Bir Esas İdeal Bölgesi Üzerindeki Sonlu Doğurulmuş Bir Modülün

BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR
MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI *
Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal
Ideal Domain*
Zeynep YAPTI
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Melih BORAL
Çukurova Üniversitesi
Matematik Bölümü
ÖZET
Bu çalışmada R esas ideal bölgesi üzerindeki sonlu doğuraylı modüllerin
yapısı ile ilgili birkaç sonuç kullanılarak bu tür modülleri devirli alt modüllerin bir
toplamı şeklinde parçalanması incelendi.
ABSTRACT
İn this study it was investigated decomposing finitely generated modules
as a direct sum of cyclic submodules by using some results on the structures of
finitely generated modules over a principal ideal domain R
Giriş
Bu çalışmadaki amaç bir parçalanma teoremini ispatlamaktır. Teorem R
esas ideal bölgesi ve R üzerindeki sonlu doğurulmuş M modülü üzerine
kuruludur.
Teoremin sonuçları; M R-modülü M = M 1 ⊕ ... ⊕ M t olarak bir iç direk
toplam olarak ifade edilebilir öyle ki , her M i = Rmi bir devirli alt modül ve
ο{m1 } ⊇ ... ⊇ ο{mt } dir.
Tanım 1: R esas ideal bölgesi, F de sonlu bir baza sahip serbest Rmodülü olsun. F nin bazındaki elemanların sayısına F nin rankı denir.
*
Yüksek Lisans Tezi-MSc.Thesis
7
Teorem 1: R bir esas ideal bölgesi ve F sonlu s rankına sahip serbest
R-modülü, N de F nin bir alt modülü olsun. O zaman F nin bir { f 1 ,.., f s } bazı
vardır öyle ki; d 1 ,...d s ∈ R olmak üzere :
a) {d 1 f 1 ,...d s f s } , N nin bir bazıdır,
b) d 1 / d 2 / ... / d s dir.
Notlar 1. V bir cisim üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. U, V nin
alt uzayı ise U nun her { f 1 ,..., f s } bazı , V nin bir { f 1 ,.., f t , f t +1 ,..., f s } bazına
genişletilebilir. Bu durumda d 1 = d 2 = .. = d t = 1 , d t +1 = ... = d s = 0 dır. Yukarıdaki
teoremde N nin bazı F nin bir bazı yardımıyla oluşturulabilir. Fakat genel olarak N
nin tüm bazları bu şekilde oluşturulmaz. Bu da genel durumun vektör uzaylarından
farklı olduğunu gösterir.
2. (b) koşulu ideallerde d 1 R ⊇ d 2 R ⊇ ... ⊇ d s R şeklindedir. Her i için , d i = 0
ise , her j = i, i+1,.., s için d j = 0 dır.
Teorem 2: R bir esas ideal bölgesi ve F bir R-modülü olsun. F , n elemanlı
sonlu bir küme tarafından serbest doğuruluyor ise F nin bazı n tane elemandan
oluşur.
Teorem 1’in bir Matris Formülasyonu
Lemma 1: M bir R-modülü, F sonlu ranklı serbest R-modülü ve φ : M → F
bir epimorfizm olsun. O zaman M nin M = F ∗ ⊕ Kerφ sağlayan bir F* alt modülü
vardır.
Teorem 3: R esas ideal bölgesi olsun. Bileşenleri R de olmak üzere her A
sxt matrisi , d 1 / ... / d u olmak üzere bir diag (d1,...,du) matrisine denktir. Burada
diag( d1,...,du } köşegen üzerindeki elemanları d 1 ,..., d u ve köşegen dışında kalan
yerler sıfır olan sxt matrisini gösterir.
N ve F , Teorem 1 deki gibi olsun. Eğer N = {0} ise F nin herhangi bir
bazını alırız ve tüm di ler sıfır olur. Bundan başka n ve f , N ve F nin yukarıdaki
teoremde olduğu gibi bazları olsunlar ve A , n nin f ye göre matrisi olsun.
