ün‹te ı. anal‹t‹k düzlem

ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÜN‹TE I.

ANAL‹T‹K DÜZLEM
1.
G‹R‹fi
2.
SAYI DO⁄RUSU
3.
ANAL‹T‹K DÜZLEM
4.
‹K‹ NOKTA ARASINDAK‹ UZAKLIK
5.
B‹R DO⁄RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD‹NATLARI
6.
B‹ R DO⁄RU PARÇASINI, VER‹LEN B‹R ORANDA BÖLEN NOKTALARIN
KOORD‹NATLARI
7.
ÜÇGEN‹N A⁄IRLIK MERKEZ‹
8.
ÜÇGEN‹N ALANI
9.
ÖZET
10. ALIfiTIRMALAR
11. DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ - I
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
☞
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
* Analitik düzlemin noktalar› ile reel say› ikilileri aras›ndaki iliflkiyi kavrayacak,
* Koordinatlar› verilen bir noktay›, analitik düzlemde bulup iflaretleyebilecek,
* Koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›¤› bulabilecek,
* Uç noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir do¤ru parças›n›n, orta noktas›n›n
koordinatlar›n› bulabilecek,
* Köflelerinin koordinatlar› verilen üçgen ve çokgenlerin kenar uzunluklar›n›,
kenarlar›n orta noktalar›n›n koordinatlar›n› bulabilecek,
* Köflelerinin koordinatlar› verilen bir üçgenin a¤›rl›k merkezinin kordinatlar›n›
bulabilecek,
* Köflelerinin koordinatlar› verilen bir üçgenin veya dörtgenin alan›n› hesaplayabileceksiniz.
NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
✍
* Analitik geometri konular›n› daha iyi ö¤renebilmek için “Denklemler ve Do¤ru
Grafikleri” ile “Harfli ‹fadeler ve Denklemler” konusunun yeniden gözden geçiriniz.
* Ders konular›n› çal›fl›rken konu ile ilgili “Neden? Niçin?” sorular›na cevap arayarak
çal›fl›n›z.
* Konular› pekifltirmeden sonraki konulara geçmeyiniz.
* Elinizdeki yard›mc› kitaplardan faydalan›n›z.
* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme testlerini çözünüz.
2
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
I. ÜN‹TE
ANAL‹T‹K DÜZLEM
❂
1. G‹R‹fi
Nokta, do¤ru, e¤ri, yüzey ve düzlem gibi geometrinin temel kavramlar›n›, cebirsel
ifllemler yard›m›yla inceleyen bilim dal›na analitik geometri ad› verilir.
Geometrinin en temel kavram› noktad›r. Çünkü, bütün geometrik flekilleri, bir
noktalar kümesi olarak düflünebiliriz. Bir noktan›n say› veya say›larla temsil edilmesi
düflüncesi, geometride koordinat kavram›n›n do¤mas›na neden olmufltur. Koordinatlar
yard›m›yla geometrik kavram ve bunlar›n özeliklerini cebirsel yoldan aç›klamak mümkün
olmaktad›r.
❂
2. SAYI DO⁄RUSU
Say›larla noktalar aras›nda, birebir eflleme yap›lm›fl, yönlendirilmifl do¤ruya say›
do¤rusu denir. (fiekil 1.1)
A
B C
-2
-1
-1
2
D
E
F
G
H
K
L
0
1
2
2
3
7
2
4
fiekil 1.1.
➠
❂
❂
❂
❂
Say› do¤rusu üzerindeki her nokta bir reel say›ya, her reel say› da bir noktaya
karfl›l›k gelir.
3. ANAL‹T‹K DÜZLEM
Bir düzlemde, birbirini dik kesen iki say› do¤rusu düflünelim. Say› do¤rular›n›n
kesim noktas›na, bafllang›ç noktas› (orijin) denir.
Yatay olan say› do¤rusuna, apsis ekseni (x ekseni), düfley olan say› do¤rusuna,
ordinat ekseni ( y ekseni) denir. 0 bafllang›ç noktas› ile eksenlerden oluflan sisteme,
dik koordinat sistemi denir.
