ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
DİFERENSİYEL OPERATÖRLER İÇİN WEYL TEORİSİ
İbrahim ERDAL
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2013
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
DI·FERENSI·YEL OPERATÖRLER I·ÇI·N WEYL TEORI·SI·
I·brahim ERDAL
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI
Bu tez beş bölümden oluşmaktad¬r.
I·lk bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
I·kinci bölümde, spektral analiz için gerekli olan baz¬tan¬m ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde, simetrik diferensiyel operatörler için Weyl Teorisi’nden bahsedilmiştir.
Limit noktas¬, limit çemberi durumlar¬n¬belirleyen baz¬bilinen kriterler verilmiştir.
Dördüncü bölümde, simetrik olmayan diferensiyel operatörler için Weyl Teorisi’nden
bahsedilmiştir. Klasik Weyl Teorisi’nde benzeri olmayan durum ve di¼
ger durumlar
için kriterler anlat¬lm¬şt¬r.
Beşinci bölümde, M ( ) fonksiyonunun özelliklerinden bahsedilmiştir.
Ocak 2013, 46 sayfa
Anahtar Kelimeler : Weyl noktas¬,Weyl çemberi, Weyl fonksiyonu, indis say¬lar¬,
Sturm-Liouville operatörleri.
i
ABSTRACT
Master Thesis
WEYL THORY FOR DIFFERENTIAL OPERATORS
I·brahim ERDAL
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Şeyhmus YARDIMCI
This thesis consists of …ve chapters.
The …rst chapter is introduction.
In the second chapter, some de…nitions and theorems which are necessary for spectral
analysis have been given.
In the third chapter, Weyl Theory for symmetric di¤erential operators has been
mentioned. Some known criterias for the cases of limit point and limit circle have
been given.
In the fourth chapter,Weyl Theory for non-symmetric di¤erential operators has been
mentioned. Some criterias for unde…ned case in classical Weyl Theory and other
situations have been expressed.
In the …fth chapter, the properties of the M ( ) functions have been studied.
January 2013, 46 pages
Key Words: Weyl point, Weyl circle, Weyl function, index defect, Sturm-Liouville
operators.
ii
TEŞEKKÜR
Bu konuda çal¬şmama imkan tan¬yan ve deste¼
gini esirgemeyen dan¬şman hocam Say¬n
Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI’ya ( Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi), de¼
gerli
bilgi ve önerileriyle beni yönlendiren hocam Say¬n Prof. Dr. Elgiz BAYRAM’a
(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi), haftal¬k seminerlerimiz boyunca benimle birlikte
olan de¼
gerli hocalar¬m Yrd. Doç. Dr. Murat OLGUN’a ( Ankara Üniversitesi Fen
¼
Fakültesi), Araş. Gör. Yelda AYGAR ’a, Ekin UGURLU’
ya ve sevgili arkadaşlar¬m,
Pembe I·PEK’e ve Ça¼
gla CAN’a en içten duygular¬mla teşekkür ederim.
Ayr¬ca hayat¬m¬n her aşamas¬nda yan¬mda olup hiçbir fedakarl¬ktan kaç¬nmayan,
her an desteklerini hissetti¼
gim sevgili aileme ve arkadaşlar¬m Adem AYDIN ve Enes
DANIŞMAZ’a sonsuz minnetlerimi ve teşekkürlerimi sunar¬m.
I·brahim ERDAL
Ankara, Ocak 2013
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET....................................................................................................
i
ABSTRACT..........................................................................................
ii
TEŞEKKÜR.........................................................................................
SI·MGELER DI·ZI·NI·............................................................................
iii
v
1. GI·RI·Ş................................................................................................ 1
2. TEMEL KAVRAMLAR.................................................................
3. SI·METRI·K DI·FERENSI·YEL OPERATÖRLER I·ÇI·N
2
WEYL TEORI·SI·..............................................................................
3.1 Limit Çemberi ve Limit Noktas¬Durumlar¬ I·çin Kriterler.......
5
13
4. SI·METRI·K OLMAYAN DI·FERENSI·YEL OPERATÖRLER
I·ÇI·N WEYL TEORI·SI·.....................................................................
18
4.1 Durum I, Durum II ve Durum III I·çin Kriterler.........................
5. M ( ) FONKSI·YONUNUN ÖZELLI·KLERI·.................................
KAYNAKLAR.....................................................................................
ÖZGEÇMI·Ş..........................................................................................
iv
29
35
44
46
SI·MGELER DI·ZI·NI·
R
Reel say¬lar kümesi
C
Kompleks say¬lar kümesi
<z
z kompleks say¬s¬n¬n reel k¬sm¬
L
maksimal operatör
L0
minimal operatör
L2
Mutlak de¼
gerlerinin karesi Lebesque integrallenebilen fonksiyonlar¬n
=z
z kompleks say¬s¬n¬n imajiner (sanal) k¬sm¬
kümesi
N ;N
simetrik operatörün eksiklik uzaylar¬
v
1. GI·RI·Ş
I·kinci mertebeden diferensiyel denklemler teorisi önemli bir geçmişe sahiptir. I·yi
bilinmektedir ki diferensiyel ifadenin katsay¬lar¬tan¬ml¬oldu¼
gu aral¬g¼¬n her bir noktas¬nda regülerse uygun s¬n¬r koşullar¬, çözümlerin uç noktalarda ald¬klar¬ de¼
gerler
ile verilebilir. Ayr¬ca regüler diferensiyel operatörler ile kurulan diferensiyel denklemlerin tüm çözümleri karesel integrallenebilirdir. Fakat singüler operatörler için
bu durum genel olarak do¼
gru de¼
gildir. I·lk defa 1910 y¬l¬nda Weyl göstermiştir ki
ikinci mertebeden singüler simetrik bir operatör ile kurulan diferensiyel denklemin
mutlaka bir çözümü karesel integrallenebilirdir. Bu önemli sonuç neticesinde diferensiyel operatörler ikiye ayr¬labilir: limit çemberi durumunda olanlar ve limit noktas¬ durumunda olanlar. Limit çemberi durumundaki diferensiyel operatörler ile
ele al¬nan diferensiyel denklemlerin tüm çözümleri karesel integrallenebilirken, limit
noktas¬durumundakiler için lineer ba¼
g¬ms¬z çözümlerden sadece biri karesel integrallenebilirdir. Weyl’in bu analizi yaklaş¬k 35 y¬l kadar sonra Titchmarsh taraf¬ndan
tekrar ele al¬nm¬şt¬r. Özel olarak Titchmarsh, Titchmarsh-Weyl fonksiyonu olarak bilinen m-fonksiyonlar¬n¬n baz¬özelliklerini incelemiştir. Literatürde Titchmarsh-Weyl
fonksiyonu yard¬m¬yla spektral fonksiyon, s¬n¬r de¼
ger operatörleri, saç¬lma fonksiyonu, karakteristik fonksiyon kurulabilmektedir. Bu teoriler hakk¬nda detayl¬bilgi
Coddington ve Levinson (1955), Gorbachuk (1991), Kuzhel’in (1995) kitaplar¬nda
ve Malamud’un (2006, 2008) makalelerinde bulunabilir. Ayr¬ca m- fonksiyonlar¬n¬n
teorisini destekleyen pek çok başka çal¬şma da literatüre kazand¬r¬lm¬şt¬r.
Di¼
ger yandan 1957 y¬l¬nda Sims, Weyl’in ortaya koydu¼
gu bu analiz metodunu kompleks katsay¬l¬diferensiyel operatörlere uygulam¬şt¬r. Sims bu analizinde çok önemli
bir sonuç elde etmiştir. Klasik durumda olmayan ancak kompleks katsay¬l¬durumda
görülen sonuç şudur: limit noktas¬durumunda lineer ba¼
g¬ms¬z iki çözüm karesel integrallenebilirdir (DurumII). Ayr¬ca Sims, Titchamarsh-Weyl fonksiyonlar¬n¬n özelliklerini de incelemiştir ve baz¬sonuçlar elde etmiştir.
Bu tezde ikinci mertebeden simetrik ve simetrik olmayan singüler diferensiyel operatörler için Weyl teorisi incelenmiştir. Bu tez haz¬rlan¬rken temel olarak Coddington
ve Levinson’un kitab¬ndan (1955) ve Sims’in makalesinden (1957) faydalan¬lm¬şt¬r.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde spektral analiz için gerekli baz¬tan¬m ve teoremler verilecektir.
Tan¬m 2.1 H reel veya kompleks vektör uzay¬ olsun. H üzerinde bir iç çarp¬m
H uzay¬ndaki vektörlerin her s¬ral¬çiftini bir skalere eşleyen ve aşa¼
g¬daki özellikleri
gerçekleyen (; ) fonksiyonudur:
1. (x1 + x2 ; y) = (x1 ; y) + (x2 ; y) ;
2. ( x; y) =
(x; y) ;
3. (y; x) = (x; y);
4. (x; x)
0; (x; x) = 0 () x = 0:
Böyle bir iç çarp¬mla belirtilen H uzay¬na bir iç çarp¬m uzay¬denir (Ho¤man 1962).
Tan¬m 2.2 H reel veya kompleks vektör uzay¬olsun. H üzerinde bir norm H üzerinde aşa¼
g¬daki özellikleri gerçekleyen, negatif olmayan, reel de¼
gerli k:k fonksiyondur:
1. kxk
0; kxk = 0 () x = 0;
2. kx + yk
kxk + kyk
3. k xk = j j kxk :
H üzerinde bu şekilde tan¬mlanan bir norm ile birlikte H vektör uzay¬na normlu
1
lineer uzay denir. kxk = (x; x) 2 formülü H üzerinde bir norm belirtir. E¼
ger H bu
norma göre tam ise H uzay¬na Hilbert uzay¬denir (Ho¤man 1962).
Tan¬m 2.3 Bir L fonksiyonunun tan¬m ve görüntü kümesi ayn¬cisim üzerinde lineer
uzaylarsa ve cisimdeki her
ve L nin tan¬m uzay¬ndaki her x; y vektör çifti için
L (x + y) = Lx + Ly;
L ( x) =
Lx
koşullar¬gerçekleniyorsa L fonksiyonuna lineer operatör denir (Naimark 1968).
2
Tan¬m 2.4 Tüm H uzay¬üzerinde tan¬ml¬L operatörüne
kLxk
C kxk ;
8x 2 H
koşulunu gerçeklemesi durumunda s¬n¬rl¬ operatör denir. En küçük C say¬s¬na L
operatörünün normu denir ve kLk ile gösterilir (Naimark 1968).
Tan¬m 2.5 H Hilbert uzay¬ve L bu uzayda lineer operatör olmak üzere L n¬n tan¬m
kümesi D (L), H Hilbert uzay¬nda yo¼
gun olsun. f 2 D (L) için
(Lf; g) = (f; L g)
eşitli¼
gini sa¼
glayan L operatörüne L nin adjoint operatörü denir. Bu eşitli¼
gi sa¼
glayan
g 2 H vektörler kümesine L in tan¬m kümesi denir ve D (L ) ile gösterilir (Naimark
1968).
Tan¬m 2.6 E¼
ger L = L ise L ye self adjoint operatör ad¬verilir (Naimark 1968).
Tan¬m 2.7 L operatörünün tan¬m kümesi olan D(L) kümesi H Hilbert uzay¬nda
yo¼
gun bir alt küme olsun. E¼
ger her f; g 2 D(L) için
(Lf; g) = (f; Lg)
gerçekleniyorsa L lineer operatörüne simetrik operatör denir (Naimark 1968).
