6
∫ d(sinx)
p
2
0
0
∫ d(sinx)=sinx
integralinin değerini bulunuz.
0
=sin
π
– sin0 =1 – 0=1
2
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
ln2
∫ d(ex – e– x)
π
2
ln2
∫ d(e
integralinin değerini bulunuz.
0
0
x
− e − x ) =( e x − e − x )
ln2
0
1  
1 

=  eln2 − ln2  −  e 0 − 0 
e
e

 

1
3
3

=  2 −  − (1− 1) = − 0 =
2
2
2

Cevap:
72
3
2
İntegral
soru 1
soru 5
1
0
∫ d(x3)
0
−1
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A ) – 2
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
E ) 2
A) − 2
soru 2
B) −
3
2
C) − 1
D) −
1
2
E) 0
soru 6
log5 3
2
∫ d(x2+x)
 x+2

x +1 
∫ d 
∫
integralinin değeri kaçtır?
B ) 1
integralinin değeri kaçtır?
C ) 2
D ) 3
E ) 4
A ) 2
B ) 3
C ) 4
D ) 5
E ) 6
C ) 3
D ) 4
E ) 5
C) ñ3+1
D) 2ñ3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A ) 0
d(5x)
0
1
soru 3
soru 7
e3
2
∫
d(x3+2x)
∫ d(lnx)
e
0
integralinin değeri kaçtır?
A) 8
B) 10
integralinin değeri kaçtır?
C) 12
D) 14
E) 16
A ) 1
soru 4
soru 8
π
3
3
∫
d(2x3+3x)
∫ d(tan x)
1
π
4
integralinin değeri kaçtır?
A) 55
B) 58
C) 61
D) 63
integralinin değeri kaçtır?
E) 65
A) ñ3 – 1
1 – A
1 – D
B ) 2
2 – B
2 – E
3 – C
4 – D
4 – B
5 – D
5 – A
73
B) ñ3
6 – A
6 – B
7 – C
7 – B
E) 3ñ3
8 – D
8 – A
İntegral
İntegral Hesabının Birinci Temel Teoremi
A)
h(x) ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon ve F(x) fonksiyonunun türevi f(x) olmak üzere,
F(x)=
g(x)
∫ f(t).dt
ı
ı
ı
ı
ı
⇒ F (x)=g (x).f(g(x)) – h (x).f(h(x)) dir.
h(x)
g(x)
B)
F(x)=
∫
f(t).dt ⇒ F (x)=g (x).f(g(x))
a
x
C)
F(x)= ∫ f(t).dt ⇒ F (x)=f(x)
ı
a
çözüm
kavrama sorusu
x
F(x)=
2
g(x)
∫ etdt olduğuna göre, Fı(x) ifadesinin eşitini bulunuz.
F(x)=
2x
∫ f(t).dt ise Fı(x)=gı(x).f(g(x)) – hı(x).f(h(x)) bağıntısından
h(x)
ı
ı
ı
F (x)=(x2) .f(x2) – (2x) .f(2x)
2
ı
ı
=(x2) .ex – (2x) .e2x
=2x.ex – 2.e2x
2
2
Cevap: 2x.ex – 2.e2x
çözüm
kavrama sorusu
3x+1
∫2
F(x)=
g(x)
ı
t3dt olduğuna göre, F (1) kaçtır bulunuz.
F(x)=
x
∫ f(t).dt ise Fı(x)=gı(x).f(g(x)) – hı(x).f(h(x)) bağıntısından
h(x)
ı
ı
ı
ı
ı
F (x)=(3x+1) .f(3x+1) – (x2) .f(x2)
=
(3x+1) .(3x+1)3 – (x2) .(x2)3
=3.(3x+1)3 – 2x.(x2)3
ı
F (1)=3.(3.1+1)3 – 2.1.(12)3=3.43 – 2=190
Cevap: 190
çözüm
kavrama sorusu
x3
F(x)=
g(x)
∫ (t2+1)dt olduğuna göre, Fı(2) kaçtır bulunuz.
F(x)=
1
∫
ı
ı
f(t).dt ise F (x)=g (x).f(g(x)) bağıntısından
a
ı
ı
ı
F (x)=(x3) .f(x3)=(x3) .((x3)2+1)=3x2.((x3)2+1)
ı
F (2)=3.22.((23)2+1)=12.(64+1)=780
Cevap: 780
çözüm
kavrama sorusu
x
F(x)= ∫ f(t).dt ise F (x)=f(x) bağıntısından
ı
F(x)= ∫ (t3 – t2)dt olduğuna göre, F (– 1) kaçtır bulunuz.
ı
2
ı
ı
F (x)=x3 – x2 ⇒ f (– 1)=(– 1)3 – (– 1)2= – 1 – 1= – 2
Cevap: – 2
74
İntegral
soru 1
x
F(x)=
soru 5
2
x2
∫ (t+5)dt olduğuna göre, F (x) aşağıdakilerden hanı
∫ (t – 2)dt olduğuna göre, Fı(x) aşağıdakilerden han-
F(x)=
x
x
gisidir?
gisidir?
A) 2x 3+9x – 5
B) 2x 3+9
D) 2x3 – 5
A) x 3
C)2x 3 – 7x
B) x 3 +x
D) 2x3 – 2x
E) 2x3+7x – 2
soru 2
C)x 3 – x
E) 2x3 – 5x+2
soru 6
x2
2x
∫ costdt
∫ sintdt
2
x
ifadesinin türevi aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin türevi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2cosx
A) 2.sinx 2
B) 2cos2x
C)2cos2x – cosx
D) 2x.sinx2+2
E) cos2x+cosx
C)2x.sinx 2
E) 2x.sinx2 – 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
D) cos2x – cosx
B) 2x.sin 2x
soru 3
x
F(x)=
soru 7
2
∫
x
(t2– 1)dt
F(x)= ∫ et dt olduğuna göre, F (0) kaçtır?
ı
3
x+1
A ) – 3
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
E ) 2
A ) – 2
soru 4
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
E ) 2
soru 8
x3
F(x)=
ı
3
olduğuna göre, F (1) kaçtır?
∫23tdt olduğuna göre, Fı(– 1) kaçtır?
∫ lnxdx
x
A ) 3
B ) 4
C ) 5
D ) 6
ifadesinin türevi aşağıdakilerden hangisidir?
E ) 7
A) −
1 – A
2 – B
2 – C
3 – C
3 – A
4 – D
4 – E
1
x
5 – E
5 – A
75
B)
1
x
C) ln x
6 – C
6 – B
D) x.ln x
7 – D
7 – C
E)
ln x
x
8 – D
8 – C
İntegral
Parçalı Fonksiyonun İntegrali
Parçalı fonksiyonların integralleri alınırken; integrallerin sınır değerleri, fonksiyonun kritik noktalarına göre gerekirse alt aralıklara
ayrılıp integralleri alındıktan sonra sonuçları toplanır.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
2x,
x≥1
4,
x<1
4
a)
1
parçalı fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
b)
∫ f(x)dx
1
1
1
1
=42 – 12=15
Cevap: 15
∫ f(x)dx için, uygun fonksiyon 4 olduğundan,
∫ f(x)dx
4
∫ f(x)dx
c)
0
integrallerinin değerini hesaplayınız.
1
1
0
0
0
4
1
4
0
0
1
=4.1 – 4.0=4
Cevap: 4
∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx
4
1
4
0
0
1
alt aralıklarına ayrılır,
∫ fxdx= ∫ fxdx+ ∫ fxdx=4+15=19
Cevap: 19
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
1
∫ f(x)dx= ∫ 4dx=4x
0
3x2+1,
x>0
2x – 1,
x≤0
Kritik nokta k=0 olduğu için,
4
0
4
−2
−2
0
0
0
∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)
∫ f(x)dx=
parçalı fonksiyonu veriliyor.
−2
4
Buna göre,
4
0
1
c)
4
1
4
b)
4
∫ f(x)dx= ∫ 2xdx=x2
a)
∫ f(x)dx için, uygun fonksiyon 2x olduğundan,
∫ f(x)dx integrallerinin değerini bulunuz.
şeklinde alt aralıklara ayrılır,
0
∫ (2x – 1)dx=(x2 – x) =(02 – 0) – (4+2)=– 6
– 2
−2
4
4
4
0
0
0
∫ f(x)dx= ∫ (3x2+1)dx=(x3+x)
−2
=(64+4) – (0+0)=68
4
0
4
0
4
−2
−2
0
−2
0
∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx= ∫ (2x – 1)dx+ ∫ (3x2+1)dx
=– 6+68=62
76
Cevap: 62
İntegral
soru 1
soru 5
f(x) =
x – 1,
x > – 1
f(x) =
x ≤ – 1
3x +5,
parçalı fonksiyonu veriliyor.
−6
A)
∫ (x
2
∫ (x
B)
−6
∫ (3x + 5)dx
C)
−6
2
6
− 1)dx + ∫ (3x + 1)dx
E)
−1
0
6
−6
0
A) 19
∫ (3x + 5)dx + ∫ (x
−1
6
−6
−1
∫ (3x + 5)dx + ∫ (x
2
2
5,
x>2
x,
x≤2
f(x) =
B) 15
C)
27
2
D) 30
E)
67
2
soru 3
f(x) =
2x+1,
x>1
x – 2,
x≤1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
3
x>1
2x +1,
x≤1
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
0
A ) 4
B ) 5
C ) 6
E ) 8
1,
x
ex,
x>1
x≤1
parçalı fonksiyonu veriliyor.
e
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
Buna göre,
C) 6
D) 1 0
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
0
A) – e 2
E ) 1 2
soru 4
B) – e
C) 1
D) e
E) e 2
soru 8
f(x) =
3x – 1,
x≥3
3x2,
x<3
f(x) =
C) 27
D) 30
3
Buna göre,
E) 81
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
0
A)
3 – D
3 – C
x<1
parçalı fonksiyonu veriliyor.
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
0
2 – B
2 – B
1≤x≤2
x+1,
x2,
3
B) 16
x≥2
3x,
parçalı fonksiyonu veriliyor.
1 – A
1 – E
D ) 7
soru 7
1
A) 13
E) 30
2
Buna göre,
3
B ) 2
2x – 1,
f(x) =
parçalı fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
D) 29
parçalı fonksiyonu veriliyor.
6
A ) 1
C) 25
− 1)dx
parçalı fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
B) 21
soru 6
f(x) =
A) 12
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
− 1)dx
soru 2
Buna göre,
x≤0
−1
6
−1
Buna göre,
−6
6
D)
2,
3
∫ f(x)dx integralinin eşiti aşağıdakilerden han-
− 1)dx
x>0
parçalı fonksiyonu veriliyor.
6
Buna göre,
gisidir?
3x2,
4 – C
4 – D
34
3
5 – D
5 – A
77
B)
31
3
C)
6 – A
6 – B
25
3
D)
7 – C
7 – D
23
3
E)
20
3
8 – D
8 – B
İntegral
Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali
b
∫| f(x)|dx
biçimindeki integrallerde f(x) in [a,b] aralığında aldığı değerler incelenir. Örneğin; f(x)=0 için x=c ise
a<c<b
c
b
– ∞ a
+ ∞
olduğu durumda,
a
x
f(x)
–
f(x)
–
–
–f(x)
b
c
b
a
a
c
∫ f(x)dx =
∫ −f(x)dx + ∫ f(x)dx
+
+
+
f(x)
biçiminde yazılarak integral hesaplanır.
çözüm
kavrama sorusu
2
∫ |x|dx
x=0 ⇒ x=0
integralinin sonucunu bulunuz.
– ∞
x
-1
–1
x
–
0
–
x
+
–x
0
2
0
 0
= −

