2. Set

MAT 1010 Matematik II
Alıştırma Seti II
Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Kısmi Türevler
1. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz.
(a) f (x, y) = x ln y.
2x
(b) f (x, y) =
.
y − x2
p
(c) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 .
1
(d) f (x, y) = p
.
9 − x2 − y 2
xy
(e) f (x, y) = 2
.
x −y
(f) f (x, y) = ln(x + y).
cos(x + z)
.
(g) f (x, y, z) =
xy
p
(h) f (x, y, z) = 9 − x2 − y 2 − z 2 .
(i) f (x, y, z) = xy ln z.
(m)
(n)
xy 2
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
lim
lim
x2 y
.
+ y2
(x,y)→(0,0) x2
(o)
(x − 1)2 ln x
.
(x,y)→(1,0) (x − 1)2 + y 2
(p)
(x − 1)(y + 2)
.
(x,y)→(0,0) (x − 1)2 + (y + 2)2
(q)
x2 + y 2 − 2x + 1
.
(x,y)→(1,0) y 2 − x2 + 2x − 1
(r)
xy 2
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(s)
(x − 1)(y + 2)
.
(x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2
(t)
x2 + y 2 − z 2
.
(x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2
lim
lim
lim
lim
lim
lim
2. Eğer varsa aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a)
lim
∂f
∂f
(x, y),
(x, y),
∂x
∂y
fx (1, 0) ve fy (2, −1)’yi hesaplayınız.
3. f (x, y) = 3x2 + x3 y + 4y 2 ise
x.
(x,y)→(a,b)
(b)
lim
y.
(x,y)→(a,b)
(c)
lim
(xy − 2).
(x,y)→(2,3)
(d)
(sin xy − x2 y).
lim
(x,y)→(−1,π)
(e)
lim
√
p
x2 − y 3 .
(x,y)→( 3,−1)
(f)
lim
(x,y)→(∞,1)
(g)
−1
tan
x
.
y
x2 − 2xy + y 2
.
x−y
(x,y)→(1,1)
lim
2x2 y + 3xy
.
(x,y)→(2,1) 5xy 2 + 3y
xy
(i)
lim
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
y
(j)
lim
.
(x,y)→(1,0) x + y − 1
xy
(k)
lim
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(h)
(l)
lim
x2 − y 2
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
4. Verilen fonksiyonların birinci basamaktan tüm
kısmi trevlerini bulunuz.
x
(a) f (x, y) = exy + ,
y
(b) f (x, y) = ex ln(x2 + y 2 + 1),
p
(c) f (x, y) = 9 − x2 − y 2 ,
(d) f (x, y) = ex ln y ,
x
(e) f (x, y) = 2
,
x + y2
(f) f (x, y) = ln(sec(xy) + tan(xy)),
(g) f (x, y, z, w) = x2 e2y+3z cos(4w),
y
(h) f (x, y, z) = z arcsin
,
x
x y
(i) f (x, y, z) = xyz + xz + xy + yz + + −
y
z
z
π
z
+ arcsin(xyz) + x + π ,
x
(j) f (x, y, z) = (xy)sin z ,
5. Verilen fonksiyonların ikinci basamaktan tüm
kısmi türevlerini bulunuz.
1
(d) f (x, y) = h x3 y, 2 ise fx , fy ve fyy ’yi
xy
h’nin türevleri cinsinden bulunuz.
(a) f (x, y) = x2 y − y 3 + ln x.
(b) f (x, y) = x4 y 2 − 3x2 y 3 + 6xy.
(c) f (x, y) = x3 sin y + y 3 cos x.
11. z = f (u, v), u = xy, v = x2 − y 2 ve fu (1, 0) =
2, fv (1, 0) = 3, fuu (1, 0) = 0, fuv (1, 0) = 1,
fvu (1, 0) = 1, fvv (1, 0) = −2 ise
(d) f (x, y) = arctan(xy).
(e) f (x, y, z) = exyz .
(f) f (x, y, z) = xy ln z.
