ba. forma - Açık Lise TV

T.C.
M‹LLÎ E ⁄‹T‹M B AKANLI⁄I
AÇIK Ö⁄RET‹M OKULLARI
(AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹ - MESLEK‹ AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹)
Matematik 8
Ders Notu
Haz›rlayan
Ayhan ÖZDEM‹R
ANKARA 2014
Copyright ¶MEB
Her hakk› sakl›d›r ve Millî E¤itim Bakanl›¤›na aittir. Tümü ya da bölümleri izin
al›nmadan hiçbir ﬂekilde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.
Resimleyen
: Hatice DEM‹RER
Ozan AKORAL
Bülent DURSUN
Grafik Tasar›m
: Süleyman B‹LG‹N
Dizgi
: Nazmi KEP‹R
Havva ÖZKAN
Münevver KARABACAK
& #' ! & " &
!&
" ) !(
! $ $
))&" &
&* ! ) # #
') ! " * &*& " * # "& !&
(" &*
&& & %&* &
!!)&&!
*&&*&&)')))*
%***&&
*$&!
" "
) # " *$
& $ !#$&*&*
&")(**#
!&" )
#
')$
SUNU
“E¤itim” kavram› yaﬂam boyu süren çok önemli bir etkinliktir. E¤itim süreci ilk
ça¤lardan beri sürekli olarak geliﬂim göstermektedir. Teknolojinin geliﬂim göstermesiyle birlikte, yeni bilgi ve iletiﬂim teknolojileri e¤itim sürecinde h›zla kullan›lmaya
baﬂlanm›ﬂt›r.
Günümüzde pek çok problemin çözümünde e¤itimin etkin bir ﬂekilde kullan›lmas›
gereklidir. Pek çok çaba ve çözümün içinde, biliﬂim teknolojisi geleneksel araçlar
aras›ndan s›yr›larak öne ç›kmaktad›r. Öne ç›kan bu teknolojiyle birlikte geliﬂen ve önemini giderek art›ran yöntemlerden birisi de yer, zaman ve yaﬂ s›n›rlamas› olmayan
uzaktan e¤itimdir.
“Uzaktan e¤itim” yolu ile e¤itim görmekte oldu¤unuz Aç›kö¤retim Lisesi’nde, Genel
Müdürlük olarak sizlere sundu¤umuz hizmetlerden birisi de ders notu mahiyetindeki
kitaplar›m›zd›r. Uzaktan e¤itim ilkelerine uygun olarak haz›rlanan bu ders materyali
lise müfredat programlar›na uygun olarak haz›rlanmaktad›r. Haz›rlanan bu ders notlar›m›z, müfredat programlar›nda meydana gelen de¤iﬂikliklere paralel olarak yenilenmekte ve güncelleﬂtirilmektedir.
Bu ders notundan yararlanacak olan ö¤rencilerimize baﬂar›lar diliyor, ders notlar›n›n
haz›rlanmas›nda eme¤i geçen tüm Genel Müdürlü¤ümüz çal›ﬂanlar›na teﬂekkür ediyorum.
‹Ç‹NDEK‹LER
ÜN‹TE I
TÜREV
Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Soldan türev, sa¤dan türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Türev kurallar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Ters fonksiyonun türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Bileﬂke Fonksiyonun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Kapal› fonksiyonun türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Ard›ﬂ›k türevler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
Trigonometrik fonksiyonlar›n türevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Ters trigonometrik fonksiyonlar›n türevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar›n Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Türevin limit sorular›nda uygulanmas› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Birinci dereceden al›nan türevin geometrik yorumu. . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Türevin fiziksel anlam› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
Özel tan›ml› fonksiyonlar›n türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
Türevin uygulamalar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
‹kinci türevin geometrik anlam› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Maksimum ve minimum problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Fonksiyonlarda Asimptot Bulma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Grafik çizimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
Özet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
De¤erlendirme Testi 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
De¤erlendirme testinin çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
ÜN‹TE II
‹NTEGRAL
‹ntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
‹ntegral alma yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
Basit fonksiyonlar›n integralleri ve örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
Rasyonel ifadelerin integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Trigonometrik de¤iﬂken de¤iﬂtirme kural› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
E¤ri alt›nda kalan bölgenin alan› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Belirli integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
‹ki e¤ri ile s›n›rlanan bölgenin alan› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
Özet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
De¤erlendirme Testi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
De¤erlendirme testinin çözümleri (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
ÜN‹TE III
MATR‹SLER
Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
‹ki matrisin eﬂitli¤i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
Toplama iﬂlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
Matrislerde toplama iﬂleminin özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
Matrislerde skalarla çarpma iﬂlemi ve özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
Matrislerde çarpma iﬂlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
Çarpma iﬂlemine göre birim matris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
Kare matris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
Matrislerde çarpma iﬂleminin özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
Kare matrisin kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
Bir matrisin çarpma iﬂlemine göre tersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
Matrislerde transpoz (Devrik) iﬂlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
Matrislerde transpoz (Devrik) iﬂleminin özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
Sarrus kural› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Determinantlar›n özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
Lineer Dönüﬂümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
Özet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
De¤erlendirme Testi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
De¤erlendirme Testinin Çözümleri (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
SÖZLÜK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
‹ﬂaretler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
KAYNAKÇA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
ÜN‹TE I
TÜREV
Türev
Soldan türev, sa¤dan türev
Türev kurallar›
Ters fonksiyonun türevi
Bileﬂke fonksiyonun türevi
Parametrik fonksiyonlarda türev
Kapal› fonksiyonun türevi
Ard›ﬂ›k türevler
Trigonometrik fonksiyonlar›n türevi
Ters trigonometrik fonksiyonlar›n türevi
Loraritma ve üstel fonksiyonlar›n türevi
Türevin limit sorular›na uygulan›ﬂ› L’ Hospital kural›
1. dereceden al›nan türevin geometrik yorumu. (te¤etin e¤imi, normalin denklemi)
Türevin fiziksel anlam› (H›z ivme)
Özel tan›ml› fonksiyonlar›n türevi
Türevin uygulamalar›
‹kinci türevin geometrik anlam›
Maksimum ve minumum problemleri
Fonksiyonlarda asimptot bulma
Grafik çizimleri
Örnekler
MATEMAT‹K 8
☞
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞
BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?
☞
Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde);
* Türevin tan›m›n› ve gösteriliﬂini ö¤renecek,
* Bir noktada türev almay› ö¤renecek,
* Sa¤dan ve soldan türevleri kavrayacak,
* Türev kurallar›n› kavray›p, örnek çözecek,
* Ters ve kapal› fonksiyonlar›n türevlerini almay› ö¤renecek,
* Bileﬂke fonksiyonun türevini almay› ö¤renecek,
* Parametrik fonksiyonlarda türev almay› ö¤renecek
* Ard›ﬂ›k türev almay› ö¤renecek,
* Trigonometrik fonksiyonlar›n türevlerini almay› ö¤renecek,
* Ters trigonometrik fonksiyonlar›n türevlerini almay› ö¤renecek,
* Logaritma ve üstel fonksiyonlar›n türevlerini almay› ö¤renecek,
'
* L’ Hospital kural›n› kavray›p limit problemlerinde 0 ,
belirsizli¤indeki durumlar
'
0
için türevi kullanacak,
* Te¤etin e¤imini ve normalin denklemini türev yard›m›yla bulmay› ö¤renecek,
* H›z ve ivme problemlerinde türevden yararlanmay› ö¤renecek,
* Özel tan›ml› fonksiyonlar›n türevlerini almay› ö¤renecek,
* Her türevlenebilen fonksiyon sürekli mi yoksa aksi de do¤ru mu sorular›n›n
cevab›n› bulacak,
* Ekstremum de¤erin ne oldu¤unu ö¤renecek, fonksiyonlar›n ekstremum de¤erini
bulacak,
* Fonksiyonun yerel maksimum veyerel minimum noktalar› bulmay› ö¤renecek,
* Rolle ve ortalama de¤er teoreminin türevde ne iﬂe yarad›¤›n› ö¤renip, bu teoremler
sayesinde ilgili sorular› çözmeyi ö¤renecek,
* ‹kinci türevin geometrik anlam›n› kavrayacak, niçin ikinci türev gerekli sorusunun
cevab›n› bulacak,
* Maximum ve minimum problemleri için türevin gereklili¤ini anlayacak,
* Fonksiyonlar›n asimptotlar›n› bulmay› ö¤renecek,
* Çeﬂitli fonksiyonlar›n grafik çizimlerini yapabileceksiniz.
*
*
*
*
*
*
2
☞
Türev konusundan önce, fonksiyon, limit ve süreklilik konular›n› iyi ö¤reniniz.
Tan›mlar› dikkatli okuyunuz.
Verilen formülleri ezberleyiniz. Ezberledi¤iniz formüllere yönelik örnekler çözünüz.
Çözülen örnekleri yazarak çal›ﬂ›n›z. Sonra kendiniz çözmeyi deneyiniz.
Çözemezseniz mutlaka hatan›z› bulunuz, tekrar çözmeye çal›ﬂ›n›z.
Bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› araﬂt›rarak çözünüz.
MATEMAT‹K 8
ÜN‹TE I.
TÜREV
\
a, b D R olmak üzere, f: a,b A R fonksiyonunda; x 0 D (a,b) ve
f(x) - f x
lim x - x 0 D R ise bu limite, f fonksiyonunun x 0 noktas›ndaki
xAx 0
0
türevi denir ve df x 0 ya da fv x 0 ile gösterilir.
dx
f (x) - f x0
d›r. Di¤er bir ifade ile,
Öyleyse, f v x0 = lim
xAx0
x - x0
h D R - 0 olmak üzere, x = x0 + h yaz›l›rsa
lim
xAx0
f (x) - f x0
f x0 + h - f x0
= lim
x - x0
hA0
h
f v x0 = lim
hA0
f x0 + h - f (x0)
h
oldu¤undan,
olur.
Örnek: f: R AR, f(x) = x2 fonksiyonunun x0 noktas›ndaki türevini, türev tan›m›n›
kullanarak bulunuz.
Çözüm
f(x) = x2
f(x0) = x20
f(x) - f(x0)
x - x0
2
x - x20 = lim x - x0 x + x0
=lim
xAx0 x - x0
xAx0
x - x0
f v (x0) = lim
xAx0
=lim
(x + x0) = 2x0 olur.
xAx
0
➯
Türevi
dy
, y v , f v(x ) gibi ifadelerden biriyle gösterece¤iz.
dx
3
MATEMAT‹K 8
SOLDAN TÜREV, SA⁄DAN TÜREV
f(x) - f(x0)
x - x0 D R limitine,
x A x-0
f : A A R fonksiyonunda x0 D A olmak üzere lim
f fonksiyonun x0 noktas›ndaki soldan türevi denir ve bu türev f v (x-0) ile gösterilir.
lim
xA
x+0
f(x) - f(x0)
x - x0 D R limitine, f fonksiyonun x0 noktas›ndaki sa¤dan
türevi denir ve bu türeve f v (x+0 ) ile gösterilir.
➯
Bir fonksiyonun, x0 noktas›nda türevli olabilmesi için, x0 noktas›ndaki sa¤dan ve soldan türevleri
eﬂit olmas› gerekir.
Örnek: f : RAR, f(x) = |x-3| fonksiyonun x0 = 3 noktas›ndaki sa¤dan ve soldan türevini,
türev tan›m›n› kullanarak bulunuz.
Çözüm :f v(3-) = lim xA 3
f(x) - f(3-)
|x - 3| - 0 -(x - 3)
= lim =
= -1
x-3
x-3
x-3
xA 3
f v(3+) = lim +
xA 3
f(x) - f(3+)
|x - 3| - 0 (x - 3)
= lim +
=
=1
+
x-3
x-3
x-3
xA 3
f(x) fonksiyonunun x0 = 3 noktas›nda limiti yoktur. Limiti olmayan fonksiyonun
türevi de olmayaca¤›ndan x0 = 3 noktas›nda türevi yoktur.
TÜREV KURALLARI
f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olsun.
1. C D R, f(x) = C
ise
f v(x) = 0 yani, sabitin türevi her zaman s›f›rd›r.
Örnek : Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevlerini bulunuz.
a) f(x) = 3
b) f(x) = -5
c) f(x) = 1
2
4
MATEMAT‹K 8
Çözüm
a) f´(x) = 0
b) f´(x) = 0
c) f´(x) = 0
2) f(x) = xn , n D R
f´(x) = n . xn-1
olsun.
olarak yaz›l›r.
Örnek :
a) f(x) = x2
b) f(x) = x
c) f(x) = 1 x3
3
Çözüm
a) fv(x) = 2 . x2-1 = 2x1 = 2x
1
b) f(x) = x = x2
1
1
fv(x) = 1 x2 - 1 = 1 x- 2 = 1
2x
2
2
c) fv(x) = 1 . 3x3-1 = x2
3
Çarp›m›n Türevi
3) (f . g)´ = f´. g + g´ f
Örnek : Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevini bulunuz.
a) f(x) = 2x . (x2 + 1)
b) f(x) = x2 . (1 - x3)
5
MATEMAT‹K 8
Çözüm
a) f´(x) = (2x)´(x2 + 1) + (2x) . (x2 + 1)´
= 2. (x2 + 1) + 2x . (2x)
=2x2 + 2 + 4x2
= 6x2 + 2
b) f´(x) = (x2)´ . (1 - x3) + (x2) . (1 - x3)´
= (2x) . (1 - x3) + x2 ( -3x2)
=2x - 2x4 - 3x4 = 2x - 5x4
4) (fn)´= n . fn-1 . f´
Örnek : Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevini bulunuz.
a) f(x) = (2x -1)3
b) f(x) = (x2 - 2x)5
Çözüm
a) f´(x) = 3 . (2x -1)3-1 . (2x -1)´
= 3 (2x -1)2 . (2)
= 6 (2x-1)2
b) f´(x) = 5 . (x2 - 2x)4 . (x2 - 2x)´
= 5 . (x2 - 2x)4 . (2x - 2)
➯
Bu tip sorularda ö¤renciler parantez içinin türevini almay› unutuyorlar, dikkat ediniz.
5) (f + g)´= f´ + g´
(f - g)´= f´ - g´
Örnek : Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevini bulunuz.
a) f(x) = 2x3 - 4x2 + 5
b) f(x) = x3 - 1 x2 - 3x
2
6
MATEMAT‹K 8
Çözüm
a) f´(x) = 6x2 - 8x
b) fv(x) = 3x2 - 1 . 2x - 3 = 3x2 - x - 3
2
Bölümün Türevi
fv . g - f . gv
6) fg v =
g2
(g&0)
Örnek : Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevini bulunuz.
a) f(x) = x - 1
2x + 1
2
b) f(x) = x - 1
2x + 3
Çözüm
a) fv (x) =
(x - 1) v . (2x + 1) - (x - 1). (2x + 1)v
(2x + 1) 2
1. (2x + 1) - (x - 1) . (2)
3
= 2x + 1 - 2x2+ 2 =
(2x + 1) 2
(2x + 1)
(2x + 1) 2
=
b) fv(x) =
=
7)
n
fv =
(x2 - 1) v (2x + 3) - (x2 - 1) . (2x + 3) v
(2x + 3) 2
2
2
2
2x (2x + 3) - (x2 - 1) (2)
= 4x + 6x - 2x2 + 2 = 2x + 6x +2 2
2
(2x + 3)
(2x + 3)
(2x + 3)
fv
n
n. fn-1
fv
( f v =
2 f
(Formül a)
(Formül b)
Örnek : Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n türevini bulunuz.
a) f(x) = x
b) f(x) = x3
c) f(x) = (x2 - 1)
3
7
MATEMAT‹K 8
Çözüm : a) I. yol
a) f(x) = x = x12 = 1 x12 - 1 = 1 x - 12 = 1 1 = 1
2
2
2x2 2 x
II. yol
formül b den
a) f(x) = x fv(x) =
xv = 1
2. x 2 x
b) I. yol
b) f(x) = x3 = x32
II. yol
f v(x) = 3 x32 - 1 = 3 x 12 = 3 x
2
2
2
formül b den
b) fv(x) =
2
(x3) v
= 3x = 3x = 3 x
2
2x x
2x
2 x3
c) I. yol
1
c) f(x) = 3 (x2 - 1) = (x2 - 1) 3
1
2
fv(x) = 1 (x2 - 1) 3 - 1 (x2 - 1)v = 1 (x2 - 1) - 3 (2x) = 3 2x
3
3
3. (x2 - 1)2
II. yol n = 3 formül a dan,
f v(x) =
➯
8
(x2 - 1)v
= 3 2x
3
3. (x2 - 1)3-1
3. (x2 - 1)2
Yukar›daki formül a ve b ayn› ifadelerdir. Formül b, formül a n›n özel hâlidir. Ancak ö¤renciye
tavsiyemiz formülsüz türev alma yoludur.
MATEMAT‹K 8
TERS FONKS‹YONUN TÜREV‹
AR, BR
f: AAB fonksiyonu bire bir örten olsun. f fonksiyonu x0DA noktas›nda
türevli ve f ´(x0)≠ 0 ise, f -1: BAA fonksiyonuda x0’›n f alt›ndaki görüntüsü olan
y0 noktas›nda türevlidir ve
(f-1)v (y0) =
1
f v(x0)
f v(x0) & 0v
ﬂeklinde gösterilir.
➯
Yukar›daki tan›mdan anlaﬂ›laca¤› üzere, tan›m ve de¤er kümesindeki belirli aral›klara göre fonksiyonun
tersi mevcut olur.
Örnek : f:R A ( -4, +∞)
f(x) = y = x2 - 4 fonksiyonu veriliyor.
(f-1)´ (x) nedir?
Çözüm : I. yol : Fonksiyon 1:1 ve örten oldu¤undan önce tersini alal›m, sonra da ifadeyi
türevleyelim. Yani;
y = x2 - 4
x = y2 - 4
x + 4 = y2
x + 4 = y = f -1(x)
f -1(x) v = x + 4
f -1(x) v = (x + 4)
oldu¤undan türevi,
1
2
v
-1
= 1 (x + 4) 2 . (x + 4)v
2
1
=
2 x+4
II. yol : Yukar›daki formüle göre;
f -1 v(y0) =
y = x2 - 4
x= y+4
1
f v(x0)
1
f -1 v(y) = 1 =
2x 2 y + 4
f -1 v(x) =
1
2 x+4
oldu¤undan,
olur.
9
MATEMAT‹K 8
B‹LEﬁKE FONKS‹YONUN TÜREV‹
y = f(u)
u = g(x) oldu¤unu kabul edelim.
y = f [g(x)] = (fog) (x)
olarak söylenir. (fog) (x) fonksiyonun türevi
(fog)´ (x) = f ´ [g(x)] . g´(x)
ﬂeklinde hesaplan›r.
Örnek : f, g : R A R
f(x) = x2 + 5, g(x) = 3x - 5 ise
(fog)´ (x) de¤erini bulal›m.
Çözüm : I. yol :
(fog)´(x) = f ´ [g(x)] . g´(x)
=(2x) o [3x - 5] . 3
=2(3x - 5) . 3
=(6x - 10) . 3 = 18x - 30
II. yol : Fonksiyonun bileﬂkesi al›n›r, sonra türevlenir.
(fog) (x) = f [g(x)] = (3x-5)2 + 5 = 9x2 - 30x + 30
(fog)´ (x) = 18x - 30
PARAMETR‹K FONKS‹YONLARDA TÜREV
t parametre (de¤iﬂken) olmak üzere, parametrik fonksiyonlardan birinci türev
x = f(t )
10
ve
y = g(t)
dy
dy
dy dt
ise
= dt =
.
dx
dx
dt dx
dt
MATEMAT‹K 8
Parametrik fonksiyonlar›n ikinci mertebeden türevi ise y = f(x) fonksiyonu,
y = f(t) ve x = g(t) ﬂeklinde x ve y parametrik fonksiyonlarla ifade edildi¤inde her zaman
y yi x türünden ifade edemedi¤imizden, art arda türev alma yöntemini uygulayamay›z.
Bu durumda aﬂa¤›daki kural› kullan›r›z.
yvt
dy
= z=
dx
xvt
z vt
d2y
dz
=
=
dx
dx2
xvt
diyelim
Örnek : x = t
ise
dy
=?
dx
y = t - t2
Çözüm : y nin x e göre türevi direkt olarak al›namaz. Çünkü, x t ye ba¤l›;
y de t ye ba¤l›d›r.
dy
(t - t 2)v
dy
= dt =
= 1 - 2t = 2 t (1 - 2t) = 2x (1 - 2x2)
dx
dx
1
( t )v
dt
2 t
Örnek : y = t 2 + 1 ve x = t 2 + 2t için
Çözüm :
dir.
d2y
de¤erini bulal›m.
dx2
dy
= 2t = z olsun.
dx 2t+2
d2y
=
dx2
z vt
xvt
2t v
2t+2
=
=
t 2+2t v
2 . (2t+2) - 2t . (2)
2t+2 2
= 4
2t+2
2t+2 3
11
MATEMAT‹K 8
KAPALI FONKS‹YONUN TÜREV‹
F(x,y) = 0 ﬂeklindeki ba¤›nt›lara kapal› fonksiyon denir. Türevi hesaplan›rken birkaç
yola baﬂvurulabilir. Bunlar;
1) E¤er, y yaln›z b›rak›labiliniyorsa, türev al›n›r.
2) F(x,y)=0 ba¤›nt›s›nda her terimi x e ve y ye göre hesaplanarak y´=
dy
dx
bulunur.
v
3) yv = -F x formülünden yararlan›l›r. Burada F vx, F(x,y) ba¤›nt›s›n›n x'e göre türevi
F vy
(y sabit) F vy, F(x,y) ba¤›nt›s›n›n y ye göre türevi (x sabit)
Örnek : x2y3 + 3xy - 2x + y - 5 = 0 ba¤›nt›s› ile verilen fonksiyonun türevini bulal›m.
Çözüm
F(x,y) = x2y3 + 3xy - 2x + y - 5 =0
F vx =2y3x + 3y - 2 (x e göre türev, y sabit)
F vy =3x2y2 + 3x + 1 (y ye göre türev, x sabit)
Buna göre,
yv=-F
F
v
x
v
y
=-
2y3x + 3y - 2
3x2y2 + 3x + 1
olarak bulunur.
Örnek : x3y2 - xy3 - 5x + 1 = 0 kapal› ifadesinde
Çözüm : 3x2y2 + 2x3y . yv - y3 - 3xy2yv - 5 = 0
2x3yyv - 3xy2yv = -3x2y2 + y3 + 5
yv(2x3y - 3xy2) = -3x2y2 + y3 + 5
-3x2y2 + y3 + 5
2x3y - 3xy2
Fv
y v - x ile bu örnek çözülebilir.
F vy
yv =
12
yv =
dy
bulunuz.
dx
MATEMAT‹K 8
➯
➯
x3y2 y ye göre türevi al›nd›¤›nda 2x3yy´ oluyor. Ancak, x3y2, x’e göre türevi al›nd›¤›nda 3x2y2 oluyor. x ´
yaz›lm›yor.
Kapal› ifadelerde türev al›n›rken, örne¤in;
xy = 0
y + xy´ = 0
xy´ = -y
-y
yv =
dir.
x
ARDIﬁIK TÜREVLER
f: AAR, xAy = f(x) fonksiyonunun
1. mertebeden türevi yv = f v(x) =
df(x)
dx
2. mertebeden türevi yvv = f vv(x) =
ya da
yvv =
d2y
d dy
=
dx2 dx dx
Üçüncü mertebeden türevi
n. mertebeden türevi
➯
df(x)
d2f(x)
= d
2
dx dx
dx
yvvv = f vvv(x) =
y(n) = f(n) (x) =
2
d3f(x)
d d f(x)
=
dx dx2
dx3
n-1
dn f(x)
d d f(x)
=
dxn
dx dxn-1
d dy demek, önce y nin x e göre türevi al, bulunan sonucuda x e göre türevle.
dx dx
Örnek : f: R -{0} AR
f(x) = 1 fonksiyonunun dördüncü mertebeden türevi
x
13
MATEMAT‹K 8
Çözüm
f(x) = x-1
f´ (x) = -x-2
f´´(x) = 2x-3
f´´´(x) =-6x-4
f ›v(x) = 24x-5 = 245
x
TR‹GONOMETR‹K FONKS‹YONLARIN TÜREV‹
1) y = Sin f(x)
ise
y´ = f´(x) . Cos f(x)
Örnek : y = Sin x2
ise
y´ = 2x Cos x2
2) y = Cos f(x)
ise
y´ = -f´(x) Sin f(x)
Örnek : y = Cos (2x2 -1)
ise
y´ = -(2x2 - 1)´ Cos (2x2 -1)
= -4x . Cos (2x2 -1)
3) y = tan f(x)
ise
y´ = f´(x) . [1 + tan2 f(x)] = f´(x) Sec2 f(x)
Örnek : y = tan 3x2 ise
y´ = 6x [1 + tan2 3x2] = 6x Sec2 3x2
4) y = Cot f(x)
ise
y´ = -f´(x) . [1 + Cot2 f(x)]= -f´(x) . Cosec2 f(x)
Örnek : y = Cot (3x4 -1)
ise
y´ = -(3x4 -1)´ Cosec2 (3x4 -1)
= -12x3 Cosec2 (3x4 - 1)
5) y = [Sin f(x)]n
ise
y´ = n . [Sin f(x)]n-1 . [Sin f(x)]´
Örnek : y = Sin2 3x ise y´= ?
y = Sin2 3x = (Sin 3x)2
oldu¤undan,
y´= 2 Sin 3x . (Sin 3x)´
= 2 Sin 3x . 3 Cos 3x = 3 . 2 Sin 3x . Cos 3x = 3 Sin 6x
14
MATEMAT‹K 8
6) y = [Cos f(x)]n
y´ = n [Cos f(x)]n-1. [Cos f(x)]´
ise
Örnek : y = Cos3 x2 ise
y = (Cos x2)3 ise
y´= 3 . (Cos x2)3-1 . (Cos x2)´
= 3 (Cos x2)2 . (-2x Sin x2) = -6x Cos2 x2 . Sin x2
7) y = [tan f(x)]n
y´ = n [tan f(x)]n-1 . [tan f(x)]´
ise
Örnek : y = tan3 2x ise
y´ = 3 tan2 2x . (tan 2x)´
= (3 tan2 2x) . 2 Sec2 2x = 6 tan2 2x . Sec2 2x
8) y = [Cot f(x)]n
y´ = n . [Cot f(x)]n-1 . [Cot f(x)]´
ise
Örnek : y = Cot4 x2 ise
y = [Cot x2]4 = 4 . [Cot x2]3 . [Cot x2]´
= 4 . [Cot x2]3 . [-2x Cosec2 x2]
= -8x Cot3 x2 . Cosec2 x2
TERS TR‹GONOMETR‹K FONKS‹YONLARIN TÜREV‹
1) y=Arcsinx Fonksiyonu
Arcsin f(x) = Sin-1 f(x) dir.
y = Arcsin x x = Sin y
(Arcsin x)v =
Arcsin f(x) v =
Örnek : y = Arcsin x2
1
1 - x2
-/ )y)/
2
2
-1 ) x ) 1
genel olarak,
f v(x)
1 - f(x) 2
ise
dy
=?
dx
dy
= 2x
dx
1 - x4
15
MATEMAT‹K 8
2) y= Arccosx Fonksiyonu
Örnek : y=Arccos (3x+1) ise
Arccos f(x) = Cos-1 f(x)
dy
=
dx
y = Arccos x x = Cos y
0 ≤ y ≤ π , -1 ≤ x ≤ 1
(Arccos x)v =
Arccos f(x) v =
1
genel olarak,
1 - x2
-f v(x)
1 - f(x) 2
3) y=Arctanx Fonksiyonu
Arc tan f(x) = tan-1 f(x)
y = Arc tan f(x) x = tan y
-/ < y < / , -' < x < '
2
2
(Arc tan x)v = 1 2 genel olarak,
1+x
f v(x)
Arc tan f(x) v =
1 + f(x) 2
Örnek : y = Arc tan (2x3 -1) ise
dy
=?
dx
(2x3 - 1)v
dy
6x2
=
=
dx 1 + (2x3 - 1)2 1 + (2x3 - 1)2
4) y=Arccotx Fonksiyonu
Arccot f(x) = Cot-1 f(x)
y = Arccot f(x) x = Cot y
0 < y < π , -∞ < x < +∞
-1
genel olarak,
1 + x2
-f v(x)
Arccot f(x) v =
1 + f(x) 2
(Arccot x)v =
16
-3
1-(3x+1) 2
dy
=?
dx
MATEMAT‹K 8
➯
y=Sec f(x) ve y=Cosec f(x) fonksiyonlar›n türevleri, bölme kural›ndan ç›kart›l›r.
Sec f(x) =
1
Cos f(x)
ve Cosec f(x) =
1
oldu¤undan
Sin f(x)
Örne¤in : y = Sec x
(1)v Cos x - 1 . (Cos x)v
y= 1
yv =
Cos x
(Cos x)2
=
Örnek : y = Arccot x
ise
0 . Cos x - 1 (-Sin x)
= Sin x
Cos 2x
Cos 2x
dy
=?
dx
- 1
-( x)v
dy
-1
=
= 2x =
dx 1 + ( x) 2 1 + x (2 x) . (1 + x)
LOGAR‹TMA VE ÜSTEL FONKS‹YONLARIN TÜREV‹
y = Logex = lnx x = e y dir.
n
lim (1 + 1
n D N+ olmak üzere, xA+'
n ) = e = 2,7182...
1) ln f(x) v =
dir.
f v(x)
f(x)
dy 1
=
dx x
dy (x2)v 2x 2
ise
= 2 = 2 =x
dx
x
x
Örnek : y = (lnx) ise
y = lnx2
2) a D R+ ve a & 1 olmak üzere
f v(x)
loga f(x) v = 1 .
lna
f(x)
Örnek : y = log3x2 ise
(x2)v
dy
= 1 .
= 2x = 2
dx ln 3
x2ln 3 xln 3
x2
Örnek : y = log5(Sin x2) ise
dy
=?
dx
(Sin x2)v
2
1
Çözüm :
.
= 2x Cos x 2 = 2x . Cot x2
2
ln 5
ln 5 . Sin x ln 5
Sin x
17
MATEMAT‹K 8
Üslü fonksiyonlar›n türevi
1) e f(x) v = f v ( x ) e f(x)
Örnek : y = e Sin x ise
dy
=?
dx
dy
= (Sin x)v e Sin x = Cos x . e Sin x
dx
2) a D R+
ve
a&1
olmak üzere,
a f(x) v = f v (x) . a f(x)Ln a
Örnek : y = 23x
Çözüm :
2
ise
dy
=?
dx
2
dy
= (3x2)v . 23x . Ln 2
dx
2
= 6x . 23x . Ln 2
3) f(x) > 0 ve y = f(x)
dy
= y . g(x) . Ln f(x) v
dx
Örnek : y = xCos x ise
g(x)
ise,
yv = ?
Çözüm : yv = xCos x . Cos x . Ln x v
= xCos x -Sin x . Ln x + 1
x (Cos x)
18
MATEMAT‹K 8
ﬁimdiye kadar türev alma kurallar›n› ö¤rendik. Aﬂa¤›daki tabloda ilgili türev alma kural›
ve örnekleri verilmiﬂtir. ‹nceleyiniz.
SORU
‹LG‹L‹ FORMÜL
ÇÖZÜM
f(x) = 30 ise fv(x) = ?
f (x) = C, C D R ise f v (x) = 0
f v(x) = 0
f(x) = x 2 ise fv(x)=?
f(x) = x n ise fv(x) = nx n-1
fv(x) = 2x
fv(x) = (x)v Cos x + (x) (Cos x)v
= Cos x - x Sin x
f(x) =x .Cos x ise fv(x)=? f(x) = u . v ise fv(x) = uv . v + uvv
f(x) =
x
Sin x
f(x) = x 2, g(x) = x-1 ise
(gof)v (x) = ?
dy
x = t, y = t 2-1,
=?
dx
f(x) = u ise fv(x) = uvv - uvv
v
u2
fv(x) =
(x)v Sin x - x . (Sin x)v
Sin2x
Sin
x
x
Cos
x
=
Sin2x
(gof)v (x) = gv f(x) . fv(x)
(gof)v (x) = 2x
dy
dy dt
=
dx dx
dt
dy 2t
= = 2t = 2x
dx 1
x 2y + y2 + 2x = 0
dy
=?
dx
Kapal› fonksiyonun türevine bak.
2xy+x 2y v+2yyv+2 = 0
2xy+2
yv=x 2 + 2y
y = x 4 ise y›v(x) =?
n. mertebeden türeve bak
y v = 4x 3
y vv = 12x 2
y = Sin (Cos x) ise yv = ?
y = Sin f(x) ise yv = fv(x) . Cos f(x)
yv = (Cos x)vCos (Cos x)
= -Sin x . Cos (Cos x)
y = Cos f(x) ise yv = -fv(x) Sin f(x)
gv(x)
y = ln g(x) ise yv =
g(x)
yv = -(lnx)v Sin lnx = - 1 Sin (lnx)
x
y = tan 5x ise yv = ?
y = tan f(x) ise yv =fv(x). Sec2f(x)
yv = 5 Sec2 5x
y = Cot 5x 2 ise yv = ?
y = Cot f(x) ise yv = -fv(x)Cosec2f(x) yv = -10x Cosec2 5x 2
y = Cos (ln x) ise yv = ?
y = arc Sin (Cos x) ise yv = ?
y = arc Sin f (x) ise yv =
y = arc Cos (ln x)
y =arc Cos f(x) ise yv =
fv(x)
1- f(x)
1- f(x)
1
1+ f(x)
y = arc tan 2x
yv=
y = arc Cot 3x
yv = -
1
1+ f(x)
1-Cos x
2
2
2
=
2
-(Ln x)v
yv =
1-(Ln x)
yv =
2
(Cos x)v
yv =
-fv(x)
y››› = 24x
y›v = 24
=
2
-Sin x
1-Cos2x
-1
x
1-(Ln x)
2
1
1+4x 2
yv = -
1
1+9x 2
19
MATEMAT‹K 8
SORU
ÇÖZÜM
‹LG‹L‹ FORMÜL
fv(x)
f(x)
(x 2+2)v
= 2x
x 2+2
x 2+2
y = ln (x 2 + 2) ise yv = ?
y = ln f(x) ise yv =
y = log 3 x 2 ise yv = ?
fv(x)
y = log a f(x) ise yv = 1 .
ln a f(x)
yv = 1 . 2x = 1 2 = 2
Ln 3 x 2 Ln 3 x xLn 3
y = eSin x + Cos x ise yv = ?
y = ef(x) ise yv = fv(x) ef(x)
yv = (Sin x + Cos x)v eSin x + Cos x
= (Cos x - Sin x) eSin x + Cos x
a D R + ve a & 1 olmak üzere
y = af(x) ise
yv = fv(x) . af(x) . Lna
yv = (x 2 + 3x)v . 2x +3x . ln2
2
y = 2x +3x ise yv = ?
y = f(x) > 0 ise y = f(x)
yv = y . g(x) . Ln f(x) v
y = x Sin x ise yv = ?
yv =
g(x)
2
2
= (2x + 3) . 2x +3x . ln2
yv = x Sin x . Sin x . Lnx v
= x Sin x . Cos x Lnx + 1 Sin x
x
TÜREV‹N L‹M‹T SORULARINA UYGULANMASI
L’ HOSP‹TAL KURALI
E¤er lim
xAx0
lim
xAx
0
➯
'
f(x)
belirsizli¤i varsa,
limitinde 0 ya da
'
g(x)
0
f v (x)
f(x)
= lim
xAx0
g(x)
gv(x)
Limit hesaplan›rken
olur.
' ya da 0 sonucu bulunursa pay ve paydan›n türevi al›n›r. E¤er yine
0
'
' ya da 0 sonucu bulunursa yine pay ve paydan›n türevi al›n›r. Sonuç bir reel say› ç›kana
0
'
dek iﬂlem devam ettirilir.
x2 - 1 = ?
Örnek : lim
xA1 x - 1
2
Çözüm : 1 - 1 = 0 belirsiz. O hâlde, pay ve paydan›n türevini alal›m.
1-1 0
lim 2x = lim 2x = 2 . 1 = 2
xA1 1
xA1
20
MATEMAT‹K 8
Örnek : xA
lim/ Cos x = ?
2 1 - Sin x
Cos /
2 = 0 = 0 belirsiz. Pay ve paydan›n türevini alal›m. Yani,
Çözüm :
1 - Sin / 1 - 1 0
2
Sin /
(Cos x)v
2 = Tan / = '
-Sin
x
Sin
x
= lim/
=
= lim
lim
/
xA/ (1 - Sin x)v
xA/ -Cos x
xA Cos x
Cos
2
2
2
2
2
x
Örnek : xA+'
lim e -2 1 = ?
x
'
'
Çözüm : e -2 1 =
belirsiz. Pay ve paydan›n türevini alal›m.
'
'
'
x
+'
lim e = e
=
Yine pay ve paydan›n türevini alal›m.
xA+'
2x 2 . ' '
e x = e ' = + ' = +'
lim
xA'
2
2
2
B‹R‹NC‹ DERECEDEN ALINAN TÜREV‹N GEOMETR‹K YORUMU
Bir Fonksiyon Grafi¤inin Bir Noktas›ndaki Te¤etinin E¤imi
f: [a, b] A R fonksiyonu, x0 D (a,b) olmak üzere x0 noktas›nda türevlenebilir fonksiyon
ise; f fonksiyonun grafi¤inin (x0,f(x0)) noktas›ndaki te¤etinin e¤imi,
mt = f´(x0) olarak hesaplan›r. Te¤etin denklemi ise,
y - f(x0) = f´ (x0) . (x-x0) olur.
Te¤ete (x0, f(x0)) noktas›nda dik olan do¤ruya, f fonksiyonun grafi¤inin (x0, f(x0))
noktas›ndaki normali denir. Öyleyse (x0, f(x0)) noktasn›daki normalin e¤imi,
MN = -
1
f v (x0)
olarak hesaplan›r. Normalin denklemi ise,
y-f(x0) = -
1 (x - x0)
f v (x0)
olur.
21
MATEMAT‹K 8
Örnek : 8y = x3 - 12x + 16 e¤risinin (0, 2) noktas›ndaki te¤et ve normal denklemlerin
bulunuz. Bu e¤rinin hangi noktas›nda te¤etinin e¤imi 9 ye eﬂittir. Hangi noktadaki
2
te¤et x eksenine paraleldir?
3
dy 3x2 - 12
Çözüm : y = x - 12x + 16 oldu¤undan e¤im,
=
8
8
dx
2
O hâlde, x = 0 için te¤etin e¤imi, 3 . 0 - 12 = - 3 dir.
8
2
y - f(x0) = fv(x0) (x - x0)
y - 2 = - 3 (x - 0)
2
y-2=-3 x
2
2y + 3x = 4
bulunur. Normal, te¤ete dik oldu¤undan,
MN = -
1 idi. O hâlde,
fv(x0)
MN = - 1 = 2
-3 3
2
Normalin denklemi;
y - f(x0) =
1 (x - x0) oldu¤undan,
fv(x0)
y - 2 = 2 . (x - 0) buradan
3
2x - 3y + 6 = 0 denklemi bulunur.
3x2 - 12 = 9 oldu¤u zaman,
8
2
6x2 - 24 = 72
6x2 = 96
x2 = 16
x = ±4 olur.
22
0, 2
?
?
x0 f(x0)
MATEMAT‹K 8
Bu de¤erleri 8y = x3 - 12x + 16 denkleminde yerine koyal›m.
x = -4 için
8y = (-4)3 - 12(-4) + 16
8y = -64 + 48 + 16
y = 0,
x = 4 için
(-4, 0)
8y = (4)3 - 12(4) + 16
8y = 64 - 48 + 16
8y = 32
y = 4,
(4,4)
O hâlde, (-4, 0) ve (4, 4) noktalar›nda e¤im 9 dir.
2
E¤im s›f›r oldu¤u yani, 3x2 - 12 = 0 oldu¤u zaman x = ±2 dir.
O hâlde, x = ±2 oldu¤u zaman x eksenine paralel olacakt›r. Bu x = ±2 de¤erlerini