2
+
olduğundan
+
x
x2 0
−
∫ − x.dx + ∫ x.dx =
2
−1
+ ∞
2
| +
−1
x2 2
|
2 0
1 2
0  1
5
−
 = +2 =
+
2   2
2  2
2
2
2
Cevap:
x–1=0 ⇒ x=1
x – ∞ –2
∫ |x − 1|dx integralinin sonucunu bulunuz.
−2
x–1
–
3 + ∞
1
– –
x–1
–x+1
x–1
1
3
 x2
−2
1

 1
= −
 2
9
=
2
olduğundan,
+ + + +
∫ (− x + 1)dx + ∫ (x − 1)dx =  −
2
1
 −2

 x2
3
−x |
 2
1


+x | + 
 ( −2)2
   32
 12

− 2  + 
−3−
− 1 

  2
 2

2

 


+ 1−  −
+2 =
13
2
Cevap:
2
13
2
çözüm
kavrama sorusu
∫ |x
2
çözüm
kavrama sorusu
3
3
5
x2–x–2 =0 ⇒ (x–2).(x+1)=0 ve x1=–1 x2=2
− x − 2|dx integralinin sonucunu bulunuz.
−2
x
x2–x–2
– ∞ –2
+ ++ +
x2–x–2 
−1
∫ (x
2
–1
x2–x–2 2
− x − 2)dx +
−2
∫ (−x
−1
2
3 + ∞
2
– – –
+ + +
–x2+x+2 x2–x–2 olduğundan,
3
+ x + 2)dx + ∫ (x 2 − x − 2)dx
2
x
 −1  x
 2  x3 x2
3
x
x
−
− 2x  | +  −
+
+ 2x  | + 
−
− 2x  |
 3
 −2  3
 −1  3
2
2
2
2






=
3
2
1 9 11
11 41
= + +
=5 +
=
2 2 6
6
6
78
3
2
Cevap:
41
6
İntegral
soru 1
soru 5
3
1
∫ 2|x|dx
∫ |x+1|dx
−2
1
integralinin değeri kaçtır?
A) 2
B) 5
integralinin değeri kaçtır?
C) 8
D) 9
E) 11
A)
soru 2
5
2
2
∫|2x+1|dx
∫|x
0
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
soru 3
A)
2
3
2
7
2
− 1|dx
B) −
1
∫ |x|dx
17
3
C)
∫ |x
2
−2
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
4
3
D) 2
E)
5
3
− 2x|dx
−2
A)
soru 4
16
3
B)
17
3
C)
20
3
D)
22
3
E)
25
3
soru 8
4
1
∫|x − 3|dx
∫ |x
integralinin değeri kaçtır?
B) 2
2 – B
2 – E
2
− 2x − 15|dx
−1
0
1 – A
1 – C
E) −
soru 7
2
A) 1
1
2
D) −
integralinin değeri kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 12
1
2
0
integralinin değeri kaçtır?
C)
soru 6
4
3
2
B)
integralinin değeri kaçtır?
C) 3
D) 4
3 – C
3 – B
E) 5
A)
4 – E
4 – D
89
3
5 – A
5 – A
79
B)
88
3
C)
6 – D
6 – B
85
3
D)
80
3
7 – C
7 – D
E)
79
3
8 – D
8 – B
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
2
∫ x|x − 1|dx
x–1=0 ⇒ x=1, tablomuzu oluşturalım
x – ∞ 0
1
2 + ∞
integralinin sonucunu bulunuz.
0
x–1
– – – –
x–1
–x+1
2
+ + + +
x–1
1
2
∫ x x − 1 dx = ∫ x(− x + 1)dx + ∫ x(x − 1)dx
0
0
1
1
2
 x3 x2  1  x3 x2  2
+
−
 | +
|
 3
2  0  3
2  1

=∫ ( − x 2 + x)dx + ∫ (x 2 − x)dx = −
0
1
 1 1   0 3 0 2   2 3 22   13 12 
1
+
−
−
− =
−
+
−
 3 2   3
2   3 2 
2   3

 
=−

Cevap: 1
x–2=0 ⇒ x=2, tablomuzu oluşturalım
 |x − 2|

+ x  dx integralinin sonucunu bulunuz.
x−2

∫ 
0
2
çözüm
kavrama sorusu
3
3
x
x–2
– ∞
(x–2)
3
 (x − 2)

 x−2

+ x  dx
+ x  dx + ∫ 
−
x−2
x
2



2
2
3
0
2

x2  2 
x2  3
 −x +
 | +x+
|

2  0 
2  2

∫ (−1+ x) dx + ∫ (1+ x)dx =
=
olduğundan,
+ + + +
–(x–2)
∫  −
0
3 + ∞
2
– – – –
x–2 
2
0