Tan¬m 2.8 Her s¬n¬rl¬kümeyi kompakt kümeye dönüştüren operatöre kompakt operatör denir (Naimark 1968).
Teorem 2.9 (Vitali Yak¬nsakl¬k Teoremi) fn (z) ; bir D bölgesinde her biri
regüler olan fonksiyonlar¬n bir dizisi olsun. Her n do¼
gal say¬s¬ ve her z 2 D için
fn (z) ;
j fn (z)j
M
eşitsizli¼
gini gerçeklesin ve n ! 1 için D bölgesinde bir limit noktas¬na sahip olsun.
Bu durumda fn (z) ; D bölgesinin içindeki herhangi bir s¬n¬rl¬bölgede düzgün yak¬nsakt¬r ve düzgün yak¬nsad¬g¼¬limit fonksiyonu z nin analitik fonksiyonudur
(Titchmarsh 1939).
3
Tan¬m 2.10 L bir simetrik operatör ve
s¬ras¬yla L
I ve (L
key… bir kompleks say¬olsun. R ve R ile
I) operatörlerinin de¼
ger kümeleri gösterilsin. R ve R
kümeleri H Hilbert uzay¬n¬n alt kümesidir. Bunlar¬n ortogonal tümleyenleri s¬ras¬
ile (H
R ) ve (H
R ) ile gösterilsin.
N
= H
R
N
= H
R
uzaylar¬na L operatörünün eksiklik uzaylar¬denir (Naimark 1968).
Lemma 2.11 N ve N eksiklik uzaylar¬s¬ras¬ile L operatörünün
ve
özde¼
ger-
lerine karş¬l¬k gelen özvektörlerinden oluşur (Naimark 1968).
Tan¬m 2.12
m = dim Ni ; n = dim N
i
say¬lar¬na L opeatörünün eksiklik (indis) say¬lar¬ denir. L operatörü simetrik ise
m = n gerçeklenir (Naimark 1968).
Tan¬m 2.13 I·kinci mertebeden bir diferensiyel operatör için (1; 1) eksiklik say¬s¬,
limit noktas¬durumu; (2; 2) eksiklik say¬s¬durumu ise limit çemberi durumu olarak
bilinir (Naimark 1968).
Teorem 2.14 Üst yar¬düzlemden olan her
kompleks say¬s¬için
dim N
= dim N
dim N
= dim Ni
sa¼
glan¬r (Naimark 1968).
4
i
3. SI·METRI·K DI·FERENSI·YEL OPERATÖRLER I·ÇI·N WEYL TEORI·SI·
Bu bölümde ikinci mertebeden reel katsay¬l¬ simetrik bir diferensiyel operatör için
limit çemberi ve limit noktas¬ durumlar¬ incelenecektir. Bu bölüm Coddington ve
Levinson’un kitab¬(1955) kaynak al¬narak haz¬rlanm¬şt¬r.
Şimdi
` (y) =
p (x) y
0
0
+ q (x) y; x 2 [0; 1)
(3:1)
diferensiyel ifadesi ele al¬ns¬n. Burada, p; q; [0; 1) aral¬g¼¬nda reel de¼
gerli, Lebesque
ölçülebilir fonksiyonlar ve p 1 ; q 2 L1loc [0; 1) dur.
Bu bölümde L ;
Ly =
p (x) y
0
0
+ q (x) y
şeklinde tan¬ml¬self-adjoint diferensiyel operatörünü göstersin. Burada x0 key… ol0
mak üzere herhangi bir [0; x0 ] aral¬g¼¬üzerinde p; p ; q fonksiyonlar¬reel, sürekli ve
p(x) > 0 kabul edilecektir.
f ve g , L nin tan¬m kümesinden seçilen iki fonksiyon ve [x1 ; x2 ]
[0; 1) key… aral¬g¼¬
için incelemelerde büyük önemi olan Green formülü aşa¼
g¬daki şekilde ifade edilir:
Zx2
gLf
f Lg dx = [f g] (x2 )
[f g](x1 ) :
x1
Burada
0
[f g](x) = p(x) f (x)g (x)
0
f (x)g(x)
şeklindedir.
Ayr¬ca
2 C için f ve g ayn¬Ly = y denkleminin çözümleri ise [f g] (x) in sabit
olup x den ba¼
g¬ms¬z olaca¼
g¬aç¬kt¬r.
Tan¬m 3.1 E¼
ger bir
kompleks say¬s¬için
Ly = y
diferensiyel denkleminin her çözümü L2 (a; b) ( 1
5
a
b
1) uzay¬ndansa, L
operatörüne limit çemberi durumundad¬r denir. Aksi takdirde L ye limit noktas¬
durumundad¬r denir (Coddington ve Levinson 1955).
Regüler diferensiyel operatörlerin limit çemberi durumunda olduklar¬aç¬k oldu¼
gundan bu tezde singiler diferensiyel operatörler incelenecektir.
Weyl’in analizinin anlaml¬olmas¬için
spektral parametresinin key… seçilmesi önem
arz eder. Aşa¼
g¬daki teorem bu durumu aç¬klar.
Teorem 3.2 E¼
ger bir
0
kompleks say¬s¬ için Ly =
2
L (0; 1) s¬n¬f¬ndan ise key…
0y
denkleminin her çözümü
kompleks say¬s¬ için de Ly =
y denkleminin her
çözümü L2 (0; 1) s¬n¬f¬ndand¬r (Coddington ve Levinson 1955).
I·spat Ly =
' ve
0y
denkleminin L2 (0; 1) s¬n¬f¬ndan olan iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü
olarak verilsin.
ise Ly = y denkleminin key… bir çözümü olsun. Ly = y
denklemi
Ly
0y
=(
şeklinde yaz¬labilir. Bu durumda ' ve
, Ly
0) y
(3:2)
0y
= 0 homogen denkleminin iki
lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü olur. O halde homogen olmayan denklemin özel çözümünü
bulmak için paramatrelerin de¼
gişimi yöntemi uygulan¬rsa (3:2) denkleminin bir özel
çözümü
y (x) =
Zx
(
0)
( ) (' (x)
( )
'( )
(x)) d
c
olarak bulunur.
(x), (3:2) denkleminin genel çözümü oldu¼
gundan
(x) = c1 ' (x) + c2 (x) + (
0)
Zx
(' (x)
( )
c
yaz¬l¬r. Burada c; c1 ; c2 sabitlerdir.
0
k kc = @
Zx
c
notasyonu kullan¬ls¬n.
6
1 12
j j2 dxA
'( )
(x)) ( ) d
(3:3)
8x
c için k'kc
Zx
(' (x)
M; k kc
( )
M oldu¼
gu ve Schwarz eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
'( )
M (j' (x)j + j (x)j) k kc
(x)) ( ) d
(3:4)
c
bulunur. (3:4) eşitsizli¼
gi (3:3) ifadesinde dikkate al¬n¬r ve Minkowski eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
k kc
(jc1 j + jc2 j) M + 2 j
0j M
2
k kc
(3:5)
elde edilir.
E¼
ger c; j
ifadesinden
0j M
2
<
1
4
eşitsizli¼
gi sa¼
glanacak şekilde yeterince büyük seçilirse (3:5)
k kc
2 (jc1 j + jc2 j) M
elde edilir. Eşitsizli¼
gin sa¼
g taraf¬x den ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gundan
0 x
1 21
Z
lim @ j j2 dxA
2 (jc1 j + jc2 j) M
x!1
c
gerçeklenir. Buradan
2 L2 (0; 1) bulunur. Böylece teoremin ispat¬tamamlan¬r.
Limit noktas¬durumunda Ly = y denkleminin en çok bir lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü
L2 (0; 1) s¬n¬f¬ndand¬r. Gösterilecektir ki bu durumda =
herhangi bir
' ve
6= 0 olacak biçimdeki
için Ly = y denkleminin sadece bir çözümü L2 (0; 1) s¬nf¬ndand¬r.
; Ly = y denkleminin 0
olmak üzere
<
' (0; ) = sin
(0; ) = cos
(3.6)
0
p(0)' (0; ) =
0
cos
p(0) (0; ) = sin
koşullar¬n¬sa¼
glayan iki çözümü olsun. Aç¬kt¬r ki ' ve
0
'; ' ; ;
0
;
n¬n tam fonksiyonlar¬ve x ve
lineer ba¼
g¬ms¬z çözümlerdir.
de¼
gişkenlerine göre sürekli fonksiyon-
lard¬r. Ek olarak (3.6) dan
'
olup ['
0
(0) = p (0) ' (0)
(0)
0
' (0)
](x) , x den ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gundan her x için ['
7
(0) = 1
](x) = 1 gerçeklenir. Bu
çözümler reel
lar için reeldir ve 0 noktas¬nda aşa¼
g¬daki s¬n¬r koşulu sa¼
glar.
0
cos ' (0; ) + sin p(0)' (0; ) = 0
sin
0
(0; )
cos p(0) (0; ) = 0
Ly = y denkleminin lineer ba¼
g¬ms¬z iki çözümü ' ve
oldu¼
gundan genel çözüm
ya ba¼
gl¬olan her m için
(3.7)
='+m
şeklinde düşünülebilir. Şimdi 0 < b < 1 olacak şekildeki b noktas¬nda aşa¼
g¬daki reel
s¬n¬r koşul gözönüne al¬ns¬n.
0
cos x(b) + sin p(b)x (b) = 0
(0
(3.8)
< )
çözümünün (3:8) ifadesini sa¼
glamas¬için:
0
m=
cot ' (b; ) + p(b)' (b; )
0
cot
(b; ) + p(b) (b; )
formunda olmal¬d¬r. Bu durumda m = m ( ; b; ) şeklinde ; b;
0
0
fonksiyonu olur. '; ' ; ;
fonksiyonudur ve reel
E¼
ger z = cot
C :=
;
(3.9)
de¼
gişkenlerinin bir
n¬n tam fonksiyonlar¬oldu¼
gundan m ;
n¬n meromorf
lar için reeldir.
0
al¬n¬r ve ; b de¼
gişkenleri sabitlenirse, A := ' (b; ) ; B := p(b)' (b; );
0
(b; ) ; D := p(b) (b; ) fonksiyonlar¬sabitlenir ve (3.9) eşitli¼
gi
m=
şeklinde yaz¬labilir.
; 0 ile
Az + B
Cz + D
(3.10)
aras¬nda de¼
giştikçe z; reel eksen üzerinde de¼
gerler
al¬r. (3:10) daki kesirli lineer dönüşüm z düzlemindeki reel ekseni m düzlemindeki
Cb çemberine dönüştürür.
Böylece
n¬n (3:8) denklemini sa¼
glamas¬için gerek ve yeter koşul m nin Cb çemberi
üzerinde olmas¬d¬r. (3.10) denkleminden
z=
B + Dm
A + Cm
elde edilir. Reel eksenin görüntüsünün denklemi için =z = 0 oldu¼
gundan
8
z
z
2i
=0
eşitli¼
gi yard¬m¬yla
A + Cm (B + Dm) + (A + Cm) B + Dm
2
2
2
jAj + jCj jmj + 2<(ACm)
!
1
=0
2i
sa¼
glan¬p
A + Cm (B + Dm)
(A + Cm) B + Dm = 0
(3.11)
elde edilir. Bu Cb çemberi için bir denklemdir.