Koordinat sistemi ile donat›lm›fl olan düzleme, koordina t düzlemi veya analitik
düzlem denir.
Analitik düzlemde her noktaya, bir (x, y) reel say› ikilisi karfl›l›k gelir. Buna verilen
noktan›n koordinatlar› denir.
3
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
Koordinat eksenleri, düzlemi dört bölgeye ay›r›r. Bu dört bölgeye ait her nokta için,
x ve y bileflenlerinin iflaretlerini inceleyelim (fiekil 1.2).
y
I. bölgede
: x pozitif, y pozitif
II. bölgede
: x negatif, y pozitif
II.
III. bölgede : x negatif, y negatif
III.
I.
O
x
IV.
IV. bölgede : x pozitif, y negatiftir.
fiekil 1.2
➠
Seçilen her (x, y) reel say› ikilisine a nalitik d üzlemde bir ve yaln›z bir n o k t a
kar fl›l›k gelir.
ÖR N E K 1
y
A (3, 2), B (-1, 3), C (2, 0), D(0, 2) noktas›n›
B(-1,3)
3
A(3,2)
2
analitik düzlemde gösterelim.
ÇÖZÜM 1
C(2,0)
-1
O
2
3
x
fiekil 1.3’te verilen A (3, 2), B (-1, 3), C (2, 0)
ve D (0, -2) noktalar› analitik düzlemde gösterilmifltir.
D(0,-2)
-2
fiekil 1.3
ÖRNEK 2
(x, y-2) ve (3 - 2x, 2y - 4) reel say› ikililerinin analitik düzlemde ayn› noktay›
göstermesi için, x ve y nin kaç oldu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 2
Reel say› ikililerinin analitik düzlemde ayn› noktay› göstermesi için, reel say›
ikililerin birinci bilefleni, birinci bileflenine ikinci bilefleni, ikinci bileflenine eflit
olmal›d›r.
x = 3 - 2x
x + 2x = 3
3x = 3
x = 1 olmalıdır.
4
y - 2 = 2y - 4
y - 2y = - 4 + 2
-y=-2
y = 2 olmalıdır.
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 3
Analitik düzlemde, I. bölge = {(x, y) | x, y∈R ve x > 0, y > 0} fleklinde bir küme
olarak ifade edilmifltir. Buna göre, III. bölgenin bir küme olarak nas›l ifade edilece¤ini
bulal›m.
ÇÖZÜM 3
III. Bölge = { (x, y) | x, y∈R ve x < 0, y < 0 } kümesi olarak ifade edilir.
❂
4. ‹K‹ NOKTA ARASINDAK‹ UZAKLIK
Analitik düzlemde verilen A ve B noktalar› için, AB do¤ru parças›n›n uzunlu¤una,
A noktas› ile B noktas› aras›ndaki uzakl›k denir ve |AB| fleklinde gösterilir.
fiekil 1.4 te A (x1, y1) ve B (x2, y2) noktalar›
verilmifltir. Bu iki nokta aras›ndaki uzakl›¤›
bulal›m.
y
y2
ABC dik üçgeninde;
|AC| = x2 - x1, |BC| = y2- y1 dir.
Pisagor teoremine göre,
➠
2
AB =
AC
AB =
x2 - x1
+ BC
2
O
2
. C
y1
x1
x2
x
olduğundan,
+ y2 - y1
2
fiekil 1.4
olur.
Koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›k, bu noktalar›n apsisler
fark› ile ordinatlar fark›n›n kareleri toplam›n›n kareköküne eflittir.
ÖRNEK 4
A (2, 1) ve B (-1, 5) noktalar› veriliyor. [AB] nin uzunlu¤unun kaç birim oldu¤unu
bulal›m.
ÇÖZÜM 4
2
AB =
x2 - x1
AB =
-1- 2 2+ 5 - 1
AB =
-3 2 + 4
+ y2 - y1
2
2
2
AB = 9 + 16
AB = 25 = 5 birim olur.