22 
02 
32  
22  7
)+  3 +
=  −2 +
 − (0 +
−2+
=





2 
2
2  
2  2


3
∫ (|x − 2|+x ) dx
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
7
2
x–2=0 ⇒ x=2, tablomuzu oluşturalım
integralinin sonucunu bulunuz.
x
0
x–2
x–2 
– ∞
0
3 + ∞
2
– – – –
+ + + +
–x+2
3
olduğundan,
x–2
2
3
∫ ( x − 2 + x ) dx = ∫ (− x + 2 + x)dx + ∫ (x − 2 + x) dx
0
=
0
2
3
0
2
2
∫ 2 dx + ∫ (2x − 2) dx =
2
3
0
2
2x | + (x 2 − 2x)|
= [2.2 − 2.0] + [(3 2 − 2.3) − (2 2 − 2.2)] = 4 + 3 = 7
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
2
x=0 ⇒ x=0 ve x–1=0 ⇒ x=1
∫ (|x|+|x − 1|) dx integralinin sonucunu bulunuz.
x
0
– ∞
0
x
– – –
x–1
– – –
+ +
x +x–1 
2
1
0
– – –
+ + +
x+x–1=2x–1
2
1
= [1− 0] + [(2 2 − 2) − (12 − 1)] =1+ 2 =3
80
+ + +
x+(–x+1)=1
∫ (| x | + | x − 1|) dx ∫ 1dx + ∫ (2x − 1)dx =
0
2 + ∞
1
1
2
0
1
x | + (x − x)|
Cevap: 3
İntegral
soru 1
soru 5
0
0
∫ (|x|+3x ) dx
∫ x.|x+2|dx
−2
−3
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 5
A) −
soru 2
8
3
4
3
C) 0
2
∫ (|x+1|+x ) dx
∫
−1
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
C) –3
D) –4
E) –5
A) 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) –2
soru 3
∫
−2
0
integralinin değeri kaçtır?
B) 20
C) 24
D) 28
E) 32
A) 2
∫
−2
1
integralinin değeri kaçtır?
1 – A
D) –1
E) 2
C) 4
D) 5
E) 6
D) 1
E) 2
|x − 1|
dx
x −1
B) 3
3
∫ 2x|x|dx
16
3
C) 1
soru 8
1
A) −
8
3
integralinin değeri kaçtır?
soru 4
B) 2
4
∫ (|x+2|+x ) dx
A) 16
E)
soru 7
4
4
3
|x|
dx
x
−4
A) –1
D)
soru 6
−2
B) −
B) −
14
3
2 – B
|x 2 + 1|
x2 +1
dx
integralinin değeri kaçtır?
C) −
13
3
D) −
3 – C
11
3
E) −
A) –2
10
3
4 – D
4 – B
5 – A
81
B) –1
C) 0
6 – B
6 – C
7 – C
7 – A
8 – D
8 – E
İntegral
Belirli İntegralde Değişken Değiştirme
Belirsiz integral alınırken kullanılan değişken değiştirme yöntemi, belirli integral soruları için de geçerli bir yöntemdir. Ancak sadece integrali alınacak ifadenin değişkenlerini dönüştürmek yetmez, integralin sınır değerlerinin de dönüştürülmesi gerekir.
çözüm
kavrama sorusu
2
∫ (x
3
u=x3+2x ⇒ du=(3x2+2)dx
x=2 için u=23+2.2=12
x=–1 için u=(–1)3+2.(–1)=–3
+ 2x).(3x 2 + 2)dx integralinde u=x3+2x dönüşümü
−1
yapıldığında elde edilen integrali bulunuz.
2
∫ (x
3
−1
2 3 + 2.2
12
( −1)3 + 2.( −1)
−3
+ 2x).(3x 2=
+ 2)dx
u
udu ∫ udu
∫=
du
Cevap:
12
∫ udu
−3
çözüm
kavrama sorusu
3
∫e
x 2 +1
u=x2+1 ⇒ du=2xdx
x=3 için u=32+1=10
x=0 için u=02+1=1
.2xdx integralinde u=x2+1 dönüşümü yapıldığın-
0
da elde edilen integrali bulunuz.
3
2
x +1
.2xdx
∫e =
0
3 2 +1
10
0 2 +1
1
u
=
∫ e du
u
∫e
du
10
Cevap:
u
du
13
du
u
∫e
1
çözüm
kavrama sorusu
2
2x
∫ x 2 + 9 dx
u=x2+9 ⇒ du=2xdx
x=2 için u=22+9=13
x=1 için u=12+9=10
integralinde u=x2+9 dönüşümü yapıldığında
1
elde edilen integrali bulunuz.
2
2x
dx
∫ x 2=
+9
1
22 + 9
13
1 +9
10
du
=
∫ u
2
∫
du
u
Cevap:
∫
10
çözüm
kavrama sorusu
e
2
∫
e
lnx
dx integralinde u=lnx dönüşümü yapıldığında elde
x
u=lnx ⇒ du
dx
x=e2 için u=lne2=2
x=e için u=lne=1
edilen integrali bulunuz.
e2
ln e2 = 2
2
e
ln e =1
1
ln x
=
∫ x dx
=
∫ udu
∫ udu
2
Cevap:
∫ udu
1
82
İntegral
soru 1
soru 5
1
1
2
∫ (x + x − 1).(2x+1)dx
∫2
1
2
∫ u.du
B)
0
∫
−2
x2 + x + 3
∫
5
5
du
u
∫
B)
3
4
du
u
∫
C)
3
3
du
u
5
e
integralinde u=ln(x2) dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
6
∫ u.du
B)
−1
C)
−2
E)
−3
B)
∫ sin
∫u
2
.du
B)
integralinde u=3x dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
π
2
π
∫ cosu.du
B)
0
1
C)
0
∫ u.du
3
∫
2
arctanx
1+ x 2
A)
.du
π
3
0
2 – B
2 – A
∫ u.du
B)
∫ cosu.du
π
6
∫ u.du
D)
4 – D
4 – C
5 – A
83
∫ u.du
C)
π
4
π
0
3 – C
3 – B
E)
π
3
dx
π
4
3π
2
∫
u.du
π
4
π
3
∫ u.du
E)
6 – B
6 – D
7 – C
7 – B
π
1 – A
1 – D
∫ cosu.du
0
π
2
E)
C)
π
6
integralinde u=arctanx dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
0
1
D)
∫u
∫ cosu.du
π
3
1
u2 .du
∫ cosu.du
0
π
∫
eu .du
∫ 3 cos 3xdx
∫ u.du
x.cos xdx
∫
E)
1
0
integralinde u=sinx dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
eu .du
eu .du
0
0
−3
3
2
∫
∫
π
3
A)
0
1
2
C)
3
soru 8
2
3
.du
soru 7
soru 4
u
0
D)
π
2
∫e
1
8
∫ u.du
D)
∫ u.du
−2
6
1
.du
D)
4
∫ u.du
u
3
2.ln(x 2 )
∫ x dx
−1
3
∫e
1
2
e3
A)
1
A)
soru 3
e tanx
∫ cos2 x dx
du
E) ∫
u
4
−1
integralinde u=tanx dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
2
du
D) ∫
u
u
∫ 2 .du
π
4
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
π
3
E)
−1
soru 6
dx
u
u
∫ 2 .du
−2
1
∫ 2 .du
D)
−1
C)
−2
∫ u.du
E)
2
u
∫ 2 .du
B)
4
integralinde u=x2+x+3 dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
3
3
u
∫ 2 .du
−2
−1
∫ u.du
2x + 1
A)
2
−1
0
∫ u.du
C)
0
soru 2
4
0
∫ u.du
1
D)
.3dx
integralinde u=3x+1 dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
integralinde u=x2+x–1 dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3x+1
−1
0
∫ u.du
π
4
8 – D
8 – E
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
4
∫
x=u2 ⇒ dx=2udu
x=4 için u2=4 ⇒ u=2
x=1 için u2=1 ⇒ u=1
x dx integralinde x=u2 dönüşümü yapıldığında elde
1
edilen integrali bulunuz.
4
2
1
1
=
∫ x dx
2
u .2udu
∫=
2
2.∫ u2du
2
1
Cevap: 2 ∫ u 2 du
1
çözüm
kavrama sorusu
7
∫
3
x+1=u3 ⇒ dx=3u2.du
x=7 için 7+1=u3 ⇒ u=2
x=–1 için –1+1=u3 ⇒ u=0
x +1 dx integralinde x+1=u3 dönüşümü yapıldığında
-1
elde edilen integrali bulunuz.
7
2
3
∫
=
x + 1dx
−1
∫
3
0
2
u3=
.3u2du 3 ∫ u3du
0
2
Cevap: 3 ∫ u 3 du
0
çözüm
kavrama sorusu
1
x=sint ⇒ dx=cost.dt
1 − x 2 dx integralinde x=sint dönüşümü yapıldığında
∫
0
x=1
için sint=1 ⇒ t =
elde edilen integrali bulunuz.
x=0
için sint=0 ⇒ t=0
1
2
∫
1− x dx
=
0
π
2
π
2
2
∫
1− sin t . costdt
=
0
π
2
∫ cos
=
2
π
2
∫
cos 2 t . costdt
0
tdt
0
Cevap:
π
2
∫ cos
2
tdt
0
çözüm
kavrama sorusu
3
∫
x=tant ⇒ dx =
1+ x 2 dx integralinde x=tant dönüşümü yapıldığında
1
dt
cos 2 t
x=ñ3 için tant=ñ3 ⇒ t =
elde edilen integrali bulunuz.
x=1
için tant=1 ⇒ t =
3
π
3
∫
π
4
1+ x 2 dx =∫ 1+ tan2 t .
π
4
1
π
3
π
3
π
4
4
dt
cos 2 t
3
1
dt
dt
= ∫
⋅
= ∫
2
cos
t
cos t π cos 3 t
π
Cevap:
π
3
π
4
84
dt
∫ cos 3 t
İntegral
soru 1
soru 5
8
3
∫
x dx
1
2
8
A)
∫u
5
2
1
integralinde x=sint dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
C) 3∫ u3du
1
2
0
8
B) 3∫ u3du
du
1
2
5
D) 3∫ u du
A)
3
π
4
∫ cos
2
π
4
B) 3 ∫ sin2 tdt
tdt
0
E) 3∫ u du
1
1− x 2 dx
∫
1
integralinde x=u3 dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
π
6
0
∫ cos
D)
soru 2
∫(
)
3
x − x dx
1
2
B)
1
7
∫ (u
7
C) 6. ∫ (u7 − u8 )du
1
∫ (u
2
soru 3
4
∫(
)
x + 1 dx
1
integralinde ñx=u dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
2
2
A) 2.∫ (u2 +u)du
B)
1
D)
64
x+
6
0
3
x
2
∫
x
3
3
4
B)
∫ sec
3
π
4
C) 4. ∫ sec 3 tdt
tdt
π
4
π
4
∫ sec
2
π
6
π
4
E) 2. ∫ sec 2 tdt
tdt
π
6
π
6
dx
∫
1+ x 2
integralinde x=tant dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
2
C) 6 ∫ (u7 +u6 )du
0
7
6
D) 6 ∫ (u +u )du
0
A)
0
4
7
π
4
∫ cos
2
tdt
B)
3π
4
π
3
6
E) 12 ∫ (u +u )du
∫
0
π
4
∫ cos
2
tdt
π
3
2 – A
2 – B
3 – C
3 – A
4 – D
4 – C
5 – A
5 – D
85
cos 2 tdt
C)
π
3
D)
1 – A
1 – B
π
3
3
B) 3∫ (u6 +u5 )du
0
4 + x 2 dx
1
2
6
5
∫ (u +u )du
0
integralinde x=2tant dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
integralinde
dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
2
t.dt
2
1
x=u6
A)
2
E) 4 ∫ cos 2 t.dt
0
soru 7
∫ cos
0
π
4
D) 4 ∫ cos 2 t.dt
π
4
dx
C)
0
soru 8
∫
tdt
π
B) 2 ∫ cos 2 t.dt
π
2
soru 4
64
2
π
4
cos 2 t.dt
D)
∫ cos
4 − x 2 dx
A) 2. ∫ sec tdt
3
E) 2 ∫ (u +u)du
1
∫
π
3
1
2
∫ udu
A) 2
C) 6. ∫ (u2 +u)du
∫ du
1
4
2
− u3 )du
1
π
3
0
0
2
E)
∫
tdt
integralinde x=2sint dönüşümü yapıldığında elde edilen
integral aşağıdakilerden hangisidir?
1
− u8 )du
E)
64
− u8 )du
1
64
D)
∫ (u
tdt
2
0
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
2
2
integralinde x=u6 dönüşümü yapıldığında elde edilen integral aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6.∫ (u7 − u8 )du
2
∫ sin
0
0
soru 6
64
C)
0
π
6
6 – B
6 – E
3π
4
dt
cos
t
π
∫
3
E)
π
4
dt
∫ cost
π
3
7 – C
7 – C
8 – D
8 – E
İntegral
Belirli integralde değişken dönüştürme işlemi yapıldığında dönüştürme işlemine bağlı olarak sınırlar da değişir. Elde edilen dönüşmüş integralin eşiti bulunduktan sonra yeni sınırlar bu ifadede yerine yazılarak integralin sonucu bulunabilir.
Ancak, dönüştürülen en baştaki ifadeler tekrar yerine yazılırsa sınırları da en baştaki sınırlar almak durumundayız. Her iki şekilde
de aynı sonucu buluruz.
çözüm
kavrama sorusu
2
∫ (x
2
u=x2–x ⇒ du=(2x–1)dx
x=2 için u=2
x=1 için u=0
− x).(2x − 1)dx integralinin sonucunu bulunuz.
1
2
∫ (x
2
2
− x).(2x − 1)dx =∫ u.du =
1
0
u2 2 2 2 0 2
|=
−
=2
2 0 2
2
veya
u2 2 (x 2 − x)2 2 (22 − 2)2 (12 − 1)2
|=
|=
−
= 2
2 0
2
2
2
1
Cevap: 2
Her iki çözümde de aynı sonuç bulunur.
çözüm
kavrama sorusu
2
u=x2+2 ⇒ du=2xdx
x=2 için u=22+2=6
x=1 için u=12+2=3
2x
∫ x 2 + 2 dx integralinin sonucunu bulunuz.
1
2
2x
∫ x2 + 2
1
3
6
du
6
= lnu | = ln6 − ln 3 = ln = ln2
u
3
3
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
∫
6
dx = ∫
u=x2+x ⇒ du=(2x+1)dx
x=1 için u=12+1=2
x=0 için u=02+0=0
x + x .(2x +1)dx integralinin sonucunu bulunuz.
1
∫
2
2
=
x + x .(2x + 1)dx
0
∫
2
=
u.du
0
2
∫
0
1
=
u 2 .du
1
+1
3
u 2 2 2u 2 2
=
|
|
1
3 0
+1 0
2
3
2.(2) 3 2.0 2 4
=
− =
3
3
3
Cevap:
2
3
4
3
çözüm
kavrama sorusu
π
2
u=sinx ⇒ du=cosxdx
π
π
u sin
= 1
için=
x=
2
2
x=0
için u=sin0=0
3
∫ sin x.cosx.dx integralinin sonucunu bulunuz.
0
π
2
∫ sin
0
86
3
1
x cos xdx =∫ u3 .du =
0
u4 1 14 0 4 1
=
|= −
4 0 4
4
4
Cevap:
1
4
İntegral
soru 1
soru 5
1
1
3x 2
∫ x 3 +1 dx
∫e
0
B) 1
integralinin değeri kaçtır?
C) ln2
D) ln3
E) 2
A) e
soru 2
1
1
∫ (x
C) ln2
D) ln3
E) 2
2
A)
+ x)2 .(2x+1)dx
4
3
1
e
E)
1
−1
e
5
3
D) 4
E)
16
3
π
2
∫e
sin x
. cos xdx
integralinin değeri kaçtır?
8
C)
3
B) 2
C)
0
integralinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
soru 7
0
10
E)
3
D) 3
A) e
soru 4
B) 2
C) e–1
D) e–2
E) e–3
soru 8
1
∫ (x
2
π
+ 1)9 .xdx
∫ sin
integralinin değeri kaçtır?
210
5
B)
D)
5
x.cos xdx
0
0
1 – A
1 – C
D) 1−
2
soru 3
A)
1
e
integralinin değeri kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 1
C) 1+
x 2 − x − 2 .(2x − 1)dx
∫
0
1
e
3
2x − 1
integralinin değeri kaçtır?
A) 0
B)
soru 6
∫ x 2 − x + 3 dx
. 2xdx
0
integralinin değeri kaçtır?
A) 0
x 2 −1
210 − 1
10
2 – B
2 – A
integralinin değeri kaçtır?
210 − 1
5
C)
E)
3 – C
3 – C
210 + 1
10
A) − 2
B) 0
C)
1
6
D) 1
E) 2
210 − 1
20
4 – D
4 – E
5 – A
5 – D
87
6 – B
6 – E
7 – C
7 – C
8 – D
8 – B
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
e
dx
x
x=e için u=lne ⇒ u=1
x=1 için u=ln1 ⇒ u=0
lnx
dx integralinin değeri kaçtır?
x
∫
1
u=lnx ⇒ du =
e
ln x
dx =
x
∫
1
3
1
3
u 2 1 2u 2 1 2
2
∫ u.du= 3 |0 = 3 |0 = 3 (1− 0)= 3
0
2
2
3
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
π
3
cosx–1=u ⇒ –sinxdx=du
2
∫ (cosx − 1) .sinx dx integralinin değeri kaçtır?
π
1
1
π
için u =cos − 1 = − 1 =−
3
2
2
3
x=0 için u=cos0–1 ⇒ u=1–1=0
x=
0
1
2
−
∫
− u2 .du =−
0
3
Cevap:
1
24
çözüm
kavrama sorusu
π
∫ sinx.cos(cosx)dx
3
 1
− 2 
 − 0 =1
| =− 
3
24
0
1
−
u3 2
u=cosx ⇒ du=–sinxdx
x=p
için u=cosp=–1
π
π
için
u cos
=
= 0
x=
2
2
integralinin sonucunu bulunuz.
π
2
−1
−1
0
0
∫ − cosu.du =− sinu ∫ =− sin(−1) − (− sin0)
= sin1
çözüm
kavrama sorusu
0
∫
lne
Cevap: sin1
dx
u=ex ⇒ du=exdx ⇒
x
− x integralinin sonucunu bulunuz.
)
−1 (e +e
x=0
du
x
e
için u=e0=1
=dx ⇒
du
=dx
u
–1
x=lne–1 için u=elne =–1
1
1
1
du
du
= |= arctanu |
2
1