Kompleks düzlemde yar¬çap¬ r, merkezi c olan bir çember denklemi jz
cj = r
şeklindedir. Bu durumda
cj2 = r2 ) (z
jz
) z:z
zc
c) = r2
c)(z
cz + cc
r2 = 0
(3.12)
olup ayr¬ca (3:11) eşitli¼
gi aç¬l¬rsa
jmj2 + m
AD
CD
BC
CB
+m
CD
CD
AD
AB
+
CD CD
AB
=0
CD
elde edilir. (3:12) ve (3:13) karş¬laşt¬r¬ld¬g¼¬nda Cb çemberinin merkezi,
AD
CD
BC
CD
jAD
CD
BCj
CD
mb =
ve yar¬çap¬,
rb =
şeklinde bulunur.
(3.11) denklemi aç¬l¬rsa
0 = (A + mC) B + mD
(B + mD) A + mC
0
0
= p(b) (A + mC) ' (b) + m (b)
0
0
= p(b) (' (b) + m (b)) (b)
0
= p(b) (b) (b)
= p(b)
= [
0
(b) (b)
0
p(b) ' (b) + m (b)
0
p(b) (b) (b)
0
(B + mD) '(b) + m (b)
(b) (b)
](b)
9
(b)
(3.13)
bulunur. Böylece Cb çemberinin denklemi
[
(3.14)
](b) = 0
şeklinde elde edilir. Ayr¬ca
[' ](b) = AD
BC
[
CD
](b) = CD
[' ](b) = AD
BC = 1
eşitlikleri gerçeklendi¼
ginden Cb çemberinin merkezi ve yar¬çap¬
[' ](b)
[ ](b)
mb =
;
rb =
j[
1
](b)j
(3.15)
şeklinde yeniden ifade edilebilir.
(3:14) ifadesinde mm teriminin katsay¬s¬[
](b) oldu¼
gundan m düzleminde Cb nin
içi
[
[
](b)
<0
](b)
(3.16)
ile verilir.
Green formülünde f = g =
Zb
ve x1 = 0 ; x2 = b al¬n¬rsa
L
L
](0) = p (0)
(0)
dx = [
](b)
[
](0)
0
bulunur.
[
0
(0)
0
(0)
(0)
= 0 ve L
dikkate al¬n¬rsa
[
](b) =
Zb
2
j j
dx ) [
0
](b) = 2i=
Zb
0
elde edilir.
10
j j2 dx
=
oldu¼
gu
Benzer şekilde yine Green formülünde f = g =
[
Zb
](b) = 2i=
ve x1 = 0 ; x2 = b al¬n¬rsa
j j2 dx + [
] (0)
0
bulunur. Di¼
ger taraftan [
2i=m olup bunlar (3.16) ifadesinde yerine
] (0) =
yaz¬l¬rsa
Zb
j j2 dx <
0
=m
=
(= 6= 0)
(3.17)
elde edilir.
(3.17) ifadesi Cb çemberinin içini tan¬mlar. Yani m noktalar¬n¬n Cb nin içinde olmas¬
için gerek ve yeter koşuldur.
Ek olarak m noktalar¬n¬n Cb nin üzerinde olmas¬için gerek ve yeter koşul
Zb
j j2 dx =
0
=m
=
(= 6= 0)
(3.18)
olmas¬d¬r.
(3.15) de ifade edilen rb yar¬çap¬,
rb =
1
](b)j
j[
ve
[
](b) = 2i=
Zb
j j2 dx
0
oldu¼
gundan = > 0 için
1
rb = 2=
Zb
j j2 dx
(3.19)
0
ile verilir.
Şimdi 0 < a < b < 1 olsun. Bu durumda e¼
ger m noktas¬Cb çemberinin içinde veya
üzerinde ise
Za
0
2
j j dx <
Zb
j j2 dx
0
11
=m
=
oldu¼
gundan m noktas¬Ca çemberinin içinde olur. O halde a < b için Ca çemberi Cb
çemberini kapsayacakt¬r. Böylece verilen bir
(= > 0) için b ! 1 durumunda Cb
çemberleri ya bir C1 çemberine ya da bir m1 noktas¬na yak¬nsar.
E¼
ger Cb bir çembere yak¬nsarsa onun yar¬çap¬r1 = lim rb pozitiftir ve (3:19) ifadesinden
2 L2 (0; 1) bulunur. E¼
ger m
e 1 , C1 limit çemberi üzerinde herhangi bir nokta
ise b > 0 için m
e 1 , Cb çemberinin içindedir. Bu nedenle
Zb
0
j' + m
e 1 j2 dx <
(' + m
e 1 ) 2 L2 (0; 1)
olup b ! 1 için
=m
e1
=
bulunur. Ayn¬ ispat m
e 1 n¬n m1 a
k¬s¬tlanmas¬durumunda da geçerlidir. Bu nedenle = 6= 0 için Ly = y denkleminin
L2 (0; 1) s¬n¬f¬ndan olan daima bir çözümü vard¬r.
Cb ! C1 olmas¬ durumunda =
Çünkü
6= 0 için tüm çözümler L2 (0; 1) s¬n¬f¬ndand¬r.
ve (' + m
e 1 ) nin L2 (0; 1) s¬n¬f¬ndan oldu¼
gu gösterildi. Böylece C1 çem-
berinin varl¬g¼¬ ile limit çemberi durumu m1 noktas¬n¬n varl¬g¼¬ ile de limit noktas¬
durumu tan¬mlan¬r.
Cb ! m1 olmas¬ durumu lim rb = 0 anlam¬na gelir. Böylece (3.19) ifadesinden
2
= L2 (0; 1) elde edilir. Bu durumda =
2
sadece bir tanesi L (0; 1) s¬n¬f¬ndand¬r.
6= 0 için lineer ba¼
g¬ms¬z çözümlerden
Limit çemberi durumunda m nin Cb çemberi üzerinde olmas¬için gerek ve yeter koşul
(3.18) in sa¼
glanmas¬d¬r.
= ' (x; ) + m (x; )
oldu¼
gundan buradan elde edilir ki m nin C1 çemberi üzerinde olmas¬için gerek ve
yeter koşul
=
Z1
j j2 dx = =m
0
olmas¬d¬r. [
] (0) =
2i=m oldu¼
gundan m nin C1 limit çemberi üzerinde olmas¬
için gerek ve yeter koşul [
] (1) = 0 olmas¬d¬r.
Limit noktas¬durumunda e¼
ger m , Cb üzerinde herhangi bir nokta ise m ! m1 limit
noktas¬olur ve bu (3.8) s¬n¬r koşulundaki
12
n¬n seçiminden ba¼
g¬ms¬z olarak sa¼
glan¬r.
O halde
= 0 için de sa¼
glan¬r ve bu durumda limit noktas¬
' (b; )
b!1 (b; )
m1 ( ) =
(3.20)
lim
ile verilir.
Böylece aşa¼
g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 3.3 E¼
ger = 6= 0 ve ' ile
lineer ba¼
g¬ms¬z çözümleri ise
; Ly = y denkleminin (3.6) koşulunu sa¼
glayan
= ' + m çözümünün (3.8) reel s¬n¬r koşulunu sa¼
gla-
mas¬ için gerek ve yeter koşul m nin kompleks düzlemde bir Cb çemberi üzerinde
olmas¬d¬r. Burada Cb çemberi
[
] (b) = 0
ile verilir. b ! 1 için Cb ; ya bir C1 limit çemberine ya da bir m1 limit nok-
tas¬na yak¬nsar. Birinci durumda Ly = y denkleminin tüm çözümleri L2 (0; 1)
s¬n¬f¬ndand¬r. I·kinci durumda ise lineer ba¼
g¬ms¬z çözümlerden sadece biri L2 (0; 1)
s¬n¬f¬ndand¬r. Ayr¬ca limit çemberi durumunda bir noktan¬n C1 ( ) limit çemberi
üzerinde olmas¬ için gerek ve yeter şart [
] (1) = 0 olmas¬d¬r (Coddington ve
Levinson 1955).
3.1 Limit Çemberi ve Limit Noktas¬Durumlar¬ I·çin Kriterler
Bu k¬s¬mda L operatörünün limit çemberi veya limit noktas¬durumunda oldu¼
gunu
karakterize eden baz¬koşullar verilecektir.
Teorem 3.1.1 M , pozitif diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve k1 ; k2 pozitif sabitler
olsun. Yeterince büyük x ler için
q (x)
k1 M (x) ;
Z1
(pM )
1
2
dx = 1
x
1
0
p 2 (x) M (x) M
3
2
(x)
k2
(3.21)
koşullar¬sa¼
glans¬n. Bu durumda L operatörü singüler noktada (sonsuzlukta) limit
noktas¬durumundad¬r (Coddington ve Levinson 1955).
13
I·spat I·spat için Ly = 0 denkleminin L2 (0; 1) uzay¬ndan olan iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözüme sahip olamayaca¼
g¬ gösterilecektir. Burada Teorem 3.2 gere¼
gince
=0
2
al¬nmas¬n¬n bir sak¬ncas¬yoktur. Kabul edelimki ; Ly = 0 denkleminin L (0; 1)
s¬n¬f¬ndan reel bir çözümü olsun. (p 0 )0 = q oldu¼
gundan c > 0 için (3.21) koşulundan
Zx
(p 0 )0
dx =
M
c
Zx
q 2
dx
M
k1
c
Zx
2
dx
c
sa¼
glan¬r. Sol taraftaki integrale k¬smi integrasyon uygulan¬rsa
k3 = k1
Zx
2
p (c)
dx
0
(c) (c)
M (c)
c
olmak üzere
p 0
+
M
Zx
Zx
(p 0 )2
dx
M
c
0
p
M0
M2
(3:22)
dx < k3
c
elde edilir.
H (x) =
Zx
(p 0 )2
dx
M
c
olarak tan¬mlans¬n. (3.21) dikkate al¬n¬r ve Schwarz eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
Zx
2
p
0
M0
M2
k22 H
dx
(x)
c
Zx
2
dx
c
bulunur. Buradan her iki taraftan karekök al¬n¬rsa
0
k4 = k2 @
olmak üzere
Zx
p
0
M0
M2
Zx
2
c
dx
1 21
dxA
1
k4 H 2
c
bulunur. Bu son eşitsizlik (3.22) de göz önüne al¬n¬rsa
p 0
+H
M
1
(3:23)
k4 H 2 < k3
bulunur. Eger x ! 1 için H (x) ! 1 sa¼
glan¬rsa (3.23) eşitsizli¼
ginden
14
p 0
M
> H
gerçeklenir. H fonksiyonu pozitif oldu¼
gundan
fonksiyonlar oldu¼
gundan
0
p 0
M
2 L2 (0; 1) olmas¬ ie çelişir. Bu
> 0 d¬r. Bu ise
durumda H fonksiyonu sonlu olmal¬d¬r. Yani ;
Z1
> 0 sa¼
glan¬r. p ve M pozitif
(p 0 )2
dx < 1
M
(3:24)
c
olmal¬d¬r.Şimdi kabul edelim ki ' ve ; Ly = 0 denkleminin L2 (0; 1) s¬n¬fndan olan
iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü olsunlar. Yani L operatörü limit çemberi durumunda
olsun. Bu çözümlerin reel ve
0
= p ('
'
'0 ) = 1
(3:25)
oldu¼
gu kabul edilebilir.
