3 - Belirsizliklerin giderilmesi.qxp

Belirsizliklerin Giderilmesi
Örnek 3
LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN
GÝDERÝLMESÝ
⎛ 3x 2 − x − 10 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 2 ⎝ x 2 + 5x − 14 ⎠
Limit iþlemini yaparken deðiþkenin yerine
deðerini koyduðumuzda,
0
0
∞
∞
,
,
∞−∞
,
0. ∞
,
1∞
,
Çözüm
00
x →2
3.2 + 5 11
bulunur.
=
2+7
9
Çözüm
x → −3
Örnek 1
lim
x(x + 2)
= lim (x + 2) = 0 + 2 = 2
x →0
x →0
x
x → −3
= lim
x + 1 − 1+ 1 0
* lim
=
=
x → −1 x + 1
− 1+ 1 0
= lim
x → −1
2x 3 + 54
2
x + 2x − 3
=
2( − 3)3 + 54
( − 3)2 + 2( − 3) − 3
=
0
0
belirsizli ði var dýr.
x 2 + 2x 02 + 2.0 0
=
=
x
0
0
= lim
x →2
(3x + 5) (x − 2)
3x + 5
= lim
(x + 7) (x − 2)
x →2 x + 7
⎛ 2x 3 + 54 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → − 3 ⎝ x 2 + 2x − 3 ⎠
lim
* lim
12 − 2 − 10 0
=
4 + 10 − 14 0
Örnek 4
kesirli fonksiyonun pay ve paydasý çarpanlarýna ayrýlýr ve sadeleþtirme iþlemi yapýlarak limit alma iþlemine devam edilir.
x →0
=
BELÝRSÝZLÝK HALÝ
f(x)
f(a) 0
lim
ise
=
=
g(a) 0
x → a g(x)
* lim
x + 5x − 14
= lim
=
0
0
2
x→2
belirsizliklerinden herhangi biri meydana
geliyorsa aþaðýda vereceðimiz yöntemlerle
önce fonksiyon belirsizliklerinden kurtarýlýr
daha sonra limit alýnýr.
1)
3x 2 − x − 10
lim
2(x 3 + 27)
x 2 + 2x − 3
x → −3
x +1
= lim 1 = 1
x + 1 x → −1
=
x2 − 4 4 − 4 0
=
=
x −2
2−2 0
= lim
x → −3
2(x + 3) (x 2 − 3x + 9)
(x + 3) (x − 1)
2
⎡
⎤
2(x 2 − 3x + 9) 2 ⎣( − 3) − 3( − 3) + 9 ⎦
=
−3 −1
x −1
2(9 + 9 + 9) 27
27
=
=−
dir.
−4
−2
2
Örnek 5
⎛ x − 2 − 2⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x−6 ⎠
x→6⎝
(x − 2) (x + 2)
= lim
= lim (x + 2) = 2 + 2 = 4
x →2
x →2
(x − 2)
Çözüm
x yerine deðiþkeni koyduðumuzda % belirsizliði vardýr. Bu haliyle çarpanlarýna da
ayrýlmýyor. O halde pay ve paydasýný kökten kurtaracak þekilde geniþletelim
Örnek 2
lim
x → −1
x 2 + 2x + 1 1 − 2 + 1 0
=
=
x +1
− 1+ 1
0
x 2 − y 2 = (x – y)(x + y)
özdeþliðiden yararlanmalýyýz.
(x + 1)2
= lim (x + 1) = − 1 + 1 = 0
x → −1 x + 1
x → −1
= lim
108
Belirsizliklerin Giderilmesi
lim
x→6
Örnek 8
( x − 2 − 2) ( x − 2 + 2)
.
(x − 6)
( x − 2 + 2)
= lim
x→6
⎛ x 2 + mx − 10 ⎞
lim ⎜
⎟ = 7 ise
⎟
x →2 ⎜
x −2
⎝
⎠
( x − 2 )2 − 22
m nin deðeri kaçtýr?
(x − 6) ( x − 2 + 2)
Çözüm
= lim
x→6
=
x−6
Verilen ifadenin limiti bir reel sayýya eþit
olduðuna göre, paydasý sýfýr olan kesrin
payýda sýfýr olmalý ve sadeleþmelidir.