Teorem 3 ten R üzerinde X-1 ve Y tersinir matrisleri vardır öyle ki X-1AY = diag
(d1,....,du) , d1/..../du dur. X ve Y , F ve N nin yukarıdaki gibi yeni f ∗ ve n ∗
bazlarını belirler
ve n ∗ ın f
∗
a göre matrisi
N nin bazıdır.
n = d 1 f ,..., n = d u f
(Teorem 1) in sonucunu elde ederiz.
∗
1
∗
1
∗
u
∗
u
Eğer
diag (d1,....,du)
d u +1 = .... = d s = 0
dur.
Böylece
tanımlarsak
Teorem 3 ün Öklid Bölgesinde İspatı:Öncelikle öklid bölgesini
tanımlayalım
8
Bir öklid bölgesi, φ : R-{0}→ Z+∪{0} fonksiyonuyla birlikte aşağıdaki
koşulları sağlayan bir tamlık bölgesidir.
i)a / b ⇒ φ(a) < φ(b)
ii)a ∈ R ve b∈ R-{0} için a = bq + r olacak şekilde R de q ve r elemanları öyle
bulunabilir ki , ya r = 0 veya φ(r) < φ(b) dir. Buradaki φ fonksiyonuna R de öklid
fonksiyonu denir.
R öklid bölgesi üzerinde herhangi bir A s x t matrisi alalım. u = min{s,t} ve
d1/...../du olmak üzere A yı satır ve sütun operasyonlarıyla bir diag (d1,...,du)
matrisine nasıl indirgeriz? Bu Teorem 3’ü R öklid bölgesi iken özel durumda
ispatlar.
İndirgenmenin birinci basamağı : Burada amacımız A yı
⎡d 1
⎢0
⎢
.
C = ⎢⎢
.
⎢
⎢.
⎢⎣ 0
0 ....... 0⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
C∗
⎥
⎥
⎥⎦
(1)
olacak şekilde uygun bir C matrisine indirgemektir. Burada d1 , C* ın her elemanını
böler.
Elemanter satır ve sütun operasyonlarının bir sonlu dizisini tanımlayalım
öyle ki A üzerine uygulandığında ya (1) şeklinde bir matrise benzer ya da
φ (b11) < φ (a11)
(2)
koşuluna uyan bir t = (bij ) s x t matrisine dönüşür.
Daha sonraki durumda başlangıca döneriz ve tekrar işlemler dizisini
uygularız. Ya (1)’e ulaşırız , bu durumda dururuz , ya da tekrar (2)’e ulaşırız, bu
durumda başlangıç bileşeninin φ değeri indirgenir ve devam ederiz. Sonlu sayıda
adımdan sonra (1)’e ulaşmalıyız. Bundan başka, operasyonların dizimize her
uygulanmasında (2)’e geri gelir ve başlangıç bileşenlerinin (φ ) değerleri, azalan,
sonlu, sıfırdan farklı rakamların dizisi şeklinde elde edilir.
Eğer A sıfır matrisi ise (1) daima sağlanır. A sıfırdan farklı bir bileşene
sahipse, satır ve sütunların uygun bir şekilde değiştirilmesiyle matris istenen
konuma gelir.
Durum 1: İlk satırda a11 / a1 j olacak şekilde ilk satırda bir a1 j bileşeni
vardır. Öklid bölgesinin kurallarından a1 j = a11 q + r yazabiliriz. Burada ya r = 0
veya φ(r) < φ(a11) dir. a11 / a1 j olduğundan r ≠ 0 almalıyız ve böylece φ(r) < φ(a11)
dir. Birinci sütunu q ile çarpıp j. sütundan çıkardıktan sonra birinci ve j. sütunların
9
yerlerini değiştirelim. Böylece ilk a11 bileşeni r tarafından değişir ve böylece (2)
elde edilir.