−1
−1 u.  u +  −1 u + 1
u

∫
= arctan1− arctan( −1)
=
88
π  π  π π 2π π
−−  =
+ =
=
4  4 4 4
4
2
Cevap:
π
2
İntegral
soru 1
soru 5
e
lnx
dx
x
∫
1
3
B)
2
integralinin değeri kaçtır?
5
C)
2
7
D)
2
9
E)
2
A) −
soru 2
1
2
B)
1
2
C)
3
∫
dx
π
3
x 1+ ln x
1
∫
A) –1
B) 0
cos(tan x)
cos 2 x
0
integralinin değeri kaçtır?
C) 1
D) 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
π
e4
∫
π
e2
−
 1 
B) sin 

 3 
ln 4
∫ (e
∫
 1 
E) cos 

 3 
x
− e − x )e x dx
integralinin değeri kaçtır?
A) l–ln2
C) 0
D) –1
B) 6–ln2
E) –2
D) 3+ln2
(ln x)2
dx
x
π
2
C) 1+ln2
E) 5+ln2
B) 2
C)
π
3
8
3
D) 3
E)
integralinin değeri kaçtır?
11
3
A) 3
2 – B
2 – D
sin x
∫ (1− cos x)2 dx
integralinin değeri kaçtır?
1 – A
C) sin1
soru 8
e2
1
3
7
2
ln 2
x.sin2 (lnx)
B) 1
1
A)
E)
soru 7
soru 4
5
2
dx
D) cos 3
dx
integralinin değeri kaçtır?
A) 2
D)
integralinin değeri kaçtır?
E) 3
A) sin 3
3
2
soru 6
e
∫ (sin x + 2).cos xdx
0
integralinin değeri kaçtır?
1
A)
2
π
2
3 – C
3 – B
4 – D
4 – C
5 – A
5 – D
89
B) 2
C) 1
6 – B
6 – A
D)
7 – C
7 – B
1
2
E)
1
3
8 – D
8 – C
İntegral
İNTEGRALDE ALAN HESAPLAMA
Düzgün kapalı geometrik şekillerin alanları
çeşitli formüller yardımı ile hesaplanır.
a.h
Alan(ABCD) = a 2
Alan(ABC)
=
2
Alan(ABCD) = a.b gibi.
Sınırları belli olan düzgün veya düzgün olmayan şekillerin alanları integral yardımı ile hesaplanabilir. Örneğin;
|OA|.|AB| 1.1 1
= =
br 2
2
2
2
|OA|.|AB| 1.1 1
=
= =
Alan(OAB)
br 2
1
Formül ile bulduğumuz
alanı integral kullanılarak da bulunabilir.
2 x 2 1üçgenin
122 022 1 2
= br
Alan(OAB) =∫ xdx =
|= −
1
x22 01 122 022 2
1
0
= br 2
Alan(OAB) =∫ xdx =
|= −
2 0 2
2
2
Alan(OAB)
=
0
b
y=f(x) fonksiyonu x=a, x=b ve y=0 doğruları ile sınırlanan bölgenin alanı ise Alan =
∫ f(x)dx
dir.
a
çözüm
kavrama sorusu
Alanını bulacağımız bölge, x=0, x=2 ve y=0 doğruları ile sınırlanan bölgedir.
b
Alan =
∫ f(x).dx
bağıntısından
a
2
∫x
2
.dx =
0
Şekilde y=x2 parabolü, x=2 doğrusu ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
x 3 2 23 0 8 2
|=
− =
br
3 0 3 3 3
Cevap:
8
br 2
3
çözüm
kavrama sorusu
=
Alan
b
9
a
0
= ∫
∫ f(x)dx
9
=
x .dx
∫
1
x 2=
.dx
0
3
3
x 2 9 2x 2 9
=
|
|
3 0
3 0
2
3
Şekilde y=ñx fonksiyonu, x=9 doğrusu ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
2.(9) 2
=
=
− 0 18 br 2
3
Cevap: 18 br2
çözüm
kavrama sorusu
b
Alan =
∫ f(x)dx
a
Şekilde y=ex fonksiyonu, x=ln3 doğrusu, x ve y eksenleri
ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
90
ln 3
=
∫
0
ln 3
e x dx = e x | = eln 3 − e 0 = 3 − 1 = 2 br 2
0
Cevap: 2 br2
İntegral
soru 1
soru 5
Şekilde y=8–8x doğrusu, x ve y eksenleri ile sınırlanan
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Şekilde y=x3 fonksiyonu, x=2 doğrusu ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 3
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
soru 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
soru 6
x
+1 doğrusu, x=4 doğruları, x ve y eksenle2
ri ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Şekilde y=x2+1 fonksiyonu, x=3 doğrusu, x ve y eksenleri ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
soru 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Şekilde y =
1
3
B)
2
3
14
3
B) 6
C)
C)
5
3
20
3
D) 12
7
3
E)
44
3
D)
E)
soru 7
Şekilde y=x2 – 4x+4 fonksiyonu, x ve y eksenleri ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
A)
Şekilde y=e2x fonksiyonu, x=ln2 doğrusu, x ve y eksenleri ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
8
3
A)
soru 4
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D)
7
2
E)
8
2
soru 8
2
3
1 – A
1 – B
B)
4
3
2 – E
2 – B
C) 2
D) 3
3 – E
3 – C
π
doğrusu ve x ekseni ile
2
sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Şekilde y=sinx fonksiyonu, x =
Şekilde y=–x2+1 fonksiyonu, x ve y eksenleri ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
E) 4
A)
4 – A
4 – D
1
3
5 – B
5 – A
91
B)
1
2
C) 1
6 – D
6 – B
D)
7 – C
7 – B
3
2
E)
3
8 – D
8 – C
İntegral
b
b
Taralı Alan= ∫ f(x)dx
b
Taralı Alan= ∫ f(x)dx
a
Taralı Alan= ∫ f(x)dx
a
a
Yukarıda verilen düzgün olmayan eğrilerin x ekseni ve x=a, x=b doğruları ile sınırlanan x ekseni üzerindeki taralı bölgelerin alanb
larının tümü
∫ fxdx
integrali ile hesaplanabilir.
a
çözüm
kavrama sorusu
Alanını bulacağımız bölge x=1, x=2 ve y=0 doğruları ile sınırlanan bölgedir.
b
Taralı Alan= ∫ f(x)dx
a
3
= ∫ x 2Alan
dx = =
Taralı
1
Yukarıda y=x2 fonksiyonu, x=1 ve x=3 doğruları x ekseni
ile sınırlanan taralı bölgenin alanını bulunuz.
=
x 33 32
x| dx =
3∫ 1
1
x3 3
|
3 1
27 1 26
27br 21
−=
=
−=
3 3
33 3
26 2
br
3
Cevap:
26
br 2
3
çözüm
kavrama sorusu
4
4  2
 4 x 2
4
x
 +1)dx
Taralı
Alan = =∫ (x
+ x = |
= ∫ (x +1)dx
|
+
x
 2
  2

 1
1
1
1
 42
  412
  12 3  21 23 21
 = 12 − =
+ 4 =− +1
=
 = 12br− = br 2
 2
  22 + 4  −  2 +1
2  2
2 2

 
 

Cevap:
21 2
br
2
Cevap:
32
br 2
3
Yukarıda y=x+1, x=1, x=4 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanını bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
2
2
 2x 3
 2
 x3
2 =
(=− x 2 −
+4)dx
=4x−| + 4x  |
Alan
−
+
=Taralı
(
x
+4)dx
∫
 3
 −2
∫
 3
 −2

−2

−2

 23
  2 3( −2)3  ( −2) 3
 − −2)  +4( −2) 
+ 8 −− − + 8  −
=  −=
+4(

3
 3
  3 3  


 