8y = x3 - 12x + 16 denkleminde yerine koyarsak,
x = -2 için
8y = (-2)3 - 12(-2) + 16
8y = -8 + 24 + 16
8y = 32
y=4
x = 2 için
8y = (2)3 - 12(2) + 16
8y = 8 - 24 + 16
y=0
O hâlde, (2, 0) ve (-2, 4 ) noktalar›nda te¤et x eksenine paraleldir.
Örnek : f(x) = x2 + kx + 8 fonksiyonun e¤risine, apsisi x = -1 olan noktas›ndan çizilen
te¤et, x ekseni ile pozitif yönde 135° lik aç› yapt›¤›na göre k =?
23
MATEMAT‹K 8
Çözüm : x = -1 noktas›ndaki te¤etin e¤imi f´(-1) dir.
f(x) = x2 + kx + 8
f´(x) = 2x + k
f´(-1) = -2 + k
(I)
Çizilen te¤et, x ekseni ile pozitif yönde 135° lik aç› yap›yorsa m = Tan 135,
Tan 135 = -1 oldu¤undan m = -1. Bu de¤eri (I) de yerine yazarsak;
m = -2 + k -1 = -2 + k k = 1 olarak bulunur.
Örnek : f(x) = x3 + kx2 + x fonksiyon e¤risinin, apsisi x = 1 olan noktas›ndaki te¤etin
denklemi y + x + 2 = 0 oldu¤una göre k nedir?
Çözüm : f(x) = x3 + kx2 + x
f´(x) = 3x2 + 2kx + 1
f´(1) = 3 + 2k + 1
Bulunan bir de¤er, f(x) fonksiyonunda x = 1 noktas›ndan çizilen te¤etin e¤imidir. Yani,
f´(1) = m = 4 + 2k
Bu te¤etin denklemi y + x + 2 = 0
y = -x - 2
(e¤im y = ax + b e¤im m = a)
O hâlde e¤im -1 = m oldu¤undan,
f´(1) = m = 4 + 2k = -1
2k = -5
k = -5
2
24
olarak bulunur.
MATEMAT‹K 8
TÜREV‹N F‹Z‹KSEL ANLAMI
Bir hareketlinin gitti¤i yol s = f(t) denklemi ile belli oldu¤una göre
a) Hareketlinin t an›ndaki h›z›
Vt = ds = fv(t)
dt
b) Hareketlinin t an›ndaki ivmesi
a t = dv = vv(t) = fw(t) olur.
dt
s = 1 t 2 - t olan hareketlinin harekete baﬂlad›¤› andan
2
6 sa-niye sonraki h›z›n› ve ivmesini bulunuz. (Bu denklemde uzunluk metre, zaman
Örnek : Hareket denklemi
saniye ile veriliyor.)
Çözüm
H›z›,
v(t) = f´(t) = t - 1
v(6) = 6 - 1 = 5 m/sn
‹vmesi,
at = f´´(t) = 1
f´´(6) = 1 m/sn2
Örnek : a D R olmak üzere, yol-zaman denklemi s(t)=2at3 olan bir hareketlinin harekete
baﬂlad›ktan sonra 2 saniye sonraki h›z› 24 m/sn oldu¤una göre bu hareketlinin
6. saniyedeki ald›¤› ivmeyi bulal›m.
Çözüm : s v(t) = 6 at 2
s v(2) = 24a = 24
a=1
ivme = sw(t) = 12 at
=12 . 1 . 6
=72 m/sn 2
ÖZEL TANIMLI FONKS‹YONLARIN TÜREV‹
1) Parçal› Fonksiyonlar›n Türevi
f(x) =
g(x), x < a
h(x) , x * a
ise
ise
fv(x) =
gv(x), x < a
hv(x) , x * a
ise
ise
Ancak bu fonksiyonlar›n x = x0 noktas›ndan türevli olabilmesi için sa¤dan ve soldan
türevlerinin eﬂit olmas› gerekir.
25
MATEMAT‹K 8
3x2 - 1,
Örnek : f v(x) = 1
,
x
x < 2 ise
x * 2 ise
x = 2 noktas›ndaki türevini bulunuz.
Çözüm : x < 2 için f´(x) = 6x öyleyse, f´(2-) = 6 . 2 = 12
x ≥ 2 için f v (x) = - 12 öyleyse, f v (2+) = - 1
x
4
1
12 & 4
oldu¤undan, x = 2 noktas›nda fonksiyonun türevi yoktur.
2) Mutlak De¤er Fonksiyonu
Mutlak de¤er fonksiyonun türevi al›n›rken mutlak de¤erin tan›m›na dikkat edilir. Yani;
f(x) =
f(x) , f(x) ≥ 0
-f (x) , f(x) < 0
ise
ise
Örnek : f(x) = | x2 - 6x + 5 | ise f´(4) = ? , f´(10) = ?, f´(1) = ?
Çözüm 1. yol : Önce fonksiyonu parçal› fonksiyon hâline getirelim.
x2 - 6x + 5 = 0
(x - 5) (x - 1) = 0
x
-∞
1
x2 - 6x + 5
+
0
-
5
+∞
0
+
x=5, x=1
x2 - 6x + 5 ,
x)1
ise
fv(x) = -x2 + 6x - 5 , 1 < x < 5 ise
ise
x2 - 6x + 5 , x ≥ 5
26
MATEMAT‹K 8
Bu durumda,
2x - 6 , x ) 1
f v (x) = -2x + 6 , 1 < x < 5
2x - 6 , x ≥ 5
ise
ise
ise
f´(4) = -2 . 4 + 6 = -2
f´(10) = 2 . 10 - 6 = 14
x = 1 noktas› kritik nokta oldu¤undan,
f v (1-) = 2 . 1 - 6 = -4
f v (1+) = -2 . (1) + 6 = 4
II. yol :
y= f ( x )
x = 1 noktas›nda türev yok.
türevi
y v = f v (x) .
f(x)
f(x)
Bu durumda,
x2-6x+5
x2-6x+5
f v(x) = (x2-6x+5) v .
f v(x) = (2x-6) .
x2-6x+5
x2-6x+5
Örne¤in x=4 için x2-6x+5 < 0
oldu¤undan
x2-6x+5 = - x2-6x+5
dolay›s›yla
x2-6x+5
= -1
x2-6x+5
f v(4) = (2.4-6) . (-1) = -2
x2-6x+5 = (x-5) (x-1) oldu¤undan
x=1 ve x=5 noktalara kritik nokta. O hâlde bu noktalarda türev yok.
27
MATEMAT‹K 8
Tam K›s›m Fonksiyonun Türevi
E¤er, x de¤eri tam k›sm›n içini tamsay› yapm›yorsa türev vard›r ve türevi s›f›rd›r.
Örnek : f(x) = [|3x |]
f´(2) = ?
Çözüm : f´(2) = [|3 . 2|] = 6
fv 1 = ?
2
türevi yoktur.
f v 1 = [| 3 . 1 |]= [| 3 |] türev vard›r.
2
2
2
fv(x) = 0
fv 1 =0
2
‹ﬂaret Fonksiyonun Türevi
‹ﬂaret fonksiyonun içini s›f›r yapan x de¤erleri için türev yoktur. x de¤eri iﬂaret
fonksiyonun içini s›f›r yapm›yorsa türevi vard›r ve türevi s›f›rd›r.
Örnek : f(x) = Sgn (2x + 1)
ise
fv 1
2
2.1 +1=2&0
2
f v(x) = 0
TÜREV‹N UYGULAMALARI
Türevlenebilirlik ve Süreklilik
Teorem : f : [a,b] A R fonksiyonu x0 D (a,b)
(f´(x0) D R), f fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
noktas›nda
türevlenebilir ise
Bu teoremin karﬂ›t› do¤ru de¤ildir.
Örnek : f(x) = |x-1| fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli midir? Türevli midir?
28
MATEMAT‹K 8
Çözüm : f(x) = |x - 1| =
x-1,
x * 1 ise
-x + 1 , x < 1 ise
lim (x - 1) = 0
xA1+
lim (-x + 1) = 0
lim f(x) = f(1)
xA1-
xA1
oldu¤undan süreklidir.
f(1) = 1 - 1 = 0
Ancak, x = 1 noktas›nda türevli de¤ildir. Çünkü,
f v(x) =
+1 , x ≥ 1 ise
-1 , x < 1 ise
x = 1 kritik nokta oldu¤u için,
f v(1+) = +1
-
f v(1 ) = -1
f v(1+) & f v(1-)
O hâlde, x = x0 noktas›nda sürekli fonksiyon x = x0 noktas›nda türevlenemeyebilir.
Sonuç : f:[a,b] A R fonksiyonu x0 D (a,b) noktas›nda süreksiz ise f fonksiyonu
x0 noktas›nda türevlenemez.
\
f : [a, b] A R bir fonksiyonu sürekliyse, [a, b] aral›¤›nda fonksiyonun ald›¤›
maksimum ve minimum de¤erlere fonksiyonun ekstremum de¤erleri denir.
Teorem : f:[a,b] A R fonksiyonu sürekli ve her x D (a,b) için türevi olan bir fonksiyon
olsun.
a) E¤er her x D (a,b) için fv(x) ) 0 ise f fonksiyonu monoton azalan, fv(x) < 0 ise
azalan fonksiyondur.
b) E¤er her x D(a,b) için fv(x) * 0 ise f fonksiyonu monoton artan, fv(x) > 0 ise artan
fonksiyondur.
29
MATEMAT‹K 8
Örnek : 1- f(x) = 2x - 3 fonksiyonunun [0, 2] aral›¤›ndaki ekstremum de¤erlerini
inceleyiniz.
f´(x) = 2 dir. f´(x) > 0 fonksiyon artand›r.
min f(x)= f(0) = 2 . 0 - 3 = -3 dür.
max f(x)= f(2) = 2 . 2 - 3 = 1 dir.
2. f(x) = (x - 1)2 - 1 fonksiyonunun [0, 4] aral›¤›nda ekstremum de¤erlerini
hesaplay›n›z.
f´(x) = 2(x - 1) fonksiyonu [0, 1) aral›¤›nda azalan (1, 4] aral›¤›nda artand›r.
f(1) = (1 - 1)2 - 1 = -1 dir.
f(x) in [0,4] aral›¤›ndaki minimum de¤eridir.
f(4) = (4 - 1)2 - 1 = 8 dir.
f(x) in [0,4] aral›¤›ndaki maksimum de¤eridir.
Yerel Maksimum, Yerel Minimum
\
f(x) fonksiyonu bir (x1 - ¡ , x1 + ¡) aral›¤› içinde en küçük de¤erini x1 noktas›nda
al›yorsa fonksiyonun x1 noktas›nda yerel minimumu vard›r. En büyük de¤erini x1
noktas›nda al›yorsa fonksiyonun x1 noktas›nda yerel maksimumu vard›r.
Yerel minimum veya maksimumun varl›¤› için bir ¡ > 0 say›s›n›n bulunmas› yeterlidir.
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar›na fonksiyonun ektremum
noktalar› denir.
30
MATEMAT‹K 8
Teorem : f: a,b A R fonksiyonu sürekli ve her x D (a,b) için türevi olan bir
fonksiyon olsun.
E¤er x0D(a,b) noktas› f fonksiyonunun bir yerel ektremum noktas› ise fv(x0)=0
Örnek 1: f(x) = -x2 + 8x - 15 fonksiyonunun [0, 7] aral›¤›nda sürekli ve türevli oldu¤u
biliniyor. Fonksiyonun maksimum ve minimum de¤erlerini bulunuz.
f(x) = -x2 + 8x - 15 = - (x-4)2 + 1
Max f(4) = 1 dir.
Min f(0) = -15 dir.
ﬁekilde x = 4 noktas›nda bir maksimuma sahip oldu¤undan
f´(x) = -2x + 8 f´(4) = -2 . 4 + 8 = -8 + 8 = 0 d›r.
Örnek 2: f(x) = 2x + 1 fonksiyonu [2, 3] aral››nda sürekli, (2, 3) aral›¤›nda türevlidir.
Fakat fonksiyon bu aral›k içinde hiçbir noktada türevi s›f›r de¤ildir. Çünkü (2, 3)
aral›¤›nda fonksiyon ekstremuma sahip de¤ildir.
Teorem : (Rolle Teoremi)
f(x), [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli bir fonksiyon olsun. f(a) = f(b) ise, bu
fonksiyonun türevi (a, b) aral›¤›nda en az bir x1 noktas›nda s›f›r de¤erini al›r.
Örnek : f(x) = x2 + 4x + 3 olsun. x1 D (-5, 1) için f´(x1) = 0 Rolle teoremini
kullanarak gösterelim.
31
MATEMAT‹K 8
Çözüm : f(-5) = (-5)2 + 4(-5) + 3 = 8; f(1) = 12 + 4 . 1 + 3 = 8 oldu¤undan
x D (-5,1) için
f´(x1) = 0 olur.
f´(x) = 2x + 4 = 0 x = -2 D (-5, 1) ve f´(-2) = -2 . 2 + 4 = 0 d›r.
Örnek : f(x) = x - [| x |] fonksiyonuna [3, 4] aral›¤›nda Rolle Teoremi kullan›lamad›¤›n›
gösterelim.
Çözüm : f(3) = 3 - [| (3) |] = 3 - 3 = 0, f(4) = 4 - [ (4) ] = 4 - 4 = 0
Fonksiyon (3, 4) te türevlidir. Fakat fonksiyon (3, 4) te sürekli olmas›na ra¤men [3, 4]
de sürekli de¤ildir.
lim f(x) =lim- x - [| 4 |] = lim- (x - 3) = 1
xA4-
xA4
xA4
lim f(x) =lim+ x - [| 4 |] = lim+ (x - 4) = 0
xA4+
xA4
xA4
Fonksiyon x = 4 noktas›nda sürekli de¤ildir. Fonksiyona bu aral›kta Rolle Teoremi
uygulanamaz.
Teorem : (Ortalama De¤er Teoremi)
f(x) fonksiyonu [a, b] de sürekli ve (a, b) de türevli ise
x1 D (a, b) için f v (x1) =
f(b) - f(a)
b-a
d›r.
Örnek : 1- y = 2x2 - 3x - 7 fonksiyonunda [2,4] aral›¤›nda ortalama de¤er teoremini
uygulayal›m.
32
MATEMAT‹K 8
Çözüm : f(x) fonksiyonu (-∞, ∞) aral›¤›nda sürekli ve türevlidir.
f(2) = 2 . 22 - 3 . 2 - 7 = -5
f(4) = 2 . 42 - 3 . 4 - 7 = 13
f(4) - f(2) 13 + 5 18
fv(x1) =
=
=
=9
4-2
2
2
f´(x1) = 4x - 3 = 9 ise 4x = 12 x = 3 tür. 3 D (2, 4) olur.
Örnek : 2- f(x) = Sin (πx) + 1 x
2
teoremini uygulay›n›z.
fonksiyonuna [-3, 2] aral›¤›nda ortalama de¤er
f(a) = f(-3) = Sin (-3π) + -3 = -Sin 3π - 3 = 0 - 3 = - 3
2
2
2
2
2
f(b) = f(2) = Sin (2π) + = 0 + 1 = 1
2
1+3
f(b) - f(a) f(2) - f(-3)
2 =5 x1 =1
f v(x0) =
=
=
5
b-a
2 - (-3)
2 5 2
f v(x0) = π Cos π x + 1 = 1 Cos π x = 0
2 2
π
π
Cos + π k = Cos π x π x = + k π x = 1 + k
2
2
2
k = -3, -2, -1, 0, 1
x 1 = 1 - 3 = - 5 , x2 = 1 - 2 = - 3 , x3 = 1 - 1 = - 1 ,
2
2
2
2
2
2
1
3
x5 = + 1 =
de¤erleri elde edilir.
2
2
x4 = 1 + 0 = 1 ,
2
2
x1, x2, x3, x4 ,x5 D (-3, 2) aral›¤›nda ortalama de¤er teoremini sa¤layan beﬂ tane nokta
vard›r.
Ortalama De¤er Teoreminin Geometrik Anlam›
f(x) in iki noktas› A ( a, f(a)) ve B(b, f(b)) olsun.
f(b) - f(a)
, AB do¤rusunun e¤imidir. x1 D (a, b) için
b-a
f(b) - f(a)
f v (x1) =
demek, f(x) e¤risine A ile B aras›ndaki en az bir x1 noktab-a
s›ndan AB ye paralel bir te¤et çizilebilir.
33
MATEMAT‹K 8
Örnek : f(x) = 9 - x2 yar›m çemberinde A(0, 3), B ( 3, 0) verilsin. E¤ri üzerindeki bir
noktadan AB do¤rusuna paralel bir te¤et çizmek mümkün müdür? Öyleyse, te¤etin
denklemini yaz›n›z.
f(x) = 9 - x2 y2 + x2 = 9
AB do¤rusuna paralel te¤etin de¤me noktas›n›n apsisi (0, 3) aral›¤›nda ortalama de¤erini
ald›¤› noktad›r. f(x) fonksiyonu [0, 3] de sürekli ve (0, 3) de türevli oldu¤undan Ortalama
De¤er Teoremini uygulayabiliriz.
34
MATEMAT‹K 8
f(3) = 0 ve f(0) = 3
f(3) - f(0) 0 - 3
=
= - 1 f v (x) = -2x
- x
= -1
2
3-0
3-0
2 9-x
9 - x2
9 - x2 = x 9 - x2 = x2 2x2 = 9 x2 = 9 x = ± 3
2
2
- 3 (0, 3) R 3 D (0, 3) x0 = 3 y0 = 3 dir. Çizilen te¤etin e¤imi
2
2
2
2
AB do¤rusunun e¤imine eﬂit olup m = -1 dir.
f v (x) =
y - y0 = m (x - x0) y - 3 2 = -1 x - 3 2 y = -x + 3 2 bulunur.
2
2
ÖRNEKLER
Örnek 1- y = e(x-3)
2
fonksiyonuna (2, 4) da Rolle Teoremini uygulay›n›z.
Çözüm : f(x) fonksiyonu [2, 4] aral›¤›nda sürekli, (2, 4) aral›¤›nda türevlidir.
f(2) = e (2-3)2 = e (-1)2= e 1 = e
f(2) = f(4) oldu¤undan Rolle Teoremi gerçeklenir.
f(4) = e (4-3)2 = e (1)2= e 1 = e
f v (x) = 2(x - 3) . e (x-3)2 = 0 (e (x-3)2= 0 olamaz) , 2(x - 3) = 0
x = 3 D (2, 4) için f v (3) = 0 d›r.
Örnek : 2- f(x) = x2 + 7x + 3 fonksiyonuna (1, 7) aral›¤›nda Ortalama De¤er Teoremini
uygulay›n›z.
Çözüm : f(1) = 12 + 7 . 1 + 3 = 11
f(7) = 72 + 7 . 7 + 3 = 101
f(7) - f(1) 101 - 11 90
=
=
= 15
7-1
6
6
f v (x) = 2x + 7 = 15 2x = 8 x = 4 D (1, 7) için
f v (x) =
Örnek : 3- f(x) = x3 + 6x fonksiyonuna (2, 4) aral›¤›nda Ortalama De¤er Teoremini
uygulay›n›z.
Çözüm : f(2) = 23 + 6 . 2 = 8 + 12 = 20
f(4) = 43 + 6 . 4 = 64 + 24 = 88
f v(x) =
f(4) - f(2) 88 - 20
=
= 34
4-2
2
35
MATEMAT‹K 8
f v (x) = 3x2 + 6 = 34 3x2 = 28 x2 = 28
3
x1 = 2 7 D (2, 4) , x2 = -2 7 (2, 4) dür.
x=±2 7 =±2 7,
3
3
3
3
Örnek : 4- f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun (p, q) aral›¤›nda Ortalama De¤er
p+q
oldu¤unu gösteriniz.
Teoremini sa¤layan x de¤erinin x =
2
Çözüm : f(p) = ap2 + bp + c
f(q) = aq2 + bq + c
f(q) - f(p) a(q2 - p2) + b(q - p)
= a(q + p) + b
q-p
q-p =
q+p
f v (x) = 2ax + b = a (q + p) + b x =
bulunur.
2
f v (x) =
‹K‹NC‹ TÜREV‹N GEOMETR‹K ANLAMI
\
f: [a, b] A R fonksiyonu sürekli, türevi olan bir fonksiyon olsun. E¤er fonksiyonun
grafi¤i üzerinde al›nan her hangi iki noktay› birleﬂtiren kiriﬂ daima grafi¤in
üzerinde kal›yorsa, f fonksiyonuna yukar› bükey veya konveks e¤er kiriﬂ daima
grafi¤in alt›nda kal›yorsa f fonksiyonuna aﬂa¤› bükey veya konkav denir.
ﬁekilde f fonksiyonu (a, c) aral›¤›nda yukar› bükey (c, b) aral›¤›nda aﬂa¤› bükeydir.
36
MATEMAT‹K 8
a) f´(x0) = 0 ve f´´(x0) < 0 ise f fonksiyonu x0 noktas›nda f(x0) yerel maksimum
de¤erini al›r.
b) f´(x0) = 0 ve f´´(x0) > 0 ise f fonksiyonu x0 noktas›nda f(x0) yerel minimum
de¤erini al›r.
\
E¤rinin konvekslikten konkavl›¤a veya konkavl›ktan konveksli¤e geçti¤i noktaya
dönüm noktas› denir.
E¤rilik konvekslikten konkavl›¤a
geçmektedir. x=x1 D.N. d›r.
\
E¤rilik konkavl›ktan konveksli¤e
geçmektedir. x=x2 D.N. d›r.
‹kinci türevin pozitif oldu¤u aral›kta f(x) in grafi¤inde e¤rilik yukar›ya do¤ru veya
konvekstir.
‹kinci türevin negatif oldu¤u aral›kta f(x) in grafi¤inde e¤rilik aﬂa¤›ya do¤ru veya
konkavd›r.
Konveks
Konkav
37
MATEMAT‹K 8
Örnekler : 1- y = (x - 2)2 + 3 fonksiyonunun x = 2 noktas›nda minimum de¤erini
ald›¤›n› gösteriniz.
Çözüm : y´ = 2(x - 2); y´ = 0 2(x - 2) = 0 x = 2
f´´(x) = 2 > 0 oldu¤undan yerel minimum vard›r.
2- f(x) = x2 + 2x - 2 fonksiyonunun x = -1 de maksimum veya minimumunun
bulunup, bulunmad›¤›n› araﬂt›r›n›z.
Çözüm : f´ = 2x + 2; f´ (x) = 0 2x + 2 = 0 x = -1
f´´(x) = 2 > 0 oldu¤undan yerel minimum vard›r.
3- f(x) = -(x - 2)4 fonksiyonunun x = 2 de dönüm noktas›n›n bulunup
bulunmad›¤›n› araﬂt›r›n›z.
Çözüm : f´(x) = -4 (x - 2)3 ; f´(x) = 0
-4 (x - 2)3 = 0 x = 2,
f´´(x) = -12(x - 2) f´´(2) = -12 (2 - 2) = 0
f(x) in x = 2 de dönüm noktas› vard›r.
4- f(x) = x3 - 7x2 - 3x + 2 fonksiyonunun konkav ve konveks oldu¤u bölgeleri
bulunuz.
Çözüm : f´(x) = 3x2 - 14x - 3
fw(x) = 6x - 14 fw(x) = 0 6x - 14 = 0 x = 7
3
x
fw(x)
-'
-
7
3
0
Konkav
+
Konveks
D.N.
38
+'
MATEMAT‹K 8
5- f(x) = x3 + 3x2 - 1 fonksiyonunun ekstremum noktalar›n› bulunuz.
Çözüm : f´(x) = 3x2 + 6x ; f´(x) = 0 3x2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0
x1 = 0, x2 = -2
f(0) = -1, f(-2) = (-2)3 + 3 (-2)2 - 1 = -8 + 12 - 1 = -9 + 12 = 3
f´´ (x) = 6x + 6
f´´ (0) = 6 . 0 + 6 = 6 > 0 oldu¤undan x=0 da minimum de¤erini al›r.
f´´ (-2) = 6 . (-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 oldu¤undan x=-2 de maksimum de¤erini
al›r.
x
yv
-'
+
-2
0
y
-'
3
max.
0
-
0
+'
+
+'
-1
min.
6- f(x) = x3 + 6x2 - 4 fonksiyonunun eksrtemum noktalar›n› maksimum ve
minimum de¤erini bulunuz.
Çözüm : f´(x) = 3x2 + 12x; f´(x) = 0 3x(x + 4) = 0
x1 = 0, x2 = -4
y1 = -4, y2 = 28
f´´(x) = 6x + 12
f´´(0) = 12 > 0 oldu¤undan x=0 da minimum de¤erini al›r.
f´´(-4) = -12 < 0 oldu¤undan x=-4 te maksimum de¤erini al›r.
x
yv
-'
+
-4
y
-'
28
-4
max.
min.
0
-
+'
+
+'
39
MATEMAT‹K 8
MAKS‹MUM VE M‹N‹MUM PROBLEMLER‹NE A‹T ÖRNEKLER
Örnekler : 1- Çarp›mlar› 1 olan pozitif iki say›n›n toplam›n›n minimum olmas› için bu
iki say› ne olmal›d›r?
Çözüm :
Say›lara x, z dersek
x.z=1
y=x+z
x . z = 1 1 = z dir.
x
dir.
1
y=x+1
x olur. yv = 1 - x2 dir.
yv = 0 x2 - 1 = 0 x2 = 1 x1 = 1, x1 = -1 say›lar pozitif olaca¤›ndan
x = 1 dir. x . z = 1 den z = 1 dir.
y = x + z y = 1 + 1 = 2 olarak bulunur.
2
yv= x -1 ise yw = 2 x = 1 için yw = 2 = 2 > 0
x2
x3
13
oldu¤undan minimum olur.
2- Toplamlar› iki ve çarp›mlar› maksimum olan pozitif iki say›y› bulunuz.
Çözüm : Say›lar: x ve z olsun. x + z = 2 ve y = z . x maksimum olmal›d›r.
z = 2 - x y = x(2 - x) = -x2 + 2x y´= -2x + 2
-2(x - 1) = 0 x = 1 dir. x + z = 2 z = 1 dir. y = 1 . 1 = 1 bulunur.
y´´ = -2 < 0 d›r. x = 1 için maksimumu vard›r.
40
MATEMAT‹K 8
3- x2 + y2 = 4 çemberi içine bir dikdörtgen yerleﬂtirilmek isteniyor. Dikdörtgenin
çevresinin maksimum olmas› için dikdörtgenin kenar uzunluklar› ne olmal›d›r?
Çözüm :
Çemberde böyle bir dikdörtgenin
köﬂegenleri merkezden geçer.
x2 + y2 = r2 r2 = 4 r = 2 dir.
DAB dik üçgeninde Pisagor Teoremi x2 + y2 = 42 x2 + y2 = 16
Çevresi : z = 2(x + y) dir.
y = 16 - x2 olur.
z = 2 x + 16 - x2 zv = 2 -
2x
zv = 0
16 - x2
2x
= 2 x = 16 - x2 16 - x2 = x2 2x2 = 16 x2 = 8
2
16 - x
x = 2 2 y = 16 - 8 = 8 = 2 2
dir.
Maksimum çevre : z = 2(x + y) = 2 2 + 2 2 2 = 8 2 dir.
4- |AB| = |AC| olan bir üçgende |BC| = a d›r. A köﬂesinden a kenar›na indirilen
dikme 4a d›r. Bu üçgenin içine bir dikdörtgen yerleﬂtiriliyor. Bu dikdörtgenin alan›n›n
maksimum olmas› için kenarlar› ne olmal›d›r, a cinsinden bulunuz.
41
MATEMAT‹K 8
Çözüm :
|AB| = |AC|, |BC| = a ve |AH| = 4a
Dikdörtgenin kenar uzunluklar›na x ve y diyelim.
AGK ~ ABH dir.
x
2 = 4a - y x = a - y
a
4a
4
2
y
y2
S = x . y = a - . y = ay 4
4
y2
y
ds
S = ay = Sv (y) = a - 1 . 2 . y = a
4
2
dy
4
ds = 0 y = 2a ve x = a - 2a = a - a = a
dy
4
2 2
a
y = 2a, x =
olmal›d›r.
2
Svv(y) = - 1 < 0 oldu¤undan x = a , y = 2a için Sv alan› maksimum olur.
2
2
5- Yar›çap› 4 olan küre içine yerleﬂtirilen maksimum hacimli dönel silindirin
hacmini bulunuz.
Çözüm :
42
MATEMAT‹K 8
x2
+
y2
|OH| = x olsun. OAH dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›ndan
|AH| = y,
= 16 d›r.
Silindirin hacmi : V = /y2 . (2x) V = / . (16 - x2) . 2x
V = 16/ . 2x - 2/x3 V = 32/x - 2/x3
Vv(x) = 32/ - 6/x2 = 0 x2 = 32 = 16 x = ± 4 3
3
6
3
- 4 3 al›nmaz
3
y=4.
2
3
x = 4 3 tür. y2 = 16 - 16 = 32 y = 4 2
3
3
3
3
dür.
V = / . 32 . 2 . 4 3 = 256 3 /
3
9
3
bulunur.
4
Vw(x) = -12/x Vw 4 3 = - 12 . / . 4 3 = -16 3/ < 0
3
31
oldu¤undan hacim maksimum olur.
FONKS‹YONLARDA AS‹MPTOT BULMA
\
y=f(x) fonksiyonunun grafi¤i üzerindeki de¤iﬂken bir p(x,y) noktas› alal›m. E¤er,
e¤rinin en az bir kolu sonsuza uzan›yorsa ve p noktas›n›n d do¤rusuna veya
c e¤risine olan uzakl›¤› s›f›ra yaklaﬂ›yorsa, al›nan d do¤rusuna veya c e¤risine,
y=f(x) fonksiyonun asimptotu denir.
Aﬂa¤›daki ﬂekillerde yukar›daki tan›m aç›k olarak görülmektedir.
d do¤rusu y=f(x)in do¤ru
asimptotudur
c e¤risi y=f(x) e¤risinin e¤ri
asimptotudur
43
MATEMAT‹K 8
Düﬂey Asimptotun Bulunmas›
p(x)
ﬂeklindeki rasyonel fonksiyonlarda, Q(x)=0 denkleminin x=a kökü için
Q(x)
p(a)≠0 oluyorsa, denklemi x=a olan do¤ruya bu fonksiyonun düﬂey asimtotu denir.
y=
Örnek : f(x)=2x+1 fonksiyonunun düﬂey asimptotunu bulal›m.
x-1
Çözüm : x - 1 = 0
x = 1,
2 . 1 +1 = 3 ≠ 0
oldu¤undan
x = 1 do¤rusu düﬂey asimptotdur.
Yatay Asimptotun Bulunmas›
\
y=f(x) fonksiyonu için, lim f(x)=b D R veya lim f(x)=b D R ise,
xA+'
xA-'
denklemi y=b olan do¤ruya, y=f(x) fonksiyonun yatay asimptotu denir.
2
Örnek : f(x) = 5x2 +4x-1 fonksiyonunun yatay asimptotunu bulal›m.
3x +2x+1
Çözüm : lim 5x2+4x-1 = 5
3
xA+' 3x2+2x+1
2
lim 5x2 +4x-1 = 5
3
xA-' 3x +2x+1
o hâlde y=5 olan do¤ru f(x) fonksiyonun yatay asimptotudur.
3
2
Örnek : f(x) = x +1 fonksiyonun yatay asimptotunun olup olmad›¤›n› araﬂt›ral›m.
3x-1
Çözüm :
2
lim x +1 = +' R
xA+' 3x-1
2
lim x +1 = -' R
xA-' 3x-1
f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu yoktur.
44
MATEMAT‹K 8
E¤ik ve E¤ri Asimptotlar›n Bulunmas›
Bir y = f(x) fonksiyonu için lim f(x) = '
oluyorsa, fonksiyonun e¤ik veya e¤ri
xA'
asimptotu vard›r. Rasyonel fonksiyonlarda e¤ik veya e¤ri asimptotu bulmak için
pay paydaya bölünür. Bulunan bölüm, fonksiyonun e¤ik veya e¤ri asimptotudur.
E¤er, bölüm birinci dereceden polinom fonksiyonu ise e¤ik, en az ikinci dereceden
polinom fonksiyonu ise e¤ri asimptotudur.
2
Örnek : f(x) = x +3x-2 fonksiyonunun e¤ik asimptotunu bulal›m.
x+1
Çözüm :
2
lim x +3x-2 = '
xA' x+1
x2 + 3x - 2
+ x2 + x
- - +2x - 2
-
x+1
x2+3x-2 = x+2 - 4
x+1
x+1
x+2
+- 2x +- 2
-4
Burada, g(x) = x+2 birinci dereceden oldu¤u için g(x) e¤ik asimptotdur.
2
3
Örnek : f(x) = x +3x -5 fonksiyonunun e¤ik ya da e¤ri asimptotunun var olup
x+1
olmad›¤›n› belirleyiniz.
45
MATEMAT‹K 8
2
3
Çözüm : lim x +3x -5 = '
x+1
xA'
x3 + 3x2 - 5
+ x3 +- x2
-2x2 - 5
x3+3x2-5 = x2 +2x - 2x+5
x+1
x+1
x+1
x2+2x
+ 2x2 +- 2x
--2x -5
Burada g(x) = x2+2x ikinci dereceden oldu¤u için g(x) e¤ri asimptot vard›r.
Örnekler :
1- f(x) = x - 2 fonksiyonunun asimptotlar›n› bulunuz.
x-3
a) lim f(x) = lim x- 2 = 1
xA±'
xA±' x - 3
yatay asimptotdur.
b) x - 3 = 0 x = 3 düﬂey asimptotdur.
2- f(x) =
(x - 2) 3
fonksiyonunun asimptotlar›n› bulunuz.
x-1
a) y = lim f(x) = lim
xA±'
xA±'
(x - 2) 3
='
x-1
yatay asimptotu yoktur.
b) x - 1 = 0 x = 1 düﬂey asimptotdur.
c) (x - 2)
x-1
46
3
= x2 - 5x + 7 - 1 y = x2 - 5x + 7 fonksiyonun e¤ri asimptotudur.
x-1
MATEMAT‹K 8
GRAF‹K Ç‹Z‹MLER‹
Bir fonksiyonun grafi¤ini çizerken yap›lacak iﬂlemler:
1. Fonksiyonun tan›m aral›¤› bulunur.
lim f(x) hesaplan›r.
2. xA±'
3. Varsa asimptotlar› bulunur.
4. Varsa eksenlerin kesti¤i noktalar bulunur.
5. Ekstremum noktalar› bulunur.
6. Bulunan de¤erler bir tabloda gösterilir.
7. Tablodan yararlan›larak grafik çizilir.
Polinom Fonksiyonlar›n Grafi¤i
Örnekler: 1 - y = x4 - 2x2 + 1 fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz, grafi¤ini çiziniz.
Çözüm
1) Fonksiyon (-∞ , +∞ ) tan›ml›d›r. (Çünkü polinom fonksiyondur.)
2) lim f(x) = +' dur.
x A ±'
3) Asimptot yoktur.
4) x = 0 için y = 1
y = 0 için x4 - 2x2 + 1 = 0 (x2 - 1)2 = 0 x2 - 1 = 0 x2 = 1 x = ±1
5) y´ = 4x3 - 4x 4x3 - 4x = 0 x(4x2 - 4) = 0
x1 = 0 ve 4x2 - 4 = 0 x2 = 1 x2 = 1, x3 = -1 dir. ﬁimdi 2. türevi al›p, s›f›ra
eﬂitleyelim.
47
MATEMAT‹K 8
6)
x
-∞
-1
y´
-
0
y
+∞
0
0
+
+
min.
0
-
-
1
max.
1
+∞
0
+
0
+∞
min.
Tablonun Okunmas› : Fonksiyon (- ∞,+∞) bölgesinden gelerek (-1,0) noktas›n
u¤rar ve (0,1) noktas›na ulaﬂ›r. Buradan (1,0) noktas›ndan k›vr›larak (',')
do¤ru ilerler. Grafik;
2- y = x3 + 2x2 - x - 2 fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz. Grafi¤ini çiziniz.
Çözüm
1) Fonksiyon (-∞, +∞) aral›¤›nda tan›ml›d›r.
2) lim f(x) = ±' dur.
x A ±'
3) Asimptot yoktur.
4) x = 0 için y = -2
y = 0 için x3 + 2x2 - x - 2 = 0 x2 (x + 2) - (x + 2) = 0
(x + 2) (x2 - 1) = 0 x1 = -2, x2 = -1
48
x3 = 1
MATEMAT‹K 8
yv = 3x2 + 4x - 1 yv = 0 için 3x2 + 4x - 1 = 0
5)
x1,2 =
-4 ± 16 + 4 . 3 -4 ± 2 7 -2 ± 7
x1 = -2 - 7 , x2 = -2 + 7
=
=
3
3
6
6
3
y1 = f(x1) = -2 - 7 = k1,
3
y2 = f(x2) = f -2 + 7 = k2
3
6)
x
-∞
y´
+
y
-∞
-2- 7
3
-2
+
+
0
0
k1
-1
-
0
-2+ 7
3
0
-2
-
0
k2
1
+
+∞
+
0
+∞
Tablonun Okunmas› : (- ∞,-∞) dan baﬂlayan fonksiyon (-2,0) noktas›ndan geçer
ve -2- 7 , k1 noktas›nda maksimum de¤erini ald›ktan sonra (-1,0) noktas›na u¤rar.
3
Fonksiyon (0,-2) noktalar›na u¤rad›ktan sonra -2+ 7 , k2 noktas›nda
3
minimum de¤erini al›r ve (1,0) noktas›na u¤rayarak (', ') yönüne do¤ru ilerler.
7)
49
MATEMAT‹K 8
‹rrasyonel Fonksiyonlar›n Grafi¤i
y = ax2 + bx + c biçimindeki bir fonksiyonun grafi¤i çizilirken aﬂa¤›daki durumlar
dikkate al›nmal›d›r.
a) ax2 + bx + c ≥ 0 eﬂitsizli¤inin çözüm bölgesi fonksiyonun tan›m kümesidir.
b) a > 0 ise y= + a x + b e¤ik asimptot
2a
a < 0 ise e¤ik asimtot yok.
c) yv = 0 dan yerel ekstremum noktalar› bulunur.
Örnekler : 1- y = x2 - 3x+ 2 fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
1) x2 - 3x ≥ 0 x(x - 3) ≥ 0 x(x - 3) = 0 x1 = 0, x2 = 3
x
-∞
0
x
-
0
x-3
-
x(x-3) ≥ 0
+
3
+
+∞
+
-
0
-
+
+
fonksiyon
tan›ms›z
Tan›m kümesi :(-', 0] F [3, ') dur.
2) lim
x A ±'
x2 - 3x+ 2 = xlim
x
A ±'
1- 3
x + 2 = ±'
3) y = ax2 ± bx + c formundaki bir fonksiyonun asimptotu y = x ± b formundad›r.
2a
y = x2 - 3x+ 2 y = x - 3 + 2
2
3
1
y1 = x - + 2 = x +
2
2
y2 = - x - 3 + 2 = - x + 7
2
2
50
do¤rular› fonksiyonun e¤ik asimptotlar›d›r.
MATEMAT‹K 8
4) x = 0 için y = 2
y = 0 için
f(0) = 2; f(3) = 2 dir.
5) f v(x) = yv =
2x - 3
fv(x) = 0 2x - 3 = 0 x = 3
2
2 . x2 - 3x
tan›m bölgeleri d›ﬂ›nda kal›r.
x > 3 için f´(x) > 0 d›r.
x = 0 ve x = 3 için f´(x) tan›ms›zd›r.
6)
x
-∞
0
y´
+
0
y
+∞
2
3
-
0
2
+∞
+
+∞
TANIMSIZ
Tablonun Okunmas› : Fonksiyon (0,3) aral›¤›nda tan›ms›z.
x=-' dan baﬂlayarak y=+' do¤ru (-',0] aral›¤›nda e¤ri çizerek ilerler.
x=+' dan baﬂlayarak y=+' do¤ru (3,+') aral›¤›nda e¤ri çizerek ilerler.
Bu arada y= -x + 7 ve y= x + 1 asimptotlar›n› dikkate almak gerekir.
2
2
7)
51
MATEMAT‹K 8
2- y = -x2 + 4x - 3 fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz, grafi¤ini çiziniz.
Çözüm : 1) y = -x2 + 4x - 3 =
1 - (x - 2)2 = -(x-3) . (x-1)
1 - (x - 2)2 ≥ 0 1 - (x - 2)2 = 0 (x - 2)2 = 1 x - 2 = ±1
x1 = 1,
x2 = 3
-∞
x
-(x - 3)
+
x-1
-
1
3
+
0
-
0
+
-
f(x)
+∞
+
fonksiyon tan›ms›z
+
-
fonksiyon tan›ms›z
1≤x≤3
Tan›m aral›¤› : [1, 3] dür.
2) Tan›m bölgesi s›n›rl› oldu¤undan lim f(x)
x A ±'
hesaplanamaz.
3) Tan›m bölgesi s›n›rl› oldu¤undan asimptot yoktur. (a < 0 oldu¤undan)
4) x = 1 için y = 0 d›r.
x = 3 için y = 0 d›r.
x = 2 için y = 1 dir.
5) f v(x) =
6)
x
-2x + 4
f v(x) = 0 -2x +4 =0 x =2 dir. (x=2 için y=1 dir)
2 - x2 + 4x - 3
-∞
1
y´ +
y
52
+
2
+
0
0
1
3
-
+∞
-
0
MATEMAT‹K 8
Tablonun Okunmas› : x=1 ve x=3 do¤rular› aras›nda s›n›rl›d›r. Çünkü tan›m
kümesi, 1 ) x ) 3 idi. x=2 için y=1 noktas› e¤rinin maksimum noktas›d›r.
7)
TANIMSIZ
TANIMSIZ
Rasyonel Fonksiyonlar›n Grafikleri
1- y = x - 2 fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
x+1
x+1&0
x & -1
1) x + 1 = 0 x = 1 dir.
Tan›m kümesi : R - -1
(-', -1) F (-1, +')
f : (-', -1) F ( -1, +') A R
f(x) = lim x - 2 = 1 dir. Yani y = 1 do¤rusu yatay asimptotdur.
2) y = xlim
A ±'
x A ±' x + 1
3) x = -1 de düﬂey asimptot vard›r. (Düﬂey asimtot payday› s›f›r yapan de¤er)
4) x = 0 için y = -2
y = 0 için x = 2 dir.
5)
yv =
0= x-2 x-2=0 x=2
x+1
1 . (x + 1) - 1 . (x - 2)
= 3 2>0
2
(x + 1)
(x+1)
53
MATEMAT‹K 8
6)
x
-∞
-1
y´
+
0
y
1
2- y =
+∞
-∞
0
+
2
+
-2
+∞
+
0
1
(x - 1) (x - 2)
fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz, grafi¤ini çiziniz.
x-3
1) x - 3 = 0 x = 3 de fonksiyon tan›ms›zd›r.
2) Asimptotlar:
Tan›m kümesi : R - {3}
(x - 1) (x - 2)
= ±'
x-3
(x - 1) (x - 2) x2 - 3x + 2
y=
=
= x + 2 y = x do¤rusu e¤ik asimptotdur.
x-3
x-3
x-3
lim f(x)= xlim
A ±'
x A ±'
Tabloda gösterilmez.
x2 - 3x + 2
x-3
x
± x2 ± 3x
2
x - 3 = 0 x = 3 do¤rusu düﬂey asimptotdur.
3) x = 0 için y = - 2
3
y = 0 için x1 = 1, x2 = 2 dir.
54
MATEMAT‹K 8
4) yv =
1 . (x - 2) + (x - 1) (x - 3) - 1 . ( x - 1) (x - 2) x2 - 6x + 7
=
; yv = 0
(x-3) 2
(x-3) 2
x2 - 6x + 7 = 0 x1, 2 =
y1 6,
3± 2
= 3 ± 2 x1 = 3 + 2, x2 = 3 - 2
1
y2 0,2
5)
x
-∞
y´
+
y
-∞ - 2
3
0
3- 2
1
+
+
0
0
2
-
0,2
max.
0
3 + 2 +∞
3
-∞ +∞
0
6
+
∞
min.
6)
3- y =
(x - 2)3
fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz, grafi¤ini çiziniz.
x-1
1) x - 1 = 0 x = 1 de fonksiyon tan›ms›zd›r.
f : R - {1} A R
2) lim f(x) = lim
x A ±'
x A ±'
(x - 2)3
='
x-1
55
MATEMAT‹K 8
3) x - 1 = 0 x = 1 de düﬂey asimptot vard›r.
x3 - 6x2 + 12x - 8
x-1
3
x-1
x - 6x2 + 12x - 8
2
3
3
x
5x + 7
+- x ± x
E¤ri asimptot
-5x2 + 12x
± 5x2 ± 5x
7x - 8
+ 7x ± -7
-1
(x - 2)3
= x2 - 5x + 7 - 1 y = x2 - 5x + 7 e¤ri asimptotdur.
x-1
x-1
y = (x - 5 ) 2 + 3 parabol e¤ridir.
2
4
4) x = 0 için y = 8
y = 0 için (x - 2)3 = 0 x = 2 dir.
3(x - 2)2 . (x - 1) - 1 . (x - 2)3
yv = 0 için (x - 2)2 3(x - 1) - (x - 2)
2
(x-1)
5) yv =
(x - 2)2 (2x - 1) = 0 (x - 2)2 = 0 x1 = 2, x2 = 1 ,
2
2
x-2 . (2x-1)
yv=
y1 = 0, y2 = 27 ,
2
4
x-1
6)
x
-∞
y´
-
y
+∞
1
2
0
8
0
27
4
min.
56
1
+
2
0
0
+∞
+
-∞
0
0
0
D.N.
+∞
+
+∞