Durum 2: Birinci sütunda a11 ⁄ ai1 olacak şekilde bir a i1 bileşeni vardır.
Bu durumda satır yerine sütun kullanılarak Durum 1 deki yol izlenir ve (2)’ e
ulaşılır.
Durum 3: a11 birinci satır ve sütundaki her bileşeni böler. Bu durumda,
birinci sütunu uygun çarpanlarla çarpıp diğer sütunlardan çıkarmayla, birinci satırda
tüm bileşenleri sıfır yaparız. Benzer şekilde birinci satırı uygun çarpanlarla çarpıp
diğer satırlardan çıkarmayla
⎡a11 0 ....... 0⎤
⎥
⎢0
⎥
⎢
.
⎥
⎢
D =⎢
⎥
D∗
.
⎥
⎢
⎥
⎢ .
⎥⎦
⎢⎣ 0
şeklindeki matrisi elde ederiz. Eğer a11 D* ın her bileşenini bölerse (1) e ulaşırız.
Eğer bölmezse dij denen bir bileşen vardır öyle ki a11 / dij dir. Bu durumda i. satırı
en üst satıra ekleriz, bu bizi Durum 1’ e getirir ve (2)’e ulaştırır. Böylece üç
durumun her birinde A ya denk bir matris oluşturulur öyle ki ya (1) şeklindedir
veya (2) deki koşula uyar.
İndirgenmenin sonucu : (1)’e ulaşıldıktan sonra devam etmek kolaydır.
Yaptığımız işlemlerle matrisi indirgedik.
Yöntemimizi C* alt matrisine de
uygulayabiliriz. Dikkat edeceğimiz iki nokta vardır. Birincisi C* üzerinde ki temel
işlemlerin her biri , C üzerindeki temel işlemlerden biridir. İkincisi C* üzerindeki her
temel işlem , bileşenleri eskisinin lineer kombinasyonu olan yeni bir matris verir.
Böylece bu yeni bileşenler d1 tarafından bölünebilir. Bunların sonucunda iddia
edildiği gibi d1/..../du için bir diag (d1,..,du) matrisine ulaşırız.
Şimdi birim elemanlı bir halka üzerindeki modüllerin direk toplamı hakkında
temel bir lemmaya ihtiyacımız vardır.
Lemma 2 : R bir halka , L de R üzerinde bir modül olsun. Li alt modüller
olmak üzere , L = L1 ⊕ ... ⊕ Lt şeklinde bir iç direk toplamın olduğunu varsayalım ve
her i için Ni
t
,
Li nin bir alt modülü ve N = ∑ N i olsun. Bu durumda , eğer
i =1
v: L → L/ N
doğal
ν ( Li ) ≅ Li / N i dir.
10
homomorfizm
ise
L / N = ν ( L) = ν ( L1 ) ⊕ ... ⊕ ν ( Lt )
ve
AnaTeorem : R bir esas ideal bölgesi ve M sonlu doğurulmuş Rmodülü olsun. M aşağıdaki koşullarla s ≥ 0 için M = M 1 ⊕ ... ⊕ M s şeklindeki iç
direk toplamdır.
a) Mi derecesi di olan devirli alt modül,
b) d1 /d2 /.. ./ ds
İspat : M bir sonlu dereceli R-modülü olsun., F sonlu t ranklı serbest Rmodülü olmak üzere φ : F → M epimorfizmi vardır. N = Ker φ olsun.
F
φ
ν
M
ψ
F/N
ψ : F / N → M izomorfizmi vardır. Ayrıca
diyagramını değişmeli yapan bir
Teorem 1 den F nin { f 1 ,...., f t } bazı ve R de c1 / ... / c t elemanları vardır öyle ki,
c1 f 1 ,...., c t f t
elemanları N yi üretir.
Böylece
F = Rf 1 ⊕ ..... ⊕ Rf t
ve
N = R (c1 f 1 ) ⊕ ..... ⊕ R (c t f t ) dir. Burada c i f i elemanlarından bazıları sıfır olabilir.