(x − 6) ( x − 2 + 2)
1
6−2 +2
=
1
1
4
=
4 +2
Buna göre
lim
Örnek 6
x→2
⎛ 9 − x2 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 3 ⎜⎝ 2 − x 2 − 5 ⎟⎠
(x − 2 ) (x + 5)
= lim (x + 5)
x→2
(x − 2 )
= 2+5 = 7
olduðu bilinmektedir.
Çözüm
x 2 + mx – 10 = (x – 2)(x + 5)
9 − x2
x 2 + mx – 10 = x 2 + 3x – 10
⇒ m = 3 bulunur.
9 − 32
0
lim
=
=
2
x → 3 2 − x2 − 5
2− 3 −5 0
= lim
x→3
= lim
(9 − x 2 ) (2 + x 2 − 5 )
2
Örnek 9
2
(2 − x − 5 ) (2 + x − 5)
⎛ 1 − sin x ⎞
lim ⎜
limiti kaçtýr?
π ⎝ c os x ⎟⎠
x→
(9 − x 2 ) (2 + x 2 − 5 )
2
x→3
2
2
2
2 −( x − 5)
Çözüm
= lim (2 + x 2 − 5 ) = 2 + 3 2 − 5
1 − sin x
lim
=
π c os x
x→
x→3
= 2+ 4 = 2+2 = 4
2
π
2 = 1− 1 = 0
π
0
0
c os
2
1 − sin
⎛ 1 − sin x 1 + sin x ⎞
= lim ⎜
.
⎟
π ⎝ c os x 1 + sin x ⎠
x→
Örnek 7
⎛ x − x − 12 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 16 ⎝
4− x ⎠
2
⎛
1 − sin2 x
= lim ⎜
π ⎜ c os x (1 + sin x)
x→ ⎝
Çözüm
2
lim
x − x − 12
x → 16
4− x
=
16 − 16 − 12
4 − 16
=
0
0
⎛
⎞
c os2 x
= lim ⎜
⎟
π ⎜ c os x (1 + sin x) ⎟
x→ ⎝
⎠
2
2
= lim
x → 16
= lim
x → 16
⎞
⎟
⎟
⎠
x − x − 12
π
c os
⎛ c os x ⎞
2
= lim ⎜
⎟=
π
π ⎝ 1 + sin x ⎠
x→
1 + sin
2
2
−( x − 4)
( x − 4) ( x + 3)
−( x − 4)
=
= lim − ( x + 3) = −( 16 + 3) = − 7
x → 16
109
0
0
= = 0 bulunur.
1+ 1 2
Belirsizliklerin Giderilmesi
Örnek 10
Uyarý :
A ≠ 0 olmak üzere
⎛ sin(x 2 − 9) ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x−3
x→3 ⎝
⎠
A
=∞ ,
0
Çözüm
= lim
2
sin( x − 9 )
x →3
x→a
∞
belirsizliklerinden biri varsa
belirsizliði
∞
vardýr denir.
. lim ( x + 3 )
x2 − 9
∞
=∞
A
f( x )
+∞
−∞
if ade sinde
,
+∞
−∞
g( x )
lim
⎛ sin( x 2 − 9 ) ( x + 3 ) ⎞
lim ⎜
.
⎟
( x + 3 ) ⎟⎠
x →3 ⎜
⎝ ( x − 3)
A
=0 ,
∞
x →3
Bu tür belirsizlikler dizilerde limit konusunda incelenmiþti.
sin t
.( 3 + 3 )
= lim
t
t→0
= 1 . 6 = 6 bulunur.