MATEMAT‹K 8
Tablonun Okunmas› : x=-', y=+' baﬂlayan fonksiyon (0,8) noktas›na u¤rayarak
1 , 27 noktas›nda minimum de¤eri ald›ktan sonra (1-,+') do¤ru ilerler. Sonra
2 4
fonksiyon (1+,-') dan gelerek (2,0) dönüm noktas›ndan k›vr›larak (',') do¤ru ilerler.
2
Bu arada tabloda olmayan x=1 düﬂey asimptodu ve y= x - 5 + 3 e¤ri asimptodu
2 4
grafikte unutmamak gerekir.
7)
4
4- y = x
fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz, grafi¤ini çiziniz.
x2 - 1
Çözüm
1) x2 - 1 = 0 x = ±1 x1 = 1, x2 = -1 dir.
f : R - -1, 1 A R
4
lim 2x = '
2) xA±'
lim f(x) = xA±'
x -1
3) x1 = 1, x2 = -1 de düﬂey asimptotu vard›r.
x4
2
x -1
= x2 + 1 +
1
x2 -
1
4) x = 0 için y = 0 d›r.
y = x2 + 1 fonksiyonunun e¤ri asimptotudur.
y = 0 için x = 0 d›r.
57
MATEMAT‹K 8
yv =
5)
4x3 . (x2 - 1) - 2x . x4 4x5 - 4x3 - 2x5 2x3 (x2 - 2)
=
=
(x2 - 1) 2
(x2 - 1) 2
(x2 - 1) 2
yv = 0 2x3 (x2 - 2) = 0 x1 = 0 , x2 = 2, x3 = - 2
y1 = 0 , y2 = 4,
6)
y3 = 4
- 2
x
-∞
y´
-
0
y
+∞
4
2
-1
+
0
0
0
-∞
+
+∞
0
0
1
-
0
0
-∞
+∞
+∞
-
0
+
4
+∞
7)
5- y = 22x fonksiyonunun de¤iﬂimini inceleyiniz, grafi¤ini çiziniz.
x -1
Çözüm
1) x2 - 1 = 0 x2 = 1 x1 = 1, x2 = -1 noktalar›nda fonksiyon tan›ms›zd›r.
f : R -{1, -1} A R
58
MATEMAT‹K 8
2) y = lim f(x) = lim 2x = 0 d›r. x - ekseni yatay asimptotttur.
x A±'
x A±' x2 - 1
x2 - 1 = 0 x1 = 1, x2 = -1 de düﬂey asimptot vard›r.
3) x = 0 y = 0 ve y = 0 için x = 0 d›r.
4) yv =
2(x2 - 1) - 4x2 -2x2 - 2 -2(x2 + 1)
=
=
(x2 - 1) 2
(x2 - 1) 2
(x2 - 1) 2
yv = 0 -2(x2 + 1) = 0 x2 + 1 = 0 x2 = -1 Reel kök yoktur.
yv < 0 d›r.
5)
x
-∞
-1
y´
-
0
0
y
0
-∞
0
+∞
1
-
0
0
0
-∞
+∞
+∞
0
6)
59
MATEMAT‹K 8
Trigonometrik Fonksiyonlar›n Grafikleri
Trigonometrik fonksiyonlar›n grafikleri çizilirken aﬂa¤›daki durumlar dikkate al›n›r:
a) Önce periyod bulunur. Periyod geniﬂli¤inde bir aral›kta de¤iﬂim incelenip grafik
çizilir. Öbür periyod geniﬂli¤inde ard›ﬂ›k aral›klarla ilk çizilen grafik tekrarlan›r.
b) Fonksiyon kesirli ise düﬂey asimtot bulunur.
c) Eksenleri kesti¤i noktalar bulunur.
d) Türev al›n›r. Yerel ekstramum noktalar› hesaplan›r.
e) De¤iﬂim tablosu yap›larak grafik çizilir.
➯
Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulmay› ö¤renmeden grafik çizmeye geçmeyin.
1- y = 1 + Cos 2x in grafi¤ini çiziniz.
1) Cos 2x in periyodu 2/ = /
2
O hâlde, 0,/ aral›¤›nda grafi¤ini çizmek yeterlidir.
2) Aral›k s›n›rl› oldu¤u için asimptot hesaplanmaz.
3) Eksenler kesti¤i noktalar.
x = 0 için f(0) = 1 + Cos 2 . 0 = 1 + 1 = 2
x = π için f(π) = 1 + Cos 2π = 1 + 1 = 2
y = 0 için 1 + Cos 2x = 0 Cos 2x = -1 Cos 2x = Cos (π + 2kπ)
2x = π + 2kπ, k = 0 için x = /
2
4) f´(x) = -2 Sin 2x; f´(x) = 0 -2 Sin 2x = 0 Sin 2x = 0 Sin 2x = Sin (kπ)
2x = kπ ise x = k/
2
k1 = 0 için x1 = 0, k2 = 1 için x2 = /
2
60
, k3 = 2 için x3 = π
MATEMAT‹K 8
5)
x
0
y´
0
y
2
/
2
-
0
π
+
0
0
2
6)
2- y = Sin x - 1
2 Sin x + 1
fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
Sin x - 1 periyodu = 2/ = 2/ = T1
1
2Sin x + 1 periyodu = 2/ = 2/ = T2
1
1) Fonksiyonun periyodu (T1, T2)ekok = 2π
Grafi¤i [0, 2π] aras›nda çizmek yeterlidir.
2) 2 Sin x + 1 = 0 2 Sin x = -1
Sin x = - 1 = Sin ( / + / ) = Sin ( 7/ )
2
6
6
Ç = x | x = 7/ + 2k/ v x = ( / - 7/ ) + 2k/, k D z
6
6
k = 0 için
x1 = 7/
6
x2 = - / = 2p - / = 11/
6
6
6
x1 = 11 / ve x2 = 7 / da düﬂey asimptot vard›r.
6
6
61
MATEMAT‹K 8
3) x = 0 için y = -1
y = 0 için Sin x - 1 = 0 Sin x = 1 Sin x = Sin / x = / dir.
2
2
x = π için y = -1
x = 2π için y = -1 dir.
Cos x . ( 2 Sin x + 1) - 2 Cos x . (Sin x - 1)
3 Cos x
(2 Sin x + 1)
(2 Sin x + 1) 2
yv = 0 3 Cos x = 0 Cos x = 0 Cos x = Cos / + k/
2
x = / + k/ dir.
2
k1 = 0 için x1 = / , k2 = 1 için x2 = 3/
2
2
y1 = 0 , y2 = 2 dir.
4) yv =
2
=
O hâlde / ,0 ve 3/ ,2 noktalarında maksimum ve minimum vardır.
2
2
5)
x
0
y´
y
+
-1
π
/
2
0
0
max.
-
-1
7/
6
3/
2
0
0
-∞ +∞
0
2
11/
6
0 +
0
+∞ -∞
2π
+
-1
min.
Tablonun Okunmas› : (0,1) noktas›ndan baﬂlayan fonksiyon / ,0 maksimum
2
noktas›na u¤rayarak (/,-1) noktas›ndan geçer ve x=7/ düﬂey asimptoduna yakla6
7/
7/
, +' dan baﬂlayan fonksiyon (x= düﬂey asimptodun pozitif
ﬂ›r. Sonra
6
6
yönünden) 3/ , 2 minimum noktas›ndan geçerek 11/ , +' do¤ru yaklaﬂ›r. Burada
2
6
x=11/ düﬂey asimptotdur. Daha sonra 11/ , -' bölgesinden baﬂlayan fonksiyon
6
6
11/
x=
, düﬂey asimptodu da negatif yönde te¤et çizerek (2/, -1) noktas›ndan
6
geçerek e¤ri çizer.
62
MATEMAT‹K 8
6)
63
MATEMAT‹K 8
ÖRNEKLER
Türev kurallar›ndan yararlanarak aﬂa¤›daki ifadelerin tan›ml› oldu¤u yerlerde,
türevlerini bulunuz.
1- y = x3 . x
v
v
Çözüm : Çarp›m›n türevini hat›rlayal›m ve, yv = (x3) x + x3 . ( x)
2
3
3
3
3
= 3x2 . x + 1 x3 = 3x x + x = 6x + x = 7x
1
2x
2x
2x
2x
(2 x) (1)
2- y = (x - 1) x
3
v
v
Çözüm : yv= (x - 1) . ( x ) + ( x ) (x - 1)
3
3
3
= 1 . x ) + x3 - 1 =
3 x2
3
Not: Yukar›da x
3
x
+ x3 - 1 = 3 x 3 + x - 1 = 4x3 - 1
1
3 x2
3 x2
3 x2
3
(3 x2 )
(1)
3
in türevinin
3
1
3
3 x2
oldu¤unu görünüz.
2
3- y = x - 1
1 + 2x
Çözüm : Bölümün türevini hat›rlayal›m ve;
(x2 - 1) v . (1 + 2x) - (1 + 2x) v (x2 - 1) (2x) . (1 + 2x) - (2) (x2 - 1)
yv =
=
(1 + 2x) 2
(1 + 2x) 2
2
2
2
= 2x + 4x - 2x + 2 = 2x + 2x + 2
2
(1 + 2x)
(1 + 2x) 2
4- f(x) = x . | x |
ise f´(2) = ?
Çözüm : Önce verilen ifadeyi parçal› fonksiyon olarak yapmakta fayda var.
x x =
x . x,
-x(x),
f´(2) = 2 . 2 = 4
64
x ≥ 0 ise
x < 0 ise
f v (x) =
2x,
-2x,
x*0
x<0
MATEMAT‹K 8
5- f: R A R, f(x) = mx3 fonksiyonun x0 = 1 noktas›ndaki te¤eti yatayla 60° lik aç›
yapt›¤›na göre m nin de¤eri nedir?
Çözüm : f(x) = mx3
f´(x) = 3mx2
Te¤etin e¤imi,
mt = tan 60° = 3
x0 =1 ise mt = f´(1) = 3m(1)2
3 = 3m
m= 3
3
6- f(x) = 1 x2 + mx fonksiyonun üzerindeki x0 = -3 noktas›ndaki te¤eti OX ekseninin
2
pozitif yönüyle 135° lik aç› yapt›¤›na göre m = ?
Çözüm : f(x) = 1 x2 + mx
2
mt = fv(x) = x + m fv(x0) = -3 + m
mt = Tan 135 = -Tan 45° = -1
-1 = -3 + m
m=2
➯
Tan 135 = -Tan 45 niçin eﬂit oluyor. Trigonometri bilgilerinizi gözden geçirin.
7- f(x) = kx3 + (k - 1) x2 + k - 2 (k D R) fonksiyonunun x0 = 2 noktas›ndaki te¤eti
4x + 3y = 0 do¤rusuna dik oldu¤una göre k = ?
Çözüm : f(x) = kx3 + (k-1) x2 + k - 2
f´(x) = 3kx2 + 2(k -1) x
mt = f´(2) = 3k (4) + 2 (k - 1) 2
mt = f´(2) = 16k - 4
3 = 16k - 4
4
k = 19
64
t d : d: 4x + 3y = 0
md = -a = -4
b
3
diklik ﬂart›na göre
mt = 3
4
(Çünkü md . mt = -1 idi.)
65
MATEMAT‹K 8
8- y = x2 + 4x - 6 fonksiyonun x0 = 2 noktas›ndasi te¤etinin denklemi nedir?
y = x2 + 4x - 6
Çözüm : x0 = 2
y0 = 22 + 4(2) - 6
y´= 2x + 4
y0 = 4 + 8 - 6 = 6
mt = 2(2) + 4 = 8
te¤et denklemi
y - y 0 = m t ( x - x0)
oldu¤undan, yukar›da bulunanlar› yerine yazarsak,
y - 6 = 8 (x - 2)
y = 8x - 10
9- y = x ise yvvv = ?
1
Çözüm : y = x2
-1
yv = 1 x 2
2
-3
yw = -1 x 2
4
-5
ywv = 3 x 2 = 3
8
8 x5
10- y = 2x
1+x
Çözüm : yv =
ise
ywv = ?
2(1 + x) - 1 (2x)
(1 + x)2
2
=
= 2 (1 + x)-2
o hâlde yv = 2 + 2x - 2x
2
2
(1 + x)
(1 + x)
yw = -4 (1 + x)-2 - 1 (1 + x)v
yw = -4 (1 + x)-3
yvvv = +12 (1 + x)-4 (1 + x)v
= +12 (1 + x)-4 =
66
12
(1 + x)4
MATEMAT‹K 8
11- y = x2 . Sin x
ise
y´= ?
Çözüm : y´= (x2)´ Sin x + x2 (Sin x)´
= 2x Sin x + x2 Cos x
➯
Yukar›da çarp›m›n türevini nas›l uyguland›¤› ve Sin x in türevinin Cos x oldu¤una dikkat ediniz.
12- y = Sec x
ise
Çözüm : y = Sec x =
➯
y´ = ?
1 yv = 0 - (-Sin x) (1) = Sin x = Sin x
1
Cos x
(Cos x)2
(Cos x)2 Cos x Cos x
= Tan x . Sec x
Sec x in türevini almak için
1
Cos x
yazd›k. Ayr›ca bölümün türevini kullanarak sonuca gittik.
13- y = x3 Cos x
Çözüm : y´= (3x2) Cos x + (-Sin x) x3 = x2 (3 Cos x - x Sin x)
14- f(x) = Sin x ise f v (/ ) = ?
x
2
(Cos x) x - 1 . Sin x xCos x - Sin x
=
x2
x2
/
x = için
2
/ Cos / - Sin /
2
2 = 0 - 1 = -4
/
fv ( ) = 2
/2
2
/2
/2
2
4
Çözüm : f v(x) =
Cos / = 0
2
/
Sin = 1
2
67
MATEMAT‹K 8
15- y = Cot x, x = t
Çözüm :
➯
3
2
ise
dy
=?
dt
dy dy
=
. dx =
dt dx
dt
= - Cosec2x . 3 t 2
2
1
1
2
3
= - Cosec x . t 2 = -3 . x3 . Cosec2x
2
2
1
Yukar›da de¤iﬂken de¤iﬂtirme metodu kullan›larak türev al›nm›ﬂt›r. Çünkü y, x e ba¤l›, x de t ye ba¤l›d›r.
16- y = u,
u= Cos 3x ise
dy
i bulal›m.
dx
dy dy
. du = 1 (-Sin 3x) = -3 Sin 3x
Çözüm : =
dx du
2u
dx 2 u
-3
Sin 3x
=
2 Cos 3x
➯
Yukar›da de¤iﬂken de¤iﬂtirme metodu kullan›ld›.
17- x . y = (x + y)2 kapal› fonksiyonu veriliyor
Çözüm : d (xy) = d (x + y)2
dx
dx
(1 . y + xyv) = 2(x + y) (1 + yv)
y + xyv = 2(x + y) + 2(x + y) . yv
xyv - 2(x + y) . yv = 2 (x + y) -y
yv(-x - 2y) = 2x + y
yv =
2x + y
2x + y
=-x -2y
x + 2y
dy
2x + y
=dx
x + 2y
68
dy
=?
dx
➯
(x e ve y ye göre türev al›n›yor.)
(Da¤›tma iﬂlemine dikkat edin.)
(y´ lerin eﬂitli¤in sol taraf›na
ald›k. Çünkü y´ yaln›z b›rak›lmal›.)
MATEMAT‹K 8
18- x2y3 - 2xy2 + 6 = 0 kapal› fonksiyonuna göre
dy
=?
dx
3
2
Çözüm : (2xy + 3x y2 yv) - 2 (1 . y2 + 2yyv . x) = 0
2xy3 + 3y2x2yv - 2y2 - 4xy . yv = 0
(3y2x2 - 4xy) yv = 2y2 - 2xy3
dy 2y2 - 2xy3
=
dx 3y2x2 - 4xy
19-
➯
(x e ve y ye göre türevler ayr›
ayr› al›nd›.)
(y´ lere ba¤lanan ifadeleri eﬂitli¤in sol taraf›na alarak yaln›z
b›rakt›k.)
2
x2 + y = 1 kapal› fonksiyonuna göre dy = ?
dx
4 3
Çözüm : 3x2 + 4y2 = 12
d (3x2) + d (4y2) = d (12)
dx
dy
dx
➯
(Payda eﬂitledik, içler d›ﬂlar
çarp›m› yapt›k.)
6x + 8yyv = 0
3x + 4yyv = 0
dy - 3x
=
dx 4y
20- y = ln (lnx) ise
dy
=?
dx
1
(lnx)v
= x = 1
Çözüm : yv =
lnx xlnx
lnx
➯
(ln f(x) in türevi =
f v (x)
dir.
f(x)
69
MATEMAT‹K 8
21- y = log2 (5x2) ise
dy
=?
dx
2
dy (5x )v . log2e 10x
2 log e
=
= 2 log2e = x 2
Çözüm :
2
dx
(5x )
5x
➯
Log a f(x) in türevi =
2
22- y = e x ise
Çözüm :
➯
f v (x)
Logae dir.
f(x)
dy
=?
dx
2
dy
= (x 2)v e x2 = 2xex
dx
e f(x) in türevi fv (x) e f(x) dir.
2
23- y = e Cos x ise
Çözüm :
dy
=?
dx
dy
2
= (Cos x2)v e Cos x
dx
2
= -2x Sin x2 e Cos x
2
24- y = e lnx ise yv = ?
Çözüm : y = e lnx = (lnx2)v e lnx
2
= 2x . x2 = 2x
x2
70
2
Not : e lnx = x
2
e lnx = x 2
MATEMAT‹K 8
25-
x-y
= 2 fonksiyonuna üzerindeki (3, 1) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin
x - 2y
denklemlerini bulunuz.
x-y
=2
x - 2y
x - y = 2x - 4y
Çözüm : x0 = 3
y0 = 1
Te¤etin denklemi
y - y0 = mt (x - x0)
y - 1 = 1 (x - 3)
3
3y - x = 0
3y = x
y=x =1 x
3 3
dy 1
=
dx 3
mt = 1
3
mt . MN = -1 oldu¤undan
Normalin denklemi
y - y0 = MN (x - x0)
y - 1 = -3 ( x - 3)
y = -3x + 10
MN = -3
26- f(x) = -x3 + 3x + 1 fonksiyonun artan veya azalan oldu¤u, aral›klar› belirtiniz; varsa
ekstremum noktalar›n› bulunuz.
Çözüm : f´(x) = -3x2 + 3
x
-∞
-1
= -3x2 + 3 = 0
f´(x)
-
-3x2 = - 3
f(x)
Azalan
x2 = 1
1
+∞
+
0
-
-1 Artan
3
0
min.
Azalan
max.
x=±1
f(-1) = -(-1)3 + 3(-1) + 1
= +1 -3 + 1 = -1
f(1) = -(1)3 + 3(1) + 1
=3
71
MATEMAT‹K 8
2 - x fonksiyonunun artan veya azalan oldu¤u aral›klar› belirtiniz;
27- f(x) =
3x + 2
varsa ekstremum noktalar›n› bulunuz.
➯
Rasyonel fonksiyonlarda ekstremum noktalar›n› bulmak için payday› s›f›r yapan de¤er aran›r.
Çözüm : 3x + 2 = 0
x=-2
3
(-1) (3x + 2) - (3) (2 - x) -3x - 2 - 6 + 3x
-8
=
=
<0
fv(x) =
(3x + 2)2
(3x + 2)2
(3x + 2)2
fonksiyon daima azalan çünkü,
-2
3
-∞
x
f´(x)
-
1
f(x) - 3
0
f´ (x) < 0 d›r.
+∞
-1
3
-
28- f(x) = 8x4 - 16x2 fonksiyonun iç bükeylik yönünü inceleyiniz, varsa bükülme
noktalar›n› bulunuz.
Çözüm : y = 8x4 - 16x2 ise y´= 32x3 - 32x
y´´= 96x2 - 32
y´´= 0 dan,
x
96x2 -32 = 0
y´´
96x2 = 32
x2 = 32 = 1
96 3
x1 = - 1 ve x2 =
3
72
- 1
3
-∞
+
0
-
1
3
+∞
0
+
y
D.N.
1
3
D.N.
MATEMAT‹K 8
29- y =
1
fonksiyonun asimptotlar›n› bulunuz.
x-1
Çözüm : Paydas› : x - 1 = 0
x = 1 düﬂey asimptot
1 = 1 =0
x
-1
'
y A ±'
lim y = lim
y A ±'
Yatay asimtot
30- y =
y=0
x3 + 1 fonksiyonun asimptotlar›n› bulunuz.
x+2
Çözüm : Paydas› : x + 2 = 0
x = -2 düﬂey asimptot
3
lim y = lim x + 1 = +'
x+2
y A ±' y A ±'
x 3 + 1 = x2 - 2x + 4 - 7
x+2
x+2
x3 + 1
+- x3 +- 2x2
-2x + 1
± 2x2 ± 4x
4x + 1
+- 4x +- 8
-7
2
x+2
x2 - 2x + 4
y = x2 - 2x + 4 e¤ri asimptot.
➯
Polinom bölmesini hat›rlay›n›z.
31- y = x + x1 fonksiyonun asimptot denklemini bulunuz.
Çözüm : y = x2 + 1
x
Payda x = 0 düﬂey asimptot
lim y y = '
y A ±'
x2 + 1 x
____
x2
x
0 +1
y = x e¤ik asimptot
73
MATEMAT‹K 8
32- y = -x2 + 6x - 5 fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm : 1) Polinom ﬂeklinde fonksiyon oldu¤undan tan›m kümesi R dir.
2) lim y = - (-') 2 = -'
y A -'
lim y = - (') 2 = -'
y A +'
3) x = 0 için y = -5
x
-∞
0
1
3
5
+∞
y´
+
+
+
0
-
-
y
-∞
0
4
max.
0
-∞
4) y = 0 için x1 = 5
x2 = 1
5) y´= -2x + 6
-2x + 6 = 0
x=3
6)
33- y = x3 - x2 + 4x fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm :
1) Tan›m kümesi R
2) lim y = - (-')3 = -'
y A -'
lim y = - (')3 = '
y A +'
74
-5
MATEMAT‹K 8
3) x = 0 için y = 0
5)
y = 0 için x3 - x2 + 4x = 0
x( x2 - x + 4) = 0
x=0
x
-∞
y´
+
y
-∞
0
+
+∞
+
+
+
0
+∞
x2 - x + 4 = 0 Reel kök yok
4) y´= 3x2 - 2x + 4 = 0 ise reel kök yok.
6) y´´= 6x - 2 = 0 ise x = 1
3
-∞
x
y´´
+
-∞
y
34- y = x - 1
x+1
1
3
+∞
0
+
+∞
D.N.
fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm
1) Payda x + 1 = 0
x = -1
Tan›m kümesi R - {-1}
2) x = -1 için y = ∞
x = -1 düﬂey asimptot
3) lim y =1 y=1 yatay asimtot.
y A ±'
4) x = 0 için y = -1
y = 0 için x = 1
5) yv =
x
2
>0
(x + 1)2
-∞
y´
y
+
+1
-1
0
1
+∞
0
0
+
+
+
+∞ -∞
-1
0
+1
75
MATEMAT‹K 8
35- y = 3x - 2 fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
x-1
Çözüm :
1) x = 1
Tan›m kümesi : R-{1}
2) x = 1 düﬂey asimptot.
3) lim y = 3 yatay asimtot.
y A ±'
4) y = 0 için x = 2
3
5) yv =
6)
76
-1 < 0
(x - 1)2
x
-∞
0
2
3
1
y´
-
-
-
0
0
y
3
2
0 -∞
+∞
+∞
+3
MATEMAT‹K 8
2
36- y = x - x fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
x-2
Çözüm
1) Payda x - 2 = 0 x = 2
Tan›m kümesi
R- {2}
2) x = 2 düﬂey asimptot.
3)
lim y = ±'
y A ±'
4)
x2 - x
+ x2 ± 2x
x
- x±2
2
x-2
x+1
y = x + 1 e¤ik asimptot.
5) x = 0 için y = 0 = 0
-2
y = 0 için x = 0 ve x = 1
2
x
6) yv = x - 4x + 2 = 0
2
(x - 2)
y´
x2 - 4x + 2 = 0
x1 = 2 + 2
x2 = 2 - 2
y
-∞
0
x2
1
2
+
+
0
-
0
0
-∞
0
y2
0
-∞
+∞
x1
+∞
0
+
y1
+∞
77
MATEMAT‹K 8
ÖZET
Türevin tan›m› yap›larak bir noktadaki türev ifade edildi.
Sa¤dan ve soldan türev tan›mland›.
Türev kurallar› verildi.
Ters, parametrik ifadelerde türev ve kapal› fonksiyonlar›n türevleri verildi.
Ard›ﬂ›k türevler tan›t›ld›.
Trigonometrik fonksiyonlar›n türevi tan›t›ld›.
Ters trigonometrik fonksiyonlar›n türevi tan›t›ld›.
Logaritma ve üstel fonksiyonlar›n türevi tan›t›ld›.
L’Hospital kural› tan›t›ld›.
Te¤etin e¤imi ve normalin denklemi tan›t›ld›.
H›z, ivme gibi ifadelerin türevle iliﬂkisi verildi.
Özel tan›ml› fonksiyonlar›n türevi tan›t›ld›.
Türevlenebilirlik ve sürekli olmas› verildi.
Estremum de¤er ifadesi tan›t›ld›.
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalar› aç›kland›.
Rolle ve ortalama de¤er teoreminin tan›mlar› yap›ld›, ne iﬂe yarad›¤› örneklerle
gösterildi.
‹kinci türevin geometrik anlam› verildi.
‹kinci türev yard›m›yla e¤rinin konveks ve konkav oldu¤u aral›klar› bulma verildi.
Maksimum ve minimum problemlerinin türev yard›m›yla çözülmesi gösterildi.
Fonksiyonlarda asimptot bulma gösterildi.
Grafik çizimleri gösterildi.
78
MATEMAT‹K 8
✎
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ ( 1 )
1) f(x) = | x3 - 8 | - x2 oldu¤una göre f´´(-1)’in eﬂiti aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) -8
B) -4
C) 2
D) 4
2) f(x) = ln (x2 -2x + 7) fonksiyonun türevi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A)
2x - 2
x2 - 2x + 7
C) 2x - 2
B)
x-2
x2 - 2x + 7
D)
x2 - 2x
ln (x2 - 2x)
3) f(x) = Cos x fonksiyonu ve [0, / ] aral›¤› veriliyor.
2
f (/ ) - f(0)
ﬂart›n› sa¤layan u say›s› aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
f v(u) = 2 /
2
A) Arc Sin π
B) Arc Cos 2
/
C) Arc Sin /2
D) Arc Sec /2
4) x = t 3 + 3t
y = t 3 - 3t
A) 1
6
olursa t = 1 için
B) 1
5
C) 1
4
d2y
nin de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
dx2
D) 1
3
79
MATEMAT‹K 8
2
5) y = x - ax - 8
fonksiyonun gösterdi¤i e¤rinin y eksinini 8 de kesmesi ve y=x-1
x-b
do¤rusunu e¤ik asimtot kabul etmesi için a n›n de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisi olmal›d›r?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
6) y = ax + 2 e¤risinin yatay ve düﬂey asimptotlar›n›n kesim noktas› (-2, 3)
bx + c
oldu¤una göre ac nin de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) 3
2
B) 2
C) 3
D) 4
7) y = 2 ve x = 3 do¤rular›n› asimptot kabul eden ve y eksenini -2 noktas›nda kesen
e¤rinin denklemi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 3
x+5
B) y = 2x + 6
x+3
C) y = 2x + 6
x-3
D) y = x - 3
x+6
8) y = x3 + bx2 + cx - 1
fonksiyonunda apsisi x = 1 olan nokta dönüm noktas›d›r.
Fonksiyonun bu noktadaki te¤etinin e¤imi (+1) oldu¤una göre c’nin de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
9) f(x) = mx2 + (m + 1)x + m - 1 fonksiyonun x = -3 de bir minimumu oldu¤una göre
4
m kaçt›r?
A) 1
80
B) 2
C) 3
D) 4
MATEMAT‹K 8
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹ (1)
3
3
1) x= -1 de x - 8 = -x + 8
f(x)= - x3 + 8 - x2
fv(x) = - 3x2 +0 - 2x
fw(x)=-6x-2
fw(-1)= -6 . (-1) -2
=+6 - 2
=4
Do¤ru cevap D
2) f v(x) =
2x - 2
x2 - 2x + 7
Do¤ru cevap A
3) f v(x) = - Sin x
Cos / - Cos 0
2
2
f v(u) = - Sin u =
= 0 /- 1 = - /2 -Sin u = -2
/
/ Sin u = /
2
2
u = Arcsin /2 bulunur.
Do¤ru cevap C
dy
2
2
dy dt
=
= 3t - 3 = t - 1 = z olsun.
4)
dx dx 3t 2 + 3 t 2 + 1
dt
dz
d2y dz dt 2t (t 2 + 1) - 2t (t 2 - 1
4t
=
=
=
=
2
2
3
2
dx dx
dx
3(t + 1)
3(t + 1) 3
dt
t = 1 için
d2y
4.1
nin de¤eri
= 4 = 4 = 1 dir.
dx2
3(t 2 + 1) 3 3 . 23 24 6
Do¤ru cevap A
81
MATEMAT‹K 8
5) x = 0 için y = 8 olmal›d›r. Buradan b= 1 bulunur.
y = x-1 do¤rusunu e¤ik asimptot kabul etmesi için
2
(x-1) + k = x - ax - 8
x-1
x-1
2
2
x -2x+1+k = x -ax-8
x-1
x-1
2
x - 2x + 1 +k = x2 - ax - 8 ise
a = 2 olmal›d›r.
Do¤ru cevap C
yatay asimptot.
6) y = lim ax + 2 = a
b
y A ±' bx + c
x = - c düﬂey asimptottur.
b
y = a = 3 a = 3b
b
ac = 3b = 3 dir.
x = - c = -2 c = 2b
2b 2
b
Do¤ru cevap A
7) y = 2x + 6 d›r.
x-3
x-3=0 ise x=3
lim 2x+6 = 2
x A ' x-3
x = 0 için
y = 2 . 0 +6 = 6
0-3
-3
= -2
Do¤ru cevap C
8) yv = 3x2 + 2bx + c = m
yw = 6x + 2b = 0 x = - 2b = - b 1 = - b b = -3
6
3
3
m = 3 . 12 + 2 . b . 12 + c = 3 + 2b + c
1 = 3 + 2 . (-3) + c c = 4 bulunur.
Do¤ru cevap D
82
MATEMAT‹K 8
9) f v(x) = 2mx + (m + 1) = 0 x = - m + 1 - 3 = - m + 1
2m
4
2m
f w(x) = 2m > 0 olmal›d›r.
6m = 4m + 4
f w(- 3 ) = 2 . 2 = 4 > 0 d›r.
4
2m = 4 m = 2
Do¤ru cevap B
83
MATEMAT‹K 8
ÜN‹TE II
‹NTEGRAL
‹ntegralin tan›m›
‹ntegral alma yöntemleri
Basit fonksiyonlar›n integralleri
Rasyonel ifadelerin integrali
Trigonometrik de¤iﬂken de¤iﬂtirme
E¤ri alt›nda kalan bölgenin alan›
Belirli integral
‹ki e¤ri ile s›n›rlanan bölgenin alan›
Örnekler
Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas›
MATEMAT‹K 8
☞
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
☞
Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde)
‹ntegral hesab›n niçin gerekli oldu¤unu ö¤renecek.
S›n›rl› ve s›n›rs›z fonksiyonlar› tan›yarak, herhangi bir fonksiyonun s›n›rl› ya
da s›n›rs›z olup olmad›¤›n› söyleyecek.
De¤iﬂken de¤iﬂtirme kural› ile integral almay› ö¤renecek.
K›smî integral alma kural› ile integral almay› ö¤renecek.
Basit fonksiyonlar›n integrallerinin nas›l al›naca¤›n› ö¤renecek.
Basit kesirlere ay›rma yöntemi ile integral almay› ö¤renecek.
Trigonometrik de¤iﬂken de¤iﬂtirme yöntemi ile integral almay› ö¤renecek.
Basit fonksiyonun ilkelini ö¤renecek.
E¤ri alt›ndaki alan› hesaplamak için parçalama yöntemini ö¤renecek.
Belirli integral tan›m›n› kavrayacak.
‹ntegralin 1. temel teoremini ö¤renecek.
‹ntegralin 2. temel teoremini ö¤renecek.
Daha basit teknik olan, e¤ri alt›ndaki kalan bölgenin alan›n› integral ile
çözmeyi ö¤renecek.
‹ki e¤ri ile s›n›rl› bölgenin alan›n› integral ile çözmeyi ö¤renecek.
Dönel cisimlerin hacimleri için integral kullanma yöntemini ö¤renip, dönel
cisimlerin hacimlerini hesaplayabileceksiniz.
☞
*
*
*
*
BU BÖLÜM NELER‹ AMAÇLIYOR?
NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?
☞
Türev konusunu ö¤renmeden, integral konusunu çal›ﬂmaya baﬂlamamal›s›n›z.
Tan›mlar› çok iyi kavray›p örnekleri özümseyiniz.
Teoremleri çok iyi kavramal›s›n›z.
‹ntegral formüllerinin tamam›n› ezberlemelisiniz. Bolca örnek çözün, hangi
soruda nas›l bir formül kullanaca¤›n›z› belirlemelisiniz.
* ‹ntegral alma kurallar›n› ö¤renmelisiniz.
* Çözülen örnekleri siz de çözün. E¤er çözemiyorsan›z hatan›z› aray›n, hatan›z›
bulduktan sonra baﬂtan çözmeye çal›ﬂ›n.
* Yazarak çal›ﬂmay› unutmay›n.
86
MATEMAT‹K 8
ÜN‹TE II.
‹NTEGRAL
Türev kavram›n›n bir e¤riye üzerindeki bir noktadan çizilen te¤etin e¤iminin
bulunmas› probleminden ortaya ç›kt›¤›n›, türev bir de¤iﬂim oran› oldu¤undan
hareket eden cisimlerin h›z ve imeleri ya da buna benzer problemlerin çözümünde
kullan›l›r. ‹ntegral kavram›na geometrik bir anlam vermek gerekirse baz› düzgün
olmayan bölgeler alanlar›n›n bulunmas› probleminden ortaya ç›kt›¤›n› söyleyebiliriz.
‹ntegral, hareket problemleri, dönel cisimlerin hacimleri, iﬂ, kütle, kütle merkezi ve
eylemsizlik momenti bulunmas›; di¤er bilim dallar› ile ilgili pek çok problemlerin
çözümünde kullan›l›r.
\
Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x) in bir ilkel fonksiyonu veya integral
denir.
S›n›rl› fonksiyonlar :
ER ve f:E A R bir fonksiyon olsun. f(E) görüntü kümesi f(E) R dir. f(E) nin
s›n›rl› ya da s›n›rs›z oldu¤unu inceleyelim.
ER ve f:E A R bir fonksiyon olsun.
x D E için
a) f(x) ≤ M olacak ﬂekilde MDR varsa, f fonksiyonu üstten s›n›rl›,
b) f(x) ≥ m olacak ﬂekilde mDR varsa, f fonksiyonu alttan s›n›rl›,
c) m ≤ f(x) ≤ M olacak ﬂekilde m, MDR say›lar› bulunabilirse, f fonksiyonu
hem alttan hem de üstten s›n›rl› ya da yaln›zca s›n›rl›d›r denir.
Örnekler :
Aﬂa¤›daki tan›m ve de¤er kümesi ile verilen fonksiyonlar›n s›n›rl›l›k durumlar›n›
inceleyelim.
1. f:R A R, f(x) = x2+3 fonksiyonu verilsin.
xD R için x2 ≥ 0 ve x2+3 ≥ 3 f(x) ≥ 3 oldu¤undan f fonksiyonu alttan s›n›rl›d›r.
En büyük alt s›n›r› 3’tür.
2. f:R A R : f(x) = -3x2+4 fonksiyonu verildi¤ine göre;
xD R için x2 ≥ 0 -3x2 ≤ 0 ve -3x2 + 4 ≤ 4 f(x) ≤ 4 dür. Fonksiyon üstten
s›n›rl›d›r. f’nin en küçük üst s›n›r› 4 olur.
3. f:[-2, 4] A R, f(x) = 2x2 + 1 ise
xD [-2, 4] için -2 ≤ x ≤ 4 A 4 ≤ x2 ≤ 16 8 ≤ 2x2 ≤ 32 9 ≤ 2x2 + 1 ≤ 33 dür
87
MATEMAT‹K 8
9 ≤ f(x) ≤ 33 olup f fonksiyonu alttan ve üstten s›n›rl›d›r.
4. f : (0, / ] A R, f(x) = 1 ise
2
Sinx
/
xD (0, ] için 0 < Sinx ) 1 dir.
2
Sinx A 0 için 1 her pozitif reel say›dan daha büyük olur.
Sinx
xD (0, / ] için f(x) = 1 ) M olacak ﬂekilde bir MDR bulunamaz.
2
Sinx
O halde, f(x) = 1 verilen tan›m aral›¤›nda üstten s›n›rl› de¤ildir.
Sinx
5. f : R A R ; f(x) = |x| -1 fonksiyonu verilsin.
xDR için |x| ≥ 0 |x| -1 ≥ –1 f(x) ≥ -1 dir f fonksiyonu alttan s›n›rl›d›r.
6. f : ( 5 , 9 ] A R ; f(x) = [ |x| ] 2 + 2 fonksiyonu verilsin.
8 4
xD ( 5 , 9 ] için 0 ≤ [ |x| ] ≤ 2 0 ≤ [ |x| ] 2 ≤ 4
8 4
2 ≤ [ |x| ] 2 + 2 ≤ 6 2 ≤ f(x) ≤ 6 f fonksiyonu s›n›rl›d›r.
Örnekler :
1. a) f:R A R , f(x) = x2+ Sinx fonksiyonunun alttan s›n›rl› oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm :
xDR için x2 ≥ 0 ve xDR için -1 ≤ Sinx ≤ 1
-1 ≤ x2 + Sinx -1 ≤ f(x) fonksiyon alttan s›n›rl› ve alt s›n›r› 1’dir.
1. b) f:R A R ; f(x)= -3|x| +1 fonksiyonunun üstten s›n›rl› oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm :
xDR için |x| ≥ 0
-3|x| ≤ 0 -3|x| +1 ≤ 1
f(x) ≤ 1 fonksiyon üstten s›n›rl› ve üst s›n›r› 1 dir.
88
MATEMAT‹K 8
2. a) f: [0, 5] A R ; f(x) = x2 -5x +4 fonksiyonunun s›n›rl› oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm :
f:(x) = x2 -5x +4 = (x - 5 ) 2 - 25 + 42 ≤ (x -5 ) 2 - 9
2
4
2
4
xD 0, 5 için f(0) = f(5) = 4 oldu¤undan
f(x) = (x - 5 ) 2 - 9 parabolünün tepe noktas›
2
4
fonksiyonun minumum noktas›d›r.
-9/4 ≤ f(x) ≤ 4
f fonksiyonu
s›n›rl›d›r.
2. b) f:R A R ; f(x) = 4+3. Sinx fonksiyonunun s›n›rl› oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm :
xDR için -1 ≤ Sinx ≤ 1 -3 ≤ Sinx ≤ 3
1 ≤ 4+3 Sinx ≤ 7 1 ≤ f(x) ≤ 7 f s›n›rl›d›r.
3. a) f:R A R ; f(x) = x2 -2x +1 fonksiyonunun alttan s›n›rl› oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm :
f(x) = (x-1)2
; xDR için (x-1)2 ≥ 0 f fonksiyonu alttan s›n›rl›d›r.
3. b) f: [-1, 3] A R ; f(x) = e2x fonksiyonunun s›n›rl› olup olmad›¤›n› bulunuz.
Çözüm :
f' (x) = 2e2x > 0 oldu¤undan f artan bir fonksiyondur.
xD -1, 3
için e-2 < f(x) < e6 f s›n›rl›d›r.
89
MATEMAT‹K 8
‹NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER‹
I. De¤iﬂken De¤iﬂtirme Yöntemi
Örnekler :
1.
(5x2+3x+8) 15.(10x+3)dx integralini bulunuz.
5x2+3x+8 = u diyelim.
(10x+3) dx = du
16
u15 du = u + c'
16
(5x2+3x+8) 15 (10x+3) dx =
u
du
=
2.
(5x2+3x+8) 16
+ c'
16
Sin5x. Cosx dx = ?
Sinx = u diyelim.
Cosx dx = du
6
u5 du = u + c' =
6
Sin5 x. Cosx dx =
1 Sin6 x+c'
6
2x dx = ?
x2 -1
-1 +x2 = u diyelim.
3.
2x dx =
x2-1
4.
du = ln |u|+c = ln |x2-1|+c
u
3
e x +1 . 3x2 dx = ?
x3+1 = u diyelim.
e x3+1.3x2 dx =
90
2x dx = du
3x2 dx = du
e u du = e u +c= e x3+1+c'
MATEMAT‹K 8
5.
8x dx = ?
1-16x4
4x2 = u diyelim. 8x dx = du
8x dx =
1-(4x2 ) 2
du = Arc sinu +c'
1-u2
= Arc sin (4x2)+c'
6.
6xdx = ?
9x4+4
3x2 = u diyelim.
6x dx = du
du = Arctg u+c' = Arctg (3x2)+c1
u2+1
7.
dx
=
x2+4x +5
x+2 = u diyelim.
dx
=
(x+2) 2+1
dx
=?
(x+2) 2+1
dx = du
du = Arctg u+c'
u2+1
= Arctg (x+2) +c'
8.
du = ?
a 2-u2
u = a sin t
diyelim.
du = a cost dt
du =
a 2-u2
a cost dt =
a 2-a 2Sin2t
a Cost dt = t+c'
a Cost
= Arc Sin u
a + c' dir.
u
u = a sin t sint = u
a t = Arc sin a
91
MATEMAT‹K 8
4x. 2x2+5 dx =?
9.
2x2+5=u , du = 4x dx
4x 2x2+5 dx =
=2
3
u3 +c = 2
3
u1/2 du
(2x2+5) 3 +c'
Sin2x dx = ? ,
10.
u du =
cos 2x dx = ?
Sin2 x = 1-Cos2x
2
Cos 2x = 1+Cos2x
2
Sin2 x dx =
1-Cos 2x dx = 1
2
2
(1- Cos2x) dx
2x =u
2dx = du
dx = du
2
1
2
Cosu du = 1 Sin 2x
2
=1
2
dx - 1
2
Cos 2 x dx =
Cos2x dx = 1 x - 1 Sin2x + c'
2
4
Cos2x +1 dx = 1
2
2
= 1 Sin2x + 1 x +c'
4
2
92
Cos2x dx + 1
2
dx
MATEMAT‹K 8
11.
Sin4 x Cos 3x dx = ?
Sin4 x Cos 3 x dx =
Sin4 x . Cos 2 x. Cos x dx =
Sin4x (1-Sin2x) Cos x dx =
Sinx = u diyelim
=
u4 du -