5
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 5
A (1,4) ve B(4, k) noktalar› veriliyor. |AB| = 5 birim olmas› için k n›n de¤erinin
kaç oldu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 5
AB =
x2 -x1
5=
4-1
5=
3
2
2
+ y2 - y1
+ k-4
+ k-4
25 = 9 + k - 4
❂
2
2
k-4
2
= 25 - 9
k - 4 2 = 16
2
2
k - 4 = ± 4 eflitli¤inden,
2
k1 = 0 veya k2 = 8 olur.
5. B‹R DO⁄RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD‹NATLARI
Bir AB do¤ru parças› verilmifl olsun. C noktas› AB do¤ru parças› üzerinde ve
|AC| = |CB| ise C noktas›na, AB do¤ru parç›s›n›n orta noktas› denir.
A (x1 , y1), B (x2 , y2) ve [AB] nin orta noktas› C (x0 , y0) olsun. fiekil 1.5’ te
A″ABB″ dörtgeni [A″A] // [B″B] oldu¤undan bir yamuktur. [C″C] bu yamu¤un orta
taban›d›r. Orta taban, tabanlar toplam›n›n yar›s›na eflit olaca¤›ndan,
A″A + B″B
C″C =
2
y
dir.
B
C
C″C ==x0x0, , A″A
A″A ==x1x1veve
C″C
B″B = x2 oldu¤undan,
x0 = x1 + x2 dir.
2
y + y2
Ayn› flekilde y0 = 1
olur.
2
A
O
A
C
B
x
fiekil 1.5
➠
Uç noktalar› A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan AB do¤ru parças›n›n orta noktas› olan
C noktas›n›n koordinatlar›: C x 1 + x 2 , y 1 + y 2 dir.
2
2
ÖRNEK 6
Uç noktalar› A (-1, 4) ve B (5, -2) olan [AB] n›n orta noktas› olan C noktas›n›n
koordinatlar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM 6
C noktas›n›n koordinatlar› C (x0 , y0) olsun.
x1 + x2
oldu¤undan, x0 = -1 + 5 = 4 = 2 dir.
2
2
2
y1 + y2
4
2
2
y0 =
oldu¤undan, y0 =
= = 1 dir.
2
2
2
x0 =
6
O halde, C (2, 1) olur.
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
ÖRNEK 7
A (1, 2) ve C(2, 3) noktalar› veriliyor. AB do¤ru parças›n›n orta noktas› C
oldu¤una göre, B noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM 7
B noktas›n›n koordinatlar› B (x2, y2) olsun.
x0 = x1 + x2 oldu¤undan, 2 = 1 + x2 ise, x2 = 4 - 1 = 3 tür.
2
2
y + y2
2 + y2
y0 = 1
oldu¤undan, 3 =
ise, y2 = 6 - 2 = 4 tür. O halde, B (3, 4) olur.
2
2
6. B‹R DO⁄RU PARÇASINI, VER‹LEN B‹R ORANDA BÖLEN
NOKTALARIN KOORD‹NATLARI
I. ‹çten Bölme
A (x1, y1) ve B (x2, y2) noktalar› ve C (x0, y0)
noktas› AB do¤ru parças›n›n üzerinde ve aras›nda
olsun (fiekil 1.6).
CA
=k
CB
➠
y
ise
CA
AE
=
= xx0 -- xx1 = k dir.
2
0
CB
ED
k x2 - x0 = x0 - x1
x0 + kx0 = x1 + kx2
kx2 - kx0 = x0 - x1
x0 1 + k = x1 + kx2
x0 =
y
y2
E
y1
O
x1
xo
D
x2
x
fiekil 1.6
y + ky2
x1 + kx2
olur. Ayn› flekilde y0 = 1
bulunur.
1+k
1+k
Uç noktalar› A (x1, y1) ve B (x2, y2) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k
oran›nda içten bölen C noktas›n›n koordinatlar›: C
II. D›fltan Bölme
A (x1, y1) ve B (x2, y2) noktalar› ve C (x0, y0)
noktas› AB do¤ru parças›n›n uzant›s›nda ve d›fl›nda
olsun (fiekil 1.7).