1
(3:25) ifadesinin her iki yan¬(pM ) 2 ye bölünürse
1
'
1
0
p2
M
p 2 '0
1
2
1
2
M
1
=
1
(3:26)
(pM ) 2
bulunur. (3:24) ve Schwarz eşitsizli¼
gi dikkate al¬n¬rsa
Z1
1
'
c
0
p2
1
M2
1
p 2 '0
1
M2
dx < 1
(3:27)
elde edilir. (3:26) ifadesinin sa¼
g taraf¬ndaki ifade (3:21) den dolay¬(0:1) aral¬g¼¬nda
integrallenebilir de¼
gildir. Bu ise (3:27) ifadesiyle çelişir. O halde L operatörü limit
noktas¬durumundad¬r.
0
x < 1 için M (x) = 1 durumunda Teorem 3.1.1 den aşa¼
g¬daki sonuç elde edilir.
Sonuç 3.1.2 E¼
ger k pozitif bir sabit olmak üzere
q (x)
Z1
k ve
p
1
2
dx = 1
ise bu durumda L operatörü sonsuzlukta limit noktas¬durumundad¬r (Coddington
ve Levinson 1955).
15
Bir çok ikinci basamaktan diferensiyel denklemde p (t) = 1 dir. Bu durumda Teorem
3.1.1 den aşa¼
g¬daki sonuç elde edilir.
Sonuç 3.1.3 E¼
ger 0
x < 1 için p (x) = 1 ve k pozitif sabiti için q (x)
kx2
ise bu durumda L operatörü sonsuzlukta limit noktas¬durumundad¬r (Coddington
ve Levinson 1955).
Teorem 3.1.4 L0 operatörü L2 [0; 1) da (3.1) diferensiyel ifadesi taraf¬ndan üretilen
minimal simetrik operatör olsun. E¼
ger a0 6= 0 ve a1 sabitleri için
1
; q
a0
1
p
a1
fonksiyonlar¬[0; 1) da integrallenebilir ise L operatörünün eksiklik say¬lar¬(1; 1) dir
(Naimark 1968).
Teorem 3.1.5 L0 operatörü L2 [0; 1) da (3.1) diferensiyel ifadesi taraf¬ndan üretilen
minimal simetrik operatör olsun. E¼
ger q (x) 2 L2 (0; 1) ise L0 operatörünün eksiklik
say¬lar¬(1; 1) dir (Naimark 1968).
Teorem 3.1.6
L0 operatörü L2 [0; 1) da (3.1) diferensiyel ifadesi taraf¬ndan
0
üretilen minimal simetrik operatör olsun. Kabul edelim ki p; q; q 2 ACloc [0; 1),
0
pp
1
0
00
2 L1 [0; 1), ve q ile q yeterince büyük x0 için ayn¬işaretli olsun. x ! 1 için
0
q ! +1 ve q = O(jqj ); 0 <
<
3
2
gerçeklensin. Bu durumda L0 operatörü
Z1
jq(x)j
1
2
dx
integralinin yak¬nsamas¬ durumunda (2; 2), ¬raksamas¬ durumunda (1; 1) eksiklik
say¬lar¬na sahiptir (Naimark 1968).
Teorem 3.1.7 L0 operatörü, pozitif yar¬eksen üzerinde
`y =
y 00
q(x)y
diferensiyel ifadesi ile üretilen operatör olarak düşünülsün. Burada q(x) sürekli
16
türevlenebilir bir fonksiyondur.
q (x) = inf
8
<
d>0 :
d
1
:d
1
9
Zx+d
=
q(t)dt
;
x
fonksiyonu ele al¬ns¬n. E¼
ger aşa¼
g¬daki koşullar
1) lim q (x) = 1;
x!1
0
2) q (x)
0; x
R;
0
3) q (x)q (x) = O(q (x))2 ; x R için 0 < < 3=2;
Z 1
2
((q(x) q (x))=q (x)dx, yeterince büyük R için [R; 1) üzerinde integ4) q (x)
t
rallenebilir,
gerçekleniyorsa bu durumda L0 operatörü,
Z
1
q
1
(x)dt
integralinin yak¬nsamas¬durumunda limit çemberi, ¬raksamas¬durumunda limit noktas¬durumundad¬r ( Sultanaev 1984).
17
SI·METRI·K OLMAYAN DI·FERENSI·YEL OPERATÖRLER I·ÇI·N
WEYL TEORI·SI·
4.
Bu bölümde ikinci mertebeden kompleks katsaly¬l¬simetrik olmayan bir diferensiyel
operatör için limit noktas¬ve limit çemberi durumlar¬anlat¬lacak ve çeşitli kriterler
verilecektir. Bu bölüm Sims’in makalesi (1957) kaynak al¬narak haz¬rlanm¬şt¬r.
r sonlu b key… singüler nokta olmak üzere ikinci mertebeden kompleks katsay¬l¬diferensiyel eşitlik [r; b) üzerinde
00
y + [q (x)
(4.1)
]y = 0
şeklinde ele al¬nacakt¬r. (4.1) denkleminin
(r; ) = sin
(r; ) = cos
(4.2)
0
(r; ) =
başlang¬ç koşullar¬na sahip
nin genel çözümü ye =
noktas¬nda
0
cos
(r; ) = sin
(x; ) ve (x; ) çözümleri mevcuttur. (4.1) denklemi0
+ l formunda düşünülebilir. r < b < b olacak şekilde b
0
bir kompleks say¬olmak üzere
cos y b
0
+ sin y
0
b
0
=0
s¬n¬r koşulu verilsin. (4.1) denkleminin ye = +l formundaki çözümlerinin yukar¬daki
s¬n¬r koşulu sa¼
glamas¬için l; z = cot
al¬nmak üzere
0
b;
0
l b ; ;z =
şeklinde elde edilir.
0
6= 0 ve
b;
0
z+
(b0 ; ) z +
0
0
b;
0
0
0
b;
(b0 ; )
(4.3)
6= 0 kabul edilsin. Sabitlenmiş
ve b seçimi için (4.3) ifadesi z düzleminden l düzlemine bir kesirli lineer dönüşüm
tan¬mlar. (4.3) denkleminde z çekilirse
0
0
z b ; ;` =
bulunur.
= u + iv , q = q1 + iq2 ve
0
0
0
b; l+
b;
0
(b ; ) l + (b0 ; )
=
1
+i
2
olsun.
f ve g, (4.1) diferensiyel denkleminin lineer ba¼
g¬ms¬z çözümleri olmak üzere
18
(4.4)
0
0
f (x) g (x) şeklinde tan¬mlans¬n.
i
h
0
00
y = 0 denkleminin çözümü ise
f (x); (4.1) denkleminin g(x) de y + q(x)
Wx [f; g] = f (x) g (x)
Zb
0
0
f (x)g(x)dx =
2i
r
Zb
0
q2 f (x)g(x)dx + Wr [f; g]
(4.5)
Wb0 [f; g]
r
h
00
y + q(x)
elde edilir. Ek olarak f (x); (4.1) denkleminin g(x) de
denkleminin çözümü ise (4.5) ifadesi
Zb
0
0
i
y = 0
0
f (x)g(x)dx = Wr [f; g]
(4.6)
Wb0 [f; g]
r
şekline dönüşecektir.
= u + iv olmak üzere (4.5) eşitli¼
ginde
0
=
=u
iv ve
g = f al¬n¬rsa
0
Zb
2 (v
q2 ) jf (x)j2 dx = iWr f; f
(4.7)
iWb0 f; f
r
gerçeklenir. (4.3) ifadesinin kritik noktas¬n¬n imajiner k¬sm¬
=
"
0
0
b;
(b0 ; )
#
0
1
=
2i
0
b;
+
(b0 ; )
şeklinde elde edilir. (4.7) ifadesinde Wr
;
0
0
b;
0
(b ; )
=
!
1 Wb0 ;
i
2
j j2
=
i sinh 2
2
(4.8)
oldu¼
gu yerine yaz¬ld¬g¼¬nda
0
Wb0
;
Zb
= 2i (v
q2 ) jf (x)j2 dx
i sinh 2
(4.9)
2
r
bulunur. (4.9) ifadesi (4.8) eşitli¼
ginde dikkate al¬nd¬g¼¬nda
=
elde edilir. q2
"
0,
0
0
b;
(b0 ; )
2
#
2 0
Zb
1 6
=
4 (v
j j2
r
q2 ) j j2 dx
1
sinh 2
2
3
7
25
(4.10)
0 ve v > 0 durumunda kritik nokta üst-yar¬z düzlemindedir
ve alt-yar¬z düzlemi, l düzleminde bir Cb0 ( ) çemberine dönüşür. Yani, bir l nok-
19
0
tas¬n¬n Cb0 ( ) çemberinin içinde olmas¬ için gerek ve yeter şart = z b ; ; l
0
olmas¬d¬r ve üzerinde olmas¬için gerek ve yeter şart ise = z b ; ; l
<0
= 0 olmas¬d¬r.
(4.4) eşitli¼
gi son ifadede kullan¬ld¬g¼¬nda l; Cb0 ( ) çemberinin içinde veya üzerindeyse
h
i
0
) = z b ; ;l
#
" 0
0
l+
) =
l+
" 0
0
l+
) i
+
l+
2 2
0
jlj
) i4
) i jlj2 Wb0
) iWb0
;
l+ ;
sa¼
glanmal¬d¬r.
0
0
0
l+
l+
0
0
#
0
0
+l
0
0
+l
j j2 jlj2 + j j2 + 2<
+ lWb0
l+
;
+ lWb0
0
0
+
3
0
5
l
+ Wb0
;
0
;
0
(4.11)
0
l + , (4.1) diferensiyel denkleminin çözümü olup (4.7) ifadesinden
0
Zb
2 (v
q2 ) j l + j2 dx = iWr
l+ ;
l+
l+ ;
iWb0
l+
r
eşitli¼
gi elde edilir. Bu eşitlikte (4.11) ifadesi göz önüne al¬nd¬g¼¬nda
0
Zb
2 (v
q2 ) j l + j2 dx
iWr
l+ ;
(4.12)
l+
r
gerçeklenir.
Wr
;
=
i sinh 2
Wr
;
= cosh 2
Wr
2
Wb0
2
;
;
=
=
cosh 2
2
i sinh 2
2
ginden
olup l; Cb0 ( ) çemberinin içinde veya üzerindeyse (4.12) eşitsizli¼
0
Zb
2 (v
q2 ) j l + j2 dx
1 + jlj2 sinh 2
r
bulunur.
20
2
2=l cosh 2
2
(4.13)
h
0
Cb0 ( ) çemberinin merkezi pb0 ( ) = l b ; ;
pb 0 ( ) =
0
0
b;
Wb0
;
Wb0
;
i
0
=
b;
veya
(4.14)
0
ile verilir. Ayr¬ca z = 0 ¬n l düzlemindeki görüntüsü
0
b;
0
olup bu nokta Cb0 ( )
(b0 ; )
çemberinin üzerinde oldu¼
gundan çemberin yar¬çap¬
rb0 ( ) =
Wb0
;
Wb0
;
0
+
0
0
b;
(b0 ; )
0
=
=
şeklinde elde edilir.