Sin4 x Cos dx -
Sin6 x Cosx dx
Cosx dx = du
5
7
u6 du = uu + u + c' =
7
1 Sin5 x + 1 Sin7x +c'
5
7
12.
tgx dx =
Sinx dx =?
Cosx
Cosx = u
- sinx dx = du
Sinx dx = Cosx
13.
Cotgx dx =
du = - ln |u| +c' = -ln |Cosx| +c'
u
Cosx dx ; Sinx = u
Sinx
Cosx dx = du
Cosx dx =
Sinx
du = ln |u| +c' = ln |Sinx| +c'
u
93
MATEMAT‹K 8
14.
Arctgx
dx = ? Arctg x = u du = dx 2
1+x2
1+x
Arctgx
dx =
1+x2
15.
2
udu = u + c' =
2
(Arctgx) 2
+c
2
Arc Sinx dx = ? arcsinx = u
1-x2
dx = du ;
1-x2
ArcSinx dx =
1-x2
udu = 1 u2+ c'
2
= 1 (ArcSinx) 2 + c'
2
16.
(2x+3).Sin (2x2+6x+1)dx =
1 (4x+6) Sin (2x2+6x+2) dx
2
2x2+ 6x+1 = u (4x+6) dx = du (2x+3) dx = du
2
=1
2
17.
Sinu.du = --1 . Cos u + c' = - 1 Cos (2x2+6x+1) +c'
2
2
e Sinx. Cosx dx= ?
Sinx = u Cosx dx = du
e Sinx .Cosx dx =
18.
(lnx) 2
dx =
x
3
u2 du = u +c' =
3
lnx = u 1 dx = du
x
94
e u du = e u + c = e sinx+ c'
(lnx) 3
+ c'
3
MATEMAT‹K 8
19.
➯
Sin4x dx = ?
Cos 2x = 1+Cos2x
2
2
(Sin2x) 2 = (1-Cos2x )2= 1-2Cos2x + Cos 2x
2
4
= 1 - Cos2x + 1 Cos 22x = 1 - Cos2x + 1 (1+Cos4x)
4
2
4
4
2
8
= 1 - Cos2x + 1 + 1 Cos4x = 1 - 1 Cos2x + 1 Cos4x
4
2
8 8
4 2
8
Sin4x dx =
= 1
4
1 - 1 Cos2x + 1 Cos4x dx
4 2
8
dx - 1 Cos 2x dx + 1
2
8
Cos 4x dx
= 1 x - 1 Sin2x + 1 Sin 4x + c'
4
4
32
20.
6x .e 3x 2+2 dx = ?
3x2+2 = u 6xdx = du
6x . e 3x 2+2 dx =
21.
e u du = e u +c' = e 3x 2+2 +c'
Cosx+e x dx = ?
Sinx+e x
Sinx + e x = u
(Cosx + e x) dx = du
Cosx+e x dx = ln |Sinx+e x|+c
Sinx+e x
95
MATEMAT‹K 8
22.
e xdx = ?
1+e 2x
u = e x du = e x dx
e xdx =
1+(e x) 2
23.
=
du = Arctgu + c = Arctg e x+c'
1+u2
Cos 4x . Sin3x dx =
Cos 4x Sinx dx -
Cos 4x . (1-Cos 2x) Sinx dx
Cos 6xSinx dx = -
u4du +
Cosx = u -Sinx dx = du
5
= - u + u 7 + c'
5 7
5
7
= - Cos x + Cos x + c'
5
7
24.
=
Sin6x . Cos 5x dx =
Sin6x (1-Sin2x) 2 . Cosx dx
Sin6x . (1-2Sin2x + Sin4x) Cosx dx
Sinx = u Cosx dx = du
=
u6 du - 2
u8 du +
7
11
u10 du = u - 2 u9 + u + c'
7 9
11
Sin7x - 2 Sin9x + 1 Sin11 x + c'
7
9
11
96
u6du
MATEMAT‹K 8
25.
Sin3x dx = -1
Cos3x
3
tg3x dx =
du = - 1 ln |u|
u
3
Cos3x = u -3Sin3x dx = du = - 1 ln |Cos3x| +c'
3
26.
dx
x2+6x+10
=
dx
=
(x+3) 2+1
du
u2+1
4 = x+3
du = dx
= Arctg u +c' = Arctg (x+3) +c'
27.
dx
=
1-(x+2)2
dx = Arc Sin u+c = Arc Sin(x+2) + c' dir.
1-u2
x+2 = u dx = du
28.
tgx
dx =
Cos 2x
tgx = u
29.
2
u du = u + c = 1 tg2 x+c'
2
2
1 dx = du
Cos 2x
e x . Sine x . Cose x dx =
2
udu = u +c
2
Sine x = u e x . Cose x dx = du
e x Sine x Cos xe dx =
(Sine x) 2
+ c'
2
97
MATEMAT‹K 8
30.
Sin3x dx =
Sin2 x . Sinx dx =
Cosx = u ise
=
- Sinx dx = du
3
2
Cos 2x Sinx dx = - Cosx + Cos x + c'= - Cosx + Cos x.Cosx + c'
3
3
Sinx dx -
= - Cosx +
2
'
(1- Sin2x) Cosx
+ c'= - Sin x Cosx - 2Cosx+ c
3
3
(x+1) . x2+2x+5 dx =
31.
(1-Cos 2x) Sinx dx
(x+1)
(x+1) 2 +4 dx
(x+1) 2 +4 = u 2(x+1) dx = du
=1
2
u du = 1
2
u1/2 du
3
= 1 u2 + c' = 1 u3 +c' = 1
2 3
3
3
2
32.
e 2x+1 dx =
ex
e x dx +
(x+1) 2 +4 +c'
e -x dx
-x = u
-dx = du ise
2. K›smi ‹ntegralleme Yöntemi
f, g bir [a, b] aral›¤›nda türevli iki fonksiyon olsun.
(f.g)' = f '.g+g' .f
f.g' = (f.g)' - f ' .g
f(x) = u, g(x) = V dersek
udv = u.v -
98
vdu *
e u du
= - e u +c'
= - e -x + c'
e x - e -x +c' = e x - 1x + c'
e
f(x). g' (x) dx = f(x) . g(x) -
e -x dx = -
g(x) . f ' (x) dx
MATEMAT‹K 8
Örnekler :
1.
ifadesini hesaplay›n›z .
x e x dx
Çözüm :
x.e x dx = x.e x u=x
du = dx
e x dx = xe x-e x+c'
e x. dx = dv
ex = v
* formülünde yerine koyal›m.
x ex dx = x. e x -
2.
x.Sinx dx
Çözüm :
e x dx =xe x-e x+ c'
ifadesini hesaplay›n›z .
Cosx dx = -x Cosx + Sinx + c'
x.Sinx dx = -x.Cosx +
u = x ; Sinx dx = dv
du = dx ; -Cosx = v
3.
x.lnx dx
Çözüm :
ifadesini hesaplay›n›z .
x.lnx dx = 1 x2 lnx 2
u = lnx
;
du = 1
x dx ;
1 x2.1 dx = 1 x2 lnx - 1 x2 + c'
2 x
2
4
dv = x dx
2
v=x
2
99
MATEMAT‹K 8
4.
e x .Cosx dx
ifadesini hesaplay›n›z .
Çözüm : u = e x ; dv = Cosx dx
du = e x dx ; v = Sinx
e x . Cosx dx = e x . Sinx -
= e x . Sinx - e x . Cosx +
e x . Cosx dx
e x . Cosx dx = e x (Sinx - Cosx) + c'
2