32
32 2 =
br 2
=
br
Yukarıda y=–x2+4 fonksiyonu ve x ekseni ile sınırlanan
3
3
taralı bölgenin alanını bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıda y=sinx fonksiyonu, x =
π
, x=
6
π
3
π
3
π
3
π
3
π
6
π
6
π
6
π
6
Taralı
Alan
= ∫ sin
xdx= = ∫−sin
cosxdx
x |= − cos x |
= − cos
π
doğruları ve x
2
ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanını bulunuz.
92
ππ    1 π  3  1 3 −31  2 3 − 1 2
π 
=
br
br
−=  −−cos
− +  = −= +
cos − = − cos
36    2 6 2  2 22 
2
3 
3 −1 2
Cevap:
br
2
İntegral
soru 1
soru 3
Yukarıda y=g(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y=x2+1 fonksiyonu, x=–3, x=3 doğruları ve x
ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Taralı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisi ile
hesaplanabilir?
A) 12
4
A)
4
∫ g(x)dx
B)
−1
C)
∫ g(x)dx
D) 30
E) 32
−1
0
−1
D)
C) 24
soru 4
0
∫ g(x)dx
B) 18
0
∫ g(x)dx
E)
4
∫ g(x)dx
4
soru 2
3
∫ f(x)dx
integrali aşağıdaki taralı bölgelerin hangilerinin
−2
alanlarının hesaplamasında kullanılabilir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Yukarıda y=–x2+2x+3 fonksiyonu ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 10
B)
A)
70
3
C)
80
3
D)
87
3
E)
92
3
B) I I ve III
D) I, II ve III
1 – A
B)
A) I ve II
40
3
soru 6
Yukarıda y=9 – x2 fonksiyonu, x=–1 doğrusu ve x ekseni
ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) 12
34
3
D)
C) 11
soru 5
32
3
2 – B 2 – D
Yukarıda y=ex fonksiyonu x=ln2 ve x=ln4 doğruları, x
ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
C) I ve III
A) 2
E) I, II ve IV
3 – C
3 – C
4 – D
5 – A4 – B
93
B) 3
C) 4
6 – B
D) 5
5 – C 7 – C
E) 6
8 – D
6 – A
İntegral
b
Şekilde verilen y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değerler almaktadır.
∫ f(x)dx
integralinin
a
sonucu da bu nedenle negatiftir. Alan negatif olamayacağı için şekildeki gibi x ekseninin altında
kalan alanlar
b
Taralı Alan= − ∫ f(x)dx integrali ile hesaplanır.
a
b
b
Taralı Alan= − ∫ f(x)dx
a
Taralı Alan= − ∫ f(x)dx
a
a
çözüm
kavrama sorusu
Alanını bulacağımız bölge y=x3 eğrisi, x=–2 doğrusu ve x
ekseni ile sınırlanan, x ekseninin altında kalan bölgedir.
0
0x 4 0
x4 0
− ∫ Alan
=Taralı
x 3=
dx
= −− x 3dx
|
−
|
∫ 4 −=
2
4
−2
−2
−2
 2   24
= 0 −  − =0=−4 br
 4  − 4

 
4
Yukarıda y=x3 fonksiyonu, x=–2 doğrusu ve x ekseni ile
sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?

 = 4 br 2


Cevap: 4 br2
çözüm
kavrama sorusu
Taralı bölge x ekseninin altında olduğundan,
2
3
 2
2
 3
 2x
2
−=∫ (x−2 −x4)dx
=
− ∫ Alan
− 4)dx
− 4x − | 3 − 4x  |
=Taralı
(x=
 3
 −2
 −2
−2


−2
b
Taralı Alan= − ∫ f(x)dx
3
3
 23
 2 −2 3   −2 16 16 16 16
 2)  = − 4.(+−2)  =
+−
+
 − 4.2
= − =
− 4.2−+ 3
− 4.(


3
 3
  3
3 3
  3 3

 
Yukarıda y=x3 fonksiyonu ve x ekseni ile sınırlanan taralı
32 2= 32 br 2
=
br
bölgenin alanı kaç br2 dir?
3
3
Cevap:
32
br 2
3
Cevap:
14
br 2
3
çözüm
kavrama sorusu
Taralı bölge x ekseninin altında olduğundan,
4
4 4
Taralı
= − ∫ ( −Alan
x )dx
= −= ∫ ( ∫− x dx
)dx= =
1
3
x2
1 1
Yukarıda y=–ñx fonksiyonu, x=1, x=4 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
4
11
1
∫∫
4
33
2x x2 24 4
3
2x 2 4
3
3 3
3
= |==| |=
3 1
331 1
2
2
44 1
x 2 xdxdx =
1
∫ x 2 dx
|
3 1
2 2 2 2.(1)
2.(4) 2 2.(1)
4 3 2 2 2134 3 2 13
2.(4)
=
− = − =
−
=
−
3
33
33
3 3
3
16 2 14
16 22 14 2
=
− = =
br− =
br
3 3
33 3
3
94
İntegral
soru 1
soru 3
Yukarıda y=–x2 fonksiyonu, x=1 doğrusu ve x ekseni ile
sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı aşağıdakilerden
hangisi ile hesaplanabilir?
4
B)
0
4
∫ g(x)dx
1
4
0
− ∫ f(x)dx integrali aşağıdaki taralı bölgelerin hangilerinin
−1
alanlarının hesaplamasında kullanılabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
soru 5
1
24
B)
1
12
C)
1
8
D)
1
6
E)
1
3
soru 6
Yukarıda y=x–1, x=–1 doğruları ve x ekseni ile sınırlanan
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
Yukarıda y=x3–x2 eğrisi ve x ekseni ile sınırlanan taralı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) 3
4
3
D)
3
C) 1
0
soru 2
1
3
E) − ∫ g(x)dx
1
B)
1
D) − ∫ g(x)dx
1
2
soru 4
C) − ∫ g(x)dx
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
4
A) − ∫ g(x)dx
A)
1
eğrisi, x=e, x=e3 doğruları ve x ekseni
x
ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Yukarıda y = −
A) I ve II
B) I I ve I II
D) II ve IV
1 – A
1 – D
2 – B 2 – C
C) I II v e IV
E) I ve IV
3 – C
A) 5
3 – B
4 – D
5 – A
4 – A
95
B) 4
C) 3
6 – B
D) 2
5 – B 7 – C
E) 1
6 – D
8 – D
İntegral
Şekilde y=f(x) fonksiyonu ve x ekseni tarafından sınırlanmış S1 ve S2 taralı alanları verilmiştir.
c
S1 taralı bölgesi x ekseninin üstünde olduğu için S1 = ∫ f(x)dx integrali ile, S2 taralı bölgesi
S1 +=
S2
c
b
a
c
c
∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx dir.
çözüm
kavrama sorusu
A taralı bölgesi x ekseninin altındadır
1
A= − ∫ (x 2 − 1)dx integrali ile hesaplanır.
0
B taralı bölgesi x ekseninin üstündedir
4
B=
∫ (x
2
− 1)dx integrali ile hesaplanır.
1
Yukarıda y=x2–1 eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgelerin alanlarını veren integral ifadelerini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A taralı bölgesi x ekseninin alt tarafında olduğundan,
0
0
−4
−4
A = − ∫ f(x)dx = 5 ve
6
B = ∫ f(x)dx = 6
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
0
A=5br2 ve B=6 br2 bulundukları taralı bölgelerin alanları
6
0
6
−4
−4
0
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = −5+6 = 1
6
∫ f(x)dx integralinin değeri kaçtır?
−4
–5
6
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
∫ f(x)dx = −5
B taralı bölgesi x ekseninin üst tarafında olduğundan,
olmak üzere,
a
b
ise x ekseninin altında olduğu için S 2 = − ∫ f(x)dx integrali ile hesaplanır.
A taralı bölgesi x ekseninin alt tarafında olduğundan,
−1
−1
−3
−3
A = − ∫ f(x)dx = 6 ve
∫ f(x)dx = −6
B taralı bölgesi x ekseninin üst tarafında olduğundan,
1
B=
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A=6br2
−1
1
ve
∫ f(x)dx = 10
∫ f(x)dx
olduğuna göre, B taralı bölgesi-
−1
1
∫
−3
nin alanı kaç br2 dir?
−3
f(x)dx =
∫
−3
1
f(x)dx + ∫ f(x)dx = −6+B = 10 ise B = 16
−1
–6
96
B
Cevap: 16 br2
İntegral
soru 1
soru 4
0
5
=
II) − ∫ f(x)dx B
−2
III)
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A=3 br2, B=5 br2, C=7 br2 olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A ve B bulundukları bölgelerin alanları olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
=
I) ∫ f(x)dx A
5
5
−5
II) ∫ f(x) dx =
15
∫ f(x)dx =
I)
−2
−2
5
5
5
2
−2
−2
0
−2
0
III) ∫ f(x)dx =
−2
IV ) ∫ f(x) dx =
8
A −B
IV ) ∫ f(x) dx =
A +B
∫ f(x)dx =
A) I ve II
B) I ve I II
A) I ve II
C) I , II ve III
D) II, III ve IV
D) II, III ve IV
E) Hepsi
C) I , II ve III
E) Hepsi
soru 5
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 2
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
6
A=4 br2 ve B=6 br2 olduğuna göre ∫ f(x)dx integralinin
−3
değeri kaçtır?
A) –2
B) I ve I II
B) 2
C) 4
D) 6
Yukarıda y=–x3 eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç br2 dir?
A)
E) 10
1
8
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
soru 6
soru 3
Yukarıda y=f(x) fonksiyonu ve x ekseni ile sınırlanan taralı
S
bölgelerin alanları S1 ve S2 arasında S1 = 2 bağıntısı vardır.
5
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
4
A=4 br2 ve
∫ f(x)dx =
−7 olduğuna göre, B taralı bölge-
4
∫ f(x)dx = 12
−2
sinin alanı kaç
br2
−3
dir?
A) 3
A) –3
1 – A
1 – E
B) 2
C) 3
2 – B 2 – B
D) 4
3 – C
olduğuna göre, S1 kaç br2 dir?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) 11
3 – C
4 – D
5 – A
4 –E
97
6 – B
5 – C 7 – C
8 – D
6 – A
İntegral
Yandaki şekilde olduğu gibi x=f(y) eğrisi y=a, y=b doğruları ve y ekseni ile sınırlanmış, y
ekseninin sağ tarafında kalan taralı bölgelerin alanları;
b
Taralı Alan= ∫ f(y)dy integrali ile bulunur.
a
Yandaki şekilde olduğu gibi x=f(y) eğrisi y=a, y=b doğruları ve y ekseni ile sınırlanmış, y
ekseninin sol tarafında kalan taralı bölgelerin alanları;
b
Taralı Alan= − ∫ f(y)dy integrali ile bulunur.
a
Eğrinin bağıntısı y=f(x) olarak verildiğinde bu tip taralı bölgelerin alanını bulmak için ilk adım ifadeyi x=f(y) biçimine dönüştürmektir. Yani taralı bölgenin alanını bulmak için fonksiyonun tersinin integralini almalıyız.
çözüm
kavrama sorusu
y=ñx ise x=y2
(x=f(y) biçimine dönüştürüldü)
Taralı bölge y ekseninin sağ tarafında olduğundan,
2
Taralı Alan= ∫ f(y)dy =
0
2
∫y
2
y 3 2 23
8 2
− 0=
|=
br
3 0 3
3
dy =
0
Cevap:
Yukarıda y=ñx eğrisi y=2 doğrusu ve y ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanını bulunuz.
8
br 2
3
çözüm
kavrama sorusu
y=lnx ise x=ey
(x=f(y) biçimine dönüştürüldü)
Taralı bölge y ekseninin sağ tarafında olduğundan,
ln5
Taralı Alan=
∫
ln5
f(y)dy =
ln 2
=5–2=3
∫
ln 5
e y dy = e y =
| eln 5 − eln2
ln 2
ln 2
br2
Cevap: 3 br2
Yukarıda y=lnx eğrisi, y=ln2, y=ln5 doğruları ve y ekseni
ile sınırlanan taralı bölgenin alanını bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Taralı bölge y ekseninin sol tarafında olduğundan,
4
44
0
00
(
)
44
(
1
)
Taralı
Alan=
= −= ∫ −
y dy =
− ∫ f(y)dy
= −−∫ ∫ −f(y)dy
y dy
∫ y 2 dy
=
Yukarıda x=–ñy eğrisi, y=4 doğrusu ve y ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin alanını bulunuz.
3
y2 4
00
4
1
∫ y 2 dy
0
3
y 3y 24 4
2 3y 3 4 16
2 43 2
16
2
=
−0
| 2 4 =
br 2
=
− 0|
| = =
|
br=
3
3
3
3
3 0
3 00
3
3
0
2
2
Cevap:
98
16
br 2
3
İntegral
soru 1
soru 4
Yukarıda x =
1
eğrisinin grafiği verilmiştir.
y
Yukarıda, x=y2–2y eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, taralı bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
2
1
A)
∫
0
4
1
dx
x
B)
∫
0
4
1
dy
y
C)
1
4
4
1
D) − ∫ dy
y
∫
E)
1
∫
1
0
Yukarıda x=y2 eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
C) 9
D) 15
2
C)
0
∫
∫
x + 1dx
0
2
E) − ∫ x + 1dx
x + 1dx
1
B) 6
2
B) − ∫ (y 2 − 2y)dy
− 2y)dy
D)
A) 3
2
0
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
∫ (y
1
dx
y
soru 2
A)
1
dy
y
0
soru 5
Yukarıda x=4y3 eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) 27
A) 8
soru 3
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
soru 6
Yukarıda x=ey eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 1
1 – A
1 – C
B) e2
C) e–2
2 – B 2 – C
D) e–1
3 – C
Yukarıda x=y2(y–2) eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) e
A)
3 – D
4 – D
2
3
5 – A4 – B
99
B)
4
3
C)
6 – B
5
3
D) 2
5 – E 7 – C
E)
7
3
8 – D
6 – B
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
Taralı bölge y ekseninin solunda olduğundan,
1
Taralı Bölgenin Alanı= − ∫ (y 2 − y)dy
0
 y3 y2  1
|
=
− 
−
2  0 
  3