Wb0 [ ; ]
Wb0
;
1
Wb0
;
0
(4.15)
; (4.1) denkleminin bir çözümü olup (4.7) ifadesinden
0
Wb0
;
=
2i
Zb
q2 ) j j2 dx + i sinh 2
(v
2
r
eşitli¼
gi gerçeklenir. Bu eşitlik (4.15) de dikkate al¬n¬rsa Cb0 ( ) çemberinin yar¬çap¬
2
6
rb0 ( ) = 4 sinh 2
2
+2
Zb
3
0
(v
r
7
q2 ) j j2 dx5
1
(4.16)
şeklinde yeniden ifade edilebilir.
(4.4) dönüşümü Cb0 ( ) çemberini z düzlemindeki reel eksen üzerine götürür. Bu
nedenle (4.4) dönüşümünün kritik noktas¬
0
b;
0
=
b;
da Cb0 ( ) çemberinin
üzerinde olmal¬d¬r.
0
Şimdi Cb0 ( ) çemberinin üzerinde
b;
ve
(b0 ; )
21
0
0
0
b;
(b0 ; )
noktalar¬elde edildi. Bu
durumda
0
)
0
)
0
0
0
b;
(b0 ; )
b;
(b0 ; )
+
Wb0 [ ; ]
(b0 ; ) (b0 ; )
) [rb0 ( )]
1
0
2
2rb0 ( )
2rb0 ( )
0
0
b;
b;
0
)
sinh 2
2
+2
Zb
(v
q2 ) j j2 dx
2
0
0
0
b;
(4.17)
b;
r
0
gerçeklenir. Şu ana kadar
b;
6= 0 ve
Şimdi bu k¬s¬tlama kald¬r¬lacak fakat q2
0
0
6= 0 k¬s¬tlamas¬alt¬nda ilerlendi.
b;
0,
0 ve v > 0 durumlar¬hala geçerli
2
olacakt¬r.
0
0
0
E¼
ger r < b < b olacak şekildeki key… b için
varsa bu durumda
0
b;
0
= 0 olacak biçimde bir
¬n bir N ( 0 ) komşulu¼
gu mevcuttur öyle ki
0
2 N ( 0 ) oldu¼
gu sürece
b;
sa¼
g taraf¬s¬f¬ra gider. Bu durum q;
6= 0 gerçeklenir.
ve
!
0
6=
0
0
ve
için (4.17) eşitsizli¼
ginin
n¬n imajiner k¬sm¬üzerindeki k¬s¬tlamalar-
dan eşitsizli¼
gin sol taraf¬n¬n kesinlikle pozitif olmas¬ ile çelişir. Yani
0
b;
s¬f¬ra
eşit olamaz.
Benzer şekilde
r
0
0
6= 0 oldu¼
gu da gösterilebilir.
b;
0
0
b < b olacak şekildeki her b için bir Cb0 ( ) çemberi mevcut olup (4.13) eşitsizli¼
gi
gerçeklendi¼
ginden Cb00 ( )
Cb0 ( ) olmas¬için gerek ve yeter şart b
00
0
b olmas¬d¬r.
0
Yani b ! b için Cb0 ( ) çemberileri ya bir limit çemberine ya da bir limit noktas¬na
yak¬nsar. Her iki durumda da tüm Cb0 ( ) çemberlerinin içinde bir nokta vard¬r. Bu
0
nokta M ( ) olsun. b ! b için (4.13) eşitsizli¼
gi l ile M ( ) yerde¼
giştirdi¼
ginde de
sa¼
glanacakt¬r yani
Zb
j M + j2 (v
q2 ) dx < 1
r
gerçeklenir. Böylece aşa¼
g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 4.1 r sonlu b key… singüler nokta olmak üzere [r; b] kapal¬ bir aral¬k ve
r
x < b için q (x) sürekli olsun. q2
0,
22
2
0 ve v > 0 olsun. Ayr¬ca M ( ) tüm
Cb0 ( ) çemberlerinin içinde herhangi bir nokta olsun. Bu durumda
(x; ) =
(x; ) M ( ) + (x; )
(4.1) denkleminin bir çözümüdür ve
Zb
j (x; )j2 (v
q2 ) dx < 1
r
sa¼
glan¬r (Sims 1957).
l düzleminin geometrisi aç¬s¬ndan görüldü ki b noktas¬nda ya limit çemberi durumu
ya da limit noktas¬durumu vard¬r. E¼
ger b noktas¬nda limit çemberi durumu gerçek0
lenirse b ! b için rb0 ( ) pozitif limite sahip olmal¬d¬r. Böylece (4.16) ifadesinden
Zb
j (x; )j2 (v
q2 ) dx < 1
r
elde edilir. Sonuç olarak limit çemberi durumunda (4.1) denkleminin (v
q2 ) a¼
g¬rl¬k
fonksiyonuna göre [r; b] aral¬g¼¬nda kare integrallenebilen iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü
mevcuttur ( ve
çözümleri). E¼
ger b noktas¬nda limit noktas¬durumu gerçekleni-
yorsa tüm Cb0 ( ) çemberlerinin içinde sadece bir M ( ) noktas¬ vard¬r. Böylece
(4.16) eşitli¼
ginden
çözümü (v
q2 ) a¼
g¬rl¬k fonksiyonuna göre [r; b] aral¬g¼¬nda kare
integrallenemez. Yani bu durumda (4.1) denkleminin sadece bir çözümü (v
q2 )
a¼
g¬rl¬k fonksiyonuna göre [r; b] aral¬g¼¬nda kare integrallenebilirdir ( çözümü).
Zb
Zb
j j2 dx < 1 fakat
r
j j2 (v
q2 ) dx = 1
r
oldu¼
gunda limit noktas¬ durumunun özel bir alt durumu ortaya ç¬kar. O halde b
singüler noktas¬nda 3 farkl¬durum vard¬r.
Durum I. Limit noktas¬durumu, sadece bir
(x; ) çözümü (v
q2 ) a¼
g¬rl¬k fonksiy-
onuna göre [r; b] aral¬g¼¬nda kare integrallenebilirdir.
Durum II. Limit noktas¬durumu, [r; b] aral¬g¼¬nda kare integrallenebilen iki lineer
ba¼
g¬ms¬z çözüm mevcuttur ancak sadece
(x; ) çözümü (v
yonuna göre [r; b] aral¬g¼¬nda kare integrallenebilirdir.
23
q2 ) a¼
g¬rl¬k fonksi-
Durum III. Limit çemberi durumu, (v
q2 ) a¼
g¬rl¬k fonksiyonuna göre [r; b] ara-
l¬g¼¬nda kare integrallenebilen iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözüm mevcuttur.
Durum II nin klasik Weyl (q2 = 0) teorisinde benzeri yoktur. Bu durumun varl¬g¼¬na
ilişkin aşa¼
g¬daki örnek verilebilir.
Örnek 4.2 (Sims 1957) q (x) =
5
x
16
2
1
ix
olmak üzere
00
y + q (x) y = 0; x 2 (0; 1)
diferensiyel denklemi için x0 = 0 denklemin düzgün ayk¬r¬noktas¬olup çözüm
y=
1
X
an (x
x0 )n+r
n=0
Frobenius Serisi şeklinde aranacakt¬r.
1
X
y =
an xn+r
n=0
y
y
0
1
X
=
00
n=0
1
X
=
(n + r) an xn+r
1
1) an xn+r
(n + r) (n + r
2
n=0
ifadeleri denklemde yerine yaz¬ld¬g¼¬nda
(4r + 1) (4r
r
5) a0 x +
1
X
[(4n + 4r + 5) (4n + 4r
1) an+1 + 16ian ] xn+r+1 = 0
n=0
elde edilir. Burada
(4r + 1) (4r
5) a0 = 0; a0 6= 0
ifadesi indisel denklem ve
an+1 =
16i
(4n + 4r + 5) (4n + 4r
1)
an ; (n = 0; 1; 2; :::)
ifadesi de genel indirgeme ba¼
g¬nt¬s¬d¬r.
y1 =
1
X
n=0
an xn+r1 ve y2 =
1
X
an xn+r2 olmak üzere denklemin genel çözümü
n=0
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) tipindedir.
24
r1 =
1
için
4
16i
an ; n
(4n + 4) (4n 2)
( 2)n in
=
a0
n! ( 1) 1:3:5::: (2n 3)
an+1 =
an
olup
y1 = a0
1
X
n=0
bulunur. r2 =
5
için
4
( 2)n in
n! ( 1) 1:3:5::: (2n
3)
xn
16i
an ; n
(4n + 10) (4n + 4)
( 2)n in
=
a0
n!5:7::: (2n + 3)
an+1 =
an
olup
y 2 = a0
1
X
n=0
0
1=4
0
( 2)n in
xn+5=4
n!5:7::: (2n + 3)
elde edilir. Özel olarak a0 = 1 al¬n¬rsa x ! 0 için
y1
x
1=4
ve y2
x5=4
lineer ba¼
g¬ms¬z iki çözümü bulunur.
Buradan aç¬kt¬r ki çözümlerin ikisi de (0; 1) aral¬g¼¬nda kare integrallenebilirdir. Ancak sadece y2 çözümü (v
q2 ) a¼
g¬rl¬k fonksiyonuna göre (0; 1) aral¬g¼¬nda kare integ-
rallenebilirdir.
Teorem 4.3 Durumlar sadece q (x) katsay¬fonksiyonuna ba¼
gl¬d¬r. E¼
ger
Zb
j (x;
2
0 )j
dx < 1 ve
r
sa¼
glan¬rsa ayn¬sonuç
Zb
j (x;
2
0 )j
dx < 1
r
n¬n tüm di¼
ger de¼
gerleri için de geçerlidir. E¼
ger
25
Zb
2
j (x;
0 )j
Zb
q2 ) dx < 1 ve
(v0
r
2
0 )j
j (x;
q2 ) dx < 1
(v0
r
ise ayn¬sonuç
n¬n tüm di¼
ger de¼
gerleri için de geçerlidir (Sims 1957).
I·spat
0y
(x;
Ly =
0)
ve (x;
0)
denkleminin L2 [r; b] s¬n¬f¬ndan olan iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü
olsun.
(x; ) da Ly = y denkleminin key… bir çözümü olsun.