e x . Sinx dx
e x . Cosx dx = 1 e x (Sinx - Cosx) + c'
2
5. ln x dx
Çözüm :
ifadesini hesaplay›n›z .
ln x dx = x. ln x -
.x. 1
x dx = x . lnx -
dx = x ln x - x + c'
u = lnx ; dv = 1dx
1 dx = du ; v = x
x
6.
Arctgx dx
Çözüm :
ifadesini hesaplay›n›z .
Arctgx dx = x.Arctg x -
u = Arctg x
du = dx 2
1+x
; dv = 1dx
;
v=x
x. 1 dx
1+x2
= x.Arctgx - 1
2
2xdx
x2+1
= x.Arctgx - 1 ln |x2+1|+c'
2
= x.Arctgx - 1 ln(x2+1)+c'
2
100
MATEMAT‹K 8
7.
Sinx . Cosx dx
Çözüm : u = Sinx
du = Cosx dx
u . dv = u.v -
ifadesini hesaplay›n›z .
dv = Cosx dx
v = Sinx
vdu
Sinx Cosx dx = Sin2x-
Sinx Cosx dx 2
Sinx Cosx dx = Sin2x
Sinx Cosx dx = 1 Sin2 x + c'
2
8.
x 2 Cosxdx
Çözüm : u = x2
du = 2xdx
x2Sinx x2Sinx-2
ifadesini hesaplay›n›z .
dv = Cosxdx
v = Sinx
Sinx . 2xdx
x Sinxdx = x2 Sinx -x Cosx + Sinx + c'
101
MATEMAT‹K 8
9.
x 2 e x dx ifadesini hesaplay›n›z .
Çözüm : u = x2
du = 2xdx
dv = e x dx
v = ex
udv = uv -
vdu
x2e x dx = x2 e x = x2e x - 2
k›smi integrasyondan,
e x.2xdx
e x.xdx
xe xdx integrali için yine k›smi integrasyon uygulayal›m.
u=x
du = dx
dv = e x dx
v = ex
xe xdx = xe x -
e xdx
= xe x - e x + c
ﬁimdi yerine yazal›m.
x2e x dx = x2e x - 2 (xe x-e x+ c')
= x2e x -2x e x + 2e x + c' olarak bulunur.
102
MATEMAT‹K 8
BAS‹T FONKS‹YONLARIN ‹NTEGRALLER‹ VE ÖRNEKLER
1.
a dx = ax+c (aDR)
a)
2.
3.
2 dx = 2x+c'
n+1
+c' (n&- 1 )
x n dx = x
n+1
a)
2+1
3
3 x2 dx = 3. x +c = 3x +c = x3+c'
2+1
3
b)
3
4x2 dx = 4 x +c'
3
1 dx = ln |x| +c'
x
a)
Cosx dx =
Sinx
;
1
u du = ln |u| +c'
du = ln |Sinx| +c'
u
u = Sinx
du = Cosx dx
103
MATEMAT‹K 8
4.
e x dx = e x +c'
2
x ex dx = 1
2
a)
e u du = e u +c'
;
2
e u du =1 e x +c'
2
u = x2
du = 2x dx
du = x dx
2
b)
Sinx e Cosx dx = -
e u du = -e Cosx +c'
u = Cosx
du = - Sinx dx
- du = Sinx dx
5.
a x dx = 1 a x +c'
lna
a)
a u du =
;
1 au +c'
ln|u|
2x dx = 1 2x +c'
ln2
2
3x +2 . 2x dx =
a u du =
2+2
1
3x +c'
2
ln |x +2|
u = x2 +2
du = 2x dx
6.
Sinx dx = - Cosx +c
a)
x Sinx2 dx =
u = x2
du = 2x dx
du = x dx
2
104
;
Sin u du = - Cos u + c'
Sin u . du = 1
2
2
Sin u du
= -1 Cos x2 +c'
2
MATEMAT‹K 8
b)
Sin3 x dx = 1
3
Sin u du = - 1 Cos 3x + c'
3
u = 3x
du = 3 dx
du = dx
3
7.
Cosx dx = Sinx +c'
a)
Cos 2x dx =
du = 2 dx
du = dx
2
x2Cos x3 dx =
du = 3x2 dx
du = x2 dx
3
dx
=
Cos 2 x
a)
du = 2 dx
du = dx
2
Cos u du
Cos u. du = 1
3
3
S e c 2 x dx = tanx +c'
Sec2 2x dx =
u = 2x
Cos u. du = 1
2
2
Cos u du
= 1 Sin x3+c'
3
u = x3
8.
Cos u du = Sin u + c'
= 1 Sin 2x +c'
2
u = 2x
b)
;
Sec2 u . du = 1
2
2
S e c 2 u du = tan u +c'
;
Sec2 u du
= 1 tan 2x +c'
2
105
MATEMAT‹K 8
9.
dx
=
Sin 2 x
a)
C o s e c 2 x dx = -Cotx+c' ;
Cosecudu = -Cot u+c'
Cosec2 u. du = 1
3
3
Cosec2 3x dx =
Cosec2 u du.
= -1 Cot 3x +c'
3
u = 3x
du = 3 dx
du = dx
3
10.
dx = Arc tanx +c'
1+x 2
a)
dx =
1+9x2
du Arc tan u+c'
1+u2
;
dx
=
1+(3x) 2
du/3 = 1
1+u2 3
du
1+u2
= 1 arc tan3x+c'
3
u = 3x
du = 3 dx
du = dx
3
11.
tanx dx= -ln |Cosx|+c'
a)
tan2x dx= 1
2
u = 2x dx
du = dx
2
106
;
tan u du = -ln |Cosu|+c'
tan u du. = - 1 ln |Cos2x|+c
2
MATEMAT‹K 8
12.
Cotx dx = ln |Sinx|+c'
a)
Cot 3x dx = 1
3
;
Cot u du = ln |Sinu|+c'
Cot u du = 1 ln |Sin3x| +c'
3
u = 3x
du = dx
3
dx
= arc Sinx+c'
1-x 2
13.
a)
dx
=
1-4x2
;
du
1-u2
= arc Sinu+c'
du/2 = 1 arc Sin2x +c'
1-u2 2
u2 = 4x2 =(2x) 2
u = 2x
du = 2dx
du = dx
2
14.
du
u
=1
a arc tan a +c'
u2 +a 2
a)
dx = 1 arc tan x +c'
3
3
x2+9
u2 = x2
u=x
a2 = 9
a=3
107
MATEMAT‹K 8
15.
du
= 1
u2 -a 2
2a
u-a +c (E¤er u2 > a 2 )
log u+a
du = 1 log a-u +c
a+u
u2-a 2 2a
a)
16.
(E¤er u2 < a2)
2x dx = 1 log 3-2x +c'
2.3
3+2x
4x2 -9
u2 = 4x2
u = 2x
u2< a 2
a2 = 9
4<9
a=3
du
= arc Sin u
a +c'
2
2
a -u
dx = arc Sinx +c'
1-x2
a)
u2=x2 ise u = x
du = dx
a2 = 1
a=1
b)
2
= arc Sin 2x +c'
2
3
9-4x
u2=4x2 ise u = 2x
du = 2dx
a2 = 9
a=3
108
MATEMAT‹K 8
RASYONEL ‹FADELER‹N ‹NTEGRAL‹
Basit Kesirlere Ay›rma Yöntemi
P(x) = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn
Q (x)= b0 x0+b1 x1+b2 x2+...+ bm xm olmak üzere
P(x)
biçimindeki fonksiyonlara
Q(x)
rasyonel fonksiyon denir.
\
P(x)
ﬂeklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonda
Q(x)
paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük ise bu
kesir basit kesirdir. E¤er paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun
derecesinden büyük veya eﬂit ise, verilen kesrin pay›ndaki polinom
paydas›ndaki polinoma bölünerek verilen fonksiyon bir polinom ile basit
kesrin toplam› ﬂeklinde ifade edilir.
Yani, d p(x) * d Q(x) ise,
P(x)
K(x)
= B(x) +
ﬂeklinde yaz›l›r.
Q(x)
Q(x)
Örnek :
x3-4x2+x+3 = x-3+ -3
x2-x-2
x2-x-2
x4+5x3+8x2+5x+1 = x2+2x+
x
2
2
x +3x+2
x +3x+2
P(x)
dx =
Q(x)
B(x) dx+
K(x)
dx integralinde B(x) in integrali kolayca al›nabilir.
Q(x)
K(x)
in integralini almak için bir tak›m basit kesirlerin toplam› biçiminde yazmam›z
Q(x)
gerekir. Bu toplam› T(x) ile gösterirsek Q(x) in çarpanlar›n›n durumuna göre :
109
MATEMAT‹K 8
I. Durum :
Q(x) in çarpanlar› aras›nda (ax+b) gibi birinci dereceden çarpanlar varsa
K(x)
kesri A terimlerinin da¤›l›m› ﬂeklinde yaz›l›r.
Q(x)
ax+b
Örnek :
2x
ifadesini basit kesirlerine ay›ral›m.
(x-1) (x+1)
Çözüm :
2x
=
(x-1) (x+1)
(A+B) x+ A-B
A
+ B =
x-1
x+1
(x-1) (x+1)
(x+1)
(x-1)
2x= (A+B) x+ A-B Belirsiz katsay›lar teoremine göre (Belirsiz katsay›lar teoremi
iki polinomun eﬂit olabilmesi için ayn› dereceli terimlerinin katsay›lar› eﬂit olmal›d›r.
A+B = 2
A-B = 0

A+B = 2
A- B = 0
+
+
2A = 2 A = 1
ve B = 1
dir.
2x
= 1 + 1 bulunur.
(x-1) (x+1) x-1 x+1
II. Durum :
Q(x) in çarpanlar› aras›nda (ax+b) m biçiminde olanlar varsa bunlar›n her biri için
T(x) toplam›nda A1 + A2 2 +...+ Am m olarak ifade edebilece¤imiz
ax+b (ax+b)
(ax+b)
m - terim toplam› bulunur.
x+1 ifadesini basit kesirlerine ay›r.
(x-1) 3
A1 +
A2 +
A3 =
Çözüm : x+1 3 =
2
x-1
(x-1)
(x-1) 3
(x-1)
Örnek :
(x-1) 2
(x-1)
(1)
x+1 = (x2-2x+1) A1 + A2x-A2 +A3
x+1 = A1x2-2A1 x+A1+A2x-A2+A3
x+1= A1x2+(-2A1+A2)x+A1-A2+A3
A1 =0, A2-2A1= 1 ; A 1-A2+A3= 1
A1 = 0, A2= 1, A3 = 2
x+1 = 0 +
1
2
+
olarak basit kesirlere ayr›l›r.
x-1
(x-1) 3
(x-1) 2
(x-1) 3
110
MATEMAT‹K 8
III. Durum :
Q(x) in çarpanlar› aras›nda diskriminant› negatif olan her bir (ax2+bx+c) çarpan› için
T(x) toplam›nda bir tane
Ax+B terimi bulunur.
ax2+bx+c
x+2
ifadesini basit kesirlerine ay›r.
(x+1) (x2+x+5)
Çözüm :
1
- 1 x+1
x+2
A
=
+ Bx+c
= 5 + 5
(x+1) (x2+x+5)
x+1
x2+x+5 x+1 x2+x+5
(x+1)
(x2+x+5)
Örnek :
x+2 = Ax2+Ax+5A+Bx2+Bx+Cx+C
x+2 = (A+B) x2+(A+B+C) x+5A+C
A+B = O
C=1
A+B+C = 1
A=1
5
5A+C = 2
B=-1
5
IV. Durum :
Q(x) in çarpanlar› aras›nda bulan her bir (ax2+bx+c) n çarpan› için T(x) de,
A1x+B1 + A2x+B2 +...+ An x+Bn
toplam› bulunur.
ax2+bx +c (ax2+bx+c) 2
(ax2+bx+c) n
Örnek :
2x2+3
ifadesini basit kesirlerine ay›r.
(x2+x+2) 2
2
Çözüm : 2x +3 =
2
(x +x+2) 2
Ax+B + Cx+D
x2+x+2
(x2+x+2) 2
2
(x +x+2)
1
2x2+3 = Ax3+Ax2+2Ax+Bx2+Bx+2B+Cx+D
2x2+3 = Ax3+(A+B)x2+(2A+B+C)x+(2B+D)
A=O
A+B = 2
2A+B+C = O
2B+D = 3