Örnek 2
⎛ 2x 2 − x + 3 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → ∞ ⎝ x 2 + 2x ⎠
2)
∞
∞
BELÝRSÝZLÝK HALÝ
Çözüm
lim p( x )
x→ ∓∞
x→∞
ifadesinin limiti araþtýrýlýrken önce p(x) polinomunun derecesi belirlenir.
i)
2x 2 − x + 3
lim
lim p( x ) = +∞
x→∓∞
=
∞
∞
1 3
+
∞ ∞ = 2=2
2
1
1+
∞
2−
ii) p(x) in dercesi tek ise
x → +∞
x + 2x
→
⎛
1 3⎞
x2 ⎜ 2 − + 2 ⎟
x x ⎠
⎝
= lim
2⎞
x→∞
⎛
x2 ⎜1+ ⎟
⎝
x⎠
p(x) in derecesi çift ise;
lim p( x ) = +∞ ,
2
x → −∞ içinde soru çözüldüðünde sonucun ayný olduðunu görürüz.
lim p( x ) = −∞
x → −∞
Örnek 3
⎛ 3x − 5 ⎞
lim ⎜ 2
⎟ limiti kaçtýr?
x − x + 2⎠
Örnek 1
x →− ∞ ⎝
lim ( 2x 5 + 3x 2 + 4 ) = lim 2x 5 = −∞
x → −∞
x → −∞
Çözüm
daha fazla açýklamak gerekirse,
⎛ 3x − 5 ⎞ −∞ ∞
lim ⎜ 2
=
=
⎝ x − x + 2 ⎟⎠
∞
∞
⎛
3
4⎞
lim x ⎜ 2 + 3 + 5 ⎟
⎝
x → −∞
x
x ⎠
5
x → −∞
3 4⎞
⎛
= −∞ ⎜ 2 + + ⎟ = −∞ .2 = −∞
⎝
∞ ∞⎠
= lim
x → −∞
110
5⎞
⎛
x.⎜3 − ⎟
⎝
x⎠
⎛
1 2⎞
x.⎜ x − + 2 ⎟
x x ⎠
⎝
Belirsizliklerin Giderilmesi
Örnek 5
5
3−0
−∞
=
=
1
1
−∞ + 0 + 0
−∞ −
+
−∞ ∞
3−
=
⎛ 2x + x 2 − 1 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x+3
⎟⎠
x→∞ ⎜
⎝
3
= 0 dýr.
−∞
Çözüm
x → +∞ içinde soru çözüldüðünde sonucun ayný olduðunu görürüz.
lim
x →∞
2x + x 2 − 1 ∞ + ∞ 2 − 3 ∞
=
=
x+3
∞+3
∞
Örnek 4
⎛
1 ⎞
2x + x 2 ⎜1 −
⎟
x2 ⎠
⎝
= lim
x →∞
x+3
⎛ x 3 − 4x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → ∞ ⎝ x2 + 5 ⎠
2x + x . 1 −
Çözüm
lim
x→∞
x 3 − 4x
x2 + 5
= lim
=
⎛
1
x ⎜ 2 + 1−
⎜
x2
= lim ⎝
x →∞
⎛ 3⎞
x ⎜1+ ⎟
x⎠
⎝
4⎞
⎟
x⎠
= lim
x→∞
⎛
5⎞
x2 ⎜1+ 2 ⎟
⎝
x ⎠
⎛
x2 ⎜ x −
⎝
2 + 1−
4
∞−0
∞
=
=
=∞
5
1+ 0
1+
∞
=
∞−
x → −∞
3
1+
∞
x2
x+3
x →∞
∞
∞
1
1
∞
=
⎞
⎟⎟
⎠
2 +1
=3
1
( x → ∞ iç in x = x oldu ðunu hatýrlayýnýz.)
için soru çözüldüðünde sonucun
−∞ olduðunu görürüz.
Örnek 6
3
f( x ) =
Sonuç :
4x 2 + 3x − 2
lim f( x ) = ? ,
⎛ a xp + ...... ⎞
lim ⎜
⎟
x → ∓ ∞ ⎝ b x q + ...... ⎠
x → +∞
lim f( x ) = ?
x → −∞
Çözüm
þeklinde bir limit alýnýrken aþaðýdaki pratik
kural test
sorularýnda kullanýlabilir. Bu
kural yukarýdaki üç örnek incelendiðinde
ortaya çýkan bir sonuçtur.
x → ± ∞ iç in ∞ / ∞ º e klinde bir be lirsizlik var d ýr.
f( x ) =
i)
2x + 1 + 8x 3 − 2x
p>q ise limit ∞
ii) p=q ise limit a dir.