Ly = y denklemi
Ly
0y
şeklinde yaz¬labilir. Bu durumda
(x;
=(
0)
0) y
ve (x;
0 ),
Ly
0y
= 0 homogen den-
kleminin iki lineer ba¼
g¬ms¬z çözümü olur. Homogen olmayan denklemin çözümünü
bulmak için parametrelerin de¼
gişimi yöntemi uygulan¬rsa
(x; ) =
(x;
0)
+(
) (x;
0
0)
Zx
(t;
0)
(t; ) dt
r
(4.18)
(
0
) (x;
0)
Zx
(t;
0)
(t; ) dt
r
elde edilir. (4.18) ifadesinde gerekli düzenlemeler yap¬l¬p Schwarz eşitsizli¼
ginden
j (x; )j
j (x;
0 )j
+j
0
j j (x;
0 )j
Zx
j (t;
0)
(t; )j dt
r
+j
0
j j (x;
0 )j
Zx
j (t;
0)
(t; )j dt
r
j (x;
0 )j
+j
0
0 b
Z
j j (x; 0 )j @ j (t;
r
+j
0
11=2
11=2 0 b0
Z
C
2
2
A B
@ j (t; )j dtA
0 )j dt
r
11=2
11=2 0 b0
Zb
Z
B
C
j j (x; 0 )j @ j (t; 0 )j2 dtA @ j (t; )j2 dtA
0
r
r
bulunur. Son eşitsizlikte her iki taraf¬n karesi al¬nd¬g¼¬nda r
26
x
0
b < b olmak üzere
j (x; )j2
3 j (x;
2
0 )j
2
0j
+3 j
2
0j
+3 j
+
2
0 )j
j (x;
2
0 )j
j (x;
0
Zb
r
Zb
2
j (t; 0 )j dt j (t; )j2 dt + (4.19)
Zb
Zb
2
j (t; 0 )j dt j (t; )j2 dt
r
0
r
00
r
0
00
0
şeklinde elde edilir. b < b olmak üzere (4.19) ifadesinde b den b ye integral al¬n¬rsa
0
Zb
b00
Zb
3 j (t;
2
j (t; )j dt
2
0 )j
dt +
r
2
0j
+3 j
2
0j
+3 j
0
Zb
b00
Zb
j (t; 0 )j2 dt j (t;
Zb
2
j (t; )j2 dt
0 )j dt
Zb
Zb
2
j (t; 0 )j dt j (t;
Zb
2
j (t; )j2 dt
0 )j dt
b00
Zb
gerçeklenir. Burada K0 = 3 j (t;
r
r
2
0 )j
r
0
r
dt ve
r
K b
00
= 3j
denirse
2 b
Z
24
j (t;
0j
Zb
2
j (t;
0 )j dt
b00
Zb
b00
2
0 )j
dt +
b00
r
0
j (t; )j2 dt
Zb
K0 + K b
Zb
00
Zb
j (t; 0 )j2 dt j (t;
0
j (t; )j2 dt
r
2
0 )j
3
dt5
(4.20)
r
00
eşitsizli¼
gi elde edilir. b ; K b
ifadesinden
Zb
b00
00
<
1
olacak şekilde yeterince büyük seçilirse (4.20)
2
0
j (t; )j2 dt < K0 +
1
2
Zb
0
j (t; )j2 dt
r
bulunur. Son eşitsizlikte sa¼
g taraftaki integral sola at¬l¬p gerekli düzenlemeler yap¬ld¬k-
27
tan sonra
0
Zb
b00
j (t; )j2 dt < 2K0 +
Zb
00
j (t; )j2 dt
(4.21)
r
0
00
elde edilir. (4.21) ifadesinin sa¼
g taraf¬ b den ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gundan b sabitlenirse
0
b ! b için
Zb
j (x; )j2 dx < 1
r
bulunur.
Benzer bir ispat (x; ) için de geçerlidir.
Teoremin ikinci k¬sm¬n¬n ispat¬için birinci k¬sm¬n sonucu (4.19) ifadesinde göz önüne
0
al¬narak eşitsizlikte b yerine b yaz¬labilir.
(v0
Zb
b0
Ayr¬ca (4.19) ifadesinin her iki yan¬
0
q2 ) ile çarp¬l¬p b den b ye integral al¬n¬rsa
2
j (t; )j (v0
Zb
3 j (t;
q2 ) dt
2
0 )j
(v0
q2 ) dt +
r
+ 3j
+ 3j
2
0j
2
0j
Zb
b0
Zb
b0
j (t;
2
0 )j
(v0
Zb
q2 ) dt j (t;
r
j (t;
2
0 )j
(v0
Zb
q2 ) dt j (t;
r
Zb
j (t; )j2 dt+
0 )j dt
2
r
2
0 )j
Zb
j (t; )j2 dt
r
0
gerçeklenir. b sabitlenirse eşitsizli¼
gin sa¼
g taraf¬teoremin ikinci k¬sm¬n¬n hipotezinden
ve birinci k¬sm¬n¬n hükmünden sonlu bir de¼
ger olup
Zb
j (x; )j2 (v0
q2 ) dx < 1
r
bulunur.
Benzer şekilde
Zb
j (x; )j2 (v0
q2 ) dx < 1 oldu¼
gu da gösterilebilir.
r
28
4.1 Durum I, Durum II ve Durum III I·çin Kriterler
00
`y (x) =
y (x) + q (x) y (x) ;
x<1
0
kompleks katsay¬l¬diferensiyel ifadesi düşünülsün.
Bu k¬s¬mda L2 kompleks Hilbert uzay¬L2 (0; 1) u göstersin. D ; f 2 L2 fonksiyonlar¬n¬n kümesi olmak üzere aşa¼
g¬daki koşullar¬sa¼
glas¬n:
0
1. Her X > 0 için f ; [0; X] üzerinde mutlak sürekli,
2. `f 2 L2 :
D kümesi üzerinde Lf = `f şeklinde tan¬mlanan L operatörü için bilinen baz¬
kriterler aşa¼
g¬da verilmiştir.
Lemma 4.1.1 M kesinlikle pozitif diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve x
c>0
için
0
M (x) = O M 3=2 (x)
olsun. E¼
ger bir k pozitif sabiti için x
c oldukça
q1 (x)
sa¼
glan¬yorsa her f 2 D için M
1
2
kM (x)
0
f 2 L2 (c; 1) gerçeklenir (Evans 1970).
I·spat
ZX
00
f f
dx =
M
ZX
q jf j2
f lf
+
M
M
c
c
!
dx
eşitli¼
ginde sol tarafta k¬smi integrasyon uygulan¬rsa
ZX
c
f lf
q jf j2
+
M
M
!
0
ff
dx =
M
X
c
29
ZX
c
0
f
M
2
0
f fM
M2
0
!
dx
(4.22)
bulunur. (4.22) ifadesinde her iki taraf¬n reel k¬s¬mlar¬eşitlenirse
ZX
< f lf
q1 jf j2
+
M
M
c
!
"
dx =
#X
0
< ff
M
ZX
c
0
f
M
2
0
< ff M
M2
0
c
elde edilir.
ZX
H (X) =
0
!
dx
(4.23)
2
f
dx
M
c
0
c için M (x) = O M 3=2 (x) olup Schwarz eşitsizli¼
ginden
olsun. f 2 D ve x
k1 ; k2 ; k3 pozitif sabitleri mevcuttur öyle ki
ZX
q1 jf j2
dx
M
k
ZX
ZX
ZX
< f lf
dx
M
c
0
(4.24)
k1
c
c
ZX
jf j2 dx
f lf
dx
M
(4.25)
k2
c
ZX
0
< ff M
dx
M2
c
c
M
M
0
3
2
0
f
f
M
dx
1
2
1
k3 H 2 (X)
(4.26)
eşitsizlikleri gerçeklenir. (4.24), (4.25) ve (4.26) ifadeleri (4.23) de göz önüne al¬n¬rsa
H (X)
bulunur. E¼
ger M
1
2
1
2
k3 H (X)
"
0
< ff
M
#X
k1 + k2
(4.27)
c
0
f 2
= L2 (c; 1) yani X ! 1 için H (X) ! +1 ise (4.27)
eşitsizli¼
ginden X ! 1 için
0
< f (X) f (X)
! +1
M (X)
0
1
jf j2 eşitli¼
ginden jf j2 pozitif fonksiyonu tüm büyük
2
x ler için pozitif limite sahiptir. Bu nedenle jf j2 artan olup bu da f 2 L2 olmas¬ile
0
gerçeklenir. Ancak < f f =
30
çelişir. O halde H (X) sonlu olmal¬d¬r yani
1
2
M
0
f 2 L2 (c; 1)
(4.28)
olmal¬d¬r.
Teorem 4.1.2 M kesinlikle pozitif diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve x
c>0
için
0
M (x) = O M 3=2 (x)
olsun. Ayr¬ca bir k pozitif sabiti ve x
Z1
M
c için q1 (x)
1
2
kM (x) olsun. E¼
ger
dx = 1
c
ise L operatörü Durum I (limit noktas¬durumu) tipindedir (Evans 1970).
I·spat E¼
ger L operatörü Durum I tipinde de¼
gilse = > 0 için Lf = `f denkleminin L2
s¬n¬f¬ndan olan iki lineer ba¼
g¬ms¬z
ve
çözümleri mevcuttur. Çözümlerin Wrons-
kiyenlerinin
=
0
0
(4.29)
=1
1
oldu¼
gu kabul edilebilir. (4.29) ifadesinin her iki yan¬M 2 ile bölünürse
M
1
2
0
M
1
2
0
=M
1
2
(4.30)
bulunur. (4.30) ifadesinde (4.28) ve Schwarz eşitsizli¼
gi dikkate al¬n¬rsa
Z1
M
1
2
0
M
1
2
0
dx < 1
(4.31)
c
elde edilir. (4:30) ifadesinin sa¼
g taraf¬ndaki ifade teoremin hipotezinden dolay¬(c:1)
aral¬g¼¬nda integrallenebilir de¼
gildir. Bu ise (4:31) ifadesiyle çelişir. O halde L operatörü Durum I tipindedir.
Teorem 4.1.3 M kesinlikle pozitif diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve kabul edelim
ki x
c ve en az bir
> 0 için aşa¼
g¬daki koşullar gerçeklensin:
31
3
0
Z1
M
1
2
1
0
Z1
dx = 1
c
Bu durumda e¼
ger x
1
M (x) = O ( q2 ) 2 M 2 (1+
M (x) = O M 2 (x)
c
c için q1 (x)
)
(4.32)
1
( q2 ) 2
1
M 2 (1+
)
dx = 1
kM (x) ise L operatörü Durum I tipindedir
(Evans 1970).
I·spat (4.22) eşitli¼
ginin elde edilmesindeki yöntemde M yerine M al¬n¬p bulunan
ifadenin imajiner k¬s¬mlar¬eşitlendi¼
ginde her f 2 D için
ZX
= f lf
q2 jf j2
+
M
M
c
!
"
#X
0
= ff
dx =
M
+
c
ZX
0
0
= ff M
dx
M +1
(4.33)
c
gerçeklenir.
F (X) =
ZX
( q2 ) jf j2
dx
M
c
1
2
olsun. Lemma 4.1.1 den M
0
f 2 L2 (c; 1) olup (4:32) ve Schwarz eşitsizli¼
ginden
k1 ; k2 sabitleri mevcuttur öyle ki
ZX
= f lf
dx
M
(4.34)
k1
c
ZX
c
0
0
= ff M
dx
M +1
ZX
c
M
1
2
( q2 ) M
1
0
0
1
(1+
2
)
f ( q2 ) 2 jf j
M
1
2
M2
!
dx
1
k2 F 2 (X) (4.35)
eşitsizlikleri sa¼
glan¬r. (4.33) ifadesinde (4.34) ve (4.35) eşitsizlikleri dikkate al¬nd¬g¼¬nda
"
0
= ff
k2 F (X) +
M
1
2
F (X)
1
bulunur. Kabul edelim ki ( q2 ) 2 M
=2
#X
c
f2
= L2 (c; 1) yani X ! 1 için
F (X) ! +1 olsun. Bu durumda (4.36) eşitsizli¼
ginden
lim
x!1
(
k1
0
= f (X) f (X)
M (X)
32
)
= +1
(4.36)
olmal¬d¬r. Yani yeterince büyük X0 ve x
X0 için
0
= f (x) f (x) > M (x)
olur. Böylece X ! 1 için (4:32) den
ZX
ZX
0
= ff
M
X0
1
2
dx >
1
2
M
dx ! 1
(4.37)
X0
elde edilir. Di¼
ger taraftan
ZX
ZX
0
= ff
M
X0
1
2
dt
jf j f
X0
01
1 12
Z 0 2
f
kf k @
dtA
M
0
1
M2
(4.38)
X0
gerçeklenir. Lemma 4.1.1 den (4.38) ifadesinin sa¼
g taraf¬sonlu bir de¼
ger olup bu ise
(4.37) eşitsizli¼
gi ile çelişir. Bu nedenle F (X) sonlu olmal¬d¬r. Yani
1
( q2 ) 2 M
=2
f 2 L2 (c; 1)
(4.39)
sa¼
glanmal¬d¬r. E¼
ger L operatörü Durum I tipinde de¼
gilse =
2
denkleminin L s¬n¬f¬ndan olan iki lineer ba¼
g¬ms¬z
0
0
ve
> 0 için Lf = `f
çözümleri mevcuttur.