A= O
B= 2
C = -2
D = -1
2x2+3 =
2
+ -2x-1 olarak basit kesirlerine ayr›l›r.
(x2+x+2) 2 x2+x+2 (x2+x+2) 2
111
MATEMAT‹K 8
K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük olmak üzere
örnekler verelim.
Örnek :
dx ifadesini hesaplay›n›z.
x3-x
Çözüm :
dx =
x3-x
dx =
x(x2-1)
1
=
x(x-1) (x+1)
dx
x(x-1) (x+1)
A
B
C
+
+
x
x-1
x+1
(x2-1)
x(x+1)
x(x-1)
1 = Ax2-A+Bx2+Bx+Cx2-Cx
1 = (A+B+C) x2+(B-C)x-A
A+B+C = O
A = -1
B-C = O
B=1
2
1
C=
2
- A =1
dx = x3-x
dx + 1
x 2
dx + 1
x-1 2
dx
x+1
1
1
= lnx+1 ln |x-1| + 1 ln |x+1| +c' = lnx+ln (x-1) 2 . (x+1) 2 +c'
2
2
Örnek :
2xdx
ifadesini hesaplay›n›z.
(x+1) (x-2) 2
Çöz üm :
2x
=
(x+1) (x-2) 2
A
x+1
(x-2) 2
+
B
C
+
x-2
(x-2) 2
(x+1) (x-2)
(x+1)
2x = Ax2 - 4Ax+4A+Bx2-2Bx+Bx-2B+Cx+C
2x = (A+B)x2+ (-B-4A+C) x+ (4A-2B+C)
112
K(x)
dx integraline
Q(x)
MATEMAT‹K 8
A=-2
9
2
B=
9
C= 4
3
A+B = O
-4A-B+C = 2
4A-2B+C = O
2xdx
=-2
9
(x+1) (x-2) 2
dx + 2
x+1 9
dx + 4
x-2 3
dx
(x-2) 2
= - 2 ln |x+1| + 2 ln |x-2| - 4 . 1 +c'
9
9
3 x-2
= 2 ln x-2 - 4 . -1 +c'
9
x+1
3 x-2
TR‹GONOMETR‹K DE⁄‹ﬁKEN DE⁄‹ﬁT‹RME KURALI
A ) ‹ntegrad›nda
‹çinde
a2 -x2
Bulunan úntegalleri Bulma :
a 2-x2 den baﬂka köklü ifade bulundurmayan fonksiyonlar›n integrallerini
hesaplamak için
x = a. Sinu ya da x = a. Cosu
de¤iﬂken de¤iﬂtirmesi yap›l›r. (O0 < u < 900)
Örnek :
9 - x2 dx = ?
a 2 = 9 ise a = 3
o halde,
x = 3 Sinu buradan,
dx = 3 Cosu du olur.
9-x2 dx =
=9
9- (3 Sinu) 2 3 Cosu du =
Cos 2u. Cosu du = 9
3. 1-Sin2u. 3 Cosu du.
Cos 2u du.
113
MATEMAT‹K 8
Çözüm :
1+ Cos 2u du = 9. 1
2
2
=9
(1+ Cos2u) du.
= 9 (u + 1 Sin2 u) + c' = 9u + 9 Sin2u + c'
2
2
2 4
ﬁimdi u ve Sin 2u de¤erlerini bulal›m.
Sin2u = 2Sinu. Cosu oldu¤undan
x = 3Sinu
Sinu = x buna uygun dik üçgen çizersek
3
2
Sin2u = 2Sinu. Cosu = 2. x . 9-x
3
3
2
= 2x 9-x
9
Sinu = x ise u = Arc Sin x , u ve Sin2u da yerine yazarsak,
3
3
9-x2 dx = 9 u + 9 Sin2u + c'
2
4
2
= 9 (ArcSin x ) + 9 2x 9-x ) + c'
9
2
3
4
olarak bulunur.
B) ‹ntegrad›nda
‹çinde
x 2-a 2 Bulunan ‹ntegalleri Bulma :
x2-a 2 den baﬂka köklü ifade bulunmayan fonksiyonlar›n integralleri için
x = a. Secu ya da x = a.Cosecu deﬂiken de¤iﬂtirmesi yap›l›r.
Örnek :
114
x2-4 dx = ?
x
MATEMAT‹K 8
a 2 = 4 ise a = 2
x = 2 Secu x =
2
Cosu
du olur.
dx = 2Sinu
Cos 2u
Buna göre verilen ifadede yerine yazal›m.
4 -4
Cos 2u
4
Cos 2u
2 1-Cos2 u . Cosu
Cosu
2
=2
tan2u. du = 2
4-4 Cos2 u . Cosu 2Sinu du.
2 Cos2 u
Cos2 u
. 2 Sinu du =
Cos2 u
2Sinu du = 2
Cos 2u
Sinu . Sinu du.
Cos u Cos u
(tan2 u+1-1) du = 2 (tanu - u) +c' bulunur.
ﬁimdi u ve tanu de¤erlerini bulal›m.
x=
2
ise Cosu = 2
x Bunu yapan dik üçgen çizilirse
Cosu
x2 -4 = tan u
2
2
tanu = x -4 , Cosu = 2 ise
x
2
u = Arc Cos 2
x
ﬁimdi yerlerine yazal›m.
x2 -4 dx = 2 (tanu - u) + c' = 2 x2 -4 - 2Arc Cos 2 + c'
x
x
2
115
MATEMAT‹K 8
C) ‹ntegrad›nda
‹çinde
a 2+x 2 Bulunan ‹ntegalleri Bulma :
a 2+x2 den baﬂka köklü ifade bulunmayan fonksiyonlar›n integralleri için
x = a. tan u ya da x = a.cot u de¤iﬂken de¤iﬂtirmesi yap›l›r.
Örnek :
dx
=?
x2. x2+9
Çözüm :
x = a.tan u oldu¤una göre x = 3 tan u
tan u = x ve dx = 32 du olur.
3
cos u
dx
=
2
x . x2+9
3du
Cos 2u
=
(3tan u) 2. (3tan u) 2+9
3 du
Cos 2u
9 tan2 u 9 (tan2 u+1)
1
Cos 2 u
=
3 du
Cos 2u
=
2
9. Sin 2u . 3 1
Cos u
Cos u
=
1 Cosu du = 1
9 Sin2u
9
3 du . Cos 3u
Cos 2u 27 Sin2u
dt = -1 + c' =1
+ c'
9 sin u
t 2 9t
Sin u =
x
x2+9
yerine yazal›m.
2
dx
= - x +9 + c' olarak bulunur.
9x
x2. x2+9
116
MATEMAT‹K 8
‹ntegrad›nda Sin x ve Cosx’in Rasyonel ‹fadeleri Bulunan ‹ntegralleri Bulma:
tan x =u de¤iﬂken de¤iﬂtirmesi yap›l›r. Daha sonra Sinx, Cosx ve dx in de
2
u cinsinden de¤erlerini hesaplay›n›z.
Dik üçgen yard›m›yla, Sin x = u
ve Cos x = 1
olur.
2
2
2
1+u
1+u2
2
Cos x = 1-u
1+u2
Sinx = 2u
1+u2
olur. (Yar›m aç› formülünden)
1
x
u = tan
ise du = 2
dx
2
Cos 2 x
2
dx = 2 du2 olur.
1+u
Örnek :
1 dx = ?
1+Sinx
Çözüm :
u = tan x ise Sinx = 2u
2
1+u2
dx = 2du
1+u2
integralinde yerine yazarsak,
1+u2 . 2 du =
1+u2+2u 1+u2
2 du = - 2 + c' olur.
u+1
(u+1) 2
u = tan x oldu¤undan
2
=-
2
+ c'
tan x + 1
2
olur.
117
MATEMAT‹K 8
‹lkel Fonksiyon :
[a,b] aral›¤›nda tan›ml› iki fonksiyon f ve F olsun. [a,b] nin her noktas›nda F nin
türevi varsa F' (x) = f(x) ise F fonksiyonuna, f nin ilkeli denir.
Örnekler :
Türevi f(x) ile verilen fonksiyonlar›n ilkeli olan F(x) fonksiyonlar›n› hesaplay›n›z.
f(x)= F(x)+c'
1. f(x) = 4x3 ise F(x) = ?
4
4x3 dx = 4. x + c' = x4+c'
3+1
2. f(x) = Cosx ise F(x) = Sinx+c'
1 ise F(x) = Arc Sinx +c'
1-x2
3. f(x) =
4. f(x) = a x F(x) = 1 . a x + c' yani
lna
a x dx = 1 . a x+c'
lna
2
2
5. f(x) = 2x ex -x2 F(x) = e x 2 - x + c' yani,
3
6. f(x) = -12 F(x) = x1 + c', yani
x
-1 dx = x2
7. f(x)= -1 F(x) =-arc Sinx+c' yani
1-x2
8. f(x) =
-
1
F(x) = tan x + c' yani
Cos 2x
2
2xe x 2 dx = e x 2- x + c'
3
1 dx = 1 + c'
x
x2
1 dx =-Arc Sinx+c'
1-x2
1 dx = tanx + c'
Cos 2x
9. f(x)=Sinx Cosx F(x) = 1 Sin2x +c' yani
2
Sinx.Cosx dx=1 Sin2x +c'
2
10. f(x) =5 Cos(5x+1) F(x) = Sin (5x+1)+c' yani
11. f(x) = -
118
1 F(x) = Cotx +c' yani
Sin2x
-
5.Cos (5x+1)dx=Sin (5x+1)+c'
1 dx = Cotx + c'
Sin2x
MATEMAT‹K 8
E⁄R‹ ALTINDA KALAN BÖLGEN‹N ALANI
Örnekler :
1. f:R A R ; f(x) = x do¤rusu x = 0, x=1 do¤rular› ve x-ekseni ile s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
I. Ad›m :
[0, 1] aral›¤›n› 4 eﬂit parçaya bölelim.
ﬁekildeki dikdörtgenlerin alanlar› toplam› A1 (T) ile gösterelim.
A1 (T) = 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 3 = 3
4 4 4 2 4 4
8
dir.
ﬁekildeki dikdörtgenlerin alanlar› toplam›n› U1 (T) ile gösterelim.
U1 (T) = 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 3 + 1 . 1 = 5
4 4 4 2 4 4
4
8
dir.
119
MATEMAT‹K 8
A1 (T) ≤ U1(T) dir.
II. Ad›m : [0,1] aral›¤›n› 8 eﬂit parçaya bölelim.
A2 (T) = 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 3 + 1 . 1 + 1 . 5 +1 . 3 + 1 . 7 = 7
8 8 8 4 8 8 8 2 8 8 8 4 8 8 16
U2 (T) = 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 3 + 1 . 1 + 1 . 5 + 1 . 3 + 1 . 7 + 1 . 1 = 9
8 8 8 4 8 8
8 2
8 8 8 4
8 8 8
16
A1 (T) ≤ A2 (T)
ve
U1 (T) ≥ U2 (T)
Her iki ad›mda da A1 (T) , A2 (T) arad›¤›m›z bölgenin alan›ndan daha küçük,
U1 (T), U2 (T) den daha büyük oldu¤u görülür.
120
MATEMAT‹K 8
III. Ad›mda :
A1 (T) ≤ A2 (T) ≤ A3 (T)
U1 (T) ≥ U2 (T) ≥ U3 (T)
olacakt›r.
n. Ad›m :
[0, 1] aral›¤›n› n eﬂit parçaya bölelim.
Un (T) ve An (T) yi bulal›m.
(n-3)
(n-1)
An (T) = n1 . n1 + n1 . n2 + n1 . n3 +...+ n1 . n
+ n1 . n
1 [1+2+3+...+ (n-3) + (n-2) + (n-1)] = 1 . (n-1).n = n-1
n2
n2
2
2n
An (T) = n-1
2n
121
MATEMAT‹K 8
Un (T) = n1 . n1 + n1 . n2 + n1 . n3 + ... + 1n
(n-3) 1 (n-2) 1 (n-1) 1
n +n . n +n n +n .1=
1 1+2+3+ ...+ (n-3) + (n-2) + (n-1)+n = 1 . (n+1).n
n2
n2
2
= n+1
2n
Un (T) = n+1
2n
Böylece A1 (T) ≤ A2 (T) ≤ A3 (T) ≤ ...≤ An (T) , n büyüdükçe artan bir alanlar
dizisi.
U1 (T) ≥ U2 (T) ≥ U3 (T) ≥ ... ≥ Un (T) , n büyüdükçe azalan bir alanlar dizisi
elde edilir.
Lim An (T) = Lim n-1 = 1
2
nA'
nA' 2n
Lim Un (T) = Lim n+1 = 1 bulunur.
2
nA'
nA' 2n
An (T) alt toplamlar› ile Un (T) üst toplamlar›n›n yaklaﬂt›¤› ortak limit olan 1/2
say›s›, arad›¤›m›z alan› verir.
2. f:R A R , f(x) = x2 e¤risi , x = 0 , x = 4 do¤rular› ve x-ekseni ile s›n›rlanan
bölgenin alan›n› bulunuz.
[0, 4] aral›¤›n› n - eﬂit parçaya bölelim.
4 + 4 .f 2.4 + 4 f 3.4 +...+ 4 f (n-1 4
An (T) = 4
.
f
n
n
n n n
n n
n
4 2 4 8 2 4 12 2
4 4.(n-1) 2
=4
n (n ) + n (n ) + n ( n ) +...+ n [ n ]
3
= 4 [12+22+...+ (n-1) 2] = 64
6
n3
(n-1) . n (2n-1) 64 2n3-3n2+n
=
.
n3
n3
6
Hat›rlatma :
12+22+...+n2 =
122
n(n+1).(2n+1)
6
MATEMAT‹K 8
4 3.4
4 n.4
Un (T) = n4 . f ( n4 ) + n4 .f 2.4
n + n f n +... n f n
2
4 2.4 2 4 3.4 2
4 n.4 2
= n4 . ( 4
n ) + n ( n ) + n ( n ) +...+ n ( n ) =
43 [12 +22+...+ n2] = 64 . 2n3 +3n2+4
n3
n3
6
[0, 4] aral›¤›n› n eﬂit parçaya bölerek alt toplam ve üst toplam› bulduk.
3
2+n
64 Lim 2n3+ 3n2+n =
Lim An (T) = Lim 64 . 2n + 3n
=
n3
n3
6 nA'
nA'
nA' 6
64 . 2 = 128 = 64
6
6
3
3
2+4
3
2+4
Lim Un (T) = Lim 64 . 2n +3n
= 64 Lim 2n + 3n
3
3
n
n
6 nA'
nA'
nA' 6
64 .2 = 64
6
3
S = Lim An (T) = Lim Un (T) = 64 birim2 bulunur.
3
nA'
nA'
123
MATEMAT‹K 8
3. f : R A ; f(x) = x3 e¤risinin x = 0 dan x = 1’e kadar, alt›nda kalan bölgenin alan›n›
bulal›m.
[0, 1] aral›¤›n› n- eﬂit alt aral›¤a bölelim.
1 2
1 3
1 n-1
An (T) = n1 . f 1
n + n f n + n f n + ....+ n . f n =
3
3
2
1 1 3 1 2 3 1 3 3
1 n-1 3 1 3
n .(n ) + n (n ) + n (n ) +...+ n . ( n ) = n4 [1 + 2 +3 +...+ (n-1) ]
(n-1).n 2 n4-2n3+n2
= 1 [1+2+3+...+(n-1)]2 = 1 [
] =
4
4
2
n
n
4n4
4
3 2
An (T) = n -2n4+n
4n
bulunur.
1 n
Un (T) = 1 f n1 + 1 f n2 + 1 f 3
n
n
n n +...+ n f n
3
1 2 3 1 3 3
1 n 3
= n1 (1
n ) + n f(n ) + n f(n ) +....+ n (n )
n(n+1) 2
= 1 [13+23+33 +...+n3] = 1 [1+2+3+...+n] 2 = 1 (
)
4
4
4
2
n
n
n
=
n2(n+1) 2 n4+2n3+n2
=
4n4
4n4
3 2
4
Un (T) = n +2n +n
4
4n
124
MATEMAT‹K 8
Lim An (T) = Lim
n4- 2n3+n2 = 1
4
4n4
Lim Un (T) = Lim
n4+ 2n3+n2 = 1
4
4n4
nA'
nA'
nA'
nA'
O hâlde verilen bölgenin alan› S = 1 br2 dir.
4
Genel olarak :
f(x) fonksiyonunun x=a dan x=b’ye kadar e¤ri alt›nda kalan alan›n› bulmak için
[a, b] aral›¤›n› a = x0, x1, x2, ..., xn= b noktalar› ile n tane alt aral›¤a ay›r›yoruz.
Tabanlar› bu alt aral›klar olan alt ve üst dikdörtgenlerin alanlar› toplamlar›n›
An (T) = f(x0) . (x1-x0) + f(x1) . (x2 - x1) +...+ f(xi) (xi+1 - xi)+...
n-1
f(xn-1) . (xn - xn-1) = ∑ f(xi) . ( xi+1 -xi)
i=0
Un (T) = f(x1) . (x1-x0) + f(x2) . (x2 - x1) +...+ f(xi) (xi+1 - xi)+...
n
+ f(xn ) (xn - xn-1) = ∑ f(xi) . ( xi -xi-1 ) olarak yazar›z.
i =1
An (T), Un (T)) nin nA' limitleri varsa ve birbirlerine eﬂitse bu ortak limit,
fonksiyonunun e¤ri alt›nda kalan alan›na eﬂittir.
mi = E.B.A.S. {f(x) | x D [xi-1, xi] }
E.B.A.S : en büyük alt s›n›r.
E.K.Ü.S : En küçük üst s›n›r.
Mi = E.K.Ü.S f(x) | x D[xi-1 , xi]
D xi = |xi -xi-1 | denirse alt ve üst toplamlar›.
n
n
i=1
i=1
An (T) = ∑ mi 6 xi , Un (T) = ∑ Mi 6 xi dir.
f : [a,b] A R s›n›rl› bir fonksiyon olsun. Alt ve üst toplamlar›n dizisi
\
ayn› bir S limitine yak›nsarlarsa yani Lim (A n (T) = Lim (Un(T) )= S ise
nA'
f, fonksiyonunun
nA'
integrali al›nabilir denir. S'ye f'nin, [a,b] ar›l›¤›nda
a' dan b'ye belirli integrali ad› verilir.
b
b
S=
fdx veya
S=
f(x) dx biçiminde gösterilir.
a
a
125
MATEMAT‹K 8
E¤er Lim An (T) & Lim Un (T) ise fonksiyonunun [a,b] de integrali al›namaz.
nA'
nA'
Yani, fonksiyonunun bu aral›kta integrali yoktur.
Örnekler :
1. f : R A [0, 1] ; f(x) = Sinx fonksiyonunun x = 0 dan
x = / ye kadar e¤ri alt›nda kalan alan›n yaklaﬂ›k de¤erini bulunuz.
2
Çözüm :
0, / aral›¤›n› iki eﬂit alt aral›¤a ay›ral›m.
2
R (T) = / . f(/ ) + / . f(/ ) = / . Sin / + / . Sin /
6
3
4
4
4
6
4
3
(1+ 3 )/
bulunur.
=/ 1 + 3 =
8
4 2 2
Aral›k say›s›n› artt›rd›¤›n›z zaman buldu¤umuz toplam arad›¤›m›z alana daha çok
yaklaﬂ›r.
2
2. f : R A R ; f(x) = x fonksiyonunun e¤risi, x = 1, x = 4 do¤rular› ve
4
x- ekseni ile s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
126
MATEMAT‹K 8
[1, 4] aral›¤›n› [1, 2] , [2, 3] , [3, 4] alt aral›klar›na ayr›lan ve bu aral›klarda
3/2, 7/3, 11/3 say›lar›n› geliﬂi güzel seçelim.
R(T) = f(3/2) . (2-1) + f(7 ) . (3-2) + f(11 ) (4-3)
3
3
\
= 9 + 49 + 121 = 761 5,2 bulunur.
16 36 36 144
f fonksiyonu [a, b] aral›¤›nda integrali al›nabilen bir fonksiyon olsun. [a, b]
aral›¤›n› a = x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn = b noktalar› ile n tane alt aral›¤a ay›ral›m.
alt aral›k [xi-1 , xi] ve ti D [xi-1 , xi] oldu¤una göre
Rn(T) = f ( t 1 ) . ( x 1 -x 0 ) + f(t 2 ) (x 2 -x 1 ) + . . . + f ( t i ) (x i -x i-1 ) + . . . + f ( t n ) (x n -x n-1 ) =
n
∑ f(ti)
(x i -x i-1 ) toplam›na f' nin [a,b] aral›¤›na ait bir Riemann toplam› denir.
i=1
Riemann toplam›n›n Un (T) ve An (T) üst ve alt toplamlar dizisi ile ilgisi:
n
n
i=1
i=1
An (T) = ∑ mi 6 xi , An (T) = ∑ Mi 6 xi idi.
fonksiyonun [xi-1 , x1] aral›¤›ndaki EBAS ve EKÜS s›ras›yla mi ve Mi oldu¤undan
mi ≤ f(t i) ≤ Mi ba¤›nt›s› sa¤lan›r.
|xi -xi-1 | = 6 xi > 0 oldu¤undan
mi 6 xi ≤ f(t i) 6 xi ≤ Mi . 6 xi ve
n
∑
i=1
n
n
i=1
i=1
mi 6 xi ≤ ∑ f(t i) 6 xi ≤ ∑ Mi 6 xi elde edilir.
An (T) ≤ Rn (T) ≤ Un (T) 0 ≤ Rn (T) - An (T) ≤ Un (T) - An (T)
biçiminde yaz›labilir.
Lim (Rn (T)- An (T) ) ≤ Lim (Un (T) - An (T) )
nA'
nA'
f nin [a,b] aral›¤›nda integrali al›nabiliyorsa Lim ( Un ( T ) - A n(T)) = 0 d›r.
nA'
b
Lim Rn(T) = Lim An(T) = Lim Un (T)
nA'
nA'
nA'
f(x) dx dir.
a
127
MATEMAT‹K 8
BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL
f : [a, b] A R s›n›rl› bir fonksiyon olsun. [a, b] yi a = x0, x1, x2, ..., xn = b
noktalar› ile n tane alt aral›¤a bölelim.
\
Rn (T)Riemann toplam› S gibi bir limite yak›n›s›yorsa yani
n
Lim Rn (T) = Lim
nA'
∑ f(t i) .6xi
=
S ise f fonksiyonunun [a, b]
nA' i=1
aral›¤›nda integrali al›nabilir, ve S'ye f nin [a, b]
aral›¤›nda a dan b'ye
b
belirli integrali denir.
f(x) dx ile gösterilir.
a
1. f fonksiyonu [a,b] aral›¤›nda s›n›rl› de¤ilse bu aral›kta integrali al›namaz.
2. f fonksiyonu [a, b] aral›¤›nda s›n›rl› ve bu aral›kta süreksiz oldu¤u noktalar›n
say›s› sonlu ise f fonksuyonu [a, b] aral›¤›nda integrallenebilirdir.
3. f fonksiyonu [a, b] aral›¤›nda s›n›rl› ve bu aral›kta süreksiz oldu¤u noktalar›n
say›s› sonlu de¤il ise f fonksiyonu [a, b] aral›¤›nda integrallenemez.
Örnekler :
/
1.
Cosx dx ; Cosx fonksiyonu [0, /] aral›¤›nda sürekli oldu¤undan integrallenebilir.
0
2
1
1
f(x) = Lim x1 = tan›ms›z
x dx ; f(x) = x fonksiyonu [0, 2] aral›¤›nda Lim
nA'
nA'
2.
0
oldu¤undan [0, 1] de s›n›rl› de¤ildir. Fonksiyonun bu aral›kta integrali yoktur.
2/
3.
Sinx dx ; f(x) = Sinx fonksiyonu [-2/, 2/] aral›¤›nda
x
x
-2/
f(x) fonksiyonunun [-2/, 2/] aral›¤›nda süreksiz oldu¤u noktalar›n
say›s› sonlu oldu¤undan integrali al›nabilir.
128
MATEMAT‹K 8
4
[|x|] dx ; f(x) = [|x|] fonksiyonunu [-5, 4] aral›¤›nda -5, -4, -3, -2, -1,
4.
-5
0, 1, 2, 3, 4 noktalar›nda (9 -tane) sürekli de¤ildir. Fakat bu aral›kta s›n›rl›
oldu¤undan integrali vard›r.
Örnekler :
Aﬂa¤›daki integrallerin var olup olmad›klar›n› araﬂt›ral›m.
/
Cotg x dx ; f(x) = Cotgx fonksiyonunu [/ , /] aral›¤›nda s›n›rl› olmad›¤›ndan
2
1.
/
2
integrali yoktur. Lim Cotgx = tan›ms›zd›r.
xA/
/
3
2.
-/
3
tanx dx ; f(x) = tanx fonksiyonu [- / , / ] aral›¤›nda s›n›rl› ve sürekli
x
x
3 3
oldu¤undan integrali vard›r.
1
3.
-1
1
x dx
; f(x) = 1 fonksiyonu [-1, 1]
x
x = 0 noktas›nda süreksizdir. Süreksiz oldu¤u nokta say›s› sonlu oldu¤undan
integrallenebilir.
2
(x2 - 2x+5) dx ; f(x) = x2 - 2x+5 = (x-1) 2 +3 fonksiyonu [0, 2] da
4.
0
sürekli ve s›n›rl› oldu¤undan integrallenebilir.
129
MATEMAT‹K 8
Teorem : f ve g fonksiyonlar› [a, b] aral›¤›nda integrallenebilir iki fonksiyon ve
kDR verilsin.
b
b
(f(x) + g(x) dx =
a)
a
b
b
a
c
f(x) dx =
a
b
f(x) dx +
a
f(x) dx,
c
b
a
f(x) dx = -
d)
(kDR)
f(x) dx
a
b
c)
a
b
k f(x) dx = k
b)
g (x) dx
f(x) dx +
a
a
f(x) dx
b
a
e)
f(x) dx = 0
-a
f) xD [a, b] için
b
f(x) ≤ g(x)
f(x) dx ≤
a
130
b
g(x) dx
a
c D [a, b]
MATEMAT‹K 8
I. Temel Teorem :
b
\
f, [a, b] de sürekli ve F, [a, b] de F(x) =
F(t) dt
ile tan›mlanm›ﬂ ise,
a
[a,b] de F'nin türevi vard›r ve xD [a, b] için F ' (x) = f(x) dir.
x
\
F (x) =
f(t) dt integrali, türevi f(x)'e eﬂ it olan bir F(x) fonksiyonudur.
a
F fonksiyonuna f'nin ilkel fonksiyonu; F'yi bulmak için yap›lan iﬂ leme
f'nin belirsiz integralini alma iﬂ lemi denir.
2. Temel Teorem :
\
f, a ,b de sürekli bir fonksiyon, F(x), f(x) in bir ilkeli yani F ' = f(x) ise
b
f(x) dx = F(b) -F (a) dir.
a
131
MATEMAT‹K 8
f, [a, b] de sürekli bir fonksiyon olsun f nin e¤risi x=a, x=b do¤rular›
b
ve x -ekseni ile alan ; S =
|f(x) | dx dir.
a
\
Alan, x- ekseninin üs t ünde ise
b
xD [a, b] için f(x) ≥ 0 S =
f(x) dx dir.
a
Alan, x- ekseninin alt›nda ise
b
xD [a, b] için f(x) ≤ 0 S = -
f(x) dx dir.
a
\
Alan, x ekseninin hem alt›nda hem de üs t ünde ise f, [a,c] de sürekli,
c
b
f(x) dx -
x D[a, c] alan
a
f(x) dx dir.
b
Örnekler :
f(x)= 2x do¤rusu x-ekseni x=1 ve x= 2 do¤rular›yla s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
2
1.
2
2xdx = x2
= 22- 12 = 4-1 = 3 bulunur.
1
1
2
2. f(x) = x e¤risi, x-ekseni, x=1 ve x=4 do¤rular›yla s›n›rlanan alan› bulunuz.
4
Çözüm :
4
y
2
f(x)= x
4
S=
4
f(x) dx =
1
x
0
1
4
3
=1x
4 3
1
4
1
= 1 x3
12
x2 dx
4
4
1
= 1 . 43 - 1 . 13 = 64 - 1 = 63 br2
12
12
12 12 12
Görüldü¤ü üzere, integral alma sayesinde parçalama yönteminden daha basit bir
yöntemle alan› hesaplad›k.
132
MATEMAT‹K 8
f(x) = Sinx e¤risinin [0, /] aral›¤›nda kalan parças› ve x- ekseni ile s›n›rlanan
alan› hesaplay›n›z.
/
Sinx dx = - Cosx
S=
/
0
0
= - (Cos/ - Cos0)
= - (-1) +1 = 1+1
= 2br2
3
|x| dx integralini hesaplay›n›z.
-2
|x| = x, x≥0
-x, x<0
b
c
f(x)dxa
b
f(x) dx+
a
f(x) dx
c
CD[a, b] oldu¤una göre
3
0
-x dx +
|x| dx =
-2
= - 02 -
3
-2
0
3
2 0
2
+x
x dx = - x
2
2 0
-2
(-2) 2
+ 9 - 0 = 4 + 9 = 13 bulunur.
2
2
2 2 2
133
MATEMAT‹K 8
5. f : R A R ; f(x) = x2+x - 6 e¤risi, x = -2, x = 1 do¤rular› ve x- ekseni ile s›n›rlanan
bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
1
S=-
1
(x2+x-6) dx
f(x) dx =-2
-2
1
3
2
= - x + x - 6x
= -1 - 1 + 6 +
3 2 1 -2
3 2
-8 + 4 + 12 = -2 -3 +36 - 16 + 12 +72 = 99
3 2
6
6
x=-2
= 33 br2
2
x=1
6. f (x) = x3 - 5x2 +6x fonksiyonunun e¤risi ile x- ekseninin s›n›rlad›¤› bölgenin
alan›n› bulunuz.
Çözüm : x(x2-5x+6) = x(x-3) (x-2) = 0 ise
2
3
(x3-5x2+6x) dx -
S=
x =0, x=3, x=2
0
2
4
(x3-5x2+6x) dx = x - 5 x3+3 x2
4 3
2
0
3
4
- x - 5 x3 +3x2
= 4 - 40 +12 - 81 - 45+27-4 + 40 - 12
4
4 3
3
3
2
= 4 - 40 + 12 - 81 + 45 - 27 + 4 - 40 + 12 = 50 - 80 - 81 = 600-563 =37
3
4
3
1
3
4
12
12
(12)
(4)
(3)
134
MATEMAT‹K 8
2
7.
|x–1| dx integralini hesaplay›n›z.
0
Çözüm : x =1 kritik nokta
x-1≥0 ise x–1
|x-1| =
x–1<0 ise -(x-1)
1
2
x≤ 1
;
x-1
;
-(x-1) oldu¤undan
2
-(x-1) dx+
|x-1| dx =
0
0
x≥1
=
1
1
2
2
2
+ x -x
(x-1) dx = -x + x
2
2
0
1
= -1 + 1 + 2 - 2 - 1 + 1 = - 2 + 2 = -1 + 2 = 1 bulunur.
2
2
2
3
[|x|] x dx integralini hesaplay›n›z.
8.
0
Çözüm :
x D[0, 1) f(x) = [|x|] = 0
x D[1, 2) f(x) = [|x|] = 1
x D[2, 3) f(x) = [|x|] = 2
3
1
[|x|]x dx =
0
2
0 dx +
0
3
xdx+
1
2
2
3
2
2x dx = 0+ x + x2
2 1
2
2 - 1 + 9 - 4 = 3 + 5 = 13 bulunur.
2
2
2
4
sgn (x2 - 3x+2)dx integralini hesaplay›n›z.
9.
-1
Çözüm :
1 ; f(x) > 0 ise
0 ; f(x) = 0 ise
-1 ; f(x) < 0 ise
f(x) in iﬂaretini inceleyelim.
Sgn f(x) =
135
MATEMAT‹K 8
x
-'
1
x2 - 3x+2
+
O
4
1
Sgn
(x2-3x+2)dx
=
-1
2
+ (-x)
-1
4
O
+
1
1dx=
2
= (1+1) - (2-1) + (4-2) = 2 - 1+2 = 3 bulunur.
+x
1
+'
4
-1dx+
dx+
-1
1
x
2
_
2
2
2
[|x|] Sgnx dx integralini hesaplay›n›z.
10. x&0 için
-1
Çözüm :
x D[-1, 0) [|x|] = -1
1 ; x>0 ise
Sgnx = -1 ; x<0 ise
0 ; x=0 ise
x D[0, 1) [|x|] = 0
x D[1, 2] [|x|] = 1
2
0
[|x|]
Sgnx
(-1) dx +
dx =
-1
1
-1
-1
0
2
-dx +
=
-1
11.
dx = - x
1
/
2
0 dx +
0
0
-1
2
+x
2
1 dx
1
= -1 + 2 -1 = 0
1
|Cosx-Sinx| dx integralini hesaplay›n›z.
0
Çözüm :
0, / aral›¤›nda Cosx -Sinx = 0 denkleminin kökü x = / tür.
2
4
x≤ / için Cosx≥ Sinx ve |Cosx-Sinx| = Cosx - Sinx
4
x> / için Cosx< Sinx ve |Cosx -Sinx| =-(Cosx - Sinx)
4
= Sinx - Cosx dir.
136
MATEMAT‹K 8
/
2
|Cosx - Sinx| dx =
/
4
/
2
(Cosx - Sinx) dx +
/
4
Cosx dx +
/
2
Sinx dx -
/
4
0
/
4
0
= Sinx
- Cosx
/
4
Sinx dx -
+ Cosx
Cosx dx
/
4
0
/
2
/
4
/
2
(Sinx - Cosx) dx
/
4
0
0
/
4
0
- Sinx
/
2
/
4
= (Sin / - Sin0) - Cos / - Cos/ + Cos / - Cos0 - Sin/ - Sin /
4
2
4
4
2
4
2 - 0 - 0 - 2 + 2 -1 - 1 - 2
2
2
2
2
=
= 2 + 2 + 2 -1-1+ 2 = 4 2 = 2 2 -1 bulunur.
2
2
2
2 2
12. Aﬂa¤›daki integralleri hesaplayal›m.
3
3
3
(x2-4x+2) dx = x - 4 x2+2x
= 27 - 18+6 - 1 +2-2 =
3
3
3 2
1
a)
1
-3 - 1 = - 10 bulunur.
3
3
Cos(-e) = Cose ; Sin(-e) = -Sine
3
1
(2Sinx+2Cosx) dx = (-2 Cosx + 2 Sinx)
b)
-1
-1
= -2 (Cos1 - Cos(-1))
+2 (Sin(1) - Sin (-1)) = -2 (Cos(1) - Cos(1)) + 2 (Sin (1) + Sin(1)) = 4 Sin1
//4
/
1 dx = tgx 4
Cos 2x
0
c) S =
0
//2
d) S =
0
= tan / - tg0 = 1-0 = 1
4
-1 dx = Arc cosx /2 = Arc cos / - Arc cos0
2
1-x2
0
137
MATEMAT‹K 8
1
1
1 dx = Arctgx
= Arctg 1- Arctg0 = / - 0 = /
0
1+x2
4
4
e) S =
0
1
1
e 5x dx = 1 e 5x
= 1 (e 5.1-e 5.0) = 1 (e 5-1)
5
5
5
0
f) S =
0
5
= e -1
2 5
bulunur.
/
g) S =
Sin |x| dx =
Sin(-x) dx+
0
-/
- Cosx
/
0
/
0
-Sinx dx+
Sinx dx =
-/
-/
Cosx
/
0
-/
0
Sinx dx =
0
= Cos0 - Cos(-/) - Cos/ + Cos0 = 1 - (-1) - (-1) +1 =
1+1+1+1 = 4 bulunur.
2
0
h)
-1
-1
0
-1
2
1
4
2
›)
[|x|]
[|x|]
1
3
+
4x
2
1
4
33dx =
2 dx+
2
= (-1) +2 -1 = 0 d›r.
+x
2
1 dx+
1
2
-1
Sgn(1) dx
1
0
3
1
dx =
1
3
4
+ 27x
2
2/
j)
dx = -x
0dx +
0
Sgn (0) dx +
0
1
-dx+
=
2
Sgn (-1) dx+
Sgn[|x|] dx =
x
1
= 2-1+12-8+108-81 = 86
3
2/
-Sinx dx = Cosx
[|Sinx|] Sinx dx =
/
/
2/
/
= Cos2/ - Cos/
= 1-(-1) = 1+1 = 2 dir.
x, / den 2/ ye kadar de¤iﬂti¤inde Sinx, -1 ile 0 aras›nda de¤iﬂir. [|Sinx|] =-1 dir.
138
MATEMAT‹K 8
3
k)
2
1
|x2-3x+2|
( x2-3x+2)dx+
dx=
0
-
1
x3 - 3 x2 +2x
3 2
-
0
(x 2-3x+2) dx
dx +
1
0
3
= x -3 x2+2x)
3 2
3
(x2-3x+2)
2
2
3
3
+ x - 3 x2+2x
1 3 2
2
= 1 - 3 +1 - 8 +12 +4- 1 +3 -2 + 27 - 27 +6- 8 + 12 -4
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
= 2-9+6 - 16+36+24-2+9-12 + 54-81+36-16+36-24 - 1+71+5 = 75 = 25
6
6
6
6
6
2
4
2
Sgn(x2-5x+6)
l)
dx =
1
1dx1
x
x2-5x+6
3
2
+
O
4
2
2
1dx = x
1dx+
1
3
4
3
x
+x
=
3
2
2-1-(3-2) + 4-3 = 1-1+1 = 1 bulunur.
3
-
-
O +
13. f: (x) = -x2+7x-6 fonksiyonunun e¤risi x = 2, x=5 do¤rular› ve x-ekseni ile
s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
5
S=
5
(-x2+7x-6) dx
f(x) dx =
2
3
2
= - x + 7x - 6x
3
2
2
5
2
= - 125 + 175 - 30 - -8 + 14-12
3
2
3
= 189
2
139
MATEMAT‹K 8
14. f(x) = |x2-3x-4| fonksiyonunun e¤risi ile x-ekseninin s›n›rland›¤› bölgenin
alan›n› bulunuz.
Çözüm :
f(x) = (x-3 )2 - 25
4
2
4
S=-1
4
3
(x2-3x-4) dx = (- x + 3 x2 +4x)
3 2
-1
= - 64 +24+16 - 1 +3 -4
3 2
3
= 141
6
15. f(x) = x2 -8x fonksiyonunun e¤risine x -ekseni ile s›n›rlanan bölgenin alan›n›
bulunuz.
f(x) =x2 -8x =(x-4) 2 -16
8
S =-
8
(x 2-8x) dx
f(x) dx =
0
0
8
3
= x - 4x2
=
3
0
3
- 8 - 4.64 = 512 - 256
3
3
= 256 br2 bulunur.
3
140
MATEMAT‹K 8
16. f(x) =Sinx fonksiyonunun e¤risi ile x = / , x = 7/ do¤rular› ve x- ekseni ile
2
4
s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
/
S=
Sinx dx/
2
7/
4
Sinx dx = - Cosx
/
/
/
2
+ Cosx
7/
4
/
= - Cos/ + Cos / + Cos 7/ - Cos/ = 1+ 2 + 2 +1 = 2+ 2 br2
2
2
4
4
17. Aﬂa¤›daki integralleri hesaplay›n›z.
5
a)
Sin
[|x|] /
2
0
1
dx =
1
=
Sin/ dx
2
Sin 2/ dx =
4
2
0 dx +
0
2
3
1 dx +
1
4
dx 1
1
5
Sin 3/ dx +
2
3
3
Sin / dx +
2
Sin0 dx +
0
4
+
2
3
4
dx = x
- x
1
3
5
-dx +
0 dx +
2
2
4
3
0 dx =
4
= (2-1) - (4-3) = 1-1 = 0
141
MATEMAT‹K 8
/
2
b)
/
4
-1 dx = Cotgx
Sin2x
e
1 dx = lnx
x
c)
1
e
/
2
/
4
= Cotg / - Cotg / = 0-1= -1
2
4
= lne-ln1 = 1-0 = 1 dir.
1
‹K‹ E⁄R‹ ‹LE SINIRLANAN BÖLGEN‹N ALANI
Örnekler :
2
1. y = x do¤rusu ve y = x parabolünün s›n›rlad›¤› bölgenin alan›n› bulunuz.
2
Çözüm :
E¤riyle do¤ruyu birlikte çözelim ve s›n›rlar›n› bulal›m. Sonra grafi¤ini çizip,
arada kalan bölgeyi tan›mlayal›m.
2
x = x x2-2x = 0 x(x-2) = 0
2
x1 = 0 veya x-2 = 0 x2 = 2 dir.
2
2
(x-
S=
0
2
=x
2
142
2
0
x2
2
) dx =
x dx 0
3 2
-x
6
0
2
0
= 2- 4 = 2 br2
3 3
x2 dx
2
MATEMAT‹K 8
2. y = x2, y = - x2+2x fonksiyonlar›n›n e¤rileri ile s›n›rl› bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
y = - x2+2x = -(x-1) 2+1
1
1
(-x2+2x-x2)
S=
dx = - 2
1
x2 dx
0
1 3
+2
0
0
x dx = -2 x
3
1
+
0
2
2 x
2
0
= - 2 (1-0) + (1-0) = - 2 +1 = 1 br2
3
3
3
3. y = 2x2 e¤risi ve y = 4x do¤rusu ile s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
E¤ri ile do¤ruyu ortak çözelim.
4x = 2x2 2x = x2
x1 = 0 veya x2 = 2
2
2
(4x-2x2)
S=
0
2
x dx -2
dx= 4
0
0
2 2
3 2
x2 dx = 4 x
-2 x
2 0
3 0
= 2.4 - 16 = 8 - 16 = 8 br2
3
3 3
143
MATEMAT‹K 8
4. 0, / aral›¤›nda, y = Sinx , y = Cosx e¤rileri ve x- ekseni ile s›n›rlanan bölgenin
2
alan›n› bulunuz.
Çözüm :
//4
S=
//2
Cosx dx = -Cosx
Sinx dx +
//4
0
/
4
0
+ Sinx
/
2
/
4
= - Cos / + Cos0 + Sin / - Sin / = - 2 +1 +1 - 2 = 2- 2
2
2
4
2
4
5. y2 = 3x ve x2 = 3y e¤rileri ile s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
2
y=x
3
2
(x )2 = 3x
3
4
x = 3x
9
Çözüm :
x4 -27x = 0
x(x3 - 27) = 0
x1 = 0 veya x2 = 3
x=
3
S=
0
=2 3
3
144
3
2
3x - x dx =
3
x3
3
3 3
-x
9 0
0
0
y2
y = 3x
3
3
3 x dx - 1
3
x2 dx =
0
= 2 3 2 3 27 - 3 = 12 3 -3 br2
3
MATEMAT‹K 8
6. y = x2 -1 e¤risi ve y = x-1 do¤rusunun s›n›rland›¤› bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
1
1
(x-1) - (x2-1) dx =
S=
0
0
1
2
3
(x-x2) dx= x - x
=
2 3 0
( 1 - 1 ) = 3 - 2 = 1 br2
2
3
(3) (2)
6
6
6
7. y = x2 -8 ve y = -x2 e¤rileri ile s›n›rlanan bölgenin alan›n› bulunuz.
Çözüm :
x2 - 8 = -x2
2x2 = 8
x2 = 4
x1 = 2 , x2 = -2
2
2
(-x2 -x2 +8) dx =
S=
-2
-2
2
(-2x2 +8) dx = ( -2 x3 +8x)
3
-2
= - 2 8+8.2 - -2 (-8) -16 = - 16 + 16 - 16 + 16
3
3
3
3
= - 32 + 32 = 96-32 = 64 br2
3
1
3
3
(1) (3)
145
MATEMAT‹K 8
ÖRNEKLER
1
dx
x2+1
1.
0
ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm :
1
dx = Arctan x 1 Arc tan 1 - Arc tan 0
x2+1
0
0
=/ -0=/
4
4
/
Cos 2xdx ifadesini hesaplay›n›z.
2.
-/
Çözüm :
/
/
1 (1+Cos2x)dx = 1 (x+1 Sin2x)
2
2
2
Cos 2xdx =
-/
-/
/
-/
= 1 (/+1 Sin2/) - (-/+1 Sin(-2/)
2
2
2
= 1 (/) + / = 2/ = /
2
2
//2
Sin2x dx ifadesini hesaplay›n›z.
3.
0
Çözüm :
//2
//2
Sin2x
0
dx =
0
//2
1 (1-Cos2x) dx = 1
2
2
0
= 1 (/ - Sin/ ) - (0 - Sin0 ) = 1 (/ ) = /
2 2
2
2
2 2
4
146
(1-Cos2x)dx = 1 (x- Sin2x
2
2
//2
0
MATEMAT‹K 8
4.
x(x2+1) 4dx ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm :
t = x2+1
dt = 2xdx
dx = dt
2x
x(x2+1) 4dx =
x. t 4 dt = 1
2x 2
t 4 dt = 1 . 1 t 5+c
2 5
= 1 (x2+1) 5+c'
10
(x+1) (x2+2x-1) 4 ifadesini hesaplay›n›z.
5.
Çözüm :
t = x2+2x-1
dt = (2x+2)dx
dx = dt
2x+2
(x+1) (x2+2x-1) 4dx =
=
(x+1) t 4 . dt
2x+2
(x+1) t 4 .
=1
2
dt
2(x+1)
t 4 dt = 1 . 1 t 5 +c'
2 5
= 1 t 5+c'
10
= 1 (x2+2x-1) 5 +c'
10
e
1nx dx ifadesini hesaplay›n›z
x
6.
1
Çözüm :
t = lnx
dt = 1 dx
x
dx = xdt
lnx dx =
x
t
x . x dt =
e
1
lnx dx= 2
x
3
(lnx) 3
t dt =
e
1
t 1/2 dt = 2 t 3/2+c'
3
2 t 3 +c'
3
=2
3
147
MATEMAT‹K 8
7.
Cos 2y
dy ifadesini hesaplay›n›z.
1-Siny
Çözüm :
Cos 2y
dy =
1-Siny
1-Sin2y
=
1-Siny
(1-Siny) (1+Siny)
dy =
1-Siny
(1+Siny) dy
= y - Cosy + c
8.
Cos 1 x dx ifadesini hesaplay›n›z.
2
Çözüm :
t=1x
2
dt = 1 dx
2
2dt = dx
Cos 1 x dx =
2
(Cos t) (2 dt) = 2
Cos t dt = 2 Sin t +c'
= 2 Sin 1 x + c'
2
9.
e x . Sine x ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm :
t = ex
dt = e x dx
dx = dtx
e
e x . Sine x dx =
= - Cos ex +c'
148
e x Sint . dtx =
e
Sint dt = - Cost + c'
MATEMAT‹K 8
10.
x. (x+1) 2 dx ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm :
dv = (x+1) 2 dx
du = dx
v = 1 (x+1) 3
3
K›smi integrasyon
u=x
uv -
vdu
1 (x+1) 3 dx
3
x. (x+1) 2 dx = x. 1 (x+1) 3 3
11.
=
x(x+1) 3 1
3
3
=
x(x+1) 3 1
(x+1) 4 +c'
3
12
(x+1) 3 dx
xdx
ifadesini hesaplay›n›z.
x2-5x+4
Çözüm :
x
= A + B
x2-5x+4 (x-1) (x-4)
Ax - 4A +Bx - B
x = (A+B) x - 4A - B
A+B= 1
-4A -B= 0
- 1 + B=1
3
B= 1+1 =4
3 3
-3A= 1
A= - 1
3
x
dx=
x2-5x+4
-1
3 dx +
x-1
4
3 dx
x-4
= - 1 ln x-1 + 4 ln x-4 +c'
3
3
149
MATEMAT‹K 8
12.
dt
ifadesini hesaplay›n›z.
9t 2-16
Çözüm :
dt =
9t 2-16
dt
= 1 ln 3t-4 + c'
2 2 8
3t+4
(3t) -4
4e x
ifadesini hesaplay›n›z.
-3e x+2
13.
e 2x
Çözüm :
e x = u dersek.
e x dx = du
4e x dx =
e 2x -3e x+2
=4
4 du
u2 - 3u+2
du
=4
(u -3 ) 2-1
2 4
du
3
(u - ) 2-( 1 ) 2
2
2
u-3 -1
2 2 + c' = ln u-2 +c' = ln e x-2 + c'
1
=
ln
e x-1
u-1
1
3
2.
u- +1
2
2 2
14.
3
x ifadesini hesaplay›n›z.
x -1
Çözüm :
3
x dx =
x -1
x = u6 dx = 6u5 du
3
=6
x dx =
x -1
u3 6u5 du = 6
u2-1
(u6+u4+u2+1) du + 6
u -1
du = 6 1 u7+1 u5+1 u3+u+ 1 ln u-1 +c'
u2-1
7
5
3
2
u+1
6 7 1 6 5 1 6 3 6
=6 1.
x +
x +
x + x +1 ln
7
5
3
2
150
(u6+u4+u2+1+ 21 ) du
u8 du = 6
u2-1
6
6
x-1 +c bulunur.
x+1
MATEMAT‹K 8
15.
x2
dx
ifadesini hesaplay›n›z.
9-x2
Çözüm :
x = .3Sinu dx = 3 Cosu du,
.3 Cosu du
9Sin2u 9-9 Sin2u
=1
9
16.
x2
u = Arc Sin x
3
3 Cosu du
=
9Sin2u 3 1-Sin2u
Cos 2 u
Cosu du =
9Sinu . Cos u
du
9Sin2u
du = - 1 Cotgu + c' = - 1 Cotg (Arcsin x ) + c'
Sin2u
9
9
3
dx
x2+4
ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm :
x = 2tanu dx = 2(1+tan2u) du
dx = 2 du2
Cos u
dx
=
2
x x2+4
= 1
4
2 du
Cos 2u
=
2
4 Sin 2u 4+4tan2u
Cos u
du
1
Cosu
Sin2u.
= 1
4
Cosu du = 1
Sin2u
4
4
du
1+tan2u
Sin2u
dt = - 1 + c' = - 1 . 1 + c
4t
4 Sinu
t2
Sinu = t Cosu du = dt
-1 . 1 + c' = - 1 .
4 Sinu
4
1
+c'
x
4x+x2
2
= - 4+x +c'
4x
151
MATEMAT‹K 8
17.
x 16-x2 dx ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm :
x = 4 Sint dx = 4 Cost dt
x 16-x2 dx =
4 Sint 16-16 Sin2t . 4 Cost dt =
4 sint . 4 . Cost . 4 Cost dt =
64 Sint . Cos 2t dt =
64u2 (-du)
Cost = u Sint dt = -du
= -64
18.
3
u2 du = - 64 u + c' = - 64 Cos 3t + c = - 64 Cos 3 (arc Sin x ) + c'
3
3
4
3
Sin2x dx ifadesini hesaplay›n›z.
Sin2x+5
Çözüm :
Sin2x dx
Sin2x+5
u2+ 5 = t
2udu = dt
dt = ln t +c
t
=
2Sinx . Cosx dx =
Sin2x+5
=
2u du
u2+5
= ln |u2+5| + c
= ln |Sin2x+5| + c'
Sinx = u Cosx dx = du
152
MATEMAT‹K 8
(1-t 2)dt
t(1+t 2)
19.
ifadesini hesaplay›n›z.
Çözüm : Basit kesirlere ay›rma yöntemiyle
(1-t 2)dt
=2
t(1+t 2)
dt -2
t
2t dt = 2ln | t | -2 ln |t 2+1| + c' = 2 ln | t | +c'
t 2+1
t 2+1
20. Aﬂa¤›da verilen e¤ri ve do¤rularla s›n›rlanan alanlar› bulunuz.
a) y = (2x+1)2 e¤risi x = 1, x = 3 do¤rular› ve x - ekseni ile s›n›rlanan alan›
bulunuz.
y = (2x+1) 2 = 4x2+4x+1
Çözüm :
= (x2+x+1 ) = 4 [(x+ 1 ) 2]
4
2
y = 4 (x+ 1 ) 2 bulunur.
2
3
3
2
S=
1
(4x2+4x+1) dx = 4 x3+ 4 x + x
=
2
3
1
36+18 + 3 - 4 - 2 - 1 = 57 - 4 - 3 = 54 - 4 = 162-4 = 158 br2
3
3
1
3
3
3
(3)
(1)
b) y = x2 e¤risi ile y = 2x do¤rusu aras›ndaki alan› bulunuz.
Çözüm :
x2 = 2x x2 - 2x = 0
x (x-2) = 0 x = 0 ve
x2 = 2 dir.
ﬁekilde, s›n›rl› bölgenin alan› S ise,
2
3 2
(2x-x2) dx = x2 - x
3
S=
0
0
= 4 - 8 = 4 br2
3 3
153
MATEMAT‹K 8
c) y = x2+4 e¤risi ile y= x+6 do¤rusu aras›ndaki s›n›rl› bölgenin alan›n›
bulunuz.
x2+4 = x+6
x2-x-2 = 0
Çözüm :
x1 = -1 , x2 = 2
ﬁekilde, s›n›rl› bölgenin alan› S ise,
2
2
2
(x+6 - x2-4) dx =
S=
-1
-1
3
(x+2 - x2) dx = x + 2x - x
2
3
2
=
-1
2+4 - 8 - 1 + 2 - 1 = 8 - 3 - 1 = 9 br2
3 2
3
2 2
d)
2
y=1
x e¤risi, (x>0), x = 1 ; x = e do¤rular› ve x - ekseni ile s›n›rlanan
bölgeninalan›n› bulunuz.
Çözüm :
e2
1 dx = lnx
x
S=
1
154
e2
1
= 2 lne - ln1 = 2-0 = 2
MATEMAT‹K 8
DÖNEL C‹S‹MLER‹N HAC‹MLER‹N‹N BULUNMASI
[a, b] aral›¤›nda integrallenebilen bir f fonksiyonunu ele alal›m. f nin grafi¤i;
x- ekseni x = a ve x = b do¤rular› ile s›n›rlanan bölgeyi x - ekseni etraf›nda
döndürmekle oluﬂturan cisme dönel cisim denir.
[a, b] aral›¤›n› a = x0, x1, x2, ..., xn = b noktalar› ile n - tane alt aral›¤a ay›ral›m.
[xi-1, xi] alt aral›¤›nda bir ti noktas› seçelim. Taban› 6xi = xi - xi-1 , yüksekli¤i |f(ti)|
olan bir dikdörtgen oluﬂturur. Bu dikdörtgen x - ekseni etraf›nda döndürülünce,
yar›çap› |f(ti)| ve yüksekli¤i 6xi olan bir silindir elde edilir. Böylece [a, b] aral›¤›na
ait n – tane dikdörtgenin x - ekseni etraf›nda döndürülmesi ile elde edilen n - tane
silindirin hacimleri toplam› :
n
V' = ∑ / f(ti) 2 . 6xi dir.
nA ' için
i=1
V = Lim
nA'
n
∑/
b
f(t i )
2
i=1
a
b
/
/ f(x) 2 dx =
.6xi =
b
y2dx bulunur.
f(x) 2 dx V = /
a
a
[a, b] aral›¤›nda integrallenebilen bir x=g (y) fonksiyonu y ekseni y=a ve y=b
do¤rular› ile s›n›rlanan bölgeyi y ekseni etraf›nda döndürmekle oluﬂturan cismin
hacmi,
b
V=/
b
x2dy bulunur.
g(y) 2 dy V =
a
a
155
MATEMAT‹K 8
Örnekler :
1. y = x do¤rusu, x = 3 do¤rusu ve x - ekseni ile s›n›rlanan bölgenin x - ekseni
etraf›nda döndürülmesi ile elde edilen dönel hacmini bulunuz.
b
V=/
3
y2 dx
3 3
V=/
a
0
= 9/ br3
x2 dx = /x
3 0
2. y = x e¤risi y=2 do¤rusu ve y - ekseni ile s›n›rlanan bölgenin y - ekseni
etraf›ndan döndürülmesi ile oluﬂan cismin hacmini bulunuz.
2
x2dy =
V=/
0
156
2
y4dy = /
0
y5 2
= 32 / br3
5
5
0
MATEMAT‹K 8
3. y = Cosx fonksiyonunun e¤risi x = 0, x = / do¤rular› ve x - ekseni ile s›n›rlanan
4
bölgenin x - eksen etraf›nda döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini bulunuz.
/
4
//4
Cos 2x
V=
dx = /
0
0
1+Cos2x
2
//4
= / 1 x+ 1 Sin2x
2
4
=
0
2
/. / + 1 . Sin 2/ = / + /
8 4
8 4
4
= / (1+ / ) br3
4
2
4. y = x2 nin e¤risi, y = 1, y = 4 do¤rusu ve y - ekseni ile s›n›rlanan bölge y - ekseni
etraf›nda döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmini bulunuz.
4
4
x2 dy = /
V=/
1
=/
y2 4
2 1
y dy
1
= /. 8 - 1
2
= /.15 = 15 / br3
2
2
157
MATEMAT‹K 8
5. y = x2 -4 fonksiyonunun grafi¤i, y = 0, y = 3 do¤rular› ve x - ekseni ile s›n›rlanan
bölgenin, x-ekseni etraf›ndan döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini bulunuz.
3
3
(x -4) dx = /
2
V=/
(x4-8x2+16) dx
2
0
0
3
5
= x - 8 x3+16x
= 243 - 72+48
5
5 3
0
= 243-360+240 = 483-360 = 123 br3
5
5
5
6. y = b a 2-x2 e¤risi ile x - ekseninin s›n›rlad›¤› bölge, x - ekseni etraf›nda
a
döndürülüyor. Elde edilen cisim hacmini bulunuz.
2 2
y=b
a a -x
2
y2 = b2 (a 2-x2)
a
a 2y2 = a 2b2 - b2x2
b2x2+
a 2y2 = a 2b2
x2 + y2 = 1
a 2 b2
a
a
y2dx
V=/
-a
=/
-a
3 2
3 2
= / (ab2 - a b + ab2 - a b )= 4 ab2 /
2
3
3a
3a 2
158
a
2
2 3
(b2- b2 x2) dx = / . (b2x- b x2 )
a