Lemma 2 den F / N, ν ( Rf i ) = Rν ( f i; ) devirli
alt modüllerinin direk toplamıdır.
r∈R
,için rν ( f i ) = 0 ⇔ ν (rf i ) = 0 ⇔ rf i ∈ N ⇔ c i / r
derecesi ci dir. Böylece ;
olduğundan
ν ( f i ) nin
F / N = Rν ( f i ) ⊕ ..... ⊕ Rν ( f t )
(3)
dir. ψ bir izomorfizm olduğundan , bu fonksiyon F / N nin (3) deki direk
parçalanışını, M nin bir direk parçalanışına götürür. u, ci birim olacak şekildeki son
i rakamı olsun. Böylece c1 ,..., c u ların hepsi birim ve karşılık gelen modüller sıfır
modülleridir ve ihmal edilebilirler. Böylece eğer s = t − u ise , M = M 1 ⊕ ..... ⊕ M s
dir. Burada M i = Rψν ( f u + i) = Rφ ( f u + i ) derecesi d i = cu + i
olan modüller ve
d 1 / ... / d s dir.
Sonuç 1 : Teorem 3 ün hipoteziyle, T , M nin torsiyon alt modülü ve F
sonlu ranklı serbest alt modül olmak üzere M = T ⊕ F dir.
İspat : Teorem 3 teki M nin parçalanışında l+1, d j = 0 olacak şekildeki ilk
j sayısı olsun.
M l +1 ,....., M s lerin
11
Devamında ,
d l +1 = ...... = d s = 0
dır (Teorem 3).
Böylece
her biri torsiyonsuz devirli modüldür. F = M l +1 ⊕ .... ⊕ M s
s-l
rankında serbesttir. T ∗ = M 1 ⊕ ... ⊕ M l alalım. Bu durumda
T =T
∗
olduğunu iddia ediyoruz.
d 1 / ... / d l
olduğundan
m ∈T
∗
alalım.
d l m = d l m1 + .... + d l ml = 0
M = T∗ ⊕ F
m = m1 + .... + ml ,
dır.
dl ≠ 0
mi ∈ M i
ise
T
∗
dir.
ve
ın her
elemanı torsiyon elemandır. O zaman T ⊆ T dir.
∗
Diğer yandan n , M nin
olduğundan t ∈ T ∗ , f ∈ F için n = t + f
0≠ r∈R
için
olduğundan
rn = 0
rf = 0
M =T∗ ⊕F
torsiyon elemanı olsun.
dir. n bir torsiyon eleman olduğundan
ve r (t + f ) = rt + rf = 0
dır. T ∗ + F
direk toplam
dır. Fakat F torsiyonsuz idi, böylece f = 0 dır. Bu
durumda n = t yani, n ∈T ∗ dır ve T ⊆ T ∗ olur. Böylece T = T ∗ dır.
Sonuç 2 : Bir R esas ideal bölgesi üzerindeki bir sonlu doğurulmuş
torsiyonsuz modül serbesttir.
İspat : Lemma 2 den M torsiyonsuz ise M = T ⊕ F olmak üzere T = {0}
dır. Bu durumda M = F dir. Böylece M serbesttir.
Kaynaklar
HARTLEY, B,
HAWKES; T.O.(1980), Rings, Modules and Linear Algebra
Chapman and Hall
ADKİNS, W.A ; WEİNTRAUB, S.H.(1992) Algebra, an Approach via Module
Theory, Springer-Verlag
FUCHS, L (1967), Abelian groups, Pergamon Press
KOSTRİKİN, A.I ; SHAFAREVİCH, I.R.(1990) Algebra , Springer-Verlag
ROMAN, S.(1992) Advanced Linear Algebra, Springer-Verlag
ROSE, J.S.(1978), A Course on Group Theory, Cambridge Universty Press.
12