⎛
2 ⎞
2x + 1 + 3 x 3 ⎜ 8 −
⎟
x2 ⎠
⎝
⎛
3 2 ⎞
x2 ⎜ 4 + −
⎟
x x2 ⎠
⎝
2x + 1 + x . 3 8 −
b
=
iii) p<q ise limit sýfýrdýr.
111
2
x2
2
3
x . 4+ −
x x2
dir.
Belirsizliklerin Giderilmesi
A yrýc a x → ∞ iç in ,
Örnek 1
x =x
x → −∞ iç in ,
⎛ 4
1 ⎞
lim ⎜ 2
−
limiti kaçtýr?
x − 2 ⎟⎠
x →2 ⎝ x − 4
x = − x dir.
Buna göre,
2x + 1 + x. 3 8 −
* lim f( x ) = lim
x →∞
x→∞
x. 4 +
Çözüm
2
⎛ 4
1 ⎞ 4 1
−
= − = ∞−∞
lim ⎜ 2
x − 2 ⎟⎠ 0 0
x→2 ⎝ x − 4
x2
3 2
−
x x2
⎡
⎤
4
x+2
= lim ⎢
−
⎥
x → 2 ⎣ ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) (x + 2 ) ⎦
⎡
1
2 ⎤
x ⎢2 + + 3 8 −
⎥
x
x 2 ⎥⎦
⎢
= lim ⎣
x →∞
3 2
x 4+ −
x x2
=
*
3
2+0+ 8−0
4+0−0
lim f( x ) = lim
x → −∞
x → −∞
=
=
= lim
x→2
= lim
x→2
2+2
=2
2
=
⎡
1
2 ⎤
x ⎢2 + + 3 8 −
⎥
x
x 2 ⎥⎦
⎣⎢
3 2
− x. 4 + −
x x2
2+0+3 8−0
−1 4 + 0 − 0
=
4−x−2
( x − 2)( x + 2)
− ( x − 2)
( x − 2) ( x + 2 )
= lim
x→2
−1
x+2
−1
1
=−
2+2
4
Örnek 2
⎛ 1
⎞
5
lim ⎜
− 2
⎟ limiti kaçtýr?
x →2 ⎝ x − 3
x − x − 6⎠
2+2
= −2
−2
Çözüm
3)
⎛ 1
⎞ 1 5
5
lim ⎜
−
= − = ∞−∞
⎝ x − 3 x 2 − x − 6 ⎟⎠ 0 0
∞ − ∞ BELÝRSÝZLÝK HALÝ
lim
x→ ∞
[f( x ) − g( x )]
x→3
limitinde ∞ − ∞ belirsizliði
⎡
⎤
x+2
5
= lim ⎢
−
⎥
x → 3 ⎣ ( x + 2 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) (x − 3 ) ⎦
vardýr.
i)
Ýki ayrý kesirli ifade varsa paydalarý
eþitlenerek tek kesir haline getirilir.
= lim
x+2−5
x−3
= lim
( x + 2) ( x − 3 ) x → 3 ( x + 2)( x − 3 )
= lim
1
1
1
=
=
x+2 3+2 5
x→3
ii) Köklü ifade varsa bunu rasyonel yapacak
geniþletmeler yapýlýr.
x→3
Örnek 3
iii) Tanjant veya kotanjant ifadeleri varsa, yerine sinüs ve kosinüs cinsinden eþitlikleri
yazýlýr.
lim ⎛ x 2 + x − x ⎞ limiti kaçtýr?
⎝
⎠
x →∞
i, ii, iii ifadeleri uygulandýðýnda ∞ − ∞ belirsizliði
0
0
veya
∞
∞
Çözüm
belirsizliklerinden
lim ⎛ x 2 + x − x ⎞ = ∞ − ∞
⎝
⎠
birine dönüþtürülerek limit alma iþlemine
bu belirsizlikelerde uyguladýðýmýz kurallar
uygulanýr.
x→∞
Verilen ifadenin eþleniði ile payýný ve pay
dasýný çarparak ifadeyi rasyonel yapalým.