CA
AE
=
= xx0 -- xx1 = k
0
2
CB
DE
y + ky2
x 1 + kx 2
, 1
1+ k
1+ k
dir.
y
yo
y2
D
y1
O
x1
x2
E
x0
x
fiekil 1.7
7
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
k x0 - x2 = x0 - x1
x0 - kx0 = x1 - kx2
kx0 - kx2 = x0 - x1
x0 1 - k = x1 - kx2
x0 =
➠
y - ky2
x1 - kx2
olur. Ayn› flekilde y0 = 1
bulunur.
1-k
1-k
Uç noktalar› A (x1, y1) ve B (x2, y2) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k
y - ky2
oran›nda d›fltan bölen C noktas›n›n koordinatlar› C x1 - kx2 , 1
1-k
1-k
dir .
ÖRNEK 8
Uç noktalar› A(0, 4) ve B(6, 1) olan AB do¤ru parças›n›
içten bölen C noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.
CA
= 1 oran›nda
CB 3
ÇÖZÜM 8
C noktas›n›n koordinatlar› C (x0 , y0) olsun.
x + kx2
x0 = 1
oldu¤undan,
1+k
y0 =
y1 + ky2
oldu¤undan,
1+k
O halde, C 3 , 13
2 4
ÖRNEK 9
0 + 1 .6
3
x0 =
= 2 = 6 = 3 dir.
4 4 2
1+ 1
3
3
4 + 1 . 1 4 + 1 13
3
3 = 3 = 13 tür.
y0 =
=
1
4
4
4
1+
3
3
3
olur.
Uç noktalar› A(1, 5) ve B (3, 6) olan AB do¤ru parças›n› d›fltan 2 oran›nda bölen
3
C noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM 9
C noktas›n›n koordinatlar› C(x0 , y0) olsun
x - kx2
x0 = 1
oldu¤undan, x0 =
1-k
1-2 .3
3
= 1 - 2 = -1 = - 3 tür.
2
1
1
13
3
3
5- 2 .6
y1 - ky2
3
y0 =
oldu¤undan, y0 =
= 5 - 4 = 1 = 3 tür.
1+2
2
1
1
13
3
3
O halde, C (- 3, 3) olur.
8
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
❂
7. ÜÇGEN‹N A⁄IRLIK MERKEZ‹
Bir üçgenin üç kenarortay› bir noktada kesiflir. Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k
merkezi denir.
Köflelerinin koordinatlar› A(x1, y1), B (x2, y2) ve C (x3, y3) olan üçgenin a¤›rl›k
merkezi G (x0 ,y0) olsun (fiekil 1.8)
y
C(x3,y3 )
G noktas›n›n koordinatlar›n› bulmak için
üçgenin [AD] kenarortay›n› çizelim. D noktas›,
[BC] nin orta noktas› oldu¤undan koordinatlar›:
y +y
D x2 + x3 , 2 3
2
2
E
D
F
B(x2, y2)
dir.
x
O
Bir üçgende kenarortaylar›n kesim noktas›n›n
üçgenin köflesine olan uzakl›¤›n›n oran› 2 dür.
3
Buna göre,
G
A(x 1,y1 )
fiekil 1.8
AG
AG
= 2 olaca¤›ndan,
= 2 = 2 dir.
AD
3
GD
1
x2 + x3
x + x2 + x3
2
= 1
tür.
Bu durumda, x0 =
1+2
3
y + y3
y1 + 2 2
y + y2 + y3
3
Ayn› flekilde, y0 =
= 1
bulunur.
1+2
3
x1 + 2
➠
Köflelerinin koordinatlar› A (x1, y1) , B (x2, y2) ve C (x3, y3) olan üçgenin G
a¤›rl›k merkezinin koordinatlar› : G
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
,
3
3
tür.