(a) zx ,
6. Her şıkta verilen fonksiyon
değer(ler)i hesaplayınız
3
için
(b) zxy
istenen
değerlerini x = 1 ve y = 1 iken hesaplayınız.
4
(a) f (x, y) = cos(xy) − x + y için fxyy ve
fxyyy .
p
(b) f (x, y, z) = xy 3 z + 4x2 y için fx , fxy ve
fxyz .
∂z
12. (a) F (x, y, z) = xy 2 + z 3 + sin(xyz) = 0 ise
∂x
∂z
ve
’yi hesaplayınız.
∂y
∂z
∂z
(b) x−yz +cos(xyz) = x2 z 2 +1 ise
ve
’yi
∂x
∂y
hesaplayınız.
(c) u = 2xy için uxxy .
(d) u = cos(x + sin y) için uxyx .
∂5u
.
∂x3 ∂y 2
(f) u = sin(xy) + cos(xz) + tan(yz) için
∂3u
.
∂x∂y∂z
(c) F (x, y) = x2 + y 2 + sin(xy 2 ) − 15 = 0 ise
∂y
’yi hesaplayınız.
∂x
∂z
∂z
(d) x2 + y 2 z + z 3 = 25 ise
ve
’yi
∂x
∂y
hesaplayınız.
xz 2
+ y 2 = 10 ise P (−1, 2, 2) noktasında
(e)
x+y
∂z
’yi hesaplayınız.
∂x
(f) xz + y ln x − x2 + 4 = 0 ise A(1, −1, −3)
∂x
∂2x
noktasında
ve
’yi hesaplayınız.
∂z
∂z 2
(e) u = sin2 x cos2 y için
1
7. (a) z = ln(3x2 + y 3 ), x = e2t ve y = t 3 ise
dz
’yi bulunuz.
dt
dz
(b) z = x2 ey , x = t2 − 1 ve y = sin t ise
’yi
dt
bulunuz.
(c) z = exy , x(u, v) = 3u sin v ve y(u, v) = 4v 2 u
∂z
∂z
ise
ve
’yi bulunuz.
∂u
∂v
(d) z = 16 − 4x2 − y 2 , x = u sin v ve y = v cos u
∂z
∂z
ise
ve
’yi bulunuz.
∂u
∂v
p
(e) w =
x2 + y 2 + z 2 , x = er cos s, y =
∂w
∂w
ve
’yi bulunuz.
er sin s ve z = es ise
∂r
∂s
13. f (x, y) = x2 y − 4y 3 ise şıklarda verilen yönlerde
−
D→
u f (2, 1) değerlerini hesplayınız.
−
(a) →
u =<
√
3 1
2 , 2
>,
(b) (2, 1)’den (4, 0)’a olan yön.
14. f (x, y) = x2 + y 2 ise
→
−
→
−
−
(a) f ’nin (1, 2) noktasında ve →
a = i +2j
yönündeki yönlü türevini bulunuz.
8. f (x, y), ikinci dereceden kısmi türevleri sürekli
bir fonksiyon, x = r cos θ ve y = r sin θ ise
fr = fx cos θ + fy sin θ ve frr = fxx cos2 θ +
2fxy cos θ sin θ + fyy sin2 θ olduğunu gösteriniz.
−
(b) verilen
yönlerde
D→
u f (1, −1)’yi
hesaplayınız.
−
−
i. →
v =< −3, 4 > yönündeki →
u.
→
−
→
ii. v =< 3, −4 > yönündeki −
u.
9. f (x, y), ikinci dereceden kısmi türevleri sürekli
bir fonksiyon, x = r cos θ ve y = r sin θ ise fxx +
fyy = frr + 1r fr + r12 fθθ olduğunu gösteriniz.
15. x − yz + 2 cos(xyz) =
π ise z’nin
P (π, 1, 2)
1
1
−
√ , −√
noktasında ve →
u =
yönündeki
2
2
yönlü türevini bulunuz.