1
 1 1
=−  −  − 0 =
6
3 2
Yukarıda x=y2–y eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A taralı bölgesi y ekseninin sol tarafında olduğundan,
A = − ∫ f(y)dy = 4 ve
0
0
−2
−2
∫ f(y)dy = −4
B taralı bölgesi y ekseninin sağ tarafında olduğundan,
4
B = ∫ f(y)dy = 7
0
Yukarıda x=f(y) eğrisinin grafiği verilmiştir.
A=4 br2 ve B=7 br2 bulundukları bölgelerin alanları olmak
4
0
4
−2
−2
0
∫ f(y)dy= ∫ f(y)dy + ∫ f(y)dy
4
∫
br
çözüm
kavrama sorusu
üzere,
Cevap:
f(y)dy integralinin değeri kaçtır?
– 4
=– 4+7
=3
−2
7
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
A ve C taralı bölgeleri y ekseninin sol tarafında olduğundan,
∫
−4
−4
5
5
2
2
B taralı bölgesi y ekseninin sağ tarafında olduğundan,
5
−4
−2
C=
− ∫ f(y)dy =4 ve ∫ f(y)dy = − 4
Yukarıda x=f(y) eğrisinin grafiği verilmiştir.
A=3 br2, B=6 br2 ve C=4 br2 bulundukları bölgelerin alanları olmak üzere,
−2
A=
− ∫ f(y)dy = 3 ve ∫ f(y)dy = − 3
2
B=
f(y) dy +
∫ f(y)dy
∫ f(y)dy =6
−2
5
toplamı kaçtır?
−2
5
∫
−2
−4
5
f(y) dy
=
∫
2
f(y) dy +
−4
∫
−2
5
f(y) dy + ∫ f(y) dy =A+B+C=3+6+4=13
–3 =A
2
6 =B
5
−2
2
2
– 4 =C
∫ f(y)dy= ∫ f(y)dy + ∫ f(y)dy = B − C = 6 − 4 = 2
−2
6=B
5
∫
−4
100
–4=–C
5
f(y) dy +
∫ f(y)dy = 13+2 = 15
−2
Cevap: 15
İntegral
soru 1
soru 4
x=y2–3y
Yukarıda, x=f(y) eğrisinin grafiği verilmiştir.
A ve B bulundukları bölgelerin alanları olmak üzere, A=6 br2
eğrisinin grafiği verilmiştir.
Yukarıda
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 6
B)
9
2
C) 3
D)
9
4
E)
9
8
ve
∫ f(x)dx =
A) 2
soru 2
2 olduğuna göre B kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
soru 5
Yukarıda
eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
2
3
B)
4
5
C)
2
15
4
15
D)
E)
8
15
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
x=y4–y2
A)
soru 3
Yukarıda, x=f(y) eğrisinin grafiği verilmiştir.
A ve B bulundukları bölgelerin alanları ve A=5 br2, B=3br2
3
olduğuna göre
∫ f(y)dy
A) 3
B) 2
C) 1
Yukarıda x=f(y) eğrisinin grafiği verilmiştir.
A ve B bulundukları bölgelerin alanları ve A=4 br2 ve B=6 br2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
0
∫ f(y)dy =
3
4
B)
−2
∫ f(y)dy =
D) –1
E) –2
C)
−2
1
−2
3
∫
∫ f(y)dy =
I)
3
f(y) dy = 10
E)
−2
∫
−1
∫ f(y)dy = 10
−2
1
f(y)dy =
−4
II ) ∫ f(y)dy =
2
−3
4
4
−3
−3
III ) ∫ f(y)dy 5=
IV) ∫ f(y) dy 13
=
A) I ve II
B) II ve III
D) I, II ve IV
2 – B 2 – D
Yukarıda x=f(y) eğrisinin grafiği verilmiştir.
A, B ve C bulundukları bölgenin alanları ve A=3 br2,
B=4br2 ve C=6 br2 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
3
−6
0
D)
1 – A
1 – B
integralinin sonucu kaçtır?
−2
soru 6
A)
3 – C
3 – E
4 – D
5 – A4 – C
101
6 – B
C) I ve IV
E) Hepsi
5 – E 7 – C
8 – D
6 – E
İntegral
İki Eğri Arasında Kalan Taralı Bölgelerin Alanları
Yandaki şekilde verilen taralı bölgenin alanını bulmak için, [a,b] aralığında daha
büyük değerler olan y=f(x) in integralinden, y=g(x) in integrali çıkarılır.
b
Taralı Alan=
∫ [ f(x) − g(x)] dx
a
Yandaki şekilde verilen taralı bölgenin alanını bulmak için, [a,b] aralığında daha
büyük değerler olan x=f(y) nin integralinden, x=g(y) nin integrali çıkarılır.
b
Taralı Alan=
∫ [ f(y) − g(y)] dy
a
çözüm
kavrama sorusu
[2,4] aralığında f(x) fonksiyonu g(x) fonksiyonundan daha
büyük değerler aldığı için,
4
4
2 1
Taralı Alan= ∫ [ f(x) − g(x)] dx =
∫  x − x  dx
2
2
4
=
1
=
∫ x dx
4
ln x=
| ln 4 − ln2
2
2
4
= ln= ln2 br 2
2
1
2
ve g(x) eğrileri x=2 ve x=4 doğruları
Yukarıda f(x)=
x
x
arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Cevap: ln2 br2
çözüm
kavrama sorusu
1
4
ifadesi x = − ifadesinden daha
y
y
büyük değerler aldığı için
[ln3,ln6] aralığında x = −
ln 6
Taralı Alan=
 1  4 
 − −  −   dy
y  y  
ln 3 
∫
ln 6
=
 1 4
 − +  dy
y y
ln 3 
∫
4
1
, x = − eğrileri ve y=ln6, y=ln3 doğrulaln 6
y
y
6
3
= =
2
∫ y dy 3ln|y||
rı ile sınırlanan taralı bölgenin alanı kaç br dir?
Yukarıda x = −
ln 3
3
6
= 3(ln6 − ln 3)= 3ln  
3
= 3ln2 br 2
Cevap: 3ln2 br2
102
İntegral
soru 1
soru 4
Yandaki y=f(x) ve y=g(x)
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden
hangisidir?
3
C)
0
0
3
3
∫ [ f(x) − g(x)] dx
A)
1
C)
3
∫ [ f(y) − g(y)] dy
0
3
∫ [ f(x) − g(x)] dx
E)
1
∫ [ g(y) − f(y)] dy
0
soru 2
soru 5
Yandaki y=f(x) ve
y=g(x) eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren ifade
aşağıdakilerden hangisidir?
2
∫ [ g(x) − f(x)] dx
B)
−3
∫ [ f(x) − g(x)] dx
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
2
Yandaki y=g(y) ve y=f(y)
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden
hangisidir?
D)
1
C)
2
∫ [ g(y) − f(y)] dy
B)
∫ [ g(y) − f(y)] dy
0
2
∫ [ g(x) − f(x)] dx
1
3
∫ [ f(x) − g(x)] dx
∫ [ g(y) − f(y)] dy
D)
0
0
2
E)
0
2
∫ [ g(x) − f(x)] dx
1
A)
−3
2
C)
∫ [ f(y) − g(y)] dy
D)
1
2
A)
∫ [ f(x) − g(x)] dx
B)
2
0
E)
2
∫ [ g(x) − f(x)] dx
1
∫ [ g(x) − f(x)] dx
D)
0
2
∫ [ g(y) − f(y)] dy
B)
3
∫ [ f(y) − g(y)] dy
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren
ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A)
Yandaki x=f(y) ve x=g(y)
3
∫ [ f(y) − g(y)] dy
E)
1
∫ [ f(y) − g(y)] dy
0
soru 3
soru 6
1 – A
1 – C
B) 3
C) 4
2 – B 2 – A
D) 5
3 – C
Yukarıda y=x+1 ve y=x doğruları arasında kalan taralı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 2
Yukarıda x=2–y ve x=–y doğruları arasında kalan taralı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) 6
A) 6
3 – A
4 – D
5 – A4 – E
103
B) 5
C) 4
6 – B
D) 3
5 – B 7 – C
E) 2
8 – D
6 – E
İntegral
Yandaki şekilde y=f(x) ve y=g(x) eğrileri arasında kalan A1 ve A2 taralı bölgelerinin alanları
b
∫ [ g(x) − f(x)] dx
A1
• [a,b] aralığında y=g(x) üstte olduğundan,=
a
c
A2
• [b,c] aralığında y=f(x) üstte olduğundan, =
∫ [ f(x) − g(x)] dx
integralleri ile bulunur.
b
f(x)=g(x) denkleminin kökleri integrallerin sınırları olan a, b ve c değerleridir.
Yandaki şekilde x=f(y) ve x=g(y) eğrileri arasında kalan A1 ve A2 taralı bölgelerinin alanları
c
=
A1
b
∫ [ g(y) − f(y)] dy
A2
ve =
b
∫ [ f(y) − g(y)] dy
integralleri ile bulunur.
a
f(y)=g(y) denkleminin kökleri integrallerin sınırları olan a, b ve c değerleridir.
çözüm
kavrama sorusu
y=x2 ve y=x bağıntılar birbirine eşitlendiğinde x2=x ⇒ x2–x=0
x(x–1)=0 x=0 ve x=1
[0,1] aralığında y=x bağıntısı y=x2 den daha büyük değerler
aldığı için,
1
2
Taralı Alan= ∫ (x − x )dx
0
1
Cevap:
Yukarıda y=x2 eğrisi ve y=x doğrusu arasında kalan tara-
∫ (x − x
2
)dx
0
lı bölgenin alanını veren ifadeyi bulunuz.
İntegralin sınırlarını yani eğrilerin kesiştikleri noktaları bulmak için her iki eğrinin bağıntıları eşitlenerek elde edilen
denklemin kökleri bulunur.
çözüm
kavrama sorusu
ñx=y ⇒ x=y2 ve x=y bağıntılar birbirine eşitlendiğinde
y2=y ve y2–y=0
y(y–1)=0 y=0 ve y=1
[0,1] aralığında x=y bağıntısı x=y2 den daha büyük değerler
aldığı için,
1
2
Taralı Alan= ∫ (y − y )dy
0
1
Cevap:
Yukarıda y=ñx eğrisi ve y=x doğrusu arasında kalan taralı bölgenin alanını veren ifadeyi bulunuz.
∫ (y − y
0
104
2
)dy
İntegral
soru 1
soru 4
Yanda y=f(x) ve y=g(x)
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren
ifade
aşağıdakilerden
hangisidir?
Yanda x=f(y) ve x=g(y)
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden
hangisidir?
3
A)
∫ [ f(x) − g(x)] dx
B)
1
A)
∫ [ g(x) − f(x)] dx
1
3
C)
2
3
2
∫ [ f(x) + g(x)] dx
D)
1
C)
∫ [ f(y) − g(y)] dy
B)
0
0
2
∫ [ g(y) − f(y)] dy
D)
1
E)
∫ [ g(y) − f(y)] dy
soru 2
2
∫ [ h(x) − g(x)] dx
B)
∫ [ g(x) − h(x)] dx
−2
1
2
∫ [ g(x) − h(x)] dx
D)
∫ [ h(x) − g(x)] dx
−5
0
2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren
ifade aşağıdakilerden hangisidir?
3
∫ [ g(y) − f(y)] dy
B)
3
3
∫ [ f(y) − g(y)] dy
D)
−1
0
∫ [ f(y) − g(y)] dy
−1
Yanda y=x2 ve y=–x2+1
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren
ifade aşağıdakilerden hangisidir?
soru 6
Yanda y=x doğrusu ve
x=y2–2y eğrisi arasında
kalan taralı bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
∫
−1
2
C)
∫
− 2
∫
−1
 − x 2 + 1− (x 2 )  dx