3a
-a
elipsdir.
MATEMAT‹K 8
ÖZET
Bu bölümde, aﬂa¤›daki durumlar ö¤rencilere verilmeye çal›ﬂ›lm›ﬂt›r :
1. ‹ntegral hesab› niçin gerekli oldu¤u ö¤rencilere tan›t›ld›.
2. S›n›rl› fonksiyonlar›n tan›m› yap›larak örnekler üzerinde duruldu.
3. S›n›rl› ya da s›n›rs›z fonksiyonlarda integral al›n›p al›nmayaca¤› aç›kland›.
4. Riemann toplam› ile e¤ri alt›ndaki alan üzerinde duruldu.
5. De¤iﬂken de¤iﬂtirme kural› ö¤rencilere tan›t›ld›.
6. K›smî integral alma kural› ö¤rencilere tan›t›ld›.
7. Basit fonksiyonlar›n integralleri tan›t›ld›.
8. Basit kesirlere ay›rma kural› ö¤rencilere tan›t›ld›.
9. Trigonometrik de¤iﬂken de¤iﬂtirme ö¤rencilere tan›t›ld›.
10. E¤ri alt›nda kalan bölgenin alan›n› hesaplamak için parçalama yöntemi
kullan›ld›.
11. Belirli integral tan›m› yap›ld›.
12. Belirli integral formülleri ö¤rencilere tan›t›ld›.
13. ‹ntegralin 1. temel teoremi ö¤rencilere tan›t›ld›.
14. Bir fonksiyonun ilkeli ö¤rencilere tan›t›ld›.
15. ‹ntegralin 2. temel teoremi ö¤rencilere tan›t›ld›.
16. Daha basit teknik olan, e¤ri alt›ndaki kalan bölgenin alanlar› için integral ile
çözüldü.
17. ‹ki e¤ri ile s›n›rlanan bölgenin alan› integral ile çözüldü.
18. Dönel cisimlerin hacimleri integral ile çözüldü.
159
MATEMAT‹K 8
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ (2)
1.
xe x dx ifadesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) ex(x-1) +c
2.
dx
x2+x
B) ex(x+1)+c
dx
x(x-3)
2
D) ex+1+c
ifadesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) ln |x| + x+1
3.
x
C) e +xex
B) ln |x| + |x+1|
C) ln |x| - |x+1| +c
D) ln |x| - |x+1|
ifadesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) 1 ln |x| + 1 ln |x+3| +c
3
3
B) 1 ln |x| - 1 ln |x-3| +c
3
3
C) - 1 ln |x| + 1 ln |x-3| +c
3
3
D) 1 ln |x| + |x+3| +c
3
4. f(x) = x2 - 4 fonksiyonu Ox ekseni ile s›ralanan bölgenin alan› kaç br2 dir?
A) 32
3
B) 10
C) 20
3
D) 19
3
5. f(x) = x(x2 - 9) fonksiyonunun x = -3, x = 5 , y = 0 do¤rular›yla s›n›rlanan
bölgenin alan› kaç br2 dir?
A) 100
160
B) 102
C) 208
3
D) 209
2
MATEMAT‹K 8
3x-5 dx integralinin sonucu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
x2+9
6.
A) 3 ln (x2+9) - 5 arctan x +c
2
3
3
C) arctan x + ln (x2+9)
B) 3 arctan x + ln (x2+9)
2
3
D) 5 arctanx - ln (x2+9)
3
x-1 dx integralinin sonucu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
x(x+1)
7.
A) 2 ln |x+1| - ln|x-1| +c
B) -ln |x| + 2ln |x+1| +c
C) ln |x+1| + ln |x-1| +c
D) ln |x| + 1+c
8. y = x3-x e¤risi ile Ox ekseni aras›ndaki bölgenin Ox ekseni etraf›nda
dönmesiyle oluﬂan cismin hacimi kaç br3 dür?
B) 15 /
104
A) 16/
103
C) 16/
108
D)
16/
109
9. y2 = 4x , x = 0 , y = 6 ile s›n›rlan›p Oy ekseni etraf›nda döndürülmesiyle oluﬂan
cismin hacimi kaç br3 dür?
A) 481/
5
10.
B) 483/
6
C) 486/
5
D) 489/
5
e x . Sinx dx integralinin sonucu aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) e x (Sinx + Cosx)
C) e x
(Cosx - Sinx)
2
B) e x
D)
(Sinx + Cosx)
2
e x(Sinx - Cosx)
2
161
MATEMAT‹K 8
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹ (2)
1.
xe x -
xe x dx =
e x dx = xe x-e x+c
dv = e x cdx
v = ex
u=x
du = dx
Do¤ru Cevap A
2.
1
=
x(x+1)
A
x
+
(x+1)
B
x+1
(x)
1
= Ax+A+bx
x(x+1)
x(x+1)
1
=1 - 1
x(x+1) x x+1
1 = (A+B) x+A
A =1, A+B = 0
B = -1
dx
x2+x
1 + -1 dx =
x x+1
1 dx x
1 dx
x+1
= ln |x| - ln |x+1| +c
Do¤ru Cevap C
3.
1 = A+ B
x(x-3) x x-3
1 = A(x-3)+ Bx = (A+B) x - 3A
x(x-3)
x(x-3)
x(x-3)
A+B = 0
-3A = 1 A = - 1/3
dx =
x(x-3)
Do¤ru Cevap C
162
o halde,
1
-1
1 = 3 + 3
x
x-3
x(x-3)
-1
1
3 + 3 dx = - 1 ln |x| + 1 ln |x-3| +c
x x-3
3
3
MATEMAT‹K 8
4. f(x) = x2 -4 fonksiyonunu 0x ekseni ile s›n›rlanan bölgenin alan›n›,
2
A=
-2
2
3
(x2-4) dx = x -4x
= 32 br2
3
3
-2
Do¤ru Cevap A
5. f(x) = x (x2 -9) fonksiyonunun x = -3, x=5, y =0 do¤rular›yla s›n›rlanan bölgenin
alan›
x (x2 -9) = 0
x = 0 x2 = 9
0
A=
3
f(x) dx+
-3
4
2
A = x - 9x
4 2
5
f(x) dx +
0
0
-3
4
2
+ x - 9x
4
2
f(x) dx
3
3
0
4
2
+ x - 9x
4
2
5
3
A = 81 + 81 + 256 = 418 = 209 br2
4
4
4
4
2
Do¤ru Cevap D
6.
3x-5 dx =
x2+9
=3
2
2x dx -5
x2+9
3x dx x2+9
5dx
x2+9
dx
x2+9
= 3 ln (x2+9) - 5 Arc tan x +c
2
3
3
Do¤ru Cevap A
163
MATEMAT‹K 8
7.
x-1 dx =
x(x+1)
=-
2
(- 1
x + x+1 ) dx
1 dx + 2
x
1 dx
x+1
= -ln |x| + 2 ln |x+1| +c
Do¤ru Cevap B
8. y = x3-x, 0x ekseni etraf›nda s›n›rlan›p 0x etraf›nda dönmesiyle oluﬂan cismin
hacimi,
x.(x2-1)
-1 ile 0 aras› bölge, 0 ile +1 aras›ndaki bölge ile simetrik
oldu¤undan hacim formülünde 2 çarpan› al›nmal›d›r.
x=0 x=±1
1
1
(x3 - x) 2 dx
y2 dx = 2/
V = 2/
0
0
1
1
(x6 - 2x4 + x2) dx = 2/ .
V = 2/
0
Do¤ru Cevap C
x7
7
-
2x5
5
+
x3
3
0
V = 2/ (1 - 2 + 1 ) = 2/ ( 8 ) = 16/ br3
7 5 3
105
108
9. y2 = 4x , x = 0 , y = 6 ile s›n›rlan›p 0y ekseni etraf›nda döndürülmesiyle oluﬂan
cismin hacimi.
6
6
x2 dy = /
V=/
0
0
6
V= /
16
Do¤ru Cevap C
164
0
6
2
(y )2 dy = /
4
0
1 y4 dy
16
y5 6
y4 dy = /
= / (65 - 0)
16 5 0
80
= 486/ br3
5
MATEMAT‹K 8
10.
A=
e x Sinx dx = e x Sinx -
A = e x Sinx - e x Cosx -
e x Cosx dx
e x Sinx dx
2A = e x Sinx - e x Cosx
A=
e x (Sinx - Cosx)
2
Do¤ru Cevap B
165
ÜN‹TE III
L‹NEER CEB‹R
MATR‹SLER
Matrisin
‹ki matrisin eﬂitli¤i
Toplama iﬂlemi ve özellikleri
Matrislerde skalarla çarpma iﬂlemi ve özellikleri
Matrislerde çarpma iﬂlemi
Çarpma iﬂlemine göre birim matris
Kare matris
Matrislerde çarpma iﬂleminin özellikleri
Kare matrisin kuvvetleri
Bir matrisin çarpma iﬂlemine göre tersi
Matrislerde transpoz (Devrik) iﬂlemi
Matrislerde transpoz (Devrik) iﬂlemin özellikleri
DETERM‹NANTLAR
Determinant
Sarus kural›
Determinantlar›n özellikleri
Lineer Dönüﬂümler
Örnekler
MATEMAT‹K 8
☞
BU BÖLÜM NELER‹ AMAÇLIYOR?
☞
Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde)
* Matrisin tan›m›n› kavrayacak,
* ‹ki matrisin eﬂit olup olmad›¤›n› iﬂlem yaparak görecek,
* Matrislerde toplama, ç›karma, çarpma iﬂlemlerinin nas›l yap›ld›¤›n› ö¤renecek,
* Birim ve kare matrisi tan›yacak,
* Kare kuvvetini almay› ö¤renecek,
* Bir matrisin çarpma iﬂlemine göre tersini alacak,
* Matrislerde devrik iﬂlemini tan›yacak
* Determinant›n devrik iﬂlemini tan›yacak,
* Determinant›n tan›m›n› kavrayacak,
* Minör ve kofaktör tan›mlar›n› ö¤renecek,
* Sarrus kural› ile determinant hesab›n› ö¤renecek,
* Determinant›n özelliklerini kavrayacak, ilgili örnekleri çözmeyi ö¤reneceksiniz.
☞
NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?
☞
* Tan›mlar› dikkatli okuyunuz,
* Çözülen örnekleri yazarak çal›ﬂ›n sürekli neden, niçin sorular›n› kendinize sorun,
* Bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› çözün.
168
MATEMAT‹K 8
MATR‹SLER
\
Günlük yaﬂant›m›zda say›lar›n, de¤iﬂkenlerin veya parametrelerin
oluﬂturdu¤u çeﬂitli tablolar yapmaya ihtiyaç duyar›z. Örne¤in bir fabrikan›n
üretti¤i dört tür mal›n ilk beﬂ ayl›k üretim miktarlar›n›n aylara göre
dökümünün verilmesi istenirse, bunu göstermenin yolu dört sat›r ve beﬂ sütundan
oluﬂan bir tablo haz›rlanmaktad›r. Sat›rlar›n karﬂ›s›na mal çeﬂitlerini, sütunlar›n
tepesine de aylar yaz›l›rsa, bir sat›r ile bir sütun kesiﬂti¤i yere de o ay içinde
üretilen o mal›n miktar› yaz›l›r. Bu tabloya üretim matrisi denir.
Ocak
ﬁubat
Mart
Nisan
May›s
Beyaz peynir
300
310
380
400
450
Kaﬂar peyniri
250
200
250
220
300
Tereya¤
200
200
120
200
250
Kaymak
250
200
300
300
200
Dört sat›r, beﬂ sütundan oluﬂan bu tablo, hangi mal›n hangi ay ne miktarda
üretildi¤ini göstermektedir.
Say›lar›n, de¤iﬂkenlerin veya parametrelerin oluﬂturdu¤u dikdörtgen
biçiminde bir tabloya bir matris denir.
Bir matrisi oluﬂturan nesnelere o matrisin elemanlar› denir. Yatay çizgiler
üzerinde yer alan matris elemanlar›na matrisin sat›rlar›, düﬂey çizgiler
üzerinde yer alan matris elemanlara matrisin sütunlar› denir.
m say›s›na matrisin sat›r say›s›
n say›s›na matrisin sütun say›s›
m sat›r ve n sütundan oluﬂan matrise
mxn türünde bir matris denir. Matrisler genelde
büyük harfler ile gösterilir.
➯
1 sat›r ve n sütunden oluﬂan matrise sat›r matrisi
1 sütün ve m sat›rdan oluﬂan matrisde sütun matrisi denir.
Örne¤in A = [a11 a12 ... a1n] 1xn matrisi 1xn türünden sat›r matrisidir,
169
MATEMAT‹K 8
B=
a11
a21
.
.
.
am1
matrisi mx1 türünden sütun matrisidir.
mx1
Örnek : A= 1 2 1 matrisinin türü ve eleman say›s›n› nedir?
2 -1 3
Çözüm : A matrisi 2 sat›r 3 sütundan (kolondan) oluﬂtu¤undan 2x3 tipinde bir
matristir.
Bu matrisin eleman say›s› 2x3 = 6 d›r.
1 2 3
Örnek : A = -1 -3 -2 matrisine göre
3 4 2
a11 + a21 . a32 - a13 = ?
Çözüm : a11 = 1
a21 = -1
a32 = 4
a13 = 3
(1. sat›r 1. kolona bak.)
(2. sat›r 1. kolona bak.)
(3. sat›r 2. kolona bak.)
(1. sat›r 3. kolona bak.)
O halde,
1 + (-1) . 4 - 3
1 - 4 - 3 = -6
➯
aij & aji
‹K‹ MATR‹S‹N Eﬁ‹TL‹⁄‹
\
170
Ayn› tipden, A = [aij]mxn ve B = [bij]mxn matrisleri verilsin. E¤er, i, j için
aij = bij oluyorsa A matrisi B matrisine eﬂittir denir ve A = B ile gösterilir.
‹ki matrisin eﬂit olmas› için her iki matrisin sat›r ve sütun say›lar› eﬂit olmal›,
ayr›ca, karﬂ›l›kl› olarak, matris elamanlar› birbirine eﬂit olmal›d›r.
MATEMAT‹K 8
Örnek : A =
x+y -3
5
B= 8
z
y
-3
6
A matrisi B matrisine eﬂit ise
x-y+z=?
Çözüm : x + y = 8 ,
x=2
5 = z,
y=6
x-y+z
2-6+5=1
MATR‹SLERDE TOPLAMA ‹ﬁLEM‹
Ayn› tipten iki matris, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn olsun.
A + B = [aij + bij]mxn
ﬂeklinde tan›mlan›r.
Örnek : A = 3
5
2
-1
B= 1 2 3
3 1 2
A+B bulunamaz çünkü A matrisi 2x2 tipinde B matrisi 2x3 tipindedir.
Örnek : A = 1
3
A+B =
\
1+3
3+2
,
B= 3
2
2+(-1)
= 4
-1+4
5
-1
4
1
3
A = [aij]mxn matrisinin, toplama iﬂlemine göre tersi, - A = [-aij]mxn matrisidir.
Örnek : A =
\
2
-1
2
3
-1
-2
matrisinin toplamaya göre tersi
-4
-3
1
olarak yaz›l›r.
4
Bütün elemanlar› s›f›r olan matrise s›f›r matris denir.
171
MATEMAT‹K 8
MATR‹SLERDE TOPLAMA ‹ﬁLEM‹N‹N ÖZEL‹KLER‹
Ayn› tipden A, B, C matrisleri için.
1) Toplama iﬂleminin de¤iﬂme özeli¤i vard›r, yani
A + B = B + A d›r.
2) Toplama iﬂleminin birleﬂme özeli¤i vard›r yani,
(A + B) + C = A + (B + C)
3) S›f›r matris, toplama iﬂlemine göre, etkisiz elemand›r yani,
A+O=O+A=A
4) A matrisinin toplama iﬂlemine göre tersi -A matrisidir, yani
A + (-A) = (-A) + A =O
A= 0
1
yukar›daki özelikleri
mümkündür.
1, B= 2
0
0
1, C= 1
1
3
2
-1
ile do¤rulamak
MATR‹SLERDE SKALARLA ÇARPMA ‹ﬁLEM‹ VE ÖZEL‹KLER‹
A = [aij]mxn B = [bij]mxn matrisler ve
aﬂa¤›daki özelikler vard›r.
sabitleri (skalerleri) için
p,q, D R
1) p. (A+B) = pA + pB
2) (p+q) A = pA + qA
3) p(qA) = (p.q)A
yukar›daki tan›ma uygun olarak aﬂa¤›daki örne¤i verebiliriz.
p=2
q=3
A= 1
0
0 ,
2
B= 2
0
1 olsun.
1
Örne¤in: 1. özelli¤i göstermek mümkündür.
p. (A+B) = 2.
pA + pB = 2. 1
0
1
0
0
2
+
2
0
0 +22
2
0
1
1
= 2.
1 = 2
1
0
3
0
1
6
=
3
0
0 + 4
0
4
2
6
2 = 6
2
0
2
6
Di¤er özelliklerinin varl›¤›n› yukar›daki örne¤i kullanarak görebiliriz.
172
MATEMAT‹K 8
k D R olmak üzere, bir A matrisi k gibi bir skaler ile çarp›m›
k.A = A.k
Örne¤in A = 2
5
-3A = -3.2
-3.5
3
4
-3.3
-3.4
8 ise -3A nedir? dersek,
6
-3.8 = -6
-3.6
-15
-9
-12
-24
-18
MATR‹SLERDE ÇARPMA ‹ﬁLEM‹
\
mxn tipinde A = [aij]mxn ile nxp türünde, B = [bjk]nxp matrisleri verilmiﬂ olsun.
A matrisinin i sat›r› ile B matrisinin k sütunundaki elemanlar karﬂ›l›kl› olarak
çarp›l›p, bu çarp›mlar toplan›rsa, A.B matrisinin terimi elde edilir. Bu ﬂekilde
elde edilen mxp tipindeki C = [cik]mxp matrisinde, A matrisi ile B matrisinin
çarp›m› denir.
➯
A ile B matrislerinin çarp›lmas› için, A matrisinin sütun say›s›, B matrisinin sat›r say›s›na eﬂit olmal›.
Örne¤in : A matrisi 3x2 tipinde bir matris
B matrisi 3x2 tipinde bir matris olsun.
A matrisi ile B matrisini çarpamay›z çünkü, A matrisinin sütun say›s› 2, B matrisinin
sat›r say›s› 3 dür. 2 & 3
➯
Matrislerde çarpma iﬂleminin de¤iﬂme özeli¤i yoktur. A.B & B.A dir.
Yukar›daki tan›m›, kullan›lmaya uygun olarak açarsak; ö¤renciler taraf›ndan daha iyi sonuç
al›naca¤› kesindir. Yani
A=
a
d
b
e
c
f
m
B= p
r
n
q
z
matrisleri çarpal›m.
a.m+b.p+c.r
a.n+bq+cz
d.m+e.p+f.r
d.n+e.q+f.z
A.B=
173
MATEMAT‹K 8
-1
Örnek : A = 3
4
2
1
1
B = -2
4
(-1) (-2) + 2.4
A . B = 3.(-2) + 1.4
4.(-2) + 1.4
➯
3
0
-1.(3) + 2.0
10
3.3 + 1.0 = -2
-4
4.3 + 1.0
-3
9
12
A.B & B.A oldu¤unu gösterebilirsiniz.
Yukar›daki örne¤e bakarak
A matrisi mxn tipinde B matrisi nxs tipinde ise oluﬂan çarp›m matris mxs tipindedir.
Örnek : A = [aij]3x4
B = [bij]4x6 tipinde iseler,
[A.B]3x6 yani, 3x6 tipinde bir matris elde edilmiﬂ olur.
ÇARPMA ‹ﬁLEM‹NE GÖRE B‹R‹M MATR‹S
mxm tipinde bir A matrisi için
a ij =
1 , i = j ise
0 , i & j ise
oluyorsa, A matrisine m. s›radan birim matris denir ve In ile gösterilir.
KARE MATR‹S : Sat›r say›s› sütun say›s›na eﬂit olan matrise denir. O hâlde
çarpmaya göre birim matris karesel matrisdir. Aﬂa¤›dakilerin hepsi birim matrisidir.
‹nceleyiniz :
➯
174
I2 = 1
0
0
1 4x4
1
I4 = 0
0
0
0
1
0
0
A.In = In.A
0
0
1
0
1
I3 = 0
0
0
1
0
0
0
1 3x3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
I5 =
0
1 4x4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1 5x5
MATEMAT‹K 8
Örnek : A = 2
4
A.I = 2
4
3 ,
5
I= 1
0
0
1
0 = 2.1 + 3.0
1
4.1 + 5.0
= 2 3
4 5
3 . 1
5 0
2.0 + 3.1
4.0 + 5.1
MATR‹SLERDE ÇARPMA ‹ﬁLEM‹N‹N ÖZEL‹KLER‹
A matrisi mxn tipinde B matrisi nxp tipde C matrisi pxs tipinde olmak üzere
1) A.B.C matrisi mxs tipinde bir matrisdir.
2) A. (B.C) = (A.B).C
3) A matrisi mxn tipinde, B ve C matrisleri nxp tipinde olmak üzere
A.(B+C) = A.B + A.C
4) A ve B matrisleri mxn tipinde, C matrisi nxp tipinde olmak üzere
(A+B).C = A.C + B.C
5) A matrisi mxn tipinde, B matrisi nxp tipinde ve KD R olmak üzere
k.(A.B) = (k.A). B = A.(k.B)
Örnek : A = 1
3
2
2
3
4
1
B= 0
0
2x3
A.(B+C) = A.B + A.C
Çözüm :
2
2
3 .
4
= 1
3
1
1
2
0
1
3
3 .
4
9 11 25
13 14 38
1 2 3 1
A.B + A.C =
. 0
3 2 4 0
2
0 ,
1
0
C= 1
2
0
0
1
2
3
4
oldu¤unu gösteriniz.
A.(B+C) = 1
3
2
2
0
1
2
1
0
0
4
3
5
0
1
2
=
2
0
0 + 1
1
2
1+2+6
3+2+8
0
0
1
2
3
4
0+2+9
0+2+12
4+6+15
12+6+20
=
0
1
2
= 1+0+0
3+0+0
0+2+6
0+2+8
= 1
3
5 + 8
10
10
8
10
2
1
0 +
1
3
3
0
0
1
2+0+ 3 + 0+2+6
6+0+4
0+2+8
0+0+3
0+0+4
3
4
2
2
20 = 9
28
13
0
. 1
2
4
11
14
2
3
4
2+6+12
6+6+16
25
38
175
MATEMAT‹K 8
KARE MATR‹S‹N‹N KUVVETLER‹
n. s›radan bir kare matris A ve kDN+ ise Ao = I , A1 = A , A2 = A.A , A3 = A.A2,
..., Ak = A.Ak-1
➯
Birim matrisin tüm pozitif tam say› kuvvetleri kendisine eﬂittir.
I2 = I , I3 = I , ... , Ik = I
ﬂeklinde gösterilir.
Örnek : A = 1
3
2 ise A3 matrisi nedir?
0
Çözüm :
A2 = A.A oldu¤undan,
1
3
2 . 1
0 3
2 = 1.1+2.3
0
3.1+0.3
1.2+2.0 = 7
3.2+0.0
3
2
6
7.2+2.0 = 13
3.2+6.0
21
14
6
A3 = A2 .A oldu¤undan,
7
3
2 . 1
6 3
2 = 7.1+2.3
0
3.1+6.3
olarak bulunur.
B‹R MATR‹S‹N ÇARPMA ‹ﬁLEM‹NE GÖRE TERS‹
A, n. s›radan bir kare matris olsun.
A.B = B.A = In
\
eﬂitli¤ini sa¤layan n. s›radan bir B kare matrisi varsa B ye, A n›n çarpma
iﬂlemine göre tersi denir ve
B = A-1
ﬂeklinde gösterilir.
Buradan,
A.A-1 = A-1.A = I
ﬂeklinde ifade edilir.
176
MATEMAT‹K 8
Örnek : A = 3
2
2 matrisinin çarpmaya göre tersi nedir?
-1
Çözüm : Yukar›daki tan›mdan yararlan›rsak, yani
A.A-1 = I
oldu¤unu biliyoruz. O hâlde,
3
2
2 . A-1 = 1
0
-1
A-1 = a
c
3
2
b olarak keyfi seçelim
d
2 . a
-1 c
b = 1
d
0
3a+2c = 1
3b+2d = 0
2a-c = 0
2b-d = 1
0
1
oldu¤unu görürüz. Bu denklemi çözdü¤ümüzde a, b, c, d yi buluruz.
3a+2c = 1
2a-c = 0
3b+2d = 0
2
0
1
3b+2d = 1
0
2b-d
3a+2c
2a-c
2
0
1
2b-d = 1
7a = 1
a=1
7
7b = 2
b=2
7
3. 1 +2c = 1
7
2c = 1- 3
7
c= 2
7
3. 2 +2d = 0
7
1
7
O hâlde A =
2
7
-1
2
7
-3
7
2d = - 6
7
d=-3
7
olarak bulunur.
177
MATEMAT‹K 8
➯
Pratikde A = a b kare matrisinin, çarpma iﬂlemine göre
c d
tersini bulurken, aﬂa¤›daki iﬂlem yap›l›r.
A= a
c
b ise
d
A -1 =
1 . d -b d›r.
-c a
ad-bc
ad- bc & 0 olmak zorundad›r.
O hâlde bir önceki örne¤i pratik olarak çözelim..
A= 3
2
A -1 =
1
7
=
2
7
2 verilmiﬂti. Burada a=3, b=2, c=2, d=-1
-1
1
, -1
3.(-1) -2.2
-2
-2 = - 1
7
3
-1
-2
-2
3
2
7
-3
7
Örnek : A = 2
5
matrisinin, çarpma iﬂlemine göre tersi olmas› için x
3
x
hangi de¤eri alamaz?
Çözüm : 2x - 15 = 0
2x = 15
x = 15 olamaz.
2
TEOREM : a) Bir kare matrisinin, çarpma iﬂlemine göre tersi varsa, tersi tekdir.
b) Bir A kare matrisinin tersi varsa, A-1 matrisinin de tersi vard›r. Yani,
(A-1)-1 = A
c) A ve B kare matrislerinin tersi varsa ve A.B ile B-1 . A-1 tan›ml› ise
(A.B)-1 = B-1 . A-1
dir.
Örnek : A = 1
2
2
0
B= 2
0
1
2
iki karesel matris verilsin.
(A.B)-1 = B-1 . A-1 oldu¤unu gösteriniz.
178
MATEMAT‹K 8
Çözüm : A.B = 1
2
(A.B)
B = 1 2
4-0 0
1 = 2
4
2
1
-1 = 2
2
0
0
A = 1 . 0 -2 =
0 -4 -2 1
1
2
-1
B .A
-1
5
16
-1
8
-1
4
1
2
-1
1
= 2
0
5
2
-1
2 -5
1
=
= 8
4-20 -4 2
1
4
-1
-1
2 . 2
0 0
-1
0
4 .
1
1
2
2
1
2
- 1
4
1
2 =
-1
4
-1
8
1
4
1 + 1
4
16
-1
8
-1
= 8
1
4
5
16
-1
8
O hâlde (A.B) -1 = B-1 . A-1
Oldu¤u gösterilmiﬂ oldu.
MATR‹SLERDE TRANSPOZ (DEVR‹K) ‹ﬁLEM‹
\
A = [aij]mxn matrisini, sat›rlar›n› sütun ve sütunlar› sat›r hâline getirirken elde
edilen [aji]nxm matrisine, A matrisinin transpozu (devri¤i) denir ve AT ile
gösterilir.
MATR‹SLERDE TRANSPOZ (DEVR‹K) ‹ﬁLEM‹N‹N ÖZEL‹KLER‹
A ve B matrisleri için; A+B, A.B, A-1 matrisleri tan›ml› ve kDR olmak üzere
a) AT T = A (Bir matrisin transpozunun transpozu kendisine eﬂittir.)
b) (A+B)T = AT+BT
c) (A.B)T = BT.AT
d) (k.A)T = k.AT
e) (AT)-1 = (A-1)T
179
MATEMAT‹K 8
1
Örnek : A = 3
4
2
0
5
matrisi verilsin.
3x2
b) (AT)T = A
a) AT = ?
Çözüm : a) AT = 1
2
b) (A )
T T
➯
3
0
= 1
2
oldu¤unu göster.
4
5
3
0
1
4T = 3
5
4
2
0
5
Transpozu al›nan matrisin sat›rlar› sütun, sütunlar› sat›r oldu.
ÖRNEKLER
1) A = -2 3
4 -5
B= 3
-1
4
7
ise
Çözüm : A+B = -2 3 + 3
4 -5
-1
2) A = 2
3
5
-1
A+B = ?
4 = -2+3 3+4 = 1
7
4-1 -5+7
3
matrisinin toplamaya göre ters matrisini bulunuz.
Çözüm : A + A-1 = 0 buradan,
2
3
5 + a
c
-1
2+a = 0
b = 0
d
0
ise a=-2
5+b = 0 ise b = -5
O halde
3) A = 3
180
7
2
A -1 = -2
-3
0
0
olur.
3+c = 0 ise c = -3
-1+d = 0 ise d=1
-5
1
5 , B= -2 ise A.B nedir?
7
MATEMAT‹K 8
5 . -2 = 3(-2) + 5.7 = -6+35 = 29
7
Çözüm : A= 3
Dikkat edilirse A matrisi 1x2 tipinde B matrisi 2x1 tipinde, dolay›s›yla A.B matrisi
1x1 tipindedir.
1 2 -1
4) A = -3 2 1
2 0 3
3x3
1
B= 2
3
2
-1
4
ise A.B nedir?
3x2
Çözüm : A.B matrisi 3x2 tipinde oldu¤u bellidir.
1 2 -1
A = -3 2 1
2 0 3
5) A = -3
1
2
4
1
. 2
3
2
-1
4
B= 1
3
1
3
1.1+2.2+(-1).3
= -3.1+2.2+1.3
2.1+0.2+3.3
C = -1
2
1.2+2.(-1)+(-1).4
2
-3.2+2.(-1)+1.4 = 4
11
2.2+0.(-1)+3.4
-4
-4
16
1 ise
1
A - B.C matrisinin eﬂiti nedir?
Çözüm : ‹ﬂlem s›ras›n› göz önüne alal›m. O hâlde önce çarpma iﬂleminden
baﬂlayal›m.
B.C =
1
3
A - B.C =
6) -3
2
1 . -1
3 2
-3
1
1
4
1 = -1+2
1
-3+6
2 - 1
4 3
2 = -4
6
-2
1+1 = 1
3+3
3
2
6
0
-2
matrisinin çarpma iﬂlemine göre ters matrisi nedir?
Çözüm : A.A-1 = I oldu¤unu biliyoruz. O hâlde,
-3
2
1 . a
4 c
-3a+c
2a+4c
b = 1
d
0
0
1
-3b+d = 1
2b+4d
0
0
1
-3a+c = 1
-3b+d = 0
2a+4c = 0
2b+d = 1
181
MATEMAT‹K 8
eﬂitliklerinden yok etme kural› ile a, b, c, d yi bulal›m.
-3a+c = 1
-3a + 1 = 1 den
2
14c = 2
7
1 - 1 = 3a
c=1
3
2a+4c = 0
7
7
- 6 =a
21
-12b+4d = 0
b= 1
4
-3b+d = 0
14
2b+4d = 1 -2b - 4d = -1
-1
b = 1/14 denklemde yerine yaz.
o halde
A
-1
-2
-1
-3
1
7) A = 2
5
= -2/7
1/7
d = 3/14 olur.
-2
1/14 = 1
7 1
3/14
1
2
3
2
3
4 ise A matrisinin transpozu (devri¤i) nedir?
2
1
Çözüm : At = -2
3
2
-1
4
5
-3
2
DETEM‹NANTLAR
\
Elemanlar› reel say›lar olan nxn tipindeki kare matrislerin kümesinden,
reel say›lar kümesine tan›mlanan fonksiyona, determinant fonksiyonu denir.
A karesel matrisinin determinant›, det A veya |A| ile gösterilir.
1x1 tipindeki karesel matrisin determinant› yani,
det [a11]1x1 = a11 dir.
Örnek : a) det [2] = 2
b) det [5] = 5
2x2 tipindeki matrislerin determinant› al›n›rken,
\
A =
a
b
c
a
a
det A =
- c
182
olsun.
b
= ad - bc
d +
ile ifade edilir.
MATEMAT‹K 8
Örnek : A = 1
3
2 ise detA nedir?
4
1
2
= 1.4 - 2.3 = 4-6 = -2
4 +
Çözüm : det A =
3
-
-Cosx
Sinx
Örnek : A = Sinx
Cosx
Sinx
Çözüm : det A =
-
Cosx
ise det A nedir?
-Cosx
= Sinx . Sinx - Cosx. (-Cosx)
Sinx +
= Sin2 x+cos 2x
=1
Örnek :
2000
2002
2001 = ?
2003
Çözüm : 2000.2003 - 2001.2002
basitlik olsun diye 2000 = x diyelim.
x (x+3) - (x+1) (x+2)
x2 + 3x - (x2+3x+2) = x2+3x - x2-3x-2
= -2
\
A = [aij] kare matrisinin, bir aij teriminin bulundu¤u i. sat›r ve j. sütun
at›ld›¤›nda, geriye kalan matrisin determinant›na aij terimin minörü denir. ve
Mij ﬂeklinde gösterilir.
1
Örnek : A = 2
1
2
1
3
3
0 matrisinin, a 12 teriminin minörünü bulunuz.
-1
Çözüm : M12 bulunurken, A matrisin 1. sat›r› ve 2. sütunu yok edilir, geriye kalan
k›sm›n determinant› al›n›r. yani;
183
MATEMAT‹K 8
1
M12 = 2
1
2 3
1 0
3 -1
M12 = 2 0 = -2-0 = -2
1 -1
\
A = [aij]mxn kare matrisinde, (-1)i+j . Mij ifadesine, aij terimin kafaktörü denir
ve Aij ile gösterilir.
1
Örnek : 2
1
2
1
3
3
0 matrisinde a 23 teriminin kafaktörünü bulunuz.
-1
Çözüm : A23 = (-1)2+3 . M23
M23 bulunurken, 2. sat›r ve 3. kolon yok edilir. Geriye kalan k›sm›n determinant›
al›n›r.
1 2 3
1 2
M23 = det 2 1 0 =
= 3-2 = 1
1 3 -1
1 3
A23 = (-1) 2+3 . 1 = (-1) 5 . 1 = -1 . 1 = -1
\
3x3 tipindeki bir karesel matrisin determinant›n› hesaplarken, bir sat›r›na ya
da bir sütununa göre aç›l›m yaparak hesaplayabiliriz. Her ikisi de ayn› sonucu
verir.
a) Bir sat›ra göre hesaplama :
3x3 tipindeki bir matris ,
A=
a 11 a 12
a 21 a 22
a 31 a 32
1. sat›ra göre det A = a11 A11 + a12 . A12+a13 A13
2. sat›ra göre det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
3. sat›ra göre det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33
Her üç hesaplama ayn› sonucu verir.
184
a 13
a 23
a 33
olsun.
MATEMAT‹K 8
1
Örnek : A = 2
2
1
3
3
2
1
-1
olsun. det A nedir?
Çözüm : 1. sat›ra göre hesaplarsak,
det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 o hâlde,
det A = 1.A11 + 1. A12 + 2. A13
A11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 . 3 1 = 1. 3 1 = -3 -3 = -6
3 -1
3 -1
A12 = (-1)1+2 M12 = -1. 2
2
A13 = (-1) 1+3 M13 = 1. 2
2
1 = -1. (-2-2) = 4
-1
3 =0
3
buldu¤umuz kafaktörleri yerlerine koyarsak.
det A = 1.(-6) + 1.4 + 2.0 = -6+4 = -2
Siz de 2. sat›r ve 3. sat›ra göre aç›n›z. Göreceksiniz ki ayn› sonucu verir. Ancak,
yukar›da uzun iﬂlemler yerine 3x3 tipindeki matrislerin determinantlar›n› bulmak
için daha basit olan sarus kural› kullan›lmaktad›r.
SARRUS (SARUS KURALI)
3x3 tipinde A =
det A =
a 11
a21
a31
a 11 a 12 a 13
a21 a 22 a 23
a31 a 32 a 33
a12
a 22
a32
a 13
a 23
a 33
matrisi verilsin.
=
-
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
+
= a11. a22 a33+a 21. a32 . a13 + a31 a12 a23 - (a13. a22 a31 + a23 a32 a11+ a33 a12 a21)
185
MATEMAT‹K 8
a) Determinant›n ilk iki sat›r›, determinant›n alt›na eklenir.
b) Sa¤ köﬂegenler üzerinde bulunan elemanlar çarp›l›r ve bu çarp›mlar toplan›r.
c) Sol köﬂegenler üzerinde bulunan elemanlar çarp›l›r ve bu çarp›mlar toplan›r.
(b) ve (c) sonuçlar› birbirinden ç›kart›l›r.
1
Örnek : A = 2
2
1
3
3
1
2
det A = 2
1
2
1
3
3
1
3
2
1
-1
olsun. det A nedir?
2
1
-1
2
1
= 1.3. (-1) + 2.3.2 + 2.1.1 - 2.3.2 + 1.3.1 + (-1).1.2
= -3 + 12 + 2 - 12 + 3 -2
➯
= 11 - 13 = -2
3x3 tipindeki matrislerin determinantlar›n› sarus kural› ile ö¤renmenizde fayda olacakt›r.
DETERM‹NANTLARIN ÖZEL‹KLER‹
1. Bir determinant›n, herhangi bir sat›r› ya da sütunundaki elemanlar›n hepsi
s›f›r ise, bu determinant›n de¤eri s›f›rd›r.
Örnek : a)
2
5
0
3
6
0
4
8 =0
0
b)
0
0
0
-2
-6 = 0
4
3
4
5
2. Bir determinant›n, herhangi iki sat›r› ya da sütun elemanlar› karﬂ›l›kl›
olarak ayn› ise, bu determinant›n de¤eri s›f›rd›r.
Örnek : a)
186
1
4
1
2
5
2
3
6
3
=0
b)
2
1
3
4
7
9
2
1
3
=0
MATEMAT‹K 8
3. Bir determinant›n, herhangi iki sat›r› ya da sütun elamanlar› karﬂ›l›kl›
orant›l› ise, bu determinant›n de¤eri s›f›rd›r.
Örnek :
2
4
4
a)
3
-1
6
1
3
2
=0
b)
1
2
3
1 kat›
2
4 2
6 3 =0
10 5
4. A, n.s›radan bir kare matris (nxn tipinde) ise det A = det AT
1 2
Örnek : A = 3 1
2 1
3
0
-1
olsun,
1
= 2
3
3
1
0
2
1
-1
1
det A = 3
2
2
1
1
3
0 = (-1+9) - (6+0-6) =8
-1
1
3
2
1
3
0
1
= 2
3
3
1
0
2
1 = (-1+0+9) - (6+0-6) = 8
-1
1
2
3
1
2
1
A
T
det A
T
5. Bir determinant›n, bir sat›r ya da bir sütunu, bir kDR say›s› ile çarp›l›rsa bu
determinant›n de¤eri de k ile çarp›lm›ﬂ olur.
Örnek : A = 2
3
1
4
matrisi olsun.
3. (det A) -1 = ?
2
Çözüm : det A =
3
1 = 8-3 = 5
4
3. det A -1 = 3.5 -1 = 14
187
MATEMAT‹K 8
Örnek : A = a
c
b
d
ise
k.A = ka
c
kb = a
d
kc
b = ka
kd
kc
b= a
d
c
kb
kd
6. Bir determinant›n, herhangi iki sat›r› ya da herhangi iki sütunun yerleri
de¤iﬂirse determinant›n iﬂareti de¤iﬂir.
Örnek : A = 1
3
2 ise
4
det A = 4-6 = -2
B= 3
1
4 ise
2
det B = 6-4 = 2
sat›rlar›n yerleri de¤iﬂti. ‹ﬂaret de de¤iﬂti.
7. Bir determinant›n bir sat›r›ndaki ya da bir sütunundaki elemanlar, kDR ile
çarp›l›p baﬂka bir sat›ra ya da sütuna karﬂ›l›kl› olarak eklenirse,
determinant›n de¤eri de¤iﬂmez.
1
2
3
2
1
0
1
1
4 = 2
5
3
2
1
0
3.1+1
1
3.2+4 = 2
3.3+5
3
2
1
0
4
10
14
1. sütun 3. ile çarp›p 3. sütunu ekledik. Her iki determinant›n sonucunu sarus kural›
ile bulunuz. Göreceksiniz ki; sonuçlar ayn›d›r.
8. (x,y,z) koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin koordinatlar› A(x,y,z),
B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3) olsun. ABC ücgeninin alan›
A= 1
2
x 1 y1 z 1
x2 y2 z 2
x3 y3 z 3
ile bulunur.
L‹NEER DÖNÜﬁÜMLER
T= a
c
b
d
Lineer dönüﬂüm matrisi A(x 1, y 1) noktas›n›
K(x, y ) noktas›na dönüﬂtürüyorsa,
a c . x1 = x
y
b a y1
ﬂ eklinde gösterilir.
188
MATEMAT‹K 8
ÖRNEKLER
2
1) A =
3
3 ,
4
B= 1
-1
2
2
ise
det (A+B) de¤eri nedir?
Çözüm : A + B = 2+1
3-1
3+2 = 3
4+2
2
5 = 3
6
2
det 3
2
5
5
6
= 18-10 = 8
6
2) Sarus kural› ile aﬂa¤›daki matrisin determinant›n› bulunuz.
1 2
A = -2 1
5 -1
1
Çözüm : -2
5
1
-2
3
4
2
2
1
-1
3
4 = (2+6+40) - (15-4-8) = 48-3 = 45
2
2
1
3
4
3) (x, y, z) koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin köﬂelerinin koordinatlar›
A(1, 2, 3) B(-1, -2, 1) C(1, 3, 4) oldu¤una göre bu ABC üçgeninin alan› nedir?
Çözüm :
A(ABC) =
Alan› =
1
2
1
2
1
-1
1
1
-1
x1
x2
x3
2
-2
3
2
-2
y1
y2
y3
3
1
4
3
1
z1
z2
z3
=1
2
dir.
o halde,
( -8-9+2) - ( -6+3-8)
= 1 -15 + 11 = 1 -4 = 2 br2
2
2
189
MATEMAT‹K 8
4)
1
3
2
2
1
1
Çözüm :
-1
0
= 0 ise x = ?
1-3x
Sarus kural›na göre,
1
3
2
2
1
1
1
3
2
1
-1
0 = 0 ise
1-3x
-1
0
(1 -3x - 3+0) - (-2 + 0 + 6-18x) = 0
1-3x -3 + 2-6+18x = 0
15x -6 = 0
x= 6 = 2
15 5
5)
1
0
2
a a
1 2 = a - 2a 2
a2 1
Çözüm :
ise
Sarus kural›na göre,
1
0
2
a a
1 2 = (1+0+4a) - (2a+2a 2+0)
a2 1
1
0
a
1
a = 4a+1 -2a2 - 2a
2 = -2a2 + 2a+1
-2a2 + 2a+1 = a-2a2
2a+1 = a
a = -1
190
a=?
MATEMAT‹K 8
ÖZET
Bu bölümde, aﬂa¤›daki durumlar ö¤rencilere verilmeye çal›ﬂ›lm›ﬂt›r.
- Matrisin tan›m›
- ‹ki matrisin eﬂitli¤i
- Matrislerde dört iﬂlem ve skalar ile çarpma iﬂleminin özelikleri
- Birim matris ve kare matris tan›t›lm›ﬂt›r.
- Kare matrisin kuvvetleri örneklerle ö¤rencilere tan›t›lm›ﬂt›r.
- Bir matrisin çarpma iﬂlemine göre tersi ö¤rencilere tan›t›lm›ﬂt›r.
- Matrislerde devrik iﬂlemi ö¤rencilere tan›t›lm›ﬂt›r.
- Determinant›n tan›m›
- Minör ve kafaktör tan›mlar›
- Sarrus kural› ile determinant çözümü ö¤rencilere tan›t›lm›ﬂt›r.
- Determinant›n özellikleri tan›t›l›p, örneklerle ö¤rencilerin anlama durumlar›
h›zland›r›lm›ﬂt›r.
191
MATEMAT‹K 8
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ (3)
-1
1
1) A = 1
2
ise A15 ise matrisi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) (-2) 15
1
0
C) 415 3
1
-1
1
2) -1
3
x
2 .
6
1
4
3)
1
12
D) 415 3
1
1
6 = 1
0
y
0
1
-1
1
-1
1
oldu¤una göre xy çarp›m› kaçt›r?
C) -1
16
D)- 1
12
1
3 matrisinin tersi kendisine eﬂit oldu¤una göre a aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
b
A) 1
12
x 1
4) 2 3
x 5
B) 1
3
C)
17
6
D) 35
6
x
4 = 16 denkleminin kökü kaçt›r?
x
B) -1
A) 0
5) 99876
99874
C) -2
D) -3
98877 determinant›n de¤eri nedir?
99875
A) (99870)2
6) T = a
c
B) (-2) 15 1
0
B) -1
18
A) - 1
24
a
0
1
b
d
A) (-4,6)
B) 99872
C) 99882
D) 2
matrisi A(1, 2) noktas›n› (-2,3) noktas›na dönüﬂtürüyorsa
B(2,4) noktas› hangi noktaya dönüﬂür?
B) (-1, 3 )
C) (2,-3)
D) (2,3)
2
x+1 2 3
7) 1 x+2 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
1 2 x+3
A) {-1, -2, -3}
B) {0, -6, 6}
C) {-6, 0}
D) {0, -3, 2}
192
MATEMAT‹K 8
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹ (3)
-1
2
1) A = 1
3
-1 . 1
1
3
A2 = 1
3
-1 = -2
1
6
A3 = A2 . A = -2 1
-3
= -8 1
0
-2 = -2 1
-2
-3
1 . 1
1 3
1
1
-1 = -2 4
1
0
0 = -2.4 1
4
0
0
1
0 = -8, I = (-2) 3.I
1
A15 = (A3 ) 5 = ((-2) 3 )5 . I5
= (-2) 15 1
0
-1
2)
3
x
1
4
-1
2
1
4
-2 =
-1
-1 y = 1
2
12
-1
3) A.A = I
a 1
3
1
12
Do¤ru Cevap A
x 1
6 = 1 0
2 .
1 y
6
0 1
4
1
6
-1 2 -1 =
1
=
-1.6
- 2.3
3
6
y
6
=- 1
12 -3
x=
0
1
1
6
1
12
x.y = - 1
24
6
-3
-2
-1
Do¤ru Cevap A
o halde,
1
3
a
.
b
a2 + 1
36
a + b
12 12
a2 + 1 = 1
36
a = ± 35
6
= 1
0
b
1
12
a
3
1
36
+b
3
= 1
0
+b
2
0
1
0
1
a 2 = 35
36
Do¤ru Cevap D
193
MATEMAT‹K 8
x
4) 2
x
1
3
5
x
4
x = 16
sarrus kural› ile ise
x 1 x
2 3 4
3x2 + 10x + 4x - (3x2+20x + 2x) = 16
3x2 + 14x - 3x2 - 22x = 16
-8x = 16
Do¤ru Cevap C
x = -2
5) 99874 = x olsun.
x+2 x+3 = (x+1) (x+2) - x (x+3)
x
x+1
= x2 + 3x +2 - x2 - 3x = 2
6) T = a
c
b
d
Do¤ru Cevap D
Lineer dönüﬂüm matrisi A(x,y) noktas›n›
K(x,y) noktas›na dönüﬂtürüyorsa
a b . x1 = x dir.
y
y1
c d
a b . 1 = -2
c d
2
3
a
c
b . 2 = a
4
c
d
b 2. 1
d
2
=2 a
c
b . 1
d 2
= 2 -2 = -4
3
6
Do¤ru Cevap A
7) Sarrus kural› ile
(x+1) (x+2) (x+3) + 6+6 - [3(x+2) + 6(x+1) +2(x+3)] = 0
x3 + 6x2+11x + 6+12 - [3x + 6+6x+6+2x+6] = 0
x3 + 6x2 + 11x + 18 -11x -18 = 0
x3 + 6x2 = 0 ise x2 (x+6) = 0
x1 = 0 x2 = 0 x3 = -6
Do¤ru Cevap C
Ç.K = {-6, 0}
194
MATEMAT‹K 8
SÖZLÜK
-Aaç›
: Baﬂlang›ç noktalar› ortak olan, iki ›ﬂ›n›n bileﬂimi.
aral›k
: ‹ki say› aras›ndaki aç›kl›k.
artan fonksiyon
: x1, x2 D [a,b] için
x1<x2 ise f(x1) < f(x2) koﬂulunu sa¤layan fonksiyon.
ardaﬂ›k türevi
: Bir fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü, ..., n, türevleri.
asimptot
: Bir e¤rinin sonsuzda yaklaﬂt›¤› e¤ri veya do¤ru.
azalan fonksiyon
: x1, x2 D [a,b] için
x1<x2 ise f(x1) > f(x2) koﬂulunu sa¤layan fonksiyon.
-B'
0 , , '-', 0.', 00, 1', ' 0 ﬂeklinde ifade edilir.
0 '
belirsiz ifade
:
birim çember
: Merkezi orjinde bulunan ve yarçap› 1 birim olan çember.
büküm noktas›
: Bir fonksiyonun çukurlu¤unun yön de¤iﬂtirdi¤i nokta.
- C-Ç-D çift fonksiyon
: Tan›m kümesindeki her x eleman için f(-x) = f(x) olan
fonksiyon.
determinant
: Karesel matrisleri, reel say›lara dönüﬂtüren özel fonksiyon.
de¤iﬂken
: De¤iﬂik say› de¤erleri alabilen nicelik.
diferansiyel
: y= f(x) fonksiyonu için dy =f' (x).dx eﬂitli¤indeki dy ifadesi.
do¤al logaritma
fonksiyonu
: Taban› e olan logaritma fonksiyonu.
dönel cisim
: Düzlemsel bir bölgenin, bir do¤ru etraf›nda 360° dönmesinden
oluﬂan cisim.
195
MATEMAT‹K 8
- E-F-G e¤im
: Analitik düzlemde bir do¤runun 0x ekseni ile yapt›¤›, pozitif
yönlü aç›n›n tanjant›.
esas ölçü
: S›f›r ile 360° aras›nda olan aç› ya da yay ölçüsü.
ekstremum de¤er
: Bir fonksiyonun grafi¤inin uç noktalar›.
grafik
: Bir fonksiyonun belirtti¤i ikililere, düzlemde karﬂ›l›k gelen
noktalar›n kümesi.
- H-I-‹ integral
: Türevi bilinen bir fonksiyonun asl›n› bulma.
integrand
:
f(x) dx ifadesindeki f(x) fonksiyonu.
integrasyon sabiti
:
f(x) dx = F(x) + C = eﬂitli¤indeki C reel say›s›.
- K-L kapal› fonksiyon
: F(x,y) = 0 biçiminde yaz›lan fonksiyon.
kofaktör
: Bir kare matrisin aij teriminin kofaktörü, aij nin minörü ile
(-1)i+j nin çarp›m›d›r.
limit
: De¤iﬂken bir niceli¤in, istenilene yak›n olarak yaklaﬂt›¤› baﬂka
bir nicelik.
logaritma fonksiyonu: Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu.
- M-N maksimum de¤er
: Bir fonksionun belli bir aral›ktaki en büyük de¤er.
mxn türünde matris : m tane sat›r ve n tane sütundan oluﬂan matris.
196
minumum de¤er
: Bir fonksiyonun belli bir aral›ktaki en küçük de¤eri.
minör
: Bir kare matrisin, aij teriminin bulundu¤u i. sat›r ile j. sütunun
at›lmas› sonucu, geriye kalan matrisin determinant de¤eri.
norm
: Uzunluk.
normal
: Bir e¤rinin te¤etine, de¤me noktas›nda dik olan do¤ru.
MATEMAT‹K 8
- P-R-S periyodik fonksiyon : Bir f fonksiyonunun tan›m kümesindeki her x eleman› için
f(x+T) = f(x) eﬂitli¤ini gerçekleyen f fonksiyonu.
parametre
: Matematiksel bir denklemin, katsay›lar›na giren de¤iﬂken
nicelik.
sarrus kural›
: Üçüncü mertebeden bir determinant› hesaplama yöntemi.
skaler
: Reel say›.
-Ttek fonksiyon
: tan›m kümesindeki her x eleman› için f(-x) = -f(x) olan
fonksiyon.
ters matris
: çarp›mlar› birim matrisi veren iki matrisden biri.
türev
: Bir fonksiyondan limit ile elde edilen yeni bir fonksiyon.
transpoz
: Bir matrisin sat›rlar›n›n sütun yap›lmas› ile elde edilen matris.
- Ü-Y üs
: am say›s›ndaki m.
üstel denklem
: Bilinmeyeni, denklemin üstünde olan denklem.
yerel ekstremum
: Bir fonksiyonun belli bir aral›ktaki en büyük veya en küçük
de¤eri.
197
MATEMAT‹K 8
‹ﬁARETLER
198
N
: do¤al say›lar kümesi.
N+
: Pozitif do¤al say›lar kümesi.
Z
: Tamsay›lar kümesi
Q
: Rasyonel say›lar kümesi.
R
: Reel say›lar kümesi.
/
: Pi say›s› = 3,1415 926...
e
: e say›s› e = 2, 718281...