(4.40)
=1
1
oldu¼
gu kabul edilebilir. (4.40) eşitli¼
ginin her iki taraf¬
(
1
( q2 ) 2
M2
)(
0
1
M2
)
(
0
1
M2
)(
( q2 ) 2
1
M 2 (1+
)
1
( q2 ) 2
M2
=
)
ile çarp¬l¬rsa
1
( q2 ) 2
1
M 2 (1+
)
(4.41)
elde edilir. (4.39) ve Schwarz eşitsizli¼
ginden (4.41) ifadesinin sol taraf¬ (c; 1) da
integrallenebilirdir. Ancak sa¼
g taraf (4:32) gere¼
gi (c; 1) da integrallenemez. Bu
nedenle L operatörü Durum I tipindedir.
Sonuç 4.1.4 E¼
ger baz¬pozitif k sabitleri için
q1 (x)
33
kx
ve
a2 x
q2 (x) =
= max 2; 32 + 2 dir (Evans 1970).
ise L operatörü Durum I tipindedir. Burada
I·spat E¼
ger
= 2 ise Teorem 4.1.2 den aç¬kça görülür ki L operatörü Durum I
tipindedir.
> 2 ve dolay¬s¬yla
> 0 durumunda ise M (x) = x ve
Teorem 4.1.3 ün hipotezlerinin sa¼
gland¬g¼¬kolayl¬kla görülebilir.
=
1
2
1
seçimiyle
Teorem 4.1.5 M kesinlikle pozitif diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve kabul edelim
ki x
c için aşa¼
g¬daki koşullar sa¼
glans¬n:
1
0
3
M (x) = O ( q2 (x)) 2 M 2 (x) ;
Z1
M
1
2
1
( q2 ) 2 dx = 1:
c
E¼
ger x
c için
q1 (x)
kM (x) q2 (x)
ise L operatörü Durum III tipinde de¼
gildir (Evans 1970).
Teorem 4.1.6
q1 (x) =
b2 x
ve
q2 (x) =
olsun. E¼
ger
a2 x
( > 0)
< 2 + 2 ise L operatörü Durum I tipindedir.
= 2 + 2 oldu¼
gunda a2 =b
ise L operatörü Durum I tipindedir, a2 =b <
operatörü Durum II tipindedir (Evans 1970).
34
ise L
5. M ( ) FONKSI·YONLARININ ÖZELLI·KLERI·
Bu bölümde 4. Bölümde bahsedilen M ( ) fonksiyonlar¬n¬n özellikleri anlat¬lacakt¬r.
z0 ; =z0
0 olacak şekilde herhangi bir kompleks say¬ ve r < b0 < b olmak üzere
0
0
b0 key… bir nokta olsun. b0 < b < b için (4.3) dönüşümü ile verilen l b ; ; z0
fonksiyonlar¬göz önüne al¬ns¬n. =z0
0
0 oldu¼
gundan = > 0 için l b ; ; z0 anali-
tiktir. = > 0 için (4.14) ve (4.16) ifadeleri ile verilen pb0 ( ) ve rb0 ( ) ;
n¬n sürekli
fonksiyonlar¬d¬r. Bu nedenle pb0 ( ) ve rb0 ( ) üst yar¬ düzleminin her kompakt alt
0
kümesinde düzgün s¬n¬rl¬d¬r. b0 < b < b için
0
l b ; ; z0
< rb0 ( ) + jpb0 ( )j
0
oldu¼
gundan l b ; ; z0 fonksiyonlar¬n¬n kümesi üst yar¬ düzleminin her kompakt alt
0
kümesinde b ye göre düzgün s¬n¬rl¬d¬r. Sonuç olarak üst yar¬ düzleminin herhangi
bir kompakt G kümesi için bi ! b olacak şekilde bir dizi mevcuttur öyle ki l (bi ; ; z0 ) ;
M ( ) limitine yak¬nsar. Vitali Teoremi’nden M ( ) ; G de analitiktir ve G kümesinin
key… olmas¬ndan dolay¬M ( ) tüm üst yar¬ düzlemi boyunca analitiktir.
0
E¼
ger =z0 = 0 ise l b ; ; z0 noktas¬ her bir
için Cb0 ( ) çemberinin üzerindedir.
Bu yüzden M ( ) noktas¬da Cb ( ) çemberinin üzerindedir. Ek olarak = > 0 için
0
her bir f b ;
0
0
0
analitik ve her b için = f b ;
0 olmas¬şart¬yla z0 ; f b ;
fonksiyonu ile yerde¼
giştirebilir.
0
Durum III te M ( ) tek şekilde tan¬ml¬ de¼
gildir. Aksine f b ;
fonksiyonlar¬n¬n
farkl¬seçimlerine uygun olan analitik M fonksyonlar¬n¬n bir s¬n¬f¬mevcuttur. Örne¼
gin;
e¼
ger M0 ; Cb ( 0 ) limit çemberi içinde veya üzerinde bir nokta ise
0
f b;
0
=z b;
0 ; M0
seçimi M ( 0 ) = M0 özelli¼
gine sahip bir analitik M fonksiyonu üretir. Böylece en az
M ( ) analitik fonksiyonlar¬n¬n farkl¬seçimleri kadar key… bir limit çemberi üzerinde
nokta vard¬r.
=
0
> 0 olacak şekildeki key…
0
için Cb ( 0 ) limit çemberi üzerinde bir M0 noktas¬
0
0
seçilsin. Her bir Cb0 ( 0 ) çemberi üzerinde b ! b için M ! M0 ve
0
M 6=
0
b;
0
35
=
0
b;
0
0
0
0
olacak şekilde bir M noktas¬ al¬ns¬n. Şimdi f b ;
= z b;
0; M
0
olsun. M
0
0
üzerindeki k¬s¬tlama f fonksiyonunun analitikli¼
gini garanti eder. Ayr¬ca M nok0
tas¬Cb0 ( 0 ) çemberi üzerinde oldu¼
gundan = f b ;
0
0
l b ; ;f b ;
= 0 d¬r. Bunun sonucunda
fonksiyonlar¬de¼
gerlerini Cb0 ( ) çemberi üzerinde al¬r ve = > 0 için
0
0
analitiktirler. Daha öncede söylendi¼
gi gibi l b ; ; f b ;
fonksiyonlar¬kümesinin
bir analitik M fonksiyonuna yak¬nsayan bir alt dizisi mevcuttur ve limit dizisinin
elemanlar¬n¬n özelli¼
ginden M ( ) limit fonksiyonu de¼
gerlerini Cb ( ) limit çemberi
üzerinde al¬r. Böylece aşa¼
g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 5.1 Her durumda = > 0 için analitik olan bir M fonksiyonu mevcuttur.
Durum III te M0 ; key… bir Cb ( 0 ) limit çemberinin key… bir noktas¬ olmak üzere
M ( ) = M0 olacak şekilde bir analitik M fonksiyonu bulunabilir. Ek olarak = > 0
için M ( ) daima Cb ( ) limit çemberinin üzerinde olacak şekilde bir M fonksiyonu
bulunabilir (Sims 1957).
Teorem 5.2 Durum II de M ( ) meromorftur. Durum III te herhangi bir analitik M
fonksiyonu meromorftur. Her iki durumda da
1
noktas¬n¬n M ( ) n¬n kutup noktas¬
olmas¬için gerek ve yeter şart = > 0 olacak şekildeki her
1+(
)
1
Zb
(x; ) (x;
1 ) dx
için
=0
r
olmas¬d¬r. E¼
ger
1
ve
2
noktalar¬n¬n ikisi de M ( ) n¬n kutup noktas¬ise
Zb
(x;
1)
(x;
2 ) dx
=0
r
gerçeklenir (Sims 1957).
Teorem 5.2 nin ispat¬için öncelikle aşa¼
g¬daki lemmalar verilmelidir.
Lemma 5.3 Tüm durumlarda = > 0 ve =
fonksiyonu için
Wb
sa¼
glan¬r (Sims 1957).
h
(x; ) ;
36
x;
0
> 0 olmas¬şart¬yla her analitik M
0
i
=0
(5.1)
0
I·spat
(x; ) + l ( ) (x; ), x = b noktas¬nda
dan ba¼
g¬ms¬z bir s¬n¬r koşul
sa¼
glad¬g¼¬ndan
Wb0
h
(x; ) + l ( ) (x; ) ;
x;
0
0
+l
i
0
x;
=0
gerçeklenir. Bu durumda
Wb0
h
(x; ) + fl ( )
M ( )g (x; ) ;
x;
n
+ l
0
0
o
0
M
0
x;
i
=0
bulunur. Böylece
h
Wb
n
+ l
0
i
0
h
+ fl ( ) M ( )g Wb
(x; ) ;
i
h
0
0
(x; ) ;
x;
Wb0
M
n
o
h
0
0
M ( )g l
M
Wb0
(x; ) ;
x;
(x; ) ;
x;
o
0
+ fl ( )
0
x;
0
i
0
i
(5.2)
=0
elde edilir. (5.2) ifadesinin ikinci terimi, (4.6) eşitli¼
ginden
Wb0
h
(x; ) ;
i
0
x;
Zb
0
=
0
(x; )
0
x;
dx
(5.3)
r
+Wr
h
(x; ) ;
x;
0
i
şeklinde bulunur. Schwarz eşitsizli¼
gi yard¬m¬yla
0
Zb
0
(x; )
x;
0
0
dx
r
0
B
@
1 21 0
0
Zb
r
C B
j (x; )j2 dxA @
olup
Zb
0
0
(x; )
x;
r
0
B
@
Zb
r
1 21
0
C
j (x; )j2 dxA
37
0
dx
<1
Zb
r
0
x;
0
2
1 12
C
dxA
elde edilir. Son eşitsizlik ve
h
Wr
(x; ) ;
oldu¼
gu (5.3) ifadesinde dikkate al¬n¬rsa
h
Wb0
(x; ) ;
x;
0
i
x;
0
ve
=O
bulunur. Limit noktas¬durumunda
jl ( )
8 b
<Z
:
i
=1
0
sabitlenip b ! b için
j (x; )j2 dx
r
2
6
2rb0 = 2 4 sinh 2
M ( )j
0
2
+2
Zb
9 21
=
+ O (1)
;
3
0
1
7
q2 ) j j2 dx5
(v
r
0
olup b ! b için
fl ( )
M ( )g Wb
h
(x; ) ;
x;
0
i
=0
gerçeklenir. Bu eşitlik limit çemberi durumunda l ( ) ! M ( ) ise
Zb
j (x; )j2 dx
r
s¬n¬rl¬oldu¼
gundan sa¼
glan¬r.