∫
D)
2
2
∫
2
−
2
3
 − x 2 + 1− (x 2 )  dx


2
2
−
E)
1 – A
1 – B
2
B)
2
2
A)
∫
0
4
C)
 x 2 − ( − x 2 + 1)  dx


∫
0
3
B)
 y − (y 2 − 2y)  dy


D)
∫  y
0
5
∫  y
0
2
2
− 2y − y)  dy

∫  y − (y
0
6
 y − (y 2 − 2y)  dy


E)
 x 2 − ( − x 2 + 1)  dx


∫ [ g(y) − f(y)] dy
−1
E)
soru 3
1
∫ [ f(y) − g(y)] dy
0
−1
A)
0
C)
3
A)
∫ [ g(x) − h(x)] dx
E)
Yanda y=f(y) ve y=g(y)
−5
C)
soru 5
0
A)
∫ [ f(x) − g(x)] dx
1
1
∫ [ f(y) − g(y)] dy
2
3
Yanda y=g(x) ve y=h(x)
eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanını veren
ifade aşağıdakilerden hangisidir?
∫ [ g(y) − f(y)] dy
2
1
1
E)
1
∫ [ f(y) − g(y)] dy
2
− 2y)  dy

− 2y − y  dy

( − x 2 + 1) − x 2  dx


2 – B 2 – D
3 – C
3 – E
4 – D
5 – A
4 – C
105
6 – B
5 – B 7 – C
8 – D
6 – A
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
y=x2 ve y=4x–x2 olduğundan
x2=4x–x2 ⇒ 0=4x–2x2 ⇒ 0=2x(2–x) x=0 ve x=2
2
2
0
0
2
2
Taralı Alan= ∫ [4x − x − x ]dx=
∫ (4x − 2x
2
)dx
4x 2 2x 3 2
16 8
=
−
|=
8−
= br 2
2
3 0
3
3
Yukarıda y=x2 ve y=4x–x2 eğrileri arasında kalan taralı
Cevap:
bölgenin alan kaç br2 dir?
8
br 2
3
çözüm
kavrama sorusu
y=x2+1 ve y=x+7 olduğundan
x2+1=x+7 ⇒ x2–x–6=0 x=3 ve x=–2
3
Taralı Alan=
∫ [x + 7 − (x
2
+ 1)]dx
−2
3
∫ [x + 7 − x
=
Yukarıda y=x+7 doğrusu ve y=x2+1 eğrisi arasında kalan
2
3
− 1]dx =
−2
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
∫ [x − x
2
+ 6 ]dx
−2
 x2 x3
 3 27 22 125
=
−
+ 6x  | =
+
=
br 2
 2
 −2 2
3
3
6


Cevap:
125
br 2
6
çözüm
kavrama sorusu
y=ex ve y=9e–x olduğundan ex=9e–x
ex =
9
ex
⇒ e2x = 9 ⇒ e x = 3 ⇒ x = ln 3
Yukarıda y=x+7 doğrusu ve y=x2+1 eğrisi arasında kalan
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
ln 3
ln 3
0
0
x
−x
=
( −9e − x − e x ) |
∫ (9e − e )dx =


9
= −
− eln 3  − ( −9e 0 − e 0 )
 eln 3

=−
( 3 − 3) − ( −9 − 1) =−6 + 10 =4 br 2
Cevap: 4 br2
106
İntegral
soru 1
soru 4
Yukarıda y=x2 eğrisi ve y=–x doğrusu arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
1
12
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
Yukarıda x=y2 eğrisi ve x=2–y doğrusu arasında kalan
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
1
2
E)
A)
soru 2
5
6
B)
5
3
C)
5
2
E)
4
3
Yukarıda y=x2 eğrisi ve y=2 doğrusu arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
B)
4 2
3
C)
8 2
3
D)
10 2
3
E)
11 2
3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
2 2
3
3
2
soru 5
A)
D)
Yukarıda x=y2 eğrisi ve x=y+2 doğrusu arasında kalan
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
soru 3
9
2
B)
7
2
C)
5
3
D)
3
2
E)
1
2
soru 6
Yukarıda y=x2–4 ve y=–x2+4 eğrileri arasında kalan taralı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
4
3
1 – A
1 – B
B)
8
3
C)
16
3
2 – B 2 – C
D)
3 – C
32
3
E)
Yukarıda x = −3 y eğrisi ve x=–y doğrusu arasında kalan
taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
64
3
A)
3 – E4 – D
1
4
5 – A
4 – A
107
B)
1
3
C)
6 – B
1
2
D) 1
5 – A 7 – C
E) 2
8 – D
6 – A
İntegral
n
a 2 − x 2 dx integrali alan kavramı kullanılarak, kolay bir şekilde hesaplanabilir. Bunun için çember denklemi bilgilerini hatırlayalım.
∫
m
r2 − x2
=
y
y=
− r2 − x2
x 2 + y2 =
r2
y2 =
r 2 − x 2 ve y =
± r2 − x2
Yarım çember denklemi yazarken kareköklü ifadenin önündeki işarete dikkat edilmelidir.
çözüm
kavrama sorusu
2
4 − x 2 eğrisinin grafiği, yarım çemberdir.
=
y
4 − x 2 dx integralinin değeri kaçtır?
∫
0
2
(r yarıçaplı dairenin alanı pr2 dir)
4 − x 2 dx integralinin taralı bölgenin
∫
0
alanına karşılık geldiğine dikkat ediniz.
πr 2
4
Çeyrek dairenin alanı=
2
4 − x 2 dx =
∫
0
∫
Cevap: p
çözüm
kavrama sorusu
3
π .22
=
π
4
9 − x 2 eğrisinin grafiği, yarım çemberdir.
=
y
9 − x 2 dx integralinin değeri kaçtır?
−3
3
∫
9 − x 2 dx integralinin taralı böl-
−3
Yarım dairenin alanı=
3
∫
9 − x 2 dx =
−3
1
πr 2
2
π 3 2 9π
=
2
2
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
∫
genin alanına karşılık geldiğine dikkat ediniz.
=
y
4 − x 2 dx integralinin değeri kaçtır?
4 − x 2 eğrisinin grafiği, yarım çemberdir.
0
1
∫
bölgenin alanın 30° lik daire dilimi ile
dik üçgen alanı olduğuna dikkat ediniz.
OAB üçgeninin alanı=
1
0
108
4 − x 2 dx integralinin karşılık geldiği
0
Daire diliminin alanı = πr
∫
9π
2
4 − x 2 dx =
π 22
+
12
2
30°
1
=
π22
360°
12
1. 3
3
=
2
2
3.1 π
3
=+
2
3
2
Cevap:
π
3
+
3
2
İntegral
soru 1
soru 5
1
0
1− x 2 dx
∫
−8
0
integralinin değeri kaçtır?
A)
π
16
B)
π
8
integralinin değeri kaçtır?
C)
π
4
D)
π
2
A) 16p
E) π
soru 2
C) 8p
B) 12p
5
4 − x 2 dx
∫
−5
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
B)
π
2
C) π
D) 2π
E) 4π
soru 3
3
9 − x 2 dx
∫
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
π
4
0
integralinin değeri kaçtır?
A)
9π
4
B) 3π
27π
2
B)
27π
4
C) 29π
2
E)
25π
4
0
integralinin değeri kaçtır?
C)
7π
2
D) 4π
E)
9π
2
A)
4π
3
B)
4π
+2
3
4π
+2
9
C)
E)
4π
+2 3
3
4π
+2 3
9
soru 8
0
∫
16 − x 2 dx
3
∫
4 − x 2 dx
−4
0
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
B) 3p
C) 4p
D) 6p
E) 8p
A) 2π +
3
2
B)
D)
1 – A
1 – C
25π
2
16 − x 2 dx
∫
soru 4
A) 2p
D)
soru 7
D)
E) 4p
25 − x 2 dx
∫
−2
A)
D) 6p
soru 6
2
64 − x 2 dx
∫
2 – D
2 – B
3 – C
3 – A
4 – D
4 – C
5 – A
109
2π
+ 3
3
6 – B
6 – D
2π
3
+
3
2
C) π +
3
2
E) π + 3
7 – C
7 – C
8 – D
8 – B
İntegral
çözüm
kavrama sorusu
y=ó1–x2 ⇒ y2=1–x2 ⇒ x2+y2=1
M(0,0) ve r=1 yarıçaplı çember ve y=x doğrusu
1
x=ó1–x2 ⇒ x2= 1 – x2 ⇒ 2x2=1 ⇒ x=
2
1
∫ [ó1–x2]dx integralinin
1
2
∫
 1− x 2 − x  dx integralinin değeri kaçtır?