ÖRNEK 10
Köflelerinin koordinatlar› A (3,0) , B (4,1) ve C(2,5) olan ABC üçgeninin kenar
ortaylar›n›n kesim noktas›n›n (a¤›rl›k merkezinin) koordinatlar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM 10
Verilen üçgenin a¤›rl›k merkezinin koordinatlar› G(x0 , y0) olsun.
x0 = x1 + x2 + x3 oldu¤undan x0 = 3 + 4 + 2 = 9 = 3 tür.
3
3
3
y1 + y2 + y3
y0 =
oldu¤undan y0 = 0 +1 + 5 = 6 = 2 dir.
3
3
3
O halde, G (3, 2) olur.
9
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
8. ÜÇGEN‹N ALANI
Köflelerinin koordinatlar› A(x1 , y1), B (x2, y2) ve C (x3 , y3) olan ABC
üçgeninin alan›n› bulal›m.
fiekil 1.9 da BB′ // AA′ // CC′ ve
BB′ // AA′ // CC′ ve
AA′ ⊥ B′C′ , CC′ ⊥ B′C′ oldu¤unda
AA′ ⊥ B′C′ , CC′ ⊥ B′C′ oldu¤unda
y
AA′B′B, AA′C′C ve BB′C′C dörtgenleri birer dik yamuktur.
y2
A′B′B, AA′C′C ve BB′C′C dörtgenleri birer dik yamuktur.
A(x1, y1)
y1
B(x2 ,y2)
y3
C(x3 ,y3)
x1 -x 2
AA′ , BB′ ve CC′ bu dik yamuklar›n tabanlar›d›r.
O
B (x2 )
x3 - x1
A (x1 )
C (x3 )
x
A′B′ , A′C′ ve B′C′ ise
bu dik yamuklar›n yükseklikleridir.
fiekil 1.9
Yamu¤un alan formülünden yararlanarak
A(ABC) = A (AA′B′B) + A (AA′C′ C) - A(BB′C′C)
y1 + y2 x1 - x2
y + y3 x3 - x1
y + y3 x3 - x2
+ 1
- 2
2
2
2
A(ABC) =
A(ABC) =
x1y1 - x2y1 + x1y2 - x2y2 + x3y1 - x1y1 + x3y3 - x1y3 - x3y2 + x2y2 - x3y3 + x2y2
2
A ABC =
-x2y1 + x1y2 +x3y1 - x1y3 - x3y2 + x2y3
2
A ABC =
x1 y2 - y3 + x2 y3 - y1 + x3 y1 - y2
2
A(ABC) = 1 x1 y2 - y3 +x2 y3 - y1 + x3 y1 - y2
2
➠
10
bulunur.
K öflelerinin koordinatlar› A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ve C x 3 , y 3 olan
ABC üçgeninin alan›, A A B C = 1 x 1 y 2 - y 3 + x 2 y 3 - y 1 + x 3 y 1 - y 2
2
Alan daima pozitif olaca¤› için, ifade mutlak de¤ er içine al›nm›flt ›r.
dir.
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
➠
A x 1 , y1 , B x 2 , y 2 ve C x 3 , y 3
noktalar› için;
x 1 y 2 - y 3 +x 2 y 3 - y 1 + x 3 y 1 - y 2 = 0 ise, A ,B ve C noktalar› do¤ rusald›r.
ÖRNEK 11
Köflelerinin kordinatlar› A(1, 2), B(2, 3) ve C (-1, 5) olan üçgenin alan›n›n kaç
birim kare oldu¤unu bulal›m.
ÇÖZÜM 11
A(ABC) = 1 x1 y2 - y3 +x2 y3 - y1 + x3 y1 - y2
2
A(ABC) = 1 1 (3 - 5) + 2 (5 - 2) + (-1) (2 - 3)
2
A(ABC) = 1 (-2 + 6 +1 ) = 1 (5) = 5 br2 olur.
2
2
2
ÖRNEK 12
Köflelerinin koordinatlar› A(a, 1), B(2, 3) ve C (a + 1, 5) olan üçgenin alan›n›n
5 birim kare olmas› için, a n›n alaca¤› de¤erleri bulal›m.
ÇÖZÜM 12
A(ABC) = 1 x1 y2 - y3 + x2 y3 - y1 + x3 y1 - y2
2
5 = 1 a (3 - 5) + 2 (5 - 1) + (a + 1) (1 - 3)
2
10 = - 2a + 8 - 2a - 2 iflleminde
mutlak de¤er oldu¤undan, ifllem pozitif ve negatif de¤erler için
10 = -4a + 6 eflitli¤inde mutlak de¤er oldu¤undan, ifllem pozitif ve
ifllem pozitif ve negatif de¤erler için iki farkl› biçimde çözülmüfltür.
- 4a + 6 = - 10
- 4a = - 16
a = 4 olur.
- 4a + 6 = + 10
- 4a = 10 - 6
- 4a = 4
a = - 1 olur.
11
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1

ÖZET
* Analitik geometri: Geometrinin temel kavramlar›n›, cebirsel ifllemler yard›m›yla
inceleyen matemati¤in bir koludur.
* Say› do¤rusu: Say›larla, noktalar aras›nda birebir eflleme yap›lm›fl do¤ruya, say›
do¤rusu denir. Say› do¤rusu üzerindeki her nokta, bir reel say›ya karfl›l›k gelir.
* Analitik düzlem: Bir düzlem üzerindeki 0 noktas›nda birbirini dik kesen, iki yönlendirilmifl
say› do¤rusudur. 0 noktas›na orijin, yatay olan say› do¤rusuna apsis ekseni, düfley olan
say› do¤rusuna ordinat ekseni denir. Analitik düzlemde, her noktaya bir (x, y) reel say›
ikilisi karfl›l›k gelir. Buna, verilen noktan›n koordinatlar› denir.
* ‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k: Koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›k,
bu noktalar›n apsisler fark› ile ordinatlar fark›n›n kareleri toplam›n›n kareköküne eflittir.
A x1 , y1 ve B x2 , y2 noktalar› aras›ndaki uzakl›k AB =
x2 - x1 2 + y2 - y1 2 dir.
* B i r do¤ru parças›n›n orta noktas›n›n koordinat›: Uç noktalar› A (x1, y1) ve B (x2, y2)
olan bir AB do¤ru parças›n›n orta noktas› C ise
y + y2
C noktas›n›n koordinatlar›, C x1 + x2 , 1
dir.
2
2
* Bir do¤ru parças›n› verilen bir oranda bölen noktalar›n koordinatlar›
I. Uç noktalar› A (x1, y1) ve B(x2, y2) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k oran›nda
içten bölen nokta C ise
C noktas›n›n koordinatlar›, C
x1 + kx2
,
1+k
y1 + ky2
1+k
dir.
II. Uç noktalar› A (x1, y1) ve B(x2, y2) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k oran›nda
d›fltan bölen nokta C ise
y - ky2
C noktas›n›n koordinatlar›, C x1 - kx2 , 1
1-k
1-k
d›r.
* Üçgenin a¤›rl›k merkezi : Bir üçgende üç kenarortay›n kesiflti¤i noktaya, üçgenin
a¤›rl›k merkezi denir.
Köflelerinin koordinatlar› A (x1, y1), B(x2, y2) ve C (x3, y3) olan bir üçgenin a¤›rl›k
merkezi G(x0, y0) ise
x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 tür.
3
3
* Üçgenin alan›: Köflelerinin koordinatlar› A (x1, y1), B(x2, y2) ve C (x3, y3) olan
G noktas›n›n koordinatlar› G
ABC üçgenin alan›
A(ABC) = 1 x1 y2 - y3 + x2 y3 - y1 + x3 y1 - y2
2
12
birim karedir.
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1

ALIfiTIRMALAR
1. Afla¤›da koordinatlar› verilen noktalar› analitik düzlemde gösteriniz.
A(1, 2)
B (2, 3)
C (-1, 3)
D (3, 2)
E (-1, -2)
F (5, 0)
G (0, -3)
0 (0, 0)
2. Birinci bilefleni s›f›r olan reel say› ikililerinin kümesi, analitik düzlemde neyi gösterir?
3. Afla¤›daki noktalar aras›ndaki uzakl›klar› bulunuz.
a. A(1, 2), B (3, 4)
b. C (-1, 3), D (0, 2)
c. E (0, 3), F (3, 0)
d. G (4, 1), H (2, 1)
4. Köflelerinin koordinatlar› A(4, 3), B(-3 3 , 4 3) ve C (-4, -3) olan ABC üçgenin
eflkenar üçgen oldu¤unu gösteriniz.
5. Köflelerinin koordinatlar› A(3, 2), B (0, 5), C(-3, 2) ve D (0, -1) olan dörtgenin,
eflkenar dörtgen oldu¤unu gösteriniz. Bu dörtgeni analitik düzlemde
çiziniz.
6. A(3, 7) ve B (7, 11) noktalar› veriliyor. AB do¤ru parças›n› dört efl parçaya bölen
C, D ve E noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.
7. Uç noktalar› A(2, 2) ve B (-3, 6) olan do¤ru parças›n›
d›fltan bölen noktalar› bulunuz.
1
3
oran›nda içten ve
8. Köflelerinin koordinatlar› A(5, -8), B(3, 0) ve C (2, 4) olan, ABC üçgeninin
G a¤›rl›k merkezinin koordinatlar›n› bulunuz.
9. Köflelerinin koordinatlar› A(3, 1), B (1, -3) ve C (2, 4) olan, üçgenin alan›n› bulunuz.
10. Köflelerinin koordinatlar› A (-4, 4), B (-1, -2), C (5, 0) ve D (2, 3) olan ABCD
dörtgeninin alan›n› hesaplay›n›z. Bu dörtgenin çizimini analitik düzlemde yap›n›z.
13
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
.
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ I
1. x ekseni üzerinde, apsisleri -2 < x ≤ 6 flart›n› sa¤layan ve koordinatlar› tam say› olan
kaç nokta vard›r?
A) 6
2. 2. A 1, 3 ve B
A) 2
B) 7
C) 8
D) 9
3, 1 oldu¤una göre, AB kaç birimdir?
B) 2 2
C) 4
D) 6 - 2
3. A (3, 2) ve B (m, 6) noktalar› aras›ndaki uzakl›k 5 birim oldu¤una göre, m nin
alabilece¤i de¤er, afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 6
4. A (2, 3) ve B (3, 4) noktalar›ndan eflit uzakl›kta olan bir nokta C(1, m) ise
m kaçt›r?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
5. A (a + 1, 4) ve B (3, b + 2) noktalar› veriliyor. [AB] nin orta noktas› C (3, 5) ise
a + b de¤eri kaçt›r?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
AC
= 2 oran›nda içten bölen
CB
3
6.6. A (3, 4) ve B (3, -1) ise AB do¤ru parças›n›
C noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (3, 2)
B) (2, 3)
C) (-2, 5)
7.7. A (-3, 1) ve B (5, 3) olan AB do¤ru parças›n›
CA
=1
CB
3
D) (4, 1)
oran›nda d›fltan bölen
bölen C noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (1, 7)
14
B) (-7, 0)
C) (2, 5)
D) (2, -4)
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
8. (5 - a, a - 3) noktas› analitik düzlemde I. bölgede oldu¤una göre, a n›n kaç tane
de¤eri vard›r?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 4
9. (2a + b - 5, 4) ile (a, b + 1) ikilileri ayn› noktay› gösterdi¤ine göre, bu noktan›n
koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (1, 3)
B) (2, 3)
C) (3, 4)
D) (1, 4)
10. A(a +1, 3) ve B(2, b + 3) noktalar› veriliyor. [AB] n›n orta noktas› C(3, 4) oldu¤una
göre, a.b nin de¤eri kaçt›r?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
11. Köflelerinin koordinatlar› A(a, b), B(-2, 4) ve C (3, 1) olan ABC üçgeninin a¤›rl›k
merkezi G(-1, 2) oldu¤una göre, A köflesinin koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (1, 3)
B) (2, 4)
C) (-4, 1)
D) (3, 2)
12. Köflelerinin koordinatlar› A(2, 4), B(4, 6) ve C(7, 2) olan ABC üçgeninin [AB]
kenar›na ait kenarortay›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
13. A (1, 3), B(-5, 5) ve C(-2, a) noktalar›n›n do¤rusal olmas› için a kaç olmal›d›r?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
14. A(3, 5) ve C(-1, 1) noktalar› bir karenin karfl›l›kl› (ayn› köflegen üzerinde bulunan)
iki köflesine ait nokta oldu¤una göre, bu karenin alan› kaç birim karedir?
A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
15. A(3, 4), B(1, 2) noktalar›ndan eflit uzakl›kta ve x ekseni üzerinde olan noktan›n
apsisi kaçt›r?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
16. A(a, b) noktas›n›n koordinatlar› aras›nda a + 2b = -1 ve 2a - b = 8 ba¤›nt›lar› varsa,
bu nokta koordinat sisteminin hangi bölgesindedir?
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
15
ANAL‹T‹K GEOMETR‹ 1
17. A(a + 2, a + 1) noktas›n›n y eksenine göre simetri¤i B(2a - 5, b) noktas›d›r. C(1, -4)
oldu¤una göre, ABC üçgeninin alan› kaç birim karedir?
A) 9
B) 18
C) 24
D) 36
18. A(1, 4), B(-2, 3) ve C(x, 1) noktalar› bir üçgenin köflelerinin koordinatlar› ise x ‘in
de¤eri afla¤›dakilerden hangisi olamaz?
A) -8
B) -6
C) 2
D) 4
19. ABC üçgeni bir eflkenar üçgendir. Taban›na ait, B(-2, 0) ve C(6, 0) noktalar›n›n
koordinatlar› oldu¤una göre, A noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (2, 4√3)
B) (4, 3)
C) 4 3, 3
D) (3, 6)
20. A(1, 3) ve B (2, 5) noktalar› veriliyor. AB do¤rusu üzerinde 3 |AC| = 5 |BC| flart›n›
sa¤layan, C noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?
A)
A 11 , 15
3
2
B)B 2 , 13
2 5
C)C 13 , 17
8
4
D)
D 15 , 15
8
2
21. A(3 , 0) ve B (1 , 2)noktalar›ndan eflit uzakl›kta olan bir nokta, C (m, 5) ise m kaçt›r?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
22. Bir ABCD paralelkenar›n›n köflelerinin koordinatlar› A(-1, 2), B(1, a), C(2, 5) ve
D(b, 4) ise a + b nin de¤eri kaçt›r?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
2 + y2 - 2x - 6y + 15 = 0
A) xuzakl›kta
23. Analitik düzlemde A(1, -3) noktas›ndan 5 birim
olan noktalar›n geometrik
22 + y22 - 2x + 6y - 15 = 0
yerinin
x
A)denklemi
x2 + y2 - afla¤›dakilerden
2x - 6y + 15 = 0 hangisidir? B)
A)
- 6y +
2
2
2
2
2
2
2
C)
x
+y
+
x
B) xx ++ yy -- 2x
2x -+6y
6y+- 15
15 == 00
A)
A)
B)B) + y - 2x +3y6y+ -2515==00
C)
C) xx22++yy2 +
x -+3y6y+-25
D) x22 +y
+ y22+- x -+3y
3y+- 25 = 0
B)
- 2x
15==00
D)C)
2
2
2
2
C)
D) xx +y
+ y +-xx-+3y3y+-25
25==00
D) x2 + y2 - x + 3y - 25 = 0
D) x2 + y2 -koordinatlar›
x + 3y - 25 =A(-3,
0 a) , B (b, -3) ve C(2, -1) olan ABC üçgeninin a¤›rl›k
24. Köflelerinin
merkezi, bafllang›ç noktas› (orijin) oldu¤una göre, bu üçgenin alan› kaç birim karedir?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 11
25. y ekseni üzerinde olan A(0, 2) ve B(2, 4) noktalar›na eflit uzakl›kta bulunan noktan›n
ordinat› kaçt›r?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
16