112
Belirsizliklerin Giderilmesi
⎛ x2 + x − x ⎞ ⎛ x2 + x + x ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
⎠⎝
⎠
lim ⎝
2
x →∞
x +x +x
x →∞
a m .1
= lim
a x+
m→∞
m→∞
x →∞
x
1+
1
+x
x
m2
d ýr.
lim x − x 2 + 5x limiti kaçtýr?
x →∞
⎛
⎞
1
x ⎜ 1 + + 1⎟
⎜
⎟
x
⎝
⎠
x →∞
Çözüm
1
= lim
1
1
+1
∞
=
I. Yol:
x → ∞ iç in ∞ − ∞ be lirsizli ði var dýr.
1
1+ + 1
x
x →∞
⎛ x − x 2 + 5x ⎞ ⎛ x + x 2 + 5x ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
⎠⎝
⎠
lim ⎝
2
x →∞
x + x + 5x
1
1
=
1+ 1 2
= lim
x →∞
Uyarý :
lim
ax 2 + bx + c limitini kýsa yoldan bulma
lim
⎛
ax 2 + bx + c = lim ⎜ a
x→∞ ⎝
x →∞
n
Örnek 4
x
= lim
x→∞
b
2a
1+
x
= lim
1+
= lim
m→∞
1⎞
⎛
x2 ⎜1+ ⎟ + x
x⎠
⎝
=
a m . lim
m→∞
x2 + x − x2
= lim
= lim
x+
= lim
x →∞
b ⎞
⎟ d ýr.
2a ⎠
= lim
x →∞
Gerçekten,
x + x 1+
5
x
− 5x
−5
=
⎛
5 ⎞ 1+ 1
x ⎜1 + 1 + ⎟
⎜
x ⎟⎠
⎝
5
−5
= − dir.
1+ 1
2
II. Yol:
ax 2 + bx + c =
= a . x2 +
x 2 − ( x 2 + 5x )
b
c ⎞
⎛
a ⎜ x2 + x + ⎟
a
a⎠
⎝
⎡
5 ⎤
lim ⎛ x − x 2 + 5x ⎞ = lim ⎢x − 1 . x +
⎥
⎝
⎠
2.1
x→∞
x → ∞ ⎣⎢
⎥⎦
b
b2
b2
c
x+
−
+
2
2
a
a
4a
4a
5⎤
⎡
⎛ 5 ⎞ −5
= lim ⎢ x − x − ⎥ = lim ⎜ − ⎟ =
dir.
2⎦ x →∞ ⎝ 2⎠
2
x→∞ ⎣
2
b ⎞
4ac − b 2
⎛
= a. ⎜x +
⎟ +
2a ⎠
4a
⎝
x+
b
=m ,
2a
lim
x →∞
Örnek 5
4ac − b 2
= n de rse k,
4a
lim ⎛ 2x 2 + 2x − 2x 2 − 3 ⎞ limiti kaçtýr?
⎝
⎠
x →∞
ax 2 + bx + c = lim ⎛⎜ a m 2 + n ⎞⎟
m→∞ ⎝
⎠
⎛
n
= lim ⎜ a m . 1 +
⎜
m→∞ ⎝
m2
Çözüm
x → ∞ iç in ∞ − ∞ be lirsiz li ði v ar dýr.
⎞
⎟⎟
⎠
lim ⎛ 2x + x 2 − 2x 2 − 3 ⎞
⎝
⎠
x→∞
113
Belirsizliklerin Giderilmesi
= lim
x →∞
2x 2 + 2x − lim
x →∞
4)
2x 2 − 3
0. ∞ BELÝRSÝZLÝK HALÝ
lim [f( x ) − g( x ) ] limitinde deðiþkeni fonksi-
x→ a
⎡
2
0 ⎤
= lim ⎢ 2 x +
− 2 x+
⎥
2.2
2.2 ⎥⎦
x → ∞ ⎣⎢
yonda yerine yazdýðýmýzda 0. ∞ þeklinde
⎡
⎤
2
2
= lim ⎢ 2 x +
− 2 x⎥ =
bulunur.
2
2
x → ∞ ⎣⎢
⎥⎦
uygun olaný pay ve paydaya dahil edilerek
0 veya ∞ belirsizlik türünden birine dö0
∞
nü þtürülürse bilinen yoldan limiti alýnýr.
bir belirsizlik oluþuyorsa, fonksiyonlardan
Örnek 6
lim ⎛ x 2 + 4x + 5 + x + 1⎞ limiti kaçtýr?