Benzer iddialar (5.2) nin üç ve dördüncü terimlerine de uygulanarak (5.1) elde edilir.
Lemma 5.4 Her durumda = > 0 ve =
M( )=M
0
+
0
> 0 için
Zb
0
(x; )
x;
0
dx
r
gerçeklenir (Sims 1957).
I·spat
(x; ) ve
x;
00
0
s¬ras¬yla
y + [q (x)
y] = 0 ve
38
00
h
y + q (x)
0
i
y =0
(5.4)
diferensiyel denklemlerinin çözümü olmak üzere (4.6) ifadesinden
Zb
0
0
(x; )
0
x;
h
dx = Wr
r
(x; ) ;
Wb0
h
0
x;
(x; ) ;
x;
i
0
i
(5.5)
elde edilir. (5.5) eşitli¼
ginde
Wr
h
(x; ) ;
i
0
x;
=M( )
0
M
0
oldu¼
gu ve Lemma 5.3 ten b ! b için
Wb
h
(x; ) ;
0
x;
i
=0
gerçeklendi¼
gi dikkate al¬nd¬g¼¬nda (5.4) elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
Zb
Lemma 5.5 Durum II ve Durum III te
2
j (x; )j dx ve
r
j (x; )j2 dx fonksiyon-
r
lar¬ düzleminin her kompakt alt kümesinde
I·spat G;
Zb
ya göre s¬n¬rl¬d¬r (Sims 1957).
düzleminde key… kompakt bir küme olsun. Durum II ve Durum III ün
0
her ikisinde de (4.19) eşitsizli¼
ginde b ile b de¼
giştirilebilir. Elde edilen yeni ifadenin
her iki taraf¬n¬n key…
Zb
ve
0
Zb
3
2
j (x; )j dx
r
için r den b ye integrali al¬n¬rsa
x;
2
0
dx
r
0
+3
2
Zb
x;
0
2
dx
r
0
+3
Zb
x;
dx
Zb
j (x; )j2 dx
dx
Zb
j (x; )j2 dx
2
0
r
r
Zb
2
x;
r
0
Zb
2
dx
2
0
x;
r
r
bulunur. Buradan
K
0
0
= 6@
Zb
x;
0
2
r
39
10
dxA @
Zb
r
x;
0
2
1
dxA
olmak üzere
Zb
Zb
3
2
j (x; )j dx
r
x;
2
0
dx + K
0
r
0
için K
N ( 2 ) ; :::; N (
n)
2
Zb
j (x; )j2 dx
(5.6)
r
0
elde edilir. G kümesindeki her bir
2N
0
0
0
<
1
2
0
bir N
komşulu¼
gu oluşturur öyle ki
sa¼
glan¬r. G kompakt oldu¼
gundan bir N ( ! ) ;
sonlu altörtüsü G kümesini kapsar. Böylece
Zb
Zb
6
2
j (x; )j dx
r
Zb
bulunur. K0 , 6 j (x;
x;
0
2
(5.7)
dx
r
2
j )j
dx; j = 1; 2; :::; n say¬lar¬n¬n maksimumu olsun. Bu
r
durumda (5.7) eşitsizli¼
ginden
Zb
j (x; )j2 dx < K0 elde edilir.
r
Benzer şekilde
Zb
j (x; )j2 dx fonksiyonunun s¬n¬rl¬l¬g¼¬da gösterilebilir.
r
Lemma 5.6 Durum II ve Durum III te
Zb
2
(x; ) dx;
r
Zb
2
Zb
(x; ) (x; ) dx ve
r
(x; ) dx fonksiyonlar¬ n¬n tam fonksiyonlar¬d¬r. Ayr¬ca
(x; ) ve (x; ) ;
r
düzleminden L2 [r:b] s¬n¬f¬na (kuvvetli anlamda) tam fonksiyonlard¬r (Sims 1957).
I·spat Lemma 5.6 n¬n ispat¬Lemma 5.5 ten elde edilir.
Lemma 5.5 , (4.19) eşitsizli¼
ginin sa¼
g taraf¬na uygulan¬rsa key… kompakt G kümesindeki
ve (r; b) aral¬g¼¬ndaki her x için j (x; )j düzgün s¬n¬rl¬ olur. Böylece integ0
Zb
2
ralin tan¬m¬ gere¼
gi G kümesinde
(x; ) dx fonksiyonuna noktasal yak¬nsayan
r
Fn ( ) tam fonksiyonlar¬n¬n bir düzgün s¬n¬rl¬ dizisi mevcuttur.bu durumda Vitali
40
0
Teoremi’nden
Zb
2
(x; ) dx; G kümesinde analitiktir. Ek olarak
r
Zb
0
2
(x; ) dx !
r
Zb
2
(x; ) dx sa¼
glan¬r.
r
Zb
0
2
(x; ) dx analitik fonksiyonlar¬n¬n kümesi
r
Zb
Lemma 5.5 ten G kümesinde düzgün s¬n¬rl¬oldu¼
gundan
2
(x; ) dx, G de analitik-
r
tir. Benzer işlemler
Zb
(x; ) (x; ) dx ve
r
Zb
2
(x; ) dx fonksiyonlar¬na da uygu-
r
lanabilir.
Şimdi Teorem 5.2 nin ispat¬na geçilebilir.
(5.4) denklemi M ( ) için çözülürse
0
M( ) = M
Zb
0
+
(x; )
0
x;
dx
r
0
= M
Zb
0
+
[ (x; ) + M ( ) (x; )]
x;
0
dx
r
0
= M
Zb
0
+
(x; )
0
x;
dx +
r
+
0
M( )
Zb
(x; )
x;
0
dx
r
bulunur. Buradan
0
M
+
Zb
0
(x; )
0
x;
dx
r
M( )=
1+
Zb
0
(x; )
(5.8)
x;
0
dx
r
elde edilir. (5.8) eşitli¼
gi =
> 0 ve =
0
> 0 olacak şekildeki tüm
için geçerlidir. Lemma 5.6 dan (5.8) ifadesinin sa¼
g taraf¬=
s¬f¬r¬olmad¬g¼¬sürece her
0
> 0 ve
için tan¬ml¬d¬r ve analitiktir. (5.8) ifadesi =
41
0
;
çiftleri
, paydan¬n
0
> 0 ola-
0
cak biçimdeki key… sabitlenmiş
için M ( ) fonksiyonunun genelleştirilmiş tan¬m¬
Zb
0
0
(x; )
x;
dx = 0 tam fonksiyonunun
olarak al¬nabilir. M ( ) ; 1 +
r
s¬f¬rlar¬nda oluşan kutup noktalar¬haricinde analitiktir. Böylece = > 0 için M ( )
meromorftur.
(5.8) eşitli¼
ginde
1,
0
; üst yar¬ düzleminden key… kompleks bir say¬yd¬. O halde e¼
ger
0
M ( ) n¬n kutup noktas¬ise =
paydas¬ s¬f¬r olmal¬d¬r. Yani e¼
ger
0
şekildeki her
1;
için
1+
Zb
0
1
0
> 0 olacak şekildeki her
için (5.8) ifadesinin
M ( ) n¬n kutup noktas¬ ise =
(x;
1)
0
x;
0
> 0 olacak
dx = 0
r
olur. Di¼
ger yandan baz¬
1
0
ve =
1+
Zb
0
1
0
> 0 olacak şekildeki her
(x;
1)
0
x;
için
dx = 0
r
ise 1 +
0
1
Zb
(x;
1)
r
likten M
0
h
0
x;
0
+M
x;
0
i
dx = 0 bulunur. Bu eşit-
çekilirse
1+
M
0
Zb
0
1
(x;
1)
x;
0
r
=
0
1
Zb
(x;
dx
(5.9)
1)
x;
0
dx
r
elde edilir. Böylece M
görülür ki
1
0
fonksiyonu da
1
de kutup noktas¬na sahiptir. Buradan
noktas¬n¬n M ( ) n¬n kutup noktas¬ olmas¬ için gerek ve yeter şart
= > 0 olacak şekildeki her
1+(
için
1
)
Zb
(x; ) (x;
r
42
1 ) dx
=0
olmas¬d¬r.
!
1
için M ( ) n¬n kutup noktas¬n¬n mertebesi birden büyükse (5.9) ifadesinden
Zb
2
(x;
1 ) dx
=0
r
elde edilir.
E¼
ger
1
ve
2
noktalar¬n¬n ikisi de M ( ) n¬n kutup noktalar¬ise (5.9) eşitli¼
ginden
Zb
(x;
1)
(x;
r
bulunur. Böylece teoremin ispat¬tamamlan¬r.
43
2 ) dx
=0
KAYNAKLAR
Bairamov, E. and Krall, A. M. 2001. Dissipative operators generated by the SturmLiouville expression in the Weyl limit-circle case. J. Math Anal. Appl., vol.
254, pp. 178-190
Baimarov, E., U¼
gurlu E. 2011. The determinant of dissipative Sturm-Liouville operators with transmission conditions. Mathemetical and Computer Modelling, vol. 53, pp. 805-813.
Behrndt, J., Malamud, M., Neidhardt, H. 2008. Scattering matrices and Weyl functions. London Math. Soc. (3), vol. 97, pp. 568-598.
Coddington, E. A., Levinson N.1955. Theory of Ordinary Di¤erential Equations.
McGraw-Hill, New York.
Derkavh, V., Hassi S., Malamud, M., De Snoo, H. 2006. Boundary relations and
their Weyl families. Trans. of the American Math. Soc., vol. 358, no. 12,
pp. 5351-5400.
Evans, W. D.1971. On the limit point, limit circle classi…cation of a second order
di¤erential equation with a complex coe¢ cient. J. London Math. Soc.
(2), vol.4, pp. 245-256.
Gorbachuk, V. I., Gorbachuk M. L., 1991. Boundary Value Problems for Operator
Di¤erential Eguations. Kluwer Academic Publishers, London.
Ho¤man, K. 1962. Banach Spaces of Analytic Functions. Prentice-Hall, Inc., USA.
Kuzhel, A. 1996. Charecteristic Functions and Models of Nonself-adjoint Operators.
Kluwer Academic Publishers, London.
Naimark, M. A. 1968. Linear Di¤erental Operators (second ed.): Nauka, Moscow
English transl. of …rst ed., Parts 1, 2, Ungar, New York.
Sims, A.R. 1957. Secondary conditions for linear di¤erential operators of the
second order. Journal of Mathematics and Mechanics, vol. 6, no.2.
Sultanaev, Y. T. 1984. On the de…ciency indices and the spectrum of a nonsemi
bounded Sturm-Liouville operator. Soviet Math. Dokl. vol. 29, No.3,652653.
44
Titchmarsh, E. C. 1939. The Theory of Functions(second ed.). Oxford University
Press, London.
Titchmarsh, E. C. 1962. Eigenfunction Expansion Associated with Second Order
Di¤erential Equations. Part 1 (second ed.), Oxford Univ. Press,Oxford.
Zettl, A. 2005. Sturm-Liouville Theory. American Mathematical Society, USA.
45
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: I·brahim ERDAL
Do¼
gum Yeri
: Ankara
Do¼
gum Tarihi : 21.08.1987
Medeni Hali
Yabanc¬Dili
: Bekar
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Halide Edip Lisesi (2005)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2010)
46