0
0
değeri taralı alana eşittir.
Taralı alan 45° lik daire diliminin alanıdır.
45°
π 2
=
br
Taralı Alan= π ⋅ 12 ⋅
360° 8
π
8
çözüm
kavrama sorusu
3
Cevap:
y=ó9–x2 ⇒ y2=9–x2 ⇒ x2+y2=9
M(0,0) ve r=3 yarıçaplı çember ve y=3–x doğrusu
3–x=ó9–x2 ⇒ 9–6x+x2=9–x2 ⇒ 2x2–6x=0 ⇒ x=0 ve x=3
 9 − x 2 − (3 − x) dx integralinin değeri kaçtır?

∫
0
3
∫ [ó9–x2– (3–x)]dx
integralinin
0
değeri taralı bölgenin alana eşittir.
Taralı Alan=Çeyrek dairenin alanı – Alan(OAB)
π .3 2
3.3 9 π − 18 2
br
=
−
=
4
2
4
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
Çemberin denklemi, x2+y2=16 ⇒ x=ó16 – õyõ2
(–2,0) ve (0,4) noktalarından geçen doğru denklemi
y−4
x y
− + =1 ⇒ x =
2 4
2
4
9 π − 18
4
 y−4
− 16 − y 2
Taralı Alan= ∫ 
2

0

 dy
4
Cevap:
Yukarıda r=4 yarıçaplı çemberin içindeki taralı bölgenin
alanını veren integral ifadesini bulunuz.
110
 y− 4
− 16 − y 2
2
0
∫ 

 dy
İntegral
soru 1
soru 5
0
2
∫ [ó4–x2 – x]dx
∫ [ó9–x2 – (x+3)]dx
0
−3
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A)
π
2
B)
π
3
C)
π
4
D)
π
6
E)
π
8
A)
9π
2
B)
9π − 3
2
9π − 6
2
C)
D)
9π − 9
4
E)
9π − 18
4
soru 2
soru 6
3 2
2
∫ [ó9–x2 – x]dx
4
0
0
integralinin değeri kaçtır?
B) 9π
integralinin değeri kaçtır?
C)
9π
2
D)
9π
4
E)
9π
8
A) 4p – 8
B) 4p – 6
C) 4p – 4
soru 3
∫ [ó1–x2 – (1–x)]dx
0
integralinin değeri kaçtır?
A)
π −1
4
B)
E) 4p – 1
soru 7
1
D) 4p – 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 18π
∫ [ó16 – õxõ2 – (4 – x)]dx
π−2
4
π−4
4
C)
D)
π−8
4
E)
π − 16
4
Yukarıda r=2 yarıçaplı çemberin içindeki taralı bölgenin
alanını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
2

 1− y  
A) ∫  4 − y 2 − 
dy
 2  

0
soru 4
0
∫[
−2
2
 2−y

C) ∫ 
− 4 − y 2  dy
 2

]dx
ó4–x2 – (x+2)
0
1 – A
B) p – 4
2 – B
2 – E
C) p – 3
2
 1− y

D) ∫ 
− 4 − y 2  dy
 2

0
2
integralinin değeri kaçtır?
A) p – 6
2

 2−y  
B) ∫  4 − y 2 − 
dy
 2  

0
D) p – 2
3 – C 3 – B
 1− y

E) ∫ 
+ 4 − y 2  dy
 4

E) p – 1
4 – D
0
4 – D
111
5 – A
5 – E 6 – B
6 – A
7 – C
8 – D
7 – B
İntegral
Hacim Hesaplamaları
x=f(y) eğrisi y=c, y=d doğruları ve y ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan
cismin hacmi:
y=f(x) eğrisi x=a, x=b doğruları ve x ekseni ile sınırlanan taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan
cismin hacmi:
b
d
V=p ∫ f2(x)dx integrali ile hesaplanır.
V= p ∫ f2(y)dy integrali ile hesaplanır.
c
ý
a
çözüm
kavrama sorusu
2
V= p ∫ f2(x)dx bağıntısından,
0
2
V= p ∫ (x2)2dx
0
2
=p ∫ x4dx
Cevap:
32 π
br 3
5
0
Yukarıda y=x2 eğrisinin grafiği verilmiştir.
2
 25 0 5 
x5 .
−
=p. 

5 
5 0
 5
32
= p br3
5
=p.
Buna göre, taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
çözüm
kavrama sorusu
d
c
y=ñx ise x=y2
2
V=p ∫ f2(y)dy bağıntısından,
V= p ∫ (y2)2dy
1
2
=p ∫ y4dy
1
2
 25 15 
y5 .
− 
=p. 
5
5 1
 5
31π
=
br3
5
Yukarıda y=ñx eğrisinin grafiği verilmiştir.
=p.
Buna göre, taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
112
Cevap:
31π
br3
5
İntegral
soru 1
soru 4
Yukarıda y=x doğrusunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda x=2y doğrusunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Buna göre, taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
A) 2p
A) 9p
B) 3p
C) 6p
D) 9p
E) 16p
soru 2
D) 36p
E) 45p
Yukarıda y=x3 eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
B)
π
5
C)
π
6
D)
π
7
E)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
π
4
C) 27p
soru 5
A)
B) 18p
π
8
1
eğrisinin grafiği verilmiştir.
y
Buna göre, taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç p br3 tür?
Yukarıda x=
A ) 1
soru 3
B ) 2
C ) 3
D ) 4
E ) 5
soru 6
Yukarıda y=ñx eğrisinin grafiği verilmiştir.
Yukarıda y=ñx eğrisinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç p br3 tür?
Buna göre, taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç p br3 tür?
A ) 4
1 – A
1 – D
B ) 6
C) 8
2 – B 2 – D
D) 1 2
3 – C
A) 4
E ) 1 6
3 – B
4 – D
5 – A
4 – D
113
B)
21
5
C) 5
6 – B
D)
27
5
5 – A 7 – C
E)
32
5
8 – D
6 – E
İntegral
y=f(x), y=g(x) eğrileri ve x=a, x=b doğruları arasında kalan
taralı bölgenin, x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi; [a,b] aralığında f(x) fonksiyonu g(x) fonksiyonundan daha büyük değerler aldığı için,
y=f(y), y=g(y) eğrileri ve y=d, y=c doğruları arasında kalan
taralı bölgenin, y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi; [c,d] aralığında f(y) fonksiyonu g(y) fonksiyonundan daha büyük değerler aldığı için,
b
d
V=p ∫ [f2(x) – g2(x)]dx ile hesaplanır.
V=p ∫ (f2(y) – g2(y))dy ile hesaplanır.
ý
a
c
çözüm
kavrama sorusu
a) x2=2x ise x=0 veya x=2
2
V=p ∫ [(2x)2 – (x2)2]dx
0
2
=p ∫ (4x2 – x4)dx
0
 4x 3 x 5 
−
=p. 

3
5 
Yukarıda y=x2 eğrisi ve y=2x doğrusunun grafikleri verilmiştir.
2
0
 32 32 
−
=p. 

3
5 
Buna göre, taralı bölgenin,
a) x ekseni etrafında
b) y ekseni etrafında
360° döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hacmi kaç br3 tür?
64
= p br3
15
Cevap:
64 π
br 3
15
b) y=x2 ise x=ñy ve x=0 ise y=0
y
ve x=2 ise y=4
y=2x ise x=
2
4

V=p ∫ 
0 
( y )2 −  2y 
2
 dy

4

y2 
=p ∫  y −
 dy
4 
0
 y2 y3 
−
=p. 
 2 12 
4
0
64 

=p.  8 −
 – 0
12 
8π
= br 3
3
Cevap:
114
8π
br 3
3
İntegral
soru 1
soru 3
Yukarıda y=x2 eğrisi ve y=x doğrusunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y=x2 ve y=– x2+8 eğrilerinin grafikleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
Buna göre, taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi aşağıdakilerden hangisi
ile hesaplanabilir?
1
I. ∫ x2dx=A
2
0
A) p
1
II. ∫ xdx=A+B
2
∫ [x2 – (–x2+8)]dx
B) p
−2
0
−2
2
1
C) p
III. ∫ (ñy – y)dy=B
2
∫ [(–x2+8)2+x4]dx
D) p
−2
0
∫ [(x2)2 – (–x2+8)]dx
∫ [(–x2+8)2 – x4]dx
−2
2
1
E) p
IV. p ∫ (x2)2dx integrali A bölgesinin x ekseni etrafında 360°
1
V. p ∫ (x2 – x4)dx integrali B bölgesinin x ekseni etrafında
0
360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini hesaplar.
1
VI. p ∫ y2dx integrali C bölgesinin y ekseni etrafında 360°
0
döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini hesaplar.
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
0
döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini hesaplar.
∫ [x2 – (–x2+8)]dx
−2
1
VII.p ∫ (y – y2)dy integrali B bölgesinin y ekseni etrafında
0
360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini hesaplar.
A ) 3
B ) 4
C ) 5
D ) 6
E ) 7
soru 4
soru 2
1
eğrisinin grafiği verilmiştir.
x
Taralı bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Yukarıda y=
Yukarıda y=x ve y=2x doğrularının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, taralı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
A) 16p
1 – A
1 – E
B) 12p
2 – B
C) 8p
D) 4p
3 – C 2 – C
A)
E) 2p
4 – D
π
2
5 – A
115
B) π
C) 2π
3 – D 6 – B
D)
7π
2
7 – C
E)
9π
2
8 – D
4 – A