⎝
⎠
Örnek 1
x →−∞
⎛
lim ⎜ x .
x → ∞ ⎜⎝
Çözüm
lim ⎛⎜ x 2 + 4x + 5 + x + 1 ⎞⎟ = ∞ − ∞
⎠
Çözüm
x → −∞ ⎝
⎛
lim ⎜ x .
x → ∞ ⎜⎝
⎛
⎞
4
= lim ⎜ 1 x +
+ x +1 ⎟
⎜
⎟
x → −∞
2.1
⎝
⎠
x → −∞
x → −∞
lim
=
= lim ( − x − 2 + x + 1)
= lim
⎞
⎟ limitini bulunuz.
x + 3x ⎟⎠
1
2
(− 1) = − 1 bulunur.
⎞
⎟ = lim
x + 3x ⎟⎠ x → ∞
x2
1
2
x2
x →∞
x 2 + 3x
2
x + 3x
= 1 =1
Örnek 2
lim [( π − x ).c ot an x
Örnek 7
x →π
⎛ 1
1 ⎞
limiti kaçtýr?
−
lim ⎜
sin x ⎟⎠
x → 0 ⎝ tan x
]
limitini bulunuz.
Çözüm
lim [( π − x ) .c ot an x ] = 0. ∞
x→π
Çözüm
⎡
c os x ⎤
= lim ⎢( π − x ).
⎥
sin x ⎦
x→π ⎣
x → ∞ iç in ∞ − ∞ º eklinde bir belirsizlik var.
⎛ c os x
1 ⎞
c os x − 1
0
lim ⎜
−
→
⎟ = lim
sin
x
sin
x
sin
x
0
x
→
0
⎝
⎠
⎡π − x
⎤
.c os x ⎥
= lim ⎢
x → π ⎣ sin x
⎦
x →∞
belirsizli ðine dönüþmüþ olur.
⎡ π−x
⎤
.c os x ⎥
= lim ⎢
x → π ⎣ sin( π − x )
⎦
( c os x − 1) ( c os x + 1)
= lim
sin x.( c os x + 1)
x →0
= lim
x →0
= lim
2
x→π
c os x − 1
sin x.( c os x + 1)
= 1 . c os π = 1 . − 1 = − 1
2
− sin x
x → 0 sin x.( c os x + 1)
= lim
π−x
. lim c os x
sin( n − x ) x → π
Örnek 3
2⎞
⎛
lim ⎜ x .sin ⎟ limiti kaçtýr?
⎝
x⎠
x→∞
− sin x
0
= lim
=
=0
x → 0 c os x + 1 1 + 1
114
Belirsizliklerin Giderilmesi
Çözüm
x
1⎞
⎛
= lim ⎜1 + ⎟ . lim
x →∞ ⎝
x ⎠ x →∞
2⎞
⎛
lim ⎜ x .sin ⎟ = ∞ .0
x →∞ ⎝
x⎠
2
⎛
⎜ sin
x
= lim ⎜
1
x →∞ ⎜
⎜
⎝ x
1⎞
⎛
= e . ⎜1 + ⎟ = e . 1 = e
∞
⎝
⎠
2
⎞
⎟ sin
sin 0 0
∞
=
=
⎟=
1
0
0
⎟
⎟
∞
⎠
O halde; x → ∞ iç in
1⎞
⎛
⎜1 + ⎟
x⎠
⎝
Örnek 2
1
→ 0 oldu ðundan
x
3⎞
⎛
lim ⎜1 + ⎟
x⎠
x→∞ ⎝
1
= h dönü º üm ü yapal ým. Buna göre;
x
5x
limitini bulunuz.
Çözüm
⎛
lim ⎜1 +
x→∞ ⎝
2⎞
⎛
⎜ sin x ⎟
sin 2h
lim ⎜
=2
⎟ = lim
1
h
x→∞
⎜
⎟ h →0
⎝ x ⎠
3⎞
⎟
x⎠
5x
= e 3.5 = e15
Örnek 3
⎛ x + 7⎞
lim ⎜
⎟
x→∞ ⎝ x + 3⎠
⎛ x + 3 + 4⎞
lim ⎜
⎟
x→∞ ⎝ x + 3 ⎠
Bu belirsizlik türü dizilerde limit konusunda
geniþ bir þekilde anlatýlmýþtýr.