: ise

: Çift gerektirme.

: Baz›.

: Her.
|AB|
: [AB] nin uzunlu¤u
A(a,b)
: Koordinatlar› a ve b olan A noktas›.
EBAS
: En büyük alt s›n›r.
EKÜS
: En küçük alt s›n›r.
I, IA
: Birim fonksiyon.
|f|
: f fonksiyonun mutlak de¤eri.
Sgnf
: f fonksiyonun iﬂaret fonksiyonu.
[ ]
: Tam k›s›m sembolü.
loga
: a taban›na göre lo¤aritma fonksiyonu.
ln
: e taban›na göre logaritma fonksiyonu.
f' (x0)
: f fonksiyonun x0 noktas›ndaki türevi.
MATEMAT‹K 8
d f (x )
dx
: f fonksiyonunun x de¤iﬂkenine göre türevi.
dy
dx
: y nin x de¤iﬂkenine göre türevi.
d n f(x )
: f fonksiyonunun x de¤iﬂkenine göre n. basamaktan türevi.
dx n
d f(x)
: f fonksiyonun x de¤iﬂkenine göre diferansiyeli.
: belirsiz integral iﬂareti.
a
: Belirli (s›n›rl›) integral iﬂareti.
b
6x k
: [xk-1, xk+1] alt aral›¤›n›n uzunlu¤u.
A(f,p)
: f nin p bölüntüsüne göre alt toplam›.
Ü(f,p)
: f nin p bölüntüsüne göre üst toplam›.
R(f,p)
: f nin p bölüm türüne göre Riemann toplam›.
[aij]mxn
: m x n türünde matris.
aij
: Matrisin i. sat›r›nda ve j. sütununda bulunan eleman.
A-1
: A kare matrisinin çarpma iﬂlemine göre tersi.
AT
: A matrisinin devri¤i (transpozu)
|A|
: A kare matrisinin determinant›.
Mij
: Matrisinin aij eleman›n›n minörü.
Rank (A) : A matrisinin rank›
Aij
: Matrisinin aij eleman››n kofaktörü (eﬂ çarpan›)
Aij = (-1)i+j . Mij
199
MATEMAT‹K 8
KAYNAKÇA
Ellis, Robert, Gulick, Denny; Calculus One and Several Variables, London 1990.
Thomas, B. George; Thomas Üniversite Matemati¤i.
F›scher and Ziebur, Calculus and Analyt›c Geometry, Prentice Hall.
200
GÜNEY KIBRIS
RUM YÖNET‹M‹
NÖC: Nahcivan Özerk Cumhuriyeti
(Azerbaycan)
İl merkezleri
Başkent (Ankara)
(A
ZE N
RB .Ö
AY .C
CA
N)
Ö⁄RETMEN MARﬁI
Aln›m›zda bilgilerden bir çelenk,
Nura do¤ru can atan Türk genciyiz.
Yeryüzünde yoktur, olmaz Türk’e denk;
Korku bilmez soyumuz.
ﬁanl› yurdum, her buca¤›n ﬂanla dolsun;
Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun.
Candan açt›k cehle karﬂ› bir savaﬂ,
Ey bu yolda and içen genç arkadaﬂ!
Ö¤ren, ö¤ret hakk› halka, gürle coﬂ;
Durma durma koﬂ.
ﬁanl› yurdum, her buca¤›n ﬂanla dolsun;
Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun.
‹smail Hikmet ERTAYLAN

ba. forma - Açık Lise TV

Products

Support

ba. forma - Açık Lise TV

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib