8.sınıf matematik dersi Dik Üçgende Dar Açıların

Örnek - Çözüm
Örnek – Çözüm
Dik Üçgende Dar Açýlarýn Trigonometrik Oranlarý
Bir dik üçgenin kenar uzunluklarý arasýnda aþaðýdaki eþitlikler vardýr.
dik kenar
A
c
b
hipotenüs
a
B
Sin ëC =
Karþý dik kenar uzunluðu
b
=
Hipotenüs uzunluðu
c
cos ëC =
Komþu dik kenar uzunluðu
a
=
Hipotenüs uzunluðu
c
tan ëC =
Karþý dik kenar uzunluðu
b
=
Komþu dik kenar uzunluðu
a
cot ëC =
Komþu dik kenar uzunluðu
a
=
Karþý dik kenar uzunluðu
b
dik kenar
C
Aþaðýdaki oranlarý AÿBC üçgenine göre yazalým.
Sin ëA =
BC
cos ëA =
AB
tan ëA =
cot ëA =
AC
AC
BC
AB
AB
BC
=
a
c
=
b
c
=
a
b
=
b
a
179
Örnek - Çözüm
30° ve 60° lik Açýlarýn Trigonometrik Oranlarý
Ýç açýlarýnýn ölçüleri 30° ve 60° olan bir dik üçgenin kenar uzunluklarý aþaðýdaki þekilde gösterilmiþtir.
A
60°
a
2a
30°
B
añ3
C
Þekildeki ABC dik üçgenine göre 30° ve 60° açýlarýnýn trigonometrik oranlarýný yazalým.
Sin 30° =
| AB|
a
1
=
=
| AC| 2a 2
cos 30° =
|BC| a 3
3
=
=
| AC|
2a
2
tan 30° =
| AB|
a
1
3
=
=
=
|BC| a 3
3
3
cot 30° =
|BC| a 3
=
=
| AB|
a
sin 60° =
3
|BC| a 3
3
=
=
| AC|
2a
2
cos 60° =
| AB|
a
1
=
=
| AC| 2a 2
tan 60° =
|BC| a 3
=
=
| AB|
a
cot 60° =
| AB|
a
1
3
=
=
=
|BC| a 3
3
3
3
Yukarýdaki deðerler dikkatle incelenirse
sin 30° = cos 60°
tan 30° = cot 60°
sin 60° = cos 30°
tan 60° = cot 30° olduðu görülür.
180
Örnek - Çözüm
45° lik Açýnýn Trigonometrik Oranlarý
Ýkizkenar dik üçgende 45° nin trigonometrik oranlarýný yazalým. Ýkizkenar dik üçgenin kenarlarý
aþaðýdaki þekilde gösterilmiþtir.
A
45°
añ2
a
45°
B
Sin ëA = sin 45° =
a
C
|BC|
a
1
2
=
=
=
| AC| a 2
2
2
cos ëA = cos 45° =
| AB|
a
1
2
=
=
=
| AC| a 2
2
2
tan ëA = tan 45° =
|BC| a
= =1
| AB| a
cot ëA = cot 45° =
| AB| a
= =1
|BC| a
Yukarýdaki deðerlerden sin 45° = cos 45°
tan 45° = cot 45° olduðu görülür.
Trigonometrik Oranlar Arasýndaki Özellikler
1. sin2 x + cos2 x = 1
sin x =
B
c
cos x =
a
b
b
a
sin2 x + cos2 x = (sin x)2 + (cos x)2
x
A
c
a
C
=
c 2 b 2 c 2 +b 2 a 2
+
=
= 2 =1
a2 a2
a2
a
Pisagor baðýntýsýndan b2 + c2 = a2 dir.
sin2 x +cos2 x = 1
sin2 x= 1 – cos2 x
cos2 x = 1 – sin2 x
181
Örnek - Çözüm
2. tan x =
sin x
cos x
, cot x =
cos x
sin x
sin x =
B
a
c
cos x =
c
a
b
a
tan x =
c
b
cot x =
b
c
x
b
A
C
c
sin x
= a
b
cos x
a
=
c.a c
= = tan x
a b b
b
a
c
a
=
b.a b
= = cot x
a c c
cos x
=
sin x
3. tan x . cot x = 1
B
c
a
tan x =
c
b
cot x =
b
c
x
A
b
tan x . cot x =
C
c.b
=1
b c
tan x . cot x = 1 → tan x =
1
cot x
cot x =
1
tan x
4. Birbirini 90° ye tamamlayan iki açýdan birinin sinüsü, diðerinin cosinüsüne eþittir.
sin x = cos (90° – x)
sin 30° = cos 60°
sin 75° = cos 15°
182
Örnek - Çözüm
5. Birbirini 90° ye tamamlayan iki açýdan birinin tanjantý diðerinin cotanjantýna eþittir.
tan x = cot (90° – x)
tan 35° = cot 55°
tan 52° = cot 38°
Örnek 120
0° < x < 90° ve cos x =
24
ise sin x, tan x ve cot x deðerlerini bulalým.
25
Önce bir açýsý x olan bir dik üçgen çizelim.
cos x =
A
24
ise
25
|BC| = 24
25
|AC| = 25 olur.
x
24
B
C
Pisagor baðýntýsýna göre;
|AC|2 = |BC|2 + |AB|2
252 = 242 + |AB|2
252 – 242 = |AB|2
49 = |AB|2
|AB| = 7 bulunur.
Buna göre
A
25
7
sin x =
7
25
tan x =
7
24
cot x =
24
bulunur.
7
x
B
24
C
183
Örnek - Çözüm
Örnek 121
cos 44°
+ 2 iþleminin sonucu kaçtýr?
sin 46°
cos 44° = sin 46° dir. (44 + 46 = 90°)
sin 46°
+ 2 = 1 + 2 = 3 bulunur.
sin 46°
Örnek 122
cot2 x + 1 ifadesinin eþitini bulunuz.
cot x =
cos x
yerine yazalým.
sin x
cot 2 x =
cos 2 x
=
2
sin x
+
1
12
(sin x)
cos 2 x + sin2 x
sin2 x
=
1
sin2 x
Örnek 123
x + y = 90° olmak üzere
cos x + sin y ifadesinin eþitini bulunuz.
cos y
cos x = sin y (x + y = 90° den)
sin y + sin y 2 sin y
=
= 2 tan y
cos y
cos y
184
Örnek - Çözüm
Örnek 124
sin 30°. tan 60°. cos 30° ifadesinin deðerini bulunuz.
Ýç açýlarýnýn ölçüleri 30° ve 60° olan bir dik üçgen çizelim.
60°
2a
a
cos 30° =
30°
A
1
2
sin 30° =
B
C
añ3
3
2
tan 60° = ñ3
deðerlerini yerlerine yazarsak;
1
sin 30°. tan 60°. cos 30° = .
2
3.
3 3
bulunur.
=
2
4
Örnek 125
0° < x < 90° ve 13cosx = 5 ise sinx, tanx ve cotx deðerlerini bulalým.
13.cosx
5
5
=
ise cosx =
' tür.
13
13
13
Bir iç açýsýnýn ölçüsü x olan bir dik üçgen çizelim.
ABC üçgeni
A
5, 12, 13 üçgenidir.
13
12
sinx =
12
,
13
cotx =
5
bulunur.
12
x
B
5
C
tanx =
12
ve
5
185
Neler Öðrendim?
20
Üçgenler (K.9)
1.
Bir dik üçgende 0° < m(ëA) < 90° ve
sin ëA =
4.
0° < x < 90° olmak üzere cotx = 1 ise x kaç
derecedir?
5.
0° < x < 90° olmak üzere cosx = 3 ise
5
sinx + tanx deðeri kaçtýr?
6.
0° < x < 90° olmak üzere sinx = 3 ise
5
cos x. cot x çarpýmýnýn deðeri kaçtýr?
8
ise cos ëA, tan ëA ve cot ëA
17
deðerlerini bulunuz.
2.
Bir dik üçgende 0° < y < 90° ve tan y = ñ3
ise sin y, cos y ve cot y deðerlerini bulunuz.
3.
0° < x < 90°, sinx = 1 ise x kaç derecedir?
2
186
7.
8.
cos2 35 + cos2 55 iþleminin sonucunu bulunuz.
11. 0° < y < 90° ve 25siny = 7 ise cosy, tany
ve coty deðerlerini bulunuz.
sin 30°. cos 45° iþleminin sonucu kaçtýr?
12.
9.
sin2 x – 1
iþleminin sonucu kaçtýr?
cos 2 x
sinx = 0,6 ve 0° < x < 90° ise cosx + tanx
iþleminin sonucu kaçtýr?
13. sinx + cosx =
10.
tan 45 ° – sin 30 °
iþleminin sonucu kaçtýr?
cos 45°
5
ise sinx . cosx iþleminin
4
sonucunu bulunuz.
187
Konu Testi
1.
20
Üçgenler (K.9)
0° < x < 90° olmak üzere cosx =
tanx deðeri kaçtýr?
1
A)
2
C) ñ3
B) 3
3
3
ise
2
5.
A)
D) 1
6.
2.
0° < y < 90° coty =
A)
3.
1
2
2
ise siny kaça eþittir?
3
2
13
3
13
C)
D)
3
2
2
0° < x < 90° olmak üzere sinx =
ise
5
1 – tan2x iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 0
4.
B)
B)
2
21
C)
2
3
D)
iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 1
188
B)
9
10
C)
11
10
D) 10
3
8
B) 1
7.
C)
8
3
D)
8
9
1
ise
7
sinx + 2cosx iþleminin sonucu kaçtýr?
0° < x < 90° olmak üzere tanx =
A) 3 2
2
B) 3ñ2
C) 5 2
2
D) 7
sin 30°
ifadesi aþaðýdakilerden hangisicos 30°
ne eþittir?
A) 1
C) cot 30°
17
21
1
ise 1+tan2t
10
0° < t < 90°, cost =
0° < x < 90° olmak üzere 3.sinx = 1 ise
cosx . cotx iþleminin sonucu kaçtýr?
8.
B) tan 30°
D) tan 60°
sin 45°. tan 30°. cos 30° iþleminin sonucu
kaçtýr?
A)
1
2
B)
2
2
C)
3
4
D)
2
4
9.
sin 52° aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) tan 38°
C) cos 38°
13. sinx + cosx =
B) sin 38°
D) cos 52°
4
ise sinx . cosx iþleminin
3
sonucu kaçtýr?
A) 7
18
B)
4
9
C)
1
2
D) 2
3
3
ise
2
tanx . cosx + cotx . sinx iþleminin sonucu
kaçtýr?
10. sinx + cosx =
A)
3
2
B) 1
C)
1
2
D)
1
4
14.
cos 42° . sin 54°
iþleminin sonucu kaçtýr?
2.cos 36° . sin 48°
A)
3
2
B) 1
C)
1
2
D)
1
4
11. sin2 25° + sin2 65° iþleminin sonucu kaçtýr?
A)
3
2
B) 1
C)
1
2
D)
1
4
1
ise tanx aþaðýda2
kilerden hangisine eþittir?
15. cosx + sin (90 – x) =
12. tan32° . tan58° iþleminin sonucu kaçtýr?
A)
1
8
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
A)
1
4
B)
1
2
C)
3
2
D) ò15
189
4
Bölüm Sonu Testi
1.
Üçgenler
Þekilde |EF| = 8 cm,
D
5.
5 cm
m(ëE) > m(ëF) ise
E
|DF| nin alabileceði
kaç tane tam sayý
deðeri vardýr?
F
5 cm
B
C
7 cm
A) 5
B) 7
C) 10
Þekilde m(BééDC)
geniþ açý ise
|BC| nin alabileceði kaç tam sayý
deðeri vardýr?
A
|DE| = 15 cm ve
6 cm
D) 15
D
A) 1
2.
B) 2
C) 3
D) 4
Þekilde
A
|AB|= |AC|= 3 cm
3
3
|CD| = 4 cm ise
C
B
4
D
|AD| nin alabileceði tam sayý deðeri kaçtýr?
6.
A) 1
B) 6
C) 7
A
D) 8
45°
3.
B
A
7 cm
B
D
9 cm
45°
B) 10
C) 15
190
C
Þekilde verilenlere göre
en uzun kenar hangisidir?
b
d
85°
30°
B) b
A) [DC]
B) [AC]
C) [AE]
D) [BC]
D) 18
B
D
e
C
1444442444443
a
A) a
50°
Þekilde verilenlere göre en uzun kenar
aþaðýdakilerden hangisidir?
A
c
65°
40°
5 cm
Þekilde verilenlere göre |AC| nin alabileceði en büyük tam sayý deðeri için |AB|
nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri
kaçtýr?
4.
60°
D
C
A) 3
E
40°
7.
Aþaðýda elemanlarýnýn ölçüleri verilen
üçgenlerden hangisi çizilemez?
A) a = 7 cm, b = 3 cm, c = 9 cm
B) a = 5 cm, c = 6 cm, m(ëB) = 75°
C) b = 8 cm, c = 10 cm, m(ëB) = 95°
C) c
D) d
D) m(ëA) = 55°, m(ëB) = 65°, c = 4 cm
8.
Þekildeki G noktasý
ABC üçgeninin aðýrlýk merkezidir.
A
D
G
11.
Þekildeki ABC ikizkenar üçgeninde
A
|AB| = |BC|,
D
|DG|=(x + 6) cm ve
[BD] ⊥ [AC] ve
|AC| = 10 cm ise
|CG|=(3x + 8) cm
B
C
A) 7
B) 8
9.
B
ise |DG| kaç cm’dir?
C) 9
A) 5
D) 10
|DC| kaç cm’dir?
C
B) 7
C) 8
D) 9
A
E
12.
Þekilde
A
D
|AE| = |EB|,
B
|AF| = 2|DF| ve
E
C
F
|BD| = 3 cm ise
|DC| kaç cm’dir?
B
Þekilde [BE] ve [DC] iç açýortay, [EC] dýþ
D
C
açýortaydýr. m(BéDC) = 130° ise m(BééAC) +
m(BééEC) kaç derecedir?
A) 40
10.
B) 60
A) 9
C) 80
13.
E
|BF| = |BC|,
D
3|AE| = 4|EC| ve
C
B
|DF| kaç cm’dir?
|BC| = 21 cm ise
B
A) 4
A) 8
[DE] // [BC],
E
|AE| = 7 cm ve
|EC| = 5 cm ise
D
B) 10
C) 12
D) 3
Þekildeki ABC üçgeninde
A
|AB| = |BD|,
F
C) 5
D) 120
Þekilde
A
B) 6
C
B) 8
|DE| kaç cm’dir?
C) 12
D) 16
D) 14
191
14.
17.
Þekildeki
A
A
2 cm
B
[DE] // [BC],
D
4|AE| = 7|EC| ise
E
8 cm
|DE| kaçtýr?
|BC|
B
A)
D
C
3
7
15.
B)
4
7
C) 3
11
ABCD dik yamuðunda |AB| = 2 cm,
IADI = 8 cm ve |BC| = |DC| ise
|BC| kaç cm’dir?
A) 10
B) 13
C) 15
D) 17
D) 7
11
Þekilde [AD] ⊥ [BC]
A
18.
b
c
|EB| = 2 cm,
|DC| = 3 cm ve
|BD| = 6 cm ise
B
A
ve [EC] ⊥ [AB] dir.
E
D
A) 19
C
B) 21
B
|AE| kaç cm’dir?
C) 25
a
C
Þekildeki ABC dik üçgeninde;
(a + c + b)(a + c – b) = 48 ise
a . c kaçtýr?
D) 27
A) 96
16.
C
A
B) 48
C) 24
D) 12
B
F
19.
D
E
A
C
D
Þekilde ABCD dikdörtgendir.
[AE] ⊥ [EF], 3|DE| = |EC| = 9 cm ve
|FC| = 5 cm ise |BF| kaç cm’dir?
A) 1
12
192
B) 2
5
C) 4
9
B
D) 1
A) 10
C
B) 12
ABC dik üçgeninde
[AB] ⊥ [BC] ve
[BD] ⊥ [AC] dir.
|AD| = 2 cm,
|AB| = 6 cm ise
|DC| kaç cm’dir?
C) 14
D) 16
20.
A
23. tan 45° + sin 30° iþleminin sonucu kaçtýr?
B
A) 1
2
D
C
B) 1
C) 3
2
D) 5
2
E
Þekilde ABCD kare, [BD] ⊥ [BE] ve
|DB| = 6ñ2 ise |DE| kaç cm’dir?
A) 4
21.
B) 6
A
C) 10
D) 12
24. Güneþ ýþýnlarýnýn yatayla 45° lik açý yaptýðý bir anda gölgesinin boyu 145 cm olan
bir direðin gerçek boyu kaç cm’dir?
B
A) 215
C
B) 200
C) 180
D) 145
D
Þekilde [AB] ⊥ [BC] ve [BC] ⊥ [CD] dir.
|BC| = 5 cm, |AB| = 5 cm, |CD| = 7 cm
ise |AD| kaç cm’dir?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 17
25.
ABC üçgeninde
A
|AB| = 6 cm,
|BC| = 8 cm ve
12
22. 0° < x < 90° olmak üzere cosx =
ise
13
tanx. sinx kaçtýr?
m(ëB) < 90° ise
B
A) 5
12
B) 25
156
C)
5
13
D)
C
12
13
A) 8
B) 9
|AC| nin alabileceði en büyük tam
sayý deðeri kaçtýr?
C) 10
D) 11
193
Birikimli Test
3
–1
–1
–1
5.
–1
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝3⎠
⎝4 ⎠
⎝5 ⎠
1.
0,0000032 = x . 10–5 ise x kaçtýr?
A) 0,32
B) 3,2
C) 32
D) 320
iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 60
77
B)
77
60
C) 1
D) 14
6.
2.
⎛ 1+ 1 ⎞
⎜
5 ⎟
⎜
⎟
⎜⎜ 1– 1 ⎟⎟
5 ⎠
⎝
3 . (0,002)3 iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 0,24 . 10–9
B) 240 . 10–8
C) 2,4 . 10–10
D) 24 . 10–9
–1
A) 2
3
iþleminin sonucu kaçtýr?
B) 1
C) 3
2
D) 5
7.
(–3)–7 . (–3)+9 . [– (–3)–4] iþleminin sonucu
kaçtýr?
A) 9
3.
⎛ 1 1⎞
⎜ + ⎟
⎝4 5⎠
4.
194
400
81
C)
–1
9
D) –27
–2
iþleminin sonucu kaçtýr?
8.
A)
B) 1
B)
20
9
C)
9
20
D)
81
400
10–4 + 10–2 + 100 + 102 + 103 iþleminin
sonucu kaçtýr?
A) 1111, 1111
B) 1101, 1101
C) 1001, 0101
D) 1101, 0101
132, 25 sayýsýnýn karekökü aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 11,5
9.
B) 10,5
C) 1,25
D) 1,15
ó108 ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 3ñ6
B) 6ñ3
C) 9ñ3
D) 8ñ2
10. ò20 + ò45 – ó125 iþleminin sonucu
kaçtýr?
A) –2ñ5
11.
B) 0
0,36 + 0,25 –
C) 3ñ5
15.
D) 4ñ5
0,81 iþleminin sonucu
79 +
20
A) 3
1
iþleminin sonucu kaçtýr?
25
B) 5
C) 7
D) 9
16. ñ5 . (3ñ5 – 5ñ3) +ñ3 (4ñ3 + 5ñ5) iþleminin
sonucu kaçtýr?
A) 15
B) 15ò15
C) 27
D) 27ñ3
kaçtýr?
A) 0
B) 0,2
C) 0,4
D) 0,6
17.
27. 2
iþleminin sonucu kaçtýr?
6
A) 3
12.
51– 1 +
A) 0
B) 6
C) 9
D) 12
9 iþleminin sonucu kaçtýr?
B) 3
C) 5
D) 7
18. 35 < x < 92 koþulunu saðlayan kaç tane
x tam sayýsý vardýr?
A) 50
B) 52
C) 53
D) 56
13. ò18 . ò50 iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 25
B) 30
C) 20ñ2
D) 50ñ3
19.
A
9 cm
D
7 cm
3 cm
C
B
14.
Þekilde verilenlere göre |AC| nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr?
52 + 122 iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 13
B) 15
C) 17
12 cm
D) 19
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
195
20.
Þekildeki ABC
A
23.
D
üçgeninde
m(ëC) > m(ëA) > m(ëB)
14 cm
B
8 cm
A) 6
C
B) 7
G
ise |AC| nin alabileceði tam sayý
deðeri kaç cm’dir?
C) 8
E
F
Þekilde |DG|= |GF| ve
D) 9
m(DéEG) = m(GéEF) = 40° ise m(EééFG) kaç
derecedir?
A) 40
21.
Þekilde G noktasý ABC
üçgeninin, K noktasý
AGB üçgeninin aðýrlýk
merkezidir.
A
F
E
K
24.
C) 60
D) 90
A
|FG| + |KG| = 20 cm
G
ise |FC| kaç cm’dir?
B
B) 50
D
B
H
C
C
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
Þekilde [AH] ⊥ [BC], m(AéCB) = 30°,
m(AéBC) = 45° ve |AC| = 10 cm ise |AB|
kaç cm’dir?
A) 4
22.
L
N
m(MéON) = 54° ise
196
D) 5ñ3
M
m(LééKM) kaç derecedir?
25. 0° < x < 90° olmak üzere tanx = 5 ise
12
sinx + cosx toplam kaçtýr?
A)
A) 36
C) 5ñ2
Þekildeki O noktasý,
iç açýortaylarýn kesim
noktasýdýr.
K
O
B) 5
B) 54
C) 72
D) 90
17
13
B)
15
13
C) 1
D)
12
13