Aþaðýdaki özelliklerden yararlanýlarak örnekler yapalým.
ii)
⎛
lim ⎜1 +
x→∞⎝
limiti kaçtýr?
Çözüm
5) 1∞ BELÝRSÝZLÝK HALÝ
i)
2x + 3
2x + 3
4 ⎞
⎛
= lim ⎜1 +
⎟
x + 3⎠
x → ∞⎝
belirsizliði varifadesinde x → ∞ için 1 ∞
dýr, yukarýdaki kural gereðince
x
1⎞
⎟ =e
x⎠
4 ⎞
⎛
lim ⎜1 +
⎟
x + 3⎠
x→∞ ⎝
2x + 3
=e
4.2
1
= e8
1
lim (1 + x )x = e
x →0
Örnek 4
iii) lim ⎛⎜1 +
x→∞ ⎝
a ⎞
⎟
bx + c ⎠
px + q
=e
a.p
b
⎛ x ⎞
lim ⎜
⎟
x →∞ ⎝ x + 2⎠
x +1
limiti kaçtýr?
⎛ x + 2 − 2⎞
lim ⎜
⎟
x→∞ ⎝ x + 2 ⎠
limiti kaçtýr?
3x
−2 ⎞
⎛
= lim ⎜1 +
⎟
x + 2⎠
x → ∞⎝
3x
x → ∞ için 1 ∞ belirsizliði vardýr.
Çözüm
⎡⎛
lim ⎢ ⎜1 +
x → ∞ ⎢⎝
⎣
3x
Çözüm
Örnek 1
1⎞
⎛
lim ⎜1 + ⎟
⎝
x⎠
x→∞
x
1⎞ ⎛
⎟ . ⎜1 +
x⎠ ⎝
2x +3
−2 ⎞
⎛
lim ⎜1 +
⎟
x + 2⎠
x→∞ ⎝
1⎞ ⎤
⎟⎥
x⎠ ⎥
⎦
115
3x
=e
−
2.3
1
= e−6
Belirsizliklerin Giderilmesi
Örnek 5
⎛ 2x + 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x → ∞ ⎝ 2x − 1 ⎠
c)
x+5
limiti kaçtýr?
⎞
⎟
⎟
⎠
limiti kaçtýr?
Çözüm
Çözüm
⎛ 2x + 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x → ∞ ⎝ 2x − 1 ⎠
⎛ 1
lim ⎜ 7 x −2
⎜
x → 2−
⎝
x +5
⎛ 2x − 1 + 4 ⎞
= lim ⎜
⎟
x → ∞ ⎝ 2x − 1 ⎠
4 ⎞
⎛
= lim ⎜1 +
⎟
⎝
2x − 1⎠
x→∞
⎛ 1
lim ⎜ 7 x −2
x → 2− ⎜
⎝
x +5
1
⎛
⎜ 7 2 −h − 2
⎜
⎝
⎞
⎟ = lim
⎟ h→ 0
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
1
= lim 7 −h
x +5
h→0
= lim
h→0
∞
x → ∞ için 1 belirsizliði vardýr.
=
1
7
∞
1
−
7 0
=
= 7 −∞
1
=0
∞
Formül gereðince;
=e
4.1
2
= e 2 bulunur.
d)
Karýþýk Örnekler
a)
lim
x → 0−
1
⎛
⎜ 5x + 5 x
⎜
⎝
⎛ 1
⎞
lim ⎜ 5 x + 3 x + 1⎟
⎟
x → −∞ ⎜
⎝
⎠
Çözüm
⎞
⎟
⎟
⎠
1
⎛ 1
⎞
x
⎜
⎟
x
−∞
+ 3 −∞ + 1
lim 5 + 3 + 1 = 5
⎟
x → −∞ ⎜
⎝
⎠
limiti kaçtýr?
= 50 +
Çözüm
lim
x → 0−
limiti kaçtýr?