∂z
∂z
ve
’yi f ’nin türevleri
∂x
∂y
cinsinden bulunuz.
∂z
∂z
ve
’yi f ’nin
(b) z = f (x2 y, x + 2y) ise
∂x
∂y
türevleri cinsinden bulunuz.
16. f (x, y, z) = x3 y + 3x2 y 2 z ise f ’nin (1, 1, −1)
noktasındaki
ve
∇f (1, 1, −1)
yönündeki
yönlü türevini bulunuz.
(c) w = f (x2 − y 2 , 2xy) ise wxy ’yi f ’nin türevleri cinsinden bulunuz.
17. f (x, y, z) = x3 y 2 z fonksiyonunun P (2, −1, 2)
noktasındaki gradyan vektörünü bulunuz.
10. (a) z = f (x−y) ise
2
18. f (x, y, z) = x3 y 2 z fonksiyonunun P (2, −1, 2)
→
−
→
−
→
−
−
noktasında ve →
u = 2 i − j − 2 k yönündeki
yönlü türevini bulunuz.
19. f (x, y) = xe
bulunuz.
2
y3
+y
−x −
2
3
(f) Lagrange çarpanları yöntemini kullanarak
yüzleri koordinat düzlemlerine paralel olan
ve x2 + y 2 + z 2 = 3 içine sığabilen dikdörtgenler prizmasının hacminin en fazla kaç
olabileceğini bulunuz.
’nin tüm kritik noktalarını
20. Her şıkta f ’nin kritik noktalarını bulunuz ve
sınıflandırınız (yani yerel minimum, maksimum ya da eğer noktası olup olmadığına karar
veriniz).
(a) f (x, y) = 2x2 − y 3 − 2xy.
(b) f (x, y) = x3 − 2y 2 − 2y 4 + 3x2 y.
(c) f (x, y) = 4xy − x4 − y 4 .
(d) f (x, y) = x2 y − 2yx + 2y 2 − 15y.
(e) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy.
(f) f (x, y) = x3 + y 3 + 3x2 y − 15y 2 + 2.
(g) f (x, y) = x3 + 3x2 y + 3y 2 + 2y 3 + 10.
(h) f (x, y) = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 .
(i) f (x, y) = x(1 − x2 − y 2 ).
(j) f (x, y) = xy(9 − x − y).
21. f ’nin R üzerindeki mutlak maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
(a) f (x, y) = 5+4x−2x2 +3y−y 2 , R, y = 2, y =
x ve y = −x doğrularıyla sınırlandırılmış
bölge..
(b) f (x, y) = 2xy + y 2 + 8x − 4y,
(x, y) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 .
R =
(c) f (x, y) = xy(3 − x − y), R
(x, y) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 − x .
=
(d) f (x, y) =
x2 − y 2 ,
R
=
2
2
(x, y) x + y ≤ 1 .
(e) f (x, y) = xy 2 , R = (x, y) x2 + y 2 ≤ 3 .
22. (a) y = 3 − 2x doğrusu üzerinde bulunan noktalardan orijine en yakın olanını bulunuz.
(b) (x, y) noktaları x2 + 4y 2 ≤ 24 denklemiyle
belirlenen eliptik bir metal levha üzerinde
olmak üzere metal levhanın üzerindeki noktaların ısısı T (x, y) = x2 + 2x + y 2 fonksiyonu ile belirlenmiş olsun. Levha üzerindeki
en sıcak ve en soğuk noktaları ve bu noktalardaki sıcaklığı bulunuz.
(c) f (x, y, z) = 2x − 3y + z fonksiyonunun x2 +
y 2 + z 2 = 14 küresi üzerindeki minimum ve
maksimum değerlerini bulunuz.
(d) f (x, y, z) = xy + yz fonksiyonunun x2 +
y 2 +z 2 = 8 kısıtlaması altında uç değerlerini
bulunuz.
(e) f (x, y) = x2 y fonksiyonunun 2x2 + y 2 = 3
kısıtlaması altında uç değerlerini bulunuz.
3