1
⎛
⎜ 5x + 5 x
⎜
⎝
⎞
⎟ = 50 + 5
⎟
⎠
= 1 + 5 −∞ = 1 +
1
0−
= 1+
1
+1
+1
3∞
= 1+ 0 + 1 = 2
1
5
1
3∞
∞
1
= 1+ = 1+ 0 = 1
∞
e)
b)
⎛ 2
lim ⎜ 2 3 − x
⎜
x → 3+
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
limiti kaçtýr?
limiti kaçtýr?
Çözüm
⎛
⎞
2
2
= lim
lim ⎜
1/ x ⎟ h → 0
−
3 + 51/ 0 −h
⎠
x →0 ⎝ 3 + 5
Çözüm
2
lim 2 3 − x = lim
x → 3+
⎛
⎞
2
lim ⎜
⎟
⎝ 3 + 51/ x ⎠
x → 0−
h→0
2
3 − (3 + h)
= lim
h→0
2
=
= lim 2 −h = 2 −∞
h→ 0
=
1
2∞
=
1
=0
∞
=
116
2
3 + 51/ −0
2
3 + 5 −∞
=
2
2
=
3+0 3
2
3+
1
5∞
=
2
3+
1
∞
ALIÞTIRMALAR 4
1.
Belirsizliklerin Giderilmesi
⎛ x 2 − 1⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟
x → −1 ⎝ x + 1 ⎠
6.
⎛
x + 2 ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟
⎜
x → − 2 ⎝ x 2 + 5 − 3 ⎟⎠
Cevap: −2
2.
Cevap: −
⎛ x 2 − 5x + 6 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x−2 ⎠
x→2 ⎝
7.
⎛ x 2 + x + 1 − 1⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x
⎟⎠
x→0 ⎜
⎝
Cevap: –1
3.
Cevap:
⎛ x 2 + ( a − 1) x − a ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x+a
x → −a ⎝
⎠
8.
lim
x →1
x2 − 1
17 − x − 4
Cevap: –16
9.
⎛ x 2 − 2 ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟
x→ 2 ⎝ 2 − x⎠
lim
x→∞
x 2 + 3x
3x 2 − x + 7
limiti kaçtýr?
Cevap:
Cevap: –2 2
5.
1
2
limiti kaçtýr?
Cevap: –1–a
4.
3
2
10.
⎛ x3 − 8 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 2 ⎝ x 2 + 2x − 8 ⎠
1
3
⎛ 3x + 4x 2 + 1 ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x −1
⎟⎠
x→∞ ⎜
⎝
Cevap: 5
Cevap: 2
117
Belirsizliklerin Giderilmesi
ALIÞTIRMALAR 4
11.
lim
x → −∞
x 2 + x + 1 − x limiti kaçtýr?
3x + 2
16.
Cevap: −
12.
13.
2
3
Cevap:
⎛ 1
⎞ limiti kaçtýr?
3
lim ⎜
− 2
⎟
x →1 ⎝ x − 1 x + x − 2 ⎠
Cevap:
17.
lim (sin 3x .c ot an 2x ) limiti kaçtýr?
Cevap:
18.
11
3
x→0
1
3
⎛ 1
8 ⎞
lim ⎜
− 2
⎟ limiti kaçtýr?
x→4 ⎝ x − 4
x − 16 ⎠
Cevap:
lim ⎛ 3x + 4 + 9x 2 + 2x − 1 ⎞ limiti kaçtýr?
⎝
⎠
x → −∞
3
2
2
3⎞
⎛
lim ⎜ x 2 . tan .sin ⎟ limiti kaçtýr?
⎝
x
x⎠
x → −∞
1
8
Cevap: 6
x
14.
19.
lim ⎛ x 2 − 6x + 1 − x ⎞ limiti kaçtýr?
⎠
x→∞ ⎝
2 ⎞ 2 limiti kaçtýr?
⎛
lim ⎜1 +
⎟
x + 2⎠
x→∞ ⎝
Cevap: −3
Cevap: e
15.
lim
x→∞
20.
x 2 + m x + 3 − x 2 − 2x + 5 = 3
⎛ x + 2⎞
lim ⎜
⎟
x→∞ ⎝ x − 2⎠
x +1
limiti kaçtýr?
olduðuna göre a nýn deðeri kaçtýr?
Cevap: e 4
Cevap: 4
118